Пара прямих перетинаються як побудувати. Взаємне розташування уявних точок та прямих. Еліпс та його канонічне рівняння

Це загальноприйнятий стандартний вид рівняння, коли за лічені секунди стає ясно, який геометричний об'єкт воно визначає. Крім того, канонічний вигляд дуже зручний для вирішення багатьох практичних завдань. Так, наприклад, за канонічним рівнянням «плоский» прямий, по-перше, відразу зрозуміло, що це пряма, а по-друге – елементарно проглядається точка, що належить їй, і напрямний вектор .

Очевидно, що будь-яка лінія 1-го порядкує прямою. На другому поверсі нас чекає вже не вахтер, а набагато різноманітніша компанія з дев'яти статуй:

Класифікація ліній другого порядку

За допомогою спеціального комплексу дій будь-яке рівняння лінії другого порядку наводиться до одного з таких видів:

(і – позитивні дійсні числа)

1) - канонічне рівняння еліпса;

2) - канонічне рівняння гіперболи;

3) - канонічне рівняння параболи;

4) – уявнийеліпс;

5) - пара прямих, що перетинаються;

6) – пара уявнихпрямих, що перетинаються (з єдиною дійсною точкою перетину на початку координат);

7) – пара паралельних прямих;

8) – пара уявнихпаралельних прямих;

9) - пара прямих, що збіглися.

У ряду читачів може скластися враження неповноти списку. Наприклад, у пункті №7 рівняння задає пару прямих, паралельних осі , і виникає питання: а де ж рівняння , що визначає прямі , паралельні осі ординат? Відповідь: воно не вважається канонічним. Прямі являють собою той самий стандартний випадок, повернутий на 90 градусів, і додатковий запис у класифікації надмірна, оскільки не несе нічого принципово нового.

Таким чином, існує дев'ять і лише дев'ять різних видів ліній 2-го порядку, але на практиці найчастіше зустрічаються еліпс, гіпербола та парабола.

Спочатку розглянемо еліпс. Як завжди, я акцентую увагу на тих моментах, які мають велике значення для вирішення завдань, і якщо вам необхідний докладний висновок формул, докази теорем, будь ласка, зверніться, наприклад, до підручника Базильова/Атанасяна або Александрова.

Еліпс та його канонічне рівняння

Правопис… будь ласка, не повторюйте помилок деяких користувачів Яндекса, яких цікавить «як побудувати елібз», «відмінність еліпса від овалу» та «ексцентриситет елебсу».

Канонічне рівняння еліпса має вигляд , де - Позитивні дійсні числа, причому . Саме визначення еліпса я сформулюю пізніше, а поки саме час відпочити від говорілки і вирішити поширене завдання:

Як побудувати еліпс?

Так, ось взяти його і просто накреслити. Завдання зустрічається часто, і значна частина студентів не зовсім добре справляються з кресленням:

Приклад 1

Побудувати еліпс, заданий рівнянням

Рішення: спочатку наведемо рівняння до канонічного вигляду:

Навіщо наводити? Одна з переваг канонічного рівняння полягає в тому, що воно дозволяє миттєво визначити вершини еліпса, що у точках . Легко помітити, що координати кожної з цих точок задовольняють рівняння .

В даному випадку :


Відрізокназивають великою віссюеліпса;
відрізок – малою віссю;
число називають великою піввіссюеліпса;
число – малою піввіссю.
у прикладі: .

Щоб швидко уявити, як виглядає той чи інший еліпс, достатньо подивитися на значення «а» і «бе» його канонічного рівняння.

Все добре, складно та красиво, але є один нюанс: я виконав креслення за допомогою програми. І ви можете виконати креслення за допомогою будь-якої програми. Однак у суворій дійсності на столі лежить картатий аркуш паперу, і на наших руках водять хороводи миші. Люди з художнім талантом, звичайно, можуть посперечатися, але миші є і у вас теж (щоправда, менше). Такі недаремно людство винайшло лінійку, циркуль, транспортир та інші нехитрі пристрої для креслення.

Тому нам навряд чи вдасться акуратно накреслити еліпс, знаючи одні вершини. Ще куди не йшло, якщо еліпс невеликий, наприклад, з півосями. Як варіант, можна зменшити масштаб і, відповідно, розміри креслення. Але загалом вкрай бажано знайти додаткові точки.

Існує два підходи до побудови еліпса – геометричний та алгебраїчний. Побудова за допомогою циркуля і лінійки мені не подобається через не короткий алгоритм і суттєву захаращеність креслення. У разі крайньої необхідності, будь ласка, зверніться до підручника, а насправді ж набагато раціональніше скористатися засобами алгебри. З рівняння еліпса на чернетці швиденько висловлюємо:

Далі рівняння розпадається на дві функції:
- Визначає верхню дугу еліпса;
- Визначає нижню дугу еліпса.

Будь-який еліпс симетричний щодо координатних осей, а також щодо початку координат. І це добре - симетрія в більшості випадків провісник халяви. Очевидно, що достатньо розібратися з 1-ою координатною чвертю, тому нам потрібна функція . Напрошується знаходження додаткових крапок з абсцисами . Настукаємо три смс-ки на калькуляторі:

Безумовно, приємно й те, що якщо допущено серйозну помилку в обчисленнях, то це відразу з'ясується в ході побудови.

Зазначимо на кресленні точки (червоний колір), симетричні точки на решті дуг (синій колір) і акуратно з'єднаємо лінією всю компанію:


Початковий малюнок краще прокреслити тонко-тонко, і лише потім надати натиск олівця. В результаті має вийти цілком гідний еліпс. До речі, чи не хочете дізнатися, що це за крива?

Лінії другого порядку

плоскі лінії, декартові прямокутні координати яких задовольняють рівняння алгебри 2-го ступеня

a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 11 = 0. (*)

Рівняння (*) може і не визначати дійсного геометричного образу, але для збереження спільності в таких випадках говорять, що воно визначає уявну Л. в. п. Залежно від значень коефіцієнтів загального рівняння (*) воно може бути перетворене за допомогою паралельного перенесення початку та повороту системи координат на деякий кут до одного з 9 наведених нижче канонічних видів, кожному з яких відповідає певний клас ліній. Саме,

нерозпадні лінії:

y 2 = 2px - параболи,

лінії, що розпадаються:

x 2 - а 2 = 0 - пари паралельних прямих,

x 2 + а 2 = 0 - пари уявних паралельних прямих,

x 2 = 0 - пари збігаються паралельних прямих.

Дослідження виду Л. в. п. може бути проведено без приведення загального рівняння канонічного виду. Це досягається спільним розглядом значень т.зв. основних інваріантів Л. в. п. - виразів, складених з коефіцієнтів рівняння (*), значення яких не змінюються при паралельному перенесенні та повороті системи координат:

S = a 11 + a 22(a ij = a ji).

Так, наприклад, еліпси, як лінії, що не розпадаються, характеризуються тим, що для них Δ ≠ 0; позитивне значення інваріанту δ виділяє еліпси серед інших типів ліній, що не розпадаються (для гіпербол δ

Три основні інваріанти Δ, δ і S визначають Л. в. п. (крім випадку паралельних прямих) з точністю до руху евклідової площини (див. Рух): якщо відповідні інваріанти Δ, δ і S двох ліній рівні, то такі лінії можуть бути поєднані рухом. Іншими словами, ці лінії еквівалентні по відношенню до групи рухів площини (метрично еквівалентні).

Існують класифікації Л. в. п. з погляду ін. груп перетворень. Так, щодо більш загальної, ніж група рухів, - групи афінних перетворень - еквівалентними є будь-які дві лінії, що визначаються рівняннями одного канонічного виду. Наприклад, дві подібні Л. в. п. (див. Подібність) вважаються еквівалентними. Зв'язки між різними афінними класами Л. в. п. дозволяє встановити класифікація з погляду проективної геометрії (Див. Проективна геометрія), в якій нескінченно віддалені елементи не відіграють особливої ​​ролі. Дійсні нерозпадні Л. в. п.: еліпси, гіперболи та параболи утворюють один проективний клас – клас дійсних овальних ліній (овалів). Дійсна овальна лінія є еліпсом, гіперболою або параболою залежно від того, як вона розташована щодо нескінченно віддаленої прямої: еліпс перетинає невласну пряму у двох уявних точках, гіпербола - у двох різних дійсних точках, парабола стосується невласної прямої; існують проективні перетворення, що переводять ці лінії одна в одну. Є лише 5 проективних класів еквівалентності Л. в. п. Саме,

лінії, що не вироджуються

(x 1 , x 2 , x 3- однорідні координати):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - дійсний овал

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - уявний овал,

лінії, що вироджуються:

x 1 2 - x 2 2= 0 - пара дійсних прямих,

x 1 2 + x 2 2= 0 - пара уявних прямих,

x 1 2= 0 - пара збігаються дійсних прямих.

А. Б. Іванов.

Велика Радянська Енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .

Дивитись що таке "Лінії другого порядку" в інших словниках:

Плоскі лінії, прямокутні координати точок яких задовольняють рівняння алгебри 2 й ступеня. Серед ліній другого порядку еліпси (зокрема, кола), гіперболи, параболи… Великий Енциклопедичний словник

Плоскі лінії, прямокутні координати точок яких задовольняють рівняння алгебри 2 й ступеня. Серед ліній другого порядку еліпси (зокрема, кола), гіперболи, параболи. * * * ЛІНІЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ ЛІНІЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ,… … Енциклопедичний словник

Плоскі лінії, прямокутні. координати точок до рих задовольняють алгебр. ур нію 2-го ступеня. Серед Л. ст. п. еліпси (зокрема, кола), гіперболи, параболи... Природознавство. Енциклопедичний словник

Плоска лінія, декартові прямокутні координати до рій задовольняють алгебраїч. рівняння 2-го ступеня Рівняння (*) може і не визначати дійсного геометрич. образу, але для збереження спільності у таких випадках кажуть, що воно визначає… Математична енциклопедія

Безліч точок 3 мірного дійсного (або комплексноро) простору, координати яких у декартовій системі задовольняють алгебраїч. рівняння 2-го ступеня (*) Рівняння (*) може і не визначати дійсного геометрич. образу, у таких… … Математична енциклопедія

Слово це, часто вживане в геометрії кривих ліній, має не зовсім певне значення. Коли це слово застосовується до незамкнених кривих ліній, що не розгалужуються, то під гілкою кривої мається на увазі кожна безперервна окрема ... ... Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

Лінії другого порядку, два діаметри, кожен із яких ділить навпіл хорди цієї кривої, паралельні іншому. С. д. відіграють важливу роль у загальній теорії ліній другого порядку. При паралельному проектуванні еліпса в коло його С. д.

Лінії, що виходять перетином прямого кругового Конуса площинами, що не проходять через його вершину. с. можуть бути трьох типів: 1) січна площина перетинає всі утворюючі конуси в точках однієї порожнини; лінія… … Велика Радянська Енциклопедія

Лінії, які виходять перетином прямого кругового конуса площинами, що не проходять через його вершину. с. можуть бути трьох типів: 1) січна площина перетинає всі утворюючі конуси в точках однієї його порожнини (рис., а): лінія перетину ... Математична енциклопедія

Розділ геометрії. Основними поняттями А. р. є найпростіші геометричні образи (крапки, прямі, площини, криві та поверхні другого порядку). Основними засобами дослідження в А. р. служать метод координат (див. нижче) та методи. Велика Радянська Енциклопедія

Книги

• Короткий курс аналітичної геометрії, Єфімов Микола Володимирович. Предметом вивчення аналітичної геометрії є фігури, які в декартових координатах задаються рівняннями першого або другого ступеня. На площині - це прямі лінії другого порядку.

Щоб пояснити це на конкретному прикладі, покажу вам, що відповідає в цій інтерпретації наступному твердженню: (дійсна чи уявна) точка Р лежить на (дійсній чи уявній) прямій g. При цьому, звичайно, доводиться розрізняти такі випадки:

1) дійсна точка та дійсна пряма,

2) дійсна точка і уявна пряма,

Випадок 1) не вимагає від нас особливих роз'яснень; тут маємо одне з основних співвідношень звичайної геометрії.

У разі 2) через задану дійсну точку обов'язково має проходити поряд із заданою уявною прямою також і комплексно пов'язана з нею пряма; отже, ця точка повинна збігатися з вершиною того пучка променів, яким ми користуємося для зображення уявної прямої.

Подібно до цього у випадку 3) дійсна пряма має бути тотожною з носієм тієї прямолінійної інволюції точок, яка служить представником заданої уявної точки.

Найбільш цікавим є випадок 4) (рис. 96): тут, очевидно, комплексно сполучена точка повинна також лежати на комплексно сполученій прямій, а звідси випливає, що кожна пара точок інволюції точок, що зображує точку Р, повинна перебувати на деякій парі прямих прямих інволюції прямих , що зображує пряму g, тобто обидві ці інволюції повинні бути розташовані перспективно одна щодо іншої; крім того, виявляється, що стрілки обох інволюцій також розташовані перспективно.

Взагалі, в аналітичній геометрії площини, що приділяє увагу також і комплексної області, ми отримаємо повну дійсну картину цієї площини, якщо до сукупності всіх її дійсних точок і прямих приєднаємо як нові елементи сукупність розглянутих вище інволюційних фігур разом зі стрілками їх напрямків. Тут буде достатньо, якщо я намічу в загальних контурах, який вид прийняло б при цьому побудова такої дійсної картини комплексної геометрії. При цьому я наслідуватиму той порядок, в якому тепер зазвичай викладають перші пропозиції елементарної геометрії.

1) Починають з аксіом існування, призначення яких – дати точне формулювання наявності щойно згаданих елементів у розширеній у порівнянні зі звичайною геометрією області.

2) Потім аксіоми сполуки, які стверджують, що також і у визначеній у п. 1) розширеній області! через (кожні) дві точки проходить одна і тільки одна пряма і що (будь-які) дві прямі мають одну і тільки одну загальну точку.

При цьому подібно до того, що ми мали вище, доводиться щоразу розрізняти чотири випадки в залежності від того, чи є дійсними задані елементи, і видається дуже цікавим точно продумати, які саме дійсні побудови з інволюціями точок і прямих служать зображенням цих комплексних співвідношень.

3) Що ж до аксіом розташування (порядку), то тут у порівнянні з дійсними співвідношеннями виступають на сцену абсолютно нові обставини; зокрема, всі дійсні та комплексні точки, що лежать на одній фіксованій прямій, а також усі промені, що проходять через одну фіксовану точку, утворюють двовимірний континуум. Адже кожен із нас виніс із вивчення теорії функцій звичку зображати сукупність значень комплексної змінної всіма точками площини.

4) Нарешті, що стосується аксіом безперервності, то я вкажу тут тільки, як зображуються комплексні точки, що лежать як завгодно близько до якоїсь дійсної точки. Для цього через взяту дійсну точку Р (або через якусь іншу близьку до неї дійсну точку) потрібно провести якусь пряму і розглянути на ній такі дві пари точок, що розділяють одна одну (тобто лежать «схрещеним чином»). 97), щоб дві точки взяті з різних пар, лежали близько одна до іншої і до точки Р; якщо тепер необмежено зближувати точки, то інволюція, яка визначається названими парами точок, вироджується, тобто обидві її досі комплексні подвійні точки збігаються з точкою. отже, безперервно в деяку точку, близьку до точки Р, або навіть безпосередньо в точку Р. Звичайно, для того, щоб бути в змозі з користю застосовувати ці уявлення про безперервність, необхідно детально з ними попрацювати.

Хоча вся ця побудова і є порівняно із звичайною дійсною геометрією досить громіздкою і стомлюючою, зате вона може дати незрівнянно більше. Зокрема, воно здатне підняти на рівень повної геометричної наочності алгебраїчні образи, які розуміються як сукупність їх дійсних і комплексних елементів, і за його допомогою можна наочно усвідомити собі на самих фігурах такі теореми, як основна теорема алгебри або теорема Безу про те, що дві криві порядків мають, власне кажучи, рівно загальних точок. Для цієї мети слід було б, звичайно, осмислити основні положення в значно точнішій і наочній формі, ніж це було зроблено досі; втім, у літературі є весь істотно необхідний таких досліджень матеріал.

Але в більшості випадків застосування цього геометричного тлумачення привело б все ж таки при всіх його теоретичних перевагах до таких ускладнень, що доводиться задовольнятися його принциповою можливістю і повертатися фактично до більш наївної точки зору, що полягає в наступному: комплексна точка є сукупність трьох комплексних координат, і з нею можна оперувати так само, як і з дійсними точками. Справді, таке введення уявних елементів, що утримується від будь-яких принципових міркувань, завжди виявлялося плідним у тих випадках, коли нам доводилося мати справу з уявними циклічними точками або з коло сфер. Як було зазначено, вперше став користуватися уявними елементами у сенсі Понселе; його послідовниками у цьому відношенні були інші французькі геометри, головним чином Шаль та Дарбу; у Німеччині ряд геометрів, особливо Лі, також застосовували з великим успіхом таке розуміння уявних елементів.

Цим відступом у область уявного я закінчую весь другий відділ мого курсу і звертаюся до нового розділу,

8.3.15. Точка А лежить на прямій. Відстань від точки А до площини

8.3.16. Складіть рівняння прямої, симетричної прямої

щодо площини .

8.3.17. Складіть рівняння проекцій на площину наступних прямих:

а) ;

б)

в) .

8.3.18. Знайдіть кут між площиною та прямою:

а) ;

б) .

8.3.19. Знайдіть точку, симетричну точку щодо площини, що проходить через прямі:

і

8.3.20. Точка А лежить на прямій

Відстань від точки А до прямої одно. Знайдіть координати точки А.

§ 8.4. КРИВІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

Встановимо на площині прямокутну систему координат та розглянемо загальне рівняння другого ступеня

в якому .

Безліч усіх точок площини, координати яких задовольняють рівняння (8.4.1), називається кривий (лінією) другого порядку.

Для будь-якої кривої другого порядку існує прямокутна система координат, звана канонічної, в якій рівняння цієї кривої має один із таких видів:

1) (Еліпс);

2) (Уявний еліпс);

3) (пара уявних прямих, що перетинаються);

4) (Гіперболу);

5) (пара прямих, що перетинаються);

6) (парабола);

7) (пара паралельних прямих);

8) (пара уявних паралельних прямих);

9) (Пара збігаються прямих).

Рівняння 1) – 9) називаються канонічними рівняннями кривих другого порядку

Розв'язання задачі приведення рівняння кривої другого порядку до канонічного виду включає знаходження канонічного рівняння кривої та канонічної системи координат. Приведення до канонічного вигляду дозволяє обчислити параметри кривої та визначити її розташування щодо вихідної системи координат. Перехід від вихідної прямокутної системи координат до канонічної здійснюється шляхом повороту осей вихідної системи координат навколо точки Про деякий кут j і подальшого паралельного перенесення системи координат.

Інваріантами кривої другого порядку(8.4.1) називаються такі функції від коефіцієнтів її рівняння, значення яких не змінюються під час переходу від однієї прямокутної системи координат до іншої такої самої системи.

Для кривої другого порядку (8.4.1) сума коефіцієнтів за квадратів координат

,

визначник, складений із коефіцієнтів при старших членах

та визначник третього порядку

є інваріантами.

Значення інваріантів s, d, D можна використовувати визначення типу і складання канонічного рівняння кривої другого порядку.

Таблиця 8.1.

Класифікація кривих другого порядку, що ґрунтується на інваріантах

Крива еліптичного типу		sD<0. Эллипс
		sD>0. Уявний еліпс
		Пара уявних прямих, що перетинаються в дійсній точці
Крива гіперболічного типу		Гіперболу
		Пара прямих, що перетинаються
Крива параболічного типу		Парабола
		Пара паралельних прямих (різних, уявних чи збігаються)

Розглянемо докладніше еліпс, гіперболу та параболу.

Еліпсом(рис. 8.1) називається геометричне місце точок площини, для яких сума відстаней до двох фіксованих точок цієї площини, званих фокусами еліпса, є постійна величина (більша, ніж відстань між фокусами). При цьому не виключається збіг фокусів еліпса. Якщо фокуси збігаються, то еліпс є коло.

Напівсуму відстаней від точки еліпса до його фокусів позначають через а, половину відстаней між фокусами - с. Якщо прямокутна система координат на площині обрана так, що фокуси еліпса розташовуються на осі Оx симетрично щодо початку координат, то в цій системі координат еліпс задається рівнянням

, (8.4.2)

званим канонічним рівнянням еліпса, де .

Рис. 8.1

При вказаному виборі прямокутної системи координат еліпс симетричний щодо осей координат та початку координат. Осі симетрії еліпса називають його осями, а центр його симетрії – центром еліпса. Водночас часто осями еліпса називають числа 2a та 2b, а числа a та b – великийі малою піввіссювідповідно.

Крапки перетину еліпса з його осями називаються вершинами еліпса. Вершини еліпса має координати (а,0), (-а,0), (0,b), (0,-b).

Ексцентриситетом еліпсаназивається число

Оскільки 0£c

.

Звідси видно, що ексцентриситет характеризує форму еліпса: що ближче e до нуля, то більше еліпс нагадує окружність; зі збільшенням e еліпс стає витягнутим.

Ми зараз покажемо, що афінна класифікація кривих другого порядку дається самими найменуваннями кривих, тобто афінними класами кривих другого порядку є класи:

дійсних еліпсів;

уявних еліпсів;

гіпербол;

пар дійсних прямих, що перетинаються;

пар уявних (сполучених) перетинаються;

пар паралельних дійсних прямих;

пар паралельних уявних сполучених прямих;

пар збігаються дійсних прямих.

Треба довести два твердження:

А. Всі криві одного найменування (тобто всі еліпси, всі гіперболи і т. д.) афінно еквівалентні між собою.

Б. Дві криві різних найменувань ніколи не є афінно еквівалентними.

Доводимо твердження А. У розділі XV, § 3, вже було доведено, що всі еліпси афінно еквівалентні одному з них, а саме кола а всі гіперболи - гіперболі Значить, всі еліпси, відповідно всі гіперболи, афінно еквівалентні між собою. Всі уявні еліпси, будучи афінно еквівалентні кола - - 1 радіуса також афінно еквівалентні між собою.

Доведемо афінну еквівалентність усіх парабол. Ми доведемо навіть більше, а саме, що всі параболи подібні між собою. Достатньо довести, що парабола, дана в деякій системі координат своїм канонічним рівнянням

подібна до параболі

Для цього піддамо площину перетворенню подібності з коефіцієнтом - :

Тоді так що при нашому перетворенні крива

переходить у криву

тобто в параболу

що і потрібно було довести.

Переходимо до кривих, що розпадаються. У § формули (9) і (11), стор 401 і 402) було доведено, що крива, що розпадається на пару прямих, що перетинаються, в деякій (навіть прямокутній) системі координат має рівняння

Здійснюючи додаткове перетворення координат

бачимо, що всяка крива, що розпадається на пару дійсних, що перетинаються, відповідно уявних сполучених, прямих, має в деякій афінній системі координат рівняння

Що стосується кривих, що розпадаються на пару паралельних прямих, то кожна з них може бути (навіть у деякій прямокутній системі координат) задана рівнянням

для дійсних, відповідно

для уявних, прямих. Перетворення координат дозволяє в цих рівняннях покласти (або для збігаються прямих Звідси випливає афінна еквівалентність всіх кривих другого порядку, що розпадаються, мають одне і те ж найменування.

Переходимо до підтвердження затвердження Б.

Зауважимо насамперед: при афінному перетворенні площини порядок кривої алгебри залишається незмінним. Далі: всяка крива, що розпадається, другого порядку є пара прямих, а при афінному перетворенні пряма переходить у пряму, пара перетинаються прямих переходить в пару перетинаються, а пара паралельних - в пару паралельних; крім того, дійсні прямі переходять у дійсні, а уявні - у уявні. Це випливає з того, що всі коефіцієнти у формулах (3) (гл. XI, § 3), що визначають афінне перетворення, є дійсними числами.

Зі сказаного випливає, що лінія, афінно еквівалентна даної кривої другого порядку, що розпадається, є крива того ж найменування, що розпадається.

Переходимо до кривих, що не розпадаються. Знов-таки при афінному перетворенні справжня крива неспроможна перейти у уявну, і назад. Тому клас уявних еліпсів афінно інваріантний.

Розглянемо класи дійсних кривих, що не розпадаються: еліпсів, гіпербол, парабол.

Серед усіх кривих другого порядку всякий еліпс, і тільки еліпс, лежить у деякому прямокутнику, тоді як параболи і гіперболи (як і всі криві, що розпадаються) простягаються в нескінченність.

При афінному перетворенні прямокутник ABCD, що містить даний еліпс, перейде в паралелограм, що містить перетворену криву, яка, таким чином, не може йти в нескінченність і, отже, є еліпсом.

Отже, крива, афінно еквівалентна еліпсу, є обов'язково еліпс. З доведеного випливає, що крива, афінно еквівалентна гіперболі або параболі, не може бути еліпсом (а також, як ми знаємо, не може бути кривою, що розпадається. Тому залишається лише довести, що при афінному перетворенні площини гіпербола не може перейти в параболу, і навпаки, це, мабуть, найпростіше випливає з того, що парабола не має центру симетрії, а гіпербола є, але оскільки відсутність центру симетрії парабола буде доведена лише в наступному розділі, то ми зараз дамо другий, теж дуже простий доказ. афінної нееквівалентності гіперболи та параболи.

Лемма. Якщо парабола має спільні точки з кожною з двох напівплощин, що визначаються в площині даної прямої d, вона має хоча б одну загальну точку і з прямою .

Насправді ми бачили, що існує така система координат, в якій дана парабола має рівняння

Нехай щодо цієї системи координат пряма d має рівняння

За припущенням на параболі є дві точки з яких одна, покладемо, лежить у позитивній, а інша, - в негативній напівплощині щодо рівняння (1). Тому пам'ятаючи, що можемо написати