Сума натуральних логарифмів. Формули логарифмів. Логарифми приклади рішення

Сьогодні ми поговоримо про формулах логарифміві дамо показові приклади рішення.

Самі собою мають на увазі шаблони рішення відповідно до основних властивостей логарифмів. Перш за все застосовувати формули логарифмів для вирішення нагадаємо для вас, спочатку всі властивості:

Тепер на основі цих формул (властивостей), покажемо приклади вирішення логарифмів.

Приклади розв'язання логарифмів виходячи з формул.

Логарифм позитивного числа b на підставі a (позначається log a b) - це показник ступеня, в який треба звести a щоб отримати b, при цьому b > 0, a > 0, а 1.

Відповідно до визначення log a b = x, що рівносильно a x = b, тому log a a x = x.

Логарифми, Приклади:

log 28 = 3, т.к. 2 3 = 8

log 7 49 = 2, т.к. 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, т.к. 5 -1 = 1/5

Десятковий логарифм- це звичайний логарифм, на основі якого знаходиться 10. Позначається як lg.

log 10100 = 2, т.к. 10 2 = 100

Натуральний логарифм- також звичайний логарифм логарифм, але з підставою е (е = 2,71828... - ірраціональне число). Позначається як ln.

Формули чи властивості логарифмів бажано запам'ятати, тому що вони знадобляться нам надалі при розв'язанні логарифмів, логарифмічних рівнянь та нерівностей. Давайте ще раз відпрацюємо кожну формулу на прикладах.

• Основне логарифмічне тотожність
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Логарифм твору дорівнює сумілогарифмів
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1 * 10) = log 3 81 = 4

• Логарифм приватного дорівнює різниці логарифмів
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 / 9 log 5 2 = 9 log 5 50 - log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Властивості ступеня логарифмованого числа та підстави логарифму

  Показник ступеня логарифмованого числа log a b m = mlog a b

  Показник ступеня основи логарифму log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  якщо m = n, отримаємо log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Перехід до нової основи
  log a b = log c b/log c a,

  якщо c = b, отримаємо log b b = 1

  тоді log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Як бачите, формули логарифмів не такі складні як здаються. Тепер розглянувши приклади розв'язання логарифмів, ми можемо переходити до логарифмічних рівнянь. Приклади розв'язання логарифмічних рівнянь ми докладніше розглянемо у статті: " ". Не пропустіть!

Якщо у вас залишилися питання щодо вирішення, пишіть їх у коментарях до статті.

Замітка: вирішили здобути освіту іншого класу навчання за кордоном як варіант розвитку подій.

Продовжуємо вивчати логарифми. У цій статті ми поговоримо про обчислення логарифмів, цей процес називають логарифмуванням. Спочатку ми розберемося з обчисленням логарифмів за визначенням. Далі розглянемо, як знаходять значення логарифмів з їх властивостей. Після цього зупинимося на обчисленні логарифмів через задані значення інших логарифмів. Нарешті, навчимося використовувати таблиці логарифмів. Вся теорія має приклади з докладними рішеннями.

Навігація на сторінці.

Обчислення логарифмів за визначенням

У найпростіших випадках можна досить швидко і легко виконати знаходження логарифму за визначенням. Давайте докладно розглянемо, як відбувається цей процес.

Його суть полягає у поданні числа b у вигляді a c , звідки визначення логарифму число c є значенням логарифму. Тобто, знаходження логарифму за визначенням відповідає наступний ланцюжок рівностей: log a b = log a a c = c.

Отже, обчислення логарифму за визначенням зводиться до знаходження такого числа c , що a c = b , а саме c є значення логарифму.

Враховуючи інформацію попередніх абзаців, коли число під знаком логарифму задано деяким ступенем заснування логарифму, то можна відразу вказати, чому дорівнює логарифм – він дорівнює показникуступеня. Покажемо рішення прикладів.

приклад.

Знайдіть log 2 2 −3, а також обчисліть натуральний логарифм числа e 5,3.

Рішення.

Визначення логарифму дозволяє нам відразу сказати, що log 2 2 −3 =−3 . Дійсно, число під знаком логарифму дорівнює підставі 2 -3 ступеня.

Аналогічно знаходимо другий логарифм: lne 5,3 = 5,3.

Відповідь:

log 2 2 −3 =−3 та lne 5,3 =5,3 .

Якщо ж число b під знаком логарифму не задано як ступінь основи логарифму, потрібно уважно подивитися, чи можна дійти уявлення числа b як a c . Часто таке уявлення буває досить очевидним, особливо коли число під знаком логарифму дорівнює підставі в ступені 1, або 2, або 3, ...

приклад.

Обчисліть логарифми log 5 25 і .

Рішення.

Нескладно помітити, що 25 = 5 2 це дозволяє обчислювати перший логарифм: log 5 25 = log 5 5 2 = 2 .

Переходимо до обчислення другого логарифму. Число можна представити у вигляді ступеня числа 7: (за потреби дивіться ). Отже, .

Перепишемо третій логарифм у наступному вигляді. Тепер можна побачити, що , звідки укладаємо, що . Отже, за визначенням логарифму .

Коротко рішення можна було записати так: .

Відповідь:

log 5 25 = 2, і .

Коли під знаком логарифму знаходиться досить велике натуральне числото його не завадить розкласти на прості множники. Це часто допомагає уявити таке число у вигляді певної міри підстави логарифму, отже, обчислити цей логарифм за визначенням.

приклад.

Знайдіть значення логарифму.

Рішення.

Деякі властивості логарифмів дозволяють одразу вказати значення логарифмів. До таких властивостей відносяться властивість логарифму одиниці та властивість логарифму числа, що дорівнює основі: log 1 1 = log a a 0 = 0 і log a a = log a a 1 = 1 . Тобто коли під знаком логарифму знаходиться число 1 або число a , рівне підставі логарифму, то в цих випадках логарифми рівні 0 і 1 відповідно.

приклад.

Чому рівні логарифми та lg10?

Рішення.

Оскільки , то з визначення логарифму випливає .

У другому прикладі число 10 під знаком логарифму збігається з його основою, тому десятковий логарифм десяти дорівнює одиниці, тобто lg10=lg10 1 =1 .

Відповідь:

І lg10=1.

Зазначимо, що обчислення логарифмів за визначенням (яке ми розібрали в попередньому пункті) має на увазі використання рівності log a a p =p, яка є однією з властивостей логарифмів.

На практиці, коли число під знаком логарифму та основа логарифму легко видаються у вигляді ступеня деякого числа, дуже зручно використовувати формулу , Що відповідає одному з властивостей логарифмів. Розглянемо приклад знаходження логарифму, що ілюструє використання цієї формули.

приклад.

Обчисліть логарифм.

Рішення.

Відповідь:

.

Не згадані вище властивості логарифмів також використовуються для обчислення, але про це поговоримо в наступних пунктах.

Знаходження логарифмів через інші відомі логарифми

Інформація цього пункту продовжує тему використання властивостей логарифмів під час їх обчислення. Але тут основна відмінність полягає в тому, що властивості логарифмів використовуються для того, щоб виразити вихідний логарифм через інший логарифм, значення якого відомо. Наведемо приклад пояснення. Припустимо, ми знаємо, що log 2 3≈1,584963 тоді ми можемо знайти, наприклад, log 2 6 , виконавши невелике перетворення за допомогою властивостей логарифму: log 2 6=log 2 (2·3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

У наведеному прикладі нам було достатньо використати властивість логарифму твору. Однак набагато частіше доводиться застосовувати ширший арсенал властивостей логарифмів, щоб обчислити вихідний логарифм через задані.

приклад.

Обчисліть логарифм 27 на підставі 60 якщо відомо, що log 60 2=a і log 60 5=b .

Рішення.

Отже, нам потрібно знайти log 60 27 . Нескладно помітити, що 27=3 3 і вихідний логарифм в силу властивості логарифму ступеня можна переписати як 3 log 60 3 .

Тепер подивимося, як log 60 3 виразити через відомі логарифми. Властивість логарифму числа, що дорівнює основі, дозволяє записати рівність log 60 60 = 1 . З іншого боку log 60 60 = log60 (2 2 · 3 · 5) = log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Таким чином, 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Отже, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Нарешті, обчислюємо вихідний логарифм: log 60 27 = 3 · log 60 3 = 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Відповідь:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Окремо варто сказати про значення формули переходу до нової основи логарифму виду . Вона дозволяє від логарифмів з будь-якими основами переходити до логарифмів з конкретною основою, значення яких відомі або є можливість їх відшукати. Зазвичай від вихідного логарифму за формулою переходу переходять до логарифм по одній з підстав 2 , e або 10 , так як з цих підстав існують таблиці логарифмів, що дозволяють з певним ступенем точності обчислювати їх значення. У цьому пункті ми покажемо, як це робиться.

Таблиці логарифмів, їх використання

Для наближеного обчислення значень логарифмів можна використовувати таблиці логарифмів. Найчастіше використовується таблиця логарифмів на підставі 2 таблиця натуральних логарифмів і таблиця десяткових логарифмів. При роботі в десятковій системі числення зручно користуватися таблицею логарифмів на підставі десять. З її допомогою і вчитимемося знаходити значення логарифмів.

Подана таблиця дозволяє з точністю до однієї десятитисячної знаходити значення десяткових логарифмів чисел від 1000 до 9999 (з трьома знаками після коми). Принцип знаходження значення логарифму за допомогою таблиці десяткових логарифмів розберемо на конкретному прикладі- Так зрозуміліше. Знайдемо lg1,256.

У лівому стовпці таблиці десяткових логарифмів знаходимо дві перші цифри числа 1,256, тобто, знаходимо 1,2 (це для наочності обведено синьою лінією). Третю цифру числа 1,256 (цифру 5) знаходимо в першому або останньому рядку зліва від подвійної лінії (це число обведене червоною лінією). Четверту цифру вихідного числа 1,256 (цифру 6) знаходимо в першому або останньому рядку праворуч від подвійної лінії (це число обведене зеленою лінією). Тепер знаходимо числа у осередках таблиці логарифмів на перетині зазначеного рядка та зазначених стовпців (ці числа виділені помаранчевим кольором). Сума зазначених чисел дає значення десяткового логарифму з точністю до четвертого знака після коми, тобто, lg1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

А чи можна, використовуючи наведену таблицю, знаходити значення десяткових логарифмів чисел, що мають більше трьох цифр після коми, а також за межі від 1 до 9,999? Так, можна. Покажемо, як це робиться на прикладі.

Обчислимо lg102,76332. Спочатку потрібно записати число в стандартному вигляді : 102,76332 = 1,0276332 · 10 2 . Після цього мантису слід округлити до третього знака після коми, маємо 1,0276332·10 2 ≈1,028·10 2, при цьому вихідний десятковий логарифм приблизно дорівнює логарифму отриманого числа, тобто, приймаємо lg102,76332≈lg1,028·10 2 . Тепер застосовуємо властивості логарифму: lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Нарешті, знаходимо значення логарифму lg1,028 по таблиці десяткових логарифмів lg1,028 0,0086 +0,0034 = 0,012 . У результаті весь процес обчислення логарифму виглядає так: lg102,76332=lg1,0276332·10 2 ≈lg1,028·10 2 = lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Насамкінець варто відзначити, що використовуючи таблицю десяткових логарифмів можна обчислити наближене значення будь-якого логарифму. Для цього достатньо за допомогою формули переходу перейти до десяткових логарифмів, знайти їх значення по таблиці, і виконати обчислення, що залишилися.

Наприклад обчислимо log 2 3 . За формулою переходу до нової основи логарифму маємо. З таблиці десяткових логарифмів знаходимо lg3 ≈ 0,4771 та lg2 ≈ 0,3010 . Таким чином, .

Список литературы.

• Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

Випливають із його визначення. І так логарифм числа bна підставі авизначається як показник ступеня, в який треба звести число a, щоб отримати число b(Логарифм існує тільки у позитивних чисел).

З цього формулювання випливає, що обчислення x=log a b, рівнозначне рішенню рівняння a x = b.Наприклад, log 2 8 = 3тому, що 8 = 2 3 . Формулювання логарифму дає можливість довести, що якщо b=a з, то логарифм числа bна підставі aдорівнює з. Також ясно, що тема логарифмування тісно пов'язана з темою ступеня числа .

З логарифмами, як і з будь-якими числами, можна виконувати операції складання, відніманняі всіляко трансформувати. Але через те, що логарифми - це не зовсім ординарні числа, тут застосовні свої особливі правила, які називаються основними властивостями.

Складання та віднімання логарифмів.

Візьмемо два логарифми з однаковими підставами: log a xі log a y. Тоді зними можна виконувати операції складання та віднімання:

log a x + log a y = log a (x · y);

log a x - log a y = log a (x: y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k.

З теореми логарифму приватногоможна отримати ще одну властивість логарифму. Загальновідомо, що log a 1= 0, отже,

log a 1 /b= log a 1 - log a b= - log a b.

А значить має місце рівність:

log a 1 / b = - log a b.

Логарифми двох взаємно зворотних чиселпо тому самому підставі будуть різні друг від друга виключно знаком. Так:

Log 3 9 = - log 3 1/9; log 5 1/125 = -log 5 125.

Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати та всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми це не зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.

Ці правила обов'язково треба знати - без них не вирішується жодне серйозне логарифмічне завдання. До того ж їх зовсім небагато — все можна вивчити за один день. Отже, почнемо.

Додавання та віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифми з однаковими підставами: log a xта log a y. Тоді їх можна складати і віднімати, причому:

1. log a x+ log a y= log a (x · y);
2. log a x− log a y= log a (x : y).

Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму твору, а різниця - приватного логарифму. Зверніть увагу: ключовий моменттут - однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!

Ці формули допоможуть обчислити логарифмічний виразнавіть тоді, коли окремі його частини не рахуються (див. урок « Що таке логарифм»). Погляньте на приклади і переконайтеся:

Log 6 4 + log 6 9.

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 2 48 − log 2 3.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 3 135 − log 3 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Як бачите, вихідні вирази складені з поганих логарифмів, які окремо не вважаються. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті побудовано багато контрольні роботи. Та що контрольні подібні висловлюванняна повному серйозі (іноді практично без змін) пропонуються на ЄДІ.

Винесення показника ступеня з логарифму

Тепер трохи ускладнимо завдання. Що, якщо у підставі чи аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифму за такими правилами:

Неважко помітити, що останнє правило слідує їх перших двох. Але краще його все ж таки пам'ятати — у деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x> 0. І ще: вчитеся застосовувати всі формули як зліва направо, а й навпаки, тобто. можна вносити числа, що стоять перед знаком логарифму, до самого логарифму. Саме це найчастіше й потрібне.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 7 49 6 .

Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log 7 49 6 = 6 · log 7 49 = 6 · 2 = 12

Завдання. Знайдіть значення виразу:

[Підпис до малюнка]

Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Маємо:

[Підпис до малюнка]

Думаю, до останньому прикладупотрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До останнього моменту ми працюємо лише зі знаменником. Представили підставу і аргумент логарифму, що там стоїть, у вигляді ступенів і винесли показники — отримали «триповерховий» дріб.

Тепер подивимося на основний дріб. У чисельнику та знаменнику стоїть те саме число: log 2 7. Оскільки log 2 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб — у знаменнику залишиться 2/4. За правилами арифметики, четвірку можна перенести в чисельник, що було зроблено. В результаті вийшла відповідь: 2.

Перехід до нової основи

Говорячи про правила складання та віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють лише за однакових підстав. А що, коли підстави різні? Що, якщо вони не є точними ступенями того самого числа?

На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх як теореми:

Нехай дано логарифм log a x. Тоді для будь-якого числа cтакого, що c> 0 та c≠ 1, вірна рівність:

[Підпис до малюнка]

Зокрема, якщо покласти c = x, Отримаємо:

[Підпис до малюнка]

З другої формули випливає, що можна міняти місцями основу та аргумент логарифму, але при цьому весь вислів «перевертається», тобто. логарифм опиняється у знаменнику.

Ці формули рідко зустрічається у звичайних числових виразах. Оцінити, наскільки вони зручні, можна лише при розв'язанні логарифмічних рівнянь та нерівностей.

Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нової основи. Розглянемо пару таких:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 5 16 · log 2 25.

Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступені. Винесемо показники: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

[Підпис до малюнка]

Оскільки від перестановки множників твір не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку та двійку, а потім розібралися з логарифмами.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 9 100 · lg 3.

Підстава та аргумент першого логарифму — точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:

[Підпис до малюнка]

Тепер позбавимося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:

[Підпис до малюнка]

Основне логарифмічне тотожність

Часто у процесі рішення потрібно представити число як логарифм на задану основу. У цьому випадку нам допоможуть формули:

У першому випадку число nстає показником ступеня, що стоїть у аргументі. Число nможе бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифму.

Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона так і називається: основна логарифмічна тотожність.

Справді, що буде, якщо число bзвести в такий ступінь, що число bу цій мірі дає число a? Правильно: вийде це саме число a. Уважно прочитайте цей абзац ще раз — багато хто на ньому «зависає».

Подібно до формул переходу до нової основи, основна логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

[Підпис до малюнка]

Зауважимо, що log 25 64 = log 5 8 — просто винесли квадрат із підстави та аргументу логарифму. Враховуючи правила множення ступенів з однаковою основою, отримуємо:

[Підпис до малюнка]

Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ:)

Логарифмічна одиниця та логарифмічний нуль

Насамкінець наведу дві тотожності, які складно назвати властивостями — швидше, це наслідки з визначення логарифму. Вони постійно зустрічаються у завданнях і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.

1. log a a= 1 – це логарифмічна одиниця. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм з будь-якої основи aвід цього підстави дорівнює одиниці.
2. log a 1 = 0 – це логарифмічний нуль. Підстава aможе бути будь-яким, але якщо в аргументі стоїть одиниця — логарифм дорівнює нулю! Тому що a 0 = 1 - це прямий наслідок визначення.

Ось і всі властивості. Обов'язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці! Завантажте шпаргалку на початку уроку, роздрукуйте її і вирішуйте завдання.