Розкладання функції в статечний ряд. Розкладання функцій у статечні ряди

Серед функціональних рядів найважливіше місце займають статечні ряди.

Ступіньним рядом називають ряд

члени якого – статечні функції, розташовані за зростаючим цілим невід'ємним ступенями x, а c 0 , c 1 , c 2 , c n – постійні величини. Числа c 1 , c 2 , c n - коефіцієнти членів ряду, c 0 – вільний член. Члени статечного ряду визначені на всій числовій прямій.

Ознайомимося із поняттям області збіжності статечного ряду.Це безліч значень змінної xдля яких ряд сходиться. Ступінні ряди мають досить просту область збіжності. Для дійсних значень змінної xобласть збіжності складається або з однієї точки, або є деяким інтервалом (інтервалом збіжності), або збігається з усією віссю Ox .

При підстановці в степеневий ряд значення x= 0 вийде числовий ряд

c 0 +0+0+...+0+... ,

що сходиться.

Отже, при x= 0 сходиться будь-який статечний ряд і, отже, область його збіжностіне може бути порожнім безліччю. Структура області збіжності всіх статечних рядів однакова. Її можна встановити за допомогою наступної теореми.

Теорема 1 (теорема Абеля). Якщо статечний ряд сходиться при певному значенні x = x 0 , відмінному від нуля, він сходиться, і до того ж абсолютно, за всіх значеннях | x| < |x 0 | . Зверніть увагу: і відправне значення "ікс нульове" та будь-яке значення "ікса", яке порівнюється з відправним, взяті за модулем - без урахування знака.

Слідство. Якщо статечний ряд розходитьсяпри деякому значенні x = x 1 , він розходиться і за всіх значеннях | x| > |x 1 | .

Як ми вже з'ясували раніше, будь-який статечний ряд сходиться при значенні x= 0. Є статечні ряди, які сходяться тільки за x= 0 і розходяться за інших значеннях х. Виключаючи з розгляду цей випадок, припустимо, що статечний ряд сходиться при деякому значенні x = x 0, відмінному від нуля. Тоді, за теоремою Абеля, він сходить у всіх точках інтервалу ]-| x 0 |, |x 0 |[ (інтервалу, лівою та правою межами якого є значення ікса, при якому статечний ряд сходиться, взяті відповідно зі знаком мінус та зі знаком плюс), симетричного щодо початку координат.

Якщо ж статечний ряд розходиться за деякого значення x = x 1, то на підставі слідства з теореми Абеля він розходиться і в усіх точках поза відрізком [-| x 1 |, |x 1 |]. Звідси випливає, що для будь-якого статечного ряду є інтервал , симетричний щодо початку координат, званий інтервалом збіжності, у кожній точці якого ряд сходиться, на межах може сходитися, а може і розходитися, причому не обов'язково одночасно, а поза відрізком ряд розходиться. Число Rназивається радіусом збіжності статечного ряду.

У окремих випадках інтервал збіжності статечного рядуможе вироджуватися в крапку (тоді ряд сходиться тільки за x= 0 і вважається, що R= 0) або являти собою всю числову пряму (тоді ряд сходить у всіх точках числової прямої і вважається, що).

Таким чином, визначення області збіжності статечного ряду полягає у визначенні його радіусу збіжності Rта дослідженні збіжності низки на межах інтервалу збіжності (при ).

Теорема 2. Якщо всі коефіцієнти статечного ряду, починаючи з деякого, відмінні від нуля, його радіус збіжності дорівнює межі при відношенні абсолютних величинкоефіцієнтів загального наступного його членів низки, тобто.

Приклад 1. Знайти область збіжності статечного ряду

Рішення. Тут

Використовуючи формулу (28), знайдемо радіус збіжності цього ряду:

Досліджуємо збіжність ряду на кінцях інтервалу збіжності. У прикладі 13 показано, що даний рядсходиться за x= 1 і розходиться за x= -1. Отже, областю збіжності є напівінтервал .

Приклад 2. Знайти область збіжності статечного ряду

Рішення. Коефіцієнти ряду позитивні, причому

Знайдемо межу цього, тобто. радіус збіжності статечного ряду:

Досліджуємо збіжність ряду на кінцях інтервалу. Підстановка значень x= -1/5 та x= 1/5 у цей ряд дає:

Перший із цих рядів сходиться (див. приклад 5). Але тоді з теореми параграфа «Абсолютна збіжність» сходиться і другий ряд, а область його збіжності – відрізок

Приклад 3. Знайти область збіжності статечного ряду

Рішення. Тут

За формулою (28) знаходимо радіус збіжності ряду:

Досліджуємо збіжність ряду при значеннях. Підставивши їх у цей ряд, відповідно отримаємо

Обидва ряди розходяться, оскільки не виконується необхідна умова збіжності (їх спільні члени не прагнуть нуля при ). Отже, обох кінцях інтервалу збіжності цей ряд розходиться, а область його збіжності – інтервал .

Приклад 5. Знайти область збіжності статечного ряду

Рішення. Знаходимо відношення , де , :

Відповідно до формули (28) радіус збіжності даного ряду

,

тобто ряд сходиться тільки за x= 0 і розходиться за інших значеннях х.

Приклади показують, що на кінцях інтервалу збіжності ряди поводяться по-різному. У прикладі 1 одному кінці інтервалу збіжності ряд сходиться, але в іншому – розходиться, у прикладі 2 – обох кінцях сходиться, у прикладі 3 – обох кінцях розходиться.

Формула радіуса збіжності статечного ряду отримана у припущенні, що це коефіцієнти членів ряду, починаючи з деякого, відмінні від нуля. Тому застосування формули (28) припустимо лише у випадках. Якщо ця умова порушується, то радіус збіжності статечного ряду слід шукати за допомогою ознаки Даламбера, або, зробивши заміну змінною, перетворенням ряду до виду, в якому зазначена умова виконується.

Приклад 6. Знайти інтервал збіжності статечного ряду

Рішення. Цей ряд не містить членів з непарними ступенями х. Тому перетворимо ряд, вважаючи . Тоді отримаємо ряд

для знаходження радіусу збіжності якого можна застосувати формулу (28). Оскільки , а , то радіус збіжності цього ряду

З рівності отримуємо, отже, цей ряд сходиться на інтервалі.

Сума статечного ряду. Диференціювання та інтегрування статечних рядів

Нехай для статечного ряду

радіус збіжності R> 0, тобто. цей ряд сходиться на інтервалі.

Тоді кожному значенню хз інтервалу збіжності відповідає деяка сума низки. Отже, сума статечного ряду є функцією від хна інтервалі збіжності. Позначаючи її через f(x), можемо записати рівність

розуміючи його в тому сенсі, що сума ряду в кожній точці хз інтервалу збіжності дорівнює значенню функції f(x) у цій точці. У цьому ж сенсі говоритимемо, що статечний ряд (29) сходить до функції f(x) на інтервалі збіжності.

Поза інтервалом збіжності рівність (30) немає сенсу.

Приклад 7. Знайти суму суму статечного ряду

Рішення. Це геометричний ряд, у якого a= 1, а q= x. Отже, його сума є функцією . Ряд сходиться, якщо , а - його інтервал збіжності. Тому рівність

справедливо лише для значень, хоча функція визначено для всіх значень хкрім х= 1.

Можна довести, що сума статечного ряду f(x) безперервна та диференційована на будь-якому відрізку всередині інтервалу збіжності, зокрема в будь-якій точці інтервалу збіжності ряду.

Наведемо теореми про почленное диференціювання та інтегрування статечних рядів.

Теорема 1. Ступіньовий ряд (30) в інтервалі його збіжності можна почленно диференціювати необмежену кількість разів, причому статечні ряди, що виходять при цьому, мають той же радіус збіжності, що вихідний ряд, а суми їх відповідно рівні .

Теорема 2. Ступіньовий ряд (30) можна необмежену кількість разів почленно інтегрувати в межах від 0 до х, Якщо , причому виходять при цьому статечні ряди мають той же радіус збіжності, що і вихідний ряд, а суми їх відповідно дорівнюють

Розкладання функцій у статечні ряди

Нехай дана функція f(x), яку потрібно розкласти у статечний ряд, тобто. представити у вигляді (30):

Завдання полягає у визначенні коефіцієнтів ряду (30). Для цього, диференціюючи рівність (30) почленно, послідовно знайдемо:

……………………………………………….. (31)

Вважаючи в рівності (30) і (31) х= 0, знаходимо

Підставляючи знайдені вирази на рівність (30), отримаємо

(32)

Знайдемо розкладання до ряду Маклорена деяких елементарних функцій.

Приклад 8. Розкласти до ряду Маклорена функцію

Рішення. Похідні цієї функції збігаються із самою функцією:

Тому при х= 0 маємо

Підставляючи ці значення формулу (32), отримаємо шукане розкладання:

(33)

Цей ряд сходиться на всій числовій прямій (його радіус збіжності).

Як вставити математичні формулина сайт?

Якщо потрібно колись додавати одну-дві математичні формули на веб-сторінку, то найпростіше зробити це, як описано в статті: математичні формули легко вставляються на сайт у вигляді картинок, які автоматично генерує Вольфрам Альфа. Крім простоти, цей універсальний спосіб допоможе покращити видимість сайту пошукових системах. Він працює давно (і, гадаю, працюватиме вічно), але морально вже застарів.

Якщо ви постійно використовуєте математичні формули на своєму сайті, я рекомендую вам використовувати MathJax - спеціальну бібліотеку JavaScript, яка відображає математичні позначення у веб-браузерах з використанням розмітки MathML, LaTeX або ASCIIMathML.

Є два способи, як почати використовувати MathJax: (1) за допомогою простого коду можна швидко підключити до вашого сайту скрипт MathJax, який автоматично підвантажуватиметься з віддаленого сервера (список серверів); (2) завантажити скрипт MathJax з віддаленого сервера на свій сервер та підключити до всіх сторінок свого сайту. Другий спосіб – більш складний та довгий – дозволить прискорити завантаження сторінок вашого сайту, і якщо батьківський сервер MathJax з якихось причин стане тимчасово недоступним, це ніяк не вплине на ваш власний сайт. Незважаючи на ці переваги, я вибрав перший спосіб, як більш простий, швидкий і не потребує технічних навичок. Наслідуйте мій приклад, і вже через 5 хвилин ви зможете використовувати всі можливості MathJax на своєму сайті.

Підключити скрипт бібліотеки MathJax з віддаленого сервера можна за допомогою двох варіантів коду, взятого на головному сайті MathJax або на сторінці документації:

Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати і вставити в код вашої веб-сторінки, бажано між тегами або відразу після тега . За першим варіантом MathJax підвантажується швидше і менше гальмує сторінку. Натомість другий варіант автоматично відстежує та підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки завантажуватимуться повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.

Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі керування сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант завантаженого коду, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). Ось і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX та ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формули на веб-сторінки свого сайту.

Будь-який фрактал будується по певному правилу, Яке послідовно застосовується необмежену кількість разів. Щоразу називається ітерацією.

Ітеративний алгоритм побудови губки Менгера досить простий: вихідний куб зі стороною 1 ділиться площинами, що паралельні його граням, на 27 рівних кубів. З нього видаляються один центральний куб і 6 прилеглих до нього на грані кубів. Виходить безліч, що складається з 20 менших кубів, що залишилися. Поступаючи так само з кожним із цих кубів, отримаємо безліч, що складається вже з 400 менших кубів. Продовжуючи цей процес безкінечно, отримаємо губку Менгера.

Теоретично функціональних рядів центральне місце займає розділ, присвячений розкладу функції ряд.

Таким чином, ставиться завдання: за заданою функцією потрібно знайти такий статечний ряд

який на деякому інтервалі сходився і його сума дорівнювала
, тобто.

= ..

Це завдання називається завданням розкладання функції в статечний ряд.

Необхідною умовою розкладності функції в статечний рядє її диференційованість нескінченне число разів – це випливає з властивостей статечних рядів, що сходяться. Така умова виконується, зазвичай, для елементарних функцій у сфері визначення.

Отже, припустимо, що функція
має похідні будь-якого порядку. Чи можна її розкласти в статечний ряд, якщо можна, то як знайти цей ряд? Найпростіше вирішується друга частина завдання, з неї і почнемо.

Припустимо, що функцію
можна подати у вигляді суми статечного ряду, що сходиться в інтервалі, що містить точку х 0 :

= .. (*)

де а 0 ,а 1 ,а 2 ,...,а п ,... – невизначені (поки що) коефіцієнти.

Покладемо у рівності (*) значення х = х 0 , тоді отримаємо

.

Продиференціюємо статечний ряд (*) почленно

= ..

і вважаючи тут х = х 0 , отримаємо

.

При наступному диференціюванні отримаємо ряд

= ..

вважаючи х = х 0 , отримаємо
, звідки
.

Після п-кратного диференціювання отримаємо

Вважаючи в останній рівності х = х 0 , отримаємо
, звідки

Отже, коефіцієнти знайдено

,
,
, …,
,….,

підставляючи які в ряд (*), отримаємо

Отриманий ряд називається поряд Тейлорадля функції
.

Таким чином, ми встановили, що якщо функцію можна розкласти в статечний ряд за ступенями (х - х 0 ), то це розкладання єдино і отриманий ряд обов'язково є поряд Тейлора.

Зауважимо, що ряд Тейлора можна отримати для будь-якої функції, що має похідні будь-якого порядку в точці х = х 0 . Але це ще означає, що з функцією і отриманим поруч можна поставити знак рівності, тобто. що сума ряду дорівнює вихідній функції. По-перше, така рівність може мати сенс тільки в області збіжності, а отриманий для функції ряд Тейлора може і розходитися, по-друге, якщо ряд Тейлора буде сходитися, його сума може не збігатися з вихідною функцією.

3.2. Достатні умови розкладності функції до ряду Тейлора

Сформулюємо твердження, за допомогою якого буде вирішено поставлене завдання.

Якщо функція
в деякій околиці точки х 0 має похідні до (n+ 1)-го порядку включно, то в цій околиці має місцеформулаТейлора

деR n (х)-залишковий член формули Тейлора – має вигляд (форма Лагранжа)

де крапкаξ лежить між х і х 0 .

Зазначимо, що між Тейлора і формулою Тейлора є відмінність: формула Тейлора є кінцеву суму, тобто. п -фіксоване число.

Нагадаємо, що сума ряду S(x) може бути визначена як межа функціональної послідовності часткових сум S п (x) на деякому проміжку Х:

.

Відповідно до цього, розкласти функцію в ряд Тейлора означає знайти такий ряд, що для будь-якого хX

Запишемо формулу Тейлора у вигляді, де

Зауважимо, що
визначає ту помилку, яку ми отримуємо, замінюй функцію f(x) багаточленом S n (x).

Якщо
, то
,Тобто. функція розкладається на ряд Тейлора. Інакше, якщо
, то
.

Тим самим ми довели критерій розкладності функції до ряду Тейлора.

Для того, щоб у деякому проміжку функціяf(х) розкладалася в ряд Тейлора, необхідно і достатньо, щоб на цьому проміжку
, деR n (x) - Залишковий член ряду Тейлора.

За допомогою сформульованого критерію можна отримати достатніумови розкладності функції до ряду Тейлора.

Якщо вдеякої околиці точки х 0 абсолютні величини всіх похідних функції обмежені одним і тим самим числом М≥ 0, тобто.

, тпро цю околицю функція розкладається на ряд Тейлора.

З вищевикладеного випливає алгоритмрозкладання функціїf(x) у ряд Тейлорана околиці точки х 0 :

1. Знаходимо похідні функції f(x):

f(x), f'(x), f”(x), f”(x), f (n) (x),…

2. Обчислюємо значення функції та значення її похідних у точці х 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f”(x 0 ), f'”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…

3. Формально записуємо ряд Тейлора і знаходимо область збіжності отриманого статечного ряду.

4. Перевіряємо виконання достатніх умов, тобто. встановлюємо, для яких хз області збіжності, залишковий член R n (x) прагне до нуля при
або
.

Розкладання функцій у ряд Тейлора за цим алгоритмом називають розкладанням функції до ряду Тейлора за визначеннямабо безпосереднім розкладанням.

Якщо функція f(x)має на деякому інтервалі, що містить точку а, похідні всіх порядків, то до неї може бути застосована формула Тейлора:

де r n- так званий залишковий член або залишок ряду, його можна оцінити за допомогою формули Лагранжа:

, де число x укладено між хі а.

Якщо для деякого значення х r n®0 при n®¥, то в межі формула Тейлора перетворюється для цього значення на схожий ряд Тейлора:

Таким чином, функція f(x)може бути розкладена в ряд Тейлора в точці, що розглядається х, якщо:

1) вона має похідні всіх порядків;

2) побудований ряд сходиться у цій точці.

При а=0 отримуємо ряд, званий поруч Маклорена:

Приклад 1 f(x)= 2x.

Рішення. Знайдемо значення функції та її похідних при х=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2 = ln2;

f¢¢(x) = 2x ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

f(n) (x) = 2x ln n 2, f(n) ( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.

Підставляючи отримані значення похідних формулу ряду Тейлора, отримаємо:

Радіус збіжності цього ряду дорівнює нескінченності, тому дане розкладання справедливе для -