Застосування тригонометричних функцій у науці. Як вивчати тригонометрію. Тригонометрія в архітектурі

дослідження, початок якого нагадує невелику хвилю, після чого спостерігається систолічний підйом. Маленька хвиля зазвичай показує скорочення передсердя. З початком підйому збігається початок вигнання крові в аорту. На цій стрічці можна побачити ще одну максимально високу вершину, яка сигналізує про закриття напівмісячних клапанів. Форма даного відрізка максимального підйому може бути досить різноманітною, що призводить до різних результатів дослідження. Після максимального підйому слід спуск кривої, який триває до кінця. Цей відрізок верхівкової кардіограми супроводжується відкриттям мітрального клапана. Після цього – незначне піднесення хвилі. Він вказує на час швидкого заповнення. Решта відрізок кривої позначається як час пасивного наповнення шлуночка. Таке дослідження правого шлуночка здатне зазначити можливі патологічні відхилення.

Тригонометрія в медицині

Керівник: Козлова Людмила Василівна

Мета роботи: Вивчити використання тригонометрії у медицині. Після роботи, я вивчила використання тригонометрії в медицині: складання біоритмів людини, кардіології. Вона дає основу для складання формул органів людини, що згодом допоможе лікувати будь-які захворювання. Ця робота розповідає, у яких саме сферах медицини застосовуються знання з тригонометрії. Завдяки цій роботі я з'ясувала основні принципи читання електрокардіограми та самостійно зможу відрізнити нормальний результат обстеження від яскравих відхилень.

ВСТУП

Актуальність: Вперше з тригонометрією я зіткнулася у восьмому класі, коли ми почали вивчати ази цього розділу математики. Найпростіші правила визначення синуса та косинуса здалися мені дуже легкими, тому не викликали особливого інтересу. Пізніше, коли я почала навчатися в десятому класі, то було зрозуміло відразу, що тригонометрія-це величезний розділ математики, що поєднує велику кількість знань та теорії. Надалі я з'ясувала, що знання про тригонометрію дуже універсальні для всіх сфер діяльності. Вони мають широке застосування в астрономії, географії, теорії музики, аналіз фінансових ринків, електроніки, теорії ймовірності, статистики, біології, медицини, фармацевтики, хімії, криптографії та багато інших.

Тригонометрія (від грец. τρίγωνον (трикутник) і грец. μέτρεο (міряю), тобто вимір трикутників) - розділ математики, в якому вивчаються тригонометричні функції та їх використання в геометрії.

Термін «тригонометрія» ввів у вжиток 1595 німецький математик і богослов Варфоломій Пітіск, автор підручника з тригонометрії та тригонометричних таблиць. До кінця 16 ст. більшість тригонометричних функцій було відомо, хоча саме це поняття ще існувало.

Вчені обробляли дані вимірювань, щоб вести календар та правильно визначати час початку сівби та збирання врожаю, дати релігійних свят. За зірками обчислювали місцезнаходження корабля у морі чи напрямок руху каравану в пустелі. Як відомо, тригонометрія застосовується у математиці, а й у інших сферах науки. Ця робота розповідає, у яких саме сферах медицини застосовуються знання з геометрії.

Одне з головних застосувань – кардіологія. Апарати ЕКГ знімають кардіограму людей, фіксуючи удари серця. Після спілкування з фахівцем із читання графіків електрокардіограми я з'ясувала, щографік є зміненою синусоїдою. І тут важлива кожна нерівність графіка. Кількість інтервалів і зубців, максимум і мінімум стрибків, довжина періодів: все це відіграє важливу роль у визначенні діагнозу та правильності лікування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

МЕТА: Вивчити використання тригонометрії у медицині.

ЗАВДАННЯ:

Вивчити історію тригонометрії.

З'ясувати, у яких галузях медицини застосовується тригонометрія.

Виконати практичну частину роботи, з'ясувати принцип, який спираються лікарі-кардіологи, читаючи графік електрокардіограми.

1.2.ІСТОРІЯ

Перші тригонометричні таблиці, очевидно, були складені Гіппархом, який зараз відомий як «батько тригонометрії».

Давньогрецькі математики у своїх побудовах, пов'язаних із виміром дуг кола, використовували техніку хорд. Перпендикуляр до хорди, опущений з центру кола, ділить навпіл дугу і хорду, що спирається на неї. Половина поділеної навпіл хорди - це синус половинного кута, і тому функція синус відома також як половина хорди. Для компенсації відсутності таблиці хорд математики, часів Аристарха, іноді використовували добре відому теорему, у сучасному записі -

де 0°< β < α < 90°,

Перші тригонометричні таблиці були, ймовірно, складені Гіппарх Нікейський (180-125 років до н. Е..). Гіппарх був першим, хто звів у таблиці відповідні величини дуг та хорд для серії кутів. Систематичне використання повного кола 360° встановилося переважно завдяки Гіппарху.

Пізніше Клавдій Птолемей (90 - 168 р. зв. е.) в "Альмагесті" розширив Гіппархови "Хорди в колі". Тринадцять книжок «Альмагеста» - найважливіша тригонометрична робота всієї античності. Пізніше Птолемей вивів формулу половинного кута. Птолемей використав ці результати для створення своїх тригонометричних таблиць, які не збереглися до наших днів.

Заміна хорд синусами стала головним досягненням середньовічної Індії. З VIII століття вчені країн Близького та Середнього Сходу розвинули тригонометрію. Після того, як трактати мусульманських учених були перекладені латиною, багато ідей стали надбанням європейської та світової науки.

2. ТРИГОНОМЕТРІЯ В МЕДИЦІНІ

2.1.БІОРИТМИ

Біоритми - періодично повторювані зміни характеру та інтенсивності біологічних процесів та явищ. Вони властиві живої матерії всіх рівнях її організації- від молекулярних до біосфери. Одні біологічні ритми щодо самостійні (частота скорочень серця, дихання), інші пов'язані з пристосуванням організмів до геофізичних циклів – добовим (коливання інтенсивності поділу клітин, обміну речовин).

Людина від дня народження перебуває у трьох, біоритмах: фізичному, емоційному та інтелектуальному.

Фізичний цикл дорівнює 23 дням. Він визначає енергію людини, її силу, витривалість, координацію руху.

Емоційний цикл (28 дні) зумовлює стан нервової системи та настрій.

Інтелектуальний цикл (33 дні) визначає творчу здатність особистості.

Кожен із циклів складається з двох напівперіодів, позитивного та негативного.

Протягом першої половини фізичного циклу людина енергійна і досягає кращих результатів у своїй діяльності; у другій половині циклу енергійність поступається лінощі.

У першій половині емоційного циклу людина весела, агресивна, оптимістична, переоцінює свої можливості, у другій половині - дратівлива, легко збудлива, недооцінює свої можливості, песимістична, все критично аналізує.

Рис.1. Біоритми

Модель біоритмів будують за допомогою графіків тригонометричних функцій. В інтернеті знаходиться безліч сайтів, які займаються розрахунком біоритмів. Для цього необхідно запровадити дату народження людини (день, місяць, рік) та тривалість прогнозу.

2.2. Формула серця

В результаті дослідження, проведеного студентом іранського університету Шираз Вахідом-Різою Аббасі, медики вперше отримали можливість упорядкувати інформацію, що стосується електрокардіографії.

Формула, що отримала назву тегеранської,являє собою комплексну алгебраїчно-тригонометричну рівність, що складається з 8 виразів, 32 коефіцієнтів та 33 основних параметрів, включаючи кілька додаткових для розрахунків у випадках аритмії. Як стверджують медики, ця формула значно полегшує процес опису основних параметрів діяльності серця, прискорюючи, постановку діагнозу та початок лікування..

На даний момент не відома точна інформація щодо питання, ведуться активні роботи та дослідження з цієї теми.

Російські вчені вивели математичну формулу серця. Завдяки цим рівнянням можна вирахувати, спрогнозувати та запобігти будь-якому серцевому захворюванню. Єдина у Росії лабораторія математичної фізіології діє при Єкатеринбурзькому Інституті імунології та фізіології.

Проблема математичних описів фізіологічних функцій організму – друга проблема після проблеми ДНК людини. У майбутньому будуть обчислені формули інших органів людини, і медики за допомогою елементарних рівнянь зможуть прогнозувати та лікувати будь-яку хворобу.

Людина - найскладніший механізм, у якому безупинно відбуваються фізичні та хімічні процеси. Якщо всі процеси перекласти на мову рівнянь, то можна буде вивести єдину формулу людини.

Математики створили модель серцевого м'яза, який біологи віртуально поєднали зі справжньою живою тканиною. У комп'ютерній програмі вчені задають серцю різні навантаження і спостерігають, як воно поводиться. Вивчивши різні алгоритми, що імітують діяльність серця, вчені зможуть робити реальні прогнози.

2. 3. ЕЛЕКТРОКАРДІОГРАМА

Застосований у практичних цілях у 70-х роках 19 століття англійцем А.Уоллером апарат, що записує електричну активність серця, продовжує служити людині й донині. Електрокардіограф дозволяє виявити явні відхилення від нормального ритму серця, такі як Інфаркт міокарда, Ішемічна хвороба серця, синусова брадикардія, тахекардія, аритмія, синдром слабкості синусового вузла тощо. Як відрізнити нормальні знімки ЕКГ від яскраво виражених захворювань?

3.ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА РОБОТИ

Після того, як мені вдалося поспілкуватися з фахівцем розшифрування кардіограми в нашій лікарні, я дізналася багато корисної інформації для моєї дослідницької роботи.

Графік електрокардіограми є зміненою синусоїдою. І тут важлива кожна нерівність графіка. Кількість інтервалів і зубців, максимум і мінімум стрибків, довжина періодів: все це відіграє важливу роль у визначенні діагнозу та правильності лікування. Тому графік ЕКГ завжди друкується на міліметровому папері.

При розшифровці результатів ЕКГ проводять вимір тривалості інтервалів між її складовими. Цей розрахунок необхідний для оцінки частоти ритму, де форма і величина зубців у різних відведеннях буде показником характеру ритму, що відбуваються електричні явища в серці та електричної активності окремих ділянок міокарда, тобто електрокардіограма показує, як працює наше серце в той чи інший період.

Більш строга розшифровка ЕКГ проводиться за допомогою аналізу та розрахунку площі зубців при використанні спеціальних відведень, однак у практиці обходяться показником напрямку електричної осі, яка є сумарним вектором.

Існують різні способи розшифровування ЕКГ. Деякі фахівці ґрунтуються на формулах і розраховують усе за ними; так частоту серцевих скорочень можна обчислити за такою формулою: деR- Rтривалість інтервалу, а деякі користуються готовими даними, що теж забороняє вітчизняна медицина. На малюнку 2 подано результати розрахунків ЧСС залежно від інтервалу.

Рис.2

Рис.2. Оцінка ЧНС

Рис.3. Види кардіограм

На рис.3 представлені три види кардіограми. Перша кардіограма здорової людини, друга, тієї самої людини, тільки з синусової тахікардією, після фізичного навантаження, а третя кардіограма хворої людини з синусовою аритмією.

ВИСНОВОК:

Після виконаної роботи я вивчила використання тригонометрії в медицині: складання біоритмів людини, кардіології. Вона дає основу для складання формул органів людини, що згодом допоможе лікувати будь-які захворювання. Завдяки цій роботі я з'ясувала основні принципи читання електрокардіограми та самостійно зможу відрізнити нормальний результат обстеження від яскравих відхилень.

БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК

Електрокардіографія: Навч. допомога. -5-е видання. - М.: МЕДпрес-інформ, 2001. - 312с., Іл.

Інтернет-джерела: Анатомія коронального клапана/Професор, доктор мед. наук Ю.П. Островський

align=center>

Тригонометрія- мікророзділ математики, в якому вивчаються залежності між величинами кутів та довжинами сторін трикутників, а також алгебраїчні тотожності тригонометричних функцій.
Існує безліч областей, у яких застосовуються тригонометрія та тригонометричні функції. Тригонометрія або тригонометричні функції використовуються в астрономії, в морській та повітряній навігації, в акустиці, в оптиці, в електроніці, в архітектурі та інших областях.

Історія створення тригонометрії

Історія тригонометрії, як науки про співвідношення між кутами та сторонами трикутника та інших геометричних фігур, охоплює понад два тисячоліття. Більшість таких співвідношень не можна висловити за допомогою звичайних операцій алгебри, і тому знадобилося ввести особливі тригонометричні функції, спочатку оформлялися у вигляді числових таблиць.
Історики вважають, що тригонометрію створили древні астрономи, трохи згодом її почали використовувати у архітектурі. Згодом сфера застосування тригонометрії постійно розширювалася, у наші дні вона включає практично всі природничі науки, техніку та низку інших галузей діяльності.

Ранні віки

Від вавілонської математики веде початок звичне нам вимір кутів градусами, хвилинами і секундами (введення цих одиниць в давньогрецьку математику зазвичай приписують II століття до н. Е..).

Головним досягненням цього періоду стало співвідношення катетів і гіпотенузи в прямокутному трикутнику, яке пізніше отримало ім'я теореми Піфагора.

Стародавня Греція

Загальне та логічно зв'язне виклад тригонометричних співвідношень з'явилося в давньогрецькій геометрії. Грецькі математики ще виділяли тригонометрію як окрему науку, їм вона була частиною астрономії.
Основним досягненням античної тригонометричної теорії стало рішення у загальному вигляді завдання «вирішення трикутників», тобто знаходження невідомих елементів трикутника, виходячи з трьох заданих його елементів (з яких хоча б один є стороною).
Прикладні тригонометричні завдання відрізняються великою різноманітністю - наприклад, можуть бути задані результати дій над перерахованими величинами (наприклад, сума кутів або відношення довжин сторін).
Паралельно з розвитком тригонометрії площини греки під впливом астрономії далеко просунули сферичну тригонометрію. У «Початках» Евкліда на цю тему є лише теорема щодо відношення обсягів куль різного діаметра, але потреби астрономії та картографії викликали швидкий розвиток сферичної тригонометрії та суміжних з нею областей – системи небесних координат, теорії картографічних проекцій, технології астрономічних приладів.

Середньовіччя

У IV столітті після загибелі античної науки центр розвитку математики перемістився в Індію. Вони змінили деякі концепції тригонометрії, наблизивши їх до сучасних: наприклад, першими ввели у використання косинус.

Першим спеціалізованим трактатом з тригонометрії було твір середньоазіатського вченого (X-XI століття) "Книга ключів науки астрономії" (995-996 роки). Цілий курс тригонометрії містив головну працю Аль-Біруні - «Канон Мас'уда» (книга III). Крім таблиць синусів (з кроком 15") Аль-Біруні дав таблиці тангенсів (з кроком 1°).

Після того як арабські трактати були в XII-XIII століттях перекладені латиною, багато ідей індійських і перських математиків стали надбанням європейської науки. Очевидно, перше знайомство європейців з тригонометрією відбулося завдяки зиджу, два перекладу якого було виконано в XII столітті.

Першим європейським твором, цілком присвяченим тригонометрії, часто називають «Чотири трактати про прямі і звернені хорди» англійського астронома Річарда Воллінгфордського (близько 1320). Тригонометричні таблиці, частіше перекладні з арабської, але іноді й оригінальні, містяться в творах інших авторів XIV-XV століть. Тоді ж тригонометрія зайняла місце серед курсів університетів.

Новий час

Розвиток тригонометрії в Новий час став надзвичайно важливим не тільки для астрономії та астрології, але й для інших додатків, насамперед артилерії, оптики та навігації при далеких морських подорожах. Тому після XVI століття цією темою займалися багато видатних вчених, у тому числі Микола Коперник, Йоган Кеплер, Франсуа Вієт. Коперник присвятив тригонометрії два розділи у своєму трактаті «Про обертання небесних сфер» (1543). Незабаром (1551) з'явилися 15-значні тригонометричні таблиці Ретіка, учня Коперника. Кеплер опублікував працю «Оптична частина астрономії» (1604).

Вієт у першій частині свого «Математичного канону» (1579) помістив різноманітні таблиці, у тому числі тригонометричні, а в другій частині дав ґрунтовний та систематичний, хоча і без доказів, виклад плоскої та сферичної тригонометрії. У 1593 році Вієт підготував розширене видання цієї капітальної праці.
Завдяки працям Альбрехта Дюрера, на світ з'явилася синусоїда.

XVIII століття

Сучасний вигляд тригонометрії надав. У трактаті «Вступ до аналізу нескінченних» (1748) Ейлер дав визначення тригонометричних функцій, еквівалентне сучасному, і визначив зворотні функції.

Ейлер розглядав як допустимі негативні кути і кути, великі 360°, що дозволило визначити тригонометричні функції на всій числовій числовій прямій, а потім продовжити їх на комплексну площину. Коли постало питання поширенні тригонометричних функцій на тупі кути, знаки цих функцій до Ейлера нерідко вибиралися помилково; багато математиків вважали, наприклад, косинус і тангенс тупого кута позитивними. Ейлер визначив ці знаки для кутів у різних координатних квадрантах, з формул приведення.
Загальною теорією тригонометричних рядів Ейлер не займався і збіжність отриманих рядів не досліджував, але отримав кілька важливих результатів. Зокрема, він вивів розкладання цілих ступенів синуса та косинуса.

Застосування тригонометрії

За своїм праві ті, хто каже, що тригонометрія в реальному житті не потрібна. Ну, якими є її звичайні прикладні завдання? Виміряти відстань між недоступними об'єктами.
Велике значення має техніка тріангуляції, що дозволяє вимірювати відстані до недалеких зірок в астрономії між орієнтирами в географії, контролювати системи навігації супутників. Також слід відзначити застосування тригонометрії в таких областях, як техніка навігації, теорія музики, акустика, оптика, аналіз фінансових ринків, електроніка, теорія ймовірностей, статистика, біологія, медицина (включаючи ультразвукове дослідження (УЗД) та комп'ютерну томографію), фармацевтика, хімія, теорія чисел (і, як наслідок, криптографія), сейсмологія, метеорологія, океанологія, картографія, багато розділів фізики, топографія та геодезія, архітектура, фонетика, економіка, електронна техніка, машинобудування, комп'ютерна графіка, кристалографія і т.д.
Висновок:тригонометрія - величезна помічниця у нашому повсякденному житті.

Застосування тригонометрії у фізиці та її завданнях

Практичне застосування тригонометричних рівнянь у реальному житті

Існує безліч областей, у яких застосовуються тригонометрії. Наприклад, метод тріангуляції використовується в астрономії для вимірювання відстані до найближчих зірок, географії для вимірювання відстаней між об'єктами, а також у супутникових навігаційних системах. Синус та косинус мають фундаментальне значення для теорії періодичних функцій, наприклад при описі звукових та світлових хвиль.

Тригонометрія використовуються в астрономії (особливо для розрахунків положення небесних об'єктів, коли потрібна сферична тригонометрія), в морській та повітряній навігації, в теорії музики, в акустиці, в оптиці, в аналізі фінансових ринків, в електроніці, в теорії ймовірностей, у статистиці, в біології, в медичній візуалізації (наприклад, комп'ютерна томографія та ультразвук), в аптеках, в хімії, в теорії чисел, в метеорології, в океанографії, у багатьох фізичних науках, у межуванні та геодезії, в архітектурі, у фонетиці, в економіці, в електротехніки, у машинобудуванні, у цивільному будівництві, у комп'ютерній графіці, у картографії, у кристалографії, у розробці ігор та багатьох інших областях.

У навколишньому світі доводиться зіштовхуватися з періодичними процесами, які повторюються через однакові проміжки часу. Ці процеси називаються коливальними. Коливальні явища різної фізичної природи підпорядковуються загальним закономірностям і описуються однаковими рівняннями. Існують різні види коливальних явищ.

Гармонічне коливання - явище періодичного зміни будь-якої величини, у якому залежність від аргументу має характер функції синуса чи косинуса. Наприклад, гармонійно коливається величина, що змінюється у часі таким чином:

Де х - значення величини, що змінюється, t - час, А - амплітуда коливань, ω - циклічна частота коливань, - повна фаза коливань, r - початкова фаза коливань.

Узагальнене гармонійне коливання в диференціальному вигляді x'+ ω²x = 0.

Камінь кинутий на схилі гори під кутом до її поверхні. Визначте дальність польоту каменю, якщо початкова швидкість каменю дорівнює v0, кут нахилу гори до горизонту β. Опір повітря не враховувати.

Рішення.Складне рух каменю по параболі потрібно як результат накладання двох прямолінійних рухів: одного вздовж поверхні Землі, іншого - за нормалі до неї.

Виберемо прямокутну систему координат з початком відліку в точці кидання каменю так, щоб осі OXі OYзбіглися із зазначеними напрямками, і знайдемо складові векторів початкової швидкості v 0 та прискорення вільного падіння g по осях. Проекції цих складових на осі OXі OYрівні відповідно:
v 0 cosα v 0; -g sinβ -g cosβ

Після цього складний рух можна розглядати як два простіші: рівнозамедлений рух уздовж поверхні Землі з прискоренням g sinβ і рівноперемінний рух, перпендикулярний схилу гори, з прискоренням g cosβ.

Складаємо рівняння руху для кожного напрямку з урахуванням того, що за час t всього руху переміщення каменю нормалі до поверхні (по осі OY) виявилося рівним нулю, а вздовж поверхні (по осі OX) - рівним s:

За умовою задачі v 0 ,α і β нам задані, тому у складених рівняннях є дві невідомі величини s та t1.

З першого рівняння визначаємо час польоту каменю:

Підставляючи цей вислів у друге рівняння, знаходимо:

S= v 0 cosα∙ =
=

Аналізуючи рішення наведеної завдання, можна дійти невтішного висновку, що математика має апарат і його при реалізації між предметної зв'язку фізики і математики веде до усвідомлення єдності світу та інтеграції наукових знань.

Математика постає як своєрідний мову, необхідний кодування змістовної фізичної інформації.

Використання між предметного зв'язку фізики та математики веде до порівнювання цих двох наук і дозволяє посилювати якісну теоретичну та практичну підготовку учнів.

Потреба у вирішенні трикутників найперше виявилася в астрономії; тому, протягом багато часу тригонометрія розвивалася і вивчалася як із розділів астрономії.

Складені Гіппархом таблиці положень Сонця та Місяця дозволили передраховувати моменти настання затемнень (з помилкою 1-2 год). Гіппарх вперше почав використовувати в астрономії методи сферичної тригонометрії. Він підвищив точність спостережень, застосувавши наведення на світило хрест ниток в кутомірних інструментах - секстантах і квадрантах. Вчений склав величезний на той час каталог положень 850 зірок, розділивши їх по блиску на 6 ступенів (зіркових величин). Гіппарх запровадив географічні координати - широту та довготу, і його можна вважати засновником математичної географії. (бл. 190 до н. е. – бл. 120 до н. е.)

І інженерної справи. Велике значення має техніка тріангуляції, що дозволяє вимірювати відстані до недалеких зірок в астрономії, між орієнтирами в географії, контролювати системи навігації супутників. Також слід відзначити застосування тригонометрії в таких областях, як теорія музики, акустика, оптика, аналіз фінансових ринків, електроніка, теорія ймовірностей, статистика, біологія, медицина (включаючи ультразвукове дослідження (УЗД) та комп'ютерну томографію), фармацевтика, хімія, теорія і, як наслідок, криптографія), сейсмологія, метеорологія, океанологія, картографія, багато розділів фізики, топографія та геодезія, архітектура, фонетика, економіка, електронна техніка, машинобудування, комп'ютерна графіка, кристалографія.

У Школі СРСР мала статус навчального предмета.

Визначення тригонометричних функцій

Спочатку тригонометричні функції були пов'язані із співвідношеннями сторін у прямокутному трикутнику. Їхнім єдиним аргументом є кут (один з гострих кутів цього трикутника).

• Синус - ставлення протилежного катета до гіпотенузи.
• Косинус – відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
• Тангенс - ставлення протилежного катета до прилеглого.
• Котангенс - ставлення прилеглого катета до протилежного.
• Секанс - ставлення гіпотенузи до катета.
• Косеканс – відношення гіпотенузи до протилежного катету.

Дані визначення дозволяють обчислити значення функцій для гострих кутів, тобто від 0 до 90 (від 0 до радіан). У у вісімнадцятому сторіччі Леонард Ейлер дав сучасні, загальні визначення, розширивши область визначення цих функцій протягом усього числову вісь . Розглянемо в прямокутній системі координат коло одиничного радіусу (див. малюнок) і відкладемо від горизонтальної осі кут (якщо величина кута позитивна, то відкладаємо проти годинникової стрілки, інакше за годинниковою стрілкою). Точку перетину побудованої сторони кута з колом позначимо A. Тоді:

Для гострих кутів нові визначення збігаються з колишніми.

Можливо також суто аналітичне визначення цих функцій, яке пов'язані з геометрією і представляє кожну функцію її розкладанням у нескінченний ряд.

Історія

Стародавня Греція

Давньогрецькі математики у своїх побудовах, пов'язаних із виміром дуг кола, використовували техніку хорд. Перпендикуляр до хорди, опущений з центру кола, ділить навпіл дугу і хорду, що спирається на неї. Половина поділеної навпіл хорди - це синус половинного кута, і тому функція синус відома також як половина хорди. Завдяки цій залежності, значне число тригонометричних тотожностей і теорем, відомих сьогодні, були також відомі давньогрецьким математикам, але в еквівалентній хордовій формі.

Хоча в роботах Евкліда і Архімеда немає тригонометрії у строгому значенні цього слова, їх теореми представлені в геометричному вигляді, еквівалентному специфічним тригонометричним формулам. Теорема Архімеда для поділу хорд еквівалентна формулам для синусів суми та різниці кутів. Для компенсації відсутності таблиці хорд математики часів Аристарха іноді використовували добре відому теорему, в сучасному записі – sin α/ sin β< α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, совместно с другими теоремами.

Теорема Птолемея спричиняє еквівалентність чотирьох формул суми та різниці для синуса та косинуса. Пізніше Птолемей вивів формулу половинного кута. Птолемей використав ці результати для створення своїх тригонометричних таблиць, хоча, можливо, ці таблиці були виведені з робіт Гіппарха. Ні таблиці Гіппарха, ні Птолемея не збереглися до сьогодні, хоча свідчення інших древніх авторів знімають сумніви про існування.

Середньовічна Індія

Інші джерела повідомляють, що заміна хорд синусами стала головним досягненням Середньовічної Індії. Така заміна дозволила вводити різні функції, пов'язані зі сторонами та кутами прямокутного трикутника. Таким чином, в Індії було започатковано тригонометрію як вчення про тригонометричні величини.

Індійські вчені користувалися різними тригонометричними співвідношеннями, у тому числі і тими, які в сучасній формі виражаються як

Індійці також знали формули для кратних кутів, де.

Тригонометрія необхідна астрономічних розрахунків, які оформляються як таблиць. Перша таблиця синусів є у «Сурья-сиддханте» і в Аріабхати. Пізніше вчені склали докладніші таблиці: наприклад, Бхаскара наводить таблицю синусів через 1°.

Південноіндійські математики в 16 столітті досягали великих успіхів у сфері підсумовування нескінченних числових рядів. Очевидно, вони займалися цими дослідженнями, коли шукали способи обчислення точніших значень числа π. Нілаканта словесно наводить правила розкладання арктангенса в нескінченний статечний ряд. А в анонімному трактаті «Каранападдхаті» («Техніка обчислень») дано правила розкладання синуса та косинуса в нескінченні статечні ряди. Треба сказати, що у Європі до подібних результатів підійшли лише 17-18 ст. Так, ряди для синуса і косинуса вивів Ісаак Ньютон близько 1666, а ряд арктангенса був знайдений Дж. Грегорі в 1671 і Г. В. Лейбніцем в 1673.

У 8 ст. вчені країн Близького та Середнього Сходу познайомилися з працями індійських математиків та астрономів і переклали їх на арабську мову. У середині 9 століття середньоазіатський учений аль-Хорезмі написав твір «Про індійський рахунок». Після того як арабські трактати були перекладені латиною, багато ідей індійських математиків стали надбанням європейської, а потім і світової науки.

Див. також

Примітки

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Волков, Олександр Мелентійович
• CP855

Дивитись що таке "Тригонометрія" в інших словниках:

тригонометрія- Тригонометрія … Орфографічний словник-довідник

ТРИГОНОМЕТРІЯ- (грец., від tri, gonia кут, і metron міра). Частина математики займається вимірюванням трикутників. Словник іншомовних слів, що увійшли до складу російської мови. Чудінов А.Н., 1910. ТРИГОНОМЕТРІЯ грец., від trigonon, трикутник, і metroo, міряю. Словник іноземних слів російської мови

ТРИГОНОМЕТРІЯ Сучасна енциклопедія

Тригонометрія- (Від грецького тригонона трикутник і...метрія), розділ математики, в якому вивчаються тригонометричні функції та їх застосування до геометрії. Окремі завдання тригонометрії вирішувалися астрономами Стародавню Грецію (3 в. до нашої ери); Ілюстрований енциклопедичний словник

ТРИГОНОМЕТРІЯ- (Від грец. Trigonon трикутник і...метрія) розділ математики, в якому вивчаються тригонометричні функції та їх застосування до геометрії … Великий Енциклопедичний словник

ТРИГОНОМЕТРІЯ- ТРИГОНОМЕТРІЯ, використання відносин сторін прямокутного ТРИКУТНИКА для обчислення довжин та кутів у геометричних фігурах. Якщо відомі три сторони трикутника, або дві сторони та кут між ними, або одна сторона та два кути, можна… … Науково-технічний енциклопедичний словник

ТРИГОНОМЕТРІЯ- ТРИГОНОМЕТРІЯ, тригонометрії, мн. ні, дружин. (Від грец. Trigonos трикутник і metroo мірю) (мат.). Відділ геометрії про співвідношення між сторонами та кутами трикутника. Тлумачний словник Ушакова. Д.М. Ушаків. 1935 1940 … Тлумачний словник Ушакова

ТРИГОНОМЕТРІЯ- ТРИГОНОМЕТРІЯ, і, дружин. Розділ математики, що вивчає співвідношення між сторонами та кутами трикутника. | дод. тригонометричний, ая, ое. Тлумачний словник Ожегова. С.І. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Тлумачний словник Ожегова

ТРИГОНОМЕТРІЯ- Грецька. математика трикутників; наука обчислюватиме за допомогою побудови трикутників. трична зйомка та тріангуляція, зйомка місцевості по тригонометрії. Тлумачний словник Даля. В.І. Даль. 1863 1866 … Тлумачний словник Даля

тригонометрія- І, ж. trigonométrie f. гр. trigonon трикутник + метро міряю. Відділ геометрії про співвідношення між сторонами та кутами трикутника. БАС 1. Почалася корпусна комісія, і я екзаменувався. З Арифметики, Геометрії, Тригонометрії плоскої та… Історичний словник галицизмів російської мови