Як відстань від точки до прямої. Найпростіші завдання із прямою на площині. Взаємне розташування прямих. Кут між прямими

Потрібно визначити відстань від точки до прямої. Загальний план розв'язання задачі:

- через задану точку проводимо площину, перпендикулярну до заданої прямої;

- знаходимо точку зустрічі прямий

з площиною;

- визначаємо натуральну величину відстані.

Через задану точку проводимо площину, перпендикулярну до прямої АВ . Площину задаємо горизонталлю і фронталлю, що перетинаються, проекції яких будуємо згідно з алгоритмом перпендикулярності (зворотне завдання).

Знаходимо точку зустрічі прямої АВ із площиною. Це типове завдання про перетин прямої з площиною (див. Розд. «Перетин прямої з площиною»).

Перпендикулярність площин

Площини взаємно перпендикулярні, якщо одна з них містить пряму, перпендикулярну до іншої площини. Тому для проведення площини, перпендикулярної до іншої площини, необхідно спочатку провести перпендикуляр до площини, а потім через нього провести шукану площину. На епюрі площина задана двома прямими, що перетинаються, одна з яких перпендикулярна площині ABC .

Якщо площині задані слідами, то можливі такі випадки:

- якщо дві перпендикулярні площини є проецірующими, їх збиральні сліди взаємно перпендикулярні;

- площина загального становища і проецірующая площину перпендикулярні, якщо збірний слід проецірующей площини перпендикулярний однойменному сліду площині загального положення;

- якщо однойменні сліди двох площин загального становища перпендикулярні, площини не перпендикулярні одне одному.

Метод заміни площин проекцій

	заміни площин проекцій
полягає в тому, що площини про-
екцій замінюються іншими плоскос-
	так щоб	геометричний
об'єкт у новій системіплощин
проекцій став займати приватне -
ложение, що дозволяє спростити ре-
шення завдань. На просторовому ма-
Кеті показана заміна площини V на
нову V 1 . Показано також проеціро-
вання точки А на вихідні площини
проекцій та нову площину проекцій
V 1 . При заміні площин проекцій
ортогональність системи зберігається.

Перетворимо просторовий макет у площинний шляхом повороту площин за стрілками. Отримаємо три площини проекцій, поєднані в одну площину.

Потім видалимо площини проекцій та
		проекції
З епюра точки випливає правило: при
заміні V на V 1 для того, щоб по-
		фронтальну
цію точки, необхідно від нової осі
відкласти аплікату точки, взяту з
попередньої системи площин про-
екцій. Аналогічно можна довести,
	заміні Н наН 1 необхідно
відкласти ординату точки.

Перше типове завдання методу заміни площин проекцій

Перша типова задача методу заміни площин проекцій - це перетворення прямого загального становища спочатку в лінію рівня, а потім в проецирующую пряму. Це завдання є одним з основних, тому що застосовується при вирішенні інших завдань, наприклад, при визначенні відстані між паралельними і прямими, що схрещуються, при визначенні двогранного кутаі т.д.

Здійснюємо заміну V → V 1 .
вісь проводимо паралельно горизон-
		проекції.
фронтальну проекцію прямий, для
				відкладаємо
аплікати точок. Нова фронтальна
Проекція прямої є НВ прямою.
Сама пряма стає фронталлю.
Визначається кут α°.

Проводимо заміну Н → Н 1 . Нову вісь проводимо перпендикулярно до фронтальної проекції прямої. Будуємо нову горизонтальну проекцію прямої, навіщо від нової осі відкладаємо ординати прямої, взяті з попередньої системи площин проекцій. Пряма стає горизонтально-проекційною прямою і «вироджується» в крапку.

Ця стаття розповідає про тему « відстані від точки до прямої », розглядаються визначення відстані від точки до прямої з ілюстрованими прикладами методом координат. Кожен блок теорії наприкінці має показані приклади розв'язання таких завдань.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Відстань від точки до прямої знаходиться через визначення відстані від точки до точки. Розглянемо докладніше.

Нехай є пряма a і точка М 1 не належить заданої прямої. Через неї проведемо пряму b, розташовану перпендикулярно щодо прямої a. Точка перетину прямих візьмемо за Н1. Отримаємо, що М 1 Н 1 перпендикуляром, який опустили з точки М 1 до прямої a .

Визначення 1

Відстанню від точки М 1 до прямої aназивається відстань між точками М1 і Н1.

Бувають записи визначення із фігуруванням довжини перпендикуляра.

Визначення 2

Відстань від точки до прямоїназивають довжину перпендикуляра, проведеного з цієї точки до цієї прямої.

Визначення еквівалентні. Розглянемо рисунок, наведений нижче.

Відомо, що відстань від точки до прямої є найменшою з усіх можливих. Розглянемо це з прикладу.

Якщо взяти точку Q , що лежить на прямій a не збігається з точкою М 1 тоді отримаємо, що відрізок М 1 Q називається похилою, опущеної з М 1 до прямої a . Необхідно позначити, що перпендикуляр з точки М 1 є меншим, ніж будь-яка інша похила, проведена з точки до прямої.

Щоб довести це, розглянемо трикутник М 1 Q 1 Н 1 де М 1 Q 1 є гіпотенузою. Відомо, що її довжина завжди більше довжинибудь-якого з катетів. Отже, маємо, що M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Вихідні дані для знаходження від точки до прямої дозволяють використовувати кілька методів розв'язання: через теорему Піфагора, визначення синуса, косинуса, тангенсу кута та інші. Більшість завдань такого типу вирішують у школі під час уроків геометрії.

Коли при знаходженні відстані від точки до прямої можна ввести прямокутну систему координат, то застосовують метод координат. У цьому пункті розглянемо два основних методи знаходження шуканої відстані від заданої точки.

Перший спосіб має на увазі пошук відстані як перпендикуляра, проведеного з М 1 до прямої a . У другому способі використовується нормальне рівнянняпрямий а знаходження шуканої відстані.

Якщо на площині є точка з координатами M 1 (x 1 , y 1) розташована в прямокутної системикоординат, пряма a , а необхідно знайти відстань M 1 H 1 можна обчислити двома способами. Розглянемо їх.

Перший спосіб

Якщо є координати точки H 1 рівні x 2 y 2 тоді відстань від точки до прямої обчислюється по координатах з формули M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 .

Тепер перейдемо до знаходження координат точки Н1.

Відомо, що пряма лінія О х у відповідає рівнянню прямої на площині. Візьмемо спосіб завдання прямої через написання загального рівняння прямої або рівняння з кутовим коефіцієнтом. Складаємо рівняння прямої, яка проходить через точку М1 перпендикулярно заданої прямої a. Пряму позначимо буковою b. Н 1 є точкою перетину прямих a і b означає для визначення координат необхідно скористатися статтею, в якій йдеться про координати точок перетину двох прямих.

Видно, що алгоритм знаходження відстані від заданої точки M 1 (x 1 , y 1) до прямої a проводиться згідно з пунктами:

Визначення 3

• знаходження загального рівняння прямої a має вигляд A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 або рівняння з кутовим коефіцієнтом, що має вигляд y = k 1 x + b 1 ;
• отримання загального рівняння прямої b , що має вигляд A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 або рівняння з кутовим коефіцієнтом y = k 2 x + b 2 якщо пряма b перетинає точку М 1 і є перпендикулярною до заданої прямої a ;
• визначення координат x 2 , y 2 точки Н 1 , що є точкою перетину a і b для цього проводиться рішення системи лінійних рівнянь A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 або y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2;
• обчислення шуканої відстані від точки до прямої, використовуючи формулу M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 .

Другий спосіб

Теорема здатна допомогти відповісти на питання про знаходження відстані від заданої точки дот заданої прямої на площині.

Теорема

Прямокутна система координат має О х у має точку M 1 (x 1 , y 1) , з якої проведена пряма а до площини, що задається нормальним рівнянням площини, що має вигляд cos α · x + cos β · y - p = 0 , рівно по модулю значенням, одержуваному в лівій частині нормального рівняння прямої, що обчислюється при x = x 1 , y = y 1 означає, що M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p .

Доведення

Прямий а відповідає нормальне рівняння площини, що має вигляд cos α · x + cos β · y - p = 0 тоді n → = (cos α , cos β) вважається нормальним вектором прямої a при відстані від початку координат до прямої a з p одиницями . Необхідно зобразити всі дані на малюнку, додати точку з координатами M 1 (x 1 y 1) , де радіус-вектор точки М 1 - O M 1 → = (x 1 y 1) . Необхідно провести пряму від точки до прямої, яку позначимо M1H1. Необхідно показати проекції М 2 і Н 2 точок М 1 і Н 2 на пряму, що проходить через точку O з напрямним вектором виду n → = (cos α , cos β) , а числову проекцію вектора позначимо як O M 1 → = (x 1 y 1) до напрямку n → = (cos α , cos β) як n p n → O M 1 → .

Варіації залежить від розташування самої точки М 1 . Розглянемо малюнку, наведеному нижче.

Результати фіксуємо за допомогою формули M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Після чого наводимо рівність до такого виду M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p для того, щоб отримати n p n → OM → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Скалярний добутоквекторів у результаті дає перетворену формулу виду n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , яка є твором у координатній формі виду n → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Отже, отримуємо, що n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Звідси випливає, що M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Теорему доведено.

Отримуємо, що знаходження відстані від точки M 1 (x 1 , y 1) до прямої a на площині необхідно виконати кілька дій:

Визначення 4

• отримання нормального рівняння прямої a cos α · x + cos β · y - p = 0 за умови, що його немає в завданні;
• обчислення виразу cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , де отримане значення приймає M 1 H 1 .

Застосуємо ці методи на розв'язанні задач зі знаходженням відстані від точки до площини.

Приклад 1

Знайти відстань від точки з координатами M 1 (-1,2) до прямої 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Рішення

Застосуємо перший спосіб вирішення.

Для цього необхідно знайти загальне рівняння прямої b, яка проходить через задану точку M 1 (- 1, 2), перпендикулярно до прямої 4 x - 3 y + 35 = 0 . З умови видно, що пряма b є перпендикулярною прямою a тоді її напрямний вектор має координати, рівні (4 , - 3) . Таким чином маємо можливість записати канонічне рівняння прямої b на площині, так як є координати точки М 1 належить прямий b . Визначимо координати напрямного вектора прямої b. Отримаємо, що x - (-1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Отримане канонічне рівняння необхідно перетворити на загальне. Тоді отримуємо, що

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Зробимо знаходження координат точок перетину прямих, яке приймемо за позначення Н1. Перетворення виглядають таким чином:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 · 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 · 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

З вище написаного маємо, що координати точки Н 1 дорівнюють (- 5 ; 5) .

Необхідно обчислити відстань від точки М1 до прямої a. Маємо, що координати точок M 1 (- 1 , 2) і H 1 (- 5 , 5) тоді підставляємо у формулу для знаходження відстані і отримуємо, що

M 1 H 1 = (-5 - (-1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Другий спосіб розв'язання.

Для того щоб вирішити іншим способом, необхідно отримати нормальне рівняння прямої. Обчислюємо значення множника, що нормує, і множимо обидві частини рівняння 4 x - 3 y + 35 = 0 . Звідси отримаємо, що множник, що нормує, дорівнює - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , а нормальне рівняння буде виду - 1 5 · 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 · 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

За алгоритмом обчислення необхідно отримати нормальне рівняння прямої та обчислити його зі значеннями x = -1, y = 2. Тоді отримуємо, що

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

Звідси отримуємо, що відстань від точки M 1 (- 1 , 2) до заданої прямої 4 x - 3 y + 35 = 0 має значення - 5 = 5 .

Відповідь: 5 .

Видно, що в даному методіважливо використання нормального рівняння прямої, оскільки такий спосіб є найкоротшим. Але перший спосіб зручний тим, що послідовний і логічний, хоча має більше пунктів обчислення.

Приклад 2

На площині є прямокутна система координат О х у з точкою M 1 (8 , 0) і прямою y = 1 2 x + 1 . Знайти відстань від заданої точки до прямої.

Рішення

Рішення першим способом передбачає приведення заданого рівнянняз кутовим коефіцієнтом до рівняння загального вигляду. Для спрощення можна зробити по-іншому.

Якщо добуток кутових коефіцієнтів перпендикулярних прямих мають значення - 1, значить кутовий коефіцієнт прямої перпендикулярної заданої y = 1 2 x + 1 має значення 2 . Тепер отримаємо рівняння прямої, що проходить через точку з координатами M 1 (8, 0). Маємо, що y – 0 = – 2 · (x – 8) ⇔ y = – 2 x + 16 .

Переходимо до знаходження координат точки Н 1 , тобто точок перетину y = - 2 x + 16 і y = 1 2 x + 1 . Складаємо систему рівнянь та отримуємо:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6 , 4)

Звідси випливає, що відстань від точки з координатами M 1 (8 , 0) до прямої y = 1 2 x + 1 дорівнює відстані від точки початку та точки кінця з координатами M 1 (8 , 0) та H 1 (6 , 4) . Обчислимо та отримаємо, що M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Рішення другим способом полягає у переході від рівняння з коефіцієнтом до його нормального виду. Тобто отримаємо y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0 тоді значення нормуючого множника буде - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5 . Звідси випливає, що нормальне рівняння прямої набуває вигляду - 2 5 · 1 2 x - y + 1 = - 2 5 · 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Зробимо обчислення від точки M 1 8 0 до прямої виду - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Отримуємо:

M 1 H 1 = - 1 5 · 8 + 2 5 · 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Відповідь: 2 5 .

Приклад 3

Необхідно обчислити відстань від точки з координатами M 1 (- 2 , 4) до прямих 2 x - 3 = 0 та y + 1 = 0 .

Рішення

Отримуємо рівняння нормального виду прямої 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 · 2 x - 3 = 1 2 · 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Після чого переходимо до обчислення відстані від точки M 1 - 2 4 до прямої x - 3 2 = 0 . Отримуємо:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Рівняння прямої y + 1 = 0 має множник, що нормує, зі значенням рівним -1. Це означає, що рівняння набуде вигляду - y - 1 = 0 . Переходимо до обчислення відстані від точки M 1 (- 2 , 4) до прямої - y - 1 = 0 . Отримаємо, що вона дорівнює - 4 - 1 = 5 .

Відповідь: 3 1 2 та 5 .

Докладно розглянемо знаходження відстані від заданої точки площини до координатних осях Ох і Оу.

У прямокутній системі координат у осі О у є рівняння прямої, яке є неповним має види х = 0, а О х - y = 0. Рівняння нормальні для осей координат, тоді необхідно знайти відстань від точки з координатами M 1 x 1 , y 1 до прямих. Це робиться, виходячи з формул M 1 H 1 = x 1 і M 1 H 1 = y 1 . Розглянемо малюнку, наведеному нижче.

Приклад 4

Знайти відстань від точки M 1 (6 - 7) до координатних прямих, розташованих у площині О х у.

Рішення

Так як рівняння у = 0 відноситься до прямої Ох, можна знайти відстань від M 1 із заданими координатами, до цієї прямої, використовуючи формулу. Отримуємо, що 6 = 6 .

Так як рівняння х = 0 відноситься до прямої О у, то можна знайти відстань від М 1 до цієї прямої за формулою. Тоді отримаємо, що – 7 = 7 .

Відповідь:відстань від М 1 до О х має значення 6 а від М 1 до О у має значення 7 .

Коли в тривимірному просторі маємо точку з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) необхідно знайти відстань від точки A до прямої a .

Розглянемо два способи, які дозволяють проводити обчислення відстань від точки до прямої a розташованої в просторі. Перший випадок розглядає відстань від точки М 1 до прямої, де точка на прямій називається Н 1 є підставою перпендикуляра, проведеного з точки М 1 на пряму a . Другий випадок говорить про те, що точки цієї площини необхідно шукати як висоту паралелограма.

Перший спосіб

З визначення маємо, що відстань від точки М 1 розташованої на прямій а є довжиною перпендикуляра М 1 Н 1 тоді отримаємо, що при знайдених координатах точки Н 1 тоді знайдемо відстань між M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) і H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , виходячи з формули M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Отримуємо, що рішення йде до того, щоб знайти координати підстави перпендикуляра, проведеного з М 1 на пряму a . Це робиться наступним чином: Н 1 є точкою, де перетинаються пряма a з площиною, яка проходить через задану точку.

Отже, алгоритм визначення відстані від точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) до прямої a простору має на увазі кілька пунктів:

Визначення 5

• складання рівняння площини в якості рівняння площини, що проходить через задану точку, що знаходиться перпендикулярно прямий;
• визначення координат (x 2 , y 2 , z 2) , що належали точці Н 1 , яка є точкою перетину прямої і площини χ ;
• обчислення відстані від точки до прямої за допомогою формули M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Другий спосіб

З умови маємо пряму a тоді можемо визначити напрямний вектор a → = a x , a y , a z з координатами x 3 , y 3 , z 3 і певної точки М 3 , що належить прямий a . За наявності координат точок M 1 (x 1 , y 1) і M 3 x 3 , y 3 , z 3 можна провести обчислення M 3 M 1 → :

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3)

Слід відкласти вектори a → = a x , a y , a z і M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 з точки М 3 з'єднаємо і отримаємо фігуру паралелограма. М1Н1 є висотою паралелограма.

Розглянемо малюнку, наведеному нижче.

Маємо, що висота М1Н1 є шуканою відстанню, тоді необхідно знайти її за формулою. Тобто шукаємо M1H1.

Позначимо площу паралелограма за букву S знаходиться за формулою, використовуючи вектор a → = (a x , a y , a z) і M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Формула площі має вигляд S = a → × M 3 M 1 → . Також площа фігури дорівнює добутку довжин його сторін на висоту, отримаємо, що S = a → · M 1 H 1 з a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 є довжиною вектора a → = (a x , a y , a z) , що є рівному боціпаралелограма. Отже, M 1 H 1 є відстанню від точки до прямої. Її знаходження здійснюється за формулою M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Для знаходження відстані від точки з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) до прямої в просторі, необхідно виконати кілька пунктів алгоритму:

Визначення 6

• визначення напрямного вектора прямий a - a → = (a x, a, z);
• обчислення довжини напрямного вектора a → = a x 2 + a y 2 + a z 2;
• отримання координат x 3 , y 3 , z 3 , що належали точці М 3 знаходиться на прямій а;
• обчислення координат вектора M 3 M 1 → ;
• перебування векторного творувекторів a → (a x , a y , a z) і M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 як a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 для отримання довжини за формулою a → × M 3 M 1 → ;
• обчислення відстані від точки до прямої M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Розв'язання задач на знаходження відстані від заданої точки до заданої прямої у просторі

Приклад 5

Знайти відстань від точки з координатами M 1 2 , - 4 , - 1 до прямої x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Рішення

Перший спосіб починається із запису рівняння площини χ , що проходить через М 1 і перпендикулярно заданій точці. Отримуємо вираз виду:

2 · (x - 2) - 1 · (y - (- 4)) + 5 · (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Потрібно знайти координати точки H 1 , яка є точкою перетину з площиною до заданої за умовою прямої. Слід переходити від канонічного вигляду до того, що перетинається. Тогла отримуємо систему рівнянь виду:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Необхідно обчислити систему x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 за методом Крамера, тоді отримуємо, що:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

Звідси маємо, що H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

Другий спосіб необхідно почати з пошуку координат у канонічному рівнянні. Для цього необхідно звернути увагу на знаменники дробу. Тоді a → = 2 , - 1 , 5 є напрямним вектором прямої x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Необхідно обчислити довжину за формулою a → = 2 2 + (-1) 2 + 5 2 = 30 .

Зрозуміло, що пряма x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 перетинає точку M 3 (- 1 , 0 , - 5) , звідси маємо, що вектор з початком координат M 3 (- 1 , 0 , - 5) та її кінцем у точці M 1 2 , - 4 , - 1 є M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Знаходимо векторний твір a → = (2 , - 1 , 5) та M 3 M 1 → = (3 , - 4 , 4) .

Ми отримуємо вираз виду a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 · i → + 15 · j → - 8 · k → + 20 · i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

отримуємо, що довжина векторного твору дорівнює a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Є всі дані для використання формули обчислення відстані від точки для прямої, тому застосуємо її та отримаємо:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Відповідь: 11 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

155*. Визначити натуральну величину відрізка АВ прямого загального стану (рис. 153 а).

Рішення. Як відомо, проекція відрізка прямої на будь-якій площині дорівнює самому відрізку (з урахуванням масштабу креслення), якщо він паралельний цій площині

(Рис. 153, б). З цього випливає, що шляхом перетворення креслення треба досягти паралельності даного відрізка пл. V чи пл. Н або доповнити систему V, Н ще однією площиною, перпендикулярною до пл. V або пл. H і в той же час паралельний даному відрізку.

На рис. 153, показано введення додаткової площини S, перпендикулярної до пл. H і паралельному заданому відрізку АВ.

Проекція asbs дорівнює натуральній величині відрізка AB.

На рис. 153 г показаний інший прийом: відрізок АВ повернутий навколо прямої, що проходить через точку В і перпендикулярної до пл. Н, до положення, паралельного

пл. V. При цьому точка залишається на місці, а точка А займає нове положення А 1 . У новому положенні обрій. проекція а 1 b | осі х. Проекція a"1b" дорівнює натуральній величині відрізка АВ.

156. Дано піраміду SABCD (рис. 154). Визначити натуральну величину ребер піраміди AS та CS, використовуючи спосіб зміни площин проекцій, і ребер BS та DS, використовуючи спосіб обертання, причому взяти вісь обертання перпендикулярно пл. H.

157*. Визначити відстань від точки А до прямої ПС (рис. 155, а).

Рішення. Відстань від точки до прямої вимірюється відрізком перпендикуляра, проведеного з точки на пряму.

Якщо пряма перпендикулярна до будь-якої площини (рис. 155,6), то відстань від точки до прямої вимірюється відстанню між проекцією точки та точкою-проекцією прямої на цій площині. Якщо пряма займає у системі V, H загальне становище, Те, щоб визначити відстань від точки до прямої способом зміни площин проекцій, треба ввести в систему V, H ще дві додаткові площини.

Спочатку (рис. 155, в) вводимо пл. S, паралельну відрізку ВС (нова вісь S/H паралельна проекції bс), і будуємо проекції b s c s і a s . Потім (рис. 155 г) вводимо ще пл. Т, перпендикулярну до прямої ВС (нова вісь T/S перпендикулярна b s s). Будуємо проекції прямої та точки - з t (b t) та a t. Відстань між точками a t і t (b t) дорівнює відстані l від точки А до прямої ВС.

На рис. 155, ця ж задача виконана за допомогою способу обертання в тій його формі, яку називають способом паралельного переміщення. Спочатку пряму ВС і точку А, зберігаючи незмінним їхнє взаємне положення, повертаємо навколо деякої (не позначеної на кресленні) прямої, перпендикулярної до пл. H, так, щоб пряма НД розташувалася паралельно пл. V. Це рівносильно переміщенню точок А, В, С у площинах, паралельних пл. H. При цьому обрій. проекція заданої системи (BC + A) не змінюється ні за величиною, ні за конфігурацією, лише змінюється її положення щодо осі х. Маємо горизонт. проекцію прямої ВС паралельно осі х (положення b 1 c 1) і визначаємо проекцію a 1 відкладаючи c 1 1 1 = с-1 і а 1 1 1 = а-1, причому a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1 . Провівши прямі b"b" 1 , a"a" 1 , с"с" 1 паралельно осі х, знаходимо на них фронт. проекції b" 1 ,а" 1 , с" 1 . Далі, переміщуємо точки В 1 , С 1 і A 1 у площинах, паралельних пл. V (також не змінюючи їх взаємного розташування), так, щоб отримати В 2 С 2 ⊥ пл. H. У цьому фронті проекція прямий розташується перпендикулярно до осі x,b 2 c" 2 = b" 1 с" 1 , а для побудов проекції а" 2 треба взяти b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1 провести 2"a" 2 ⊥ b" 2 с" 2 і відкласти а" 2 2" 2 = а" 1 2" 1 . Тепер, провівши з 1 з 2 та а 1 а 2 || х 1 отримаємо проекції b 2 з 2 і а 2 і відстань l від точки А до прямої ВС. Визначити відстань від А до НД можна, повернувши площину, що визначається точкою А і прямою НД, навколо горизонталі цієї площини до положення Т || пл. H (рис. 155, е).

У площині, що задається точкою А і прямою ПС, проводимо горизонталь А-1 (рис. 155, ж) і повертаємо навколо неї точку В. Точка переміщається в пл. R (заданої на кресленні слідом R h), перпендикулярної А-1; у точці Про знаходиться центр обертання точки В. Визначаємо тепер натуральну величину радіуса обертання ВО (рис. 155, в). У необхідному положенні, тобто коли пл. Т, що визначається точкою А та прямою ВС, стане || пл. H, точка В вийде на R h на відстані Оb 1 від точки О (можливо й інше положення на тому ж сліді R h але по іншу сторону від О). Крапка b 1 – це горизонт. проекція точки після переміщення її в положення В 1 в просторі, коли площина, яка визначається точкою А і прямою ВС, зайняла положення Т.

Провівши (рис. 155 і) пряму b 1 1, отримуємо горизонт. проекцію прямої ЗС, вже розташованої || пл. H в одній площині з А. У цьому положенні відстань а до b 1 1 дорівнює шуканій відстані l. Площина Р, у якій лежать задані елементи, можна поєднати з пл. H (рис. 155, к), повернувши пл. Р навколо неї обрій. сліду. Перейшовши від завдання площини точкою А та прямою ВС до завдання прямими ВС та А-1 (рис. 155, л), знаходимо сліди цих прямих і проводимо через них сліди Р і P h . Будуємо (рис. 155, м) поєднане з пл. H становище фронт. сліду - P ϑ0.

Через точку проводимо обрій. проекцію фронталі; суміщена фронталь проходить через точку 2 на сліді Р h паралельно Р ϑ0 . Точка А 0 - суміщена з пл. H положення точки А. Аналогічно знаходимо точку 0 . Пряма НД у поєднаному з пл. H положенні проходить через точку 0 і точку m (горизонт. слід прямий).

Відстань від точки A 0 до прямої 0 З 0 дорівнює шуканій відстані l.

Можна виконати вказану побудову, знайшовши лише один слід Р h (рис. 155, н і о). Вся побудова аналогічна повороту навколо горизонталі (див. рис. 155 ж, в, і): слід Р h - це одна з горизонталів пл. Р.

З наведених на вирішення цього завдання способів перетворення креслення кращим є спосіб обертання навколо горизонталі чи фронталі.

158. Дано піраміду SABC (рис. 156). Визначити відстані:

а) від вершини підстави до його боку АС способом паралельного переміщення;

б) від вершини S піраміди до сторін ВС та АВ основи способом обертання навколо горизонталі;

в) від вершини S до сторони АС підстави способом зміни площин проекцій.

159. Дана призма (рис. 157). Визначити відстані:

а) між ребрами AD та CF способом зміни площин проекцій;

б) між ребрами BE та CF обертанням навколо фронталі;

в) між ребрами AD та BE способом паралельного переміщення.

160. Визначити натуральну величину чотирикутника ABCD (рис. 158) суміщенням із пл. М. Користуватися лише горизонтальним слідом площини.

161*. Визначити відстань між прямими АВ і CD, що схрещуються, (рис. 159, а) і побудувати проекції спільного до них перпендикуляра.

Рішення. Відстань між схрещувальними прямими вимірюється відрізком (MN) перпендикуляра до обох прямих (рис. 159, б). Очевидно, якщо одну з прямих розташувати перпендикулярно до будь-якої пл. Т, то

відрізок MN перпендикуляра до обох прямих виявиться паралельним пл. Т нього проекція на цій площині відобразить відстань, яку шукає. Проекція прямого кутаменаду MN н АВ на пл. Т виявляється також прямим кутом між m t n t і а t b t так як одна зі сторін прямого кута AMN, а саме MN. паралельна пл. Т.

На рис. 159, і г шукана відстань l визначено способом зміни площин проекцій. Спочатку вводимо додаткову пл. проекцій S, перпендикулярну до пл. H та паралельну прямий CD (рис. 159, в). Потім вводимо ще одну додаткову пл. Т, перпендикулярну до пл. S і перпендикулярну до тієї ж прямої CD (рис. 159 г). Тепер можна побудувати проекцію загального перпендикуляра, провівши m t n t з точки c t (d t) перпендикулярно до проекції a t b t . Точки m t і nt - проекції точок перетину цього перпендикуляра з прямими АВ і CD. По точці m t (рис. 159, д) знаходимо m s на a s b s: проекція m s ns має бути паралельна осі Т/S. Далі, по ms і ns знаходимо m і n на ab і cd, а по них m" і n" на а"b" і c"d".

На рис. 159, показано рішення цієї задачі за способом паралельного переміщень. Спочатку ставимо пряму CD паралельно до пл. V: проекція з 1 d 1 || х. Далі переміщуємо прямі CD і АВ з положень C 1 D 1 і А 1 В 1 положення С 2 B 2 і А 2 В 2 так, щоб С 2 D 2 розташувалася перпендикулярно Н: проекція з "2 d" 2 ⊥ х. Відрізок шуканого перпендикуляра розташовується | пл. H, і, отже, m 2 n 2 виражає відстань l між АВ і CD. Знаходимо положення проекцій m" 2 і n" 2 на а" 2 b" 2 і c" 2 d" 2 потім проекцій і m 1 і m" 1 , n 1 і n" 1 , нарешті, проекцій m" і n ", m та n.

162. Дано піраміду SABC (рис. 160). Визначити відстань між ребром SB та стороною АС основи піраміди та побудувати проекції загального перпендикуляра до SB та АС, застосувавши спосіб зміни площин проекцій.

163. Дано піраміду SABC (рис. 161). Визначити відстань між ребром SH та стороною ВС основи піраміди та побудувати проекції загального перпендикуляра до SX та ВС, застосувавши спосіб паралельного переміщення.

164*. Визначити відстань від точки А до площини у випадках, коли задана площина: а) трикутником BCD (рис. 162, а); б) слідами (рис. 162, б).

Рішення. Як відомо, відстань від точки до площини вимірюється величиною перпендикуляра, проведеного з точки на площину. Ця відстань проектується на якусь пл. проекцій у натуральну величину, якщо дана площина перпендикулярна до пл. проекцій (рис. 162, в). Досягти такого положення можна, перетворюючи креслення, наприклад, способом зміни пл. проекцій. Введемо пл. S (рис. 16ц, г), перпендикулярну до пл. трикутник BCD. Для цього проводимо у пл. трикутника горизонталь В-1 і маємо вісь проекцій S перпендикулярно до проекції b-1 горизонталі. Будуємо проекції точки та площини - а s та відрізок c s d s . Відстань від a s до c s d s дорівнює шуканій відстані l точки до площини.

На Ріо. 162, д застосований спосіб паралельного переміщення. Переміщуємо всю систему до тих пір, поки горизонталь В-1 площини не стане перпендикулярна до площини V: проекція b 1 1 має бути перпендикулярна до осі x. У цьому положенні площина трикутника стане фронтально-проецірующей, і відстань l від точки А до неї вийде пл. V без спотворення.

На рис. 162 б площина задана слідами. Вводимо (рис. 162, е) додаткову пл. S, перпендикулярну до пл. P: вісь S/Н перпендикулярна Р h . Подальше зрозуміло з креслення. На рис. 162 ж завдання вирішена за допомогою одного переміщення: пл. Р перетворюється на становище Р 1 , т. е. стає фронтально-проецирующей. Слід. Р 1h перпендикулярний до осі х. Будуємо у цьому положенні площині фронт. слід горизонталі - точку n" 1 ,n 1 . Слід P 1ϑ пройде через Р 1x і n 1 . Відстань від a" 1 до Р 1ϑ дорівнює шуканій відстані l.

165. Дано піраміду SABC (див. рис. 160). Визначити відстань від точки А до грані піраміди SBC, застосувавши спосіб паралельного переміщення.

166. Дано піраміду SABC (див. рис. 161). Визначити висоту піраміди, застосувавши спосіб паралельного переміщення.

167*. Визначити відстань між прямими АВ і CD, що схрещуються, (див. рис. 159,а) як відстань між паралельними площинами, проведеними через ці прямі.

Рішення. На рис. 163 а показані паралельні між собою площини Р і Q, з яких пл. Q проведена через CD паралельно АВ а пл. Р – через АВ паралельно пл. Q. Відстань між такими площинами і вважається відстанню між прямими АВ і CD, що схрещуються. Однак можна обмежитися побудовою тільки однієї площини, наприклад, Q, паралельно АВ, а потім визначити відстань хоча б від точки А до цієї площини.

На рис. 163 показана площина Q, проведена через CD паралельно АВ; у проекціях проведено "е" || а"b" і се || аb. Застосовуючи спосіб зміни пл. проекцій (рис. 163, в), введемо додаткову пл. S, перпендикулярну до пл. V і в той же час

перпендикулярну до пл. Q. Щоб провести вісь S/V, беремо у цій площині фронталь D-1. Тепер проводимо S/V перпендикулярно до "1" (рис. 163, в). Пл. Q зобразиться на пл. S у вигляді прямої з s d s . Решта ясно з креслення.

168. Дано піраміду SABC (див. рис, 160). Визначити відстань між ребрами SC та AB. Застосувати: 1) спосіб зміни пл. проекцій; 2) спосіб паралельного переміщення.

169*. Визначити відстань між паралельними площинами, з яких одна задана прямими АВ та АС, а інша – прямими DE та DF (рис. 164, а). Виконати також побудову випадку, коли площині задані слідами (рис. 164, б).

Рішення. Відстань (рис. 164, в) між паралельними площинами можна визначити, провівши перпендикуляр із будь-якої точки однієї площини на іншу площину. На рис. 164 г введена додаткова пл. S перпендикулярно пл. Н і до обох даних площин. Вісь S.H перпендикулярна до горизонту. проекції горизонталі, проведеної в одній із площин. Будуємо проекцію цієї площини та точки В іншій площині на пл. 5. Відстань точки d s до прямої l s a s дорівнює пошуку відстані між паралельними площинами.

На рис. 164, д дана інша побудова (за способом паралельного переміщення). Для того щоб площина, виражена прямими АВ і АС, що перетинаються, виявилася перпендикулярна до пл. V, горизонт. проекцію горизонталі цієї площини ставимо перпендикулярно до осі х: 1 1 2 1 ⊥ х. Відстань між фронтом. проекцією d" 1 точки D і прямий а" 1 2" 1 (фронт. проекцією площини) дорівнює шуканій відстані між площинами.

На рис. 164, е показано введення додаткової пл. S, перпендикулярної до пл.H і даних площин Р і Q (вісь S/H перпендикулярна до слідів Р h , і Q h). Будуємо сліди Р s і Q s . Відстань між ними (див. рис. 164, в) дорівнює шуканій відстані l між площинами Р і Q.

На рис. 164 ж показано переміщення площин Р 1 н Q 1 в положення P 1 і Q 1 коли горизонт. сліди виявляються перпендикулярними до осі x. Відстань між новим фронтом. слідами P 1 і Q 1 дорівнює шуканій відстані l.

170. Даний паралелепіпед ABCDEFGH (рис. 165). Визначити відстані: а) між основами паралелепіпеда - l 1 ; б) між гранями ABFE та DCGH - l 2 ; в) між гранями ADHE та BCGF-l 3 .

Відстань від точки до прямої – це довжина перпендикуляра, опущеного з точки на пряму. У накреслювальній геометрії вона визначається графічним шляхом за наведеним нижче алгоритмом.

Алгоритм

1. Пряму переводять у положення, в якому вона буде паралельна будь-якій площині проекції. Для цього застосовують методи перетворення ортогональних проекцій.
2. З точки проводять перпендикуляр до прямої. В основі даної побудовилежить теорема про проектування прямого кута.
3. Довжина перпендикуляра визначається шляхом перетворення його проекцій або за допомогою способу прямокутного трикутника.

На наступному малюнку представлений комплексний креслення точки M та прямий b, заданої відрізком CD. Потрібно знайти відстань між ними.

Згідно з нашим алгоритмом, перше, що необхідно зробити, це перевести пряму в положення, паралельне площині проекції. При цьому важливо розуміти, що після проведених перетворень фактична відстань між точкою та прямою не повинна змінитися. Саме тому тут зручно використовувати метод заміни площин, який передбачає переміщення фігур у просторі.

Результати першого етапу побудов показані нижче. На малюнку видно, як паралельно введена додаткова фронтальна площина П 4 . У новій системі (П 1 , П 4) точки C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 знаходяться на тому ж віддаленні від осі X 1 , що і C"", D"", M"" від осі X.

Виконуючи другу частину алгоритму, з M"" 1 опускаємо перпендикуляр M"" 1 N"" 1 на пряму b"" 1 оскільки прямий кут MND між b і MN проектується на площину П 4 в натуральну величину. По лінії зв'язку визначаємо положення точки N" та проводимо проекцію M"N" відрізка MN.

на заключному етапіпотрібно визначити величину відрізка MN за його проекціями M"N" і M"" 1 N"" 1 . Для цього будуємо прямокутний трикутник M"" 1 N"" 1 N 0 , у якого катет N"" 1 N 0 дорівнює різниці (Y M 1 - Y N 1) видалення точок M" і N" від осі X 1 . Довжина гіпотенузи M"" 1 N 0 трикутника M"" 1 N"" 1 N 0 відповідає шуканій відстані від M до b.

Другий спосіб вирішення

• Паралельно CD вводимо нову передню площину П 4 . Вона перетинає П 1 по осі X 1 , причому X 1 C "D". Відповідно до методу заміни площин визначаємо проекції точок C""1, D""1 і M""1, як це зображено на малюнку.
• Перпендикулярно C"" 1 D"" 1 будуємо додаткову горизонтальну площину П 5 на яку пряма b проектується в точку C" 2 = b" 2 .
• Розмір відстані між точкою M і прямою b визначається довжиною відрізка M" 2 C" 2 , позначеного червоним кольором.

Схожі завдання:

Формула для обчислення відстані від точки до прямої на площині

Якщо задано рівняння прямої Ax + By + C = 0, то відстань від точки M(M x , M y) до прямої можна знайти, використовуючи таку формулу

Приклади завдань на обчислення відстані від точки до прямої на площині

приклад 1.

Знайти відстань між прямою 3x + 4y - 6 = 0 та точкою M(-1, 3).

Рішення.Підставимо у формулу коефіцієнти прямої та координати точки

Відповідь:відстань від точки до прямої дорівнює 0.6.

рівняння площини перпендикулярно вектору, що проходить через точки Загальне рівняння площини

Ненульовий вектор , перпендикулярний заданій площині, називається нормальним вектором (або, коротше, нормаллю ) для цієї площини.

Нехай у координатному просторі (у прямокутній системі координат) задані:

а) точка ;

б) ненульовий вектор (рис.4.8 а).

Потрібно скласти рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору Кінець підтвердження.

Розглянемо тепер різні типирівнянь прямої на площині.

1) Загальне рівняння площиниP .

З висновку рівняння випливає, що одночасно A, Bі Cне дорівнюють 0 (поясніть чому).

Крапка належить площині Pтільки у тому випадку, коли її координати задовольняють рівняння площини. Залежно від коефіцієнтів A, B, Cі Dплощина Pзаймає те чи інше становище:

‑ площина проходить через початок системи координат, ‑ площина не проходить через початок системи координат,

‑ площина паралельна осі X,

X,

‑ площина паралельна осі Y,

‑ площина не паралельна осі Y,

‑ площина паралельна осі Z,

‑ площина не паралельна осі Z.

Доведіть ці твердження самостійно.

Рівняння (6) легко виводиться із рівняння (5). Справді, нехай точка лежить на площині P. Тоді її координати задовольняють рівняння Віднімаючи з рівняння (5) рівняння (7) і групуючи доданки, отримаємо рівняння (6). Розглянемо тепер два вектори з координатами відповідно. З формули (6) випливає, що їх скалярний добуток дорівнює нулю. Отже, вектор перпендикулярний вектору Початок і кінець останнього вектора знаходяться відповідно в точках які належать P. Отже, вектор перпендикулярний площині. P. Відстань від точки до площини P, загальне рівняння якої визначається за формулою Доказ цієї формули повністю аналогічний доказу формули відстані між точкою та прямою (див. рис. 2).
Мал. 2. До висновку формули відстані між площиною та прямою.

Справді, відстань dміж прямою і площиною одно

де - точка лежача на площині. Звідси, як і в лекції № 11, виходить вище наведена формула. Дві площини паралельні, якщо паралельні їхнім нормальним векторам. Звідси отримуємо умову паралельності двох площин. ‑ коефіцієнти загальних рівняньплощин. Дві площини перпендикулярні, якщо перпендикулярні їх нормальні вектори, звідси отримуємо умову перпендикулярності двох площин, якщо відомі їх загальні рівняння

Кут fміж двома площинами дорівнює кутуміж їх нормальними векторами (див. рис. 3) і може, тому, бути обчислений за формулою
Визначення кута між площинами.

(11)

Відстань від точки до площини та способи її знаходження

Відстань від точки до площині- Довжина перпендикуляра, опущеного з точки на цю площину. Існує принаймні два способи знайти відстань від точки до площини: геометричнийі алгебраїчний.

При геометричному способіпотрібно спочатку зрозуміти, як розташований перпендикуляр з точки на площину: може він лежить в якійсь зручній площині, є висотою в якійсь зручному (або не дуже) трикутнику, а може цей перпендикуляр взагалі є висотою в якійсь піраміді.

Після цього першого і найскладнішого етапу завдання розпадається на кілька конкретних планиметричних завдань (можливо, у різних площинах).

При способі алгебриЩоб знайти відстань від точки до площині, потрібно ввести систему координат, знайти координати точки і рівняння площини, і після цього застосувати формулу відстані від точки до площини.