3 потрібно знайти площу фігури обмеженою лініями. Калькулятор онлайн. Обчислити певний інтеграл (площа криволінійної трапеції)

У попередньому розділі, присвяченому розбору геометричного сенсу певного інтеграла, ми отримали низку формул для обчислення площі криволінійної трапеції:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x для безперервної та невід'ємної функції y = f (x) на відрізку [a; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x для безперервної та непозитивної функції y = f (x) на відрізку [a; b].

Ці формули застосовні для вирішення щодо простих завдань. Насправді ж нам частіше доведеться працювати з складнішими фігурами. У зв'язку з цим, цей розділ ми присвятимо розбору алгоритмів обчислення площі фігур, які обмежені функціями явно, тобто. як y = f(x) або x = g(y) .

Теорема

Нехай функції y = f 1 (x) та y = f 2 (x) визначені і безперервні на відрізку [a; b], причому f 1 (x) ≤ f 2 (x) для будь-якого значення x з [a; b]. Тоді формула для обчислення площі фігури G , обмеженою лініями x = a , x = b , y = f 1 (x) і y = f 2 (x) матиме вигляд S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Схожа формула буде застосовна для площі фігури, обмеженої лініями y = c , y = d , x = g 1 (y) та x = g 2 (y) : S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y.

Доведення

Розберемо три випадки, котрим формула буде справедлива.

У першому випадку, враховуючи властивість адитивності площі, сума площ вихідної фігури G і криволінійної трапеції G 1 дорівнює площі фігури G 2 . Це означає що

Тому S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x.

Виконати останній перехід ми можемо з використанням третьої якості певного інтеграла.

У другому випадку справедлива рівність: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x

Графічна ілюстрація матиме вигляд:

Якщо обидві функції непозитивні, отримуємо: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Графічна ілюстрація матиме вигляд:

Перейдемо до розгляду загального випадкуколи y = f 1 (x) і y = f 2 (x) перетинають вісь O x .

Точки перетину ми позначимо як x i, i = 1, 2,. . . , n-1. Ці точки розбивають відрізок [a; b] на n частин x i-1; x i, i = 1, 2,. . . , n де α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Отже,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Останній перехід ми можемо здійснити з використанням п'ятої якості певного інтеграла.

Проілюструємо на графіку загальний випадок.

Формулу S(G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x можна вважати доведеною.

А тепер перейдемо до розбору прикладів обчислення площі фігур, які обмежені лініями y = f(x) та x = g(y) .

Розгляд будь-якого з прикладів ми починатимемо з побудови графіка. Зображення дозволить нам представляти складні фігури як об'єднання більше простих фігур. Якщо побудова графіків і фігур на них викликає у вас труднощі, можете вивчити розділ про основні елементарні функції, геометричне перетворення графіків функцій, а також побудову графіків під час дослідження функції.

Приклад 1

Необхідно визначити площу фігури, яка обмежена параболою y = - x 2 + 6 x - 5 і прямими лініями y = - 1 3 x - 1 2 x = 1 x = 4 .

Рішення

Зобразимо лінії на графіку в системі декартової координат.

На відрізку [1; 4 ] графік параболи y = - x 2 + 6 x - 5 розташований вище за пряму y = - 1 3 x - 1 2 . У зв'язку з цим для отримання відповіді використовуємо формулу, отриману раніше, а також спосіб обчислення певного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца:

S(G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 · 4 3 + 19 6 · 4 2 - 9 2 · 4 - - 1 3 · 1 3 + 19 6 · 1 2 - 9 2 · 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Відповідь: S(G) = 13

Розглянемо складніший приклад.

Приклад 2

Необхідно обчислити площу фігури, яка обмежена лініями y = x + 2, y = x, x = 7.

Рішення

У даному випадкуми маємо лише одну пряму лінію, розташовану паралельно осі абсцис. Це x = 7. Це вимагає від нас знайти другу межу інтегрування самостійно.

Побудуємо графік та нанесемо на нього лінії, дані за умови завдання.

Маючи графік перед очима, ми легко можемо визначити, що нижньою межею інтегрування буде абсцис точки перетину графіка прямої y = x і напів параболи y = x + 2 . Для знаходження абсциси використовуємо рівності:

y = x + 2 О Д З З: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (-1) 2 - 4 · 1 · (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ О Д З x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ О Д З

Виходить, що абсцис точки перетину є x = 2 .

Звертаємо вашу увагу на той факт, що в загальному прикладіна кресленні лінії y = x + 2 , y = x перетинаються в точці (2 ; 2) тому такі докладні обчисленняможуть здатися зайвими. Ми привели тут таке докладне рішеннятільки тому, що в більш складних випадкахрішення може бути не таким очевидним. Це означає, що координати перетину ліній краще завжди обчислювати аналітично.

На інтервалі [2; 7] графік функції y = x розташований вище за графік функції y = x + 2 . Застосуємо формулу для обчислення площі:

S(G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 · 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Відповідь: S(G) = 59 6

Приклад 3

Необхідно обчислити площу фігури, яка обмежена графіками функцій y = 1 x та y = - x 2 + 4 x - 2 .

Рішення

Нанесемо лінії на графік.

Визначимося з межами інтегрування. Для цього визначимо координати точок перетину ліній, прирівнявши вирази 1 x - x 2 + 4 x - 2 . За умови, що x не дорівнює нулю, рівність 1 x = - x 2 + 4 x - 2 стає еквівалентним рівнянню третього ступеня - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 із цілими коефіцієнтами. Освіжити в пам'яті алгоритм вирішення таких рівнянь ми можете, звернувшись до розділу «Рішення кубічних рівнянь».

Коренем цього рівняння є х = 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 = 0 .

Розділивши вираз - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 на двочлен x - 1 отримуємо: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Коріння, що залишилося, ми можемо знайти з рівняння x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (-3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Ми знайшли інтервал x ∈ 1; 3 + 13 2 , на якому фігура G укладена вище синій і нижче червоної лінії. Це допомагає нам визначити площу фігури:

S(G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 - 2 · 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 · 1 2 - 2 · 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Відповідь: S(G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Приклад 4

Необхідно обчислити площу фігури, яка обмежена кривими y = x 3 , y = - log 2 x + 1 і віссю абсцис.

Рішення

Нанесемо усі лінії на графік. Ми можемо отримати графік функції y = - log 2 x + 1 з графіка y = log 2 x якщо розташуємо його симетрично щодо осі абсцис і піднімемо на одну одиницю вгору. Рівняння осі абсцис у = 0.

Позначимо точки перетину ліній.

Як очевидно з малюнка, графіки функцій y = x 3 і y = 0 перетинаються у точці (0 ; 0) . Так виходить тому, що х = 0 є єдиним дійсним коренем рівняння х 3 = 0 .

x = 2 є єдиним коренем рівняння - log 2 x + 1 = 0 тому графіки функцій y = - log 2 x + 1 і y = 0 перетинаються в точці (2 ; 0) .

x = 1 є єдиним коренем рівняння x 3 = - log 2 x + 1. У зв'язку з цим графіки функцій y = x 3 і y = - log 2 x + 1 перетинаються в точці (1; 1). Останнє твердження може бути неочевидним, але рівняння x 3 = - log 2 x + 1 не може мати більше одного кореня, так як функція y = x 3 є строго зростаючою, а функція y = - log 2 x + 1 строго спадаючою.

Подальше рішення передбачає кілька варіантів.

Варіант №1

Фігуру G ми можемо представити як суму двох криволінійних трапецій, розташованих вище за осі абсцис, перша з яких розташовується нижче середньої лінії на відрізку x ∈ 0 ; 1 , а друга нижче за червону лінію на відрізку x ∈ 1 ; 2 . Це означає, що площа дорівнює S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Варіант №2

Фігуру G можна представити як різницю двох фігур, перша з яких розташована вище за осі абсцис і нижче за синю лінію на відрізку x ∈ 0 ; 2 , а друга між червоною та синьою лініями на відрізку x ∈ 1 ; 2 . Це дозволяє нам знайти площу наступним чином:

S(G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

В цьому випадку для знаходження площі доведеться використовувати формулу виду S (G) = c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y . Фактично, лінії, які обмежують фігуру, можна подати у вигляді функцій від аргументу y .

Дозволимо рівняння y = x 3 і - log 2 x + 1 щодо x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Отримаємо потрібну площу:

S(G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Відповідь: S(G) = 1 ln 2 - 1 4

Приклад 5

Необхідно обчислити площу фігури, обмежену лініями y = x , y = 2 3 x - 3 , y = - 1 2 x + 4 .

Рішення

Червоною лінією нанесемо на графік лінію, задану функцією y = x. Синім кольором нанесемо лінію y = -1 2 x + 4, чорним кольором позначимо лінію y = 2 3 x - 3.

Зазначимо точки перетину.

Знайдемо точки перетину графіків функцій y = x та y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 О Д З З: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20) 2 - 4 · 1 · 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 П о верка: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 · 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 не я в л я т с я р е ш е н ня му р а в н е н і я x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 · 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 я в л я е т с я р е ш е н н я е м у р а в н і н я ⇒ (4 ; 2) т о к а п е р е с е н і я y = x та y = - 1 2 x + 4

Знайдемо точку перетину графіків функцій y = x та y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 О Д З: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 · 4 · 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9 , x 2 45 - 729 8 = 9 4 Перевірка: x 1 = 9 = 3 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 · 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 я в л я е т с я р е ш е н н е м у р а в н е н я ⇒ (9 ; 3) т о к а перес е ч а н я y = x і y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 · 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 н е я в л я ет с я р е ш е н н ня м у р я в н е ня

Знайдемо точку перетину ліній y = - 1 2 x + 4 і y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 · 6 + 4 = 2 3 · 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) точка перес е чен ня y = - 1 2 x + 4 і y = 2 3 x - 3

Спосіб №1

Представимо площу шуканої фігури як суму площ окремих фігур.

Тоді площа фігури дорівнює:

S(G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 · 6 3 2 + 6 2 4 - 4 · 6 - 2 3 · 4 3 2 + 4 2 4 - 4 · 4 + + 2 3 · 9 3 2 - 9 2 3 + 3 · 9 - 2 3 · 6 3 2 - 6 2 3 + 3 · 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Спосіб №2

Площа вихідної фігури можна як суму двох інших фігур.

Тоді розв'яжемо рівняння лінії щодо x , а тільки після цього застосуємо формулу обчислення площі фігури.

y = x ⇒ x = y 2 до р а з н а я л і н і я y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 с і н я л і н і я

Таким чином, площа дорівнює:

S(G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 · 2 2 - 7 4 · 2 - 7 4 · 1 2 - 7 4 · 1 + + - 3 3 3 + 3 · 3 2 4 + 9 2 · 3 - - 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Як бачите, значення збігаються.

Відповідь: S(G) = 11 3

Підсумки

Для знаходження площі фігури, яка обмежена заданими лініями, нам необхідно побудувати лінії на площині, знайти точки їх перетину, застосувати формулу для знаходження площі. У цьому розділі ми розглянули варіанти завдань, що найчастіше зустрічаються.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Починаємо розглядати власне процес обчислення подвійного інтеграла та знайомитися з його геометричним змістом.

Подвійний інтеграл чисельно дорівнює площіплоскої фігури (області інтегрування). Це найпростіший виглядподвійного інтеграла, коли функція двох змінних дорівнює одиниці: .

Спочатку розглянемо завдання у загальному вигляді. Зараз ви здивуєтеся, наскільки все дійсно просто! Обчислимо площу плоскої фігури, обмеженою лініями. Для певності вважаємо, що у відрізку . Площа цієї фігури чисельно дорівнює:

Зобразимо область на кресленні:

Виберемо перший спосіб обходу області:

Таким чином:

І відразу важливий технічний прийом: повторні інтеграли можна вважати окремо. Спочатку внутрішній інтеграл, потім зовнішній інтеграл. Цей спосібрекомендую початківцям у темі чайникам.

1) Обчислимо внутрішній інтеграл, при цьому інтегрування проводиться за змінною «гравець»:

Невизначений інтеграл тут найпростіший, і далі використовується банальна формула Ньютона-Лейбніца, з тією різницею, що межами інтегрування не числа, а функції. Спочатку підставили в «ігрок» (первоподібну функцію) верхню межу, потім нижню межу

2) Результат, отриманий у першому пункті, необхідно підставити у зовнішній інтеграл:

Більш компактний запис всього рішення виглядає так:

Отримана формула – це точно робоча формуладля обчислення площі плоскої фігури за допомогою звичайного певного інтеграла! Дивіться урок Обчислення площі за допомогою певного інтегралу, Там вона на кожному кроці!

Тобто, завдання обчислення площі за допомогою подвійного інтегралу мало чим відрізняєтьсявід завдання знаходження площі за допомогою певного інтегралу!Фактично це одне й теж!

Відповідно ніяких труднощів виникнути не повинно! Я розгляну небагато прикладів, оскільки ви, по суті, неодноразово стикалися з цим завданням.

Приклад 9

Рішення:Зобразимо область на кресленні:

Виберемо наступний порядок обходу області:

Тут і далі я не зупинятимусь на тому, як виконувати обхід області, оскільки в першому параграфі були наведені дуже докладні роз'яснення.

Таким чином:

Як я вже зазначав, початківцям краще обчислювати повторні інтеграли окремо, цього ж методу дотримуватимуся і я:

1) Спочатку за допомогою формули Ньютона-Лейбніца розбираємося з внутрішнім інтегралом:

2) Результат, отриманий першому кроці, підставляємо у зовнішній інтеграл:

Пункт 2 – фактично перебування площі плоскої постаті з допомогою певного інтеграла.

Відповідь:

Ось таке дурне і наївне завдання.

Цікавий приклад для самостійного рішення:

Приклад 10

За допомогою подвійного інтеграла обчислити площу плоскої фігури , обмеженою лініями , ,

Зразковий зразок чистового оформленнярішення наприкінці уроку.

У Прикладах 9-10 значно вигідніше використовувати перший спосіб обходу області, допитливі читачі, до речі, можуть змінити порядок обходу та обчислити площі другим способом. Якщо не припуститеся помилки, то, природно, вийдуть ті самі значення площ.

Але в ряді випадків ефективніший другий спосіб обходу області, і на закінчення курсу молодого ботана розглянемо ще пару прикладів на цю тему:

Приклад 11

За допомогою подвійного інтеграла обчислити площу плоскої фігури , обмеженою лініями ,

Рішення:На нас з нетерпінням чекають дві параболи з бзиком, які лежать на боці. Посміхатися не треба, схожі речі в кратних інтегралах трапляються часто.

Як найпростіше зробити креслення?

Представимо параболу у вигляді двох функцій:
– верхня гілка та – нижня гілка.

Аналогічно, представимо параболу у вигляді верхньої та нижньої гілок.

Далі керує поточкове побудова графіків, в результаті чого виходить ось така химерна фігура:

Площу фігури обчислимо за допомогою подвійного інтегралу за формулою:

Що буде, якщо ми оберемо перший спосіб обходу області? По перше, цю областьдоведеться розділити на дві частини. А по-друге, ми спостерігатимемо за цією сумною картиною: . Інтеграли, звичайно, не надскладного рівня, але... існує стара математична приказка: хто з корінням дружний, тому залік не потрібен.

Тому з непорозуміння, яке дано в умові, висловимо зворотні функції:

Зворотні функціїв даному прикладімають ту перевагу, що задають відразу всю параболу цілком без будь-яких там листя, жолудів гілок і коренів.

Згідно з другим способом, обхід області буде наступним:

Таким чином:

Як кажуть, відчуйте різницю.

1) Розправляємось із внутрішнім інтегралом:

Результат підставляємо у зовнішній інтеграл:

Інтегрування по змінній «гравець» не повинно бентежити, була б буква «зю» – чудово проінтегрувалося б і по ній. Хоча хтось прочитав другий параграф уроку Як обчислити об'єм тіла обертання, Той вже не відчуває жодної незручності з інтегруванням по «ігрок».

Також зверніть увагу на перший крок: підінтегральна функція є парною, а відрізок інтегрування симетричний щодо нуля. Тому відрізок можна споловинити, а результат – подвоїти. Даний прийом докладно закоментований на уроці Ефективні методиобчислення певного інтегралу.

Що добавити…. Всі!

Відповідь:

Для перевірки своєї техніки інтегрування можете спробувати обчислити . Відповідь має вийти точно такою ж.

Приклад 12

За допомогою подвійного інтеграла, обчислити площу плоскої фігури, обмеженою лініями

Це приклад самостійного рішення. Цікаво відзначити, що якщо ви спробуєте використовувати перший спосіб обходу області, то фігуру доведеться розділити не на дві, а на три частини! І, відповідно, вийде три пари повторних інтегралів. Буває й таке.

Майстер клас підійшов до завершення, і час переходити на гросмейстерський рівень – Як визначити подвійний інтеграл? Приклади рішень. Постараюсь у другій статті так не маньячить =)

Бажаю успіхів!

Рішення та відповіді:

Приклад 2:Рішення: Зобразимо область на кресленні:

Виберемо наступний порядок обходу області:

Таким чином:
Перейдемо до зворотних функцій:


Таким чином:
Відповідь:

Приклад 4:Рішення: Перейдемо до прямих функцій:


Виконаємо креслення:

Змінимо порядок обходу області:

Відповідь:

а)

Рішення.

Перший і найважливіший моментрішення - побудова креслення.

Виконаємо креслення:

Рівняння y=0 задає вісь «іксів»;

- х=-2 і х = 1 - Прямі, паралельні осі Оу;

- у = х 2 +2 - парабола, гілки якої спрямовані вгору, з вершиною у точці (0; 2).

Зауваження.Для побудови параболи досить визначити точки її перетину з координатними осями, тобто. поклавши х = 0 знайти перетин з віссю Оу та вирішивши відповідне квадратне рівняннязнайти перетин з віссю Ох .

Вершину параболи можна знайти за формулами:

Можна побудувати лінії та крапково.

На відрізку [-2; 1] графік функції y=x 2 +2 розташований над віссю Ox тому:

Відповідь: S = 9 кв.

Після того, як завдання виконане, завжди корисно поглянути на креслення і прикинути, чи реальна вийшла відповідь. У цьому випадку «на вічко» підраховуємо кількість клітин у кресленні - ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби в нас вийшла, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, зрозуміло, десь допущена помилка - у розглянуту постать 20 клітинок вочевидь не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшла негативною, то завдання теж вирішено некоректно.

Що робити, якщо криволінійна трапеція розташована під віссю Ох?

b)Обчислити площу фігури, обмеженою лініями y=-e x , x=1 та координатними осями.

Рішення.

Виконаємо креслення.

Якщо криволінійна трапеція повністю розташована під віссю Ох , то її площу можна знайти за формулою:

Відповідь: S=(e-1) кв.од.»1,72 кв.од.

Увага! Не слід плутати два типи завдань:

1) Якщо Вам запропоновано вирішити просто визначений інтегралбез будь-якого геометричного сенсу, він може бути негативним.

2) Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому у щойно розглянутій формулі фігурує мінус.

На практиці найчастіше фігура розташована і у верхній і нижній півплощині.

с)Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лініями у=2х-х 2, у=-х.

Рішення.

Спочатку потрібно виконати креслення. Загалом кажучи, при побудові креслення у завданнях на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи і прямий Це можна зробити двома способами. Перший спосіб – аналітичний.

Вирішуємо рівняння:

Отже, нижня межа інтегрування а=0 , верхня межа інтегрування b=3 .

Будуємо задані лінії: 1. Парабола – вершина в точці (1; 1); перетин з віссю Ох -точки (0; 0) та (0; 2). 2. Пряма – бісектриса 2-го та 4-го координатних кутів. А тепер Увага! Якщо на відрізку [ a;b] деяка безперервна функція f(x)більше або дорівнює деякій безперервної функції g(x), то площу відповідної фігури можна знайти за формулою: . І не важливо, де розташована фігура - над віссю або під віссю, а важливо, який графік Вище (щодо іншого графіка), а який-НИЖЧЕ. У прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому необхідно відняти

Можна побудувати лінії поточечно, у своїй межі інтегрування з'ясовуються хіба що «самі собою». Тим не менш, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточена побудова не виявила меж інтегрування (вони можуть бути дрібними або ірраціональними).

Потрібна фігура обмежена параболою зверху і прямою знизу.

На відрізку , за відповідною формулою:

Відповідь: S =4,5 кв.

Насправді, для того щоб знаходити площу фігури не треба так багато знань з невизначеного і певного інтегралу. Завдання «обчислити площу за допомогою певного інтегралу» завжди передбачає побудову кресленняТому набагато актуальнішим питанням будуть ваші знання та навички побудови креслень. У зв'язку з цим корисно освіжити в пам'яті графіки основних елементарних функцій, а, як мінімум, вміти будувати пряму, і гіперболу.

Криволінійною трапецієюназивається плоска фігура, обмежена віссю , прямими і графіком безперервної на відрізку функції , яка не змінює знак на цьому проміжку. Нехай дана фігурарозташована не нижчеосі абсцис:

Тоді площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює певному інтегралу. Будь-який певний інтеграл (який існує) має дуже хороший геометричний зміст.

З погляду геометрії певний інтеграл – це ПЛОЩА.

Тобто,певному інтегралу (якщо він існує) геометрично відповідає площа певної постаті. Наприклад, розглянемо певний інтеграл. Підінтегральна функція задає на площині криву, що знаходиться вище за осі (бажаючі можуть виконати креслення), а сам певний інтеграл чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.

Приклад 1

Це типове формулювання завдання. Перший та найважливіший момент рішення - побудова креслення. Причому креслення необхідно побудувати ПРАВИЛЬНО.

При побудові креслення я рекомендую наступний порядок: спочаткукраще побудувати всі прямі (якщо вони є) і тільки потім- параболи, гіперболи, графіки інших функцій. Графіки функцій вигідніше будувати крапково.

У цій задачі рішення може виглядати так.
Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння задає вісь):

На відрізку графік функції розташований над віссютому:

Відповідь:

Після того, як завдання виконане, завжди корисно поглянути на креслення і прикинути, чи реальна вийшла відповідь. У цьому випадку «на вічко» підраховуємо кількість клітин у кресленні - ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби в нас вийшов, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, очевидно, що десь припущена помилка - у розглянуту фігуру 20 клітинок явно не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшла негативною, то завдання теж вирішено некоректно.

Приклад 3

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями і координатними осями.

Рішення: Виконаємо креслення:

Якщо криволінійна трапеція розташована під віссю(або, принаймні, Не вищеданої осі), то її площу можна знайти за формулою:

В даному випадку:

Увага! Не слід плутати два типи завдань:

1) Якщо Вам запропоновано вирішити просто певний інтеграл без жодного геометричного сенсу, то він може бути негативним.

2) Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому у щойно розглянутій формулі фігурує мінус.

На практиці найчастіше фігура розташована і у верхній і нижній півплощині, а тому, від найпростіших шкільних завдань переходимо до більш змістовних прикладів.

Приклад 4

Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лініями , .

Рішення: Спочатку потрібно виконати креслення Загалом кажучи, при побудові креслення у завданнях на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи та прямий. Це можна зробити двома способами. Перший спосіб – аналітичний. Вирішуємо рівняння:

Значить, нижня межа інтегрування, верхня межа інтегрування.

Цим способом краще, наскільки можна, не користуватися.

Набагато вигідніше і швидше побудувати лінії поточечно, у своїй межі інтегрування з'ясовуються хіба що «самі собою». Тим не менш, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточена побудова не виявила меж інтегрування (вони можуть бути дрібними або ірраціональними). І такий приклад ми теж розглянемо.

Повертаємося до нашого завдання: раціональніше спочатку побудувати пряму і лише потім параболу. Виконаємо креслення:

А тепер робоча формула: Якщо на відрізку деяка безперервна функція більше або дорівнюєдеякої безперервної функції , то площа фігури, обмеженої графіками даних функцій і прямими , можна знайти за формулою:

Тут уже не треба думати, де розташована постать - над віссю чи під віссю, і, грубо кажучи, важливо, який графік Вище(щодо іншого графіка), а який - НИЖЧЕ.

У прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому необхідно відняти

Завершення рішення може мати такий вигляд:

Потрібна фігура обмежена параболою зверху і прямою знизу.
На відрізку , за відповідною формулою:

Відповідь:

Приклад 4

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , , , .

Рішення: Спочатку виконаємо креслення:

Фігура, площу якої нам потрібно знайти, заштрихована синім кольором(Уважно дивіться на умову – чим обмежена фігура!). Але на практиці через неуважність нерідко виникає «глюк», що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована зеленим кольором!

Цей приклад корисний і тим, що в ньому площа фігури вважається за допомогою двох певних інтегралів.

Дійсно:

1) На відрізку над віссю розташований графік прямий;

2) На відрізку над віссю розташований графік гіперболи.

Цілком очевидно, що площі можна (і потрібно) приплюсувати, тому: