مقدمه. ریاضیات به عنوان علم روابط کمی و اشکال فضایی واقعیت، جهان اطراف ما را مطالعه می کند. ریاضیات به عنوان علم روابط کمی و اشکال فضایی دنیای واقعی مجموع علوم مورد مطالعه در

ریاضیات علم روابط کمی و اشکال فضایی دنیای واقعی است. در ارتباط نزدیک با نیازهای علم و فناوری، موجودی روابط کمی و اشکال فضایی مورد مطالعه ریاضیات دائماً در حال گسترش است، به طوری که تعریف فوق باید به کلی ترین معنای آن درک شود.

هدف از مطالعه ریاضی افزایش دیدگاه عمومی، فرهنگ تفکر، شکل گیری جهان بینی علمی است.

درک موقعیت مستقل ریاضیات به عنوان یک علم خاص پس از انباشت مقدار کافی از مطالب واقعی ممکن شد و برای اولین بار در یونان باستان در قرن های 6-5 قبل از میلاد بوجود آمد. این آغاز دوره ریاضیات ابتدایی بود.

در این دوره، تحقیقات ریاضی تنها به مجموعه‌ای محدود از مفاهیم اساسی می‌پردازد که با ساده‌ترین خواسته‌های زندگی اقتصادی به وجود آمده‌اند. در همان زمان، بهبود کیفی ریاضیات به عنوان یک علم در حال حاضر در حال وقوع است.

ریاضیات مدرن اغلب با یک شهر بزرگ مقایسه می شود. این یک مقایسه عالی است، زیرا در ریاضیات، مانند یک شهر بزرگ، روند مداوم رشد و پیشرفت وجود دارد. حوزه‌های جدیدی در ریاضیات در حال ظهور هستند، نظریه‌های ظریف و عمیق جدیدی مانند ساخت محله‌ها و ساختمان‌های جدید ساخته می‌شوند. اما پیشرفت ریاضیات به تغییر چهره شهر به دلیل ساخت شهر جدید محدود نمی شود. باید قدیم را عوض کنیم. نظریه های قدیمی در نظریه های جدید و کلی تر گنجانده شده اند. نیاز به تقویت پایه های ساختمان های قدیمی وجود دارد. برای برقراری ارتباط بین محله های دور شهر ریاضی باید خیابان های جدیدی ایجاد شود. اما این کافی نیست - طراحی معماری به تلاش قابل توجهی نیاز دارد، زیرا تنوع سبک ها در زمینه های مختلف ریاضیات نه تنها تصور کلی علم را خراب می کند، بلکه در درک علم به عنوان یک کل نیز دخالت می کند و پیوندهایی را بین بخش های مختلف آن ایجاد می کند.

مقایسه دیگری اغلب مورد استفاده قرار می گیرد: ریاضیات به یک درخت بزرگ منشعب تشبیه می شود که به طور سیستماتیک، شاخه های جدیدی می دهد. هر شاخه از درخت یک یا قسمت دیگری از ریاضیات است. تعداد شاخه ها بدون تغییر باقی نمی ماند، چون شاخه های جدید رشد می کنند، ابتدا با هم رشد می کنند و به طور جداگانه رشد می کنند، برخی از شاخه ها خشک می شوند و از آب میوه های مغذی محروم می شوند. هر دو مقایسه موفق هستند و به خوبی وضعیت واقعی امور را نشان می دهند.

بی شک تقاضا برای زیبایی نقش مهمی در ساخت نظریه های ریاضی دارد. ناگفته نماند که درک زیبایی بسیار ذهنی است و اغلب ایده های بسیار زشتی در این مورد وجود دارد. و با این حال، باید از اتفاق نظر ریاضیدانان در مفهوم "زیبایی" شگفت زده شد: نتیجه زیبا تلقی می شود اگر از تعداد کمی شرایط بتوان یک نتیجه کلی را در رابطه با طیف گسترده ای از اشیاء به دست آورد. یک مشتق ریاضی در صورتی زیبا تلقی می شود که بتوان با استدلال ساده و کوتاه یک واقعیت ریاضی قابل توجه را در آن اثبات کرد. بلوغ یک ریاضیدان، استعداد او را حدس می زنند که حس زیبایی او چقدر توسعه یافته است. نتایج از نظر زیبایی شناختی کامل و از نظر ریاضی کامل درک، به خاطر سپردن و استفاده آسان تر است. شناسایی رابطه آنها با سایر حوزه های دانش آسان تر است.

ریاضیات در زمان ما به یک رشته علمی با زمینه های تحقیقاتی فراوان، نتایج و روش های بسیار زیادی تبدیل شده است. ریاضیات در حال حاضر آنقدر بزرگ است که نمی توان یک نفر آن را در تمام قسمت های آن پوشش داد، امکان متخصص جهانی بودن در آن وجود ندارد. قطع ارتباط بین جهات جداگانه آن قطعاً پیامد منفی پیشرفت سریع این علم است. با این حال، در اساس توسعه همه شاخه های ریاضیات یک چیز مشترک وجود دارد - ریشه های توسعه، ریشه های درخت ریاضیات.

هندسه اقلیدس به عنوان اولین نظریه علوم طبیعی

• در قرن سوم پیش از میلاد، کتابی از اقلیدس به همین نام در اسکندریه در ترجمه روسی "آغاز" ظاهر شد. از نام لاتین "Beginnings" اصطلاح "هندسه ابتدایی" آمده است. اگرچه نوشته‌های پیشینیان اقلیدس به دست ما نرسیده است، اما می‌توانیم از عناصر اقلیدس در مورد این نوشته‌ها نظری ایجاد کنیم. در "آغاز" بخش هایی وجود دارد که از نظر منطقی ارتباط بسیار کمی با بخش های دیگر دارند. ظاهر آنها تنها با این واقعیت توضیح داده می شود که آنها طبق سنت معرفی شده اند و از "آغاز" پیشینیان اقلیدس کپی می کنند.

  عناصر اقلیدس از 13 کتاب تشکیل شده است. کتاب های 1 تا 6 به پلان سنجی اختصاص دارد، کتاب های 7 تا 10 در مورد کمیت های حسابی و غیرقابل قیاس است که می توان با استفاده از قطب نما و خط مستقیم ساخت. کتاب های 11 تا 13 به استریومتری اختصاص داشت.

  "آغاز" با ارائه 23 تعریف و 10 بدیهیات آغاز می شود. پنج بدیهیات اول «مفاهیم کلی» و بقیه «مقامات» نامیده می شوند. دو اصل اول اعمال را با کمک یک خط کش ایده آل تعیین می کنند، سوم - با کمک یک قطب نما ایده آل. چهارمین عبارت «همه زوایای قائمه با هم برابرند» زائد است، زیرا می توان از بقیه بدیهیات استنباط کرد. فرضیه آخر و پنجم می گوید: "اگر خطی روی دو خط بیفتد و زوایای داخلی یک طرفه را با مجموع کمتر از دو خط تشکیل دهد، با ادامه نامحدود این دو خط، آنها در سمتی تلاقی خواهند کرد که در آن خط زاویه ها کمتر از دو خط هستند."

  پنج مفهوم کلی اقلیدس عبارتند از اصول اندازه گیری طول، زاویه، مساحت، حجم: «برابر با هم مساوی با هم هستند»، «اگر مساوی به مساوی اضافه شود، مجموع ها با یکدیگر برابر است». «اگر مساوی از مساوی کسر شود، باقیمانده بین خود مساوی است»، «ترکیب با یکدیگر مساوی است»، «کل بزرگتر از جزء است».

  سپس انتقاد از هندسه اقلیدس مطرح شد. اقلیدس به سه دلیل مورد انتقاد قرار گرفت: به این دلیل که او فقط کمیت‌های هندسی را در نظر گرفت که می‌توان با استفاده از قطب‌نما و خط مستقیم ساخت. برای شکستن هندسه و حساب و اثبات آنچه قبلاً برای کمیت های هندسی برای اعداد صحیح و در نهایت برای بدیهیات اقلیدس ثابت کرده بود. اصل پنجم، دشوارترین فرض اقلیدس، به شدت مورد انتقاد قرار گرفته است. بسیاری آن را زائد می دانستند و می توان و باید از بدیهیات دیگر استنباط کرد. برخی دیگر معتقد بودند که باید با یک خط ساده تر و گویاتر جایگزین آن شود: "از طریق نقطه ای خارج از یک خط مستقیم، بیش از یک خط مستقیم نمی توان در صفحه آنها ترسیم کرد که این خط مستقیم را قطع نمی کند."

  انتقاد از شکاف بین هندسه و حساب منجر به گسترش مفهوم عدد به یک عدد واقعی شد. اختلافات در مورد فرض پنجم منجر به این واقعیت شد که در آغاز قرن 19 N.I. Lobachevsky، J. Bolyai و K.F. Gauss هندسه جدیدی ساختند که در آن تمام بدیهیات هندسه اقلیدس به استثنای فرض پنجم برآورده شد. با عبارت مخالف جایگزین شد: "در صفحه ای که از نقطه ای خارج از یک خط عبور می کند، بیش از یک خط می تواند رسم شود که خط داده شده را قطع نمی کند." این هندسه به اندازه هندسه اقلیدس سازگار بود.

  مدل پلان سنجی لوباچفسکی در صفحه اقلیدسی توسط ریاضیدان فرانسوی هنری پوانکاره در سال 1882 ساخته شد.

  یک خط افقی روی صفحه اقلیدسی رسم کنید. این خط مطلق (x) نامیده می شود. نقاط صفحه اقلیدسی که بالای مطلق قرار دارند، نقاط صفحه لوباچفسکی هستند. هواپیمای لوباچفسکی یک نیمه صفحه باز است که بالای مطلق قرار دارد. پاره های غیر اقلیدسی در مدل پوانکاره کمان هایی از دایره هستند که در مرکز بخش های مطلق یا خط عمود بر مطلق (AB، CD) قرار دارند. شکل روی صفحه لوباچفسکی شکل یک نیمه صفحه باز است که بالای مطلق (F) قرار دارد. حرکت نااقلیدسی ترکیبی از تعداد محدودی از وارونگی ها است که بر تقارن مطلق و محوری متمرکز شده اند که محورهای آنها عمود بر مطلق است. دو بخش غیر اقلیدسی مساوی هستند اگر بتوان یکی از آنها را با حرکت غیراقلیدسی به دیگری ترجمه کرد. اینها مفاهیم اساسی بدیهیات پلان سنجی لوباچفسکی هستند.

  همه بدیهیات پلان سنجی لوباچفسکی سازگار هستند. "خط غیر اقلیدسی نیم دایره ای است که انتهای آن روی مطلق یا پرتویی با مبدأ روی مطلق و عمود بر مطلق است." بنابراین، ادعای اصل موازی بودن لوباچفسکی نه تنها برای برخی از خطوط a و یک نقطه A که روی این خط قرار ندارند، بلکه برای هر خط a و هر نقطه A که روی آن قرار ندارد نیز صادق است.

  در پس هندسه لوباچفسکی، هندسه‌های ثابت دیگری نیز پدید آمدند: هندسه تصویری جدا از اقلیدسی، هندسه اقلیدسی چند بعدی توسعه یافت، هندسه ریمانی پدید آمد (نظریه‌ای کلی از فضاها با قانون دلخواه اندازه‌گیری طول‌ها در یک علم و غیره). فضای بعدی اقلیدسی، هندسه برای 40 - 50 سال به مجموعه ای از نظریه های مختلف تبدیل شده است، که فقط تا حدودی شبیه به مولد آن - هندسه اقلیدس است.

  مراحل اصلی شکل گیری ریاضیات مدرن. ساختار ریاضیات مدرن

• آکادمیک A.N. Kolmogorov چهار دوره را در توسعه ریاضیات شناسایی می کند Kolmogorov A.N. - ریاضیات، دیکشنری دایره المعارف ریاضی، مسکو، دایره المعارف شوروی، 1988: تولد ریاضیات، ریاضیات ابتدایی، ریاضیات متغیرها، ریاضیات مدرن.

  در طول توسعه ریاضیات ابتدایی، نظریه اعداد به تدریج از حساب خارج می شود. جبر به عنوان یک حساب لفظی ایجاد می شود. و سیستم ارائه هندسه ابتدایی ایجاد شده توسط یونانیان باستان - هندسه اقلیدس - برای دو هزار سال پیشتر به مدلی از ساخت قیاسی نظریه ریاضی تبدیل شد.

  در قرن هفدهم، تقاضاهای علم و فناوری طبیعی منجر به ایجاد روش هایی شد که امکان مطالعه ریاضی حرکت، فرآیندهای تغییر کمیت ها و دگرگونی اشکال هندسی را فراهم می کرد. با استفاده از متغیرها در هندسه تحلیلی و ایجاد حساب دیفرانسیل و انتگرال، دوره ریاضی متغیرها آغاز می شود. اکتشافات بزرگ قرن هفدهم مفهوم یک کمیت بی نهایت کوچک است که توسط نیوتن و لایب نیتس معرفی شد، ایجاد پایه هایی برای تجزیه و تحلیل کمیت های بی نهایت کوچک (تحلیل ریاضی).

  مفهوم تابع مطرح می شود. تابع موضوع اصلی مطالعه می شود. مطالعه یک تابع به مفاهیم اساسی تحلیل ریاضی منجر می شود: حد، مشتق، دیفرانسیل، انتگرال.

  ظهور ایده درخشان آر. دکارت در مورد روش مختصات نیز متعلق به این زمان است. هندسه تحلیلی ایجاد می شود که امکان مطالعه اشیاء هندسی را با روش های جبر و تجزیه و تحلیل می دهد. از سوی دیگر، روش مختصات امکان تفسیر هندسی حقایق جبری و تحلیلی را باز کرد.

  توسعه بیشتر ریاضیات در آغاز قرن نوزدهم منجر به فرمول بندی مسئله مطالعه انواع احتمالی روابط کمی و اشکال فضایی از دیدگاه نسبتاً کلی شد.

  ارتباط بین ریاضیات و علوم طبیعی روز به روز پیچیده تر می شود. نظریه‌های جدید نه تنها در نتیجه نیازهای علوم طبیعی و فناوری، بلکه در نتیجه نیاز درونی ریاضیات به وجود می‌آیند. یک مثال قابل توجه از چنین نظریه ای هندسه خیالی N.I. Lobachevsky است. توسعه ریاضیات در قرن 19 و 20 به ما این امکان را می دهد که آن را به دوره ریاضیات مدرن نسبت دهیم. توسعه خود ریاضیات، ریاضی‌سازی رشته‌های مختلف علوم، نفوذ روش‌های ریاضی به بسیاری از زمینه‌های فعالیت عملی، پیشرفت فناوری رایانه منجر به ظهور رشته‌های جدید ریاضی شده است، به عنوان مثال، تحقیق در عملیات، نظریه بازی، اقتصاد ریاضی و دیگران.

  روش های اصلی در تحقیقات ریاضی، اثبات های ریاضی - استدلال منطقی دقیق است. تفکر ریاضی به استدلال منطقی محدود نمی شود. شهود ریاضی برای فرمول بندی صحیح مسئله، برای ارزیابی انتخاب روش برای حل آن ضروری است.

  در ریاضیات، مدل های ریاضی اشیا مورد مطالعه قرار می گیرد. همین مدل ریاضی می تواند ویژگی های پدیده های واقعی را که از یکدیگر دور هستند را توصیف کند. بنابراین، همین معادله دیفرانسیل می تواند فرآیندهای رشد جمعیت و فروپاشی مواد رادیواکتیو را توصیف کند. برای یک ریاضیدان، ماهیت اشیاء مورد بررسی مهم نیست، بلکه روابط موجود بین آنها مهم است.

  دو نوع استدلال در ریاضیات وجود دارد: قیاس و استقراء.

  استقرا یک روش تحقیق است که در آن یک نتیجه گیری کلی بر اساس مقدمات خاصی ساخته می شود.

  استنتاج روشی برای استدلال است که به وسیله آن از مقدمات کلی نتیجه ای با ماهیت خاص حاصل می شود.

  ریاضیات نقش مهمی در تحقیقات علوم طبیعی، مهندسی و علوم انسانی دارد. دلیل نفوذ ریاضیات به شاخه‌های مختلف دانش این است که مدل‌های بسیار روشنی برای مطالعه واقعیت پیرامون ارائه می‌کند، برخلاف مدل‌های کمتر کلی و مبهم‌تر ارائه‌شده توسط سایر علوم. بدون ریاضیات مدرن، با دستگاه های منطقی و محاسباتی توسعه یافته آن، پیشرفت در زمینه های مختلف فعالیت های انسانی غیرممکن خواهد بود.

  ریاضیات نه تنها ابزاری قدرتمند برای حل مسائل کاربردی و زبان جهانی علم است، بلکه عنصری از فرهنگ مشترک است.

  ویژگی های اساسی تفکر ریاضی

• در مورد این موضوع، ویژگی تفکر ریاضی ارائه شده توسط A.Ya. Khinchin، یا بهتر است بگوییم، شکل خاص تاریخی آن - سبک تفکر ریاضی، مورد توجه خاص است. او با آشکار ساختن ماهیت سبک تفکر ریاضی، چهار ویژگی مشترک در همه اعصار را مشخص می کند که این سبک را به طرز محسوسی از سبک های تفکر در سایر علوم متمایز می کند.

  اول، ریاضیدان با تسلط طرح منطقی استدلال مشخص می شود که به حد نهایی رسیده است. ریاضی دانی که این طرح را از دست می دهد، حداقل به طور موقت، توانایی تفکر علمی را به طور کلی از دست می دهد. این ویژگی خاص سبک تفکر ریاضی به خودی خود ارزش زیادی دارد. بدیهی است که به حداکثر میزانی که به شما امکان می دهد صحت جریان فکر را زیر نظر داشته باشید و در برابر خطاها تضمین کنید. از سوی دیگر، متفکر را وادار می کند که مجموع امکانات موجود را در حین تحلیل پیش چشم خود داشته باشد و او را ملزم می کند که هر یک از آنها را بدون از قلم انداختن یک مورد در نظر بگیرد (چنین حذفیاتی کاملاً محتمل است و در واقع غالباً مشاهده می شود. در سبک های دیگر تفکر).

  ثانیا، اجمالی، یعنی. میل آگاهانه برای یافتن همیشه کوتاه ترین مسیر منطقی منتهی به یک هدف معین، طرد بی رحمانه هر چیزی که برای اعتبار بی عیب و نقص استدلال ضروری است. یک مقاله ریاضی با سبک خوب، هیچ "آب"، هیچ آراستگی، تضعیف تنش منطقی ناهنجاری، حواس پرتی را تحمل نمی کند. خساست شدید، سختگیری شدید فکر و ارائه آن از ویژگی های جدایی ناپذیر تفکر ریاضی است. این ویژگی نه تنها برای ریاضی، بلکه برای هر استدلال جدی دیگر ارزش زیادی دارد. لاکونیسم، میل به اجازه ندادن هیچ چیز اضافی، هم به متفکر و هم به خواننده یا شنونده کمک می‌کند تا به طور کامل روی یک رشته فکری معین تمرکز کنند، بدون اینکه توسط ایده‌های ثانویه منحرف شوند و ارتباط مستقیم با خط استدلال اصلی را از دست بدهند.

  مفاخر علم، قاعدتاً در همه زمینه‌های معرفتی، به اختصار فکر می‌کنند و خود را بیان می‌کنند، حتی زمانی که اندیشه‌شان ایده‌های اساساً جدیدی خلق می‌کند و طرح می‌کند. چه تأثیر باشکوهی، مثلاً بخل نجیب اندیشه و گفتار بزرگترین پدیدآورندگان فیزیک: نیوتن، انیشتین، نیلز بور! شاید یافتن نمونه بارزتر از تأثیر عمیقی که سبک تفکر پدیدآورندگان آن بر پیشرفت علم داشته باشد دشوار باشد.

  برای ریاضیات، اختصار اندیشه یک قانون غیرقابل انکار است که برای قرن‌ها به رسمیت شناخته شده است. هر گونه تلاش برای تحمیل بار ارائه با تصاویر غیرضروری (حتی اگر برای شنوندگان خوشایند و هیجان انگیز) باشد، حواس پرتی، سخنرانی پیشاپیش مورد سوء ظن مشروع قرار می گیرد و به طور خودکار باعث هوشیاری انتقادی می شود.

  ثالثاً، تشریح واضح سیر استدلال. اگر مثلاً هنگام اثبات یک گزاره، باید چهار حالت ممکن را در نظر بگیریم که هر کدام را می توان به یک یا چند مورد فرعی تقسیم کرد، در هر لحظه از استدلال، ریاضیدان باید به وضوح به یاد داشته باشد که در چه موردی و زیرمورد خود. اکنون فکر در حال اکتساب است و او هنوز باید به کدام موارد و موارد فرعی توجه کند. با انواع شمارش های شاخه ای، ریاضیدان باید در هر لحظه از مفهوم عمومی که مفاهیم گونه های جزء آن را برمی شمارد آگاه باشد. در تفکر معمولی و غیر علمی، ما اغلب در چنین مواردی سردرگمی و پرش را مشاهده می کنیم که منجر به سردرگمی و خطا در استدلال می شود. اغلب اتفاق می افتد که شخصی شروع به برشمردن گونه های یکی از جنس ها می کند و سپس به طور نامحسوس برای شنوندگان (و اغلب برای خود) با استفاده از تمایز منطقی ناکافی استدلال، به یک جنس دیگر می جهد و با این جمله به پایان می رسد که هر دو جنس ها اکنون طبقه بندی شده اند. و شنوندگان یا خوانندگان نمی دانند که مرز بین گونه های نوع اول و دوم کجاست.

  به منظور غیرممکن ساختن چنین سردرگمی‌ها و پرش‌هایی، ریاضی‌دانان مدت‌هاست که از روش‌های ساده بیرونی شماره‌گذاری مفاهیم و قضاوت‌ها، که گاهی (اما خیلی کمتر) در علوم دیگر استفاده می‌شود، استفاده گسترده کرده‌اند. موارد احتمالی یا مفاهیم کلی که باید در این استدلال مورد توجه قرار گیرند، از قبل شماره گذاری مجدد شده اند. در هر یک از این موارد، موارد فرعی که باید در نظر گرفته شوند نیز شماره گذاری می شوند (گاهی اوقات، برای تمایز، با استفاده از سیستم شماره گذاری دیگری). قبل از هر پاراگراف، جایی که بررسی یک مورد فرعی جدید شروع می شود، نام پذیرفته شده برای این مورد قرار می گیرد (به عنوان مثال: II 3 - این بدان معنی است که بررسی مورد سوم مورد دوم از اینجا شروع می شود یا شرح مورد سوم. نوع دوم، اگر در مورد طبقه بندی صحبت می کنیم). و خواننده می داند که تا زمانی که به یک روبریک عددی جدید برخورد کند، هر آنچه ارائه می شود فقط در مورد این مورد و زیرمورد صدق می کند. ناگفته نماند که چنین شماره گذاری فقط یک وسیله خارجی است، بسیار مفید، اما به هیچ وجه واجب نیست، و اصل موضوع در آن نیست، بلکه در آن تقسیم بندی متمایز استدلال یا طبقه بندی است که هم تحریک می کند و هم علامت گذاری می کند. به خودی خود

  چهارم، دقت دقیق نمادها، فرمول ها، معادلات. یعنی "هر نماد ریاضی معنای دقیقی دارد: جایگزین کردن آن با نماد دیگری یا تنظیم مجدد آن به مکان دیگر، به عنوان یک قاعده، مستلزم تحریف و گاهی تخریب کامل معنای این عبارت است."

  A.Ya. Khinchin با مشخص کردن ویژگی های اصلی سبک تفکر ریاضی ، خاطرنشان می کند که ریاضیات (به ویژه ریاضیات متغیرها) طبیعتاً دارای شخصیت دیالکتیکی است و بنابراین به توسعه تفکر دیالکتیکی کمک می کند. در واقع، در فرآیند تفکر ریاضی یک تعامل بین دیداری (متن) و مفهومی (انتزاعی) وجود دارد. کانت می‌نویسد: «ما نمی‌توانیم به خطوط فکر کنیم، بدون ترسیم ذهنی آن، نمی‌توانیم برای خودمان سه بعد بیاندیشیم بدون اینکه از یک نقطه سه خط عمود بر یکدیگر ترسیم کنیم.»

  تعامل انضمامی و انتزاعی تفکر ریاضی به توسعه مفاهیم جدید و جدید و مقولات فلسفی منجر شد. در ریاضیات باستانی (ریاضیات ثابت) اینها «عدد» و «فضا» بودند که در ابتدا در هندسه حسابی و اقلیدسی و بعداً در جبر و سیستم‌های هندسی مختلف منعکس شدند. ریاضیات متغیرها "مبتنی بر" مفاهیمی بود که حرکت ماده را منعکس می کرد - "متناهی"، "بی نهایت"، "پیوستگی"، "گسسته"، "بی نهایت کوچک"، "مشتق" و غیره.

  اگر از مرحله تاریخی کنونی در توسعه دانش ریاضی صحبت کنیم، آنگاه با توسعه بیشتر مقولات فلسفی همسو می‌شود: نظریه احتمال بر مقوله‌های ممکن و تصادفی «تسلط دارد». توپولوژی - دسته بندی رابطه و تداوم؛ تئوری فاجعه - دسته پرش; نظریه گروه - مقوله های تقارن و هارمونی و غیره.

  در تفکر ریاضی، الگوهای اصلی ساخت پیوندهای منطقی مشابه در شکل بیان می شود. با کمک آن، انتقال از مفرد (مثلاً از روش های ریاضی خاص - بدیهی، الگوریتمی، سازنده، نظری مجموعه و غیره) به ساختارهای قیاسی تعمیم یافته و خاص و عمومی انجام می شود. وحدت روش ها و موضوع ریاضیات، ویژگی های تفکر ریاضی را تعیین می کند، به ما امکان می دهد از زبان ریاضی خاصی صحبت کنیم که نه تنها واقعیت را منعکس می کند، بلکه دانش علمی را ترکیب، تعمیم و پیش بینی می کند. قدرت و زیبایی تفکر ریاضی در نهایت وضوح منطق، ظرافت ساخت و ساز ماهرانه انتزاعات نهفته است.

  با اختراع رایانه، با ایجاد ریاضیات ماشینی، اساساً امکانات جدیدی برای فعالیت ذهنی باز شد. تغییرات قابل توجهی در زبان ریاضیات رخ داده است. اگر زبان ریاضیات محاسباتی کلاسیک متشکل از فرمول های جبر، هندسه و تجزیه و تحلیل متمرکز بر توصیف فرآیندهای پیوسته طبیعت است که عمدتاً در مکانیک، نجوم، فیزیک مطالعه می شود، زبان مدرن آن زبان الگوریتم ها و برنامه ها از جمله است. زبان قدیمی فرمول ها به عنوان یک مورد خاص.

  زبان ریاضیات محاسباتی مدرن روز به روز جهانی تر می شود و می تواند سیستم های پیچیده (چند پارامتری) را توصیف کند. در عین حال، من می خواهم تأکید کنم که هر چقدر هم که زبان ریاضی عالی باشد، که توسط فناوری محاسبات الکترونیکی تقویت شده است، پیوندها را با زبان طبیعی "زنده" متنوع نمی شکند. علاوه بر این، زبان گفتاری اساس یک زبان مصنوعی است. در این راستا، کشف اخیر دانشمندان مورد توجه است. نکته این است که زبان باستانی سرخپوستان آیمارا، که حدود 2.5 میلیون نفر در بولیوی و پرو به آن صحبت می کنند، برای فناوری رایانه بسیار راحت بود. در اوایل سال 1610، لودویکو برتونی مبلغ یسوعی ایتالیایی، که اولین فرهنگ لغت آیمارا را گردآوری کرد، به نبوغ خالقان آن اشاره کرد که به خلوص منطقی بالایی دست یافتند. به عنوان مثال، در آیمارا، هیچ افعال بی قاعده و استثنایی از چند قاعده گرامری واضح وجود ندارد. این ویژگی های زبان آیمارا به ریاضیدان بولیویایی ایوان گوزمان د روخاس اجازه داد تا یک سیستم ترجمه کامپیوتری همزمان از هر یک از پنج زبان اروپایی موجود در برنامه ایجاد کند که "پل" بین آن زبان آیمارا است. کامپیوتر "آیمارا" که توسط یک دانشمند بولیویایی ساخته شده است، بسیار مورد استقبال متخصصان قرار گرفت. با جمع بندی این بخش از سؤال در مورد ماهیت سبک تفکر ریاضی، باید توجه داشت که محتوای اصلی آن درک طبیعت است.

  روش بدیهی

• بدیهیات راه اصلی ساختن یک نظریه از دوران باستان تا امروز است که جهانشمول بودن و همه کاربردی بودن آن را تأیید می کند.

  ساخت یک نظریه ریاضی بر اساس روش بدیهی است. نظریه علمی مبتنی بر برخی مفاد اولیه است که بدیهیات نامیده می شود و سایر مفاد نظریه به عنوان پیامدهای منطقی بدیهیات به دست می آید.

  روش بدیهی در یونان باستان ظاهر شد و در حال حاضر تقریباً در تمام علوم نظری و بالاتر از همه در ریاضیات استفاده می شود.

  با مقایسه سه هندسه مکمل از لحاظ خاص: اقلیدسی (پارابولیک)، لوباچفسکی (هذلولی) و ریمانی (بیضوی)، باید توجه داشت که در کنار برخی شباهت‌ها، تفاوت زیادی بین هندسه کروی وجود دارد. دست، و هندسه اقلیدس و لوباچفسکی - از سوی دیگر.

  تفاوت اساسی بین هندسه مدرن این است که اکنون "هندسه" تعداد بی نهایتی از فضاهای تخیلی مختلف را در بر می گیرد. با این حال، باید توجه داشت که همه این هندسه ها تفسیری از هندسه اقلیدسی هستند و بر اساس روش بدیهی است که برای اولین بار توسط اقلیدس استفاده شده است.

  بر اساس تحقیقات، روش بدیهی توسعه یافته و به طور گسترده مورد استفاده قرار گرفته است. به عنوان یک مورد خاص از اعمال این روش، روش ردیابی در استریومتری است که امکان حل مسائل مربوط به ساخت مقاطع در چند وجهی و برخی مسائل موقعیتی دیگر را فراهم می کند.

  روش بدیهی که برای اولین بار در هندسه توسعه یافت، اکنون به یک ابزار مهم مطالعه در سایر شاخه های ریاضیات، فیزیک و مکانیک تبدیل شده است. در حال حاضر، کار برای بهبود و مطالعه روش بدیهی ساخت یک نظریه در عمق بیشتر در حال انجام است.

  روش بدیهی ساخت یک نظریه علمی عبارت است از برجسته کردن مفاهیم اساسی، تدوین بدیهیات نظریه ها و سایر گزاره ها به روشی منطقی و با تکیه بر آنها استخراج می شود. مشخص است که یک مفهوم باید با کمک مفاهیم دیگر توضیح داده شود که به نوبه خود با کمک برخی از مفاهیم شناخته شده نیز تعریف می شوند. بنابراین، به مفاهیم ابتدایی می رسیم که نمی توان آنها را بر اساس مفاهیم دیگر تعریف کرد. این مفاهیم پایه نامیده می شوند.

  وقتی یک گزاره، یک قضیه را اثبات می کنیم، بر مقدماتی تکیه می کنیم که قبلاً اثبات شده در نظر گرفته می شوند. اما این مقدمات نیز ثابت شد، باید اثبات می شد. در نهایت به جملات غیر قابل اثبات می رسیم و آنها را بدون دلیل می پذیریم. این گزاره ها بدیهیات نامیده می شوند. مجموعه بدیهیات باید به گونه ای باشد که با تکیه بر آن بتوان گزاره های بعدی را اثبات کرد.

  پس از تفکیک مفاهیم اصلی و فرمول بندی بدیهیات، قضایا و سایر مفاهیم را به روشی منطقی استخراج می کنیم. این ساختار منطقی هندسه است. بدیهیات و مفاهیم اساسی پایه های پلان سنجی را تشکیل می دهند.

  از آنجایی که ارائه یک تعریف واحد از مفاهیم اساسی برای همه هندسه ها غیرممکن است، مفاهیم اساسی هندسه باید به عنوان اشیایی از هر ماهیتی تعریف شوند که بدیهیات این هندسه را برآورده کنند. بنابراین، در ساخت بدیهی یک سیستم هندسی، از یک سیستم خاص از بدیهیات یا بدیهیات شروع می کنیم. این بدیهیات ویژگی‌های مفاهیم اساسی یک سیستم هندسی را توصیف می‌کنند و می‌توانیم مفاهیم اساسی را در قالب اشیایی با هر ماهیتی که دارای ویژگی‌های مشخص شده در بدیهیات هستند نشان دهیم.

  پس از تدوین و اثبات اولین گزاره های هندسی، اثبات برخی گزاره ها (قضیه ها) با کمک برخی دیگر ممکن می شود. اثبات بسیاری از قضایا به فیثاغورث و دموکریتوس نسبت داده شده است.

  به بقراط خیوسی، اولین دوره نظام مند هندسه بر اساس تعاریف و بدیهیات را گردآوری کرد. این دوره و پردازش های بعدی آن «عناصر» نام داشت.

  روش بدیهی ساخت یک نظریه علمی

• ایجاد یک روش قیاسی یا بدیهی برای ساخت علم یکی از بزرگترین دستاوردهای تفکر ریاضی است. این امر مستلزم کار چندین نسل از دانشمندان بود.

  ویژگی قابل توجه سیستم قیاسی ارائه، سادگی این ساختار است که توصیف آن را در چند کلمه ممکن می سازد.

  سیستم قیاسی ارائه به موارد زیر کاهش می یابد:

  1) به فهرست مفاهیم اساسی،

  2) برای ارائه تعاریف،

  3) برای ارائه بدیهیات،

  4) برای ارائه قضایا،

  5) برای اثبات این قضایا.

  بدیهیات عبارتی است که بدون دلیل پذیرفته می شود.

  قضیه عبارتی است که از بدیهیات به دست می آید.

  اثبات جزء لاینفک سیستم قیاسی است، این استدلال است که نشان می دهد صدق یک گزاره به طور منطقی از صدق قضایا یا بدیهیات قبلی پیروی می کند.

  در یک سیستم قیاسی، دو سؤال قابل حل نیست: 1) در مورد معنای مفاهیم اساسی، 2) در مورد صدق بدیهیات. اما این بدان معنا نیست که این سؤالات به طور کلی غیرقابل حل هستند.

  تاریخ علوم طبیعی نشان می دهد که امکان ساخت بدیهی یک علم خاص تنها در سطح نسبتاً بالایی از توسعه این علم، بر اساس مقدار زیادی از مطالب واقعی ظاهر می شود، که این امکان را به وضوح می دهد که اصلی ترین آنها را شناسایی کند. ارتباطات و روابطی که بین اشیاء مورد مطالعه این علم وجود دارد.

  نمونه ای از ساخت بدیهی علم ریاضی هندسه ابتدایی است. سیستم بدیهیات هندسه توسط اقلیدس (حدود 300 سال قبل از میلاد) در اثر "آغاز" بی‌نظیر در اهمیت خود توضیح داده شد. این سیستم تا حد زیادی تا به امروز زنده مانده است.

  مفاهیم اساسی: نقطه، خط، صفحه تصاویر اساسی. دراز کشیدن، تعلق داشتن، حرکت کردن

  هندسه ابتدایی 13 اصل دارد که به پنج گروه تقسیم می شوند. در گروه پنجم، یک اصل در مورد موازی ها وجود دارد (فرض اقلیدس V): از طریق نقطه ای از یک صفحه، فقط یک خط مستقیم می توان رسم کرد که این خط مستقیم را قطع نمی کند. این تنها بدیهی است که باعث نیاز به اثبات شده است. تلاش برای اثبات فرض پنجم ریاضیدانان را برای بیش از 2 هزار سال، تا نیمه اول قرن نوزدهم، به خود مشغول کرد، یعنی. تا لحظه ای که نیکولای ایوانوویچ لوباچفسکی در نوشته های خود ناامیدی کامل این تلاش ها را ثابت کرد. در حال حاضر، غیر قابل اثبات بودن اصل پنجم یک واقعیت ریاضی کاملاً اثبات شده است.

  اصل موضوع در مورد N.I موازی لوباچفسکی بدیهی را جایگزین کرد: بگذارید یک خط مستقیم و یک نقطه خارج از خط مستقیم در یک صفحه مشخص داده شود. از طریق این نقطه، حداقل دو خط موازی را می توان به خط داده شده رسم کرد.

  از سیستم جدید بدیهیات N.I. لوباچفسکی، با دقت منطقی بی عیب و نقص، سیستم منسجمی از قضایا را استنباط کرد که محتوای هندسه نااقلیدسی را تشکیل می دهد. هر دو هندسه اقلیدس و لوباچفسکی به عنوان سیستم های منطقی برابر هستند.

  سه ریاضیدان بزرگ در قرن نوزدهم تقریباً به طور همزمان، مستقل از یکدیگر، به نتایج یکسانی از اثبات ناپذیر بودن اصل پنجم و ایجاد هندسه غیراقلیدسی رسیدند.

  نیکولای ایوانوویچ لوباچفسکی (1792-1856)

  کارل فردریش گاوس (1777-1855)

  یانوس بولیای (1802-1860)

  اثبات ریاضی

• روش اصلی در تحقیقات ریاضی، اثبات ریاضی - استدلال منطقی دقیق است. به موجب ضرورت عینی، عضو مسئول آکادمی علوم روسیه L.D. Kudryavtsev Kudryavtsev L.D. - ریاضیات مدرن و آموزش آن، مسکو، ناوکا، 1985، استدلال منطقی (که طبیعتاً اگر درست باشد، دقیق نیز هست) روشی از ریاضیات است، ریاضیات بدون آنها غیرقابل تصور است. باید توجه داشت که تفکر ریاضی محدود به استدلال منطقی نیست. برای فرمول بندی صحیح مسئله، برای ارزیابی داده های آن، برای انتخاب موارد قابل توجه از آنها و برای انتخاب روشی برای حل آن، شهود ریاضی نیز لازم است که امکان پیش بینی نتیجه مطلوب را قبل از آن فراهم می کند. به دست آمده است تا با کمک استدلال قابل قبول، مسیر تحقیق را ترسیم کنیم. اما اعتبار واقعیت مورد بررسی نه با بررسی آن بر روی تعدادی مثال، نه با انجام تعدادی آزمایش (که به خودی خود نقش مهمی در تحقیقات ریاضی دارد) بلکه به روشی کاملاً منطقی ثابت می شود. قوانین منطق رسمی

  اعتقاد بر این است که اثبات ریاضی حقیقت نهایی است. تصمیمی که مبتنی بر منطق محض است به سادگی نمی تواند اشتباه باشد. اما با پیشرفت علم و انجام وظایف پیش روی ریاضیدانان پیچیده تر و پیچیده تر می شود.

  کیت دولین از دانشگاه استنفورد، کالیفرنیا، ایالات متحده معتقد است: «ما وارد عصری شده‌ایم که دستگاه ریاضی آنقدر پیچیده و دست و پا گیر شده است که در نگاه اول دیگر نمی‌توان گفت که آیا مشکل پیش‌آمده درست است یا نه. او به عنوان مثال «طبقه‌بندی گروه‌های محدود ساده» را ذکر می‌کند که در سال 1980 فرمول‌بندی شد، اما هنوز دلیل دقیق کاملی ارائه نشده است. به احتمال زیاد، این قضیه درست است، اما نمی توان با اطمینان در این مورد صحبت کرد.

  یک راه حل کامپیوتری را نیز نمی توان دقیق نامید، زیرا چنین محاسباتی همیشه دارای خطا هستند. در سال 1998، هیلز یک راه حل به کمک کامپیوتر برای قضیه کپلر ارائه کرد که در سال 1611 فرموله شد. این قضیه متراکم ترین بسته بندی توپ ها را در فضا توصیف می کند. این اثبات در 300 صفحه ارائه شد و حاوی 40000 خط کد ماشین بود. 12 بازبینی راه حل را به مدت یک سال بررسی کردند، اما هرگز به صحت اثبات 100% اطمینان نداشتند و مطالعه برای تجدید نظر ارسال شد. در نتیجه تنها پس از چهار سال و بدون تایید کامل داوران منتشر شد.

  تمام آخرین محاسبات برای مسائل کاربردی در رایانه انجام می شود، اما دانشمندان معتقدند که برای اطمینان بیشتر، محاسبات ریاضی باید بدون خطا ارائه شوند.

  نظریه برهان در منطق توسعه یافته و شامل سه جزء ساختاری است: پایان نامه (آنچه قرار است اثبات شود)، استدلال (مجموعه ای از حقایق، مفاهیم عمومی پذیرفته شده، قوانین و غیره علم مربوطه) و اثبات (رویه برای اثبات). به کارگیری خود شواهد؛ زنجیره ای ثابت از استنتاج ها زمانی که استنتاج n به یکی از مقدمات استنتاج n+1 تبدیل می شود. قواعد اثبات متمایز شده است، خطاهای منطقی احتمالی نشان داده شده است.

  اثبات ریاضی شباهت زیادی با اصولی دارد که توسط منطق رسمی ایجاد شده است. علاوه بر این، قواعد ریاضی استدلال و عملیات بدیهی است که به عنوان یکی از پایه های توسعه روش اثبات در منطق عمل کرده است. به ویژه محققان تاریخ شکل گیری منطق صوری معتقدند زمانی که ارسطو اولین گام ها را برای ایجاد قوانین و قواعد منطق برداشت، به ریاضیات و انجام فعالیت های حقوقی روی آورد. در این منابع، او مطالبی را برای ساختارهای منطقی نظریه تصور شده یافت.

  در قرن بیستم، مفهوم اثبات معنای دقیق خود را از دست داد، که در ارتباط با کشف پارادوکس های منطقی نهفته در نظریه مجموعه ها و به ویژه در ارتباط با نتایجی که قضایای K. Godel در مورد ناقص بودن رسمیت به ارمغان آورد، اتفاق افتاد.

  اول از همه، این خود ریاضیات را تحت تأثیر قرار داد، در رابطه با آن اعتقاد بر این بود که اصطلاح "اثبات" تعریف دقیقی ندارد. اما اگر چنین نظری (که امروز هم وجود دارد) خود ریاضیات را تحت تأثیر قرار می دهد، به این نتیجه می رسند که اثبات را نه به معنای منطقی-ریاضی، بلکه به معنای روانشناختی آن باید پذیرفت. علاوه بر این، دیدگاه مشابهی در خود ارسطو نیز یافت می‌شود که معتقد بود اثبات به معنای انجام استدلالی است که ما را به حدی متقاعد کند که با استفاده از آن، دیگران را به درستی چیزی متقاعد کنیم. ما سایه خاصی از رویکرد روانشناختی را در A.E. Yesenin-Volpin می یابیم. او به شدت با پذیرش حقیقت بدون دلیل مخالفت می کند و آن را با عمل ایمانی پیوند می زند و در ادامه می نویسد: من اثبات حکم را روشی صادقانه می نامم که این حکم را غیرقابل انکار می کند. Yesenin-Volpin گزارش می دهد که تعریف او هنوز باید روشن شود. در عین حال، آیا خود توصیف شواهد به عنوان یک «روش صادقانه» به توسل به ارزیابی اخلاقی-روانشناختی خیانت نمی کند؟

  در عین حال، کشف پارادوکس‌های نظریه مجموعه‌ها و ظهور قضایای گودل فقط به توسعه نظریه اثبات ریاضی که توسط شهودگرایان، به‌ویژه جهت سازه‌گرایی و دی. هیلبرت انجام شد، کمک کرد.

  گاهی اوقات اعتقاد بر این است که اثبات ریاضی جهانی است و یک نسخه ایده آل از اثبات علمی را نشان می دهد. با این حال، این تنها روش نیست؛ روش‌های دیگری از رویه‌ها و عملیات مبتنی بر شواهد وجود دارد. این درست است که اثبات ریاضی با برهان صوری-منطقی اجرا شده در علوم طبیعی اشتراکات زیادی دارد و برهان ریاضی دارای مشخصات خاصی و همچنین مجموعه تکنیک ها-عملیات است. اینجاست که متوقف می‌شویم و کلیاتی را که آن را به سایر اشکال شواهد مرتبط می‌کند، یعنی بدون گسترش الگوریتم، قوانین، خطاها و غیره در همه مراحل (حتی مراحل اصلی) حذف می‌کنیم. فرآیند اثبات

  برهان ریاضی استدلالی است که وظیفه آن اثبات صدق (البته از نظر ریاضی، یعنی استنتاج پذیری) یک گزاره است.

  مجموعه قواعد مورد استفاده در اثبات همراه با ظهور ساختارهای بدیهی نظریه ریاضی شکل گرفت. این به وضوح و به طور کامل در هندسه اقلیدس درک شد. "اصول" او به نوعی استاندارد مدل برای سازماندهی بدیهی دانش ریاضی تبدیل شد و برای مدت طولانی برای ریاضیدانان چنین بود.

  اظهاراتی که در قالب یک توالی خاص ارائه می شود باید نتیجه ای را تضمین کند که با رعایت قوانین عملیات منطقی، اثبات شده تلقی می شود. باید تاکید کرد که استدلال معینی فقط در مورد برخی از نظام بدیهی اثبات است.

  هنگام مشخص کردن یک اثبات ریاضی، دو ویژگی اصلی متمایز می شود. اول از همه، این واقعیت که اثبات ریاضی هرگونه ارجاع به شواهد تجربی را مستثنی می کند. کل روش برای اثبات صدق نتیجه گیری در چارچوب بدیهیات پذیرفته شده انجام می شود. آکادمیسین A.D. Aleksandrov در این زمینه تأکید می کند. می توانید زوایای یک مثلث را هزاران بار اندازه بگیرید و مطمئن شوید که آنها برابر با 2d هستند. اما ریاضی چیزی را ثابت نمی کند. اگر گزاره فوق را از بدیهیات استنباط کنید به او ثابت خواهید کرد. تکرار کنیم. در اینجا ریاضیات به روش های مکتب گرایی نزدیک است، که همچنین اساساً استدلال با واقعیت های تجربی داده شده را رد می کند.

  به عنوان مثال، هنگامی که قیاس ناپذیری بخش ها کشف شد، هنگام اثبات این قضیه، توسل به آزمایش فیزیکی منتفی شد، زیرا اولاً، خود مفهوم "قیاس ناپذیری" فاقد معنای فیزیکی است، و ثانیا، ریاضیدانان نمی توانند، وقتی با انتزاع سروکار داریم، برای کمک به مواد افزودنی بتن، قابل اندازه‌گیری با دستگاه حسی-بصری. قیاس ناپذیری، به ویژه، ضلع و مورب یک مربع، بر اساس خاصیت اعداد صحیح با استفاده از قضیه فیثاغورث در برابری مجذور فرضیه (به ترتیب، مورب) به مجموع مربعات ثابت می شود. پاها (دو ضلع مثلث قائم الزاویه). یا زمانی که لوباچفسکی با اشاره به نتایج مشاهدات نجومی به دنبال تأییدی برای هندسه خود بود، آنگاه این تأیید توسط او با ماهیت صرفاً نظری انجام شد. تفاسیر کیلی کلاین و بلترامی از هندسه غیر اقلیدسی نیز معمولاً دارای اشیاء ریاضی بود تا فیزیکی.

  دومین ویژگی اثبات ریاضی بالاترین انتزاع بودن آن است که در آن با روش های اثبات در سایر علوم تفاوت دارد. و باز، مانند مفهوم یک شیء ریاضی، فقط در مورد درجه انتزاع نیست، بلکه مربوط به ماهیت آن است. واقعیت این است که اثبات در تعدادی از علوم دیگر، به عنوان مثال، در فیزیک، کیهان شناسی و البته در فلسفه به سطح بالایی از انتزاع می رسد، زیرا مسائل نهایی وجود و تفکر موضوع دومی می شود. از سوی دیگر، ریاضیات با این واقعیت متمایز می شود که متغیرهایی در اینجا کار می کنند که معنای آنها در انتزاع از هر ویژگی خاص است. به یاد داشته باشید که طبق تعریف، متغیرها نشانه هایی هستند که به خودی خود هیچ معنائی ندارند و تنها زمانی که نام اشیاء معینی جایگزین آن ها می شود (متغیرهای فردی) یا زمانی که ویژگی ها و روابط خاصی نشان داده می شوند (متغیرهای محمول) یا در نهایت، دومی را به دست می آورند. ، در موارد جایگزینی متغیر با گزاره معنادار (متغیر گزاره ای).

  ویژگی ذکر شده ماهیت انتزاعی بودن شدید علائم مورد استفاده در اثبات ریاضی و همچنین عباراتی را تعیین می کند که به دلیل گنجاندن متغیرها در ساختار آنها به گزاره تبدیل می شوند.

  خود روش اثبات، که در منطق به عنوان یک اثبات تعریف می شود، بر اساس قواعد استنتاج پیش می رود که بر اساس آن گذار از یک گزاره اثبات شده به گزاره دیگر انجام می شود و زنجیره ای ثابت از استنتاج ها را تشکیل می دهد. رایج ترین آنها دو قاعده (جایگزینی و استنتاج نتیجه گیری) و قضیه قیاس هستند.

  قانون جایگزینی در ریاضیات، جایگزینی به عنوان جایگزینی هر یک از عناصر a یک مجموعه داده شده با عنصر دیگری F(a) از همان مجموعه تعریف می شود. در منطق ریاضی، قاعده جانشینی به صورت زیر تنظیم می شود. اگر یک فرمول واقعی M در حساب گزاره‌ای حاوی یک حرف باشد، مثلاً A، با جایگزین کردن آن با یک حرف دلخواه D در هر جایی که اتفاق می‌افتد، فرمولی به دست می‌آید که همان فرمول اصلی نیز صادق است. این دقیقاً به این دلیل امکان پذیر است و قابل قبول است که در حساب گزاره ها از معنای گزاره ها (فرمول ها) انتزاع می شود... فقط مقادیر «درست» یا «نادرست» در نظر گرفته می شود. به عنوان مثال، در فرمول M: A--> (BUA) عبارت (AUB) را به جای A جایگزین می کنیم، در نتیجه یک فرمول جدید (AUB) -->[(BU(AUB) ] دریافت می کنیم.

  قاعده استنباط نتیجه‌گیری با ساختار قیاس مقوله‌ای مشروط modus ponens (حالت تأییدی) در منطق رسمی مطابقت دارد. به نظر می رسد این است:

  آ .

  با توجه به یک گزاره (a-> b) و همچنین داده شده است. ب دنبال می شود.

  به عنوان مثال: اگر باران می بارد، سنگفرش خیس است، باران می بارد (الف)، بنابراین، سنگفرش خیس است (ب). در منطق ریاضی این قیاس به صورت (a-> b) a-> b نوشته می شود.

  استنتاج، به عنوان یک قاعده، با جداسازی برای دلالت تعیین می شود. اگر دلالت (الف-> ب) و مقدم آن (الف) آورده شود، حق داریم نتیجه این دلالت (ب) را نیز به استدلال (برهان) اضافه کنیم. قیاس گرایی اجباری است و زرادخانه ای از ابزارهای اثبات قیاسی را تشکیل می دهد، یعنی کاملاً الزامات استدلال ریاضی را برآورده می کند.

  نقش مهمی در اثبات ریاضی توسط قضیه استنتاج ایفا می کند - نام کلی برای تعدادی از قضایا، که روش آن امکان اثبات پذیری استلزام را فراهم می کند: A-> B، زمانی که یک اشتقاق منطقی از قضیه وجود داشته باشد. فرمول B از فرمول A. در رایج ترین نسخه حساب گزاره ای (در ریاضیات کلاسیک، شهودی و سایر انواع ریاضیات)، قضیه استنتاج موارد زیر را بیان می کند. اگر سیستمی از مقدمات G و یک مقدمه A داده شود که طبق قوانین، B G، A B (- علامت مشتق پذیری) از آن استنتاج شود، نتیجه می شود که فقط از مقدمات G می توان جمله A را به دست آورد. --> B.

  نوع را در نظر گرفتیم که دلیل مستقیم است. در عین حال، به اصطلاح شواهد غیرمستقیم نیز در منطق استفاده می‌شود؛ شواهد غیرمستقیم نیز وجود دارند که طبق طرح زیر به کار می‌روند. به دلایل متعددی (دست نیافتن به موضوع مورد مطالعه، از بین رفتن واقعیت وجود آن و غیره) فرصت اثبات مستقیم صحت هر گزاره، پایان نامه ای را ندارند، ضدیت می سازند. آنها متقاعد شده اند که ضد تضاد منجر به تناقض می شود، و بنابراین، نادرست است. سپس از حقیقت نادرستی ضد تز - بر اساس قانون وسط حذف شده (a v) - نتیجه گیری در مورد صدق تز می شود.

  در ریاضیات، یکی از اشکال اثبات غیرمستقیم به طور گسترده استفاده می شود - اثبات از طریق تضاد. به ویژه در پذیرش مفاهیم و مفاد بنیادی ریاضی، به عنوان مثال، مفهوم بی نهایت واقعی که به هیچ وجه نمی توان آن را معرفی کرد، بسیار ارزشمند و در واقع ضروری است.

  عمل اثبات با تناقض در منطق ریاضی به صورت زیر نمایش داده می شود. دنباله ای از فرمول های G و نفی A (G , A). اگر این دلالت بر B و نفی آن داشته باشد (G، A B، غیر B)، آنگاه می‌توان نتیجه گرفت که صدق A از دنباله فرمول‌های G به دست می‌آید. .

  منابع:

• 1. N. Sh. Kremer, B. A. Putko, I. M. Trishin, M. N. Fridman, Higher Mathematics for Economists, کتاب درسی, مسکو, 2002;

  2. L.D. Kudryavtsev، ریاضیات مدرن و آموزش آن، مسکو، ناوکا، 1985;

  3. O. I. Larichev، مدلهای عینی و تصمیمات ذهنی، مسکو، ناوکا، 1987;

  4. A.Ya.Halamizer، «ریاضیات؟ - خنده دار است! "، نسخه نویسنده، 1989;

  5. P.K. Rashevsky، هندسه ریمانی و تحلیل تانسور، مسکو، چاپ سوم، 1967;

  6. V.E. Gmurman، نظریه احتمال و آمار ریاضی، مسکو، مدرسه عالی، 1977;

  7. شبکه جهانی اینترنت.

ویژگی های ایده آل اشیاء مورد مطالعه یا به عنوان بدیهیات فرموله می شوند یا در تعریف اشیاء ریاضی مربوطه فهرست می شوند. سپس طبق قواعد دقیق استنتاج منطقی، سایر خصوصیات حقیقی (قضیه ها) از این ویژگی ها استنتاج می شود. این نظریه با هم یک مدل ریاضی از شی مورد مطالعه را تشکیل می دهد. بنابراین، ریاضیات در ابتدا از روابط فضایی و کمی، روابط انتزاعی تری به دست می آورد که بررسی آن موضوع ریاضیات مدرن نیز می باشد.

به طور سنتی، ریاضیات به نظری تقسیم می شود که تجزیه و تحلیل عمیق ساختارهای درون ریاضی را انجام می دهد و کاربردی که مدل های خود را در اختیار سایر علوم و رشته های مهندسی قرار می دهد و برخی از آنها موقعیتی هم مرز با ریاضیات را اشغال می کنند. بویژه می توان منطق صوری را هم جزء علوم فلسفی و هم جزء علوم ریاضی دانست; مکانیک - هم فیزیک و هم ریاضیات؛ علوم کامپیوتر، فناوری کامپیوتر و الگوریتم به هر دو علوم مهندسی و ریاضی و غیره اشاره دارد. تعاریف مختلفی از ریاضیات در ادبیات ارائه شده است.

علم اشتقاق لغات

کلمه "ریاضیات" از یونانی دیگر آمده است. μάθημα، یعنی مطالعه, دانش, علمو غیره - یونانی. μαθηματικός، در اصل به معنای پذیرا، پربار، بعد قابل مطالعه، متعاقبا مربوط به ریاضیات. به خصوص، μαθηματικὴ τέχνη ، در لاتین ars mathematica، به معنای هنر ریاضی. اصطلاح یونانی دیگر. μᾰθημᾰτικά به معنای امروزی کلمه "ریاضیات" قبلاً در نوشته های ارسطو (قرن چهارم قبل از میلاد) یافت می شود. به گفته فاسمر، این کلمه یا از طریق لهستانی وارد زبان روسی شده است. matematyka یا از طریق lat. ریاضیات

تعاریف

یکی از اولین تعاریف موضوع ریاضی توسط دکارت ارائه شد:

رشته ریاضی فقط شامل آن دسته از علومی می شود که در آنها ترتیب یا اندازه در نظر گرفته می شود و اصلاً فرقی نمی کند که اینها اعداد، ارقام، ستارگان، صداها یا هر چیز دیگری باشد که این معیار در آن جستجو می شود. بنابراین، باید یک علم کلی وجود داشته باشد که همه چیز مربوط به نظم و اندازه را بدون ورود به مطالعه موضوعات خاصی توضیح دهد و این علم را نه با نام خارجی، بلکه با نام قدیمی و از قبل رایج ریاضیات عمومی نامید.

ماهیت ریاضیات ... اکنون به عنوان آموزه ای از روابط بین اشیاء ارائه می شود که هیچ چیز در مورد آنها معلوم نیست، به جز برخی از ویژگی هایی که آنها را توصیف می کنند - دقیقاً آنهایی که به عنوان بدیهیات در اساس نظریه قرار می گیرند ... ریاضیات مجموعه ای از اشکال انتزاعی - ساختارهای ریاضی.

شاخه های ریاضی

1. ریاضیات به عنوان رشته تحصیلی

نشانه گذاری

از آنجایی که ریاضیات با ساختارهای بسیار متنوع و نسبتاً پیچیده سروکار دارد، نمادگذاری آن نیز بسیار پیچیده است. سیستم مدرن فرمول های نوشتاری بر اساس سنت جبری اروپایی و همچنین نیازهای شاخه های بعدی ریاضیات - آنالیز ریاضی، منطق ریاضی، نظریه مجموعه ها و غیره شکل گرفت. هندسه از زمان از نمایش تصویری (هندسی) استفاده کرده است. به یاد ماندنی در ریاضیات مدرن، سیستم‌های نشان‌گذاری گرافیکی پیچیده (مثلاً نمودارهای جابجایی) نیز رایج هستند و نمادهای مبتنی بر نمودارها نیز اغلب استفاده می‌شوند.

داستان کوتاه

فلسفه ریاضیات

اهداف و روش ها

فضا R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))، در n > 3 (\displaystyle n>3)یک اختراع ریاضی است با این حال، یک اختراع بسیار مبتکرانه که به درک ریاضی پدیده های پیچیده کمک می کند».

پایه ها

شهودگرایی

ریاضیات سازنده

روشن کردن

موضوع اصلی

تعداد

بخش اصلی که به انتزاع کمیت می پردازد جبر است. مفهوم "عدد" در اصل از نمایش های حسابی سرچشمه گرفته و به اعداد طبیعی اطلاق می شود. بعدها با کمک جبر به تدریج به اعداد صحیح، گویا، حقیقی، مختلط و غیره تعمیم یافت.

1 , − 1 , 1 2 , 2 3 , 0 , 12 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;(\frac (2)(3) ),\;0(,)12,\;\ldots ) اعداد گویا 1 , − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 2 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12,\; \pi ,\;(\sqrt (2))،\;\ldots ) اعداد واقعی − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 i + 2 , e i π / 3 , … (\displaystyle -1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12, \;\pi ,\;3i+2,\;e^(i\pi /3),\;\ldots ) 1 , i , j , k , π j − 1 2 k , … (\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-(\frac (1)(2))k ,\;\dots ) اعداد مختلط کواترنیون ها

تحولات

پدیده های دگرگونی ها و تغییرات در کلی ترین شکل با تجزیه و تحلیل در نظر گرفته می شوند.

سازه های

روابط فضایی

هندسه مبانی روابط فضایی را در نظر می گیرد. مثلثات خواص توابع مثلثاتی را در نظر می گیرد. مطالعه اجسام هندسی از طریق تحلیل ریاضی با هندسه دیفرانسیل سروکار دارد. خواص فضاهایی که تحت تغییر شکل های پیوسته بدون تغییر باقی می مانند و خود پدیده پیوستگی توسط توپولوژی مورد مطالعه قرار می گیرد.

ریاضی گسسته

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\arrow P(x)))

ریاضیات برای مدت بسیار طولانی وجود داشته است. انسان میوه ها را جمع آوری کرد، میوه ها را بیرون آورد، ماهی گرفت و همه آنها را برای زمستان ذخیره کرد. برای درک اینکه چقدر غذا ذخیره می شود، شخصی حساب را اختراع کرد. ریاضیات اینگونه آغاز شد.

سپس مرد شروع به کشاورزی کرد. اندازه گیری قطعات زمین، ساختن مسکن، اندازه گیری زمان ضروری بود.

یعنی لازم شد انسان از نسبت کمی دنیای واقعی استفاده کند. تعیین کنید چه مقدار محصول برداشت شده است، اندازه قطعه ساختمانی چقدر است، یا مساحت آسمان با تعداد مشخصی از ستاره های درخشان چقدر است.

علاوه بر این، شخصی شروع به تعیین اشکال کرد: خورشید گرد است، جعبه مربع است، دریاچه بیضی شکل است و این اشیاء چگونه در فضا قرار دارند. یعنی شخصی به اشکال فضایی دنیای واقعی علاقه مند شد.

بنابراین مفهوم ریاضیمی توان آن را علم روابط کمی و اشکال فضایی دنیای واقعی تعریف کرد.

در حال حاضر، هیچ حرفه ای وجود ندارد که بتوان بدون ریاضیات انجام داد. کارل فردریش گاوس، ریاضیدان معروف آلمانی که به او "پادشاه ریاضیات" می گفتند، یک بار گفت:

"ریاضی ملکه علوم است و حساب ملکه ریاضیات."

کلمه "حساب" از کلمه یونانی "arithmos" - "عدد" گرفته شده است.

به این ترتیب، حسابیشاخه ای از ریاضیات است که اعداد و عملیات روی آنها را مطالعه می کند.

در دبستان اول از همه حساب می خوانند.

این علم چگونه توسعه یافت، بیایید این موضوع را بررسی کنیم.

دوره تولد ریاضیات

دوره اصلی انباشت دانش ریاضی را زمان قبل از قرن پنجم قبل از میلاد می دانند.

اولین کسی که شروع به اثبات مواضع ریاضی کرد، یک متفکر یونان باستان بود که در قرن هفتم قبل از میلاد، احتمالاً 625-545 زندگی می کرد. این فیلسوف در کشورهای شرق سفر کرد. سنت می گوید که او نزد کاهنان مصری و کلدانیان بابلی درس خوانده است.

تالس میلتوس اولین مفاهیم هندسه ابتدایی را از مصر به یونان آورد: قطر چیست، مثلث چیست و غیره. او خورشید گرفتگی را پیش بینی کرد و سازه های مهندسی طراحی کرد.

در این دوره، حساب به تدریج توسعه می یابد، نجوم و هندسه توسعه می یابد. جبر و مثلثات متولد می شوند.

دوره ریاضیات ابتدایی

این دوره با ششم قبل از میلاد آغاز می شود. اکنون ریاضیات به عنوان یک علم با نظریه ها و برهان ها در حال ظهور است. نظریه اعداد، آموزه کمیت ها، اندازه گیری آنها ظاهر می شود.

مشهورترین ریاضیدان این زمان اقلیدس است. او در قرن سوم قبل از میلاد زندگی می کرد. این مرد نویسنده اولین رساله نظری در ریاضیات است که به ما رسیده است.

در آثار اقلیدس، مبانی به اصطلاح هندسه اقلیدسی آورده شده است - اینها بدیهیاتی هستند که بر مفاهیم اساسی، مانند.

در دوره ابتدایی ریاضیات، نظریه اعداد و همچنین آموزه کمیت ها و اندازه گیری آنها متولد شد. برای اولین بار اعداد منفی و غیر منطقی ظاهر می شوند.

در پایان این دوره، ایجاد جبر، به عنوان یک حساب لفظی، مشاهده می شود. خود علم «جبر» در میان اعراب به عنوان علم حل معادلات ظاهر می شود. واژه جبر در زبان عربی به معنای «بازیابی» است، یعنی انتقال مقادیر منفی به قسمت دیگری از معادله.

دوره ریاضی متغیرها

بنیانگذار این دوره رنه دکارت است که در قرن هفدهم میلادی می زیست. دکارت در نوشته های خود برای اولین بار مفهوم متغیر را مطرح می کند.

به لطف این، دانشمندان از مطالعه کمیت های ثابت به مطالعه روابط بین متغیرها و به توصیف ریاضی حرکت می روند.

فردریش انگلس این دوره را به وضوح توصیف کرد و در نوشته های خود نوشت:

«نقطه عطف در ریاضیات متغیر دکارتی بود. به لطف این، حرکت و در نتیجه دیالکتیک وارد ریاضیات شد و به لطف آن، حساب دیفرانسیل و انتگرال بلافاصله ضروری شد، که بلافاصله به وجود می آید، و به طور کلی تکمیل شد، و نیوتن و لایب نیتس آن را اختراع نکردند.

دوره ریاضیات مدرن

در دهه 20 قرن 19، نیکولای ایوانوویچ لوباچفسکی بنیانگذار هندسه به اصطلاح غیر اقلیدسی شد.

از این لحظه توسعه مهم ترین بخش های ریاضیات مدرن آغاز می شود. مانند نظریه احتمال، نظریه مجموعه ها، آمار ریاضی و غیره.

همه این اکتشافات و مطالعات به طور گسترده در زمینه های مختلف علمی استفاده می شود.

و در حال حاضر، علم ریاضیات به سرعت در حال توسعه است، موضوع ریاضیات در حال گسترش است، شامل اشکال و روابط جدید، قضایای جدید در حال اثبات است و مفاهیم اساسی در حال تعمیق است.

ویژگی های ایده آل اشیاء مورد مطالعه یا به عنوان بدیهیات فرموله می شوند یا در تعریف اشیاء ریاضی مربوطه فهرست می شوند. سپس طبق قواعد دقیق استنتاج منطقی، سایر خصوصیات حقیقی (قضیه ها) از این ویژگی ها استنتاج می شود. این نظریه با هم یک مدل ریاضی از شی مورد مطالعه را تشکیل می دهد. بنابراین، ریاضیات در ابتدا با تکیه بر روابط فضایی و کمی، روابط انتزاعی تری به دست می آورد که بررسی آن موضوع ریاضیات مدرن نیز می باشد.

به طور سنتی، ریاضیات به نظری تقسیم می شود که تجزیه و تحلیل عمیق ساختارهای درون ریاضی را انجام می دهد و کاربردی که مدل های خود را در اختیار سایر علوم و رشته های مهندسی قرار می دهد و برخی از آنها موقعیتی هم مرز با ریاضیات را اشغال می کنند. بویژه می توان منطق صوری را هم جزء علوم فلسفی و هم جزء علوم ریاضی دانست; مکانیک - هم فیزیک و هم ریاضیات؛ علوم کامپیوتر، فناوری کامپیوتر و الگوریتم به هر دو علوم مهندسی و ریاضی و غیره اشاره دارد. تعاریف مختلفی از ریاضیات در ادبیات ارائه شده است (نگاه کنید به).

علم اشتقاق لغات

کلمه "ریاضیات" از یونانی دیگر آمده است. ماتم ( ریاضی) یعنی مطالعه, دانش, علمو غیره - یونانی. دانش آموزی ( ریاضیات) در اصل به معنای پذیرا، پربار، بعد قابل مطالعه، متعاقبا مربوط به ریاضیات. به خصوص، μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē، در لاتین ars mathematica، به معنای هنر ریاضی.

تعاریف

رشته ریاضی فقط شامل آن دسته از علومی می شود که در آنها ترتیب یا اندازه در نظر گرفته می شود و اصلاً فرقی نمی کند که اینها اعداد، ارقام، ستارگان، صداها یا هر چیز دیگری باشد که این معیار در آن جستجو می شود. بنابراین، باید یک علم کلی وجود داشته باشد که همه چیز مربوط به نظم و اندازه را بدون ورود به مطالعه موضوعات خاصی توضیح دهد و این علم را نه با نام خارجی، بلکه با نام قدیمی و از قبل رایج ریاضیات عمومی نامید.

در زمان شوروی، تعریف TSB ارائه شده توسط A.N. Kolmogorov کلاسیک در نظر گرفته شد:

ریاضیات ... علم روابط کمی و اشکال فضایی دنیای واقعی.

ماهیت ریاضیات ... اکنون به عنوان آموزه ای از روابط بین اشیاء ارائه می شود که هیچ چیز در مورد آنها معلوم نیست، به جز برخی از ویژگی هایی که آنها را توصیف می کنند - دقیقاً آنهایی که به عنوان بدیهیات در اساس نظریه قرار می گیرند ... ریاضیات مجموعه ای از اشکال انتزاعی - ساختارهای ریاضی.

در اینجا چند تعاریف مدرن تر وجود دارد.

ریاضیات نظری مدرن ("محض") علم ساختارهای ریاضی، متغیرهای ریاضی سیستم ها و فرآیندهای مختلف است.

ریاضیات علمی است که توانایی محاسبه مدل هایی را فراهم می کند که می توانند به شکل استاندارد (متعارف) کاهش یابند. علم یافتن راه حل برای مدل های تحلیلی (تحلیل) با استفاده از دگرگونی های صوری.

شاخه های ریاضی

1. ریاضیات به عنوان رشته تحصیلیدر فدراسیون روسیه به ریاضیات ابتدایی که در دبیرستان تحصیل می شود و توسط رشته های زیر تشکیل می شود تقسیم می شود:

• هندسه ابتدایی: پلان سنجی و استریومتری
• نظریه توابع اولیه و عناصر تجزیه و تحلیل

4. انجمن ریاضی آمریکا (AMS) استاندارد خود را برای طبقه بندی شاخه های ریاضیات ایجاد کرده است. به آن طبقه بندی موضوع ریاضیات می گویند. این استاندارد به صورت دوره ای به روز می شود. نسخه فعلی MSC 2010 است. نسخه قبلی MSC 2000 است.

نشانه گذاری

با توجه به این واقعیت که ریاضیات با ساختارهای بسیار متنوع و نسبتاً پیچیده سروکار دارد، نمادگذاری نیز بسیار پیچیده است. سیستم مدرن فرمول های نوشتن بر اساس سنت جبری اروپایی و همچنین تجزیه و تحلیل ریاضی (مفهوم تابع، مشتق و غیره) شکل گرفت. از زمان های بسیار قدیم، هندسه از نمایش تصویری (هندسی) استفاده می کرده است. در ریاضیات مدرن، سیستم‌های نشان‌گذاری گرافیکی پیچیده (مثلاً نمودارهای جابجایی) نیز رایج هستند و نمادهای مبتنی بر نمودارها نیز اغلب استفاده می‌شوند.

داستان کوتاه

توسعه ریاضیات بر نوشتن و توانایی نوشتن اعداد متکی است. احتمالاً مردم باستان ابتدا کمیت را با کشیدن خطوط روی زمین یا خراشیدن آنها روی چوب بیان می کردند. اینکاهای باستانی که هیچ سیستم نوشتاری دیگری نداشتند، داده های عددی را با استفاده از یک سیستم پیچیده از گره های طناب، به اصطلاح کیپو، نمایش و ذخیره می کردند. سیستم های اعداد مختلفی وجود داشت. اولین رکوردهای شناخته شده از اعداد در پاپیروس اهمس، ساخته شده توسط مصریان پادشاهی میانه یافت شد. تمدن هند سیستم اعداد اعشاری مدرن را با مفهوم صفر توسعه داد.

از نظر تاریخی، رشته‌های اصلی ریاضی تحت تأثیر نیاز به انجام محاسبات در زمینه تجاری، در اندازه‌گیری زمین و پیش‌بینی پدیده‌های نجومی و بعداً برای حل مسائل فیزیکی جدید پدیدار شدند. هر یک از این حوزه ها نقش بزرگی در توسعه گسترده ریاضیات ایفا می کنند که شامل مطالعه ساختارها، فضاها و تغییرات است.

فلسفه ریاضیات

اهداف و روش ها

ریاضیات اشیاء خیالی و ایده آل و روابط بین آنها را با استفاده از زبان رسمی مطالعه می کند. به طور کلی، مفاهیم و قضایای ریاضی لزوماً با هیچ چیز در جهان فیزیکی مطابقت ندارند. وظیفه اصلی شاخه کاربردی ریاضیات ایجاد یک مدل ریاضی است که به اندازه کافی برای شی واقعی مورد مطالعه کافی باشد. وظیفه ریاضیدان نظری این است که مجموعه کافی از وسایل مناسب برای دستیابی به این هدف را فراهم کند.

محتوای ریاضیات را می توان به عنوان سیستمی از مدل های ریاضی و ابزار ایجاد آنها تعریف کرد. مدل شی همه ویژگی‌های آن را در نظر نمی‌گیرد، بلکه تنها ضروری‌ترین آنها را برای اهداف مطالعه (ایده‌آلی‌شده) در نظر می‌گیرد. به عنوان مثال، هنگام مطالعه خواص فیزیکی یک پرتقال، می توانیم از رنگ و طعم آن انتزاعی بگیریم و آن را (البته نه کاملاً دقیق) به عنوان یک توپ نشان دهیم. اگر لازم باشد بفهمیم که اگر دو و سه را با هم جمع کنیم چند پرتقال به دست می آوریم، می توانیم از فرم انتزاع کنیم و مدل را تنها با یک مشخصه باقی بگذاریم - کمیت. انتزاع و برقراری روابط بین اشیا به کلی ترین شکل یکی از زمینه های اصلی خلاقیت ریاضی است.

جهت دیگر در کنار تجرید، تعمیم است. به عنوان مثال، تعمیم مفهوم "فضا" به فضای n-ابعاد. " فضا در یک اختراع ریاضی است. با این حال، یک اختراع بسیار مبتکرانه که به درک ریاضی پدیده های پیچیده کمک می کند».

مطالعه اشیاء درون ریاضی معمولاً با استفاده از روش بدیهی صورت می گیرد: ابتدا فهرستی از مفاهیم اساسی و بدیهیات برای اشیاء مورد مطالعه فرموله می شود و سپس با استفاده از قواعد استنتاج از بدیهیات قضایای معنی دار به دست می آید که با هم تشکیل می شوند. یک مدل ریاضی

پایه ها

مسئله جوهر و مبانی ریاضیات از زمان افلاطون مورد بحث بوده است. از قرن بیستم، توافق نسبی در مورد آنچه که باید به عنوان یک اثبات ریاضی دقیق در نظر گرفته شود وجود داشته است، اما هیچ توافقی در مورد آنچه در ریاضیات درست تلقی می شود، وجود نداشته است. این امر هم در مسائل بدیهیات و هم پیوستگی شاخه‌های ریاضیات و هم در انتخاب سیستم‌های منطقی که باید در برهان‌ها استفاده شوند، اختلاف نظر ایجاد می‌کند.

علاوه بر شک، رویکردهای زیر به این موضوع شناخته شده است.

رویکرد تئوری مجموعه ها

پیشنهاد شده است که تمام اشیاء ریاضی را در چارچوب نظریه مجموعه ها در نظر بگیریم، اغلب با بدیهیات زرملو-فرانکل (اگرچه بسیاری دیگر وجود دارند که معادل آن هستند). این رویکرد از اواسط قرن بیستم رایج در نظر گرفته شده است، با این حال، در واقعیت، بیشتر آثار ریاضی وظیفه ترجمه گزاره‌های خود را به زبان تئوری مجموعه‌ها ندارند، بلکه با مفاهیم و حقایق مستقر در برخی زمینه‌ها عمل می‌کنند. از ریاضیات بنابراین، اگر تناقضی در تئوری مجموعه ها یافت شود، این امر موجب بی اعتباری بیشتر نتایج نخواهد شد.

منطق گرایی

این رویکرد تایپ دقیق اشیاء ریاضی را فرض می کند. بسیاری از پارادوکس‌هایی که در نظریه مجموعه‌ها فقط با ترفندهای خاص اجتناب می‌شود، اصولاً غیرممکن است.

فرمالیسم

این رویکرد شامل مطالعه سیستم های رسمی مبتنی بر منطق کلاسیک است.

شهودگرایی

شهودگرایی در پایه ریاضیات یک منطق شهودی را پیش‌فرض می‌گیرد که در ابزار اثبات محدودتر است (اما اعتقاد بر این است که قابل اعتمادتر است). شهودگرایی اثبات را با تضاد رد می‌کند، بسیاری از اثبات‌های غیر سازنده غیرممکن می‌شوند و بسیاری از مسائل نظریه مجموعه‌ها بی‌معنا (غیر رسمی‌سازی) می‌شوند.

ریاضیات سازنده

ریاضیات سازنده گرایشی در ریاضیات نزدیک به شهودگرایی است که ساختارهای سازنده را مطالعه می‌کند. روشن کردن] . با توجه به معیار ساخت پذیری - " وجود به معنای ساخته شدن است". معیار سازنده بودن الزام قوی تری نسبت به معیار سازگاری است.

موضوع اصلی

شماره

مفهوم "عدد" در اصل به اعداد طبیعی اطلاق می شود. بعدها به تدریج به اعداد صحیح، گویا، واقعی، مختلط و غیره تعمیم یافت.

تمام اعداد اعداد گویا اعداد واقعی اعداد مختلط کواترنیون ها

سیستم های عددی
با احتساب مجموعه ها	اعداد طبیعی () اعداد صحیح () گویا () جبری () دوره های محاسبه قابل محاسبه
اعداد واقعی و الحاقات آنها	واقعی () مختلط () کواترنیونها () اعداد کیلی (اکتاوها، اکتونیونها) () سدنیونها () آلترنیونها رویه کیلی-دیکسون ابرمختلط دوگانه سوپررئال فراواقعی عدد سوررئال ( انگلیسی)
دیگر سیستم های اعداد	اعداد اصلی اعداد ترتیبی (متناهی، ترتیبی) p-adic اعداد فراطبیعی
همچنین ببینید	اعداد دوتایی اعداد غیر منطقی اعداد متعالی پرتو بیکواترنیون

تحولات

ریاضی گسسته

کدها در سیستم های طبقه بندی دانش

خدمات آنلاین

تعداد زیادی سایت وجود دارد که خدمات محاسبات ریاضی را ارائه می دهند. اکثر آنها به زبان انگلیسی هستند. از روسی زبان ها می توان به سرویس پرس و جوهای ریاضی موتور جستجوی Nigma اشاره کرد.

همچنین ببینید

رواج دهندگان علم

یادداشت

1. دایره المعارف بریتانیکا
2. دیکشنری آنلاین وبستر
3. فصل 2. ریاضیات به عنوان زبان علم. دانشگاه آزاد سیبری بایگانی شده از نسخه اصلی در 2 فوریه 2012. بازیابی شده در 5 اکتبر 2010.
4. فرهنگ لغت بزرگ یونان باستان (αω)
5. فرهنگ لغت زبان روسی قرن XI-XVII. مسأله 9 / چ. ویرایش F. P. Filin. - M.: Nauka، 1982. - S. 41.
6. دکارت آر.قوانینی برای هدایت ذهن M.-L.: سوتسکگیز، 1936.
7. رجوع کنید به: TSB Mathematics
8. مارکس ک.، انگلس اف.آثار. ویرایش دوم T. 20. S. 37.
9. بوربکی ن.معماری ریاضیات. مقالاتی در مورد تاریخ ریاضیات / ترجمه شده توسط I. G. Bashmakova, ed. K. A. Rybnikova. M.: IL, 1963. S. 32, 258.
10. کازیف وی. ام.مقدمه ای بر ریاضیات
11. موخین او. آی.آموزش سیستم های مدل سازی. Perm: RCI PSTU.
12. هرمان ویل // کلاین ام.. - م.: میر، 1984. - اس. 16.
13. استاندارد آموزشی دولتی آموزش عالی حرفه ای. تخصص 01.01.00. "ریاضی". مدرک تحصیلی - ریاضیدان. مسکو، 2000 (تدوین شده به راهنمایی O. B. Lupanov)
14. نام‌گذاری تخصص‌های کارگران علمی، تصویب شده به دستور وزارت آموزش و پرورش و علوم روسیه مورخ 25 فوریه 2009 شماره 59
15. UDC 51 ریاضیات
16. Ya. S. Bugrov، S. M. Nikolsky. عناصر جبر خطی و هندسه تحلیلی. M.: Nauka، 1988. S. 44.
17. N. I. کونداکوف. کتاب مرجع فرهنگ لغت منطقی. M.: Nauka، 1975. S. 259.
18. گ.ای.روزوین. در مورد ماهیت دانش ریاضی. م.: 1968.
19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
20. به عنوان مثال: http://mathworld.wolfram.com

ادبیات

دایره المعارف ها

• // فرهنگ لغت دایره المعارف بروکهاوس و افرون: در 86 جلد (82 جلد و 4 جلد اضافی). - سنت پترزبورگ. ، 1890-1907.
• دایره المعارف ریاضی (در 5 جلد)، دهه 1980. // مراجع ریاضی عمومی و ویژه در EqWorld
• کونداکوف N.I.کتاب مرجع فرهنگ لغت منطقی. مسکو: ناوکا، 1975.
• دایره المعارف علوم ریاضی و کاربردهای آنها (آلمانی) 1899-1934 (بزرگترین بررسی ادبیات قرن نوزدهم)

کتاب های مرجع

• جی کورن، تی کورن.کتاب ریاضیات برای دانشمندان و مهندسان M.، 1973

کتاب ها

• کلاین ام.ریاضی. از دست دادن اطمینان. - م.: میر، 1363.
• کلاین ام.ریاضی. جست‌وجوی حقیقت. م.: میر، 1367.
• کلاین اف.ریاضیات ابتدایی از دیدگاه بالاتر.

• جلد اول. حساب. جبر. تجزیه و تحلیل M.: Nauka، 1987. 432 ص.
• جلد دوم. هندسه م.: ناوکا، 1987. 416 ص.

• آر. کورانت، جی. رابینز.ریاضی چیست؟ ویرایش سوم، برگردان و اضافی - م.: 2001. 568 ص.
• Pisarevsky B. M.، Kharin V. T.در مورد ریاضیات، ریاضیدانان و نه تنها. - م.: بینوم. آزمایشگاه دانش، 1391. - 302 ص.
• پوانکر A.علم و روش (rus.) (fr.)

ریاضیات یکی از قدیمی ترین علوم است. ارائه یک تعریف مختصر از ریاضیات به هیچ وجه آسان نیست، محتوای آن بسته به سطح تحصیلات ریاضی یک فرد بسیار متفاوت خواهد بود. دانش آموز دبستانی که به تازگی شروع به مطالعه حساب کرده است، می گوید که ریاضیات در حال مطالعه قوانین شمارش اشیا است. و او درست خواهد گفت، زیرا در ابتدا با این کار آشنا می شود. دانش آموزان بزرگتر به آنچه گفته شد اضافه می کنند که مفهوم ریاضیات شامل جبر و مطالعه اجسام هندسی است: خطوط، تقاطع آنها، اشکال صفحه، اجسام هندسی، انواع مختلف تبدیل. با این حال، فارغ التحصیلان دبیرستان، در تعریف ریاضیات، مطالعه توابع و عمل عبور به حد و همچنین مفاهیم مرتبط مشتق و انتگرال را شامل می شوند. فارغ التحصیلان موسسات آموزشی فنی عالی یا گروه های علوم طبیعی دانشگاه ها و موسسات آموزشی دیگر از تعاریف مدرسه راضی نخواهند بود، زیرا می دانند که سایر رشته ها نیز بخشی از ریاضیات هستند: نظریه احتمال، آمار ریاضی، حساب دیفرانسیل، برنامه نویسی، روش های محاسباتی، و همچنین کاربردهای این رشته ها برای مدل سازی فرآیندهای تولید، پردازش داده های تجربی، انتقال و پردازش اطلاعات. با این حال، آنچه ذکر شده است، محتوای ریاضیات را تمام نمی کند. نظریه مجموعه ها، منطق ریاضی، کنترل بهینه، تئوری فرآیندهای تصادفی و بسیاری موارد دیگر نیز در ترکیب آن گنجانده شده است.

تلاش برای تعریف ریاضیات با فهرست کردن شاخه‌های تشکیل‌دهنده آن، ما را به بیراهه می‌کشاند، زیرا آنها ایده‌ای درباره اینکه ریاضیات دقیقاً چه مطالعه می‌کند و رابطه آن با دنیای اطراف ما چیست، به دست نمی‌دهند. اگر چنین سوالی از یک فیزیکدان، زیست‌شناس یا ستاره‌شناس مطرح می‌شد، هر یک از آنها پاسخی بسیار مختصر می‌دادند، بدون اینکه فهرستی از بخش‌هایی که علمی را تشکیل می‌دهند. چنین پاسخی حاوی نشانه ای از پدیده های طبیعت است که او به بررسی آنها می پردازد. به عنوان مثال، یک زیست شناس می گوید که زیست شناسی مطالعه مظاهر مختلف زندگی است. اگرچه این پاسخ کاملاً کامل نیست، زیرا نمی گوید زندگی و پدیده های زندگی چیست، با این حال، چنین تعریفی ایده نسبتاً کاملی از محتوای خود علم زیست شناسی و سطوح مختلف این علم به دست می دهد. . و این تعریف با گسترش دانش ما از زیست شناسی تغییر نخواهد کرد.

هیچ پدیده ای از طبیعت، فرآیندهای فنی یا اجتماعی وجود ندارد که موضوع مطالعه ریاضیات باشد، اما به پدیده های فیزیکی، بیولوژیکی، شیمیایی، مهندسی یا اجتماعی مرتبط نباشد. هر رشته علوم طبیعی: زیست شناسی و فیزیک، شیمی و روانشناسی - با ویژگی های مادی موضوع خود، ویژگی های خاص حوزه دنیای واقعی که مورد مطالعه قرار می دهد تعیین می شود. خود شیء یا پدیده را می‌توان با روش‌های مختلف از جمله ریاضی مطالعه کرد، اما با تغییر روش‌ها همچنان در محدوده این رشته باقی می‌مانیم، زیرا محتوای این علم موضوع واقعی است نه روش تحقیق. برای ریاضیات موضوع مادی تحقیق اهمیت تعیین کننده ای ندارد، روش کاربردی مهم است. به عنوان مثال، توابع مثلثاتی را می توان هم برای مطالعه حرکت نوسانی و هم برای تعیین ارتفاع یک جسم غیرقابل دسترس استفاده کرد. و چه پدیده های دنیای واقعی را می توان با روش ریاضی بررسی کرد؟ این پدیده ها نه با ماهیت مادی خود، بلکه منحصراً توسط ویژگی های ساختاری رسمی، و بالاتر از همه توسط آن روابط کمی و اشکال فضایی که در آنها وجود دارند، تعیین می شوند.

بنابراین، ریاضیات اشیاء مادی را مطالعه نمی‌کند، بلکه روش‌های تحقیق و ویژگی‌های ساختاری موضوع مورد مطالعه را مطالعه می‌کند که امکان اعمال عملیات خاصی را برای آن (جمع بندی، تمایز و غیره) فراهم می‌کند. با این حال، بخش قابل توجهی از مسائل، مفاهیم و نظریه های ریاضی به عنوان منبع اصلی پدیده ها و فرآیندهای واقعی است. به عنوان مثال، حساب و نظریه اعداد از کار عملی اولیه شمارش اشیاء پدید آمدند. هندسه ابتدایی به عنوان منبع مشکلات مربوط به مقایسه فاصله ها، محاسبه مساحت شکل های صفحه یا حجم اجسام فضایی بود. همه اینها باید پیدا می شد، زیرا لازم بود زمین بین کاربران توزیع شود، اندازه انبارها یا حجم کارهای خاکی در طول ساخت سازه های دفاعی محاسبه شود.

یک نتیجه ریاضی این ویژگی را دارد که نه تنها می‌تواند در مطالعه یک پدیده یا فرآیند خاص استفاده شود، بلکه می‌تواند برای مطالعه سایر پدیده‌ها نیز مورد استفاده قرار گیرد که ماهیت فیزیکی آن‌ها اساساً با آنچه قبلاً در نظر گرفته شده متفاوت است. پس قواعد حساب در مسائل اقتصادی و فنی و حل مسائل کشاورزی و تحقیقات علمی قابل اجراست. قواعد حسابی هزاران سال پیش توسعه یافتند، اما ارزش عملی خود را برای همیشه حفظ کردند. حساب بخشی جدایی ناپذیر از ریاضیات است، بخش سنتی آن دیگر در چارچوب ریاضیات در معرض توسعه خلاقانه نیست، اما کاربردهای جدید متعددی پیدا کرده و خواهد یافت. این کاربردها ممکن است برای بشر اهمیت زیادی داشته باشند، اما دیگر به درستی به ریاضیات کمک نمی کنند.

ریاضیات به عنوان یک نیروی خلاق، هدف خود را توسعه قواعد عمومی است که باید در موارد خاص متعدد مورد استفاده قرار گیرد. کسی که این قوانین را ایجاد می کند، چیز جدیدی می آفریند، می آفریند. کسی که قوانین آماده را اعمال می کند، دیگر در خود ریاضیات خلق نمی کند، بلکه احتمالاً با کمک قوانین ریاضی ارزش های جدیدی را در سایر زمینه های دانش ایجاد می کند. به عنوان مثال، امروزه داده های حاصل از تفسیر تصاویر ماهواره ای و همچنین اطلاعات مربوط به ترکیب و سن سنگ ها، ناهنجاری های ژئوشیمیایی و ژئوفیزیکی با استفاده از رایانه پردازش می شوند. بدون شک استفاده از کامپیوتر در تحقیقات زمین شناسی این تحقیقات را زمین شناسی رها می کند. اصول عملکرد رایانه ها و نرم افزارهای آنها بدون در نظر گرفتن امکان استفاده از آنها در جهت منافع علم زمین شناسی توسعه یافته است. این احتمال خود با این واقعیت مشخص می شود که ویژگی های ساختاری داده های زمین شناسی مطابق با منطق برنامه های رایانه ای خاص است.

دو تعریف از ریاضیات رایج شده است. اولین مورد توسط F. Engels در Anti-Dühring و دیگری توسط گروهی از ریاضیدانان فرانسوی معروف به Nicolas Bourbaki در مقاله معماری ریاضیات (1948) ارائه شد.

"ریاضیات محض به عنوان هدف خود اشکال فضایی و روابط کمی دنیای واقعی را دارد." این تعریف نه تنها موضوع مطالعه ریاضیات را توصیف می کند، بلکه منشأ آن - دنیای واقعی را نیز نشان می دهد. با این حال، این تعریف توسط F. Engels تا حد زیادی منعکس کننده وضعیت ریاضیات در نیمه دوم قرن 19 است. و مناطق جدید خود را که مستقیماً به روابط کمی یا اشکال هندسی مرتبط نیستند، در نظر نمی گیرد. این اول از همه منطق ریاضی و رشته های مرتبط با برنامه نویسی است. بنابراین، این تعریف نیاز به توضیح دارد. شايد بايد گفت كه رياضيات موضوع مطالعه اشكال مكاني، روابط كمي و ساختارهاي منطقي است.

بورباکی ها استدلال می کنند که "تنها اشیاء ریاضی، به بیان درست، ساختارهای ریاضی هستند." به عبارت دیگر، ریاضیات را باید به عنوان علم ساختارهای ریاضی تعریف کرد. این تعریف اساساً یک توتولوژی است، زیرا فقط یک چیز می گوید: ریاضیات با اشیایی که مطالعه می کند سروکار دارد. نقص دیگر این تعریف این است که رابطه ریاضیات با جهان پیرامون را روشن نمی کند. علاوه بر این، بوربکی تأکید می کند که ساختارهای ریاضی مستقل از دنیای واقعی و پدیده های آن ایجاد می شوند. به همین دلیل بود که بوربکی مجبور شد اعلام کند که «مشکل اصلی رابطه بین دنیای تجربی و دنیای ریاضی است. به نظر می رسد که ارتباط نزدیکی بین پدیده های تجربی و ساختارهای ریاضی به شکلی کاملاً غیرمنتظره توسط اکتشافات فیزیک مدرن تأیید شده است، اما ما از دلایل عمیق این امر کاملاً بی اطلاع هستیم و شاید هرگز آنها را نشناسیم. .

چنین نتیجه‌گیری ناامیدکننده‌ای نمی‌تواند از تعریف F. Engels ناشی شود، زیرا قبلاً حاوی این ادعا است که مفاهیم ریاضی انتزاعی‌هایی از روابط و اشکال خاصی از دنیای واقعی هستند. این مفاهیم از دنیای واقعی گرفته شده و با آن همراه است. در اصل، این امر کاربرد شگفت انگیز نتایج ریاضیات را برای پدیده های جهان اطراف ما و در عین حال موفقیت فرآیند ریاضی سازی دانش را توضیح می دهد.

ریاضیات از همه زمینه های دانش مستثنی نیست - همچنین مفاهیمی را تشکیل می دهد که از موقعیت های عملی و انتزاعات بعدی ناشی می شود. این به فرد امکان می دهد واقعیت را نیز تقریباً مطالعه کند. اما در عین حال باید در نظر داشت که ریاضیات چیزهای دنیای واقعی را مطالعه نمی کند، بلکه مفاهیم انتزاعی را مطالعه می کند و نتیجه گیری های منطقی آن کاملاً دقیق و دقیق است. نزدیکی آن ماهیت درونی ندارد، بلکه با تدوین یک مدل ریاضی از پدیده همراه است. همچنین متذکر می شویم که قوانین ریاضیات کاربرد مطلق ندارند، آنها همچنین دارای یک حوزه کاربردی محدود هستند که در آن سلطنت می کنند. اجازه دهید ایده بیان شده را با یک مثال توضیح دهیم: معلوم می شود که دو و دو همیشه برابر با چهار نیستند. مشخص است که با مخلوط کردن 2 لیتر الکل و 2 لیتر آب، کمتر از 4 لیتر از مخلوط به دست می آید. در این مخلوط، مولکول ها به صورت فشرده تری قرار گرفته اند و حجم مخلوط کمتر از مجموع حجم اجزای تشکیل دهنده است. قانون جمع حسابی نقض می شود. همچنین می توانید مثال هایی بیاورید که در آنها سایر حقایق حساب نقض شده است ، به عنوان مثال ، هنگام جمع کردن برخی از اشیا ، معلوم می شود که مجموع به ترتیب جمع بستگی دارد.

بسیاری از ریاضیدانان مفاهیم ریاضی را نه مخلوق عقل محض، بلکه انتزاعاتی از چیزها، پدیده ها، فرآیندها، یا انتزاعاتی از انتزاعات از قبل تثبیت شده (انتزاعات درجات بالاتر) می دانند. در دیالکتیک طبیعت، اف. انگلس نوشت که "... تمام ریاضیات به اصطلاح محض درگیر انتزاعات هستند ... تمام کمیت های آن، به بیان دقیق، کمیت های خیالی هستند..." این کلمات کاملاً منعکس کننده نظر یکی از بنیانگذاران فلسفه مارکسیستی در مورد نقش انتزاعات در ریاضیات. فقط باید اضافه کنیم که همه این "کمیت های خیالی" از واقعیت گرفته شده اند و خودسرانه و با پرواز آزادانه فکر ساخته نشده اند. اینگونه بود که مفهوم عدد به طور کلی مورد استفاده قرار گرفت. در ابتدا، این اعداد درون واحدها بودند و علاوه بر این، فقط اعداد صحیح مثبت بودند. سپس این تجربه مرا مجبور کرد تا زرادخانه اعداد را به ده ها و صدها گسترش دهم. مفهوم نامحدود بودن یک سری اعداد صحیح قبلاً در دوره ای از نظر تاریخی نزدیک به ما متولد شد: ارشمیدس در کتاب "Psammit" ("محاسبه دانه های شن") نشان داد که چگونه می توان اعداد را حتی بزرگتر از اعداد داده شده ساخت. . در همان زمان، مفهوم اعداد کسری از نیازهای عملی متولد شد. محاسبات مربوط به ساده ترین اشکال هندسی، بشر را به اعداد جدیدی - غیر منطقی - سوق داده است. بنابراین، ایده مجموعه تمام اعداد واقعی به تدریج شکل گرفت.

همین مسیر را می توان برای سایر مفاهیم ریاضی نیز طی کرد. همه آنها برخاسته از نیازهای عملی بودند و به تدریج به مفاهیم انتزاعی تبدیل شدند. می توان دوباره سخنان اف. انگلس را به خاطر آورد: «... ریاضیات محض معنایی مستقل از تجربه خاص هر فرد دارد... اما اینکه در ریاضیات محض ذهن فقط با محصولات خودش سروکار دارد کاملاً اشتباه است. خلاقیت و تخیل مفاهیم عدد و رقم از جایی گرفته نشده، بلکه فقط از دنیای واقعی گرفته شده است. ده انگشتی که مردم شمردن را یاد گرفتند، یعنی اولین عمل حسابی را انجام دهند، چیزی جز محصول خلاقیت آزاد ذهن است. برای شمردن، نه تنها باید اشیاء را داشته باشیم که باید شمارش شوند، بلکه در هنگام در نظر گرفتن این اشیاء از تمام ویژگی‌های دیگر به جز تعداد، توانایی منحرف شدن را نیز داشته باشیم و این توانایی نتیجه یک تحول تاریخی طولانی است که بر اساس آن تجربه. هم مفهوم عدد و هم مفهوم فیگور منحصراً از دنیای بیرون وام گرفته شده اند و در سر از تفکر ناب برخاسته اند. باید چیزهایی وجود داشت که شکل خاصی داشت و قبل از رسیدن به مفهوم فیگور باید این اشکال را با هم مقایسه کرد.

بیایید در نظر بگیریم که آیا مفاهیمی در علم وجود دارد که بدون ارتباط با پیشرفت علم گذشته و پیشرفت فعلی عمل ایجاد شده است؟ ما به خوبی می دانیم که قبل از خلاقیت علمی ریاضی، مطالعه بسیاری از موضوعات در مدرسه، دانشگاه، خواندن کتاب، مقاله، گفتگو با متخصصان هم در زمینه خودشان و هم در سایر زمینه های دانش صورت می گیرد. یک ریاضیدان در جامعه ای زندگی می کند و از طریق کتاب ها، رادیو و منابع دیگر، در مورد مشکلاتی که در علم، مهندسی و زندگی اجتماعی به وجود می آید، آگاه می شود. علاوه بر این، تفکر محقق تحت تأثیر کل تکامل قبلی اندیشه علمی است. بنابراین معلوم می شود که برای حل برخی از مشکلات لازم برای پیشرفت علم آماده است. به همین دلیل است که یک دانشمند نمی تواند به میل خود، مسائلی را مطرح کند، بلکه باید مفاهیم و نظریه های ریاضی را ایجاد کند که برای علم، برای سایر محققان، و برای بشریت ارزشمند باشد. اما نظریات ریاضی اهمیت خود را در شرایط شکل‌گیری‌های مختلف اجتماعی و دوره‌های تاریخی حفظ می‌کنند. علاوه بر این، اغلب همان ایده ها از دانشمندانی ناشی می شود که به هیچ وجه با هم مرتبط نیستند. این یک استدلال اضافی علیه کسانی است که به مفهوم ایجاد آزادانه مفاهیم ریاضی پایبند هستند.

بنابراین، ما گفتیم که چه چیزی در مفهوم "ریاضیات" گنجانده شده است. اما چیزی به نام ریاضیات کاربردی نیز وجود دارد. این به عنوان مجموع تمام روش‌ها و رشته‌های ریاضی است که کاربردهایی خارج از ریاضیات پیدا می‌کنند. در زمان های قدیم، هندسه و حساب نمایانگر تمام ریاضیات بودند و از آنجایی که هر دو در مبادلات تجاری، اندازه گیری مساحت ها و حجم ها و در مسائل ناوبری کاربردهای فراوانی یافتند، تمام ریاضیات نه تنها نظری، بلکه کاربردی نیز بود. بعدها در یونان باستان به ریاضیات و ریاضیات کاربردی تقسیم شد. با این حال، همه ریاضیدانان برجسته نیز به برنامه های کاربردی و نه تنها در تحقیقات نظری صرف مشغول بودند.

توسعه بیشتر ریاضیات پیوسته با پیشرفت علم و فناوری طبیعی و با ظهور نیازهای اجتماعی جدید مرتبط بود. تا پایان قرن هجدهم. نیاز بود (در درجه اول در ارتباط با مسائل ناوبری و توپخانه) برای ایجاد یک نظریه ریاضی حرکت. این در آثار خود توسط G. V. Leibniz و I. Newton انجام شد. ریاضیات کاربردی با یک روش تحقیق بسیار قدرتمند جدید - تجزیه و تحلیل ریاضی - پر شده است. تقریباً به طور همزمان، نیازهای جمعیت شناسی و بیمه منجر به شکل گیری آغاز نظریه احتمال شد (به نظریه احتمال مراجعه کنید). قرن 18 و 19 محتوای ریاضیات کاربردی را گسترش داد و نظریه معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی، معادلات فیزیک ریاضی، عناصر آمار ریاضی، هندسه دیفرانسیل را به آن اضافه کرد. قرن 20 روشهای جدیدی برای تحقیق ریاضی مسائل عملی آورده است: نظریه فرآیندهای تصادفی، نظریه گراف، تجزیه و تحلیل تابعی، کنترل بهینه، برنامه ریزی خطی و غیر خطی. علاوه بر این، معلوم شد که نظریه اعداد و جبر انتزاعی کاربردهای غیرمنتظره ای برای مسائل فیزیک پیدا کردند. در نتیجه، این عقیده شکل گرفت که ریاضیات کاربردی به عنوان یک رشته جداگانه وجود ندارد و همه ریاضیات را می توان کاربردی در نظر گرفت. شاید باید گفت نه اینکه ریاضیات کاربردی و نظری است، بلکه باید گفت که ریاضیدانان به دو دسته کاربردی و نظریه پرداز تقسیم می شوند. برای برخی، ریاضیات روشی برای شناخت جهان پیرامون و پدیده های رخ داده در آن است، برای این منظور است که دانشمند دانش ریاضی را توسعه و گسترش می دهد. برای دیگران، ریاضیات خود نمایانگر جهانی است که ارزش مطالعه و توسعه دارد. برای پیشرفت علم به دانشمندانی از هر دو نوع نیاز است.

ریاضیات قبل از مطالعه هر پدیده ای با روش های خاص خود، مدل ریاضی خود را ایجاد می کند، یعنی تمام ویژگی های پدیده را فهرست می کند که مورد توجه قرار می گیرد. این مدل محقق را وادار می کند تا ابزارهای ریاضی را انتخاب کند که به اندازه کافی ویژگی های پدیده مورد مطالعه و تکامل آن را منتقل کند. به عنوان مثال، بیایید یک مدل منظومه سیاره ای را در نظر بگیریم: خورشید و سیارات به عنوان نقاط مادی با جرم متناظر در نظر گرفته می شوند. اثر متقابل هر دو نقطه با نیروی جاذبه بین آنها تعیین می شود

که در آن m 1 و m 2 جرم نقاط برهم کنش هستند، r فاصله بین آنها و f ثابت گرانشی است. علیرغم سادگی این مدل، در سیصد سال گذشته، ویژگی های حرکت سیارات منظومه شمسی را با دقت زیادی مخابره می کند.

البته هر مدلی واقعیت را خشن می کند و وظیفه محقق قبل از هر چیز این است که مدلی را پیشنهاد کند که از یک سو جنبه واقعی موضوع (به قول خودشان ویژگی های فیزیکی آن) را به طور کامل بیان کند. و از سوی دیگر تقریب قابل توجهی به واقعیت می دهد. البته می توان چندین مدل ریاضی برای یک پدیده پیشنهاد کرد. همه آنها حق وجود دارند تا زمانی که یک اختلاف قابل توجه بین مدل و واقعیت شروع به تأثیرگذاری کند.

ریاضیات 1. کلمه ریاضیات از کجا آمده است 2. ریاضیات را چه کسی اختراع کرد؟ 3. موضوعات اصلی. 4. تعریف 5. ریشه شناسی در آخرین اسلاید.

این کلمه از کجا آمده است (به اسلاید قبلی بروید) ریاضیات از یونانی - مطالعه، علم) - علم ساختارها، نظم و روابط، از نظر تاریخی مبتنی بر عملیات شمارش، اندازه گیری و توصیف شکل اشیاء است. اشیاء ریاضی با ایده‌آل کردن ویژگی‌های اشیاء ریاضی واقعی یا دیگر و نوشتن این ویژگی‌ها به زبان رسمی ایجاد می‌شوند.

چه کسی ریاضیات را اختراع کرد (به منو مراجعه کنید) اولین ریاضیدان معمولاً تالس میلتوس نامیده می شود که در قرن ششم زندگی می کرد. قبل از میلاد مسیح ه. ، یکی از به اصطلاح هفت حکیم یونان. به هر حال، این او بود که اولین کسی بود که کل پایگاه دانش را در مورد این موضوع، که مدتهاست در دنیای شناخته شده برای او شکل گرفته است، ساخت. با این حال، نویسنده اولین رساله در ریاضیات که به ما رسیده اقلیدس (قرن سوم پیش از میلاد) است. او را نیز به شایستگی پدر این علم دانستند.

مباحث اصلی (به منو مراجعه کنید) رشته ریاضی فقط شامل علومی می شود که در آنها ترتیب یا اندازه در نظر گرفته می شود و اصلاً فرقی نمی کند که اینها اعداد، ارقام، ستاره ها، صداها یا هر چیز دیگری باشند که در آن این معیار وجود دارد. یافت می شود. بنابراین، باید یک علم کلی وجود داشته باشد که همه چیز مربوط به نظم و اندازه را بدون ورود به مطالعه موضوعات خاصی توضیح دهد و این علم را نه با نام خارجی، بلکه با نام قدیمی و از قبل رایج ریاضیات عمومی نامید.

تعریف (به منو مراجعه کنید) تحلیل مدرن مبتنی بر آنالیز ریاضی کلاسیک است که به عنوان یکی از سه حوزه اصلی ریاضیات (به همراه جبر و هندسه) در نظر گرفته می شود. در عین حال، اصطلاح "تحلیل ریاضی" به معنای کلاسیک عمدتاً در برنامه های درسی و مواد به کار می رود. در سنت انگلیسی-آمریکایی، تجزیه و تحلیل ریاضی کلاسیک با برنامه های درسی با نام "حساب حساب" مطابقت دارد.

ریشه شناسی (رفتن به منو) کلمه "ریاضیات" از یونانی دیگر آمده است. ، که به معنی مطالعه، دانش، علم و غیره است -یونانی، در اصل به معنای گیرنده، موفق، بعداً مربوط به تحصیل، بعداً مربوط به ریاضیات. به طور مشخص در لاتین به معنای هنر ریاضیات است. اصطلاح دیگر - یونانی است. به معنای امروزی کلمه "ریاضیات" قبلاً در آثار ارسطو (قرن 4 قبل از میلاد) یافت می شود.

ریاضیات علم روابط کمی و اشکال فضایی دنیای واقعی است. کلمه یونانی (mathematice) از کلمه یونانی (mathema) به معنای "دانش"، "علم" گرفته شده است.

ریاضیات در دوران باستان برخاسته از نیازهای عملی مردم بود. محتوا و شخصیت آن در طول تاریخ تغییر کرده است و اکنون نیز تغییر می کند. از ایده‌های موضوعی اولیه در مورد یک عدد صحیح مثبت، و همچنین از ایده یک پاره خط مستقیم به عنوان کوتاه‌ترین فاصله بین دو نقطه، ریاضیات پیش از تبدیل شدن به یک علم انتزاعی با روش‌های تحقیق خاص، مسیر طولانی توسعه را طی کرده است.

درک مدرن از اشکال فضایی بسیار گسترده است. این شامل، همراه با اشیاء هندسی فضای سه بعدی (خط، دایره، مثلث، مخروط، استوانه، توپ و غیره)، همچنین تعمیم های متعدد - مفاهیم فضای چند بعدی و بینهایت بعدی و همچنین اشیاء هندسی در آنها است. ، و خیلی بیشتر. به همین ترتیب، روابط کمی اکنون نه تنها با اعداد صحیح مثبت یا اعداد گویا، بلکه با استفاده از اعداد مختلط، بردارها، توابعتوسعه علم و فناوری، ریاضیات را مجبور می‌کند که به طور مداوم ایده‌های خود را درباره اشکال فضایی و روابط کمی گسترش دهد.

مفاهیم ریاضیات از پدیده ها و اشیاء خاص انتزاع می شود. آنها در نتیجه انتزاع از ویژگی های کیفی خاص به طیف معینی از پدیده ها و اشیاء به دست می آیند. این شرایط برای کاربردهای ریاضی بسیار مهم است. عدد 2 به طور جدایی ناپذیری با محتوای موضوعی خاصی مرتبط نیست. می تواند به دو سیب یا دو کتاب یا دو فکر اشاره کند. برای همه اینها و اشیاء بی شمار دیگر به همان اندازه به خوبی اعمال می شود. به همین ترتیب، خواص هندسی یک توپ تغییر نمی کند زیرا از شیشه، فولاد یا استئارین ساخته شده است. البته، انتزاع از خصوصیات یک شی، دانش ما را در مورد شیء داده شده، در مورد ویژگی های مادی مشخص آن ضعیف می کند. در عین حال، این انتزاع از ویژگی های خاص اشیاء منفرد است که به مفاهیم اشتراک می بخشد، امکان اعمال ریاضیات را برای متنوع ترین پدیده ها در ماهیت مادی آنها فراهم می کند. بنابراین، همان قوانین ریاضیات، همان دستگاه ریاضی را می توان به طور کاملاً رضایت بخشی برای توصیف پدیده های طبیعی، فنی و همچنین فرآیندهای اقتصادی و اجتماعی به کار برد.

انتزاع بودن مفاهیم ویژگی انحصاری ریاضیات نیست. هر مفهوم علمی و کلی حاوی عنصر انتزاع از خصوصیات چیزهای خاص است. اما در ریاضیات فرآیند انتزاع فراتر از علوم طبیعی است. در ریاضیات، فرآیند ساخت یک انتزاع از سطوح مختلف به طور گسترده استفاده می شود. بله، مفهوم گروه هابا انتزاع از برخی خصوصیات مجموع اعداد و سایر مفاهیم انتزاعی به وجود آمد. ریاضیات نیز با روش به دست آوردن نتایج آن مشخص می شود. اگر دانشمند طبیعی برای اثبات مواضع خود دائماً به تجربه متوسل شود، آنگاه ریاضیدان نتایج خود را تنها از طریق استدلال منطقی اثبات می کند. در ریاضیات هیچ نتیجه ای را تا زمانی که نیاز به برهان منطقی نداشته باشد نمی توان اثبات کرد و این حتی اگر آزمایش های خاص این نتیجه را تایید کند. در عین حال، صدق نظریات ریاضی نیز با عمل آزمایش می شود، اما این تأیید ماهیت ویژه ای دارد: مفاهیم اساسی ریاضیات در نتیجه تبلور طولانی مدت آنها از درخواست های عملی خاص شکل می گیرند. قواعد منطق خود تنها پس از هزاران سال مشاهده روند فرآیندها در طبیعت ایجاد شد. صورت بندی قضایا و فرمول بندی مسائل در ریاضیات نیز از الزامات تمرین ناشی می شود. ریاضیات برخاسته از نیازهای عملی بود و ارتباط آن با تمرین در طول زمان متنوع تر و عمیق تر شد.

در اصل، ریاضیات را می توان برای مطالعه هر نوع حرکت، طیف گسترده ای از پدیده ها به کار برد. در واقع نقش آن در عرصه های مختلف فعالیت علمی و عملی یکسان نیست. نقش ریاضیات در توسعه فیزیک مدرن، شیمی، و به طور کلی بسیاری از زمینه‌های فناوری، در مطالعه پدیده‌هایی که حتی انتزاع قابل توجهی از ویژگی‌های کیفی خاص آن‌ها امکان گرفتن کاملاً دقیق کمی را ممکن می‌سازد، بسیار زیاد است. و الگوهای فضایی ذاتی آنها. به عنوان مثال، مطالعه ریاضی حرکت اجرام آسمانی، بر اساس انتزاعات قابل توجهی از ویژگی های واقعی آنها (به عنوان مثال، اجسام نقاط مادی در نظر گرفته می شوند)، منجر به تطابق کامل با حرکت واقعی آنها شده است. بر این اساس، نه تنها می توان پدیده های آسمانی (کسوف، موقعیت سیارات و غیره) را از قبل محاسبه کرد، بلکه می توان وجود سیاراتی را که قبلاً مشاهده نشده بودند نیز پیش بینی کرد (به این ترتیب پلوتون در سال 1930 کشف شد. ، نپتون در سال 1846). ریاضیات در علومی مانند اقتصاد، زیست شناسی و پزشکی جایگاه کوچکتر، اما همچنان قابل توجهی را اشغال کرده است. اصالت کیفی پدیده های مورد مطالعه در این علوم به قدری زیاد است و ماهیت دوره آنها را به شدت تحت تأثیر قرار می دهد که تجزیه و تحلیل ریاضی تاکنون تنها نقش فرعی ایفا می کند. برای علوم اجتماعی و زیستی از اهمیت ویژه ای برخوردار است آمار ریاضیخود ریاضیات نیز تحت تأثیر الزامات علوم طبیعی، فناوری و اقتصاد توسعه می یابد. حتی در سال های اخیر، تعدادی از رشته های ریاضی پدید آمده اند که بر اساس درخواست های عملی به وجود آمده اند: نظریه اطلاعات، نظریه بازیو غیره.

واضح است که گذار از مرحله ای از شناخت پدیده ها به مرحله بعدی، دقیق تر، مطالبات جدیدی را در ریاضیات ایجاد می کند و منجر به ایجاد مفاهیم جدید، روش های جدید تحقیق می شود. بنابراین، الزامات نجوم، حرکت از دانش صرفاً توصیفی به دانش دقیق، منجر به توسعه مفاهیم اساسی شد. مثلثات: در قرن دوم قبل از میلاد هیپارخوس، دانشمند یونان باستان، جداول آکوردهای مربوط به جداول سینوس های امروزی را گردآوری کرد. دانشمندان یونان باستان در قرن اول منلائوس و در قرن دوم کلودیوس بطلمیوس پایه ها را ایجاد کردند. مثلثات کرویافزایش علاقه به مطالعه حرکت، که با توسعه تولید، ناوبری، توپخانه و غیره زنده شد، در قرن هفدهم به ایجاد مفاهیم منجر شد. تجزیه و تحلیل ریاضی، توسعه ریاضیات جدید. معرفی گسترده روش های ریاضی در مطالعه پدیده های طبیعی (عمدتاً نجومی و فیزیکی) و توسعه فناوری (به ویژه مهندسی مکانیک) در قرن 18 و 19 منجر به توسعه سریع مکانیک نظری و نظریه شد. معادلات دیفرانسیل.توسعه ایده های ساختار مولکولی ماده باعث توسعه سریع شد نظریه احتمال. در حال حاضر، ما می توانیم ظهور حوزه های جدیدی از تحقیقات ریاضی را از طریق مثال های زیادی ردیابی کنیم. به ویژه دستاوردها قابل توجه است ریاضیات محاسباتی و فناوری کامپیوتر و تحولاتی که در بسیاری از شاخه های ریاضیات ایجاد می کنند.

مقاله تاریخی. در تاریخ ریاضیات، چهار دوره با تفاوت های اساسی کیفی را می توان ترسیم کرد. جدا کردن دقیق این دوره ها دشوار است، زیرا هر دوره بعدی در دوره قبلی توسعه یافت و بنابراین مراحل انتقالی بسیار مهمی وجود داشت، زمانی که ایده های جدید تازه در حال ظهور بودند و هنوز نه در خود ریاضیات و نه در کاربردهای آن راهنما نشده بودند.

1) دوره تولد ریاضیات به عنوان یک رشته علمی مستقل؛ آغاز این دوره در اعماق تاریخ گم شده است. تقریباً تا 6-5 قرن قبل از میلاد ادامه یافت. ه.

2) دوره ریاضیات ابتدایی، ریاضیات ثابت. تقریباً تا پایان قرن هفدهم ادامه یافت، زمانی که توسعه ریاضیات جدید و "بالاتر" بسیار زیاد پیش رفت.

3) دوره ریاضی متغیرها; با ایجاد و توسعه تجزیه و تحلیل ریاضی، مطالعه فرآیندها در حرکت آنها، توسعه مشخص می شود.

4) دوره ریاضیات مدرن؛ با مطالعه آگاهانه و سیستماتیک انواع احتمالی روابط کمی و اشکال فضایی مشخص می شود. در هندسه نه تنها فضای سه بعدی واقعی، بلکه فرم های فضایی مشابه آن نیز مورد مطالعه قرار می گیرد. در تجزیه و تحلیل ریاضی، متغیرهایی در نظر گرفته می شوند که نه تنها به یک استدلال عددی، بلکه به یک خط (تابع) نیز بستگی دارند، که منجر به مفاهیم می شود. عملکردو اپراتور. جبرتبدیل به نظریه ای از عملیات جبری بر روی عناصر با ماهیت دلخواه. اگر فقط می شد این عملیات را روی آنها انجام داد. آغاز این دوره را طبیعتاً می توان به نیمه اول قرن 19 نسبت داد.

در دنیای باستان، اطلاعات ریاضی در اصل بخشی جدایی ناپذیر از دانش کشیشان و مقامات دولتی بود. موجودی این اطلاعات، همانطور که می توان با الواح گلی بابلی و مصری که قبلاً رمزگشایی شده است، قضاوت کرد. پاپیروس های ریاضی،نسبتا بزرگ بود شواهدی وجود دارد که هزار سال قبل از دانشمند یونان باستان فیثاغورث در بین النهرین، نه تنها نظریه فیثاغورث شناخته شده بود، بلکه مشکل یافتن تمام مثلث های قائم الزاویه با اضلاع صحیح نیز حل شد. با این حال، اکثریت قریب به اتفاق اسناد آن زمان مجموعه ای از قوانین برای انجام ساده ترین عملیات حسابی و همچنین برای محاسبه مساحت ارقام و حجم اجسام است. جداول مختلفی نیز برای تسهیل این محاسبات حفظ شده است. در تمام دستورالعمل ها، قوانین تدوین نشده اند، بلکه با مثال های مکرر توضیح داده شده اند. تبدیل ریاضیات به یک علم رسمی با روش ساخت قیاسی خوب در یونان باستان اتفاق افتاد. در همان مکان، خلاقیت ریاضی دیگر بی نام ماند. کاربردی حساب و هندسهدر یونان باستان از توسعه بالایی برخوردار بود. آغاز هندسه یونانی با نام تالس از میلتوس (پایان قرن هفتم قبل از میلاد - آغاز قرن ششم قبل از میلاد) مرتبط است که دانش اولیه را از مصر آورد. در مکتب فیثاغورث ساموس (قرن ششم قبل از میلاد)، تقسیم پذیری اعداد مورد مطالعه قرار گرفت، ساده ترین پیشرفت ها خلاصه شد، اعداد کامل مورد مطالعه قرار گرفتند، انواع میانگین ها (حساب، هندسی، هارمونیک) مورد توجه قرار گرفتند، اعداد فیثاغورثی دوباره یافت شدند (سه اعداد صحیح که می توانند اضلاع یک مثلث قائم الزاویه باشند). در قرون 5-6 ق.م. مشکلات معروف دوران باستان به وجود آمد - مربع کردن یک دایره، سه برش یک زاویه، دو برابر شدن یک مکعب، اولین اعداد غیر منطقی ساخته شد. اولین کتاب درسی سیستماتیک هندسه به بقراط خیوسی (نیمه دوم قرن پنجم قبل از میلاد) نسبت داده شده است. در همان زمان، موفقیت چشمگیر مکتب افلاطونی، همراه با تلاش برای توضیح عقلانی ساختار ماده جهان، به جستجوی همه چند وجهی های منظم تعلق دارد. در مرز قرن 5 و 4 ق.م. دموکریتوس بر اساس عقاید اتمیستی روشی را برای تعیین حجم اجسام پیشنهاد کرد. این روش را می توان نمونه اولیه روش بینهایت کوچک دانست. در قرن 4 ق.م. Eudoxus of Cnidus نظریه تناسبات را توسعه داد. قرن سوم قبل از میلاد با بیشترین شدت خلاقیت ریاضی مشخص می شود. (قرن اول از دوران به اصطلاح اسکندریه). در قرن 3 قبل از میلاد. ریاضیدانانی مانند اقلیدس، ارشمیدس، آپولونیوس پرگا، اراتوستن کار می کردند. بعدها - هرون (قرن 1 پس از میلاد) دیوفانتوس (قرن سوم). اقلیدس در «عناصر» خود دستاوردهای حوزه هندسه را جمع آوری کرد و در معرض پردازش منطقی نهایی قرار داد. در همان زمان، او پایه های نظریه اعداد را بنا نهاد. شایستگی اصلی ارشمیدس در هندسه، تعیین مساحت ها و حجم های مختلف بود. دیوفانتوس عمدتا حل معادلات را در اعداد مثبت گویا مطالعه کرد. از اواخر قرن سوم، زوال ریاضیات یونان آغاز شد.

ریاضیات در چین و هند باستان به پیشرفت چشمگیری دست یافت. ریاضیدانان چینی با تکنیک بالا برای انجام محاسبات و علاقه به توسعه روش های جبری عمومی مشخص می شوند. در قرون 2-1 قبل از میلاد. ریاضیات در نه کتاب نوشته شد. این شامل همان تکنیک هایی برای استخراج ریشه دوم است که در مکتب مدرن نیز ارائه شده است: روش هایی برای حل سیستم های معادلات جبری خطی، فرمول حسابی قضیه فیثاغورث.

ریاضیات هندی که دوران شکوفایی آن به قرن های 5 تا 12 برمی گردد، با استفاده از شماره گذاری اعشاری مدرن و همچنین صفر برای نشان دادن عدم وجود واحدهای این دسته و شایستگی توسعه بسیار گسترده تر جبر نسبت به آن شناخته می شود. از دیوفانتوس، که نه تنها با اعداد گویا مثبت، بلکه با اعداد منفی و غیر منطقی نیز عمل می کند.

فتوحات اعراب به این واقعیت منجر شد که از آسیای مرکزی تا شبه جزیره ایبری، دانشمندان از زبان عربی در قرون 9 تا 15 استفاده می کردند. در قرن نهم، دانشمند آسیای مرکزی الخوارزمی برای اولین بار جبر را به عنوان یک علم مستقل مطرح کرد. در این دوره، بسیاری از مسائل هندسی فرمول جبری دریافت کردند. البطانی سوری توابع مثلثاتی سینوسی، مماس و کوتانژانت را معرفی کرد.الکشی دانشمند سمرقندی (قرن پانزدهم) کسرهای اعشاری را معرفی کرد و با ارائه یک نمایش سیستماتیک، فرمول دوجمله ای نیوتن را فرموله کرد.

دوره اساساً جدیدی در توسعه ریاضیات در قرن هفدهم آغاز شد، زمانی که ایده حرکت، تغییر به وضوح وارد ریاضیات شد. در نظر گرفتن متغیرها و روابط بین آنها منجر به ایجاد مفاهیم توابع، مشتقات و انتگرال ها شد.

از اواخر قرن 18 تا آغاز قرن 19، تعدادی ویژگی اساساً جدید در توسعه ریاضیات مشاهده شد. مشخصه ترین آنها علاقه به بازنگری انتقادی تعدادی از مسائل در پایه ریاضیات بود. مفاهیم مبهم بی‌نهایت‌ها با فرمول‌بندی‌های دقیق مرتبط با مفهوم حد جایگزین شده‌اند.

در جبر در قرن 19، مسئله امکان حل معادلات جبری در رادیکال ها روشن شد (دانشمند نروژی N. Abel، دانشمند فرانسوی E. Galois).

در قرن 19 و 20، روش های عددی ریاضیات به یک شاخه مستقل - ریاضیات محاسباتی تبدیل شد. کاربردهای مهمی برای فناوری جدید کامپیوتر توسط شاخه ای از ریاضیات که در قرن 19 و 20 توسعه یافت - منطق ریاضی - یافت شد.

این مطالب توسط Leshchenko O.V. معلم ریاضیات تهیه شده است.