Розкладання функцій у статечні ряди. Розкладання функції до ряду тейлору, маклорену, лорану

Розкладання функції в ряд Тейлора, Маклорена та Лорана на сайт для тренування практичних навичок. Це розкладання функції у ряд дає уявлення математикам оцінити наближене значення функції у певній точці області її визначення. Набагато простіше обчислити таке значення функції, порівняно із застосуванням таблиці Бредіса, так неактуальною у вік обчислювальної техніки. У ряд Тейлора розкласти функцію означає обчислити коефіцієнти перед лінійними функціямицього ряду і записати це в правильному вигляді. Плутають студенти ці два ряди, не розуміючи, що є загальним випадком, А що окремим випадком другого. Нагадуємо раз і назавжди, ряд Маклорена - окремий випадокТейлорівського ряду, тобто це і є ряд Тейлора, але в точці x = 0. Всі короткі записи розкладання відомих функцій, таких як e^x, Sin(x), Cos(x) та інші, це і є розкладання в ряд Тейлора але в точці 0 для аргументу. Для функцій комплексного аргументу ряд Лоран є найчастішим завданням у ТФКП, оскільки представляє двосторонній нескінченний ряд. Він є сумою двох рядів. Ми пропонуємо вам переглянути приклад розкладання прямо на сайті сайт, це зробити дуже просто, натиснувши на "Приклад" з будь-яким номером, а потім кнопку "Рішення". Саме такому розкладанню функції в ряд зіставлений ряд, що мажорує, що обмежує функцію вихідну в деякій області по осі ординат, якщо змінна належить області абсцис. Векторний аналізпоставляється для порівняння інша цікава дисципліна в математиці. Оскільки досліджувати потрібно кожне доданок, необхідно досить багато часу на процес. Будь-якому ряду Тейлора можна порівняти ряд Маклорена, замінивши x0 на нуль, тоді як по ряду Маклорена часом очевидно уявлення ряду Тейлора назад. Як би це і не потрібно робити в чистому виглядіАле цікаво для загального саморозвитку. Кожному ряду Лорана відповідає двосторонній нескінченний статечний рядза цілими ступеням z-a, Тобто ряд типу того ж Тейлора, але трохи відрізняється обчисленням коефіцієнтів. Про область збіжності низки Лорана розповімо трохи згодом, після кількох теоретичних викладок. Як і в минулому столітті, поетапного розкладання функції в ряд навряд чи можна досягти лише приведенням доданків до спільному знаменнику, оскільки функції у знаменниках нелінійні. Наближене обчислення функціонального значення потребує встановлення завдань. Задумайтеся над тим, що коли аргумент ряду Тейлора є лінійна змінна, то розкладання відбувається в кілька дій, але зовсім інша картина, коли в якості аргументу функції, що розкладається, виступає складна або нелінійна функція, тоді очевидний процес представлення такої функції в статечний ряд, оскільки, таким чином, легко обчислити, нехай і наближене, але значення в будь-якій точці області визначення з мінімальною похибкою, що мало впливає на подальші розрахунки. Це стосується й низки Маклорена. коли необхідно обчислити функцію в нульовій точці. Однак сам ряд Лорана тут представлений розкладанням на площині з уявними одиницями. Також не без успіху буде правильне рішеннязавдання у ході загального процесу. У математиці такого підходу не знають, але він існує об'єктивно. В результаті ви можете дійти висновку так званих крапкових підмножин, і в розкладанні функції в ряд потрібно застосовувати відомі для цього процесу методи, такі як теорія похідних. Зайвий раз переконуємось у правоті вчителя, який зробив свої припущення з приводу підсумків пост обчислювальних викладок. Давайте відзначимо, що ряд Тейлора, отриманий за всіма канонами математики, існує і визначений на всій числовій осі, однак, шановні користувачі сервісу сайт, не забувайте про вид вихідної функції, адже може вийти так, що спочатку необхідно встановити область визначення функції, тобто виписати та виключити з подальших розглядів ті точки, за яких функція не визначена в ділянці дійсних чисел. Це покаже вашу спритність при вирішенні завдання. Не винятком висловленого буде й побудова низки Маклорена з нульовим значенням аргументу. Процес знаходження області визначення функції ніхто при цьому не скасовував, і ви повинні підійти з усією серйозністю до цього математичної дії. У разі змісту поруч Лорана головної частини, параметр "a" називатиметься ізольованою особливою точкою, і ряд Лорана буде розкладений у кільці - це перетин областей збіжності його частин, звідси слідуватиме відповідна теорема. Але не все так складно, як може здатися на перший погляд недосвідченому студенту. Вивчивши якраз ряд Тейлора, можна легко зрозуміти ряд Лорана - узагальнений випадок розширення простору чисел. Будь-яке розкладання функції в ряд можна проводити лише у точці області визначення функції. Слід враховувати властивості таких функцій, наприклад, як періодичність чи нескінченна диференційність. Також пропонуємо вам скористатися таблицею готових розкладів у ряд Тейлора елементарних функцій, оскільки одна функція може бути представлена ​​до десятків відмінних від один одного статечних рядів, що можна бачити із застосування нашого калькулятора онлайн. Онлайн рядМаклорена простіше визначити, якщо скористатися унікальним сервісом сайт, вам достатньо тільки ввести правильну записану функцію і подану відповідь отримаєте в лічені секунди, вона буде гарантовано точним і в стандартно записаному вигляді. Можете переписати результат одразу в чистовик на здачу викладачеві. Правильно спочатку визначити аналітичність розглянутої функції в кільцях, а потім однозначно стверджувати, що вона розкладена в ряд Лорана у всіх таких кільцях. Важливий момент щоб не випустити з виду членів ряду Лорана, що містять негативних ступенів. На цьому зосередьтеся якнайсильніше. Використовуйте теорему Лорана про розкладання функції в ряд за цілими ступенями.

Серед функціональних рядів найважливіше місце займають статечні ряди.

Ступіньним рядом називають ряд

члени якого – статечні функції, розташовані за зростаючим цілим невід'ємним ступенем x, а c 0 , c 1 , c 2 , c n – постійні величини. Числа c 1 , c 2 , c n - коефіцієнти членів ряду, c 0 – вільний член. Члени статечного ряду визначені на всій числовій прямій.

Ознайомимося із поняттям області збіжності статечного ряду.Це безліч значень змінної xдля яких ряд сходиться. Ступінні ряди мають досить просту область збіжності. Для дійсних значень змінної xобласть збіжності складається з однієї точки, або є деяким інтервалом (інтервалом збіжності), або збігається з усією віссю Ox .

При підстановці в степеневий ряд значення x= 0 вийде числовий ряд

c 0 +0+0+...+0+... ,

що сходиться.

Отже, при x= 0 сходиться будь-який статечний ряд і, отже, область його збіжностіне може бути порожнім безліччю. Структура області збіжності всіх статечних рядів однакова. Її можна встановити за допомогою наступної теореми.

Теорема 1 (теорема Абеля). Якщо статечний ряд сходиться при певному значенні x = x 0 , відмінному від нуля, він сходиться, і до того ж абсолютно, за всіх значеннях | x| < |x 0 | . Зверніть увагу: і відправне значення "ікс нульове" та будь-яке значення "ікса", яке порівнюється з відправним, взяті за модулем - без урахування знака.

Слідство. Якщо статечний ряд розходитьсяпри деякому значенні x = x 1 , він розходиться і за всіх значеннях | x| > |x 1 | .

Як ми вже з'ясували раніше, будь-який статечний ряд сходиться при значенні x= 0. Є статечні ряди, які сходяться тільки за x= 0 і розходяться за інших значеннях х. Виключаючи з розгляду цей випадок, припустимо, що статечний ряд сходиться при деякому значенні x = x 0, відмінному від нуля. Тоді, за теоремою Абеля, він сходить у всіх точках інтервалу ]-| x 0 |, |x 0 |[ (інтервалу, лівою та правою межами якого є значення ікса, при якому статечний ряд сходиться, взяті відповідно зі знаком мінус та зі знаком плюс), симетричного щодо початку координат.

Якщо ж статечний ряд розходиться за деякого значення x = x 1, то на підставі слідства з теореми Абеля він розходиться і в усіх точках поза відрізком [-| x 1 |, |x 1 |]. Звідси випливає, що для будь-якого статечного ряду є інтервал , симетричний щодо початку координат, званий інтервалом збіжності, у кожній точці якого ряд сходиться, на межах може сходитися, а може і розходитися, причому не обов'язково одночасно, а поза відрізком ряд розходиться. Число Rназивається радіусом збіжності статечного ряду.

У окремих випадках інтервал збіжності статечного рядуможе вироджуватися в крапку (тоді ряд сходиться тільки за x= 0 і вважається, що R= 0) або являти собою всю числову пряму (тоді ряд сходить у всіх точках числової прямої і вважається, що).

Таким чином, визначення області збіжності статечного ряду полягає у визначенні його радіусу збіжності Rта дослідженні збіжності низки на межах інтервалу збіжності (при ).

Теорема 2. Якщо всі коефіцієнти статечного ряду, починаючи з деякого, відмінні від нуля, його радіус збіжності дорівнює межі при відношенні абсолютних величинкоефіцієнтів загального наступного його членів низки, тобто.

Приклад 1. Знайти область збіжності статечного ряду

Рішення. Тут

Використовуючи формулу (28), знайдемо радіус збіжності цього ряду:

Досліджуємо збіжність ряду на кінцях інтервалу збіжності. У прикладі 13 показано, що даний рядсходиться за x= 1 і розходиться за x= -1. Отже, областю збіжності є напівінтервал .

Приклад 2. Знайти область збіжності статечного ряду

Рішення. Коефіцієнти ряду позитивні, причому

Знайдемо межу цього, тобто. радіус збіжності статечного ряду:

Досліджуємо збіжність ряду на кінцях інтервалу. Підстановка значень x= -1/5 та x= 1/5 у цей ряд дає:

Перший із цих рядів сходиться (див. приклад 5). Але тоді з теореми параграфа «Абсолютна збіжність» сходиться і другий ряд, а область його збіжності – відрізок

Приклад 3. Знайти область збіжності статечного ряду

Рішення. Тут

За формулою (28) знаходимо радіус збіжності ряду:

Досліджуємо збіжність ряду при значеннях. Підставивши їх у цей ряд, відповідно отримаємо

Обидва ряди розходяться, тому що не виконується необхідна умовазбіжності (їх загальні члени не прагнуть нуля при ). Отже, обох кінцях інтервалу збіжності цей ряд розходиться, а область його збіжності – інтервал .

Приклад 5. Знайти область збіжності статечного ряду

Рішення. Знаходимо відношення , де , :

Відповідно до формули (28) радіус збіжності даного ряду

,

тобто ряд сходиться тільки за x= 0 і розходиться за інших значеннях х.

Приклади показують, що на кінцях інтервалу збіжності ряди поводяться по-різному. У прикладі 1 одному кінці інтервалу збіжності ряд сходиться, але в іншому – розходиться, у прикладі 2 – обох кінцях сходиться, у прикладі 3 – обох кінцях розходиться.

Формула радіуса збіжності статечного ряду отримана у припущенні, що це коефіцієнти членів ряду, починаючи з деякого, відмінні від нуля. Тому застосування формули (28) припустимо лише у випадках. Якщо ця умова порушується, то радіус збіжності статечного ряду слід шукати за допомогою ознаки Даламбера, або, зробивши заміну змінною, перетворенням ряду до виду, в якому зазначена умова виконується.

Приклад 6. Знайти інтервал збіжності статечного ряду

Рішення. Цей ряд не містить членів з непарними ступенями х. Тому перетворимо ряд, вважаючи . Тоді отримаємо ряд

для знаходження радіусу збіжності якого можна застосувати формулу (28). Так як , а , то радіус збіжності цього ряду

З рівності отримуємо, отже, цей ряд сходиться на інтервалі.

Сума статечного ряду. Диференціювання та інтегрування статечних рядів

Нехай для статечного ряду

радіус збіжності R> 0, тобто. цей ряд сходиться на інтервалі.

Тоді кожному значенню хз інтервалу збіжності відповідає деяка сума низки. Отже, сума статечного ряду є функцією від хна інтервалі збіжності. Позначаючи її через f(x), можемо записати рівність

розуміючи його в тому сенсі, що сума ряду в кожній точці хз інтервалу збіжності дорівнює значенню функції f(x) у цій точці. У цьому ж сенсі говоритимемо, що статечний ряд (29) сходить до функції f(x) на інтервалі збіжності.

Поза інтервалом збіжності рівність (30) немає сенсу.

Приклад 7. Знайти суму суму статечного ряду

Рішення. Це геометричний ряд, у якого a= 1, а q= x. Отже, його сума є функцією . Ряд сходиться, якщо , а - його інтервал збіжності. Тому рівність

справедливо лише для значень, хоча функція визначено для всіх значень хкрім х= 1.

Можна довести, що сума статечного ряду f(x) безперервна та диференційована на будь-якому відрізку всередині інтервалу збіжності, зокрема в будь-якій точці інтервалу збіжності ряду.

Наведемо теореми про почленное диференціювання та інтегрування статечних рядів.

Теорема 1. Ступіньовий ряд (30) в інтервалі його збіжності можна почленно диференціювати необмежену кількість разів, причому статечні ряди, що виходять при цьому, мають той же радіус збіжності, що вихідний ряд, а суми їх відповідно рівні .

Теорема 2. Ступіньовий ряд (30) можна необмежену кількість разів почленно інтегрувати в межах від 0 до х, якщо , причому виходять при цьому статечні ряди мають той же радіус збіжності, що і вихідний ряд, а суми відповідно рівні

Розкладання функцій у статечні ряди

Нехай дана функція f(x), яку потрібно розкласти у статечний ряд, тобто. представити у вигляді (30):

Завдання полягає у визначенні коефіцієнтів ряду (30). Для цього, диференціюючи рівність (30) почленно, послідовно знайдемо:

……………………………………………….. (31)

Вважаючи в рівності (30) і (31) х= 0, знаходимо

Підставляючи знайдені вирази на рівність (30), отримаємо

(32)

Знайдемо розкладання до ряду Маклорена деяких елементарних функцій.

Приклад 8. Розкласти до ряду Маклорена функцію

Рішення. Похідні цієї функції збігаються із самою функцією:

Тому при х= 0 маємо

Підставляючи ці значення формулу (32), отримаємо шукане розкладання:

(33)

Цей ряд сходиться на всій числовій прямій (його радіус збіжності).

Як вставити математичні формулина сайт?

Якщо потрібно колись додавати одну-дві математичні формули на веб-сторінку, то найпростіше зробити це, як описано в статті: математичні формули легко вставляються на сайт у вигляді картинок, які автоматично генерує Вольфрам Альфа. Крім простоти, цей універсальний спосіб допоможе покращити видимість сайту пошукових системах. Він працює давно (і, гадаю, працюватиме вічно), але морально вже застарів.

Якщо ви постійно використовуєте математичні формули на своєму сайті, я рекомендую вам використовувати MathJax - спеціальну бібліотеку JavaScript, яка відображає математичні позначення у веб-браузерах з використанням розмітки MathML, LaTeX або ASCIIMathML.

Є два способи, як почати використовувати MathJax: (1) за допомогою простого коду можна швидко підключити до вашого сайту скрипт MathJax, який автоматично підвантажуватиметься з віддаленого сервера (список серверів); (2) завантажити скрипт MathJax з віддаленого сервера на свій сервер та підключити до всіх сторінок свого сайту. Другий спосіб – більш складний та довгий – дозволить прискорити завантаження сторінок вашого сайту, і якщо батьківський сервер MathJax з якихось причин стане тимчасово недоступним, це ніяк не вплине на ваш власний сайт. Незважаючи на ці переваги, я вибрав перший спосіб, як більш простий, швидкий і не потребує технічних навичок. Наслідуйте мій приклад, і вже через 5 хвилин ви зможете використовувати всі можливості MathJax на своєму сайті.

Підключити скрипт бібліотеки MathJax з віддаленого сервера можна за допомогою двох варіантів коду, взятого на головному сайті MathJax або на сторінці документації:

Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати і вставити в код вашої веб-сторінки, бажано між тегами або відразу після тега . За першим варіантом MathJax підвантажується швидше і менше гальмує сторінку. Натомість другий варіант автоматично відстежує та підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки завантажуватимуться повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.

Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі керування сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант завантаженого коду, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). Ось і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX та ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формули на веб-сторінки свого сайту.

Будь-який фрактал будується по певному правилу, Яке послідовно застосовується необмежену кількість разів. Щоразу називається ітерацією.

Ітеративний алгоритм побудови губки Менгера досить простий: вихідний куб зі стороною 1 ділиться площинами, що паралельні його граням, на 27 рівних кубів. З нього видаляються один центральний куб і 6 прилеглих до нього на грані кубів. Виходить безліч, що складається з 20 менших кубів, що залишилися. Поступаючи так само з кожним із цих кубів, отримаємо безліч, що складається вже з 400 менших кубів. Продовжуючи цей процес безкінечно, отримаємо губку Менгера.

Якщо функція f(x)має на деякому інтервалі, що містить точку а, похідні всіх порядків, то до неї може бути застосована формула Тейлора:

де r n- так званий залишковий член або залишок ряду, його можна оцінити за допомогою формули Лагранжа:

, де число x укладено між хі а.

Якщо для деякого значення х r n®0 при n®¥, то в межі формула Тейлора перетворюється для цього значення на схожий ряд Тейлора:

Таким чином, функція f(x)може бути розкладена в ряд Тейлора в точці, що розглядається х, якщо:

1) вона має похідні всіх порядків;

2) побудований ряд сходиться у цій точці.

При а=0 отримуємо ряд, званий поруч Маклорена:

Приклад 1 f(x)= 2x.

Рішення. Знайдемо значення функції та її похідних при х=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2 = ln2;

f¢¢(x) = 2x ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

f(n) (x) = 2x ln n 2, f(n) ( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.

Підставляючи отримані значення похідних формулу ряду Тейлора, отримаємо:

Радіус збіжності цього ряду дорівнює нескінченності, тому дане розкладання справедливе для -