Як розв'язувати рівняння методом бернуллі. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та рівняння бернуллі

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, лінійне щодо невідомої функції та її похідної. Воно має вигляд

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

де p(x) та q(x) - задані функціївід x безперервні в тій області, в якій потрібно проінтегрувати рівняння (1).

Якщо q(x)\equiv0 то рівняння (1) називається лінійним однорідним. Воно є рівнянням з змінними, що розділяються, і має загальне рішення

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Загальне рішення неоднорідного рівнянняможна знайти методом варіації довільної постійної, який полягає в тому, що рішення рівняння (1) шукається у вигляді

Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)де C(x) - нова невідома функція від x .

приклад 1.Розв'язати рівняння y"+2xy=2xe^(-x^2) .

Рішення.Застосуємо метод постійної варіації. Розглянемо однорідне рівняння y"+2xy=0 , відповідне даному неоднорідному рівнянню. Це рівняння з змінними, що розділяються. Його загальне рішення має вигляд y=Ce^(-x^2) .

Загальне рішення неоднорідного рівняння шукаємо як y=C(x)e^(-x^2) , де C(x) - невідома функція від x . Підставляючи, отримуємо C"(x)=2x , звідки C(x)=x^2+C . Отже, загальне рішення неоднорідного рівняння буде y=(x^2+C)e^(-x^2) , де C - Постійна інтегрування.

Зауваження.Може виявитися, що диференціальне рівняннялінійно щодо x як функція від y. Нормальний вигляд такого рівняння

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

приклад 2.Вирішити рівняння \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+sin2y).

Рішення.Це рівняння є лінійним, якщо розглядати x як функцію від y :

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Застосовуємо метод варіації довільної постійної. Спочатку вирішуємо відповідне однорідне рівняння

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

яке є рівнянням з змінними, що розділяються. Його загальне рішення має вигляд x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

Загальне рішення рівняння шукаємо як x=C(y)e^(\sin(y)) , де C(y) - невідома функція від y . Підставляючи, отримуємо

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yабо C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Звідси, інтегруючи частинами, матимемо

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(aligned)

Отже,

C(y)=-2e^(-sin(y))(1+sin(y))+C.

Підставляючи це рівняння x=C(y)e^(\sin(y)) , отримуємо загальне рішення вихідного рівняння, а значить, і даного рівняння:

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Вихідне рівняння може бути проінтегроване так. Вважаємо

Y=u(x)v(x),

де u(x) і v(x) - невідомі функції від x одна з яких, наприклад v(x) може бути обрана довільно.

Підставляючи y=u(x)v(x) , після перетворення отримуємо

Vu"+(pv+v")u=q(x).

Визначаючи v(x) з умови v"+pv=0 , знайдемо потім з vu"+(pv+v")u=q(x) функцію u(x) , а отже, і рішення y=uv рівняння \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Як v(x) можна взяти будь-яке часте рішення рівняння v"+pv=0,~v\not\equiv0.

приклад 3.Вирішити завдання Коші: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Рішення.Шукаємо загальне рішення рівняння у вигляді y = u (x) v (x); маємо y"=u"v+uv" . Підставляючи вираз для y і y" у вихідне рівняння, матимемо

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)або x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Функцію v=v(x) знаходимо з умови x(x-1)v"+v=0 . Беручи будь-яке окреме рішення останнього рівняння, наприклад v=\frac(x)(x-1) , і підставляючи його, отримуємо рівняння u"=2x-1, з якого знаходимо функцію u(x)=x^2-x+C. Отже, загальне рішення рівняння x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)буде

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),або y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Використовуючи початкову умову y|_(x=2)=4 отримуємо для знаходження C рівняння 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, звідки C = 0; так що розв'язанням поставленої задачі Коші буде функція y=x^2.

приклад 4.Відомо, що між силою струму i і електрорушійною силою E ланцюга, що має опір R і самоіндукцію L існує залежність E=Ri+L\frac(di)(dt)де R і L - постійні. Якщо вважати E функцією часу t, то отримаємо лінійне неоднорідне рівняння для сили струму i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Знайти силу струму i(t) для випадку, коли E=E_0=\text(const)та i(0)=I_0 .

Рішення.Маємо \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Загальне рішення цього рівняння маємо вигляд i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Використовуючи початкову умову (13), отримуємо з C=I_0-frac(E_0)(R), так що шукане рішення буде

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

Звідси видно, що при t\to+\infty сила струму i(t) прагне постійного значення\frac(E_0)(R) .

Приклад 5.Дано сімейство C_alpha інтегральних кривих лінійного неоднорідного рівняння y"+p(x)y=q(x) .

Показати, що дотичні у відповідних точках до кривих C_alpha , що визначається лінійним рівнянням, перетинаються в одній точці (рис. 13).

Рішення.Розглянемо дотичну до будь-якої кривої C_\alpha в точці M(x,y).

\eta-q(x)(\xi-x)=y, де \xi,\eta – поточні координати точки дотичної.

За визначенням, у відповідних точках х є постійним, а y змінним. Беручи будь-які дві дотичні до ліній C_alpha у відповідних точках, для координат точки S їх перетину, отримуємо

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

Звідси видно, що всі дотичні до кривих C_alpha у відповідних точках (x фіксовано) перетинаються в одній і тій же точці

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right).

Виключаючи в системі аргумент x, отримуємо рівняння геометричного місця точок S \colon f(\xi, \eta) = 0.

Приклад 6.Знайти рішення рівняння y"-y=\cos(x)-\sin(x), що відповідає умові: y обмежено при y\to+\infty .

Рішення.Загальне рішення даного рівняння y = Ce ^ x + \ sin (x) . Будь-яке рішення рівняння, одержуване із загального рішення при C\ne0 буде необмежено, так як при x\to+\infty функція \sin(x) обмежена, а e^x\to+\infty . Звідси випливає, що це рівняння має єдине рішення y=\sin(x) , обмежене при x\to+\infty , яке виходить із загального рішення при C=0 .

Рівняння Бернуллі

Диференціальне рівняння Бернуллімає вигляд

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, де n \ ne0; 1 (при n = 0 і n = 1 це рівняння є лінійним).

За допомогою заміни змінної z=\frac(1)(y^(n-1))рівняння Бернуллі наводиться до лінійного рівняння та інтегрується як лінійне.

Приклад 7.Розв'язати рівняння Бернуллі y"-xy=-xy^3 .

Рішення.Ділимо обидві частини рівняння на y^3:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Робимо заміну змінної \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", звідки \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Після підстановки останнє рівняння звернеться до лінійного рівняння

-\frac(z")(2)-xz=-xабо z"+2xz=2x , загальне рішення якого z=1+Ce^(-x^2).

Звідси отримуємо загальний інтеграл цього рівняння

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)або y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Зауваження.Рівняння Бернуллі може бути проінтегровано також методом постійної варіації, як і лінійне рівняння, і за допомогою підстановки y(x)=u(x)v(x) .

Приклад 8.Розв'язати рівняння Бернуллі xy"+y=y^2\ln(x). .

Рішення.Застосуємо метод варіації довільної постійної. Загальне рішення відповідного однорідного рівняння xy"+y=0 має вигляд y=\frac(C)(x) . Загальне рішення рівняння шукаємо у вигляді y=\frac(C(x))(x) , де C(x) - нова невідома функція Підставляючи вихідне рівняння, будемо мати

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

Для знаходження функції C(x) отримаємо рівняння з змінними, що розділяються, з якого, розділяючи змінні та інтегруючи, знайдемо

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+ln(x)).

Отже, загальне рішення вихідного рівняння y=\frac(1)(1+Cx+ln(x)).

Деякі нелінійні рівнянняпершого порядку за допомогою вдало знайденої заміни змінних зводяться до лінійним рівняннямчи до рівнянь Бернуллі.

Приклад 9.Вирішити рівняння y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Рішення.Запишемо це рівняння у вигляді y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Ділячи обидві частини рівняння на 2\cos^2\frac(y)(2), отримуємо \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\operatorname(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Заміна \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))наводить це рівняння до лінійного \frac(dz)(dx)+z=-x, Загальне рішення якого z = 1-x + Ce ^ (-x) .

Замінюючи z його виразом через y , отримуємо загальний інтеграл даного рівняння \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

У деяких рівняннях потрібна функція y(x) може бути під знаком інтеграла. У цих випадках іноді вдається шляхом диференціювання звести дане рівняння до диференціального.

приклад 10.Вирішити рівняння x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Рішення.Диференціюючи обидві частини цього рівняння по x, отримуємо

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x)або Джерело інформації

Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку
та рівняння Бернуллі

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, лінійне щодо невідомої функції та її похідної. Воно має вигляд

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

де p(x) і q(x) - задані функції від x безперервні в тій області, в якій потрібно проінтегрувати рівняння (1).

Якщо q(x)\equiv0 то рівняння (1) називається лінійним однорідним. Воно є рівнянням з змінними, що розділяються, і має загальне рішення

y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Загальне рішення неоднорідного рівняння можна знайти методом варіації довільної постійної, який полягає в тому, що рішення рівняння (1) шукається у вигляді

y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)де C(x) - нова невідома функція від x .

приклад 1.Вирішити рівняння y"+2xy=2xe^(-x^2).

Рішення.Застосуємо метод постійної варіації. Розглянемо однорідне рівняння y"+2xy=0 , відповідне даному неоднорідному рівнянню. Це рівняння з змінними, що розділяються. Його загальне рішення має вигляд y=Ce^(-x^2) .

Загальне рішення неоднорідного рівняння шукаємо як y=C(x)e^(-x^2) , де C(x) - невідома функція від x . Підставляючи, отримуємо C"(x)=2x, звідки C(x)=x^2+C. Отже, загальне рішення неоднорідного рівняння буде y=(x^2+C)e^(-x^2)де C - постійна інтеграція.

Зауваження.Може виявитися, що диференціальне рівняння лінійно щодо x як функція y . Нормальний вигляд такого рівняння

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

приклад 2.Вирішити рівняння \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+sin2y).

Рішення.Це рівняння є лінійним, якщо розглядати x як функцію від y :

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Застосовуємо метод варіації довільної постійної. Спочатку вирішуємо відповідне однорідне рівняння

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

яке є рівнянням з змінними, що розділяються. Його загальне рішення має вигляд x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

Загальне рішення рівняння шукаємо у вигляді , де C(y) - невідома функція від y. Підставляючи, отримуємо

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yабо C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Звідси, інтегруючи частинами, матимемо

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(aligned)

C(y)=-2e^(-sin(y))(1+sin(y))+C.

Підставляючи це рівняння в x=C(y)e^(\sin(y)), Отримуємо загальне рішення вихідного рівняння, а значить, і даного рівняння:

x=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Вихідне рівняння може бути проінтегроване так. Вважаємо

y=u(x)v(x),

де u(x) і v(x) - невідомі функції від x одна з яких, наприклад v(x) може бути обрана довільно.

Підставляючи y=u(x)v(x) , після перетворення отримуємо

vu"+(pv+v")u=q(x).

Визначаючи v(x) з умови v"+pv=0, знайдемо потім з vu"+(pv+v")u=q(x)функцію u(x) , а отже, і розв'язання y=uv рівняння \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Як v(x) можна взяти будь-яке часте рішення рівняння v"+pv=0,~v\not\equiv0.

приклад 3.Вирішити завдання Коші: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Рішення.Шукаємо загальне рішення рівняння у вигляді y = u (x) v (x); маємо y"=u"v+uv" . Підставляючи вираз для y і y" у вихідне рівняння, матимемо

x(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)або x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Функцію v=v(x) знаходимо з умови x(x-1)v"+v=0 . Беручи будь-яке окреме рішення останнього рівняння, наприклад v=\frac(x)(x-1) , і підставляючи його, отримуємо рівняння u"=2x-1, з якого знаходимо функцію u(x)=x^2-x+C . Отже, загальне рішення рівняння x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)буде

y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),або y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Використовуючи початкову умову y|_(x=2)=4 отримуємо для знаходження C рівняння 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, звідки C = 0; так що розв'язанням поставленої задачі Коші буде функція y=x^2.

приклад 4.Відомо, що між силою струму i і електрорушійною силою E ланцюга, що має опір R і самоіндукцію L існує залежність E=Ri+L\frac(di)(dt)де R і L - постійні. Якщо вважати E функцією часу t, то отримаємо лінійне неоднорідне рівняння для сили струму i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Знайти силу струму i(t) для випадку, коли E=E_0=\text(const)та i(0)=I_0 .

Рішення.Маємо \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Загальне рішення цього рівняння маємо вигляд i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Використовуючи початкову умову (13), отримуємо з C=I_0-frac(E_0)(R), так що шукане рішення буде

i(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

Звідси видно, що з t\to+\infty сила струму i(t) прагне постійного значення \frac(E_0)(R) .

Приклад 5.Дано сімейство C_alpha інтегральних кривих лінійного неоднорідного рівняння y"+p(x)y=q(x) .

Показати, що дотичні у відповідних точках до кривих C_alpha , що визначається лінійним рівнянням, перетинаються в одній точці (рис. 13).

Рішення.Розглянемо дотичну до будь-якої кривої C_\alpha в точці M(x,y).

\eta-q(x)(\xi-x)=y, де \xi,\eta – поточні координати точки дотичної.

За визначенням, у відповідних точках х є постійним, а y змінним. Беручи будь-які дві дотичні до ліній C_alpha у відповідних точках, для координат точки S їх перетину, отримуємо

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

Звідси видно, що всі дотичні до кривих C_alpha у відповідних точках (x фіксовано) перетинаються в одній і тій же точці

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right).

Виключаючи в системі аргумент x, отримуємо рівняння геометричного місця точок S \colon f(\xi, \eta) = 0.

Приклад 6.Знайти рішення рівняння y"-y=\cos(x)-\sin(x), що відповідає умові: y обмежено при y\to+\infty .

Рішення.Загальне рішення даного рівняння y = Ce ^ x + \ sin (x) . Будь-яке рішення рівняння, одержуване із загального рішення при C\ne0 буде необмежено, так як при x\to+\infty функція \sin(x) обмежена, а e^x\to+\infty . Звідси випливає, що це рівняння має єдине рішення y=\sin(x) , обмежене при x\to+\infty , яке виходить із загального рішення при C=0 .

Рівняння Бернуллі

Диференціальне рівняння Бернуллімає вигляд

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, де n \ ne0; 1 (при n = 0 і n = 1 це рівняння є лінійним).

За допомогою заміни змінної z=\frac(1)(y^(n-1))рівняння Бернуллі наводиться до лінійного рівняння та інтегрується як лінійне.

Приклад 7.Розв'язати рівняння Бернуллі y"-xy=-xy^3 .

Рішення.Ділимо обидві частини рівняння на y^3:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Робимо заміну змінної \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", звідки \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Після підстановки останнє рівняння звернеться до лінійного рівняння

-\frac(z")(2)-xz=-xабо z"+2xz=2x , загальне рішення якого z=1+Ce^(-x^2).

Звідси отримуємо загальний інтеграл цього рівняння

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)або y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Зауваження.Рівняння Бернуллі може бути проінтегровано також методом постійної варіації, як і лінійне рівняння, і за допомогою підстановки y(x)=u(x)v(x) .

Приклад 8.Розв'язати рівняння Бернуллі xy"+y=y^2\ln(x). .

Рішення.Застосуємо метод варіації довільної постійної. Загальне рішення відповідного однорідного рівняння xy"+y=0 має вигляд y=\frac(C)(x) . Загальне рішення рівняння шукаємо у вигляді y=\frac(C(x))(x) , де C(x) - нова невідома функція Підставляючи вихідне рівняння, будемо мати

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

Для знаходження функції C(x) отримаємо рівняння з змінними, що розділяються, з якого, розділяючи змінні та інтегруючи, знайдемо

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+ln(x)).

Отже, загальне рішення вихідного рівняння y=\frac(1)(1+Cx+ln(x)).

Деякі нелінійні рівняння першого порядку за допомогою вдало знайденої заміни змінних зводяться до лінійних рівнянь або рівнянь Бернуллі.

Приклад 9.Вирішити рівняння y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Рішення.Запишемо це рівняння у вигляді y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Ділячи обидві частини рівняння на 2\cos^2\frac(y)(2), отримуємо \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\operatorname(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Заміна \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))наводить це рівняння до лінійного \frac(dz)(dx)+z=-x, Загальне рішення якого z = 1-x + Ce ^ (-x) .

Замінюючи z його виразом через y , отримуємо загальний інтеграл даного рівняння \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

У деяких рівняннях потрібна функція y(x) може бути під знаком інтеграла. У цих випадках іноді вдається шляхом диференціювання звести дане рівняння до диференціального.

приклад 10.Вирішити рівняння x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Рішення.Диференціюючи обидві частини цього рівняння по x, отримуємо

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x)або \int\limits_(0)^(x)y(t)\,dx=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x^2y(x).

Диференціюючи ще раз по x, матимемо лінійне однорідне рівняння щодо y(x)\colon

y(x)=xy(x)+x^2y"(x)+2xy(x)або x^2y"(x)+(3x-1)y(x)=0.

Розділяючи змінні та інтегруючи, знайдемо y=\frac(C)(x^3)e^(-1/x). Це рішення, як легко перевірити, задовольняє вихідне рівняння.

Рівняння виду y' + Р(х)у = Q(x), де Р(х) і Q(x) – відомі функції від х, лінійні щодо функції у та її похідної y', називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.

Якщо q(x)=0, рівняння називається лінійним однорідним рівнянням. q(x)=0 – лінійне неоднорідне рівняння.

Лінійне рівняння наводиться до двох рівнянь з змінними, що розділяються, за допомогою підстановки у = u*v, де u = u(х) і v = v(x) – деякі допоміжні безперервні функції.

Отже, у = u*v, у' = u'*v + u * v' (1),

тоді вихідне рівняння перепишемо у вигляді: u * v + u * v ' + Р (х) * v = Q (x) (2).

Так як невідома функція шукається у вигляді добутку двох функцій, то одна з них може бути обрана довільно, інша - визначатися рівнянням (2).

Виберемо так, щоб v' + Р(х) * v = 0(3). Для цього достатньо, щоб v(x) була приватним рішенням рівняння (3) (при = 0). Знайдемо це рішення:

V * P (x); = -; ln | v | = -; v = (4)

Підставляючи функцію (4) в рівняння (2), отримаємо друге рівняння з змінними, що розділяються, з якого знаходимо функцію u(x):

u' * = Q(x); du = Q(x) *; u = + C (5)

Остаточно отримуємо:

y(x) = u(x)*v(x) = *( +C)

Рівняння Бернуллі:y’ + y = x* y 3

Це рівняння має вигляд: y' + Р(х)*у = y'' * Q(x), де Р(х) і Q(x) – безперервні функції.

Якщо n = 0, то рівняння Бернуллі стає лінійним дифф.рівнянням. Якщо n = 1, рівняння перетворюється на рівняння з змінними, що розділяються.

У випадку, коли n ≠ 0, 1, ур. Бернуллі зводиться до лінійного дифф.равнению з допомогою підстановки: z = y 1- n

Нове дифф.равнение для ф-ции z(x) має вигляд: z" + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) і може бути вирішене тими ж способами, що і лінійні дифф. .Рівняння 1-го порядку.

20. Диференціальні рівняння вищих систем.

Розглянемо рівняння, що не містять функції у явному вигляді:

Порядок цього рівняння знижується на одиницю за допомогою підстановки:

Справді, тоді:

І ми отримали рівняння, в якому порядок знижено на одиницю:

Діфф. рівняння порядку вище другого мають вигляд і , де - дійсні числа, а функція f(x)безперервна на інтервалі інтегрування X.

Аналітично вирішити такі рівняння які завжди можливо і зазвичай використовують наближені методи. Однак у деяких випадках можна знайти загальне рішення.

Теорема.

Загальним рішенням y 0 лінійного однорідного диференціального рівняння на інтервалі Xз безперервними коефіцієнтами на Xє лінійна комбінація nлінійно незалежних приватних рішень ЛОДУ з довільними постійними коефіцієнтами , тобто .

Теорема.

Загальне рішення yлінійного неоднорідного диференціального

рівняння на інтервалі Xз безперервними на тому ж

проміжку Xкоефіцієнтами та функцією f(x)являє собою суму,

де y 0 - загальне рішення відповідного ЛОДУ, а - якесь приватне рішення вихідного ЛНДУ.

Таким чином, загальне рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння з постійними

коефіцієнтами шукаємо у вигляді , де - якесь

його приватне рішення, а – загальне рішення відповідного однорідного диференціального

рівняння.

21. Випробування та події. Види подій. приклади.

Випробування – створення певного комплексу умов здійснення подій. Приклад: кидання гральної кістки

Подія - поява\непоява того чи іншого результату випробування; результат випробування. Приклад: випадання 2

Випадкова подія – подія, яка може статися або не статися під час цього випробування. Приклад: випадання числа більшого ніж 5

Достовірне - подія, яка неминуче відбувається при цьому випробуванні. Приклад: випадання числа більшого або рівного 1

Можлива подія, яка може статися при даному випробуванні. Приклад: випадання 6

Неможливе – подія, яка може статися при цьому випробуванні. Приклад: випадання 7

Нехай А – певна подія. Під подією, протилежною йому, будемо розуміти подію, яка перебуває у ненастанні події А. Позначення: Ᾱ. Приклад: А – випадання числа 2, Ᾱ - випадання будь-якого іншого числа

Події А і В несумісні, якщо наступ одного з них виключає наступ іншого в тому самому випробуванні. Приклад: випадання при одному кидку чисел 1 та 3.

Події А та В називаються спільними, якщо вони можуть з'явитися в одному випробуванні. Приклад: випадання при одному кидку числа, більшого, ніж 2, та числа 4.

22. Повна група подій. приклади.

Повна група подій - події A, B, C, D, ..., L, які прийнято вважати єдино можливими, якщо в результаті кожного випробування хоча б одне з них обов'язково настане. Приклад: випадання на гральній кістці числа 1, числа 2, 3, 4, 5, 6.

23. Частота події. Статистичне визначення імовірності.

Нехай проведено n випробувань, причому подія А настала m разів. Таке відношення m:n є частотою настання події А.

Опр. Імовірність випадкової події – пов'язане з цією подією постійне число, навколо якого коливається частота настання цієї події у довгих серіях випробувань.

Імовірність обчислюється до досвіду, а частота після нього.

24. Класичне визначення імовірності. Властивості ймовірності події.

Імовірністю події х називається відношення числа наслідків, що сприяють події А, до загальному числувсіх рівноможливих попарно несумісних і єдино можливих наслідків досвіду. Р(А) =

Властивості ймовірності події:

Для будь-якої події А 0<=m<=n

Розділивши кожен член на n, отримаємо для ймовірності будь-якої події А: 0<=Р(А) <=1

Якщо m=0, то подія неможлива: Р(А)=0

Якщо m=n, подія достовірно: Р(А)=1

Якщо m

25. Геометричне визначення ймовірності. приклади.

Класичне визначення ймовірності вимагає розгляду кінцевого числа елементарних результатів, причому рівноможливих. Але на практиці часто зустрічаються випробування, кількість можливих наслідків яких нескінченна.

Опр. Якщо точка випадковим чином з'являється одновимірною\ двовимірно\ або 3х мірної області міри S (міра - її довжина, площа або об'єм) то ймовірність її появи в частині цієї області міри S дорівнює

де S – геометрична міра, що виражає загальне число всіх можливих та рівноможливихрезультатів даного випробування, а S i– міра, що виражає кількість сприятливих події A результатів.

приклад 1.Коло радіусом R вміщене менший круг радіусом р. Знайти ймовірність того, що точка, навмання кинута у більший круг, потрапить також і в малий круг.

приклад 2.Нехай відрізок довжиною l включається у відрізок довжиною L. Знайти ймовірність події А «навдачу покинута точка потрапила на відрізок довжиною l».

Приклад 3. У колі довільно вибирається крапка. Яка ймовірність того, що її відстань до центру кола більше половини?

приклад 4.Двоє осіб і домовилися зустрітися в певному місці між двома та трьома годинами дня. Прийшовши першим чекає іншого протягом 10 хвилин, після чого йде. Чому дорівнює ймовірність зустрічі цих осіб, якщо кожен з них може прийти будь-коли протягом зазначеної години незалежно від іншої?

26. Елементи комбінаторики: Розміщення, перестановка, поєднання.

1) Перестановкоюназивається встановлений у кінцевій множині порядок.

Число всіх різних перестановок обчислюється за формулою

2) Розміщеннямз nелементів по mназивається всяке упорядковане підмножина основної множини, що містить m елементів.

3) Поєднаннямз nелементів по mназивається всяке невпорядковане підмножина основної множини, що містить елементів.

Диференціальне рівняння Бернуллі - це рівняння виду:
де n ≠ 0 , n ≠ 1 , p та q - функції від x.

Рішення диференціального рівняння Бернуллі приведенням до лінійного рівняння

Розглянемо диференціальне рівняння Бернуллі:
(1) ,
де n ≠ 0 , n ≠ 1 , p та q - функції від x.
Розділимо його на yn. За y ≠ 0 або n< 0 маємо:
(2) .
Це рівняння зводиться до лінійного за допомогою заміни змінної:
.
Покажемо це. За правилом диференціювання складної функції:
;
.
Підставимо в (2) і перетворюємо:
;
.
Це - лінійне, щодо z, диференціальне рівняння. Після його вирішення при n > 0 слід розглянути випадок y = 0 . При n> 0 , y = 0 також є рішенням рівняння (1) і має входити у відповідь.

Рішення методом Бернуллі

Розглянуте рівняння (1) також можна вирішити методом Бернуллі. Для цього шукаємо рішення вихідного рівняння у вигляді виконання двох функцій:
y = u·v ,
де u та v - функції від x. Диференціюємо по x:
y = u v + u v .
Підставляємо у вихідне рівняння (1) :
;
(3) .
Як v візьмемо будь-яке, відмінне від нуля, рішення рівняння:
(4) .
Рівняння (4) - Це рівняння з змінними, що розділяються. Вирішуємо його та знаходимо приватне рішення v = v (x). Підставляємо приватне рішення у (3) . Оскільки воно задовольняє рівняння (4) , то вираз у круглих дужках звертається в нуль. Отримуємо:
;
.
Тут v - вже відома функція від x. Це рівняння з змінними, що розділяються. Знаходимо його загальне рішення, а разом із і рішення вихідного рівняння y = uv .

Приклад розв'язання диференціального рівняння Бернуллі

Вирішити рівняння

Рішення

На перший погляд здається, що це диференціальне рівняння не схоже на рівняння Бернуллі. Якщо вважати x незалежною змінною, а y – залежною (тобто якщо y – це функція від x), то це так. Але якщо вважати y незалежною змінною, а x – залежною, то легко побачити, що це – рівняння Бернуллі.

Отже, вважаємо, що x є функцією від y . Підставимо і помножимо на:
;
;
(П.1) .
Це – рівняння Бернуллі з n = 2 . Воно відрізняється від розглянутого вище, рівняння (1) , тільки позначення змінних (x замість y ). Вирішуємо методом Бернуллі. Робимо підстановку:
x = u v ,
де u та v - функції від y. Диференціюємо по y:
.
Підставимо в (П.1):
;
(П.2) .
Шукаємо будь-яку, відмінну від нуля функцію v (y), що задовольняє рівняння:
(П.3) .
Розділяємо змінні:
;
;
.
Покладемо C = 0 оскільки нам потрібне будь-яке рішення рівняння (П.3).
;
.
Підставимо в (П.2)враховуючи, що вираз у дужках дорівнює нулю (через (П.3)):
;
;
.
Розділяємо змінні. При u ≠ 0 маємо:
;
(П.4) ;
.
У другому інтегралі робимо підстановку:
;
.

Диференційне рівняння y" + a 0 (x) y = b (x) y n називається рівнянням Бернуллі.
Так як при n = 0 виходить лінійне рівняння, а при n = 1 - з змінними, що розділяються, то припустимо, що n ≠ 0 і n ≠ 1. Розділимо обидві частини (1) на y n . Тоді Поклавши, маємо. Підставляючи цей вираз, отримаємо , або, що саме, z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). Це лінійне рівняння, яке ми вирішувати вміємо.

Призначення сервісу. Онлайн калькулятор можна використовувати для перевірки рішення диференціальних рівнянь Бернуллі.

=

приклад 1 . Знайти загальне рішення рівняння y" + 2xy = 2xy 3 . Це рівняння Бернуллі при n = 3. Розділивши обидві частини рівняння на y 3 отримуємо Робимо заміну Тоді і тому рівняння переписується у вигляді -z" + 4xz = 4x. Вирішуючи це рівняння методом варіації довільної постійної звідки або, що те саме, .

Приклад 2 . y"+y+y 2 =0
y"+y = -y 2

Розділимо на y 2
y"/y 2 + 1/y = -1

Робимо заміну:
z=1/y n-1, тобто. z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z"=-y"/y 2

Отримуємо: -z" + z = -1 або z" - z = 1

Приклад 3 . xy'+2y+x 5 y 3 e x =0
Рішення.
а) Рішення через рівняння Бернуллі.
Подаємо у вигляді: xy'+2y=-x 5 y 3 e x . Це рівняння Бернуллі при n=3. Розділивши обидві частини рівняння на y 3 отримуємо: xy"/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x . Робимо заміну: z=1/y 2 . Тоді z"=-2/y 3 і тому рівняння переписується у вигляді : -xz"/2+2z=-x 5 e x . Це неоднорідне рівняння. Розглянемо відповідне однорідне рівняння: -xz"/2+2z=0
1. Вирішуючи його, отримуємо: z"=4z/x

Інтегруючи, отримуємо:
ln(z) = 4ln(z)
z = x 4 . Шукаємо тепер рішення вихідного рівняння у вигляді: y(x) = C(x)x 4 , y"(x) = C(x)"x 4 + C(x)(x 4)"
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)" x 5 /2 = -x 5 e x або C(x)" = 2e x . Інтегруючи, отримуємо: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
З умови y(x)=C(x)y отримуємо: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) або y = Cx 4 +2x 4 e x . Оскільки z=1/y 2 то отримаємо: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x