Як знайти точку перетину прямих заданих рівняннями. П.6.3.Як знайти точку перетину двох прямих

Коментарів 11

Завдання

Знайти точку перетину двох прямих відкладених від двох точок з відомими координатами та азимутів від цих точок.

Застосування

Для вивчення поведінки тварин часто використовують радіотелеметричний метод: об'єкт, що досліджується, позначається радіопередавачем, який випускає радіосигнал певної частоти і далі дослідник за допомогою приймача і приймаючої антени стежить за переміщеннями цього об'єкта. Одним з можливих способівВизначення точного розташування об'єкта є метод біангуляції. Для цього досліднику потрібно взяти 2 азимути на досліджуваний об'єкт з точок з відомими координатами. Розташування об'єкта буде відповідати точці перетину цих двох азимутів. Координати точок, з яких засікаються азимути, можна зняти за допомогою супутникового навігатора (GPS), або азимути знімаються з реперних точок, координати яких відомі заздалегідь. Азімут у цьому випадку – напрямок на джерело найбільш сильного сигналу, що виходить від міченого передавачем об'єкта, яке зазвичай вимірюється в градусах.

Перед розрахунками необхідно точки, отримані за допомогою GPS, перевести в спроектовану систему координат, наприклад, відповідну зону UTM, це можна зробити за допомогою DNRGarmin .

Для того щоб розраховане місце розташування об'єкта, що досліджується, найбільш точно відповідало реальному положенню потрібно враховувати наступне:

1) необхідно намагатися дочекатися моменту, щоб помилка визначення координат у навігаторі була якнайменша.

2) щоб кут між азимутами прагнув до 90 градусів (принаймні був більше 30 і менше 150 градусів).

Відстань, з якої слід знімати азимут, залежить від дальності дії передавача, при цьому застосовується емпіричне правило, що похибка у визначенні азимуту збільшується на 1 метр з віддаленням досліджуваного об'єкта на кожні 10 м. т.о. при знятті азимуту з відстанню до об'єкта 100 м похибка складе 10 м. Однак, це правило застосовується на рівній відкритій місцевості. Слід враховувати, що нерівності рельєфу та деревно-чагарникова рослинність екранують та відображають сигнал. Слід уникати перебування у безпосередній близькості досліджуваного об'єкта, т.к. по-перше, занадто сильний сигнал ускладнить визначення точного азимуту, а, по-друге, у деяких випадках буде неможливо розрахувати точку перетину через те, що другий азимут проходитиме за точкою зняття першого азимуту. Тимчасовий інтервал між зняттям пари азимутів має бути мінімізований, але, звичайно, залежить від рухливості тварини, що досліджується.

Рішення

Завдання вирішується за допомогою найпростішої геометріїта рішення системи рівнянь.
Для початку з точки та азимуту отримуємо рівняння прямої, для цього:

З рівняння загального вигляду:

ax + by + c = 0

за умови, що b<>0 отримуємо

y = kx + d , де k=-(a/b) , d=-(c/b)

таким чином, отримуємо

k=tan(a)
d=y-tan(a)*x
b=1

k1x + d1 = y
k2x + d2 = y

Отримуємо координати X та Y загальної точки двох прямих (точки перетину).

У рівнянні необхідно передбачити два особливі випадки, коли прямі паралельні (k1=k2).

Так як ми маємо справу не з векторами і не з променями, тобто в ліній немає початку і кінця, так само необхідно передбачити випадок перетину прямих поза сферою інтересу, т.зв. хибне перетин. Розв'язання цього завдання досягається вимірюванням азимуту з хибної точки a3 на точку 2, якщо азимут a3 = a2, то перетин хибне, зворотний азимут від отриманої точки назад на вихідні 2 не повинен дорівнювати одному з вихідних азимутів.

Необхідна процедурамовою Avenue виглядає так:

a1rad = (90-a1)*pi/180
a2rad = (90-a2)*pi/180"якщо лінія паралельна осі абсцис
if ((a1 = 0) or (a1 = 180)) then
l1a = 1
l1b = 0
l1c = x1
else
l1a = -(a1rad.tan)
l1b = 1
l1c = y1 - (a1rad.tan*x1)
end
if ((a2 = 0) or (a2 = 180)) then
l2a = 1
l2b = 0
l2c = x2
else
l2a = -(a2rad.tan)
l2b = 1
l2c = y2 - (a2rad.tan*x2)
end
D1 = l1a*l2b
D2 = l2a * l1b
D3 = D1 - D2
"Якщо лінії паралельні, у полі результату записуються неіснуючі значення
if (D3 = 0) then
resX = 9999
resY = 9999
else resX = ((l1c*l2b) - (l2c*l1b))/D3
resY = ((l1a * l2c) - (l2a * l1c)) / D3 end

1. Щоб знайти координати точки перетину графіків функцій, потрібно прирівняти обидві функції один до одного, перенести в ліву частинувсі члени, що містять $ x $, а в праву інші і знайти коріння, отриманого рівняння.
2. Другий спосіб полягає в тому, що потрібно скласти систему рівнянь та вирішити її шляхом підстановки однієї функції до іншої
3. Третій спосіб має на увазі графічну побудову функцій та візуальне визначення точки перетину.

Випадок двох лінійних функцій

Розглянемо дві лінійні функції $ f (x) = k_1 x + m_1 $ і $ g (x) = k_2 x + m_2 $. Ці функції називаються прямими. Побудувати їх досить легко, потрібно взяти будь-які два значення $x_1$ і $x_2$ і знайти $f(x_1)$ та $(x_2)$. Потім повторити те саме і з функцією $g(x)$. Далі візуально знайти координату точки перетину графіків функцій.

Слід знати, що лінійні функції мають лише одну точку перетину і лише тоді, коли $ k_1 \neq k_2 $. Інакше, у разі $k_1=k_2$ функції паралельні один одному, тому що $k$ - це коефіцієнт кута нахилу. Якщо $ k_1 \neq k_2 $, але $ m_1 = m_2 $, тоді точкою перетину буде $ M (0; m) $. Це правило бажано запам'ятати для прискореного вирішення завдань.

Приклад 1

Нехай дані $ f (x) = 2x-5 $ і $ g (x) = x +3 $. Знайти координати точки перетину графіків функцій.

Рішення

Як це зробити? Оскільки представлені дві лінійні функції, то насамперед дивимося на коефіцієнт кута нахилу обох функцій $ k_1 = 2 $ і $ k_2 = 1 $. Помічаємо, що $ k_1 \neq k_2 $ тому існує одна точка перетину. Знайдемо її за допомогою рівняння $ f (x) = g (x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ Переносимо доданки з $ x $ в ліву частину, а інші в праву: $$ 2x - x = 3+5 $$ Отримали $x=8$ абцису точки перетину графіків, а тепер знайдемо ординату. Для цього підставимо $ x = 8 $ у будь-яке з рівнянь хоч у $ f (x) $, або в $ g (x) $: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ Отже, $M(8;11)$ - є точкою перетину графіків двох лінійних функцій. Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо докладне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача!

Відповідь

$$ M (8;11) $$

Випадок двох нелінійних функцій

Приклад 3

Знайти координати точки перетину графіків функцій: $f(x)=x^2-2x+1$ та $g(x)=x^2+1$

Рішення

Як бути із двома нелінійними функціями? Алгоритм простий: прирівнюємо рівняння один до одного і знаходимо коріння: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Розносимо з різних боків рівняння члени з $ x $ і без нього: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ Знайдено абцису шуканої точки, але її недостатньо. Ще не вистачає ординати $y$. Підставляємо $ x = 0 $ у будь-яке з двох рівнянь умови завдання. Наприклад: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - точка перетину графіків функцій

Відповідь

$$ M (0;1) $$

Нехай дані дві прямі і потрібно знайти їх точку перетину. Так як ця точка належить кожній із двох даних прямих, то її координати повинні задовольняти як рівняння першої прямої, так і рівняння другої прямої.

Отже, щоб знайти координати точки перетину двох прямих, слід розв'язати систему рівнянь

Приклад 1. Знайти точку перетину прямих та

Рішення. Координати шуканої точки перетину ми знайдемо, розв'язавши систему рівнянь

Точка перетину М має координати

Покажемо, як збудувати пряму за її рівнянням. Для побудови прямої достатньо знати дві її точки. Щоб побудувати кожну з цих точок, ми задаємося довільним значенням однієї з координат, а потім з рівняння знаходимо відповідне значення іншої координати.

Якщо у загальному рівнянні прямий обидва коефіцієнти при поточних координатах не дорівнюють нулю, то для побудови цієї прямої найкраще знаходити точки її перетину з осями координат.

Приклад 2. Побудувати пряму.

Рішення. Знаходимо точку перетину даної прямої з віссю абсцис. Для цього вирішуємо спільно їх рівняння:

і отримуємо. Таким чином, знайдено точку М (3; 0) перетину даної прямої з віссю абсцис (рис. 40).

Вирішуючи потім спільно рівняння даної прямої та рівняння осі ординат

ми знаходимо точку перетину прямої з віссю ординат. Нарешті, будуємо пряму за її двома точками М і

Якщо дві прямі не паралельні, то вони неухильно перетнуться в одній точці. Виявити координати крапкиперетину 2-х прямих можна як графічним, і арифметичним методом, Залежно від того, які дані надає завдання.

Вам знадобиться

• - Дві прямі на кресленні;
• - Рівняння 2-х прямих.

Інструкція

1. Якщо прямі вже написані на графіку, виявіть рішення графічним методом. Для цього продовжіть обидві або одну з прямих так, щоб вони перетнулися. Після цього позначте точку перетину і опустіть перпендикуляр на вісь абсцис (як водиться, ох).

2. За допомогою шкали поділів, помічених на осі, знайдіть значення x для цієї точки. Якщо вона знаходиться на позитивному напрямку осі (праворуч від нульової позначки), то її значення буде правильним, у протилежному випадку – негативним.

3. Правильно також знайдіть ординату точки перетину. Якщо проекція точки розташована вище за нульову позначку – вона правильна, якщо нижче – негативна. Запишіть координати точки у вигляді (х, у) – це рішення рішення.

4. Якщо прямі задані у вигляді формул у=kх+b, ви можете вирішити задачу графічним методом: накресліть прямі на координатній сітці і виявіть рішення описаним вище методом.

5. Спробуйте знайти рішення задачі, застосовуючи дані формули. Для цього складіть із цих рівнянь систему та розв'яжіть її. Якщо рівняння дано як у=kх+b, примітивно прирівняйте обидві частини з і виявіть х. Після цього підставте значення х одне з рівнянь і виявіть у.

6. Можна знайти рішення шляхом Крамера. У такому разі приведіть рівняння до виду А1х+В1у+С1=0 та А2х+В2у+С2=0. Відповідно до формули Крамера х=-(С1В2-С2В1)/(А1В2-А2В1), а у=-(А1С2-А2С1)/(А1В2-А2В1). Зверніть увагу, якщо знаменник дорівнює нулю, то прямі паралельні або збігаються і, відповідно, не перетинаються.

7. Якщо вам дано прямі в просторі в канонічному вигляді, перед тим, як почати пошук рішення, перевірте, чи прямі не паралельні. Для цього оцініть показники перед t, якщо вони пропорційні, скажімо, x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t та x=-1+6t, y=-1+4t, z=-5 +2t, то прямі паралельні. Крім того, прямі можуть схрещуватися, у цьому випадку система не матиме рішення.

8. Якщо ви дізналися, що прямі перетинаються, знайдіть точку перетину. Спочатку прирівняйте змінні з різних прямих, умовно замінивши t на u для першої прямої та на v для 2-ї прямої. Скажімо, якщо вам дано прямі x=t-1, y=2t+1, z=t+2 та x=t+1, y=t+1, z=2t+8 ви отримаєте вирази типу u-1=v +1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.

9. Виразіть з одного рівняння u, підставте в інше та виявіть v (у даному завданні u=-2,v=-4). Тепер, щоб знайти точку перетину, підставте отримані значення замість t (байдуже, у перше чи друге рівняння) і отримайте координати точки x=-3, y=-3, z=0.

Для розгляду 2-х перетинаються прямихДосить розгляду їх у площині, оскільки дві прямі, що перетинаються, лежать в одній площині. Знаючи рівняння цих прямих, можна знайти координату їх точки перетину .

Вам знадобиться

• рівняння прямих

Інструкція

1. У декартових координатах загальне рівняння прямої виглідить так: Ax+By+C = 0. Нехай дві прямі перетинаються. Рівняння першої прямий має вигляд Ax+By+C = 0, 2-ї прямий – Dx+Ey+F = 0. Усі показники (A, B, C, D, E, F) мали бути зацікавленими заданы. Чтобы виявити точку перетинуцих прямихТреба вирішити систему цих 2-х лінійних рівнянь.

2. Для вирішення перше рівняння комфортно помножити на E, а друге – на B. У результаті рівняння матимуть вигляд: AEx+BEy+CE = 0, DBx+EBy+FB = 0. Пізніше віднімання другого рівняння з першого вийде: (AE- DB) x = FB-CE. Звідси, x = (FB-CE)/(AE-DB). За аналогією перше рівняння початкової системиможна помножити на D, друге – на A, потім знову від першого відняти другого. У результаті, y = (CD-FA)/(AE-DB). Отримані значення x і y будуть координатами точки перетину прямих .

3. Рівняння прямихтакож можуть записуватись через кутовий показник k, рівний тангенсукута нахилу прямої. І тут рівняння прямої має вигляд y = kx+b. Нехай зараз рівняння першої прямої - y = k1 * x + b1, а 2-ї прямої - y = k2 * x + b2.

4. Якщо прирівняти праві частини цих 2-х рівнянь, то вийде: k1 * x + b1 = k2 * x + b2. Звідси легко отримати, що x = (b1-b2)/(k2-k1). Після підстановки цього значення x у кожну з рівнянь, вийде: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). Значення x та y будуть задавати координати точки перетину прямих.У разі, якщо дві прямі паралельні або совпадають, то вони не мають загальних точок або мають дуже багато загальних точок відповідно. У цих випадках k1 = k2 знаменники для координат точок перетинубудуть звертатися в нуль, отже, система не матиме класичного рішення. Система може мати лише одне класичне рішення, Що безумовно, тому що дві несхожі і не паралельні один одному прямі можуть мати лише одну точку перетину .

Відео на тему