Як знайти координати фокусів еліпса Лінії другого порядку. Еліпс та його канонічне рівняння. Окружність
Лінії другого порядку.
Еліпс та його канонічне рівняння. Окружність
Після ґрунтовного опрацювання прямих на площиніпродовжуємо вивчати геометрію двовимірного світу. Ставки подвоюються, і я запрошую вас відвідати мальовничу галерею еліпсів, гіпербол, парабол, які є типовими представниками ліній другого порядку. Екскурсія вже розпочалася, і спочатку коротка інформаціяпро всю експозицію на різних поверхах музею:
Поняття алгебраїчної лінії та її порядку
Лінію на площині називають алгебраїчної, якщо в афінної системи координатїї рівняння має вигляд , де – многочлен, що складається з доданків виду ( – дійсне число, – цілі неотрицательные числа).
Як бачите, рівняння лінії алгебри не містить синусів, косінусів, логарифмів та іншого функціонального бомонду. Тільки «ікси» та «ігреки» в цілих невід'ємнихступенях.
Порядок лініїдорівнює максимальному значенню складових, що входять до нього.
За відповідною теоремою, поняття алгебраїчної лінії, а також її порядок не залежать від вибору афінної системи координат, тому для легкості буття вважаємо, що всі наступні викладки мають місце в декартових координатах.
Загальне рівняннялінії другого порядку має вигляд , де 
– довільні дійсні числа (прийнято записувати з множником-«двійкою»), причому коефіцієнти не дорівнюють одночасно нулю.
Якщо , то рівняння спрощується до 
, і якщо коефіцієнти одночасно не дорівнюють нулю, то це точно загальне рівняння «плоської» прямої, яка є лінію першого порядку.
Багато хто зрозумів зміст нових термінів, але, проте, з метою 100%-го засвоєння матеріалу сунемо пальці в розетку. Щоб визначити порядок лінії, потрібно перебрати всі доданкиїї рівняння та у кожного з них знайти суму ступеніввхідних змінних.
Наприклад:
доданок містить «ікс» в 1-му ступені;
доданок містить «ігрок» в 1-му ступені;
у складі змінні відсутні, тому сума їх ступенів дорівнює нулю.
Тепер розберемося, чому рівняння задає лінію другогопорядку:
доданок містить «ікс» у 2-му ступені;
у доданку сума ступенів змінних: 1 + 1 = 2;
доданок містить «гравець» у 2-му ступені;
решта доданків – меншоюступеня.
Якщо до нашого рівняння додатково приплюсувати, скажімо, то воно вже буде визначати лінію третього порядку. Очевидно, що загальний вигляд рівняння лінії 3-го порядку містить «повний комплект» доданків, сума ступенів змінних у яких дорівнює трьом:
, Де коефіцієнти не рівні одночасно нулю.
У тому випадку, якщо додати одне або кілька відповідних доданків, які містять 
, то мова вже зайде про лінії 4-го порядку, і т.д.
З лініями алгебри 3-го, 4-го і більш високих порядків нам доведеться зіткнутися ще не раз, зокрема, при знайомстві з полярною системою координат.
Однак повернемося до загального рівняння та згадаємо його найпростіші шкільні варіації. Як приклади напрошується парабола, рівняння якої легко призвести до загального вигляду, та гіпербола з еквівалентним рівнянням . Однак не все так гладко.
Істотний недолік загального рівнянняполягає в тому, що майже завжди не зрозуміло, яку задає лінію. Навіть у найпростішому випадку не відразу зрозумієш, що це гіпербола. Такі розклади хороші лише на маскараді, тому в курсі аналітичної геометрії розглядається типове завдання приведення рівняння лінії 2-го порядку до канонічного вигляду.
Що таке канонічний вид рівняння?
Це загальноприйнятий стандартний виглядрівняння, як у лічені секунди стає зрозуміло, який геометричний об'єкт воно визначає. Крім того, канонічний вигляд дуже зручний для вирішення багатьох практичних завдань. Так, наприклад, канонічному рівнянню «плоский» прямий, по-перше, відразу зрозуміло, що це пряма, а по-друге – елементарно проглядається точка, що належить їй, і напрямний вектор .
Очевидно, що будь-яка лінія 1-го порядкує прямою. На другому поверсі нас чекає вже не вахтер, а набагато різноманітніша компанія з дев'яти статуй:
Класифікація ліній другого порядку
За допомогою спеціального комплексу дій будь-яке рівняння лінії другого порядку наводиться до одного з наступних видів:
(і – позитивні дійсні числа)
1) 
- канонічне рівняння еліпса;
2) - канонічне рівняння гіперболи;
3) 
- канонічне рівняння параболи;
4) – уявнийеліпс;
5) - пара прямих, що перетинаються;
6) – пара уявнихпрямих, що перетинаються (з єдиною дійсною точкою перетину на початку координат);
7) – пара паралельних прямих;
8) – пара уявнихпаралельних прямих;
9) - пара прямих, що збіглися.
У ряду читачів може скластися враження неповноти списку. Наприклад, у пункті № 7 рівняння задає пару прямих, паралельних осі , і виникає питання: а де ж рівняння , що визначає прямі , паралельні осі ординат? Відповідь: воно не вважається канонічним. Прямі являють собою той самий стандартний випадок, повернутий на 90 градусів, і додатковий запис у класифікації надмірна, оскільки не несе нічого принципово нового.
Таким чином, існує дев'ять і лише дев'ять різних видівліній 2-го порядку, але на практиці найчастіше зустрічаються еліпс, гіпербола та парабола.
Спочатку розглянемо еліпс. Як завжди, я акцентую увагу на тих моментах, які мають велике значеннядля вирішення завдань, і якщо вам необхідний докладний висновок формул, докази теорем, будь ласка, зверніться, наприклад, до підручника Базильова/Атанасяна чи Александрова.
Еліпс та його канонічне рівняння
Правопис… будь ласка, не повторюйте помилок деяких користувачів Яндекса, яких цікавить «як побудувати елібз», «відмінність еліпса від овалу» та «ексцентриситет елебсу».
Канонічне рівняння еліпса має вигляд , де - Позитивні дійсні числа, причому . Саме визначення еліпса я сформулюю пізніше, а поки саме час відпочити від говорілки і вирішити поширене завдання:
Як побудувати еліпс?
Так, ось взяти його і просто накреслити. Завдання зустрічається часто, і значна частина студентів не зовсім добре справляються з кресленням:
Приклад 1
Побудувати еліпс, заданий рівнянням
Рішення: спочатку наведемо рівняння до канонічного вигляду: 
Навіщо наводити? Одна з переваг канонічного рівняння полягає в тому, що воно дозволяє миттєво визначити вершини еліпса, що у точках . Легко помітити, що координати кожної з цих точок задовольняють рівняння .
У даному випадку :
Відрізокназивають великою віссюеліпса;
відрізок – малою віссю;
число 
називають великою піввіссюеліпса;
число 
– малою піввіссю.
у прикладі: .
Щоб швидко уявити, як виглядає той чи інший еліпс, достатньо подивитися на значення «а» і «бе» його канонічного рівняння.
Все добре, складно та красиво, але є один нюанс: я виконав креслення за допомогою програми . І ви можете виконати креслення за допомогою будь-якої програми. Однак у суворій дійсності на столі лежить картатий аркуш паперу, і на наших руках водять хороводи миші. Люди з художнім талантом, звичайно, можуть посперечатися, але миші є і у вас теж (щоправда, менше). Такі недаремно людство винайшло лінійку, циркуль, транспортир та інші нехитрі пристрої для креслення.
Тому нам навряд чи вдасться акуратно накреслити еліпс, знаючи одні вершини. Ще куди не йшло, якщо еліпс невеликий, наприклад, з півосями. Як варіант, можна зменшити масштаб і, відповідно, розміри креслення. Але в загальному випадкудуже бажано знайти додаткові точки.
Існує два підходи до побудови еліпса – геометричний та алгебраїчний. Побудова за допомогою циркуля і лінійки мені не подобається через не короткий алгоритм і суттєву захаращеність креслення. У разі крайньої необхідності, будь ласка, зверніться до підручника, а насправді ж набагато раціональніше скористатися засобами алгебри. З рівняння еліпса на чернетці швиденько висловлюємо: 
Далі рівняння розпадається на дві функції: 
- Визначає верхню дугу еліпса; 
- Визначає нижню дугу еліпса.
Заданий канонічним рівнянням еліпс симетричний щодо координатних осей, і навіть щодо початку координат . І це добре - симетрія в більшості випадків провісник халяви. Очевидно, що достатньо розібратися з 1-ою координатною чвертю, тому нам потрібна функція 
. Напрошується знаходження додаткових крапок з абсцисами 
. Настукаємо три смс-ки на калькуляторі: 
Безумовно, приємно й те, що якщо допущено серйозну помилку в обчисленнях, то це відразу з'ясується в ході побудови.
Зазначимо на кресленні точки (червоний колір), симетричні точки на решті дуг ( синій колір) і акуратно з'єднаємо лінією всю компанію: 
Початковий малюнок краще прокреслити тонко-тонко, і лише потім надати натиск олівця. В результаті має вийти цілком гідний еліпс. До речі, чи не хочете дізнатися, що це за крива?
Визначення еліпса. Фокуси еліпса та ексцентриситет еліпса
Еліпс – це окремий випадоковалу. Слово «овал» не слід розуміти в обивательському сенсі («дитина намалювала овал» і т.п.). Це математичний термін, що має розгорнуте формулювання. Метою даного уроку не є розгляд теорії овалів та різних їх видів, яким практично не приділяється уваги у стандартному курсі аналітичної геометрії. І, відповідно до більш актуальних потреб, ми відразу переходимо до суворого визначення еліпса:
Еліпс– це безліч усіх точок площини, сума відстаней до кожної з яких від двох даних точок , фокусамиеліпса, - є величина постійна, чисельно рівна довжинівеликий осі цього еліпса: .
У цьому відстані між фокусами менше значення: .
Тепер стане все зрозуміліше: 
Уявіть, що синя крапка «їздить» еліпсом. Так от, яку б точку еліпса ми не взяли, сума довжин відрізків завжди буде однією і тією ж:
Переконаємося, що у нашому прикладі значення суми справді дорівнює восьми. Подумки помістіть точку «ем» у праву вершину еліпса, тоді: , що потрібно перевірити.
На визначенні еліпса заснований ще один спосіб його креслення. Вища математика часом причина напруги і стресу, тому саме час провести черговий сеанс розвантаження. Будь ласка, візьміть ватман або великий лист картону і приколоти його до столу двома гвоздиками. Це будуть фокуси. До капелюшків цвяхів, що стирчать, прив'яжіть зелену нитку і до упору відтягніть її олівцем. Гриф олівця опиниться в деякій точці, яка належить еліпсу. Тепер починайте олівець по аркушу паперу, зберігаючи зелену нитку сильно натягнутою. Продовжуйте процес доти, доки не повернетеся у вихідну точку… відмінно… креслення можна здати на перевірку лікареві викладачеві =)
Як знайти фокуси еліпса?
У наведеному прикладі я зобразив «готові» точки фокусу, і зараз ми навчимося видобувати їх із надр геометрії.
Якщо еліпс заданий канонічним рівнянням, його фокуси мають координати 
, де - це відстань від кожного з фокусів до центру симетрії еліпса.
Обчислення простіше пареної ріпи: 
! Зі значенням «це» не можна ототожнювати конкретні координати фокусів!Повторюся, що це ВІДСТАНЬ від кожного з фокусів до центру(який у випадку ні розташовуватися саме на початку координат).
І, отже, відстань між фокусами теж не можна прив'язувати до канонічного становища еліпса. Іншими словами, еліпс можна перенести в інше місце і значення залишиться постійним, тоді як фокуси, звичайно, змінять свої координати. Будь ласка, враховуйте цей момент під час подальшого вивчення теми.
Ексцентриситет еліпса та його геометричний зміст
Ексцентриситетом еліпса називають відношення, яке може набувати значень у межах.
У нашому випадку:
З'ясуймо, як форма еліпса залежить від його ексцентриситету. Для цього зафіксуємо ліву та праву вершинианалізованого еліпса, тобто значення великої півосі залишатиметься постійним. Тоді формула ексцентриситету набуде вигляду: .
Почнемо наближати значення ексцентриситету до одиниці. Це можливо лише в тому випадку, якщо . Що це означає? …згадуємо про фокуси 
. Це означає, що фокуси еліпса «роз'їжджатимуться» по осі абсцис до бічних вершин. І, оскільки «зелені відрізки не гумові», то еліпс неминуче почне сплющуватися, перетворюючись на все більш тонку сосиску, нанизану на вісь.
Таким чином, чим ближче значенняексцентриситету еліпса до одиниці, тим еліпс більш довгастий.
Тепер змоделюємо протилежний процес: фокуси еліпса 
пішли назустріч один одному, наближаючись до центру. Це означає, що значення «це» стає дедалі менше і, відповідно, ексцентриситет прагне нулю: .
При цьому "зеленим відрізкам" буде, навпаки - "ставати тісно" і вони почнуть "виштовхувати" лінію еліпса вгору і вниз.
Таким чином, чим ближче значення ексцентриситету до нуля, тим еліпс більше схожий… дивимося граничний випадок, коли фокуси успішно возз'єдналися на початку координат:
Окружність – це окремий випадок еліпса
Справді, у разі рівності півосей канонічне рівняння еліпса набуває вигляду , який рефлекторно перетворюється на – добре відомого зі школи рівняння кола з центром на початку координат радіусу «а».
Насправді частіше використовують запис із «говорящей» буквою «ер»: . Радіусом називають довжину відрізка, при цьому кожна точка кола віддалена від центру на відстань радіуса.
Зауважте, що визначення еліпса залишається повністю коректним: фокуси збіглися, і сума довжин відрізків, що збіглися, для кожної точки кола – є величина постійна. Оскільки відстань між фокусами, то ексцентриситет будь-якого кола дорівнює нулю.
Будується коло легко і швидко, достатньо озброїтися циркулем. Тим не менш, іноді буває потрібно з'ясувати координати деяких її точок, у цьому випадку йдемо знайомим шляхом – наводимо рівняння до бадьорого матанівського вигляду:
– функція верхнього півкола;
– функція нижнього півкола.
Після чого знаходимо потрібні значення, диференціюємо, інтегруємоі робимо інші добрі речі.
Стаття, звичайно, має довідковий характер, але як на світі без кохання прожити? Творче завданнядля самостійного рішення
Приклад 2
Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомий один із його фокусів і мала піввісь (центр знаходиться на початку координат). Знайти вершини, додаткові точки та зобразити лінію на кресленні. Обчислити ексцентриситет.
Рішення та креслення наприкінці уроку
Додамо екшену:
Поворот та паралельне перенесення еліпса
Повернемося до канонічного рівняння еліпса , зокрема, до умови , загадка якого мучить допитливі уми ще з часів першої згадки про цю криву. Ось ми розглянули еліпс 
але хіба на практиці не може зустрітися рівняння 
? Адже тут, однак, це начебто як і еліпс!
Подібне рівняння нечасте, але справді трапляється. І воно справді визначає еліпс. Розвіємо містику: 
Внаслідок побудови отримано наш рідний еліпс, повернутий на 90 градусів. Тобто, 
– це неканонічний записеліпса 
. Запис!- Рівняння 
не ставить якийсь інший еліпс, оскільки на осі немає точок (фокусів), які б задовольняли визначенню еліпса.
Визначення 7.1.Багато всіх точок на площині, для яких сума відстаней до двох фіксованих точок F 1 і F 2 є задана постійна величина, називають еліпсом.
Визначення еліпса дає такий спосіб його геометричного побудови. Фіксуємо на площині дві точки F 1 і F 2 а невід'ємну постійну величину позначимо через 2а. Нехай відстань між точками F1 і F2 дорівнює 2c. Уявімо, що нерозтяжна нитка довжиною 2а закріплена в точках F 1 і F 2 наприклад, за допомогою двох голок. Зрозуміло, що це можливо лише за ≥ с. Натягнувши нитку олівцем, накреслимо лінію, яка і буде еліпсом (рис. 7.1).
Отже, описувана множина не порожня, якщо а ≥ с. При а = еліпс є відрізок з кінцями F 1 і F 2 , а при с = 0, тобто. якщо зазначені у визначенні еліпса фіксовані точки збігаються, він є коло радіуса а. Відкидаючи ці вироджені випадки, будемо далі предполати, зазвичай, що > з > 0.
Фіксовані точки F 1 та F 2 у визначенні 7.1 еліпса (див. рис. 7.1) називають фокусами еліпса, відстань між ними, позначена через 2c, - фокальною відстаннюа відрізки F 1 M і F 2 M, що з'єднують довільну точку M на еліпсі з його фокусами, - фокальними радіусами .
Вигляд еліпса повністю визначається фокальною відстанню | F 1 F 2 | = 2с і параметром a, яке положення на площині - парою точок F 1 і F 2 .
З визначення еліпса слід, що він симетричний щодо прямої, що проходить через фокуси F 1 і F 2 , а також щодо прямої, яка ділить відрізок F 1 F 2 навпіл і перпендикулярна йому (рис. 7.2 а). Ці прямі називають осями еліпса. Точка O їх перетину є центром симетрії еліпса, і її називають центром еліпса, А точки перетину еліпса з осями симетрії (точки A, B, C і D на рис. 7.2, а) - вершинами еліпса.
Число a називають великою піввіссю еліпса, а b = √(a 2 - c 2) - його малою піввіссю. Неважко помітити, що при c>0 велика піввісь a дорівнює відстані від центру еліпса до тих його вершин, які знаходяться на одній осі з фокусами еліпса (вершини A і B на рис. 7.2 а), а мала піввісь b дорівнює відстані від центру еліпса до двох інших його вершин (вершини C та D на рис. 7.2, а).
Рівняння еліпса.Розглянемо на площині деякий еліпс з фокусами в точках F 1 і F 2 великою віссю 2a. Нехай 2c - фокальна відстань, 2c = | F1F2 |
Виберемо прямокутну систему координат Oxy на площині так, щоб її початок співпав із центром еліпса, а фокуси знаходилися на осі абсцис(Рис. 7.2, б). Таку систему координат називають канонічноїдля аналізованого еліпса, а відповідні змінні - канонічними.
У вибраній системі координат фокуси мають координати F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Використовуючи формулу відстані між точками, запишемо умову | F 1 M | + | F 2 M | = 2a в координатах:
√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
Це рівняння незручно, тому що в ньому присутні два квадратні радикали. Тому перетворимо його. Перенесемо в рівнянні (7.2) другий радикал праву частинуі зведемо в квадрат:
(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .
Після розкриття дужок та приведення подібних доданків отримуємо
√((x + c) 2 + y 2) = a + εx
де ε = c/a. Повторюємо операцію зведення в квадрат, щоб прибрати і другий радикал: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2 або, враховуючи значення введеного параметра ε, (a 2 - c 2) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Оскільки a 2 - c 2 = b 2 > 0, то
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)
Рівняння (7.4) задовольняють координати всіх точок, що лежать на еліпсі. Але при виведенні цього рівняння використовувалися нееквівалентні перетворення вихідного рівняння (7.2) - два зведення в квадрат, що забирають квадратні радикали. Зведення рівняння квадрат є еквівалентним перетворенням, якщо в обох його частинах стоять величини з однаковим знаком, але ми цього у своїх перетвореннях не перевіряли.
Ми можемо не перевіряти еквівалентність перетворень, якщо врахуємо таке. Пара точок F 1 і F 2 | F 1 F 2 | = 2c, площині визначає сімейство еліпсів з фокусами у цих точках. Кожна точка площини, крім точок відрізка F 1 F 2 належить будь-якому еліпсу зазначеного сімейства. При цьому жодні два еліпси не перетинаються, оскільки сума фокальних радіусів однозначно визначає конкретний еліпс. Отже, описане сімейство еліпсів без перетинів покриває всю площину, крім точок відрізка F1F2. Розглянемо безліч точок, координати яких задовольняють рівняння (7.4) із цим значенням параметра a. Чи може ця множина розподілятися між кількома еліпсами? Частина точок множини належить еліпсу з великою піввіссю a. Нехай у цій множині є точка, що лежить на еліпсі з великою піввіссю а. Тоді координати цієї точки підпорядковуються рівнянню
тобто. рівняння (7.4) та (7.5) мають загальні рішення. Однак легко переконатися, що система
за ã ≠ a рішень не має. Для цього достатньо виключити, наприклад, x з першого рівняння:
що після перетворень призводить до рівняння
не має рішень при ã ≠ a, оскільки . Отже, (7.4) є рівняння еліпса з великою піввіссю a > 0 і малою піввіссю b = √ (a 2 - c 2) > 0. Його називають канонічним рівнянням еліпса.
Перегляд еліпса.Розглянутий вище геометричний спосіб побудови еліпса дає достатнє уявлення про зовнішньому виглядіеліпса. Але вид еліпса можна вивчити і за допомогою його канонічного рівняння (7.4). Наприклад, можна, вважаючи у ≥ 0, виразити через x: y = b√(1 - x 2 /a 2), і, дослідивши цю функцію, побудувати її графік. Є ще один спосіб побудови еліпса. Коло радіусу a з центром на початку канонічної системи координат еліпса (7.4) описується рівнянням x 2 + y 2 = а 2 . Якщо її стиснути з коефіцієнтом a/b > 1 вздовж осі ординат, то вийде крива, яка описується рівнянням x 2 + (ya/b) 2 = a 2 тобто еліпс.
Зауваження 7.1.Якщо те ж коло стиснути з коефіцієнтом a/b
Ексцентриситет еліпса. Відношення фокальної відстані еліпса до його великої осі називають ексцентриситетом еліпсата позначають через ε. Для еліпса, заданого
канонічним рівнянням (7.4), ε = 2c/2a = с/a. Якщо ж (7.4) параметри a і b пов'язані нерівністю a
При с =0, коли еліпс перетворюється на окружність, і ε = 0. В інших випадках 0
Рівняння (7.3) еквівалентне рівнянню (7.4), оскільки еквівалентні рівняння (7.4) та (7.2) . Тому рівнянням еліпса є (7.3). Крім того, співвідношення (7.3) цікаве тим, що дає просту, не містить радикалів, формулу для довжини | F 2 M | одного з фокальних радіусів точки M(x; у) еліпса: | F 2 M | = a + εx.
Аналогічна формула другого фокального радіуса то, можливо отримана з міркувань симетрії чи повторенням викладок, у яких перед зведенням у квадрат рівняння (7.2) у праву частину переноситься перший радикал, а чи не другий. Отже, для будь-якої точки M(x; у) на еліпсі (див. рис. 7.2)
|F 1 M | = a - εx, | F 2 M | = a + εx, (7.6)
і кожне із цих рівнянь є рівнянням еліпса.
Приклад 7.1.Знайдемо канонічне рівняння еліпса з великою піввіссю 5 та ексцентриситетом 0,8 та побудуємо його.
Знаючи велику піввісь еліпса a = 5 та ексцентриситет ε = 0,8, знайдемо його малу піввісь b. Оскільки b = √(a 2 - з 2), а з = εa = 4, то b = √(5 2 - 4 2) = 3. Значить канонічне рівняння має вигляд x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Для побудови еліпса зручно зобразити прямокутник із центром на початку канонічної системи координат, сторони якого паралельні осям симетрії еліпса та дорівнюють його відповідним осям (рис. 7.4). Цей прямокутник перетинається з
осями еліпса у його вершинах A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), причому сам еліпс вписаний у нього. На рис. 7.4 вказані також фокуси F 1,2 (±4; 0) еліпса.
Геометричні властивості еліпса.Перепишемо перше рівняння (7.6) у вигляді |F 1 M| = (а/ε - x)ε. Зазначимо, що величина а/ε - x при а > з позитивна, оскільки фокус F 1 не належить еліпсу. Ця величина є відстанню до вертикальної прямої d: x = а/ε від точки M(x; у), що лежить ліворуч від цієї прямої. Рівняння еліпса можна записати у вигляді
|F 1 M|/(а/ε - x) = ε
Воно означає, що цей еліпс складається з тих точок M(x; у) площини, для яких відношення довжини фокального радіусу F 1 M до відстані до прямої d є постійна величина, рівна ε (рис. 7.5).
У прямий d є "двійник" - вертикальна пряма d", симетрична d щодо центру еліпса, яка задається рівнянням x = -а/ε. Щодо d" еліпс описується так само, як і відносно d. Обидві прямі d і d називають директрисами еліпса. Директриси еліпса перпендикулярні до тієї осі симетрії еліпса, на якій розташовані його фокуси, і відстоять від центру еліпса на відстань а/ε = а 2 /с (див. рис. 7.5).
Відстань p від директриси до найближчого до неї фокусу називають фокальним параметром еліпса. Цей параметр дорівнює
p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c
Еліпс має ще одну важливу геометричну властивість: фокальні радіуси F 1 M і F 2 M складають з дотичної до еліпса в точці M рівні кути(Рис. 7.6).
Ця властивість має наочний фізичний зміст. Якщо у фокусі F 1 розташувати джерело світла, то промінь, що виходить з цього фокусу, після відбиття від еліпса піде по другому фокальному радіусу, так як після відбиття він перебуватиме під тим самим кутом до кривої, що й до відбиття. Таким чином, всі промені, що виходять з фокусу F 1 сконцентруються в другому фокусі F 2 і навпаки. З даної інтерпретації зазначену властивість називають оптичною властивістю еліпса.
Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох заданих точок F_1 і F_2 є величина постійна (2a) , більша відстані (2c) між цими заданими точками(Рис.3.36, а). Це геометричне визначення висловлює фокальна властивість еліпса.
Фокальна властивість еліпса
Точки F_1 і F_2 називаються фокусами еліпса, відстань між ними 2c=F_1F_2 - фокусною відстанню, середина O відрізка F_1F_2 – центром еліпса, число 2a – довжиною великої осі еліпса (відповідно, число a – великою піввіссю еліпса). Відрізки F_1M і F_2M , що з'єднують довільну точку M еліпса з його фокусами, називаються радіальними фокальними точки M . Відрізок, що з'єднує дві точки еліпса, називається хордою еліпса.
Відношення e = frac (c) (a) називається ексцентриситетом еліпса. З визначення (2a>2c) випливає, що 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Геометричне визначення еліпса, що виражає його фокальну властивість, еквівалентно його аналітичному визначенню - лінії, що задається канонічним рівнянням еліпса:
Справді, введемо прямокутну систему координат (рис.3.36, в). Центр O еліпса приймемо початок системи координат; пряму, що проходить через фокуси (фокальну вісь або першу вісь еліпса), приймемо за вісь абсцис (позитивний напрямок на ній від точки F_1 до точки F_2); пряму, перпендикулярну фокальної осі і проходить через центр еліпса (другу вісь еліпса), приймемо за вісь ординат (напрямок на осі ординат вибирається так, щоб прямокутна системакоординат Oxy виявилася правою).
Складемо рівняння еліпса, користуючись його геометричним визначенням, що виражає фокальну властивість. У вибраній системі координат визначаємо координати фокусів F_1(-c,0),~F_2(c,0). Для довільної точки M(x,y) , що належить еліпсу, маємо:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Записуючи цю рівність у координатній формі, отримуємо:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Переносимо другий радикал у праву частину, зводимо обидві частини рівняння квадрат і наводимо подібні члени:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Розділивши на 4, зводимо обидві частини рівняння квадрат:
A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Позначивши b=\sqrt(a^2-c^2)>0, отримуємо b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Розділивши обидві частини на a^2b^2\ne0, приходимо до канонічного рівняння еліпса:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Отже, обрана система координат є канонічною.
Якщо фокуси еліпса збігаються, то еліпс є коло (рис.3.36,6), оскільки a=b . У цьому випадку канонічною буде будь-яка прямокутна система координат з початком у точці O\equiv F_1\equiv F_2, a рівняння x^2+y^2=a^2 є рівнянням кола з центром у точці O та радіусом, рівним a .
Проводячи міркування у зворотному порядку, можна показати, що всі точки, координати яких задовольняють рівнянню (3.49), і тільки вони належать геометричному місцю точок, званому еліпсом. Іншими словами, аналітичне визначення еліпса еквівалентне його геометричному визначенню, що виражає фокальну властивість еліпса.
Директоріальна властивість еліпса
Директрисами еліпса називаються дві прямі, що проходять паралельно осі ординат канонічної системи координат на однаковій відстані \frac(a^2)(c) від неї. При c=0 , коли еліпс є коло, директрис немає (можна вважати, що директриси нескінченно видалені).
Еліпс з ексцентриситетом 0
Справді, наприклад, для фокусу F_2 та директриси d_2 (рис.3.37,6) умова \frac(r_2)(\rho_2)=eможна записати в координатній формі:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
Позбавляючись ірраціональності та замінюючи e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, Приходимо до канонічного рівняння еліпса (3.49). Аналогічні міркування можна провести для фокусу F_1 та директриси d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Рівняння еліпса у полярній системі координат
Рівняння еліпса в полярній системі координат F_1r\varphi (рис.3.37,в і 3.37(2)) має вигляд
R = frac (p) (1-e \ cdot \ cos \ varphi)
де p=\frac(b^2)(a) фокальний параметр еліпса.
Справді, виберемо як полюс полярної системи координат лівий фокус F_1 еліпса, а як полярну осю - промінь F_1F_2 (рис.3.37,в). Тоді для довільної точки M(r,\varphi) , згідно з геометричним визначенням (фокальною властивістю) еліпса, маємо r+MF_2=2a . Виражаємо відстань між точками M(r,\varphi) та F_2(2c,0) (див. пункт 2 зауважень 2.8):
\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(aligned)
Отже, у координатній формі рівняння еліпса F_1M+F_2M=2a має вигляд
R + sqrt (r 2-4 cdot c cdot r cdot cos varphi +4 cdot c 2) = 2 cdot a.
Усамітнюємо радикал, зводимо обидві частини рівняння квадрат, ділимо на 4 і наводимо подібні члени:
R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Виражаємо полярний радіус r та робимо заміну e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
що й потрібно було довести.
Геометричний сенс коефіцієнтів у рівнянні еліпса
Знайдемо точки перетину еліпса (рис.3.37,а) з координатними осями (вершини злліпса). Підставляючи рівняння y=0 , знаходимо точки перетину еліпса з віссю абсцис (з фокальною віссю): x=\pm a . Отже, довжина відрізка фокальної осі, укладеного всередині еліпса, дорівнює 2a. Цей відрізок, як зазначено вище, називається великою віссю еліпса, а число a – великою піввіссю еліпса. Підставляючи x = 0, отримуємо y = b b . Отже, довжина відрізка другої осі еліпса, укладеного всередині еліпса, дорівнює 2b. Цей відрізок називається малою віссю еліпса, а число b - малою віссю еліпса.
Справді, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, причому рівність b = a виходить тільки у разі c = 0 коли еліпс є колом. Ставлення k=\frac(b)(a)\leqslant1називається коефіцієнтом стискування еліпса.
Зауваження 3.9
1. Прямі x = a, ~ y = b обмежують на координатній площині основний прямокутник, усередині якого знаходиться еліпс (див. рис.3.37, а).
2. Еліпс можна визначити, як геометричне місце точок, що отримується в результаті стиснення кола до її діаметру.
Дійсно, нехай у прямокутній системі координат Oxy рівняння кола має вигляд x^2+y^2=a^2. При стиску до осі абсцис з коефіцієнтом 0 \begin(cases)x"=x,\y"=k\cdot y.\end(cases) Підставляючи в рівняння кола x=x" і y=\frac(1)(k)y" отримуємо рівняння для координат образу M"(x",y") точки M(x,y) : (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} оскільки b = k \ cdot a . Це канонічне рівняння еліпса. 3. Координатні осі (канонічної системи координат) є осями симетрії еліпса (називаються головними осями еліпса), яке центр - центром симетрії. Дійсно, якщо точка M(x,y) належить еліпсу. то й точки M"(x,-y) і M""-x,y) , симетричні точці M щодо координатних осей, також належать тому ж еліпсу. 4. З рівняння еліпса у полярній системі координат r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(див. рис.3.37,в), з'ясовується геометричний зміст фокального параметра - це половина довжини хорди еліпса, що проходить через його фокус перпендикулярно до фокальної осі (r = p при \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Ексцентриситет e характеризує форму еліпса, а саме відмінність еліпса від кола. Чим більше e, тим еліпс більш витягнутий, а чим ближче e до нуля, тим ближчий еліпс до кола (рис.3.38, а). Дійсно, враховуючи, що e=\frac(c)(a) і c^2=a^2-b^2 отримуємо E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2,
!} де k - коефіцієнт стиснення еліпса, 0 6. Рівняння \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1при a
7. Рівняння \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bвизначає еліпс з центром у точці O"(x_0,y_0), осі якого паралельні координатним осям (рис.3.38,в). Це рівняння зводиться до канонічного за допомогою паралельного перенесення (3.36). При a=b=R рівняння (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2описує коло радіуса R з центром у точці O"(x_0, y_0). Параметричне рівняння еліпсау канонічній системі координат має вигляд \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
Справді, підставляючи ці вирази рівняння (3.49), приходимо до основної тригонометричної тотожності \cos^2t+\sin^2t=1 . Приклад 3.20.Зобразити еліпс \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1в канонічній системі координат Oxy. Знайти півосі, фокусну відстань, ексцентриситет, коефіцієнт стиснення, фокальний параметр, рівняння директрис. Рішення.Порівнюючи задане рівняння з канонічним, визначаємо півосі: a = 2 - велика піввісь, b = 1 - мала піввісь еліпса. Будуємо основний прямокутник із сторонами 2a=4,~2b=2 із центром на початку координат (рис.3.39). З огляду на симетричність еліпса вписуємо його в основний прямокутник. За потреби визначаємо координати деяких точок еліпса. Наприклад, підставляючи x=1 рівняння еліпса, отримуємо \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y = pm frac (sqrt (3)) (2). Отже, точки з координатами \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- Належать еліпсу. Обчислюємо коефіцієнт стиснення k = frac (b) (a) = frac (1) (2); фокусна відстань 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ексцентриситет e=frac(c)(a)=frac(sqrt(3))(2); фокальний параметр p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Складаємо рівняння директрис: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). Канонічне рівняння еліпса має вигляд де a – велика піввісь; b – мала піввісь. Точки F1(c,0) та F2(-c,0) − c називаються a, b – півосі еліпса. Знаходження фокусів, ексцентриситету, директриса еліпса, якщо відомо його канонічне рівняння. Визначення гіперболи. Фокус гіперболи. Визначення. Гіперболою називається безліч точок площини, для яких модуль різниці відстаней від двох даних точок, званих фокусами, є величина постійна, менша відстані між фокусами. За визначенням | r1 - r2 | = 2a. F1, F2 – фокуси гіперболи. F1F2 = 2c. Канонічне рівняння гіперболи. Напівосі гіперболи. Побудова гіперболи, якщо відома її канонічна рівняння. Канонічне рівняння: Велика піввісь гіперболи становить половину мінімальної відстані між двома гілками гіперболи, на позитивній та негативній сторонах осі (ліворуч і праворуч щодо початку координат). Для гілки розташованої на позитивній стороні, піввісь дорівнюватиме: Якщо виразити її через конічний перетин та ексцентриситет, тоді вираз набуде вигляду: Знаходження фокусів, ексцентриситету, дирекрису гіперболи, якщо відомо її канонічне рівняння. Ексцентриситет гіперболи Визначення. Відношення називається ексцентриситетом гіперболи, де половина відстані між фокусами, а – дійсна піввісь. З огляду на те, що с2 – а2 = b2: Якщо а = b, e = то гіпербола називається рівнобічної (рівносторонньої). Директриси гіперболи Визначення. Дві прямі, перпендикулярні до дійсної осі гіперболи і розташовані симетрично щодо центру на відстані a/e від нього, називаються директрисами гіперболи. Їх рівняння: . Теорема. Якщо r – відстань від довільної точки М гіперболи до будь-якого фокусу, d – відстань від тієї ж точки до відповідної цьому фокусу директриси, то відношення r/d – величина стала, рівна ексцентриситету. Визначення параболи. Фокус і параболи директриса. Парабола. Параболою називається геометричне місце точок, кожна з яких однаково віддалена від заданої фіксованої точки та від заданої фіксованої прямої. Крапка, про яку йдеться у визначенні, називається фокусом параболи, а пряма – її директрисою. Канонічне рівняння параболи. Параметр параболи. Побудова параболи. Канонічне рівняння параболи в прямокутній системі координат: (або якщо поміняти місцями осі). Побудова параболи за заданої величини параметра p виконується в наступній послідовності: Проводять вісь симетрії параболи і відкладають у ньому відрізок KF=p; Через точку K перпендикулярно осі симетрії проводять директрису DD1; Відрізок KF ділять навпіл отримують вершину параболи 0; Від вершини відміряють ряд довільних точок 1, 2, 3, 5, 6 з відстанню між ними, що поступово збільшується; Через ці точки проводять допоміжні прямі перпендикулярні до осі параболи; На допоміжних прямих роблять засічки радіусом рівним відстані від прямої до директриси; Отримані точки з'єднують плавною кривою. Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох заданих точок F_1 і F_2 є величина постійна (2a) , більша відстані (2c) між цими заданими точками (рис.3.36,а). Це геометричне визначення висловлює фокальна властивість еліпса. Точки F_1 і F_2 називаються фокусами еліпса, відстань між ними 2c=F_1F_2 - фокусною відстанню, середина O відрізка F_1F_2 - центром еліпса, число 2a - довжиною великої осі еліпса (відповідно, число a - великою піввіссю ел. Відрізки F_1M і F_2M , що з'єднують довільну точку M еліпса з його фокусами, називаються радіальними фокальними точки M . Відрізок, що з'єднує дві точки еліпса, називається хордою еліпса. Відношення e = frac (c) (a) називається ексцентриситетом еліпса. З визначення (2a>2c) випливає, що 0\leqslant e<1
. При e=0
, т.е. при c=0
, фокусы F_1
и F_2
, а также центр O
совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a
(рис.3.36,6). Геометричне визначення еліпса, що виражає його фокальну властивість, еквівалентно його аналітичному визначенню - лінії, що задається канонічним рівнянням еліпса: Справді, введемо прямокутну систему координат (рис.3.36, в). Центр O еліпса приймемо початок системи координат; пряму, що проходить через фокуси (фокальну вісь або першу вісь еліпса), приймемо за вісь абсцис (позитивний напрямок на ній від точки F_1 до точки F_2); пряму, перпендикулярну фокальної осі і проходить через центр еліпса (другу вісь еліпса), приймемо за вісь ординат (напрямок на осі ординат вибирається так, щоб прямокутна система координат Oxy виявилася правою). Складемо рівняння еліпса, користуючись його геометричним визначенням, що виражає фокальну властивість. У вибраній системі координат визначаємо координати фокусів F_1(-c,0),~F_2(c,0). Для довільної точки M(x,y) , що належить еліпсу, маємо: \vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a. Записуючи цю рівність у координатній формі, отримуємо: \sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a. Переносимо другий радикал у праву частину, зводимо обидві частини рівняння квадрат і наводимо подібні члени: (x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx. Розділивши на 4, зводимо обидві частини рівняння квадрат: a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2). Позначивши b=\sqrt(a^2-c^2)>0, отримуємо b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Розділивши обидві частини на a^2b^2\ne0, приходимо до канонічного рівняння еліпса: \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1. Отже, обрана система координат є канонічною. Якщо фокуси еліпса збігаються, то еліпс є коло (рис.3.36,6), оскільки a=b . У цьому випадку канонічною буде будь-яка прямокутна система координат з початком у точці O\equiv F_1\equiv F_2, a рівняння x^2+y^2=a^2 є рівнянням кола з центром у точці O та радіусом, рівним a . Проводячи міркування у зворотному порядку, можна показати, що всі точки, координати яких задовольняють рівнянню (3.49), і тільки вони належать геометричному місцю точок, званому еліпсом. Іншими словами, аналітичне визначення еліпса еквівалентне його геометричному визначенню, що виражає фокальну властивість еліпса. Директрисами еліпса називаються дві прямі, що проходять паралельно осі ординат канонічної системи координат на однаковій відстані \frac(a^2)(c) від неї. При c=0 , коли еліпс є коло, директрис немає (можна вважати, що директриси нескінченно видалені). Еліпс з ексцентриситетом 0 Справді, наприклад, для фокусу F_2 та директриси d_2 (рис.3.37,6) умова \frac(r_2)(\rho_2)=eможна записати в координатній формі: \sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right) Позбавляючись ірраціональності та замінюючи e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, Приходимо до канонічного рівняння еліпса (3.49). Аналогічні міркування можна провести для фокусу F_1 та директриси d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e. Рівняння еліпса в полярній системі координат F_1r\varphi (рис.3.37,в і 3.37(2)) має вигляд r = frac (p) (1-e \ cdot \ cos \ varphi) де p=\frac(b^2)(a) фокальний параметр еліпса. Справді, виберемо як полюс полярної системи координат лівий фокус F_1 еліпса, а як полярну осю - промінь F_1F_2 (рис.3.37,в). Тоді для довільної точки M(r,\varphi) , згідно з геометричним визначенням (фокальною властивістю) еліпса, маємо r+MF_2=2a . Виражаємо відстань між точками M(r,\varphi) та F_2(2c,0) (див. ): \begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(aligned) Отже, у координатній формі рівняння еліпса F_1M+F_2M=2a має вигляд r+sqrt(r^2-4cdot cdot rcdotcosvarphi+4cdot c^2)=2cdot a. Усамітнюємо радикал, зводимо обидві частини рівняння квадрат, ділимо на 4 і наводимо подібні члени: r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2. Виражаємо полярний радіус r та робимо заміну e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a): r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), що й потрібно було довести. Знайдемо точки перетину еліпса (рис.3.37,а) з координатними осями (вершини злліпса). Підставляючи рівняння y=0 , знаходимо точки перетину еліпса з віссю абсцис (з фокальною віссю): x=\pm a . Отже, довжина відрізка фокальної осі, укладеного всередині еліпса, дорівнює 2a. Цей відрізок, як зазначено вище, називається великою віссю еліпса, а число a – великою піввіссю еліпса. Підставляючи x = 0, отримуємо y = b b . Отже, довжина відрізка другої осі еліпса, укладеного всередині еліпса, дорівнює 2b. Цей відрізок називається малою віссю еліпса, а число b - малою віссю еліпса. Справді, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, причому рівність b = a виходить тільки у разі c = 0 коли еліпс є колом. Ставлення k=\frac(b)(a)\leqslant1називається коефіцієнтом стискування еліпса. Зауваження 3.9 1. Прямі x = a, ~ y = b обмежують на координатній площині основний прямокутник, усередині якого знаходиться еліпс (див. рис.3.37, а). 2. Еліпс можна визначити, як геометричне місце точок, що отримується в результаті стиснення кола до її діаметру. Дійсно, нехай у прямокутній системі координат Oxy рівняння кола має вигляд x^2+y^2=a^2. При стиску до осі абсцис з коефіцієнтом 0 \begin(cases)x"=x,\y"=k\cdot y.\end(cases) Підставляючи в рівняння кола x=x" і y=\frac(1)(k)y" отримуємо рівняння для координат образу M"(x",y") точки M(x,y) : (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} оскільки b = k \ cdot a . Це канонічне рівняння еліпса. 3. Координатні осі (канонічної системи координат) є осями симетрії еліпса (називаються головними осями еліпса), яке центр - центром симетрії. Дійсно, якщо точка M(x,y) належить еліпсу. то й точки M"(x,-y) і M""-x,y) , симетричні точці M щодо координатних осей, також належать тому ж еліпсу. 4. З рівняння еліпса у полярній системі координат r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(див. рис.3.37,в), з'ясовується геометричний зміст фокального параметра - це половина довжини хорди еліпса, що проходить через його фокус перпендикулярно до фокальної осі (r=p при \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Ексцентриситет e характеризує форму еліпса, а саме відмінність еліпса від кола. Чим більше e, тим еліпс більш витягнутий, а чим ближче e до нуля, тим ближчий еліпс до кола (рис.3.38, а). Дійсно, враховуючи, що e=\frac(c)(a) і c^2=a^2-b^2 отримуємо e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2,
!} де k - коефіцієнт стиснення еліпса, 0 6. Рівняння \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1при a 7. Рівняння \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bвизначає еліпс з центром у точці O"(x_0,y_0), осі якого паралельні координатним осям (рис.3.38,в). Це рівняння зводиться до канонічного за допомогою паралельного перенесення (3.36). При a=b=R рівняння (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2описує коло радіуса R з центром у точці O"(x_0, y_0). Параметричне рівняння еліпсау канонічній системі координат має вигляд \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
Справді, підставляючи ці вирази в рівняння (3.49), приходимо до основної тригонометричної тотожності \cos^2t+\sin^2t=1. Приклад 3.20.Зобразити еліпс \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1в канонічній системі координат Oxy. Знайти півосі, фокусну відстань, ексцентриситет, коефіцієнт стиснення, фокальний параметр, рівняння директрис. Рішення.Порівнюючи задане рівняння з канонічним, визначаємо півосі: a = 2 - велика піввісь, b = 1 - мала піввісь еліпса. Будуємо основний прямокутник із сторонами 2a=4,~2b=2 із центром на початку координат (рис.3.39). З огляду на симетричність еліпса вписуємо його в основний прямокутник. За потреби визначаємо координати деяких точок еліпса. Наприклад, підставляючи x=1 рівняння еліпса, отримуємо \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y = pm frac (sqrt (3)) (2). Отже, точки з координатами \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- Належать еліпсу. Обчислюємо коефіцієнт стиснення k = frac (b) (a) = frac (1) (2); фокусна відстань 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ексцентриситет e=frac(c)(a)=frac(sqrt(3))(2); фокальний параметр p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Складаємо рівняння директрис: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).Параметричне рівняння еліпса
Щоб розрахувати, необхідно дозволити елементи ActiveX!
Фокальна властивість еліпса
Директоріальна властивість еліпса
Рівняння еліпса у полярній системі координат
Геометричний сенс коефіцієнтів у рівнянні еліпса
Параметричне рівняння еліпса
