Скорочення дробів із різними знаками. Скорочення алгебраїчних дробів правило
На цьому уроці ми вивчимо основну властивість дробу, дізнаємось, які дроби є рівними один одному. Навчимося скорочувати дроби, визначати, чи є дроб скоротимий чи ні, попрактикуємося у скороченні дробів і дізнаємося, коли варто використовувати скорочення, а коли ні.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autom beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci або assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Ця інформація доступна зареєстрованим користувачам
Основна властивість дробу
Уявіть собі таку ситуацію.
За столом 3 людини та 5 яблук. Діляться 5 яблук на трьох. Кожному дістається по \(\mathbf(\frac(5)(3))\) яблука.
А за сусіднім столом ще 3 людини і теж 5 яблук. Кожному знову по \(\mathbf(\frac(5)(3))\)
При цьому всього 10 яблук та 6 людина. Кожному по \(\mathbf(\frac(10)(6))\)
Але це одне й те саме.
\(\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))\)
Ці дроби еквівалентні.
Можна збільшити вдвічі кількість людей і вдвічі кількість яблук. Результат буде тим самим.
У математиці це формулюється так:
Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або розділити на одне і те ж число (не рівне 0), то новий дріб буде дорівнювати вихідному.
Цю властивість іноді називають « основною властивістю дробу ».
$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$
Наприклад, Шлях від міста до села 14 км.
Ми йдемо дорогою і визначаємо пройдений шлях кілометровими стовпчиками. Пройшовши шість стовпчиків, шість кілометрів, ми розуміємо, що пройшли \(\mathbf(\frac(6)(14))\) шляху.
Але якщо ми не бачимо стовпчиків (може, їх не встановили), можна шлях рахувати електричними стовпами вздовж дороги. Їх 40 штук за кожен кілометр. Тобто всього 560 по всьому шляху. Шість кілометрів-\(\mathbf(6\cdot40 = 240)\) стовпів. Тобто ми пройшли 240 з 560 стовпів-\(\mathbf(\frac(240)(560))\)
\(\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))\)
Приклад 1
Позначте точку з координатами ( 5; 7 ) на координатній площині XОY. Вона відповідатиме дробу \(\mathbf(\frac(5)(7))\)
З'єднай початок координат з точкою, що вийшла. Побудуй іншу точку, яка має координати вдвічі більші за попередні. Який дріб ти дістав? Чи будуть вони рівні?
Рішення
Дріб на координатній площині можна відзначати точкою. Щоб зобразити дріб \(\mathbf(\frac(5)(7))\), відзначимо точку з координатою 5 по осі Yі 7 по осі X. Проведемо пряму із початку координат через нашу точку.
На цій же прямій лежатиме і точка, що відповідає дробу (mathbf(frac(10)(14)))
Вони є еквівалентними: \(\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))\)
Скорочення дробів потрібно для того, щоб привести дріб до більш простого вигляду, наприклад, у відповіді, отриманій в результаті рішення виразу.
Скорочення дробів, визначення та формула.
Що таке скорочення дробів? Що означає скоротити дріб?
Визначення:
Скорочення дробів– це поділ у дробу чисельник і знаменник на те саме додатне числоне дорівнює нулю та одиниці. У результаті скорочення виходить дріб з меншим чисельником і знаменником, що дорівнює попередньому дробу відповідно до .
Формула скорочення дробівОсновні властивості раціональних чисел.
\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)
Розглянемо приклад:
Скоротіть дріб \(\frac(9)(15)\)
Рішення:
Ми можемо розкласти дріб на прості множники та скоротити загальні множники.
\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)
Відповідь: після скорочення отримали дріб \(\frac(3)(5)\). За основною властивістю раціональних чисел первісний дроб, що вийшов, рівні.
\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)
Як скорочувати дроби? Скорочення дробу до нескоротного виду.
Щоб отримати в результаті нескоротний дріб, потрібно знайти найбільший спільний дільник(НД)для чисельника та знаменника дробу.
Є кілька способів знайти НОД ми скористаємося у прикладі розкладанням чисел на прості множники.
Отримайте нескоротний дріб ((frac(48)(136))).
Рішення:
Знайдемо НОД (48, 136). Розпишемо числа 48 і 136 на прості множники.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)
Правило скорочення дробу до нескоротного виду.
- Потрібно знайти найбільший спільний дільник для чисельників та знаменників.
- Потрібно поділити чисельник та знаменник на найбільший спільний дільник у результаті розподілу отримати нескоротний дріб.
Приклад:
Скоротіть дріб \(\frac(152)(168)\).
Рішення:
Знайдемо НОД (152, 168). Розпишемо числа 152 та 168 на прості множники.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)
Відповідь: \(\frac(19)(21)\) нескоротний дріб.
Скорочення неправильного дробу.
Як скоротити неправильний дріб?
Правила скорочення дробів для правильних та неправильних дробів однакові.
Розглянемо приклад:
Скоротіть неправильний дріб \(\frac(44)(32)\).
Рішення:
Розпишемо на прості множники чисельник та знаменник. А потім загальні множники скоротимо.
\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)
Скорочення змішаних дробів.
Змішані дроби за тими ж правилами, що і звичайні дроби. Різниця лише в тому, що ми можемо цілу частину не чіпати, а дробову частину скоротитиабо змішаний дрібперевести в неправильний дріб, скоротити і перевести назад у правильний дріб.
Розглянемо приклад:
Скоротіть змішаний дріб \(2\frac(30)(45)\).
Рішення:
Вирішимо двома способами:
Перший спосіб:
Розпишемо дробову частину на прості множники, а цілу частину не чіпатимемо.
\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)
Другий спосіб:
Переведемо спочатку в неправильний дріб, а потім розпишемо на прості множники і скоротимо. Отриманий неправильний дріб переведемо в правильний.
\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)
Питання на тему:
Чи можна скорочувати дроби при складанні чи відніманні?
Відповідь: ні, потрібно спочатку скласти або відняти дроби за правилами, а потім скорочувати. Розглянемо приклад:
Обчисліть вираз \(\frac(50+20-10)(20)\) .
Рішення:
Часто припускаються помилки скорочуючи однакові числа в чисельнику і знаменнику в нашому випадку число 20, але їх скорочувати не можна поки не виконайте додавання і віднімання.
\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)
На які числа можна скорочувати дріб?
Відповідь: можна скорочувати дріб на найбільший спільний дільник або звичайний дільник чисельника та знаменника. Наприклад, дріб \(\frac(100)(150)\).
Розпишемо на прості множники числа 100 та 150.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Найбільшим спільним дільником буде число НОД(100, 150) = 2⋅5⋅5 = 50
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)
Отримали нескоротний дріб \(\frac(2)(3)\).
Але необов'язково завжди ділити на НОД не завжди потрібний нескоротний дріб, можна скоротити дріб на простий дільник чисельника та знаменника. Наприклад, у числа 100 та 150 загальний дільник 2. Скоротимо дріб ((frac(100)(150)) на 2.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)
Отримали скоротитий дріб ((frac(50)(75))).
Які дроби можна скорочувати?
Відповідь: можна скорочувати дроби у яких чисельник і знаменник мають спільний дільник. Наприклад, дріб \(\frac(4)(8)\). У числа 4 і 8 є число, на яке обидва діляться це число 2. Тому такий дріб можна скоротити на число 2.
Приклад:
Порівняйте два дроби \(\frac(2)(3)\) і \(\frac(8)(12)\).
Ці два дроби рівні. Розглянемо докладно дріб \(\frac(8)(12)\):
\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \times 1=\frac(2)(3)\)
Звідси отримуємо, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)
Два дроби рівні тоді і лише тоді, коли один з них отриманий шляхом скорочення іншого дробу на загальний множник чисельника і знаменника.
Приклад:
Скоротіть якщо можливо такі дроби: а) \(\frac(90)(65)\) б) \(\frac(27)(63)\) в) \(\frac(17)(100)\) г) \(\frac(100)(250)\)
Рішення:
а) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
б) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
в) \(\frac(17)(100)\) нескоротний дріб
г) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ times 5)=\frac(2)(5)\)
У цій статті ми докладно зупинимося на скорочення алгебраїчних дробів. Спочатку розберемося, що розуміють під терміном «скорочення дробу алгебри», і з'ясуємо, чи завжди алгебраїчна дроб скоротима. Далі наведемо правило, що дозволяє проводити це перетворення. Нарешті, розглянемо рішення характерних прикладів, які дозволять усвідомити все тонкощі процесу.
Навігація на сторінці.
Що означає скоротити алгебраїчну дріб?
Вивчаючи, ми говорили про їхнє скорочення. ми назвали розподіл її чисельника та знаменника на загальний множник. Наприклад, звичайний дріб 30/54 можна скоротити на 6 (тобто розділити на 6 його чисельник і знаменник), що призведе нас до дробу 5/9 .
Під скороченням дробу алгебри розуміють аналогічну дію. Скоротити алгебраїчну дріб– це означає розділити її чисельник та знаменник на загальний множник. Але якщо загальним множником чисельника і знаменника звичайного дробу може бути тільки число, то загальним множником чисельника і знаменника дробу алгебри може бути многочлен , зокрема, одночлен або число.
Наприклад, алгебраїчну дріб можна скоротити на число 3, що дасть дріб 
. Також можна виконати скорочення на змінну x , що призведе до виразу 
. Вихідний алгебраїчну дріб можна піддати скорочення на одночлен 3 x, а також на будь-який з багаточленів x + 2 x, 3 x 6 y, x 2 +2 x або y 3 x 2 +6 x y.
Кінцева мета скорочення алгебраїчного дробу полягає в отриманні дробу. простого вигляду, в найкращому випадку- Нескоротного дробу.
Чи будь-який алгебраїчний дріб підлягає скороченню?
Нам відомо, що звичайні дроби поділяються на . Нескоротні дроби не мають відмінних від одиниці загальних множників у чисельнику та знаменнику, отже, не підлягають скороченню.
Алгебраїчні дроби також можуть мати загальні множники чисельника та знаменника, а можуть і не мати. За наявності загальних множників можливе скорочення дробу алгебри. Якщо ж загальних множників немає, то спрощення алгебраїчного дробу за допомогою його скорочення неможливе.
У загальному випадку по зовнішньому виглядуалгебраїчної дробу досить складно визначити, чи можливо виконати її скорочення. Безперечно, у деяких випадках загальні множники чисельника та знаменника очевидні. Наприклад, добре видно, що чисельник і знаменник дробу алгебри мають загальний множник 3 . Також неважко помітити, що алгебраїчну дріб можна скоротити на x, на y або відразу на x y. Але набагато частіше загального множника чисельника і знаменника алгебраїчного дробу відразу не видно, а ще частіше його просто немає. Наприклад, дріб можна скоротити на x−1 , але це загальний множник явно немає у записи. А алгебраїчний дріб 
скоротити неможливо, оскільки її чисельник і знаменник немає спільних множників.
Загалом питання про скоротливість алгебраїчного дробу дуже непросте. І часом простіше вирішити завдання, працюючи з алгебраїчним дробом у вихідному вигляді, ніж з'ясувати, чи можна цей дріб попередньо скоротити. Але все ж таки існують перетворення, які в деяких випадках дозволяють з відносно невеликими зусиллями знайти загальні множники чисельника і знаменника, якщо такі є, або зробити висновок про нескоротність вихідного дробу алгебри. Ця інформація буде розкрита у наступному пункті.
Правило скорочення алгебраїчних дробів
Інформація попередніх пунктів дозволяє природним чином сприйняти таке правило скорочення алгебраїчних дробів, Що складається з двох кроків:
- спочатку знаходяться загальні множники чисельника та знаменника вихідного дробу;
- якщо такі є, проводиться скорочення на ці множники.
Зазначені кроки озвученого правила потребують роз'яснення.
Самий зручний спосібЗнаходження загальних полягає в розкладанні на множники многочленів, що знаходяться в чисельнику і знаменнику вихідного алгебраїчного дробу. При цьому одразу стають видні загальні множники чисельника і знаменника, або стає видно, що загальних множників немає.
Якщо загальних множників немає, можна робити висновок про нескоротність алгебраїчної дробу. Якщо ж загальні множники виявлено, то на другому етапі вони скорочуються. В результаті виходить новий дріб більш простого вигляду.
В основі правила скорочення алгебраїчних дробів лежить основна властивість алгебраїчного дробу, яке виражається рівністю , де a, b і c – деякі багаточлени, причому b та c – ненульові. На першому кроці вихідний алгебраїчний дріб приводиться до виду, з якого стає видно загальний множник c, а на другому кроці виконується скорочення - перехід до дробу.
Переходимо до вирішення прикладів із використанням цього правила. На них ми і розберемо всі можливі нюанси, що виникають при розкладанні чисельника і знаменника дробу алгебри на множники і подальшому скороченні.
Характерні приклади
Для початку слід сказати про скорочення алгебраїчних дробів, чисельник і знаменник яких однакові. Такі дроби тотожно рівні одиниці на всій ОДЗ змінних, що входять до неї, наприклад, 
і т.п.
Тепер не завадить згадати, як виконується скорочення звичайних дробів – адже вони є окремим випадком алгебраїчних дробів. Натуральні числа в чисельнику та знаменнику звичайного дробу, після чого загальні множники скорочуються (за їх наявності). Наприклад, 
. Добуток однакових простих множників можна записувати як ступенів, а при скороченні користуватися . У цьому випадку рішення виглядало б так: 
тут ми чисельник і знаменник розділили на загальний множник 2 2 ·3 . Або для більшої наочності на підставі властивостей множення та поділу рішення подають у вигляді.
За абсолютно аналогічними принципами проводиться скорочення дробів алгебри, в чисельнику і знаменнику яких знаходяться одночлени з цілими коефіцієнтами.
приклад.
Скоротіть алгебраїчну дріб 
.
Рішення.
Можна уявити чисельник і знаменник вихідного алгебраїчного дробу у вигляді добутку простих множників та змінних, після чого провести скорочення: 
Але раціональніше рішення записати у вигляді виразу зі ступенями: 
Відповідь:
.
Що стосується скорочення алгебраїчних дробів, що мають дробові числові коефіцієнти в чисельнику і знаменнику, то можна надходити подвійно: або окремо виконувати поділ цих дробових коефіцієнтів, або попередньо позбавлятися дробових коефіцієнтів, помноживши чисельник і знаменник на деяке натуральне число. Про останнє перетворення ми говорили в статті приведення алгебраїчного дробу до нового знаменника, його можна проводити через основну властивість алгебраїчного дробу. Розберемося з цим на прикладі.
приклад.
Виконайте скорочення дробу.
Рішення.
Можна скоротити дріб так: 
.
А можна було попередньо позбутися дробових коефіцієнтів, помноживши чисельник і знаменник на знаменників цих коефіцієнтів, тобто, на НОК (5, 10) = 10 . У цьому випадку маємо 
.
Відповідь:
.
Можна переходити до алгебраїчних дробів загального вигляду, у яких у чисельнику та знаменнику можуть бути як числа та одночлени, так і багаточлени.
При скороченні таких дробів основна проблема у тому, що загальний множник чисельника і знаменника які завжди видно. Більше того, вона не завжди існує. Для того, щоб знайти загальний множник або переконатися в його відсутності потрібно чисельник і знаменник дробу алгебри розкласти на множники.
приклад.
Скоротіть раціональний дріб 
.
Рішення.
Для цього розкладемо на множники багаточлени в чисельнику та знаменнику. Почнемо з винесення за дужки: . Очевидно, вирази у дужках можна перетворити, використовуючи
Ця стаття продовжує тему перетворення алгебраїчних дробів: розглянемо таку дію як скорочення дробів алгебри. Дамо визначення самому терміну, сформулюємо правило скорочення та розберемо практичні приклади.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Сенс скорочення алгебраїчного дробу
У матеріалах про звичайний дроб ми розглядали її скорочення. Ми визначили скорочення звичайного дробу як розподіл її чисельника та знаменника на загальний множник.
Скорочення дробу алгебри являє собою аналогічну дію.
Визначення 1
Скорочення алгебраїчного дробу– це розподіл її чисельника та знаменника на загальний множник. При цьому, на відміну від скорочення звичайного дробу (загальним знаменником може бути тільки число), загальним множником чисельника і знаменника дробу алгебри може служити многочлен, зокрема, одночлен або число.
Наприклад, алгебраїчна дріб 3 · x 2 + 6 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 може бути скорочена на число 3, в результаті отримаємо: x 2 + 2 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Цей же дріб ми можемо скоротити на змінну х, і це дасть нам вираз 3 · x + 6 · y 6 · x 2 · y + 12 · x · y 2 . Також заданий дріб можна скоротити на одночлен 3 · xабо будь-який з багаточленів x + 2 · y, 3 · x + 6 · y , x 2 + 2 · x · y або 3 · x 2 + 6 · x · y.
Кінцевою метоюскорочення алгебраїчної дробу є дріб простішого виду, у разі – нескоротний дріб.
Чи всі дроби алгебри підлягають скороченню?
Знову ж таки з матеріалів про звичайні дроби ми знаємо, що існують скорочені і нескоротні дроби. Нескоротні – це дроби, які мають загальних множників чисельника і знаменника, відмінних від 1 .
З алгебраїчними дробами так само: вони можуть мати спільні множники чисельника і знаменника, можуть і не мати. Наявність загальних множників дозволяє спростити вихідний дріб за допомогою скорочення. Коли спільних множників немає, оптимізувати заданий дріб способом скорочення неможливо.
У загальних випадкахза заданим видом дробу досить складно зрозуміти, чи підлягає вона скороченню. Звичайно, в деяких випадках наявність загального множника чисельника та знаменника очевидна. Наприклад, в алгебраїчному дробі 3 · x 2 3 · y зрозуміло, що загальним множником є число 3 .
У дробі - x · y 5 · x · y · z 3 також ми відразу розуміємо, що скоротити її можливо на х, або y, або на х · y. І все ж таки набагато частіше зустрічаються приклади алгебраїчних дробів, коли загальний множник чисельника і знаменника не так просто побачити, а ще частіше - він просто відсутній.
Наприклад, дріб x 3 - 1 x 2 - 1 ми можемо скоротити на х - 1 при цьому зазначений загальний множник у записі відсутній. А ось дріб x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 піддати дії скорочення неможливо, оскільки чисельник і знаменник не мають спільного множника.
Таким чином, питання з'ясування скоротливості алгебраїчного дробу не таке просте, і найчастіше простіше працювати з дробом заданого виду, ніж намагатися з'ясувати, чи вона скоротлива. При цьому мають місце такі перетворення, які в окремих випадках дозволяють визначити загальний множник чисельника і знаменника або зробити висновок про нескоротність дробу. Розглянемо детально це питання у наступному пункті статті.
Правило скорочення алгебраїчних дробів
Правило скорочення алгебраїчних дробівскладається з двох послідовних дій:
- знаходження загальних множників чисельника та знаменника;
- у разі знаходження таких здійснення безпосередньо впливу скорочення дробу.
Найзручнішим методом відшукання загальних знаменників є розкладання на множники многочленів, що у чисельнику і знаменнику заданої алгебраїчної дробу. Це дозволяє відразу побачити наявність чи відсутність загальних множників.
Саме вплив скорочення алгебраїчної дробу виходить з основному властивості алгебраїчної дробу, що виражається рівністю undefined , де a , b , c – деякі многочлены, причому b і c – ненульові. Першим кроком дріб наводиться до вигляду a · c b · c, в якому ми відразу помічаємо загальний множник c. Другим кроком – виконуємо скорочення, тобто. перехід до дробу виду a b.
Характерні приклади
Незважаючи на певну очевидність, уточнимо про окремий випадокколи чисельник і знаменник алгебраїчної дробу рівні. Подібні дроби тотожно рівні 1 на всій ОДЗ змінних цього дробу:
5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 · x 3 - 3, 2 · x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y;
Оскільки звичайні дроби є окремим випадком алгебраїчних дробів, нагадаємо, як здійснюється їх скорочення. Натуральні числа, записані в чисельнику та знаменнику, розкладаються на прості множники, потім загальні множники скорочуються (якщо є).
Наприклад, 24 1260 = 2 · 2 · 2 · 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 3 · 5 · 7 = 2 105
Добуток простих однакових множників можна записати як ступеня, і в процесі скорочення дробу використовувати властивість поділу ступенів з однаковими основами. Тоді вищезгадане рішення було б таким:
24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 · 5 · 7 = 2 105
(числитель та знаменник розділені на загальний множник 2 2 · 3). Або для наочності, спираючись на властивості множення та поділу, вирішенню дамо такий вигляд:
24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 = 2 1 · 1 3 · 1 35 = 2 105
За аналогією здійснюється скорочення алгебраїчних дробів, у яких у чисельнику та знаменнику є одночлени з цілими коефіцієнтами.
Приклад 1
Задано алгебраїчну дріб - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Необхідно зробити її скорочення.
Рішення
Можливо записати чисельник та знаменник заданого дробу як добуток простих множників та змінних, після чого здійснити скорочення:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 · a 3 2 · c 6
Однак, раціональнішим способом буде запис рішення у вигляді виразу зі ступенями:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .
Відповідь:- 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 9 · a 3 2 · c 6
Коли в чисельнику та знаменнику алгебраїчного дробу є дробові числові коефіцієнти, можливо два шляхи подальших дій: або окремо здійснити поділ цих дробових коефіцієнтів, або попередньо позбавитися дробових коефіцієнтів, помноживши чисельник і знаменник на якесь натуральне число. Останнє перетворення проводиться в силу основної якості алгебраїчної дробу (про нього можна почитати в статті «Приведення дробу алгебри до нового знаменника»).
Приклад 2
Задано дроб 2 5 · x 0, 3 · x 3 . Необхідно здійснити її скорочення.
Рішення
Можливо скоротити дріб таким чином:
2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 2 5 3 10 · x x 3 = 4 3 · 1 x 2 = 4 3 · x 2
Спробуємо вирішити завдання інакше, попередньо позбавившись дробових коефіцієнтів – помножимо чисельник і знаменник на найменше загальне кратне знаменників цих коефіцієнтів, тобто. на НОК (5, 10) = 10 . Тоді отримаємо:
2 5 · x 0, 3 · x 3 = 10 · 2 5 · x 10 · 0, 3 · x 3 = 4 · x 3 · x 3 = 4 3 · x 2 .
Відповідь: 2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 4 3 · x 2
Коли ми скорочуємо алгебраїчні дроби загального виду, у яких чисельники і знаменники можуть бути як одночленами, і многочленами, можлива проблема, коли загальний множник який завжди відразу видно. Або більше, він просто не існує. Тоді для визначення загального множника або фіксації факту про його відсутність чисельник і знаменник дробу алгебри розкладають на множники.
Приклад 3
Задано раціональний дріб 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Потрібно її скоротити.
Рішення
Розкладемо на множники багаточлени в чисельнику та знаменнику. Здійснимо винесення за дужки:
2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49)
Ми бачимо, що вираз у дужках можна перетворити з використанням формул скороченого множення:
2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49) = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7)
Добре помітно, що можна скоротити дріб на загальний множник b 2 · (a + 7). Зробимо скорочення:
2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a - 7) = 2 · a + 14 a · b - 7 · b
Коротке рішення без пояснень запишемо як ланцюжок рівностей:
2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 a + 49) b 3 · (a 2 - 49) = = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a - 7) = 2 · a + 14 a · b - 7 · b
Відповідь: 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · a + 14 a · b - 7 · b .
Трапляється, що загальні множники приховані числовими коефіцієнтами. Тоді при скороченні дробів оптимально числові множники при старших ступенях чисельника та знаменника винести за дужки.
Приклад 4
Дано алгебраїчну дріб 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Необхідно здійснити її скорочення, якщо це можливо.
Рішення
На перший погляд у чисельника та знаменника не існує спільного знаменника. Однак спробуємо перетворити заданий дріб. Винесемо за дужки множник х у чисельнику:
1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2
Тепер видно певну схожість виразу в дужках і виразу в знаменнику за рахунок x 2 · y . Винесемо за дужку числові коефіцієнти при старших ступенях цих багаточленів:
x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = x · - 2 7 · - 7 2 · 1 5 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 1 5 · 3 1 2 = = - 2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10
Тепер стає видно загальний множник, здійснюємо скорочення:
2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10 = - 2 7 · x 5 = - 2 35 · x
Відповідь: 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = - 2 35 · x.
Зробимо акцент на тому, що навичка скорочення раціональних дробівзалежить від уміння розкладати багаточлени на множники.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Працюючи з дробами, багато учнів допускають одні й самі помилки. А все тому, що вони забувають про елементарні правила арифметики. Сьогодні ми повторимо ці правила на конкретних завданнях, які я даю на заняттях.
Ось завдання, яке я пропоную кожному, хто готується до ЄДІ з математики:
Завдання. Морська свиня їсть 150 г корму на день. Але вона виросла і стала їсти на 20% більше. Скільки грамів корму тепер їсть свиня?
Не правильне рішення. Це завдання на відсотки, що зводиться до рівняння:
Багато (дуже багато) скорочують число 100 у чисельнику і знаменнику дробу:
Ось такої помилки припустилася моя учениця прямо в день написання цієї статті. Червоним відзначені числа, скорочені.
Зайве говорити, що відповідь вийшла неправильною. Судіть самі: свиня їла 150 грам, а стала їсти 3150 грам. Збільшення не так на 20%, а 21 раз, тобто. на 2000%.
Щоб не допускати таких непорозумінь, пам'ятайте основне правило:
Скорочувати можна лише множники. Складники скорочувати не можна!
Таким чином, правильне вирішення попереднього завдання виглядає так:
Червоним відзначені цифри, які скорочуються у чисельнику та знаменнику. Як бачите, у чисельнику стоїть твір, знаменнику звичайне число. Тому скорочення цілком законне.
Робота з пропорціями
Ще одне проблемне місце — пропорції. Особливо коли змінна стоїть з обох боків. Наприклад:
Завдання. Розв'яжіть рівняння:
Неправильне рішення - у деяких буквально руки сверблять скоротити все на m :
Змінні змінні показані червоним. Виходить вираз 1/4 = 1/5 - повне марення, ці числа ніколи не рівні.
А тепер – правильне рішення. Фактично, це звичайне лінійне рівняння . Вирішується або перенесенням всіх елементів в один бік, або за основною якістю пропорції:
Чимало читачів заперечать: «Де помилка в першому рішенні?» Що ж, розбираймося. Згадаймо правило роботи з рівняннями:
Будь-яке рівняння можна ділити та множити на будь-яке число, відмінне від нуля.
Просікли фішку? Можна ділити тільки числа, відмінні від нуля. Зокрема, можна ділити на змінну m тільки якщо m! = 0. А що робити, якщо все-таки m = 0? Підставимо та перевіримо:
Набули правильну числову рівність, тобто. m = 0 – корінь рівняння. Для інших m != 0 отримуємо вираз виду 1/4 = 1/5, що, звісно, не так. Таким чином, немає коренів, відмінних від нуля.
Висновки: збираємо всі разом
Отже, для розв'язання дрібно-раціональних рівнянь пам'ятайте три правила:
- Скорочувати можна лише множники. Доданки – не можна. Тому вчіться розкладати чисельник і знаменник на множники;
- Основна властивість пропорції: добуток крайніх елементів дорівнює добутку середніх;
- Рівняння можна множити і ділити тільки числа k , відмінні від нуля. Випадок k = 0 треба перевіряти окремо.
Пам'ятайте ці правила і не допускайте помилок.
