Залежність обсягу тиску формула. Зв'язок між тиском, температурою, об'ємом та кількістю молей газу ("масою" газу). Універсальна (молярна) газова стала R. Рівняння Клайперона-Менделєєва = рівняння стану ідеального газу. Перевірка з
Теми кодифікатора ЄДІ: ізопроцеси - ізотермічний, ізохорний, ізобарний процеси.
Протягом цього листка ми дотримуватимемося наступного припущення: маса та хімічний склад газу залишаються незмінними. Іншими словами, ми вважаємо, що:
Тобто немає витоку газу з посудини або, навпаки, припливу газу до посудини;
Тобто частки газу не зазнають будь-яких змін (скажімо, відсутня дисоціація – розпад молекул на атоми).
Ці дві умови виконуються в дуже багатьох фізично цікавих ситуаціях (наприклад, у простих моделях теплових двигунів) і тому цілком заслуговують на окремий розгляд.
Якщо маса газу та його молярна маса фіксовані, то стан газу визначається трьомамакроскопічними параметрами: тиском, об'ємомі температурою. Ці параметри пов'язані один з одним рівнянням стану (рівнянням Менделєєва – Клапейрона).
Термодинамічний процес(або просто процес) - це зміна стану газу з часом. У ході термодинамічного процесу змінюються значення макроскопічних параметрів - тиску, об'єму та температури.
Особливий інтерес представляють ізопроцеси- термодинамічні процеси, у яких значення однієї з макроскопічних параметрів залишається незмінним. По черзі фіксуючи кожен із трьох параметрів, ми отримаємо три види ізопроцесів.
1. Ізотермічний процесйде за постійної температури газу: .
2. Ізобарний процесйде за постійного тиску газу: .
3. Ізохорний процесйде при постійному обсязі газу: .
Ізопроцеси описуються дуже простими законами Бойля – Маріотта, Гей-Люссака та Шарля. Давайте перейдемо до вивчення.
Ізотермічний процес
Нехай ідеальний газ здійснює ізотермічний процес за температури. У ході процесу змінюються лише тиск газу та його обсяг.
Розглянемо два довільні стани газу: в одному з них значення макроскопічних параметрів дорівнюють , а в другому - . Ці значення пов'язані рівнянням Менделєєва-Клапейрона:
Як ми сказали від початку, маса і молярна маса передбачаються незмінними.
Тому праві частини виписаних рівнянь рівні. Отже, рівні та ліві частини:
(1)
Оскільки два стани газу були обрані довільно, ми можемо зробити висновок, що в ході ізотермічного процесу тиск тиску газу на його обсяг залишається постійним:
(2)
Це твердження називається законом Бойля - Маріотта.
Записавши закон Бойля - Маріотта у вигляді
(3)
можна дати і таке формулювання: в ізотермічному процесі тиск газу обернено пропорційно його обсягу. Якщо, наприклад, при ізотермічному розширенні газу його обсяг збільшується втричі, то тиск газу при цьому втричі зменшується.
Як пояснити зворотну залежність тиску від обсягу з фізичного погляду? При постійній температурі залишається незмінною середня кінетична енергія молекул газу, тобто, просто кажучи, не змінюється сила ударів молекул об стінки судини. При збільшенні обсягу концентрація молекул зменшується і відповідно зменшується число ударів молекул в одиницю часу на одиницю площі стінки - тиск газу падає. Навпаки, при зменшенні обсягу концентрація молекул зростає, їх удари сипляться частіше і тиск газу збільшується.
Графіки ізотермічного процесу
Взагалі, графіки термодинамічних процесів прийнято зображати у таких системах координат:
-діаграма: вісь абсцис, вісь ординат;
-діаграма: вісь абсцис, вісь ординат.
Графік ізотермічного процесу називається ізотермою.
Ізотерма на діаграмі - це графік назад пропорційної залежності.
Такий графік є гіперболою (згадайте алгебру – графік функції). Ізотерма-гіпербола зображена на рис. 1 .
Мал. 1. Ізотерма на діаграмі
Кожна ізотерма відповідає певному фіксованому значенню температури. Виявляється, що що вище температура, то вище лежить відповідна ізотерма на -діаграмі.
Справді, розглянемо два ізотермічні процеси, що здійснюються тим самим газом (рис. 2). Перший процес йде при температурі, другий – при температурі.
Мал. 2. Чим вища температура, тим вища ізотерма
Фіксуємо деяке значення обсягу. На першій ізотермі йому відповідає тиск, на другій - class="tex" alt="p_2 > p_1"> . Но при фиксированном объёме давление тем больше, чем выше температура (молекулы начинают сильнее бить по стенкам). Значит, class="tex" alt="T_2 > T_1"> .!}
У двох системах координат ізотерму, що залишилися, виглядає дуже просто: це пряма, перпендикулярна осі (рис. 3):
Мал. 3. Ізотерми на і-діаграмах
Ізобарний процес
Нагадаємо ще раз, що ізобарний процес – це процес, що проходить при постійному тиску. У ході ізобарного процесу змінюються лише обсяг газу та його температура.
Типовий приклад ізобарного процесу: газ знаходиться під потужним поршнем, який може вільно переміщатися. Якщо маса поршня та поперечний переріз поршня, то тиск газу весь час постійно і дорівнює
де – атмосферний тиск.
Нехай ідеальний газ здійснює ізобарний процес при тиску. Знову розглянемо два довільні стани газу; Цього разу значення макроскопічних параметрів дорівнюватимуть і .
Випишемо рівняння стану:
Поділивши їх один на одного, отримаємо:
В принципі, вже й цього могло бути достатньо, але ми підемо трохи далі. Перепишемо отримане співвідношення так, щоб в одній частині фігурували лише параметри першого стану, а в іншій частині – тільки параметри другого стану (іншими словами, «рознесемо індекси» по різних частинах):
(4)
А звідси тепер - зважаючи на довільність вибору станів! - Отримуємо закон Гей-Люссака:
(5)
Іншими словами, при постійному тиску газу його обсяг прямо пропорційний температурі:
(6)
Чому обсяг зростає із зростанням температури? При підвищенні температури молекули починають бити сильніше і піднімають поршень. У цьому концентрація молекул падає, удари стають рідше, отже у результаті тиск зберігає колишнє значення.
Графіки ізобарного процесу
Графік ізобарного процесу називається ізобарою. На діаграмі ізобара є прямою лінією (рис. 4):
Мал. 4. Ізобару на -діаграмі
Пунктирна ділянка графіка означає, що у разі реального газу за досить низьких температур модель ідеального газу (а разом з нею і закон Гей-Люссака) перестає працювати. Справді, при зниженні температури частки газу рухаються все повільніше, і сили міжмолекулярної взаємодії мають все більший вплив на їх рух (аналогія: повільний м'яч легше зловити, ніж швидкий). Ну а при дуже низьких температурах гази і зовсім перетворюються на рідини.
Розберемося тепер, як змінюється положення ізобари при зміні тиску. Виявляється, що чим більший тиск, тим нижче йде ізобара на -діаграмі.
Щоб переконатися в цьому, розглянемо дві ізобари з тисками (рис. 5):
Мал. 5. Чим нижче ізобара, тим більший тиск
Зафіксуємо деяке значення температури. Ми бачимо, що . Але при фіксованій температурі обсяг тим менший, чим більший тиск (закон Бойля – Маріотта!).
Отже, class="tex" alt="p_2 > p_1"> .!}
У двох системах координат ізобара, що залишилися, є прямою лінією, перпендикулярної осі (рис. 6):
Мал. 6. Ізобари на і-діаграмах
Ізохорний процес
Ізохорний процес, нагадаємо, - це процес, що проходить при постійному обсязі. При ізохорному процесі змінюються лише тиск газу та його температура.
Ізохорний процес уявити дуже просто: це процес, що у жорсткому посудині фіксованого обсягу (чи циліндрі під поршнем, коли поршень закріплений).
Нехай ідеальний газ здійснює ізохорний процес у посудині об'ємом. Знову ж таки розглянемо два довільні стани газу з параметрами і . Маємо:
Ділимо ці рівняння один на одного:
Як і при виведенні закону Гей-Люссака, «розносимо» індекси в різні частини:
(7)
Через довільність вибору станів ми приходимо до закону Шарля:
(8)
Іншими словами, при постійному обсязі газу його тиск прямо пропорційно температурі:
(9)
Збільшення тиску газу фіксованого обсягу при його нагріванні – річ цілком очевидна з фізичного погляду. Ви самі це поясніть.
Графіки ізохорного процесу
Графік ізохорного процесу називається ізохорою. На діаграмі ізохора є прямою лінією (рис. 7):
Мал. 7. Ізохора на діаграмі
Сенс пунктирної ділянки той самий: неадекватність моделі ідеального газу за низьких температур.
Мал. 8. Чим нижче ізохору, тим більший обсяг
Доказ аналогічний попередньому. Фіксуємо температуру і бачимо, що . Але при фіксованій температурі тиск тим менше, чим більший обсяг (знову закон Бойля - Маріотта). Отже, class="tex" alt="V_2 > V_1"> .!}
У двох системах координат ізохора, що залишилися, є прямою лінією, перпендикулярної осі (рис. 9):
Мал. 9. Ізохори на і-діаграмах
Закони Бойля - Маріотта, Гей-Люссака та Шарля називаються також газовими законами.
Ми вивели газові закони з рівняння Менделєєва – Клапейрона. Але історично все було навпаки: газові закони були встановлені експериментально і набагато раніше. Рівняння стану з'явилося згодом як їхнє узагальнення.
Дослідження залежності тиску газу від температури за умови постійного обсягу певної маси газу вперше були зроблені в 1787 р. Жаком Олександром Сезаром Шарлем (1746 - 1823). Можна відтворити ці досліди у спрощеному вигляді, нагріваючи газ у великій колбі, з'єднаній із ртутним манометром Му вигляді вузької зігнутої трубки (рис. 6).
Знехтуємо нікчемним збільшенням об'єму колби при нагріванні та незначною зміною об'єму при зміщенні ртуті у вузькій манометричній трубці. Таким чином, можна вважати обсяг газу незмінним. Підігріваючи воду в посудині, що оточує колбу, відзначатимемо температуру газу по термометру Т, а відповідний тиск – за манометром М. Наповнивши посудину льодом, що витримає, виміряємо тиск p 0 , що відповідає температурі 0 °C.
Досліди такого роду показали таке.
1. Збільшення тиску деякої маси становить певну частину α того тиску, який мала ця маса газу при температурі 0 °C. Якщо тиск при 0 °C позначити через p 0 , то збільшення тиску газу при нагріванні на 1 °C є p 0 +αp 0 .
При нагріванні на збільшення тиску буде в раз більше, тобто. збільшення тиску пропорційно збільшенню температури.
2. Величина α, що показує, яку частину тиску при 0 °C збільшується тиск газу при нагріванні на 1 °C, має те саме значення (точніше, майже одне й теж) всім газів, саме 1/273 °C -1 . Величину α називають температурним коефіцієнтом тиску.Таким чином, температурний коефіцієнт тиску для всіх газів має те саме значення, що дорівнює 1/273 °C -1 .
Тиск деякої маси газу при нагріванні на 1 °C при незмінному обсязі збільшується на 1/273 частина тиску, який ця маса газу мала при 0 °C ( закон Шарля).
Слід, проте, пам'ятати, що температурним коефіцієнтом тиску газу, отриманий при вимірі температури по ртутному манометру, надто однаков щодо різних температур: закон Шарля виконується лише приблизно, хоча й дуже великим ступенем точності.
Формула, що виражає закон Шарля.Закон Шарля дозволяє розраховувати тиск газу за будь-якої температури, якщо відомий його тиск за температури
0 °C. Нехай тиск цієї маси газу при 0 °C у цьому обсязі є p 0 , а тиск того ж газу при температурі tє p. Збільшення температури є t, отже, збільшення тиску дорівнює αp 0 tта шуканий тиск
Цю формулу можна використовувати також і в тому випадку, якщо газ охолоджений нижче 0 °C; при цьому tматиме негативні значення. За дуже низьких температур, коли газ наближається до стану зрідження, а також у разі сильно стиснених газів закон Шарля не застосовується і формула (2) перестає бути придатною.
Закон Шарля з погляду молекулярної теорії.Що відбувається у мікросвіті молекул, коли температура газу змінюється, наприклад, коли температура газу підвищується та тиск його збільшується? З погляду молекулярної теорії можливі дві причини збільшення тиску даного газу: по-перше, могло збільшитися число ударів молекул за одиницю часу на одиницю площі, по-друге, міг збільшитися імпульс, що передається при ударі в стінку однією молекулою. І та, й інша причина вимагають збільшення швидкості молекул (нагадуємо, що обсяг цієї маси газу залишається незмінним). Звідси стає зрозумілим, що підвищення температури газу (у макросвіті) є збільшення середньої швидкості безладного руху молекул (у мікросвіті).
Деякі типи електричних ламп розжарювання наповнюють сумішшю азоту та аргону. Під час роботи лампи газ у ній нагрівається приблизно до 100 °C. Який має бути тиск суміші газів при 20 °C, якщо бажано, щоб під час роботи лампи тиск газу в ній не перевищував атмосферного? (Відповідь: 0,78 кгс/см 2)
На манометрах ставиться червона риса, що вказує межу, понад яку збільшення газу небезпечне. При температурі 0 °C манометр показує, що надлишок газу над тиском зовнішнього повітря дорівнює 120 кгс/см 2 . Чи буде досягнуто червоної риси при підвищенні температури до 50 °C, якщо червона риса стоїть на 135 кгс/см 2 ? Тиск зовнішнього повітря прийняти рівним 1 кгс/см2 (відповідь: стрілка манометра перейде за червону межу)
Ізопроцеси ідеального газу– процеси, у яких одне із властивостей залишається незмінним.
1. Ізохоричний процес . Закон Шарля. V=const.
Ізохоричним процесомназивається процес, що протікає при постійному обсязі V. Поведінка газу при цьому ізохоричному процесі підпорядковується закону Шарля :
При постійному обсязі та незмінних значеннях маси газу та його молярної маси відношення тиску газу до його абсолютної температури залишається постійним: P/Т= Const.
Графік ізохоричного процесу на РV-діаграма називається ізохорою . Корисно знати графік ізохоричного процесу на РТ- І VT-діаграми (рис. 1.6). Рівняння ізохори:
Де Р 0 - Тиск при 0 ° С, α - температурний коефіцієнт тиску газу рівний 1/273 град -1 . Графік такої залежності на Рt-Діаграма має вигляд, показаний на малюнку 1.7.
Мал. 1.7
2. Ізобаричний процес. Закон Гей-Люссака.Р= Const.
Ізобаричним процесом називається процес, що протікає при постійному тиску Р . Поведінка газу при ізобаричному процесі підпорядковується закону Гей-Люссака:
При постійному тиску та незмінних значеннях маси та газу та його молярної маси, відношення обсягу газу до його абсолютної температури залишається постійним: V/T= Const.
Графік ізобаричного процесу на VT-діаграма називається ізобарою . Корисно знати графіки ізобаричного процесу на РV- І РT-діаграми (рис. 1.8).
Мал. 1.8
Рівняння ізобари:
Де α =1/273 град -1 - температурний коефіцієнт об'ємного розширення. Графік такої залежності на Vtдіаграмі має вигляд, показаний малюнку 1.9.
Мал. 1.9
3. Ізотермічний процес. Закон Бойля - Маріотта. T= Const.
Ізотермічнимпроцесом називається процес, що протікає при постійній температуріТ.
Поведінка ідеального газу при ізотермічному процесі підпорядковується закону Бойля - Маріотта:
При постійній температурі та незмінних значеннях маси газу та його молярної маси, добуток обсягу газу на його тиск залишається постійним: PV= Const.
Графік ізотермічного процесу на РV-діаграма називається ізотермою . Корисно знати графіки ізотермічного процесу на VT- І РT-діаграми (рис. 1.10).
Мал. 1.10
Рівняння ізотерми:
| (1.4.5) |
4. Адіабатичний процес(ізоентропійний):
Адіабатичний процес – термодинамічний процес, що відбувається без теплообміну з довкіллям.
5. Політропічний процес.Процес, у якому теплоємність газу залишається постійної.Політропічний процес – загальний випадок всіх перелічених вище процесів.
6. Закон Авогадро.При однакових тисках і однакових температурах у рівних обсягах різних ідеальних газів міститься однакове число молекул. В одному молі різних речовин міститься N A= 6,02 · 10 23 молекул (число Авогадро).
7. Закон Дальтона.Тиск суміші ідеальних газів дорівнює сумі парціальних тисків Р, що входять до неї газів:
 |
(1.4.6) |
Парціальний тиск Pn – тиск, який надавав би цей газ, якби він один займав весь обсяг.
При 
, тиск суміші газів
Зв'язок між тиском, температурою, об'ємом та кількістю молей газу ("масою" газу). Універсальна (молярна) газова стала R. Рівняння Клайперона-Менделєєва = рівняння стану ідеального газу.
|
Обмеження практичного застосування:
Усередині діапазону точність рівняння перевищує точність звичайних сучасних інженерних засобів вимірювання. Для інженера важливо розуміти, що всім газів можлива істотна дисоціація чи розкладання при підвищенні температури. |
|
|
|
Давайте вирішимо кілька завдань щодо газових об'ємних і масових витрат у припущенні, що склад газу не змінюється (газ не дисоціює) - що вірно для більшості газів у зазначених вище .
Це завдання актуальне в основному, але не тільки для застосування і пристроїв, в яких прямо вимірюється обсяг газу.
V 1і V 2, при температурах, відповідно, T 1і T 2і нехай T 1< T 2. Тоді ми знаємо, що:
Звичайно, V 1< V 2
- показники об'ємного лічильника газу тим "вагоміше", чим нижча температура
- вигідно постачати "теплий" газ
- вигідно купувати "холодний" газ
Як із цим боротися? Необхідна хоча б проста температурна компенсація, тобто пристрій, що вважає, повинна подаватися інформація з додаткового датчика температури.
Це завдання актуальне в основному, але не тільки для застосування і пристроїв, в яких прямо вимірюється швидкість газу.
Нехай лічильник () у точці доставки дає об'ємні накопичені витрати V 1і V 2, при тисках, відповідно, P 1і P 2і нехай P 1< P 2. Тоді ми знаємо, що:
Звичайно, V 1>V 2для однакових кількостей газу за даних умов. Спробуємо сформулювати кілька важливих на практиці висновків для цього випадку:
- показники об'ємного лічильника газу тим "вагоміше", чим вищий тиск
- вигідно постачати газ низького тиску
- вигідно купувати газ високого тиску
Як із цим боротися? Необхідна хоча б проста компенсація за тиском, тобто в пристрій, що вважає, повинна подаватися інформація з додаткового датчика тиску.
Насамкінець, хотілося б відзначити, що, теоретично, кожен газовий лічильник повинен мати і температурну компенсацію і компенсацію за тиском. Практично ж...
Оскільки при ізобаричному процесі P постійно, то після скорочення на P формула набуває вигляду
V 1 / T 1 = V 2 / T 2
V 1 / V 2 = T1 / T2.
Формула є математичним виразом закону Гей-Люссака: при постійній масі газу та незмінному тиску обсяг газу прямо пропорційний його абсолютній температурі.
Ізотермічний процес
Процес у газі, що відбувається за постійної температури, називається ізотермічним. Ізотермічний процес у газі був вивчений англійським вченим Р. Бойлем та французьким вченим Е. Маріотом. Встановлений ними досвідченим шляхом зв'язок виходить безпосередньо з формули шляхом скорочення на T:
p 1 V 1 =p 2 V 2 ,
p 1 / p 2 = V 1 / V 2.
Формула є математичним виразом закону Бойля - Маріота: при постійній масі газу та незмінній температурі тиск газу обернено пропорційно його об'єму. Інакше висловлюючись, у умовах добуток обсягу газу відповідний тиск є величина постійна:
Графік залежності p від V при ізотермічному процесі в газі є гіперболою і називається ізотермою. На малюнку 3 зображені ізотерми для однієї і тієї ж маси газу, але за різних температур Т. При ізотермічному процесі щільність газу змінюється прямо пропорційно тиску:
ρ 1 /ρ 2= p 1 /p 2
Залежність тиску газу від температури при постійному обсязі
Розглянемо, як залежить тиск газу від температури, коли його маса та обсяг залишаються постійними. Візьмемо закриту посудину з газом і нагріватимемо її (рисунок 4). Температуру газу t визначатимемо за допомогою термометра, а тиск манометром М.
Спочатку помістимо посудину в танучий сніг і тиск газу при 0 0 С позначимо р 0 , а потім поступово будемо нагрівати зовнішню посудину і записувати значення р і t для газу.
Виявляється, що графік залежності р і t, побудований на підставі такого досвіду, має вигляд прямої лінії (рисунок 5).
Якщо продовжити цей графік вліво, то він перетнеться з віссю абсцис у точці А, що відповідає нульовому тиску газу. З подоби трикутників малюнку 5, а можна записати:
P 0 /OA=p/Δt,
l/OA=p/(p 0 Δt).
Якщо позначити постійним l/OA через α, то отримаємо
α = Δp//(p 0 Δt),
Δp= α p 0 Δt.
За змістом коефіцієнт пропорційності в описаних дослідах повинен виражати залежність зміни тиску газу від його роду.
Величина γ, характеризує залежність зміни тиску газу від його роду в процесі зміни температури при постійному обсязі та незмінній масі газу, називається температурним коефіцієнтом тиску. Температурний коефіцієнт тиску показує, яку частину тиску газу, взятого при 0 0 З, змінюється при нагріванні на 1 0 З. Виведемо одиницю температурного коефіцієнта в СІ:
α =l ΠA/(l ΠA*l 0 C)=l 0 C -1
При цьому довжина відрізка ОА виходить рівною 273 0 С. Таким чином, для всіх випадків температура, при якій тиск газу повинен перетворюватися на нуль, однакова і дорівнює – 273 0 С, а температурний коефіцієнт тиску α =1/ОА=(1/273 ) 0 С-1.
 |
 |
При розв'язанні задач зазвичай користуються наближеним значенням α рівним α =1/ОА=(1/273) 0 -1 . З дослідів значення вперше було визначено французьким фізиком Ж. Шарлем, який у 1787р. встановив наступний закон: температурний коефіцієнт тиску не залежить від роду газу та дорівнює (1/273,15) 0 С -1 . Зауважимо, що це правильно тільки для газів, що мають невелику щільність, і за невеликих змін температури; при більших тисках або низьких температурах залежить від роду газу. Точно підкоряється закону Шарля лише ідеальний газ. З'ясуємо, як можна визначити тиск будь-якого газу р при довільній температурі t.
Підставивши ці значення Δр та Δt у формулу, отримаємо
p 1 -p 0 =αp 0 t,
p 1 = p 0 (1 + αt).
Оскільки α~273 0 С, при розв'язанні задач формулу можна використовувати у такому вигляді:
p 1 = p 0
До будь-якого ізопроцесу застосуємо об'єднаний газовий закон з урахуванням того, що один із параметрів залишається постійним. При ізохоричному процесі постійним залишається обсяг V, формула після скорочення на V набуває вигляду
