Flexion avec torsion d'une poutre de section ronde. Flexion spatiale (complexe). Calcul des coques de révolution sans moment
Dans le cas du calcul d'une barre ronde sous l'action de la flexion et de la torsion (Fig. 34.3), il est nécessaire de prendre en compte les contraintes normales et de cisaillement, car les valeurs de contrainte maximales dans les deux cas se produisent à la surface. Le calcul doit être effectué selon la théorie de la résistance, en remplaçant l'état de contrainte complexe par un état simple tout aussi dangereux.
Contrainte de torsion maximale dans la section
Contrainte de flexion maximale dans la section
Selon l'une des théories de résistance, en fonction du matériau de la poutre, la contrainte équivalente pour la section dangereuse est calculée et la poutre est testée pour sa résistance en utilisant la contrainte de flexion admissible pour le matériau de la poutre.
Pour une poutre ronde, les moments de module de section sont les suivants :
Lors du calcul selon la troisième théorie de la résistance, la théorie des contraintes de cisaillement maximales, la contrainte équivalente est calculée par la formule
La théorie est applicable aux matériaux plastiques.
Lors du calcul selon la théorie de l'énergie de formation, la contrainte équivalente est calculée par la formule
La théorie est applicable aux matériaux ductiles et fragiles.
théorie des contraintes maximales de cisaillement :
Tension équivalente calculée selon théories de l'énergie de changement de forme :
où est le moment équivalent.
État de force
Exemples de résolution de problèmes
Exemple 1 Pour un état de contrainte donné (Fig. 34.4), en utilisant l'hypothèse des contraintes de cisaillement maximales, calculez le facteur de sécurité si σ T \u003d 360 N / mm 2.
1. Qu'est-ce qui caractérise et comment l'état de contrainte en un point est-il représenté ?
2. Quels sites et quelles tensions sont appelés les principaux ?
3. Énumérez les types d'états de stress.
4. Qu'est-ce qui caractérise l'état déformé en un point ?
5. Dans quels cas les états de contraintes limites apparaissent-ils dans les matériaux ductiles et fragiles ?
6. Quelle est la tension équivalente ?
7. Expliquez le but des théories de la force.
8. Écrire des formules pour calculer les contraintes équivalentes dans les calculs selon la théorie des contraintes maximales de cisaillement et la théorie de l'énergie de déformation. Expliquez comment les utiliser.
CONFÉRENCE 35
Sujet 2.7. Calcul d'une barre de section circulaire avec une combinaison de déformations de base
Connaître les formules des contraintes équivalentes selon les hypothèses des plus grandes contraintes tangentielles et de l'énergie de déformation.
Être capable de calculer une poutre de section circulaire pour la résistance avec une combinaison de déformations de base.
Formules de calcul des contraintes équivalentes
Contrainte équivalente selon l'hypothèse des contraintes maximales de cisaillement
Contrainte équivalente selon l'hypothèse d'énergie de déformation
Condition de résistance sous l'action combinée de la flexion et de la torsion
où M EQ est le moment équivalent.
Moment équivalent selon l'hypothèse des contraintes maximales de cisaillement
Moment équivalent selon l'hypothèse d'énergie de changement de forme
Caractéristique du calcul des arbres
La plupart des arbres subissent une combinaison de déformations en flexion et en torsion. Les arbres sont généralement des barres droites à section ronde ou annulaire. Lors du calcul des arbres, les contraintes de cisaillement dues à l'action des forces transversales ne sont pas prises en compte en raison de leur insignifiance.
Les calculs sont effectués pour les sections transversales dangereuses. Sous chargement spatial de l'arbre, l'hypothèse d'indépendance de l'action des forces est utilisée et les moments de flexion sont considérés dans deux plans mutuellement perpendiculaires, et le moment de flexion total est déterminé par sommation géométrique.
Exemples de résolution de problèmes
Exemple 1 Dans une section transversale dangereuse d'une poutre ronde, des facteurs de force internes apparaissent (Fig. 35.1) Mx; Mon; Mz.
M x et Mon- moments de flexion dans les plans euh et zOx respectivement; Mz- couple. Vérifier la résistance selon l'hypothèse des plus grandes contraintes de cisaillement, si [ σ ] = 120 MPa. Donnée initiale: M x= 0,9 kN·m ; M y = 0,8 kN·m ; Mz = 2,2 kN*m ; ré= 60 millimètres.
La solution
Nous construisons des diagrammes de contraintes normales à partir de l'action des moments de flexion par rapport aux axes Oh et UO et un diagramme des contraintes de cisaillement de torsion (Fig. 35.2).
La contrainte de cisaillement maximale se produit à la surface. Contraintes normales maximales à partir du moment M x survenir au point MAIS, contraintes normales maximales à partir du moment Monà ce point À. Les contraintes normales s'additionnent parce que les moments de flexion dans des plans mutuellement perpendiculaires sont sommés géométriquement.
Moment de flexion total :
On calcule le moment équivalent selon la théorie des contraintes maximales de cisaillement :
État de force :
Module de section: W oce dans oe \u003d 0,1 60 3 \u003d 21600mm 3.
Vérification de la force :
La durabilité est garantie.
Exemple 2 Calculez le diamètre d'arbre requis à partir de la condition de résistance. Deux roues sont montées sur l'arbre. Il y a deux forces circonférentielles agissant sur les roues F t 1 = 1,2 kN ; F t 2= 2kN et deux forces radiales dans le plan vertical F r 1= 0,43 kN ; F r 2 = 0,72 kN (figure 35.3). Les diamètres des roues sont respectivement égaux d1= 0,1 m ; d2= 0,06 m.
Accepter pour le matériau de l'arbre [ σ ] = 50 MPa.
Le calcul est effectué selon l'hypothèse des contraintes maximales de cisaillement. Ignorez le poids de l'arbre et des roues.
La solution
Instruction. Nous utilisons le principe d'indépendance de l'action des forces, établissons des schémas de conception de l'arbre dans les plans vertical et horizontal. Nous déterminons séparément les réactions des supports dans les plans horizontal et vertical. Nous construisons des diagrammes de moments de flexion (Fig. 35.4). Sous l'action des forces circonférentielles, l'arbre se tord. Déterminer le couple agissant sur l'arbre.
Faisons un schéma de calcul de l'arbre (Fig. 35.4).
1. Couple de l'arbre :
2. On considère le coude dans deux plans : horizontal (pl. H) et vertical (pl. V).
Dans le plan horizontal, on détermine les réactions dans le support :
DE et À:
 |
Dans le plan vertical, on détermine les réactions dans le support :
Déterminer les moments de flexion aux points C et B :
Moments de flexion totaux aux points C et B :
À ce point À le moment de flexion maximal, le couple agit également ici.
Le calcul du diamètre de l'arbre est effectué en fonction de la section la plus chargée.
3. Moment équivalent en un point À selon la troisième théorie de la force
4. Déterminez le diamètre de l'arbre avec une section circulaire à partir de la condition de résistance
Nous arrondissons la valeur résultante : ré= 36 millimètres.
Noter. Lors du choix des diamètres d'arbre, utilisez la gamme standard de diamètres (Annexe 2).
5. Nous déterminons les dimensions requises de l'arbre avec une section annulaire à c \u003d 0,8, où d est le diamètre extérieur de l'arbre.
Le diamètre d'un arbre annulaire peut être déterminé par la formule
Accepter ré= 42 millimètres.
La charge est mineure. d BH = 0,8d = 0,8 42 = 33,6 mm.
Arrondir à la valeur dBH= 33 millimètres.
6. Comparons les coûts du métal par la section transversale de l'arbre dans les deux cas.
Section transversale de l'arbre solide
Section transversale de l'arbre creux
La section transversale d'un arbre plein est presque le double de celle d'un arbre annulaire :
Exemple 3. Déterminez les dimensions de la section transversale de l'arbre (Fig. 2.70, un) lecteur de contrôle. Force de traction de la pédale P3, forces transmises par le mécanisme P1, R2, R4. Matériau de l'arbre - acier StZ avec limite d'élasticité σ t = 240 N/mm 2 , facteur de sécurité requis [ n] = 2,5. Le calcul est effectué selon l'hypothèse de l'énergie du changement de forme.
La solution
Considérez l'équilibre de l'arbre, après avoir apporté les forces R 1, R 2, R 3, R 4 aux points de son axe.
Transfert de forces R 1 parallèles à eux-mêmes en points À et E, il faut additionner des couples d'efforts de moments égaux aux moments d'efforts R 1 par rapport aux points À et E, c'est à dire.
Ces couples de forces (moments) sont classiquement représentés sur la Fig. 2,70 , b sous la forme de lignes arquées avec des flèches. De même, lors du transfert de forces R2, R3, R4 aux points K, E, L, N vous devez ajouter des couples de forces avec des moments
Les roulements de l'arbre illustrés à la fig. 2.70, a, doivent être considérés comme des supports articulés spatiaux qui empêchent le mouvement dans la direction des axes X et à(le système de coordonnées sélectionné est illustré à la Fig. 2.70, b).
En utilisant le schéma de calcul illustré à la Fig. 2,70 dans, on compose les équations d'équilibre :
 |
 |
d'où les réactions de soutien SUR LE et HB défini correctement.
Tracés de couple Mz et moments de flexion Mon sont présentés dans la fig. 2,70 g. Le tronçon à gauche du point L est dangereux.
La condition de résistance a la forme :
où est le moment équivalent selon l'hypothèse de l'énergie de changement de forme
Diamètre extérieur de l'arbre requis
Nous acceptons d \u003d 45 mm, puis d 0 \u003d 0,8 * 45 \u003d 36 mm.
Exemple 4 Vérifiez la résistance de l'arbre intermédiaire (Fig. 2.71) d'un engrenage droit, si l'arbre transmet la puissance N= 12,2 kW à la vitesse P= 355 tr/min. L'arbre est en acier St5 avec une limite d'élasticité σ t \u003d 280 N / mm 2. Facteur de sécurité requis [ n] = 4. Lors du calcul, appliquer l'hypothèse des contraintes de cisaillement les plus élevées.
Instruction. Efforts du district R 1 et R2 se trouvent dans un plan horizontal et sont dirigés le long des tangentes aux cercles des engrenages. Forces radiales T1 et T 2 se trouvent dans le plan vertical et sont exprimés en termes de force circonférentielle correspondante comme suit : J = 0,364R.
La solution
Sur la fig. 2.71, un un dessin schématique de l'arbre est présenté ; En figue. 2.71, b montre le diagramme de l'arbre et les forces apparaissant dans l'engrenage.
Déterminer le moment transmis par l'arbre :
Évidemment, m = m 1 = m 2(les moments de torsion appliqués à l'arbre, avec une rotation uniforme, sont égaux en grandeur et opposés en sens).
Déterminer les forces agissant sur les engrenages.
Efforts du district :
Forces radiales :
Considérez l'équilibre de l'arbre UN B, forces de pré-apport R 1 et R2 aux points situés sur l'axe de l'arbre.
Transférer le pouvoir R 1 parallèle à lui-même en un point L, il faut ajouter un couple de forces avec un moment égal au moment de la force R 1 par rapport au point L, c'est à dire.
Ce couple de forces (moment) est classiquement représenté sur la Fig. 2.71, dans sous la forme d'une ligne arquée avec une flèche. De même, lors du transfert de force R2 exactement À il faut attacher (ajouter) un couple de forces avec un moment
Les roulements de l'arbre illustrés à la fig. 2.71, un, doivent être considérés comme des supports articulés spatiaux qui empêchent les mouvements linéaires dans les directions des axes X et à(le système de coordonnées sélectionné est illustré à la Fig. 2.71, b).
En utilisant le schéma de calcul illustré à la Fig. 2.71, g, nous composons les équations d'équilibre de l'arbre dans le plan vertical :
Faisons une équation test :
par conséquent, les réactions d'appui dans le plan vertical sont déterminées correctement.
Considérez l'équilibre de l'arbre dans le plan horizontal :
Faisons une équation test :
par conséquent, les réactions d'appui dans le plan horizontal sont déterminées correctement.
Tracés de couple Mz et moments de flexion M x et Mon sont présentés dans la fig. 2.71, ré.
Dangereuse est la section À(voir figure 2.71, g,ré). Moment équivalent selon l'hypothèse des plus grandes contraintes de cisaillement
Contrainte équivalente selon l'hypothèse des plus grandes contraintes de cisaillement pour le point dangereux de l'arbre
facteur de sécurité
ce qui est beaucoup plus [ n] = 4, par conséquent, la résistance de l'arbre est assurée.
Lors du calcul de la résistance de l'arbre, l'évolution des contraintes dans le temps n'a pas été prise en compte, c'est pourquoi un facteur de sécurité aussi important a été obtenu.
Exemple 5 Déterminez les dimensions de la section transversale de la poutre (Fig. 2.72, un). Le matériau de la poutre est de l'acier 30XGS avec des limites d'élasticité conditionnelles en traction et en compression σ o, 2p = σ tr = 850 N/mm 2, σ 0,2 c = σ Tc = 965 N/mm 2. Facteur de sécurité [ n] = 1,6.
La solution
La barre travaille sur l'action combinée de la tension (compression) et de la torsion. Sous un tel chargement, deux facteurs de force internes apparaissent dans les sections transversales : la force longitudinale et le couple.
Tracés des efforts longitudinaux N et couple Mz illustré à la fig. 2.72, avant JC. Dans ce cas, déterminer la position de la section dangereuse selon les schémas N et Mz impossible, car les dimensions des sections transversales des sections de la poutre sont différentes. Pour déterminer la position de la section dangereuse, des tracés des contraintes de cisaillement normales et maximales sur la longueur de la poutre doivent être tracés.
Selon la formule
on calcule les contraintes normales dans les sections transversales de la poutre et on construit un diagramme o (Fig. 2.72, g).
Selon la formule
nous calculons les contraintes de cisaillement maximales dans les sections transversales de la poutre et traçons le diagramme t maximum(riz* 2,72, e).
Probablement dangereux sont les points de contour des sections transversales des sections UN B et CD(voir figure 2.72, un).
Sur la fig. 2.72, e les parcelles sont affichées σ et τ pour les sections de section UN B.
Rappelons que dans ce cas (une poutre à section ronde travaille sur l'action combinée de traction - compression et torsion), tous les points du contour de la section sont également dangereux.
Sur la fig. 2.72, et
Sur la fig. 2.72, h les tracés a et t sont représentés pour les sections transversales de la section CD.
Sur la fig. 2.72, et les contraintes sur les plaquettes initiales au point dangereux sont indiquées.
Les principales contraintes au point dangereux du chantier CD: 
Selon l'hypothèse de résistance de Mohr, la contrainte équivalente pour le point dangereux de la section considérée est
Les points de contour des sections transversales de la section AB se sont avérés dangereux.
La condition de résistance a la forme :
Exemple 2.76. Déterminer la valeur de force admissible Rà partir de la condition de résistance de la tige Soleil(Fig. 2.73) Le matériau de la tige est en fonte avec une résistance à la traction σ vr = 150 N / mm 2 et une résistance à la compression σ sun = 450 N / mm 2. Facteur de sécurité requis [ n] = 5.
Instruction.
Bois cassé abc situé dans un plan horizontal, et la tige UN B perpendiculaire à Soleil. Les forces R, 2R, 8R se situer dans un plan vertical; force 0,5 R, 1,6 R- en horizontal et perpendiculaire à la tige Soleil; force 10R, 16R coïncider avec l'axe de la tige Soleil; un couple de forces de moment m = 25Pd est situé dans un plan vertical perpendiculaire à l'axe de la tige Soleil.
La solution
Apportons la force R et 0,5P au centre de gravité de la section transversale B.
En transférant la force P parallèlement à elle-même au point B, nous devons ajouter une paire de forces avec un moment égal au moment de la force R par rapport au point À, soit un couple de moment m 1 = 10 Pd.
Force 0.5R se déplacer le long de sa ligne d'action jusqu'au point B.
Charges agissant sur la tige Soleil, illustré à la fig. 2,74 un.
Nous construisons des diagrammes de facteurs de force internes pour la tige Soleil. Sous le chargement spécifié de la tige dans ses sections transversales, six d'entre elles se présentent: force longitudinale N, forces transversales Qx et qy, couple mz moments de flexion Mx et Mu.
Parcelles N, Mz, Mx, Mu sont présentés dans la fig. 2,74 b(les ordonnées des diagrammes sont exprimées en termes de R et ré).
Parcelles Qy et Qx on ne construit pas, car les contraintes de cisaillement correspondant aux efforts transversaux sont faibles.
Dans l'exemple considéré, la position de la section dangereuse n'est pas évidente. Vraisemblablement, les sections K sont dangereuses (la fin de la section je) et S
Contraintes principales au point L :
Selon l'hypothèse de force de Mohr, la contrainte équivalente pour le point L
Déterminons l'amplitude et le plan d'action du moment de flexion Mi dans la section C, représentés séparément sur la fig. 2,74 ré. La même figure montre les diagrammes σ I, σ N , τ pour la partie C.
Contraintes sur les sites initiaux au point H(Fig. 2.74, e)
Contraintes principales en un point H:
Selon l'hypothèse de force de Mohr, la contrainte équivalente pour un point H
Contraintes sur les sites initiaux au point E (Fig. 2.74, et):
Contraintes principales au point E :
Selon l'hypothèse de force de Mohr, la contrainte équivalente pour le point E
Le point dangereux L Pour qui
La condition de résistance a la forme :
Contrôler les questions et les tâches
1. Quel état de contrainte se produit dans la section transversale de l'arbre sous l'action combinée de la flexion et de la torsion ?
2. Écrivez la condition de résistance pour le calcul de l'arbre.
3. Écrire des formules pour calculer le moment équivalent lors du calcul de l'hypothèse de contrainte de cisaillement maximale et de l'hypothèse d'énergie de déformation.
4. Comment la section dangereuse est-elle sélectionnée lors du calcul du puits ?
Courbure spatiale ce type de résistance complexe est appelé, dans lequel seuls les moments de flexion agissent dans la section transversale de la poutre et 
. Le moment de flexion total n'agit dans aucun des principaux plans d'inertie. Il n'y a pas de force longitudinale. La flexion spatiale ou complexe est souvent appelée coude non planaire, puisque l'axe plié de la tige n'est pas une courbe plate. Une telle courbure est causée par des forces agissant dans différents plans perpendiculaires à l'axe de la poutre (Fig. 12.4).
En suivant la procédure de résolution des problèmes de résistance complexe, décrite ci-dessus, nous décomposons le système spatial de forces présenté à la Fig. 12.4, en deux tels que chacun d'eux agisse dans un des plans principaux. En conséquence, nous obtenons deux coudes transversaux plats - dans les plans vertical et horizontal. Parmi les quatre facteurs de force internes qui surviennent dans la section transversale de la poutre 
, nous ne prendrons en compte que l'influence des moments fléchissants 
. Nous construisons des diagrammes 
, causées respectivement par les forces 
(Fig.12.4).
En analysant les diagrammes des moments de flexion, nous arrivons à la conclusion que la section A est dangereuse, car c'est dans cette section que se produisent les moments de flexion les plus importants 
et 
. Il faut maintenant établir les points dangereux de la section A. Pour ce faire, nous allons construire une ligne zéro. L'équation de la ligne zéro, compte tenu de la règle du signe pour les termes inclus dans cette équation, a la forme :
.
(12.7)
Ici, le signe "" est adopté près du deuxième terme de l'équation, puisque les contraintes du premier quart causées par le moment 
, sera négatif.
Déterminer l'angle d'inclinaison de la ligne zéro 
avec sens d'axe positif 
(Fig.12.6):
.
(12.8)
De l'équation (12.7), il s'ensuit que la ligne zéro lors de la flexion spatiale est une ligne droite et passe par le centre de gravité de la section.
D'après la Fig. 12.5, on peut voir que les plus grandes contraintes se produiront aux points des sections n° 2 et n° 4 les plus éloignés de la ligne zéro. En amplitude, les contraintes normales en ces points seront les mêmes, mais elles diffèrent en signe : au point n°4, les contraintes seront positives, c'est-à-dire étirement, au point n ° 2 - négatif, c'est-à-dire compressif. Les signes de ces contraintes ont été établis à partir de considérations physiques.
Maintenant que les points dangereux sont définis, nous calculons les contraintes maximales dans la section A et vérifions la résistance de la poutre à l'aide de l'expression :
.
(12.9)
La condition de résistance (12.9) permet non seulement de vérifier la résistance de la poutre, mais également de sélectionner les dimensions de sa section transversale, si le rapport des côtés de la section transversale est donné.
12.4. virage oblique
Oblique ce type de résistance complexe est appelé, dans lequel seuls les moments de flexion se produisent dans les sections transversales de la poutre 
et 
, mais contrairement à la flexion spatiale, toutes les forces appliquées à la poutre agissent dans un plan (de puissance) qui ne coïncide avec aucun des principaux plans d'inertie. Ce type de flexion est le plus souvent rencontré en pratique, nous allons donc l'étudier plus en détail.
Considérons une poutre en porte-à-faux chargée d'une force 
, comme le montre la figure 12.6, et en matériau isotrope.
Tout comme avec la flexion spatiale, il n'y a pas de force longitudinale en flexion oblique. L'influence des forces transversales dans le calcul de la résistance de la poutre sera négligée.
Le schéma de conception du faisceau illustré à la Fig. 12.6 est illustré à la Fig. 12.7.
Décomposons la force 
à la verticale 
et horizontale 
composants et à partir de chacun de ces composants nous construisons des diagrammes de moments fléchissants 
et 
.
Calculons les composantes du moment de flexion total dans la section 
:
;
.
Moment de flexion total dans la section 
équivaut à
Ainsi, les composantes du moment de flexion total peuvent être exprimées en termes de moment total comme suit :
;
.
(12.10)
On peut voir à partir de l'expression (12.10) qu'avec la flexion oblique, il n'est pas nécessaire de décomposer le système de forces externes en composants, puisque ces composants du moment de flexion total sont reliés les uns aux autres en utilisant l'angle d'inclinaison de la trace du plan de force 
. En conséquence, il n'est pas nécessaire de construire des diagrammes des composants 
et 
moment de flexion total. Il suffit de tracer le moment de flexion total 
dans le plan de force, puis, à l'aide de l'expression (12.10), déterminer les composantes du moment de flexion total dans toute section de poutre qui nous intéresse. La conclusion obtenue simplifie considérablement la solution des problèmes de flexion oblique.
Nous substituons les valeurs des composants du moment de flexion total (12.10) dans la formule des contraintes normales (12.2) à 
. On a:
.
(12.11)
Ici, le signe « » près du moment de flexion total est mis spécifiquement afin d'obtenir automatiquement le signe correct de la contrainte normale au point considéré de la section. Moment de flexion total 
et les coordonnées du point 
et 
sont pris avec leurs signes, à condition que dans le premier quadrant les signes des coordonnées du point soient pris positifs.
La formule (12.11) a été obtenue en considérant un cas particulier de flexion oblique d'une poutre pincée à une extrémité et sollicitée à l'autre par une force concentrée. Cependant, cette formule est une formule générale de calcul des contraintes de flexion.
La section dangereuse, comme dans le cas de la flexion spatiale dans le cas considéré (Fig. 12.6), sera la section A, car dans cette section se produit le moment de flexion total le plus élevé. Les points dangereux de la section A sont déterminés en construisant une ligne zéro. On obtient l'équation de la ligne zéro en calculant, à l'aide de la formule (12.11), les contraintes normales au point de coordonnées 
et 
appartenant à la ligne zéro et assimiler les contraintes trouvées à zéro. Après transformations simples, on obtient :
(12.12)
.
(12.13)
Ici 
- angle d'inclinaison de la ligne zéro par rapport à l'axe 
(Fig.12.8).
En examinant les équations (12.12) et (12.13), on peut tirer quelques conclusions sur le comportement de la ligne zéro lors d'une flexion oblique :
D'après la Fig. 12.8, il s'ensuit que les contraintes les plus importantes se produisent aux points de la section les plus éloignés de la ligne zéro. Dans le cas considéré, ces points sont les points n° 1 et n° 3. Ainsi, pour une flexion oblique, la condition de résistance a la forme :
.
(12.14)
Ici: 
;
.
Si les moments de résistance d'une section par rapport aux axes principaux d'inertie peuvent être exprimés en fonction des dimensions de la section, il convient d'utiliser la condition de résistance sous cette forme :
.
(12.15)
Lors de la sélection des sections, l'un des moments de résistance axiale est extrait du support et est donné par le rapport 
. Connaissance 
,
et angle 
, par tentatives successives déterminer les valeurs 
et 
, satisfaisant la condition de résistance
.
(12.16)
Pour les sections asymétriques qui n'ont pas de coins saillants, la condition de résistance sous la forme (12.14) est utilisée. Dans ce cas, à chaque nouvelle tentative de sélection d'une section, vous devez d'abord retrouver la position de la ligne zéro et les coordonnées du point le plus éloigné ( 
). Pour section rectangulaire 
. Etant donné le rapport, à partir de la condition de résistance (12.16) on peut facilement trouver la valeur 
et les dimensions de la section.
Considérons la définition des déplacements en flexion oblique. Trouvez la déviation dans la section 
poutre en porte-à-faux (Fig.12.9). Pour ce faire, nous représentons la poutre dans un seul état et construisons un diagramme des moments de flexion simples dans l'un des plans principaux. Nous déterminerons la flèche totale dans la section 
, ayant préalablement déterminé les projections du vecteur déplacement 
sur essieu 
et 
. La projection du vecteur de déviation complète sur l'axe 
trouver en utilisant la formule de Mohr :
La projection du vecteur de déviation complète sur l'axe 
trouver de la même manière :
La flèche totale est déterminée par la formule :
.
(12.19)
Il convient de noter que pour la flexion oblique dans les formules (12.17) et (12.18), lors de la détermination des projections de la déviation sur les axes de coordonnées, seuls les termes constants devant le signe intégral changent. L'intégrale elle-même reste constante. Lors de la résolution de problèmes pratiques, nous calculerons cette intégrale en utilisant la méthode de Mohr-Simpson. Pour ce faire, on multiplie le diagramme unitaire 
pour le fret 
(Fig.12.9), construit dans le plan de force, puis nous multiplions le résultat obtenu séquentiellement par des coefficients constants, respectivement, 
et 
. En conséquence, nous obtenons des projections de la flèche complète 
et 
sur l'axe des coordonnées 
et 
. Expressions des projections de flèche pour le cas général de chargement lorsque la poutre a 
les tracés ressembleront à :
;
(12.20)
.
(12.21)
Mettez de côté les valeurs trouvées pour 
,
et 
(Fig.12.8). Vecteur de déviation complète 
compose avec axe 
angle vif 
, dont les valeurs peuvent être trouvées par la formule :
,
(12.22)
.
(12.23)
En comparant l'équation (12.22) avec l'équation de la ligne zéro (12.13), nous concluons que
ou 
,
d'où il s'ensuit que la ligne zéro et le vecteur de déviation complète 
mutuellement perpendiculaires. Coin 
est le complément de l'angle 
jusqu'à 90 0 . Cette condition peut être utilisée pour vérifier lors de la résolution de problèmes de flexion oblique :
.
(12.24)
Ainsi, la direction des déviations lors de la flexion oblique est perpendiculaire à la ligne zéro. Cela implique la condition importante que la direction de déflexion ne coïncide pas avec la direction de la force agissante(Fig.12.8). Si la charge est un système plan de forces, l'axe de la poutre courbe se trouve dans un plan qui ne coïncide pas avec le plan d'action des forces. Le faisceau est biaisé par rapport au plan de force. Cette circonstance a servi de base au fait qu'un tel virage a commencé à s'appeler oblique.
Exemple 12.1. Déterminez la position de la ligne zéro (trouvez l'angle 
) pour la section transversale de la poutre illustrée à la Fig. 12.10.
1. Angle par rapport à la trace du plan de force 
on va reporter du sens positif de l'axe 
. Coin 
on prendra toujours le dièse, mais en tenant compte du signe. Tout angle est considéré comme positif si, dans le bon système de coordonnées, il est tracé à partir de la direction positive de l'axe 
dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et négatif si l'angle est tracé dans le sens des aiguilles d'une montre. Dans ce cas, l'angle 
considéré comme négatif ( 
).
2. Déterminez le rapport des moments d'inertie axiaux :
.
3. Nous écrivons l'équation de la ligne zéro avec un coude oblique sous la forme à partir de laquelle nous trouvons l'angle 
:
;
.
4. Angle 
s'est avéré positif, nous le reportons donc de la direction positive de l'axe 
dans le sens antihoraire jusqu'à la ligne zéro (Fig.12.10).
Exemple 12.2. Déterminer la valeur de la contrainte normale au point A de la section transversale de la poutre en flexion oblique, si le moment de flexion 
kNm, coordonnées du point 
cm, 
voir Dimensions de la section transversale du faisceau et angle du plan de force 
illustré à la Fig.12.11.
1. Calculer d'abord les moments d'inertie de la section autour des axes 
et 
:
cm 4; 
cm 4.
2. Écrivons la formule (12.11) pour déterminer les contraintes normales en un point arbitraire de la section en cas de flexion oblique. Lors de la substitution de la valeur du moment de flexion dans la formule (12.11), il convient de tenir compte du fait que le moment de flexion est positif selon l'état du problème.
-7,78 MPa.
Exemple 12.3. Déterminez les dimensions de la section transversale de la poutre illustrée à la Fig. 12.12a. Matériau de la poutre - acier avec contrainte admissible 
MPa. Le rapport d'aspect est donné 
. Charges et angle d'inclinaison du plan de force 
illustré à la Fig.12.12c.
1. Pour déterminer la position de la section dangereuse, nous construisons un diagramme des moments de flexion (Fig. 12.12b). La section A est dangereuse Le moment de flexion maximal dans la section dangereuse 
kNm
2. Le point dangereux de la section A sera l'un des points d'angle. On écrit la condition de résistance sous la forme
,
Où pouvons-nous trouver, étant donné que le rapport 
:
3. Déterminez les dimensions de la section transversale. Moment de résistance axial 
en tenant compte de la relation des parties 
équivaut à:
cm 3, d'où
cm; 
cm.
Exemple 12.4.À la suite de la flexion de la poutre, le centre de gravité de la section s'est déplacé dans la direction déterminée par l'angle 
avec essieu 
(Fig.12.13, a). Déterminer l'angle d'inclinaison 
avion électrique. La forme et les dimensions de la section transversale de la poutre sont indiquées sur la figure.
1. Pour déterminer l'angle d'inclinaison de la trace du plan de force 
on utilise l'expression (12.22) :
, où 
.
Rapport des moments d'inertie 
(voir exemple 12.1). Alors
.
Mettez de côté cette valeur d'angle 
du sens positif de l'axe 
(Fig.12.13,b). La trace du plan de force sur la Figure 12.13b est représentée par une ligne pointillée.
2. Vérifions la solution obtenue. Pour ce faire, avec la valeur trouvée de l'angle 
déterminer la position de la ligne zéro. Utilisons l'expression (12.13) :
.
La ligne zéro est représentée sur la Fig. 12.13 sous la forme d'une ligne en pointillés. La ligne zéro doit être perpendiculaire à la ligne de déviation. Regardons ça:
Exemple 12.5. Déterminez la déflexion totale de la poutre dans la section B lors d'une flexion oblique (Fig. 12.14a). Matériau de la poutre - acier avec module d'élasticité 
MPa. Dimensions de la section et angle d'inclinaison du plan de force 
sont illustrés à la Fig.12.14b.
1. Déterminer les projections du vecteur de déviation totale 
dans la rubrique A 
et 
. Pour ce faire, on construit la courbe de charge des moments fléchissants 
(Fig.12.14, c), un seul schéma 
(Fig.12.14, d).
2. En appliquant la méthode Mohr-Simpson, nous multiplions la cargaison 
et célibataire 
courbes des moments de flexion à l'aide des expressions (12.20) et (12.21) :
m 
mm.
m 
mm.
Moments d'inertie axiaux de la section 
voir 4 et 
cm 4 nous reprenons de l'exemple 12.1.
3. Déterminez la flèche totale de la section B :
.
Les valeurs trouvées des projections de la déflexion complète et de la déflexion complète elle-même sont tracées sur le dessin (Fig. 12.14b). Étant donné que les projections de la déflexion complète se sont révélées positives lors de la résolution du problème, nous les reportons dans le sens de l'action d'une force unitaire, c'est-à-dire descente ( 
) et gauche ( 
).
5. Pour vérifier l'exactitude de la solution, nous déterminons l'angle d'inclinaison de la ligne zéro par rapport à l'axe 
:
Nous ajoutons les modules des angles de la direction de déflexion complète 
et 
:
Cela signifie que la déflexion complète est perpendiculaire à la ligne zéro. Ainsi, le problème est résolu correctement.
Courbure spatiale (complexe)
La flexion spatiale est un type de résistance complexe, dans lequel seuls les moments de flexion et agissent dans la section transversale de la poutre. Le moment de flexion total n'agit dans aucun des principaux plans d'inertie. Il n'y a pas de force longitudinale. Une courbure tridimensionnelle ou complexe est souvent appelée courbure non plane, car l'axe de courbure de la barre n'est pas une courbe plane. Une telle courbure est causée par des forces agissant dans différents plans perpendiculaires à l'axe de la poutre (Fig. 1.2.1).
Fig.1.2.1
En suivant la procédure de résolution des problèmes de résistance complexe, décrite ci-dessus, nous décomposons le système spatial de forces illustré à la Fig. 1.2.1 en deux tels que chacun d'eux agisse dans un des plans principaux. En conséquence, nous obtenons deux coudes transversaux plats - dans les plans vertical et horizontal. Parmi les quatre facteurs de force internes qui surviennent dans la section transversale de la poutre, nous ne prendrons en compte que l'influence des moments de flexion. Nous construisons des diagrammes causés par des forces, respectivement (Fig. 1.2.1).
En analysant les diagrammes des moments fléchissants, nous arrivons à la conclusion que la section A est dangereuse, car c'est dans cette section que les plus grands moments fléchissants u se produisent. Il faut maintenant établir les points dangereux de la section A. Pour ce faire, nous allons construire une ligne zéro. L'équation de la ligne zéro, compte tenu de la règle du signe pour les termes inclus dans cette équation, a la forme :
Ici, le signe "" est adopté près du deuxième terme de l'équation, car les contraintes du premier quart, causées par le moment, seront négatives.
Déterminons l'angle d'inclinaison de la ligne zéro avec la direction positive de l'axe (Fig. 12.6):
Riz. 1.2.2
Il découle de l'équation (8) que la ligne zéro en cas de flexion spatiale est une ligne droite et passe par le centre de gravité de la section.
De la fig. 1.2.2 on peut voir que les plus grandes contraintes se produiront aux points des sections n° 2 et n° 4 les plus éloignés de la ligne zéro. En amplitude, les contraintes normales en ces points seront les mêmes, mais elles diffèrent en signe : au point n°4, les contraintes seront positives, c'est-à-dire étirement, au point n ° 2 - négatif, c'est-à-dire compressif. Les signes de ces contraintes ont été établis à partir de considérations physiques.
Maintenant que les points dangereux sont définis, nous calculons les contraintes maximales dans la section A et vérifions la résistance de la poutre à l'aide de l'expression :
La condition de résistance (10) permet non seulement de vérifier la résistance de la poutre, mais également de sélectionner les dimensions de sa section transversale, si le rapport des côtés de la section transversale est donné.
La flexion est comprise comme un type de chargement dans lequel des moments de flexion se produisent dans les sections transversales de la poutre. Si le moment de flexion dans la section est le seul facteur de force, alors la flexion est dite pure. Si, parallèlement au moment de flexion, des forces transversales apparaissent également dans les sections transversales de la poutre, la courbure est appelée transversale.
On suppose que le moment fléchissant et l'effort transversal se trouvent dans l'un des plans principaux de la poutre (on suppose que ce plan est ZOY). Un tel coude est appelé plat.
Dans tous les cas envisagés ci-dessous, une flexion transversale à plat des poutres a lieu.
Pour calculer la résistance ou la rigidité d'une poutre, il est nécessaire de connaître les facteurs de force internes qui surviennent dans ses sections. A cet effet, des diagrammes d'efforts transversaux (epure Q) et de moments fléchissants (M) sont construits.
Lors de la flexion, l'axe rectiligne de la poutre est plié, l'axe neutre passe par le centre de gravité de la section. Pour plus de précision, lors de la construction de diagrammes d'efforts transversaux de moments de flexion, nous établissons des règles de signe pour eux. Supposons que le moment de flexion sera considéré comme positif si l'élément de poutre est plié avec une convexité vers le bas, c'est-à-dire de manière à ce que ses fibres comprimées soient vers le haut.
Si le moment plie la poutre avec un renflement vers le haut, alors ce moment sera considéré comme négatif.
Les valeurs positives des moments de flexion lors du traçage sont tracées, comme d'habitude, dans la direction de l'axe Y, ce qui correspond au traçage sur une fibre comprimée.
Par conséquent, la règle des signes pour le diagramme des moments de flexion peut être formulée comme suit : les ordonnées des moments sont tracées à partir du côté des couches de poutres.
Le moment de flexion dans une section est égal à la somme des moments relatifs à cette section de tous les efforts situés d'un côté (n'importe lequel) de la section.
Pour déterminer les efforts transversaux (Q), on établit la règle des signes : l'effort transversal est considéré comme positif si l'effort extérieur tend à faire tourner la partie coupée de la poutre dans le sens des aiguilles d'une montre. flèche par rapport au point de l'axe qui correspond à la section dessinée.
La force transversale (Q) dans une section arbitraire de la poutre est numériquement égale à la somme des projections sur l'axe des y des forces extérieures appliquées à sa partie tronquée.
Considérons plusieurs exemples de tracé des forces transversales des moments de flexion. Toutes les forces sont perpendiculaires à l'axe des poutres, donc la composante horizontale de la réaction est nulle. L'axe déformé de la poutre et les efforts sont situés dans le plan principal ZOY.
La longueur de la poutre est pincée par l'extrémité gauche et chargée d'une force concentrée F et d'un moment m=2F.
On construit des diagrammes d'efforts transversaux Q et de moments fléchissants M à partir de.
Dans notre cas, aucune contrainte n'est imposée à la poutre du côté droit. Ainsi, afin de ne pas déterminer les réactions d'appui, il convient de considérer l'équilibre de la partie droite coupée de la poutre. La poutre donnée a deux zones de charge. Les limites des sections-sections dans lesquelles les forces externes sont appliquées. 1 tronçon - NE, 2 - VA.
Nous effectuons une section arbitraire dans la section 1 et considérons l'équilibre de la partie droite coupée de longueur Z 1.
De la condition d'équilibre il résulte :
Q=F ; M en sortie = -fz 1 ()
L'effort tranchant est positif car la force externe F tend à faire tourner la partie découpée dans le sens des aiguilles d'une montre. Le moment de flexion est considéré comme négatif car il plie la partie considérée du faisceau avec une convexité vers le haut.
Lors de la compilation des équations d'équilibre, nous fixons mentalement la place de la section; des équations () il s'ensuit que la force transversale dans la section I ne dépend pas de Z 1 et est une valeur constante. La force positive Q = F est mise à l'échelle à partir de la ligne médiane de la poutre, perpendiculaire à celle-ci.
Le moment de flexion dépend de Z 1 .
Lorsque Z 1 \u003d O M de \u003d O à Z 1 \u003d M de \u003d
La valeur résultante () est mise de côté, c'est-à-dire le schéma M est construit sur la fibre compressée.
Passons à la deuxième partie
Nous coupons la section II à une distance arbitraire Z 2 de l'extrémité droite libre de la poutre et considérons l'équilibre de la partie coupée de longueur Z 2. La variation de l'effort tranchant et du moment fléchissant en fonction des conditions d'équilibre peut être exprimée par les équations suivantes :
Q=FM de = - FZ 2 +2F
L'amplitude et le signe de la force transversale n'ont pas changé.
L'amplitude du moment de flexion dépend de Z 2 .
A Z 2 = M de =, à Z 2 =
Le moment fléchissant s'est avéré positif, tant au début de la section II qu'à sa fin. Dans la section II, le faisceau se plie avec un renflement vers le bas.
Mettez de côté sur une échelle l'amplitude des moments le long de l'axe de la poutre (c'est-à-dire que le diagramme est construit sur une fibre comprimée). Le plus grand moment de flexion se produit dans la section où le moment externe m est appliqué et est égal en valeur absolue à
A noter que sur la longueur de la poutre, où Q reste constant, le moment fléchissant M évolue linéairement et est représenté sur le tracé par des droites obliques. D'après les diagrammes Q et M de, on peut voir que dans la section où une force transversale externe est appliquée, le diagramme Q a un saut de la valeur de cette force, et le diagramme M de a un coude. Dans une section où un moment de flexion externe est appliqué, le diagramme Miz présente un saut de la valeur de ce moment. Cela ne se reflète pas dans le graphique Q. D'après le diagramme M de nous voyons que
maximum M en sortie =
par conséquent, la section dangereuse est extrêmement proche du côté gauche de la soi-disant.
Pour la poutre illustrée à la Fig. 13, a, construisez des diagrammes des forces transversales et des moments de flexion. La longueur de la poutre est chargée avec une charge uniformément répartie d'intensité q(KN/cm).
Sur le support A (charnière fixe) il y aura une réaction verticale R a (la réaction horizontale est nulle), et sur le support B (charnière mobile) une réaction verticale R v se produit.
Déterminons les réactions verticales des appuis en composant l'équation des moments relatifs aux appuis A et B.
Vérifions l'exactitude de la définition de la réaction:
ceux. les réactions d'appui sont correctement définies.
La poutre donnée a deux sections de chargement : Section I - AC.
Section II - NE.
Sur le premier tronçon a, dans le tronçon courant Z 1, à partir de la condition d'équilibre de la partie coupée, on a
L'équation des moments de flexion sur 1 section de la poutre :
Le moment de la réaction R a plie la poutre dans la section 1, convexe vers le bas, de sorte que le moment de flexion de la réaction Ra est introduit dans l'équation avec un signe plus. La charge qZ 1 plie la poutre avec une convexité vers le haut, de sorte que son moment est introduit dans l'équation avec un signe moins. Le moment de flexion évolue selon la loi d'une parabole carrée.
Par conséquent, il est nécessaire de savoir s'il existe un extremum. Il existe une dépendance différentielle entre l'effort transversal Q et le moment de flexion, que nous analyserons plus loin
Comme vous le savez, la fonction a un extremum où la dérivée est égale à zéro. Par conséquent, afin de déterminer à quelle valeur de Z 1, le moment de flexion sera extrême, il est nécessaire d'égaliser l'équation de la force transversale à zéro.
Étant donné que la force transversale change de signe de plus à moins dans cette section, le moment de flexion dans cette section sera maximal. Si Q change de signe de moins à plus, alors le moment de flexion dans cette section sera minimal.
Donc le moment de flexion à
est le maximum.
Par conséquent, nous construisons une parabole sur trois points
Lorsque Z 1 \u003d 0 M de \u003d 0
On coupe le second profilé à une distance Z 2 du support B. A partir de la condition d'équilibre de la partie droite de la poutre coupée, on a :
Lorsque Q=const,
le moment de flexion sera :
à, à, c'est-à-dire JE VIENS DE
évolue linéairement.
Une poutre sur deux supports, ayant une portée égale à 2 et une console gauche avec une longueur, est chargée comme indiqué sur la Fig. 14, a., Où q (Kn / cm) est la charge linéaire. Le support A est fixe en pivotement, le support B est un galet mobile. Construisez les tracés Q et M à partir de.
La solution du problème doit commencer par la détermination des réactions des supports. De la condition que la somme des projections de toutes les forces sur l'axe Z soit égale à zéro, il s'ensuit que la composante horizontale de la réaction sur le support A est 0.
Pour vérifier, on utilise l'équation
L'équation d'équilibre est satisfaite, par conséquent, les réactions sont calculées correctement. Passons à la définition des facteurs de force internes. Une poutre donnée a trois zones de charge :
- 1 section - SA,
- 2ème tranche - AD,
- 3 sections - DV.
Nous coupons 1 section à une distance Z 1 de l'extrémité gauche de la poutre.
à Z 1 \u003d 0 Q \u003d 0 M DE \u003d 0
à Z 1 \u003d Q \u003d -q M IZ \u003d
Ainsi, sur le diagramme des efforts transversaux, on obtient une droite inclinée, et sur le diagramme des moments de flexion, on obtient une parabole dont le sommet est situé à l'extrémité gauche de la poutre.
Dans la section II (a Z 2 2a), pour déterminer les facteurs d'efforts internes, considérons l'équilibre de la partie gauche coupée de la poutre de longueur Z 2 . De la condition d'équilibre on a :
La force transversale dans cette zone est constante.
Sur la section III()
D'après le diagramme, nous voyons que le plus grand moment de flexion se produit dans la section sous la force F et est égal à. Cette section sera la plus dangereuse.
Sur le schéma M à partir de là se trouve un saut sur l'appui B, égal au moment extérieur appliqué dans cette section.
Au vu des diagrammes construits ci-dessus, il n'est pas difficile de remarquer une certaine liaison régulière entre les diagrammes de moments fléchissants et les diagrammes d'efforts transversaux. Prouvons-le.
La dérivée de la force transversale sur la longueur de la poutre est égale au module de l'intensité de la charge.
En rejetant la valeur de l'ordre supérieur de petitesse, on obtient :
ceux. la force transversale est la dérivée du moment de flexion le long de la longueur de la poutre.
Compte tenu des dépendances différentielles obtenues, des conclusions générales peuvent être tirées. Si la poutre est chargée avec une charge uniformément répartie d'intensité q=const, évidemment, la fonction Q sera linéaire, et M de -quadratique.
Si la poutre est chargée de forces ou de moments concentrés, alors dans les intervalles entre les points de leur application, l'intensité q=0. Donc, Q=const, et M de est une fonction linéaire de Z. Aux points d'application des forces concentrées, le diagramme Q subit un saut de la valeur de la force extérieure, et dans le diagramme M de, une rupture correspondante se produit (un écart dans la dérivée).
Au lieu d'application du moment de flexion externe, il y a un espace dans le diagramme de moment, égal en grandeur au moment appliqué.
Si Q>0, alors M croît, et si Q<0, то М из убывает.
Les dépendances différentielles sont utilisées pour vérifier les équations compilées pour tracer Q et M à partir de, ainsi que pour clarifier la forme de ces diagrammes.
Le moment fléchissant évolue selon la loi d'une parabole dont la convexité est toujours dirigée vers la charge extérieure.
