F x sinx функції комплексного змінного. Функції комплексної змінної. Диференціювання функцій комплексної змінної. Умови Коші-Рімана. Поняття функції комплексної змінної
Теорема
Для того, щоб функція w = f(z) , визначена в деякій галузі Dкомплексної площини, що була диференційована в точці z 0 = x 0 + iy 0 як функція комплексного змінного z, необхідно і достатньо, щоб її речова та уявна частини uі vбули диференційовані в точці ( x 0 ,y 0) як функції речових змінних xі yі щоб, крім того, у цій точці виконувались умови Коші – Рімана:
; ;Якщо умови Коші – Рімана виконані, то похідна f"(z) представима в будь-якій з наступних форм:
Доведення
Наслідки
Історія
Ці умови вперше з'явилися в роботі д "Аламбера (1752 р.). У роботі Ейлера, доповіданої Петербурзької академії наук в 1777 р., умови набули вперше характеру загальної ознакианалітичність функцій. Коші користувався цими співвідношеннями для побудови теорії функцій, починаючи з мемуару, представленого Паризької академії наук у 1814 р. Знаменита дисертація Рімана про основи теорії функцій відноситься до 1851
Література
- Шабат Б. В.Введення у комплексний аналіз. - М: Наука , . – 577 с.
- Тітчмарш Е.Теорія функцій: Пров. з англ. - 2-ге вид., перераб. - М: Наука , . – 464 с.
- Привалов І. І.Введення в теорію функцій комплексного змінного: Посібник для вищої школи. - М.-Л.: Державне видавництво, . – 316 с.
- Євграф М. А.Аналітичні функції. - 2-ге вид., перераб. та доповн. - М: Наука , . – 472 с.
Wikimedia Foundation. 2010 .
Дивитись що таке "Умови Коші - Рімана" в інших словниках:
Рімана, звані також умовами д'Аламбера Ейлера співвідношення, що пов'язують речову та уявну частини будь-якої диференційованої функції комплексного змінного. 1 Формулювання … Вікіпедія
Умови Коші Рімана, або умови Д'Аламбера Ейлера умови на речову u = u(x,y) та уявну v = v(x,y) частини функції комплексного змінного, що забезпечують нескінченну безперервну диференційність f(z) як функції комплексного… … Вікіпедія
Аламбера Ейлера умови, умови на дійсну і = і (х, у). і уявну v = v (x, у). частини функції комплексного змінного забезпечують моногенність і аналітичність f (z) як функції комплексного змінного. Щоб функція w=f(z),… … Математична енциклопедія
Огюстен Луї Коші Augustin Louis Cauchy … Вікіпедія
Огюстен Луї Коші Огюстен Луї Коші (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 серпня 1789, Париж 23 травня 1857, Со (О де Сен)) французький математик, член Паризької академії наук, розробив фундамент математичного аналізуі сам зробив величезний внесок у аналіз … Вікіпедія
Огюстен Луї Коші Огюстен Луї Коші (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 серпня 1789, Париж 23 травня 1857, Со (О де Сен)) французький математик, член Паризької академії наук, розробив фундамент математичного аналізу і сам зробив величезний внесок у аналіз … Вікіпедія
Огюстен Луї Коші Огюстен Луї Коші (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 серпня 1789, Париж 23 травня 1857, Со (О де Сен)) французький математик, член Паризької академії наук, розробив фундамент математичного аналізу і сам зробив величезний внесок у аналіз … Вікіпедія
Огюстен Луї Коші Огюстен Луї Коші (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 серпня 1789, Париж 23 травня 1857, Со (О де Сен)) французький математик, член Паризької академії наук, розробив фундамент математичного аналізу і сам зробив величезний внесок у аналіз … Вікіпедія
Розглянемо деяку комплексну величину $w$, яка задається виразом $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$, де $u(x,y),\, \, \, v(x,y)$ - дійсні функції речовинного змінного, $ z = x + yi $.
Ця величина є комплексною функцією речовинного змінного.
Визначення 1
Функція $w(z)$ називається аналітичною деякою точкою z, якщо дана функціядиференційована в околиці даної точки z.
Визначення 2
Функція називається аналітичною в деякій ділянці D, якщо вона є аналітичною в кожній точці даної області.
Нехай функції $u(x),\, \, \, v(x)$ є диференційованими.
Визначення 3
Вираз $w_(x) "=u"_(x) (x,y)+i\cdot v"_(x) (x,y)$ називається похідною комплексної функціїдійсного змінного за дійсним аргументом $x$.
Аналогічно визначається похідна за дійсним аргументом $ y $.
Для обчислення похідної скористаємося наступними формулами:
\ \
1) Для функції $w=(3x+2)+(x^(3) +2y)\cdot i$ отримуємо:
\ \
2) Для функції $w=(x+e^(y))+(3y^(2) +\ln x)\cdot i$ отримуємо:
\ \
Для того, щоб деяка функція $w(z)$ була диференційованою в деякій точці $z_(0) =x_(0) +y_(0) \cdot i$, необхідно і достатньо, щоб $u(x,y)$ і $v(x,y)$ були диференційованими в точці $(x_(0) ;y_(0))$ і виконувались такі умови:
\[\begin(array)(l) (\frac(\partial u(x,y))(\partial x) =\frac(\partial v(x,y))(\partial y) ) \\ ( \frac(\partial u(x,y))(\partial y) =-\frac(\partial v(x,y))(\partial x) ) \end(array).
Ці умови називаються умовами Коші-Рімана.
Примітка 1
Умови Коші-Рімана є співвідношеннями, які пов'язують речову та уявну частини диференційованої функції $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$, де $u(x,y),\, \, \, v(x,y)$ - дійсні функції речовинного змінного, $ z = x + yi $.
Виділимо дійсну та уявну частини функції. Покладемо $z=x+yi$ та отримаємо:
Отже, $u(x,y)=e^(1+2y) \cdot \cos(-2x);\, \, \, \, v(x,y)=e^(1+2y) \cdot \sin (-2x)$ - шукані дійсна і уявна частини функції.
Скористаємося умовами Коші-Рімана: $\frac(\partial u)(\partial x) =\frac(\partial v)(\partial y) ;\frac(\partial u)(\partial y) =-\frac( \partial v)(\partial x) $.
\[\begin(array)(l) (\frac(\partial u)(\partial x) =2e^(1+2y) \cdot \sin (-2x);\frac(\partial v)(\partial y) =2e^(1+2y) \cdot \sin (-2x)) \\ (2e^(1+2y) \cdot \sin (-2x)=2e^(1+2y) \cdot \sin ( -2x)) \end(array)\] \[\begin(array)(l) (\frac(\partial u)(\partial y) =2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x) ;\frac(\partial v)(\partial x) =-2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x)) \\ (2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x)= -(-2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x))) \end(array)\]
Умови Коші-Рімана виконуються для будь-яких дійсних $x,y$. Отже, функція є аналітичною для будь-яких дійсних $x,y$.
Знайдемо похідну функції та обчислимо значення похідної функції в заданій точці$z_(0) =\frac(\pi )(6) $.
Похідна функції має вигляд:
Обчислимо значення похідної функції у заданій точці
Насправді можна зустріти такі завдання.
Завдання 1
За заданою дійсною частиною $u(x,y)$ деякою функцією комплексної змінної $w(z)$ необхідно знайти уявну частину $v(x,y)$ цієї функції. Відновити функцію $w(z)$ за відомими дійсною та уявною частинами.
Завдання 2
За заданою уявною частиною $v(x,y)$ деякої функції комплексної змінної $w(z)$ необхідно знайти уявну частину $u(x,y)$ цієї функції. Відновити функцію $w(z)$ за відомими дійсною та уявною частинами.
Алгоритм розв'язання задачі 2 буде наступним:
- знайти дійсну частину за допомогою умов Коші-Рімана;
- скласти функцію $ w (z) = u (x, y) + v (x, y) \ cdot i $;
- виконати перетворення та виділити змінну $z=x+yi$ або $\overline(z)=x-yi$.
Зауваження 1
При вирішенні практичних завдань можуть стати в нагоді наступні співвідношення:
\ \ \
Зауваження 2
Операція поділу на уявну одиницю $i$ дорівнює операції множення на $-i$.
Приклад 3
Насправді $u(x,y)=-x^(2) +y^(2) -5y$ деякої функції комплексної змінної відновити її уявну частину $v(x,y)$ і відновити цю функцію, при цьому функція задовольняє початковій умові $w(0)=0$.
Знайдемо уявну частину $v(x,y)$ шуканої функції $w(z)$. Скористаємося першою умовою Коші-Рімана:
\[\frac(\partial u(x,y))(\partial x) =\frac(\partial v(x,y))(\partial y) .\]
Підставимо вихідні значення та отримаємо:
\[\frac(\partial v(x,y))(\partial y) =\frac(\partial (-x^(2) +y^(2) -5y))(\partial x) =-2x \] \ \
Знайдемо невідому функцію $\phi(x)$.
Скористаємося другою умовою Коші-Рімана:
\[\frac(\partial u(x,y))(\partial y) =-\frac(\partial v(x,y))(\partial x) .\] \ [\phi "(x) =5\Rightarrow \phi(x)=\int 5dx =5x+C\]
Отже,
Уявна частина шуканої функції $w(z)$ відновлена, тоді можемо записати саму функцію:
Перетворимо отриманий вираз:
\ [=-x^(2) +y^(2) -5y+-2xyi+5xi+Ci=(-x^(2) +y^(2) -2xyi)+(-5y+5xi)+Ci =\] \[=-(x^(2) +2xyi-y^(2))+5i\cdot (x-\frac(y)(i))+Ci\] \
Використовуючи початкову умову $w(0)=0$, знайдемо значення константи $C$.
Отже, потрібна функція має вигляд:
Уявна частина функції набуде вигляду.
Нехай функція W
=
f(Z)
задана на деякій множині і Z 0
, що належить E, гранична точка цієї множини. Надамо Z 0
=
x 0
+
i·
y 0
приріст Δ Z
=
Δ x+
i·
Δ y, щоб крапка Z
=
Z 0
+
Δ Zналежала безлічі Е. Тоді функція W
=
u+
i·
v
=
f(Z)
=
u(x,
y)+
i·
v(x,
y).
Отримаємо збільшення Δ W
=
Δ u+
i·
Δ v
= f(Z 0
+
Δ Z)
-
f(Z 0
)
=
Δ f(Z 0
)
,
.
Якщо існує кінцева межа 
, то він називається похідної функціїf(Z) у точціZ 0
по безлічіE, і позначається 
,
,
,
W"
.
Формально похідна функція комплексного змінного визначається так само як і похідна функції речовинного змінного, але зміст їх по-різному.
У визначенні похідної функції f(x) речової змінної в точці х 0 , x→ х 0 вздовж прямої. У разі функції комплексного змінного f(Z), Zможе прагнути до Z 0 по будь-якому шляху площині, що веде до точки Z 0 .
Тому вимога існування похідної функції комплексного змінного дуже жорстка. Цим і пояснюється, що навіть прості функції комплексного змінного немає похідної.
приклад.
Розглянемо функцію W
=
=
x-
i·
y. Покажемо, що ця функція не має похідної в жодній точці. Візьмемо будь-яку точку Z 0
=
x 0
+
i·
y 0
,
надамо їй збільшення Δ Z
=
Δ x+
i·
Δ yтоді функція отримає збільшення . Значить 
,
,
Спочатку розглядатимемо Δ Z
=
Δ x
+
i·
Δ yтакі, що Δ x
→ 0
, а Δ y
= 0
, тобто точка Z 0
+
Δ Z
→
Z 0
по горизонтальній прямій. При цьому ми отримаємо, що 
Тепер розглядатимемо приріст ∆ Zтакими, що ∆ x
= 0
, а ∆ y
→ 0
, тобто. коли Z 0
+
∆
Z→
Z 0
по вертикальній прямій, при цьому очевидно буде 
.
Отримані межі різні, тому відношення 
не має межі при ∆
Z
→ 0
, тобто функція 
не має похідної в будь-якій точці Z 0
.
З'ясуємо сенс похідної по множині. Нехай E- дійсна вісь, і W
=
f(Z)
=
x, тоді це є звичайна речова функція речової змінної f(x)
=
xі її похідна дорівнюватиме 1
(
).
Нехай тепер Е– це вся площина (Z). Покажемо, що функція f(Z)
=
xу цьому випадку немає похідної в жодній точці. Справді, у цьому випадку 
.Звідси видно, що якщо 
а 
, то 
. Якщо ж 
, а 
, то 
. Отже, ставлення 
не має межі при 
тому функція f(Z)
=
xне має похідної в жодній точці 
.
Зазначимо, що й розглядається комплексно-значна функція речовинної змінної , те з визначення похідної безпосередньо випливає, що 
, Отже, (це похідна по речовій осі).
Формула для збільшення функцій.
Нехай функція W
=
f(Z)
має в точці Z 0
похідну 
. Покажемо, що має місце уявлення(1), де величина 
, коли 
.
Справді, за визначенням похідної маємо 
, отже, величина 
, коли 
. Тому має місце уявлення (1) (помножимо обидві частини на 
і перенесемо 
у ліву частину).
Лекція №8 Диференційність та диференціал функції комплексного змінного
Функція W
=
f(Z)
називається що диференціюється в точціZ 0
, якщо в цій точці має місце уявлення (2), де A
- Фіксоване комплексне число, а величина 
прагне до нуля, коли 
.
Якщо функція W
=
f(Z)
диференційована в точці Z 0
, то головна лінійна щодо 
її частина A·
приріст 
у точці Z 0
називається диференціалом функції
f(Z)
у точці 
і позначається 
.
Має місце теорема.
Теорема.
Для того, щоб функціяW
=
f(Z) була диференційована в точціZ 0
необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці кінцеву похідну
, у своїй завжди виявляється, що у поданні (2) 
.
Доведення.
Необхідність.Нехай функція диференційована у точці Z 0
. Покажемо, що вона має в цій точці кінцеву похідну, і що ця похідна дорівнює числу А. Через диференціацію f(Z)
у точці Z 0
має місце уявлення (2), значить 
(3). Виробляючи тут граничний перехід при 
отримаємо, що 
, значить 
.
Достатність.Нехай функція f(Z)
має в точці Z 0
кінцеву похідну 
. Покажемо, що має місце уявлення (2). Через існування похідної 
має місце уявлення (1), але це і є уявлення (2), в якому A
=
. Достатність встановлено.
Як ми знаємо, диференціал , приймаючи як диференціал незалежної змінної Z
її приріст 
тобто, вважаючи 
, ми можемо записати 
і тому 
(це ставлення диференціалів, а чи не єдиний символ).
Нехай функція = u(x,y)+iv(x,y) визначена в околиці точки z
= x+iy. Якщо змінною zнадати збільшення
z=
x+i
y, то функція 
отримає приріст
=
(z+
z)–
=u(x+
x,
y+
y)+
+ iv(x+ x, y+ y) - u(x,y) - iv(x,y) = [u(x+ x, y+ y) –
– u(x,y)] + i[v(x+ x, y+ y) - v(x,y)] =
= u(x,y) + i v(x,y).
Визначення. Якщо існує межа
=
,
то ця межа називається похідною від функції 
у точці zі позначається через f(z) або 
. Таким чином, за визначенням,
=
=
.
(1.37)
Якщо функція 
має похідну в точці z, то кажуть, що функція 
диференційована в точці z. Очевидно, для диференціювання функції 
необхідно, щоб функції u(x,y) та v(x,y) були диференційовані. Однак цього мало для існування похідної f(z). Наприклад, для функції w=
=
x–iyфункції u(x,y)=x
і v(x,y)=–yдиференційовані у всіх точках M( x,y), але межа відносини 
при
x0,
y0 не існує, оскільки, якщо
y= 0,
x 0, то
w/
z= 1,
якщо ж x = 0, y 0, то w/z = -1.
Єдиної межі немає. Це означає, що функція
w=
не має похідну в жодній точці z. Для існування похідної від функції комплексного змінного потрібні додаткові умови. Які саме? Відповідь це питання дає така теорема.
Теорема.Нехай функції u(x,y) та v(x,y) диференційовані в точці M( x,y). Тоді для того, щоб функція
=
u(x,y)
+ iv(x,y)
мала похідну в точці z = x+iyнеобхідно і достатньо, щоб виконувались рівності
Рівності (1.38) називаються умовами Коші-Рімана.
Доведення. 1) Необхідність. Нехай функція 
має похідну в точці z, тобто існує межа
=
=
.(1.39)
Межа, що стоїть у правій частині рівності (1.39) не залежить від того, яким шляхом точка z = x+i yпрагне
до 0. Зокрема, якщо y = 0, x 0 (рис. 1.10), то
Якщо ж x = 0, y 0 (рис. 1.11), то
(1.41)
Рис.1.10 Мал. 1.11
Ліві частини у рівностях (1.40) та (1.41) рівні. Значить рівні та праві частини
Звідси слідує що
Таким чином, із припущення про існування похідної f(z) слідує виконання рівностей (1.38), тобто умови Коші-Рімана необхідні для існування похідної f(z).
1) Достатність. Припустимо, що рівності (1.38) виконані:
і доведемо, що у цьому випадку функція 
має похідну в точці z=
x+iy, тобто межа (1.39)
=
Існує.
Оскільки функції u(x,y) та v(x,y) диференційовані у точці M( x,y), то повне збільшення цих функцій у точці M( x,y) можна уявити у вигляді
,
де 1 0, 2 0, 1 0, 2 0 при x0, y0.
Тому що, в силу (1.38),
Отже,
=
,
1 = 1 +i 1 0, 2 = 2 +i 2 0 при z = x+iy0.
Таким чином,
Оскільки z 2 = x 2 + y 2 , то x/ z1, y/z1. Тому
при z
0.
Звідси слідує що права частинарівності (1.42) має межу при
z 0, отже, і ліва частинамає межу при
z 0, причому ця межа не залежить від того, яким шляхом
zпрагне до 0. Таким чином, доведено, що якщо у точці M(x,y) виконані умови (1.38), то функція 
має похідну в точці z
= x+iy, причому
.
Теорему доведено повністю.
У процесі доказу теореми отримано дві формули (1.40) та (1.42) для похідної від функції комплексного змінного
,
.
За допомогою формул (1.38) можна отримати ще дві формули
,
(1.43)
.
(1.44)
Якщо функція f(z) має похідну у всіх точках області D, то кажуть, що функція 
диференційована області D. Для цього необхідно і достатньо, щоб умови Коші-Рімана виконувались у всіх точках області D.
приклад.Перевірити умови Коші-Рімана для
функції e z .
Так як e z = e x+iy = e x(cos y + i sin y),
то u(x, y) = Re e z = e x cos y, v(x, y) = Im e z = e x sin y,
,
,
,
,
отже,
Умови Коші - Рімана для функції e zвиконані у всіх точках z. Таким чином, функція e zдиференційована на всій площині комплексної змінної, причому
Так само доводиться диференційність
функцій z n , cos z, sin z, ch z, sh z, Ln z, і справедливість формул
(z n) = n z n-1, (cos z) = -sin z, (sin z) = cos z,
(ch z) = sh z, (sh z) = ch z, (Ln z) = 1/z.
Для функцій комплексного змінного залишаються чинними всі правила диференціювання функцій дійсного змінного. p align="justify"> Доказ цих правил випливає з визначення похідної так само, як і для функцій дійсного змінного.
Поняття функції комплексної змінної
Спочатку освіжаємо знання про шкільної функціїоднієї змінної:
Функція однієї змінної – це правило, яким кожному значенню незалежної змінної (з області визначення) відповідає одне і лише одне значення функції . Природно, «ікс» та «ігрок» – дійсні числа.
У комплексному випадку функціональна залежність визначається аналогічно:
Однозначна функція комплексної змінної – це правило, яким кожному комплексному значенню незалежної змінної (з області визначення) відповідає одне і лише одне комплексне значення функції . Теоретично розглядаються також багатозначні та інші типи функцій, але для простоти я зупинюся однією визначенні.
Чим відрізняється функція комплексної змінної?
Головна відмінність: числа комплексні. Я не іронізую. Від таких питань нерідко впадають у ступор, наприкінці статті історію прикольну розповім. На уроці Комплексні числа для чайниківми розглядали комплексне число у вигляді. Оскільки зараз буква «зет» стала змінною, її ми позначатимемо так: , у своїй «ікс» і «гравець» можуть приймати різні дійсні значення. Грубо кажучи, функція комплексної змінної залежить від змінних і , які набувають «звичайних» значень. З цього факту логічно випливає наступний пункт:
Дійсна та уявна частина функції комплексної змінної
Функцію комплексної змінної можна записати у вигляді:
, де - дві функції двох дійсних змінних.
Функція називається дійсною частиною функції.
Функція називається уявною частиною функції.
Тобто, функція комплексної змінної залежить від двох дійсних функцій та . Щоб остаточно прояснити все розглянемо практичні приклади:
Рішення: Незалежна змінна «зет», як ви пам'ятаєте, записується у вигляді , тому:
(1) У вихідну функцію підставили.
(2) Для першого доданку використовували формулу скороченого множення . У доданку – розкрили дужки.
(3) Акуратно звели у квадрат, не забуваючи, що
(4) Перегрупування доданків: спочатку переписуємо доданки, в яких немає уявної одиниці (перша група), потім доданки, де є (друга група). Слід зазначити, що перетасовувати доданки не обов'язково, і цей етап можна пропустити (фактично виконавши його усно).
(5) У другої групи виносимо за дужки.
В результаті наша функція виявилася у вигляді
Відповідь:
- дійсна частина функції.
- Уявна частина функції.
Що це вийшло за функції? Найбільш звичайні функції двох змінних, від яких можна знайти такі популярні приватні похідні. Без пощади знаходити будемо. Але трохи згодом.
Коротко алгоритм вирішеної задачі можна записати так: у вихідну функцію підставляємо, проводимо спрощення і ділимо всі складові на дві групи - без уявної одиниці (дійсна частина) і з уявною одиницею (уявна частина).
Знайти дійсну та уявну частину функції
Це приклад для самостійного рішення. Перед тим як з шашками наголо кинутись у бій на комплексній площині, дозвольте дати самий важлива порадапо темі:
БУДЬТЕ УВАЖНІ! Уважним треба бути, звичайно, скрізь, але в комплексних числах слід бути уважним як ніколи! Пам'ятайте, що акуратно розкривайте дужки, нічого не втрачайте. За моїми спостереженнями найпоширенішою помилкою є втрата знака. Не поспішайте!
Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку.
Тепер куб. Використовуючи формулу скороченого множення, виведемо:
.
Формули дуже зручно використовувати практично, оскільки вони значно прискорюють процес рішення.
Диференціювання функцій комплексної змінної.
Умови Коші-Рімана
У мене є дві новини: хороша та погана. Почну з гарної. Для функції комплексної змінної справедливі правила диференціювання та таблиця похідних елементарних функцій. Таким чином, похідна береться так само, як і у випадку функції дійсної змінної .
Погана новина полягає в тому, що для багатьох функцій комплексної змінної похідної не існує взагалі, і доводиться з'ясовувати, чи та чи інша функція диференціюється. А «з'ясовувати», як чує ваше серце, пов'язане із додатковими заморочками.
Розглянемо функцію комплексної змінної. Для того, щоб ця функція була диференційована, необхідно і достатньо:
1) Щоб існували приватні похідні першого порядку. Про ці позначення відразу забудьте, оскільки теоретично функції комплексного змінного зазвичай використовується інший варіант записи: .
2) Щоб виконувались звані умови Коши-Римана:
Тільки в цьому випадку буде похідна!
Визначити дійсну та уявну частини функції 
. Перевірити виконання умов Коші-Рімана. У разі виконання умов Коші-Рімана знайти похідну функції.
Рішення розкладається на три послідовні етапи:
1) Знайдемо дійсну та уявну частину функції. Це завдання було розібрано у попередніх прикладах, тому запишу без коментарів:
Оскільки , то:
Таким чином: 
- дійсна частина функції; 
- Уявна частина функції.
Зупинюся ще на одному технічному моменті: у якому порядку записувати доданки в дійсній та уявній частинах? Так, в принципі, не має значення. Наприклад, дійсну частину можна записати так: , а уявну – так: .
3) Перевіримо виконання умов Коші Рімана. Їх два.
Почнемо з перевірки умови. Знаходимо приватні похідні:
Таким чином, умова виконана.
Безперечно, приємна новина- Приватні похідні майже завжди дуже прості.
Перевіряємо виконання другої умови: 
Вийшло одне й те саме, але з протилежними знаками, тобто умова також виконана.
Умови Коші-Рімана виконані, отже, функція диференційована.
3) Знайдемо похідну функції. Похідна теж дуже проста і знаходиться по звичайним правилам:
Уявна одиниця при диференціюванні вважається константою.
Відповідь: - дійсна частина, - Уявна частина.
Умови Коші-Рімана виконані.
Інтеграл ФКП. Теорема Коші.
Формула ( 52 ) називається інтегральною формулою Коші або інтегралом Коші. Якщо як контур в ( 52 ) вибрати коло , то, замінюючи і враховуючи, що - диференціал довжини дуги , інтеграл Коші можна представити у вигляді формули середнього значення:
Крім самостійного значення інтегральної формули Коші, ( 52 ), (54 ) фактично дають дуже зручний спосібобчислення контурних інтегралів, які, як видно, виражаються через значення "залишку" підінтегральної функції у точці, де ця функція має особливість.
Приклад 3-9. Обчислити інтеграл від функції 
по контуру 
(рис.20).
Рішення. Точка , у якій функція має особливість, на відміну прикладу 4-1, знаходиться всередині кола . Представимо інтеграл у формі ( 52 ):
 |  |
Формула Коші.
Нехай - область на комплексній площині з кусково-гладким кордоном, функція - голоморфна в - точка всередині області. Тоді справедлива така формула Коші:
Формула справедлива також, якщо припускати, що голоморфна всередині , і безперервна на замиканні, а також якщо кордон не шматково-гладка, а лише спрямовується. (Голоморфна функція-функція комплексного числа, кусково-гладка-функція речовинного числа)
Елементарні ФКП: функція Тейлора, тригонометричні функції, гіперболічні функції, зворотні тригонометричні функції, логарифмічні функції, формула Коші
