Développement méthodique "méthode d'induction mathématique". Méthode de calculateur d'induction mathématique en ligne Méthode de théorie de l'induction mathématique

MBOU Lycée "Technique et Economique"

MÉTHODE D'INDUCTION MATHÉMATIQUE

MÉTHODE D'INDUCTION MATHÉMATIQUE.

NOTE EXPLICATIVE

Le développement méthodologique "Méthode d'induction mathématique" a été compilé pour les élèves de la 10e année du profil mathématique.

Objectifs principaux : familiariser les élèves avec la méthode d'induction mathématique et apprendre à l'appliquer à la résolution de divers problèmes.

Dans le développement méthodologique, des questions de mathématiques élémentaires sont abordées : problèmes de divisibilité, preuve d'identités, preuve d'inégalités, des problèmes plus ou moins complexes sont proposés, dont des problèmes proposés lors des olympiades.

Le rôle des inférences inductives dans les sciences expérimentales est très grand. Ils donnent ces dispositions, à partir desquelles d'autres conclusions sont ensuite tirées par déduction. Nom méthode d'induction mathématique trompeusement - en fait, cette méthode est déductive et donne une preuve rigoureuse des énoncés devinés par induction. La méthode d'induction mathématique contribue à l'identification des liens entre les différentes sections des mathématiques, aide à développer la culture mathématique de l'élève.

Définition de la méthode d'induction mathématique. Induction complète et incomplète. Preuve des inégalités. Preuve d'identité. Résolution de problèmes de divisibilité. Résoudre divers problèmes sur le thème "Méthode d'induction mathématique".

LITTÉRATURE POUR L'ENSEIGNANT

1. M.L. Galitsky. Approfondissement du cours d'algèbre et d'analyse mathématique. - M. Lumières. 1986.

2. L.I. Zvavich. Algèbre et débuts de l'analyse. Matériel didactique. M. Drofa. 2001.

3. N. Ya. Vilenkin. Algèbre et analyse mathématique. Lumières M. 1995.

4. Yu.V. Mikheev. Méthode d'induction mathématique. NGU.1995.

LITTÉRATURE POUR ÉTUDIANTS

1. N. Ya. Vilenkin. Algèbre et analyse mathématique. Lumières M. 1995.

2. Yu.V. Mikheev. Méthode d'induction mathématique. NGU.1995.

MOTS CLÉS

Induction, axiome, principe d'induction mathématique, induction complète, induction incomplète, assertion, identité, inégalité, divisibilité.

ANNEXE DIDACTIQUE AU SUJET

"MÉTHODE D'INDUCTION MATHÉMATIQUE".

Leçon 1

Définition de la méthode d'induction mathématique.

La méthode de l'induction mathématique est l'une des méthodes les plus efficaces pour trouver de nouveaux résultats et prouver la véracité des hypothèses avancées. Bien que cette méthode ne soit pas nouvelle en mathématiques, l'intérêt pour elle ne faiblit pas. Pour la première fois dans une présentation claire, la méthode d'induction mathématique a été appliquée au XVIIe siècle par l'éminent scientifique français Blaise Pascal pour prouver les propriétés d'un triangle numérique, qui porte depuis son nom. Cependant, l'idée d'induction mathématique était connue des Grecs de l'Antiquité. La méthode d'induction mathématique est basée sur le principe de l'induction mathématique, qui est accepté comme axiome. Nous allons considérer l'idée d'induction mathématique avec des exemples.

Exemple 1.

Le carré est divisé par un segment en deux parties, puis l'une des parties résultantes est divisée en deux parties, et ainsi de suite. Déterminer en combien de parties le carré est divisé P pas?

La solution.

Après la première étape, nous obtenons, par condition, 2 parties. Dans la deuxième étape, nous laissons une partie inchangée et divisons la seconde en 2 parties et obtenons 3 parties. Dans la troisième étape, nous laissons 2 parties inchangées et divisons la troisième en deux parties et obtenons 4 parties. Dans la quatrième étape, nous laissons 3 parties inchangées et divisons la dernière partie en deux parties et obtenons 5 parties. Dans la cinquième étape, nous obtiendrons 6 parties. La suggestion est faite qu'à travers Pétapes que nous obtenons (n+1) partie. Mais cette proposition doit être prouvée. Supposons qu'à travers àétapes le carré est divisé en (k+1) partie. Puis sur (k+1) pas nous à les parties resteront inchangées, et (k+1) diviser la partie en deux parties et obtenir (m+2) les pièces. Vous remarquez que vous pouvez argumenter ainsi aussi longtemps que vous le souhaitez, à l'infini. C'est-à-dire que notre hypothèse est que P le carré des marches sera divisé en (n+1) partie, devient avérée.

Exemple #2.

Ma grand-mère avait une petite-fille qui aimait beaucoup la confiture, et surtout celle en pot d'un litre. Mais la grand-mère ne lui a pas permis de toucher. Et les petites-filles ont décidé de tromper leur grand-mère. Il a décidé de manger chaque jour 1/10 de litre de ce bocal et de le remplir d'eau en mélangeant soigneusement. Après combien de jours grand-mère découvrira-t-elle la tromperie si la confiture reste la même en apparence diluée de moitié avec de l'eau ?

La solution.

Trouvez combien de confiture pure restera dans le bocal après P journées. Après le premier jour, le mélange restera dans le bocal, composé de 9/10 de confiture et 1/10 d'eau. Au bout de deux jours, 1/10 du mélange d'eau et de confiture disparaîtra du pot et restera (1 litre du mélange contient 9/10 litres de confiture, 1/10 litre du mélange contient 9/100 litres de confiture)

9/10 - 9/100=81/100=(9/10) 2 litres de confiture. Le troisième jour, 1/10 de litre d'un mélange composé de 81/100 de confiture et de 19/100 d'eau disparaîtra du bocal. Dans 1 litre de mélange il y a 81/100 litres de confiture, dans 1/10 litre de mélange 81/1000 litres de confiture. 81/100 – 81/1000=

729/1000=(9/10) Il restera 3 litres de confiture au bout de 3 jours, et le reste sera repris par l'eau. Un modèle émerge. À travers P jours restants en banque (9/10) P Je confiture. Mais encore une fois, ce n'est que notre supposition.

Laisser à est un nombre naturel arbitraire. Supposons qu'à travers à jours en banque resteront (9/10) à l'embouteillage. Voyons ce qu'il y aura à la banque un autre jour, c'est-à-dire dans (k+1) journée. Va disparaître de la banque 1/10l un mélange de (9/10) à je confiture et eau. À 1l le mélange est (9/10) à je confiture, dans 1/10l mélanges (9/10) k+1 je Confiture. Maintenant, nous pouvons dire en toute sécurité qu'à travers P jours restants en banque (9/10) P je Confiture. Dans 6 jours, la banque aura 531444/1000000l confitures, après 7 jours - 4782969/10000000l confiture, c'est-à-dire moins de la moitié.

Réponse: au bout de 7 jours, la grand-mère découvrira la supercherie.

Essayons de distinguer les plus basiques dans les solutions des problèmes considérés. Nous avons commencé à résoudre chacun d'eux en considérant des cas distincts ou, comme on dit, des cas particuliers. Ensuite, sur la base de nos observations, nous avons fait quelques hypothèses P(n), en fonction de la nature P

l'assertion a été vérifiée, c'est-à-dire prouvée P(1), P(2), P(3);

suggéré que P(n) valable n=n et déduit qu'alors il sera valable pour la prochaine n, n=k+1.

Et puis ils ont argumenté quelque chose comme ça : P(1) droit, P(2) droit, P(3) droit, P(4) c'est vrai... c'est vrai P(n).

Le principe de l'induction mathématique.

Déclaration P(n), en fonction de la nature P, est valable pour tout naturel P, si

1) la validité de l'assertion pour n=1 ;

2) de l'hypothèse de la validité de la déclaration P(n)à n=n devrait

Justice P(n)à n=k+1.

En mathématiques, le principe d'induction mathématique est choisi, en règle générale, comme l'un des axiomes qui définissent la série naturelle des nombres, et, par conséquent, est accepté sans preuve. La méthode de preuve par le principe d'induction mathématique est généralement appelée la méthode d'induction mathématique. Notez que cette méthode est largement utilisée pour prouver des théorèmes, des identités, des inégalités dans la résolution de problèmes de divisibilité et de nombreux autres problèmes.

Leçon 2

Induction complète et incomplète.

Dans le cas où un énoncé mathématique concerne un nombre fini d'objets, on peut le prouver en vérifiant pour chaque objet, par exemple, l'énoncé « Tout nombre pair à deux chiffres est la somme de deux nombres premiers ». La méthode de preuve dans laquelle nous testons un énoncé pour un nombre fini de cas est appelée induction mathématique complète. Cette méthode est relativement rarement utilisée, puisque les énoncés sont le plus souvent considérés sur des ensembles infinis. Par exemple, le théorème "Tout nombre pair est égal à la somme de deux nombres premiers" n'a été ni prouvé ni réfuté jusqu'à présent. Même si nous testions ce théorème pour le premier milliard, cela ne nous rapprocherait pas d'un pas de sa démonstration.

Dans les sciences naturelles, une induction incomplète est utilisée, testant l'expérience plusieurs fois, transférant le résultat à tous les cas.

Exemple #3

Devinez en utilisant une formule d'induction incomplète pour la somme de cubes de nombres naturels.

La solution.

1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;

1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 =(1+2+3+4+5) 2 ; …; 1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 .

Preuve.

Que ce soit vrai pour n=k.

Prouvons que c'est vrai pour n=k+1.

Conclusion : la formule de la somme des cubes de nombres naturels est vraie pour tout naturel P

Exemple #4

Considérez les égalités et devinez à quelle loi générale ces exemples conduisent.

La solution.

1=0+1

2+3+4=1+8

5+6+7+8+9=8+27

10+11+12+13+14+15+16=27+64

17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125

……………………………………………………………..

Exemple #5

Écris les expressions suivantes sous forme de somme :

1)
2)
3)
; 4)
.

Lettre grecque "sigma".

Exemple #6.

Écris les sommes suivantes à l'aide du signe
:

2)

Exemple #7.

Écrivez les expressions suivantes sous forme de produits :

1)

3)
4)

Exemple #8.

Notez les œuvres suivantes à l'aide du signe

(lettre majuscule grecque "pi")

1)
2)

Exemple #9.

Calcul de la valeur d'un polynôme F ( n )= n 2 + n +11 , à n=1,2,3,4.5,6,7 on peut supposer que pour tout naturelP Numéro F ( n ) Facile.

Cette hypothèse est-elle correcte ?

La solution.

Si chaque somme est divisible par un nombre, alors la somme est divisible par ce nombre,
n'est un nombre premier pour aucun nombre naturelP

L'analyse d'un nombre fini de cas joue un rôle important en mathématiques : sans donner la preuve de tel ou tel énoncé, elle permet de deviner la formulation correcte de cet énoncé, s'il n'est pas encore connu. C'est ainsi que Goldbach, membre de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg, est arrivé à la conjecture que tout nombre naturel, à partir de deux, est la somme de trois nombres premiers au maximum.

Lecon 3

La méthode d'induction mathématique nous permet de prouver diverses identités.

Exemple #10. Prouvons que pour tout P l'identité

La solution.

Mettons

Nous devons prouver que

Montrons que Alors à partir de la vérité de l'identité

la vérité de l'identité suit

Par le principe d'induction mathématique, la vérité de l'identité pour tous P.

Exemple #11.

Prouvons l'identité

Preuve.

égalités terme à terme.

;
. Donc cette identité est vraie pour tousP .

Leçon numéro 4.

Preuve d'identités par induction mathématique.

Exemple #12. Prouvons l'identité

Preuve.

En appliquant le principe d'induction mathématique, nous avons prouvé que l'égalité est vraie pour tout P.

Exemple #13. Prouvons l'identité

Preuve.

En appliquant le principe d'induction mathématique, nous avons prouvé que l'énoncé est vrai pour tout naturel P.

Exemple #14. Prouvons l'identité

Preuve.

Exemple #15. Prouvons l'identité

1) n=1 ;

2) pour n=n égalité

3) prouver que l'égalité est vraie pour n=k+1 :

Conclusion : l'identité vaut pour toute personne physique P

Exemple #16. Prouvons l'identité

Preuve.

Si un n=1 , alors

Laissez l'identité tenir pour n=k.

Montrons que l'identité est vraie pour n=k+1.

Alors l'identité est valable pour toute personne physique P.

Leçon numéro 5.

Preuve d'identités par induction mathématique.

Exemple #17. Prouvons l'identité

Preuve.

Si un n=2 , alors on obtient la bonne égalité :

Soit l'égalité vraie pourn=k :

Prouvons la validité de l'assertion pour n=k+1.

Selon le principe de l'induction mathématique, l'identité est prouvée.

Exemple #18. Prouvons l'identité
pour n≥2.

À n=2 cette identité peut être réécrite sous une forme très simple

et évidemment vrai.

Laissez à n=n vraiment

.

Prouvons la validité de l'assertion pourn=k+1, c'est-à-dire que l'égalité est satisfaite : .

Ainsi, nous avons prouvé que l'identité est vraie pour tout naturel n≥2.

Exemple #19. Prouvons l'identité

À n=1 on obtient la bonne égalité :

Supposons qu'à n=n on obtient aussi la bonne égalité :

Montrons que la validité de l'égalité est observée pour n=k+1 :

Alors l'identité est valable pour toute personne physique P.

Leçon numéro 6.

Résolution de problèmes de divisibilité.

Exemple #20. Démontrer par induction mathématique que

divisé par 6 sans laisser de trace.

Preuve.

À n=1 il y a une division en6 sans laisser de trace,
.

Laissez à n=n expression
plusieurs6.

Prouvons que lorsque n=k+1 expression
plusieurs6 .

Chaque terme est un multiple 6 , donc la somme est un multiple de 6 .

Exemple numéro 21.
sur le5 sans laisser de trace.

Preuve.

À n=1 l'expression est divisible
.

Laissez à n=n expression
également divisée en5 sans laisser de trace.

À n=k+1 divisé par 5 .

Exemple #22. Démontrer la divisibilité d'une expression
sur le16.

Preuve.

À n=1 plusieurs 16 .

Laissez à n=n
plusieurs16.

À n=k+1

Tous les termes sont divisibles par 16: le premier est évidemment le deuxième par hypothèse, et le troisième a un nombre pair entre parenthèses.

Exemple #23. Prouver la divisibilité
sur le676.

Preuve.

Prouvons d'abord que
divisé par
.

À n=0
.

Laissez à n=n
divisé par26 .

Puis à n=k+1 divisé par 26 .

Démontrons maintenant l'assertion formulée dans la condition du problème.

À n=1 divisé par 676.

À n=n c'est vrai que
divisé par26 2 .

À n=k+1 .

Les deux termes sont divisibles par 676 ; la première est parce que nous avons prouvé la divisibilité par 26 expression entre parenthèses, et la seconde est divisible par l'hypothèse inductive.

Leçon numéro 7.

Résolution de problèmes de divisibilité.

Exemple numéro 24.

Prouve-le
divisé par5 sans laisser de trace.

Preuve.

À n=1
divisé par5.

À n=n
divisé par5 sans laisser de trace.

À n=k+1 chaque terme est divisible par5 sans laisser de trace.

Exemple #25.

Prouve-le
divisé par6 sans laisser de trace.

Preuve.

À n=1
divisé par6 sans laisser de trace.

Laissez à n=n
divisé par6 sans laisser de trace.

À n=k+1 divisé par 6 pas de reste, puisque chaque terme est divisible par6 sans reste : le premier terme, par l'hypothèse inductive, le second, évidemment, le troisième, car
nombre pair.

Exemple #26.

Prouve-le
lors de la division par9 donne le reste 1 .

Preuve.

Prouvons que
divisé par9 .

À n=1
divisé par 9 . Laissez à n=n
divisé par9 .

À n=k+1 divisé par 9 .

Exemple numéro 27.

Montrer que est divisible par15 sans laisser de trace.

Preuve.

À n=1 divisé par 15 .

Laissez à n=n divisé par 15 sans laisser de trace.

À n=k+1

Le premier terme est un multiple15 par l'hypothèse d'induction, le second terme est un multiple de15 – évidemment, le troisième terme est un multiple de15 , car
plusieurs5 (prouvé dans l'exemple n° 21), les quatrième et cinquième termes sont aussi des multiples5 , ce qui est évident, alors la somme est un multiple de15 .

Leçon numéro 8-9.

Preuve des inégalités par induction mathématique

Exemple #28.
.

À n=1 Nous avons
- droit.

Laissez à n=n
est une véritable inégalité.

À n=k+1

Alors l'inégalité est valable pour tout naturel P.

Exemple #29. Démontrer que l'inégalité est vraie
pour toute P.

À n=1 on obtient la bonne inégalité 4 >1.

Laissez à n=n l'inégalité
.

Prouvons que lorsque n=k+1 l'inégalité

Pour tout naturel à l'inégalité est constatée.

Si un
à
alors

Exemple #30.

pour tout naturel P et n'importe quel

Laisser n=1
, droit.

Supposons que l'inégalité soit vraie pour n=n:
.

À n=k+1

Exemple numéro 31. Démontrer la validité de l'inégalité

pour tout naturel P.

Montrons d'abord que pour tout naturel t l'inégalité

Multipliez les deux côtés de l'inégalité par
. On obtient une inégalité équivalente ou
;
; - cette inégalité vaut pour tout naturel t.

À n=1 l'inégalité originale est vraie
;
;
.

Laissez l'inégalité tenir pour n=k :
.

À n=k+1

Leçon numéro 10.

Résoudre des problèmes sur le sujet

Méthode d'induction mathématique.

Exemple #32. Démontrer l'inégalité de Bernoulli.

Si un
, alors pour toutes les valeurs naturellesP l'inégalité

Preuve.

À n=1 l'inégalité à prouver prend la forme
et évidemment raison. Supposons que c'est vrai pourn=n , c'est-à-dire ce que
.

Puisque selon la condition
, alors
, et donc l'inégalité ne change pas de sens lorsque ses deux parties sont multipliées par
:

Car
, alors on obtient ça

.

Donc l'inégalité est vraie pour n=1, et de sa vérité à n=n il s'ensuit qu'il est vrai et n=k+1. Donc, par induction mathématique, il vaut pour tout naturel P

Par exemple,

Exemple numéro 33. Trouver toutes les valeurs naturellesP , pour laquelle l'inégalité

La solution.

À n=1 l'inégalité est bonne. À n=2 l'inégalité est également vraie.

À n=3 l'inégalité n'est plus satisfaite. Seulement quand n=6 l'inégalité tient, de sorte que pour la base d'induction, nous pouvons prendre n=6.

Supposons que l'inégalité est vraie pour certains à:

Considérez l'inégalité

La dernière inégalité est vraie si
Le travail de test sur le sujet n=1 est donné de manière récurrente : n≥5 , où P- -entier naturel.

Savelyeva Ekaterina

L'article considère l'application de la méthode d'induction mathématique dans la résolution de problèmes de divisibilité, à la sommation de séries. Des exemples d'application de la méthode d'induction mathématique à la démonstration d'inégalités et à la résolution de problèmes géométriques sont considérés. L'ouvrage est illustré d'une présentation.

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Ministère des sciences et de l'éducation de la Fédération de Russie

Établissement d'enseignement public

école secondaire n ° 618

Cours : Algèbre et débuts de l'analyse

Sujet de travail du projet

"Méthode d'induction mathématique et son application à la résolution de problèmes"

Travaux achevés: Savelyeva E, classe 11B

Superviseur : Makarova T.P., professeur de mathématiques, lycée №618

1. Introduction.

2.Méthode d'induction mathématique pour résoudre les problèmes de divisibilité.

3. Application de la méthode d'induction mathématique à la sommation de séries.

4. Exemples d'application de la méthode d'induction mathématique à la démonstration d'inéquations.

5. Application de la méthode d'induction mathématique à la solution de problèmes géométriques.

6. Liste de la littérature utilisée.

Introduction

Les méthodes déductives et inductives sont à la base de toute recherche mathématique. La méthode déductive de raisonnement consiste à raisonner du général au particulier, c'est-à-dire raisonnement dont le point de départ est le résultat général et le point final le résultat particulier. L'induction est appliquée lors du passage des résultats particuliers aux résultats généraux, c'est-à-dire est le contraire de la méthode déductive. La méthode de l'induction mathématique peut être comparée au progrès. Nous partons du plus bas, à la suite de la pensée logique, nous arrivons au plus haut. L'homme a toujours lutté pour le progrès, pour la capacité de développer logiquement sa pensée, ce qui signifie que la nature elle-même l'a destiné à penser par induction. Bien que le champ d'application de la méthode d'induction mathématique se soit élargi, peu de temps lui est consacré dans les programmes scolaires, mais il est tellement important de pouvoir penser de manière inductive. L'application de ce principe à la résolution de problèmes et à la démonstration de théorèmes va de pair avec la prise en compte dans la pratique scolaire d'autres principes mathématiques : le tiers exclu, l'inclusion-exclusion, Dirichlet, etc. Cet essai contient des problèmes de différentes branches des mathématiques, dans lesquels l'outil principal est la méthode d'utilisation de l'induction mathématique. Parlant de l'importance de cette méthode, A.N. Kolmogorov a noté que "la compréhension et la capacité d'appliquer le principe de l'induction mathématique est un bon critère de maturité, ce qui est absolument nécessaire pour un mathématicien". La méthode d'induction dans son sens le plus large consiste dans le passage d'observations privées à un schéma général universel ou à une formulation générale. Dans cette interprétation, la méthode est, bien sûr, la technique principale pour mener des recherches dans toute science naturelle expérimentale.

activité humaine. La méthode (principe) de l'induction mathématique dans sa forme la plus simple est utilisée lorsqu'il est nécessaire de prouver un énoncé pour tous les nombres naturels.

Problème 1. Dans son article "Comment je suis devenu mathématicien", A.N. Kolmogorov écrit: "J'ai appris tôt la joie de la" découverte "mathématique, ayant remarqué à l'âge de cinq ou six ans le schéma

1 =1 2 ,

1 + 3 = 2 2 ,

1 + 3 + 5 \u003d W 2,

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 et ainsi de suite.

L'école a publié le magazine "Spring Swallows". Dans ce document, ma découverte a été publiée ... "

Nous ne savons pas quel genre de preuve a été donnée dans ce journal, mais tout a commencé par des observations privées. L'hypothèse elle-même, probablement née après la découverte de ces égalités partielles, est que la formule

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2

vrai pour tout nombre donné n = 1, 2, 3, ...

Pour prouver cette conjecture, il suffit d'établir deux faits. D'abord, pour n = 1 (et même pour n = 2, 3, 4) l'énoncé recherché est vrai. Deuxièmement, supposons que l'énoncé est vrai pour n = k, et vérifier qu'alors c'est aussi vrai pour n = k + 1 :

1 + 3 + 5+…+ (2k - 1) + (2k + 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)) + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1) = (k + je) 2 .

Par conséquent, l'assertion démontrée est vraie pour toutes les valeurs n : pour n = 1 c'est vrai (cela s'est vérifié), et en vertu du second fait, pour n = 2, d'où pour n = 3 (du fait du même deuxième fait), etc.

Problème 2. Considérez toutes les fractions ordinaires possibles avec le numérateur 1 et tout (entier positif)

dénominateur : prouver que pour tout n> 3 peut être représenté comme une somme P diverses fractions de ce genre.

La solution, Vérifions d'abord cette affirmation pour n = 3 ; Nous avons:

Par conséquent, l'assertion de base est satisfaite

Supposons maintenant que la déclaration qui nous intéresse est vraie pour un certain nombreà, et prouver que c'est aussi vrai pour le nombre qui le suità + 1. En d'autres termes, supposons qu'il existe une représentation

dans laquelle k termes et tous les dénominateurs sont différents. Montrons qu'alors il est possible d'obtenir une représentation de l'unité sous forme de somme à partir deà + 1 fractions du type désiré. On supposera que les fractions sont décroissantes, c'est-à-dire les dénominateurs (dans la représentation de l'unité par la sommeà termes) augmentent de gauche à droite de sorte que t est le plus grand des dénominateurs. Nous obtiendrons la représentation dont nous avons besoin sous la forme d'une somme(à + 1)ème fraction, si on scinde une fraction, par exemple la dernière, en deux. Cela peut être fait parce que

Et donc

De plus, toutes les fractions restent différentes, puisque t était le plus grand dénominateur, et t + 1 > t, et

m(t + 1) > m.

Ainsi, nous avons établi :

1. pour n = 3 cette affirmation est vraie ;

1. si l'énoncé qui nous intéresse est vrai pourà,
   alors c'est aussi vrai pourà + 1.

Sur cette base, nous pouvons affirmer que l'énoncé considéré est vrai pour tous les nombres naturels, à partir de trois. De plus, la preuve ci-dessus implique également un algorithme pour trouver la partition d'unité souhaitée. (De quel algorithme s'agit-il ? Imaginez le nombre 1 comme la somme de 4, 5, 7 termes vous-même.)

Pour résoudre les deux problèmes précédents, deux étapes ont été franchies. La première étape s'appelle base l'induction, la secondetransition inductiveou une étape d'induction. La deuxième étape est la plus importante, et elle implique une hypothèse (la déclaration est vraie pour n = k) et conclusion (l'énoncé est vrai pour n = k + 1). Le paramètre p lui-même est appelé paramètre d'induction.Ce schéma logique (dispositif), qui permet de conclure que l'énoncé considéré est vrai pour tous les nombres naturels (ou pour tous, à partir de certains), puisque la base et la transition sont valides, s'appellele principe d'induction mathématique, sur quoi et la méthode d'induction mathématique est basée.Le terme "induction" lui-même vient du mot latin induction (orientation), c'est-à-dire le passage d'une connaissance unique sur des objets individuels d'une classe donnée à une conclusion générale sur tous les objets d'une classe donnée, qui est l'une des principales méthodes de connaissance.

Le principe de l'induction mathématique, sous la forme habituelle de deux étapes, est apparu pour la première fois en 1654 dans le Traité sur le triangle arithmétique de Blaise Pascal, dans lequel un moyen simple de calculer le nombre de combinaisons (coefficients binomiaux) a été prouvé par induction. D. Poya cite B. Pascal dans le livre avec des modifications mineures données entre crochets :

« Malgré le fait que la proposition considérée [une formule explicite pour les coefficients binomiaux] contient un nombre infini de cas particuliers, je vais en donner une démonstration très courte, basée sur deux lemmes.

Le premier lemme énonce que la conjecture est vraie pour la base - c'est évident. [À P = 1 la formule explicite est valide...]

Le deuxième lemme énonce ce qui suit : si notre hypothèse est vraie pour une base arbitraire [pour un r arbitraire], alors elle sera vraie pour la base suivante [pour n + 1].

Ces deux lemmes impliquent nécessairement la validité de la proposition pour toutes les valeurs P En effet, en vertu du premier lemme, il est valable pour P = 1 ; donc, en vertu du second lemme, il est valable pour P = 2 ; donc, toujours en vertu du deuxième lemme, il est valable pour n = 3 et ainsi de suite à l'infini.

Problème 3. Le puzzle des tours de Hanoï se compose de trois barres. Sur l'une des tiges se trouve une pyramide (Fig. 1), composée de plusieurs anneaux de diamètres différents, décroissant de bas en haut

Fig. 1

Cette pyramide doit être transférée sur l'une des autres tiges, en transférant un seul anneau à chaque fois et en ne plaçant pas le plus grand anneau sur le plus petit. Peut-il être fait?

La solution. Donc, nous devons répondre à la question : est-il possible de déplacer une pyramide composée de P des anneaux de diamètres différents, d'une canne à l'autre, en suivant les règles du jeu ? Maintenant, le problème est, comme on dit, paramétré par nous (un nombre naturel P), et il peut être résolu par induction mathématique.

1. base d'induction. Pour n = 1, tout est clair, puisqu'une pyramide d'un anneau peut évidemment être déplacée vers n'importe quelle tige.
2. étape d'induction. Supposons que nous puissions déplacer n'importe quelle pyramide avec le nombre d'anneaux p = k.
   Montrons que nous pouvons aussi déplacer la pyramide au milieu de n = k + 1.

Pyramide de à anneaux couchés sur le plus grand(à + 1)-ème anneau, on peut, selon l'hypothèse, passer à n'importe quel autre pivot. Faisons-le. immobile(à + 1)ème anneau ne nous empêchera pas d'effectuer l'algorithme de déplacement, car c'est le plus grand. Après avoir déménagéà anneaux, déplacez ce plus grand(à + 1)ème anneau sur la tige restante. Et puis nous appliquons à nouveau l'algorithme de déplacement que nous connaissons par l'hypothèse inductiveà anneaux, et déplacez-les vers la tige avec le(à + 1)ème anneau. Ainsi, si nous pouvons déplacer les pyramides avecà anneaux, alors nous pouvons déplacer les pyramides età + 1 anneaux. Par conséquent, selon le principe de l'induction mathématique, il est toujours possible de déplacer la pyramide, constituée de n anneaux, où n > 1.

La méthode d'induction mathématique dans la résolution des problèmes de divisibilité.

En utilisant la méthode de l'induction mathématique, on peut prouver diverses affirmations concernant la divisibilité des nombres naturels.

Tâche 4 . Si n est un nombre naturel, alors le nombre est pair.

Pour n=1 notre affirmation est vraie : - un nombre pair. Supposons que c'est un nombre pair. Puisqu'un 2k est un nombre pair, il en va de même. Donc, la parité est prouvée pour n=1, la parité se déduit de la parité, donc même pour toutes les valeurs naturelles de n.

Tâche 3. Prouver que le nombre Z 3 + 3 - 26n - 27 avec un naturel arbitraire n est divisible par 26 2 sans reste.

La solution. Prouvons d'abord par induction une assertion auxiliaire que 3 3n+3 1 est divisible par 26 sans reste n > 0.

1. base d'induction. Pour n = 0 on a : Z 3 - 1 \u003d 26 - divisé par 26.

étape d'induction. Supposons 3 3n + 3 - 1 est divisible par 26 quand n = k, et Montrons que dans ce cas l'assertion est vraie pour n = k + 1. Puisque 3

puis de l'hypothèse inductive nous concluons que le nombre 3 3k + 6 - 1 est divisible par 26.

Démontrons maintenant l'assertion formulée dans la condition du problème. Et encore par induction.

1. base d'induction. Il est évident qu'à n = 1 affirmation est vraie : depuis 3 3+3 - 26 - 27 = 676 = 26 2 .
2. étape d'induction. Supposons qu'à n = k
   expression 3 3k + 3 - 26k - 27 est divisible par 26 2 sans reste, et prouver que l'assertion est vraie pour n = k + 1,
   c'est-à-dire ce nombre

divisible par 26 2 sans laisser de trace. Dans la dernière somme, les deux termes sont divisés sans reste par 26 2 . La première est que nous avons prouvé que l'expression entre parenthèses est divisible par 26 ; la seconde, par l'hypothèse inductive. En vertu du principe d'induction mathématique, l'énoncé nécessaire est complètement prouvé.

Application de la méthode d'induction mathématique à la sommation de séries.

Tâche 5. Démontrer la formule

N est un nombre naturel.

La solution.

Pour n = 1, les deux parties de l'égalité deviennent une et, par conséquent, la première condition du principe d'induction mathématique est satisfaite.

Supposons que la formule est vraie pour n=k, c'est-à-dire

Ajoutons aux deux côtés de cette égalité et transformons le côté droit. Ensuite on obtient

Ainsi, du fait que la formule est vraie pour n=k, il s'ensuit qu'elle est vraie aussi pour n=k+1. Cette affirmation est vraie pour toute valeur naturelle de k. Ainsi, la deuxième condition du principe d'induction mathématique est également satisfaite. La formule a fait ses preuves.

Une tâche 6. Deux nombres sont inscrits au tableau : 1.1. En entrant leur somme entre les nombres, on obtient les nombres 1, 2, 1. En répétant encore cette opération, on obtient les nombres 1, 3, 2, 3, 1. Après trois opérations, les nombres seront 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1. Quelle sera la somme de tous les nombres du tableau après 100 opérations ?

La solution. Faire tous les 100 opérations prendraient beaucoup de temps et prendraient beaucoup de temps. Donc, nous devons essayer de trouver une formule générale pour la somme S chiffres après n opérations. Regardons le tableau :

Avez-vous remarqué un motif ici? Sinon, vous pouvez faire un pas de plus : après quatre opérations, il y aura des chiffres

1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1,

dont la somme S 4 est 82.

En fait, vous ne pouvez pas écrire de nombres, mais dites immédiatement comment la somme changera après l'ajout de nouveaux nombres. Soit la somme égale à 5. Que deviendra-t-elle lorsque de nouveaux nombres seront ajoutés ? Séparons chaque nouveau nombre en la somme de deux anciens. Par exemple, de 1, 3, 2, 3, 1 on passe à 1,

1 + 3, 3, 3 + 2, 2, 2 + 3, 3, 3 + 1, 1.

C'est-à-dire que chaque ancien nombre (à l'exception des deux extrêmes) entre maintenant trois fois dans la somme, donc la nouvelle somme est 3S - 2 (soustrayez 2 pour prendre en compte les unités manquantes). Donc S 5 = 3S 4 - 2 = 244, et en général

Quelle est la formule générale ? S'il n'y avait pas la soustraction de deux unités, alors à chaque fois la somme augmenterait trois fois, comme dans les puissances du triple (1, 3, 9, 27, 81, 243, ...). Et nos chiffres, comme vous pouvez maintenant le voir, sont un de plus. Ainsi, on peut supposer que

Essayons maintenant de prouver cela par induction.

base d'induction. Voir tableau (pour n = 0, 1, 2, 3).

étape d'induction. Faisons comme si

Prouvons alors que S à + 1 \u003d Z à + 1 + 1.

Vraiment,

Ainsi, notre formule a fait ses preuves. Il montre qu'après une centaine d'opérations, la somme de tous les nombres du tableau sera égale à 3 100 + 1.

Considérons un exemple remarquable d'application du principe d'induction mathématique, dans lequel vous devez d'abord introduire deux paramètres naturels, puis effectuer une induction sur leur somme.

Une tâche 7. Prouver que si= 2, x 2 = 3 et pour chaque naturel n> 3

x n \u003d Zx n - 1 - 2x n - 2,

alors

2 n - 1 + 1, n = 1, 2, 3, ...

La solution. Notez que dans ce problème, la séquence initiale de nombres(x n ) est déterminée par induction, puisque les termes de notre suite, à l'exception des deux premiers, sont donnés inductivement, c'est-à-dire par les précédents. Les séquences données sont appelées récurrent, et dans notre cas cette suite est déterminée (en spécifiant ses deux premiers termes) de façon unique.

base d'induction. Elle consiste à vérifier deux assertions : n=1 et n=2.B Dans les deux cas, l'assertion est vraie par hypothèse.

étape d'induction. Supposons que pour n = k - 1 et n = k affirmation est faite, c'est-à-dire

Démontrons alors l'assertion pour n = k + 1. Nous avons :

x 1 = 3(2 + 1) - 2(2 + 1) = 2 + 1, ce qui devait être prouvé.

Tâche 8. Prouver que tout nombre naturel peut être représenté comme la somme de plusieurs membres différents de la séquence récurrente des nombres de Fibonacci :

pour k > 2.

La solution. Soit p - entier naturel. Nous procéderons à l'induction sur P

base d'induction. Pour n = 1 affirmation est vraie, puisque l'unité est elle-même un nombre de Fibonacci.

étape d'induction. Supposons que tous les nombres naturels inférieurs à un certain nombre P, peut être représenté comme la somme de plusieurs termes différents de la suite de Fibonacci. Trouver le plus grand nombre de Fibonacci F t , n'excédant pas P; donc F t n et F t +1 > n.

Parce que le

Par l'hypothèse d'induction, le nombre p- F t peut être représenté comme une somme de 5 membres différents de la suite de Fibonacci, et de la dernière inégalité il s'ensuit que tous les membres de la suite de Fibonacci impliqués dans la somme de 8 sont inférieurs à F t . Par conséquent, l'expansion du nombre n = 8 + F t satisfait la condition du problème.

Exemples d'application de la méthode d'induction mathématique à la preuve des inégalités.

Tâche 9. (Inégalité de Bernoulli.)Prouver que lorsque x > -1, x 0, et pour l'entier n > 2 l'inégalité

(1 + x) n > 1 + xn.

La solution. On va refaire la preuve par induction.

1. Base d'induction. Vérifions la validité de l'inégalité pour n = 2. En effet,

(1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 > 1 + 2x.

2. Étape d'induction. Supposons que pour le nombre n = k l'énoncé est vrai, c'est-à-dire

(1 + x) k > 1 + xk,

Où k > 2. On le prouve pour n = k + 1. On a : (1 + x) k + 1 = (1 + x) k (1 + x)> (1 + kx) (1 + x) =

1 + (k + 1)x + kx 2 > 1 + (k + 1)x.

Ainsi, sur la base du principe d'induction mathématique, on peut affirmer que l'inégalité de Bernoulli est valable pour tout n > 2.

Pas toujours dans les conditions de problèmes résolus par la méthode de l'induction mathématique, la loi générale à prouver est clairement formulée. Parfois, il est nécessaire, en observant des cas particuliers, de découvrir d'abord (deviner) à quelle loi générale ils conduisent, et seulement ensuite de prouver l'hypothèse énoncée par induction mathématique. De plus, la variable d'induction peut être masquée, et avant de résoudre le problème, il faut déterminer sur quel paramètre l'induction va s'effectuer. À titre d'exemple, considérez les tâches suivantes.

Problème 10. Démontrer que

pour tout naturel n > 1.

La solution, Essayons de prouver cette inégalité par induction mathématique.

La base d'induction est facilement vérifiable :1+

Par l'hypothèse inductive

et il nous reste à prouver que

En utilisant l'hypothèse inductive, nous affirmerons que

Bien que cette égalité soit réellement vraie, elle ne nous donne pas de solution au problème.

Essayons de prouver une assertion plus forte que celle requise dans le problème initial. A savoir, nous prouverons que

Il peut sembler que prouver cette assertion par induction est sans espoir.

Cependant, à p = 1 nous avons : l'énoncé est vrai. Pour justifier l'étape inductive, supposons que

puis nous prouverons que

Vraiment,

Ainsi, nous avons démontré une assertion plus forte, dont découle immédiatement l'assertion contenue dans la condition du problème.

La chose instructive ici est que bien que nous devions prouver une affirmation plus forte que celle requise dans le problème, nous pourrions également utiliser une hypothèse plus forte dans l'étape inductive. Ceci explique que l'application pure et simple du principe d'induction mathématique ne mène pas toujours au but.

La situation qui s'est produite lors de la résolution du problème s'appellele paradoxe de l'inventeur.Le paradoxe lui-même est que des plans plus complexes peuvent être mis en œuvre avec plus de succès s'ils sont basés sur une compréhension plus profonde de l'essence de la question.

Problème 11. Démontrer que 2m + n - 2m pour tout naturel Type de.

La solution. Ici, nous avons deux options. Par conséquent, vous pouvez essayer d'effectuer le soi-disantdouble induction(une induction dans une induction).

Nous ferons un raisonnement inductif sur P

1. Base d'induction selon p. Pour n = 1 faut vérifier ça 2 t ~ 1 > t. Pour prouver cette inégalité, on utilise l'induction sur t.

un) Base d'induction par vol. Pour t = 1 en cours
l'égalité, ce qui est acceptable.

b) Pas d'induction selon t.Supposons qu'à t = k affirmation est vraie, c'est-à-dire 2 k ~ 1 > k. Puis vers le haut
Disons que l'assertion est vraie même si m = k + 1.
Nous avons:

au naturel k.

Ainsi, l'inégalité 2 effectué pour tout naturel t.

2. Étape d'induction selon l'articleChoisir et fixer un nombre naturel t. Supposons qu'à n = je l'énoncé est vrai (pour un t), soit 2 t +1 ~ 2 > t1, et prouver que l'assertion est vraie pour n = l + 1.
Nous avons:

pour tout naturel Type de.

Par conséquent, sur la base du principe d'induction mathématique (selon P) l'énoncé du problème est vrai pour tout P et pour tout fixe t. Ainsi, cette inégalité vaut pour tout naturel Type de.

Problème 12. Soit m, n et k sont des nombres naturels, et t > p Lequel des deux nombres est le plus grand :

Dans chaque expressionà signes racine carrée, t et n alternent.

La solution. Démontrons d'abord une assertion auxiliaire.

Lemme. Pour tout naturel t et n (t > n) et non négatif (pas nécessairement entier) X l'inégalité

Preuve. Considérez l'inégalité

Cette inégalité est vraie, puisque les deux facteurs du côté gauche sont positifs. En élargissant les parenthèses et en convertissant, nous obtenons :

En prenant la racine carrée des deux parties de la dernière inégalité, on obtient l'assertion du lemme. Donc le lemme est démontré.

Passons maintenant à la résolution du problème. Notons le premier de ces nombres par un, et la seconde à travers b à . Prouvons qu'un pour tout naturelà. La preuve sera effectuée par la méthode d'induction mathématique séparément pour les paires et les impairesà.

base d'induction. Pour k = 1 on a l'inégalité

y[t > y/n , qui est valide du fait que m > n. = 2, le résultat recherché est obtenu à partir du lemme prouvé en remplaçant x = 0.

étape d'induction. Supposons que pour certainsà l'inégalité a >b à équitable. Prouvons que

De l'hypothèse d'induction et de la monotonie de la racine carrée, on a :

D'autre part, il résulte du lemme prouvé que

En combinant les deux dernières inégalités, on obtient :

Selon le principe de l'induction mathématique, l'assertion est prouvée.

Tâche 13. (Inégalité de Cauchy.)Démontrer que pour tout nombre positif..., un p l'inégalité

La solution. Pour n = 2 l'inégalité

la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique (pour deux nombres) seront considérées comme connues. Laisser n= 2, k = 1, 2, 3, ... et d'abord effectuer l'induction surà. La base de cette induction tient. En supposant maintenant que l'inégalité désirée a déjà été établie pour n = 2 , nous allons le prouver pour P = 2 . On a (en utilisant l'inégalité pour deux nombres) :

Donc, par l'hypothèse d'induction

Ainsi, par récurrence sur k, nous avons prouvé l'inégalité pour tout p 9 qui sont des puissances de deux.

Pour prouver l'inégalité pour d'autres valeurs P nous utiliserons "l'induction vers le bas", c'est-à-dire que nous prouverons que si l'inégalité est satisfaite pour arbitrairement non négatif P nombres, il est également valable pour(P - 1)ème numéro. Pour vérifier cela, notons que, selon l'hypothèse retenue, pour P nombres, l'inégalité

c'est-à-dire a r + a 2 + ... + a n _ x > (n - 1) A. Diviser les deux parties en P - 1, on obtient l'inégalité recherchée.

Ainsi, nous avons d'abord établi que l'inégalité est valable pour un nombre infini de valeurs possibles P, puis a montré que si l'inégalité est vraie pour P nombres, il est également valable pour(P - 1) nombres. Nous en concluons maintenant que l'inégalité de Coty est valable pour un ensemble de P tout nombre non négatif pour tout n = 2, 3, 4, ...

Problème 14. (D. Uspensky.) Pour tout triangle ABC d'angles = CAB, = ABC sont commensurables, il y a des inégalités

La solution. Les angles et sont commensurables, ce qui signifie (par définition) que ces angles ont une mesure commune, pour laquelle = p, = (p, q sont des nombres premiers entre eux).

Utilisons la méthode d'induction mathématique et traçons-la sur la somme n = p + q nombres naturels premiers entre eux.

base d'induction. Pour p + q = 2 on a : p = 1 et q = 1. Alors le triangle ABC est isocèle, et les inégalités recherchées sont évidentes : elles découlent de l'inégalité triangulaire

étape d'induction. Supposons maintenant que les inégalités souhaitées soient établies pour p + q = 2, 3, ..., k - 1, où k > 2. Montrons que les inégalités sont aussi valables pour p + q = k.

Laissez ABC est un triangle donné avec> 2. Puis les faces AC et BC ne peut pas être égal : laissez AC > BC. Construisons maintenant, comme sur la figure 2, un triangle isocèle ABC; Nous avons:

AC \u003d DC et AD \u003d AB + BD, donc,

2AC > AB + BD (1)

Considérons maintenant le triangle VCC, dont les angles sont également comparables :

DCB = (q - p), BDC = p.

Riz. 2

Ce triangle satisfait l'hypothèse inductive, et donc

(2)

En additionnant (1) et (2), on a :

2AC+BD>

et donc

Du même triangle WBS par l'hypothèse d'induction on conclut que

En considérant l'inégalité précédente, on conclut que

Ainsi, la transition inductive est obtenue, et l'énoncé du problème découle du principe d'induction mathématique.

Commentaire. L'énoncé du problème reste valable même lorsque les angles a et p ne sont pas commensurables. Dans la base de considération dans le cas général, nous devons déjà appliquer un autre principe mathématique important - le principe de continuité.

Problème 15. Plusieurs lignes droites divisent le plan en parties. Prouver qu'il est possible de colorer ces parties en blanc

et des couleurs noires afin que les parties adjacentes qui ont un segment de bordure commun soient de couleurs différentes (comme dans la figure 3 lorsque n = 4).

photo 3

La solution. On utilise l'induction sur le nombre de lignes. Alors laisse P - le nombre de lignes divisant notre avion en parties, n > 1.

base d'induction. S'il n'y a qu'une seule suite(P = 1), alors il divise le plan en deux demi-plans, dont l'un peut être coloré en blanc et l'autre en noir, et l'énoncé du problème est vrai.

étape d'induction. Pour rendre la preuve de l'étape inductive plus claire, considérons le processus d'ajout d'une nouvelle ligne. Si nous traçons la deuxième ligne(P= 2), on obtient alors quatre parties que l'on peut colorer de la manière souhaitée en peignant les coins opposés de la même couleur. Voyons ce qui se passe si nous traçons la troisième ligne droite. Il divisera certaines des "anciennes" parties, tandis que de nouvelles sections de la bordure apparaîtront, des deux côtés dont la couleur est la même (Fig. 4).

Riz. quatre

Procédons comme suit :un côtéà partir de la nouvelle ligne droite, nous changerons de couleur - nous ferons du blanc noir et vice versa; en même temps, les parties situées de l'autre côté de cette ligne droite ne sont pas repeintes (Fig. 5). Ensuite, cette nouvelle coloration satisfera aux exigences nécessaires: d'un côté de la ligne droite, elle était déjà alternée (mais avec des couleurs différentes), et de l'autre côté, elle était nécessaire. Afin que les pièces qui ont une bordure commune appartenant à la ligne tracée soient peintes de couleurs différentes, nous avons repeint les pièces uniquement d'un côté de cette ligne tracée.

Fig.5

Prouvons maintenant la démarche inductive. Supposons que pour certainsn = kl'énoncé du problème est valide, c'est-à-dire toutes les parties du plan dans lequel il est divisé par cesàdroit, vous pouvez peindre en blanc et noir pour que les parties voisines soient de couleurs différentes. Montrons qu'alors il existe une telle coloration pourP= à+ 1 ligne droite. Procédons de même pour le cas du passage de deux droites à trois. Passons dans l'avionàdirect. Ensuite, par l'hypothèse inductive, la "carte" résultante peut être colorée de la manière souhaitée. Dépensons maintenant(à+ 1)-ème ligne droite et d'un côté de celle-ci, nous changeons les couleurs en couleurs opposées. Alors maintenant(àLa + 1)-ième ligne droite sépare partout des sections de couleurs différentes, tandis que les "anciennes" parties, comme nous l'avons déjà vu, restent correctement colorées. Selon le principe de l'induction mathématique, le problème est résolu.

Une tâche16. Au bord du désert, il y a une grande réserve d'essence et une voiture qui, avec une station-service pleine, peut parcourir 50 kilomètres. En quantité illimitée, il existe des bidons dans lesquels vous pouvez vider l'essence du réservoir d'essence de la voiture et la laisser pour la stocker n'importe où dans le désert. Prouver que la voiture peut parcourir n'importe quelle distance entière supérieure à 50 kilomètres. Il est interdit de transporter des bidons d'essence, les bidons vides peuvent être transportés en n'importe quelle quantité.

La solution.Essayons de le prouver par induction surP,que la voiture peut conduirePkilomètres de la lisière du désert. ÀP= 50 est connu. Il reste à effectuer l'étape d'induction et expliquer comment y arrivern = k+ 1 km si connun = kkilomètres peuvent être parcourus.

Cependant, nous rencontrons ici une difficulté : après avoir passéàkilomètres, l'essence peut même ne pas suffire pour le voyage de retour (sans parler du stockage). Et dans ce cas, la solution consiste à renforcer l'assertion en cours de preuve (paradoxe de l'inventeur). Nous prouverons qu'il est possible non seulement de conduirePkilomètres, mais aussi pour faire un approvisionnement arbitrairement important d'essence à un point à une distancePkilomètres du bord du désert, étant à ce point après la fin du transport.

base d'induction.Soit une unité d'essence la quantité d'essence nécessaire pour parcourir un kilomètre de trajet. Ensuite, un voyage de 1 kilomètre et retour nécessite deux unités d'essence, nous pouvons donc laisser 48 unités d'essence en stockage à un kilomètre du bord et revenir pour plus. Ainsi, pour plusieurs passages au stockage, on peut constituer un stock d'une taille arbitraire dont on a besoin. En même temps, pour créer 48 unités de stock, nous dépensons 50 unités d'essence.

étape d'induction.Supposons qu'à distanceP= àdu bord du désert, vous pouvez stocker n'importe quelle quantité d'essence. Prouvons qu'il est alors possible de créer un dépôt à distancen = k+ 1 km avec tout approvisionnement prédéterminé en essence et être à cet entrepôt à la fin du transport. Parce qu'au pointP= àil y a un approvisionnement illimité en essence, alors (selon la base d'induction) nous pouvons, en plusieurs voyages au pointn = k+ 1 pour marquer un pointP= à4- 1 stock de n'importe quelle taille dont vous avez besoin.

La vérité d'un énoncé plus général que dans la condition du problème découle maintenant du principe d'induction mathématique.

Conclusion

En particulier, après avoir étudié la méthode d'induction mathématique, j'ai amélioré mes connaissances dans ce domaine des mathématiques, et j'ai également appris à résoudre des problèmes qui étaient auparavant hors de ma portée.

Fondamentalement, il s'agissait de tâches logiques et divertissantes, c'est-à-dire juste ceux qui augmentent l'intérêt pour les mathématiques elles-mêmes en tant que science. Résoudre de tels problèmes devient une activité divertissante et peut attirer de plus en plus de personnes curieuses vers les labyrinthes mathématiques. À mon avis, c'est la base de toute science.

En continuant à étudier la méthode de l'induction mathématique, j'essaierai d'apprendre à l'appliquer non seulement en mathématiques, mais aussi pour résoudre des problèmes de physique, de chimie et de la vie elle-même.

Littérature

1. INDUCTION Vulenkin. Combinatoire. Manuel POUR les enseignants. M., Lumières,

1976.-48 p.

2. Golovina L.I., Yaglom I.M. Induction en géométrie. - M. : Gosud. éditeur allumé. - 1956 - S.I00. Un manuel de mathématiques pour les candidats aux universités / Ed. Yakovleva G.N. La science. -1981. - P.47-51.

3. Golovina L.I., Yaglom IM. Induction en géométrie. —
M.: Nauka, 1961. - (Conférences populaires sur les mathématiques.)

4. I.T. Demidov, A.N. Kolmogorov, S.I. Shvartsburg, O.S. Ivashev-Musatov, B.E. Veits. Manuel / "Lumières" 1975.

5.R. Courant, G Robbins "Qu'est-ce que les mathématiques?" Chapitre 1, § 2

6. Popa D. Mathématiques et raisonnement plausible. — M : Nauka, 1975.

7. Popa D. Découverte mathématique. — M. : Nauka, 1976.

8. Rubanov I.S. Comment enseigner la méthode d'induction mathématique / École de mathématiques. - Nl. - 1996. - S.14-20.

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11. Solominsky I.S., Golovina L.I., Yaglom I.M. Sur l'induction mathématique. - M. : Sciences. - 1967. - S.7-59.

12.http://w.wikiredia.org/wiki

13.htt12:/ /www.refeshtcollestiop.ru/40 124.html

Ministère de l'éducation de la région de Saratov

Université socio-économique d'État de Saratov

Concours régional des travaux mathématiques et informatiques des écoliers

"Vecteur du Futur - 2007"

«Méthode d'induction mathématique.

Son application à la résolution de problèmes algébriques"

(rubrique "mathématiques")

travail créatif

10 élèves de la classe "A"

Protocole d'entente "Gymnase n ° 1"

Quartier Oktyabrsky de Saratov

Harutyunyan Gayane.

Responsable travaux :

professeur de mathématiques

Grishina Irina Vladimirovna

Saratov

2007

Présentation……………………………………………………………………………3

Le principe de l'induction mathématique et ses

preuve…………………………………………………………………………..4

Exemples de résolution de problèmes…………………………………………………………………..9

Conclusion……………………………………………………………………………..16

Littérature…………………………………………………………………………………17

Introduction.

La méthode de l'induction mathématique peut être comparée au progrès. Nous partons du plus bas, à la suite de la pensée logique, nous arrivons au plus haut. L'homme a toujours lutté pour le progrès, pour la capacité de développer logiquement sa pensée, ce qui signifie que la nature elle-même l'a destiné à penser de manière inductive et à étayer sa pensée par des preuves effectuées selon toutes les règles de la logique.
À l'heure actuelle, le champ d'application de la méthode d'induction mathématique s'est élargi, mais, malheureusement, peu de temps lui est consacré dans le programme scolaire. Mais c'est tellement important - d'être capable de penser de manière inductive.

Le principe de l'induction mathématique et sa preuve

Tournons-nous vers l'essence de la méthode d'induction mathématique. Considérons diverses déclarations. On peut les subdiviser en énoncés généraux et particuliers.Donnons des exemples d'énoncés généraux.

Tous les citoyens russes ont droit à l'éducation.

Dans tout parallélogramme, les diagonales au point d'intersection sont bissectrices.

Tous les nombres se terminant par zéro sont divisibles par 5.

Exemples pertinents de déclarations privées :

Petrov a le droit à l'éducation.

Dans le parallélogramme ABCD, les diagonales au point d'intersection sont bissectrices.

140 est divisible par 5.

Le passage des énoncés généraux aux énoncés particuliers s'appelle déduction (du latin déduction - conclusion selon les règles de la logique).

Prenons un exemple d'inférence déductive.

Tous les citoyens russes ont droit à l'éducation. (une)

Petrov est citoyen russe. (2)

Petrov a le droit à l'éducation. (3)

De l'assertion générale (1) à l'aide de (2) l'assertion particulière (3) est obtenue.

La transition inverse des énoncés particuliers aux énoncés généraux est appelée induction (du latin induction - conseils).

L'induction peut conduire à des conclusions correctes et incorrectes.

Expliquons cela avec deux exemples.

140 est divisible par 5. (1)

Tous les nombres se terminant par zéro sont divisibles par 5. (2)

140 est divisible par 5. (1)

Tous les nombres à trois chiffres sont divisibles par 5. (2)

A partir de l'énoncé particulier (1), l'énoncé général (2) est obtenu. L'énoncé (2) est vrai.

Le deuxième exemple montre comment un énoncé général (3) peut être obtenu à partir d'un énoncé particulier (1), de plus, l'énoncé (3) n'est pas vrai.

Posons-nous la question de savoir comment utiliser l'induction en mathématiques pour n'obtenir que des conclusions correctes. Considérons quelques exemples d'induction, ce qui est inacceptable en mathématiques.

Exemple 1.

Considérons un trinôme carré de la forme suivante Р(x)= x 2 + x + 41, auquel Leonard Euler a prêté attention.

P(0) = 41, P(1) = 43, P(2) = 47, P(3) = 53, P(4) = 61, P(5) = 71, P(6) = 83, P (7) = 97, P(8) = 113, P(9)=131, P(10) = 151.

On voit que chaque fois la valeur du trinôme est un nombre premier. Sur la base des résultats obtenus, nous affirmons qu'en substituant dans le trinôme considéré, au lieu de x Tout entier non négatif donne toujours un nombre premier.

Cependant, la conclusion tirée ne peut être considérée comme fiable. Quel est le problème? Le fait est que dans le raisonnement, des déclarations générales sont faites sur n'importe quel x uniquement sur la base que cette déclaration s'est avérée vraie pour certaines valeurs de x.

En effet, en examinant de plus près le trinôme P(x), les nombres P(0), P(1), ..., P(39) sont des nombres premiers, mais P(40) = 41 2 est un nombre composé. Et très clairement : P(41) = 41 2 +41+41 est un multiple de 41.

Dans cet exemple, nous avons rencontré une affirmation qui est vraie dans 40 cas particuliers et qui s'est pourtant avérée injuste en général.

Regardons quelques exemples supplémentaires.

Exemple 2

Au 17ème siècle V.G. Leibniz a prouvé que pour tout n naturel, les nombres de la forme n 3 - n sont des multiples de 3, n 5 - n sont des multiples de 5, n 7 - n sont des multiples de 7. Sur cette base, il a suggéré que pour tout k impair et naturel n, le nombre n k - n multiple de k, mais bientôt lui-même remarqua que 2 9 -2=510, qui, évidemment, n'est pas divisible par 9.

Les exemples considérés nous permettent de tirer une conclusion importante : une affirmation peut être vraie dans un certain nombre de cas particuliers et en même temps injuste en général.

La question se pose naturellement : il y a un énoncé qui est vrai dans plusieurs cas particuliers ; il est impossible de considérer tous les cas particuliers ; comment savoir si cette affirmation est vraie ?

Cette question peut parfois être résolue en appliquant une méthode spéciale de raisonnement appelée méthode d'induction mathématique. Cette méthode est basée sur principe d'induction mathématique, conclu comme suit : l'énoncé est vrai pour tout n naturel si :

il est valable pour n = 1 ;

de la validité de l'énoncé pour un naturel arbitraire n =k , il s'ensuit qu'il est vrai pour n = k +1.

Preuve.

Supposons le contraire, c'est-à-dire que l'énoncé ne soit pas vrai pour tout n naturel. Alors il existe un nombre naturel m tel que

l'énoncé pour n = m n'est pas vrai,

pour tout n

Il est évident que m >1, puisque l'assertion est vraie pour n =1 (condition 1). Par conséquent, m -1 est un nombre naturel. Pour un nombre naturel m -1, l'énoncé est vrai, mais pour le prochain nombre naturel m, il n'est pas vrai. Cela contredit la condition 2. La contradiction qui en résulte montre que l'hypothèse est fausse. Par conséquent, l'assertion est vraie pour tout naturel n, h.e.d.

Une preuve basée sur le principe de l'induction mathématique est appelée une preuve par la méthode de l'induction mathématique. Une telle preuve devrait consister en deux parties, à partir de la preuve de deux théorèmes indépendants.

Théorème 1. L'énoncé est vrai pour n =1.

Théorème 2. L'énoncé est vrai pour n =k +1 s'il est vrai pour n=k, où k est un nombre naturel arbitraire.

Si ces deux théorèmes sont prouvés, alors, sur la base du principe d'induction mathématique, l'énoncé est vrai pour tout
naturel n.

Il faut souligner que la preuve par induction mathématique nécessite certainement la preuve des théorèmes 1 et 2. La négligence du théorème 2 conduit à des conclusions incorrectes (exemples 1-2). Montrons par un exemple combien la preuve du théorème 1 est nécessaire.

Exemple 3. "Théorème": tout nombre naturel est égal au nombre naturel qui le suit.

La preuve sera effectuée par la méthode de l'induction mathématique.

Supposons que k =k +1 (1).

Montrons que k +1=k +2 (2). Pour ce faire, ajoutez 1 à chaque partie de « égalité » (1). Nous obtenons « égalité » (2). Il s'avère que si l'énoncé est vrai pour n =k , alors il est également vrai pour n =k +1., etc.

Une "conséquence" évidente du "théorème": tous les nombres naturels sont égaux.

L'erreur réside dans le fait que le théorème 1, qui est nécessaire pour appliquer le principe d'induction mathématique, n'a pas été prouvé et n'est pas vrai, mais seul le deuxième théorème a été prouvé.

Les théorèmes 1 et 2 sont particulièrement importants.

Le théorème 1 crée la base de l'induction. Le théorème 2 donne le droit à une expansion automatique illimitée de cette base, le droit de passer de ce cas particulier au suivant, de n à n + 1.

Si le théorème 1 n'a pas été prouvé, mais le théorème 2 a été prouvé, alors, par conséquent, la base de l'induction n'a pas été créée, et alors cela n'a aucun sens d'appliquer le théorème 2, car il n'y a, en fait, rien à développer.

Si le théorème 2 n'a pas été prouvé et que seul le théorème 1 a été prouvé, alors, bien que la base pour conduire l'induction ait été créée, le droit d'étendre cette base est absent.

Remarques.

Parfois, la deuxième partie de la preuve est basée sur la validité de l'énoncé non seulement pour n =k, mais aussi pour n =k -1. Dans ce cas, l'instruction de la première partie doit être testée pour les deux valeurs suivantes de n .

Parfois, la déclaration est prouvée non pas pour n'importe quel naturel n , mais pour n > m , où m est un entier. Dans ce cas, dans la première partie de la preuve, l'assertion est vérifiée pour n=m+1, et si nécessaire, pour plusieurs valeurs ultérieures de n.

En résumant ce qui a été dit, nous avons : la méthode d'induction mathématique permet, à la recherche d'une loi générale, de tester les hypothèses qui se présentent dans ce cas, d'écarter les fausses et d'affirmer les vraies.

Tout le monde connaît le rôle des processus de généralisation des résultats d'observations et d'expériences individuelles (c'est-à-dire l'induction) pour les sciences empiriques expérimentales. Les mathématiques, en revanche, ont longtemps été considérées comme un exemple classique de mise en œuvre de méthodes purement déductives, puisqu'il est toujours explicitement ou implicitement supposé que toutes les propositions mathématiques (sauf celles acceptées comme initiales - les axiomes) sont prouvées, et des applications spécifiques de ces propositions sont dérivées de preuves adaptées aux cas généraux (déduction).

Que signifie l'induction en mathématiques ? Faut-il le comprendre comme une méthode peu fiable, et comment rechercher un critère de fiabilité de telles méthodes inductives ? Ou la certitude de conclusions mathématiques de même nature que les généralisations expérimentales des sciences expérimentales, telles qu'il ne serait pas mauvais de « vérifier » n'importe quel fait avéré ? En réalité, ce n'est pas le cas.

L'induction (guidage) sur une hypothèse joue un rôle très important mais purement heuristique en mathématiques : elle permet de deviner quelle devrait être la solution. Mais les propositions mathématiques ne sont établies que par déduction. Et la méthode d'induction mathématique est une méthode de preuve purement déductive. En effet, la preuve effectuée par cette méthode se compose de deux parties :

la soi-disant "base" - une preuve déductive de la phrase souhaitée pour un (ou plusieurs) nombres naturels ;

une étape inductive consistant en une preuve déductive d'un énoncé général. Le théorème est prouvé avec précision pour tous les nombres naturels. A partir de la base prouvée, par exemple, pour le nombre 0, on obtient, par induction, la preuve pour le nombre 1, puis de la même façon pour 2, pour 3... - et ainsi l'énoncé peut se justifier pour n'importe quel nombre naturel.

En d'autres termes, le nom "induction mathématique" est dû au fait que cette méthode est simplement associée dans notre esprit au raisonnement inductif traditionnel (après tout, la base n'est réellement prouvée que pour un cas particulier) ; l'étape inductive, contrairement aux critères de plausibilité du raisonnement inductif basé sur l'expérience des sciences naturelles et sociales, est un énoncé général qui ne nécessite aucune prémisse particulière et est prouvé selon les canons stricts du raisonnement déductif. Par conséquent, l'induction mathématique est appelée "complète" ou "parfaite", car il s'agit d'une méthode de preuve déductive et totalement fiable.

Exemples de solutions aux problèmes

Induction en algèbre

Considérons plusieurs exemples de problèmes algébriques, ainsi que la preuve de diverses inégalités qui peuvent être résolues à l'aide de la méthode d'induction mathématique.

Tache 1. Devinez la formule de la somme et prouvez-la.

MAIS( n )= 2  1 2 + 3 2 2 + …..+(n +1) n 2 .

La solution.

1. Transformons l'expression de la somme А(n) :

A(n)= 2  1 2 + 3  2 2 + ….+ (n+1) n 2 = (1+1) 1 2 + (2+1) 2 2 + …. + (n+1) n 2 = =1  1 2 + 2  2 2 + …+n  n 2 + 1 2 + 2 2 +… +n 2 =1 3 + 2 3 +… +n 3 +1 2 + 2 2 +… +n 2 = Â(n) + C(n), où B(n) = 1 3 + 2 3 + …..+ n 3 , C(n)= 1 2 + 2 2 + …+ n 2 .

2. Considérons les sommes C (n) et B (n).

a) C( n ) = 1 2 + 2 2 +…+ n 2 . Un des problèmes fréquemment rencontrés sur la méthode d'induction mathématique est de prouver que pour tout naturel n , l'égalité

1 2 + 2 2 +…+ n 2 = (1)

Supposons que (1) est vrai pour tout n  N

b ) B(n) = 1 3 + 2 3 + …..+ n 3 . Observons comment les valeurs de B (n) changent en fonction de n.

B(1) = 1 3 = 1 .

B(2) = 1 3 + 2 3 = 9 = 3 2 = (1 + 2) 2

B(3) = 1 3 + 2 3 + 3 3 = 36 =

Ainsi, on peut supposer que
B (n) = (1 + 2 + ….+ n) 2 =
(2)

c) Par conséquent, pour la somme А(n) on obtient

MAIS( n ) ==

= (*)

3. Démontrons la formule obtenue (*) par la méthode d'induction mathématique.

a) vérifier l'égalité (*) pour n = 1.

A(1) = 2  =2,

Évidemment, la formule (*) est vraie pour n = 1.

b) supposons que la formule (*) soit vraie pour n=k , où k N, c'est-à-dire l'égalité

A(k)=

Sur la base de l'hypothèse, nous prouverons la validité de la formule pour n =k +1. Vraiment,

A(k+1)=

Puisque la formule (*) est vraie pour n =1, et de l'hypothèse qu'elle est vraie pour un k naturel, il s'ensuit qu'elle est vraie pour n =k +1, sur la base du principe d'induction mathématique, nous concluons que la égalité

vaut pour tout naturel n .

Tâche 2.

Calculez la somme 1-2 + 3-4 +…(-1) n -1 n .

La solution.

Écrivons successivement les valeurs des sommes pour différentes valeurs de n.

UNE(1)=1, UNE(2)=1-2= -1, UNE(3)=1-2+3=2, UNE(4)=1-2+3-4= -2,

A(5)=1-2+3-4+5=3, A(6)=1-2+3-4+5-6= -3.

En observant le modèle, nous pouvons supposer que A (n)= - pour n pair et A (n)=
pour n impair. Combinons les deux résultats en une seule formule :

A(n) =
, où r est le reste de la division de n par 2.

Et r , est évidemment déterminé par la règle suivante

0 si n est pair,

r=

1 si n est impair.

Alors r(peut être deviné) peut être représenté par :

Enfin, nous obtenons la formule pour A (n) :

A(n)=

(*)

Démontrons l'égalité (*) pour tout n  N méthode d'induction mathématique.

2. a) Vérifier l'égalité (*) pour n =1. A(1) = 1=

L'égalité est juste

b) Supposons que l'égalité

1-2+3-4+…+(-1) n-1 n=

vrai à n=k. Montrons qu'elle est aussi valable pour n =k + 1, c'est-à-dire

A(k+1)=

En effet,

A(k+1)=A(k)+(-1) k (k+1) =

=

Q.E.D.

La méthode d'induction mathématique est également utilisée pour résoudre des problèmes de divisibilité.

Tâche 3.

Montrer que le nombre N (n)=n 3 + 5n est divisible par 6 pour tout naturel n.

Preuve.

À n =1 le nombre N (1)=6 et donc l'énoncé est vrai.

Soit le nombre N (k )=k 3 +5k divisible par 6 pour un certain k naturel. Montrons que N (k +1)= (k +1) 3 + 5(k +1) est divisible par 6. En effet, nous avons
N (k +1)= (k +1) 3 + 5(k +1)=(k 3 +5k )+3k (k +1)+6.

Parce que le k et k +1 sont des nombres naturels adjacents, alors l'un d'eux est nécessairement pair, donc l'expression 3k (k +1) est divisible par 6. Ainsi, on obtient que N (k +1) est aussi divisible par 6. le nombre N (n)=n 3 + 5n est divisible par 6 pour tout naturel n.

Considérons la solution d'un problème de divisibilité plus complexe, lorsque la méthode d'induction mathématique complète doit être appliquée plusieurs fois.

Tâche 4.

Montrer que pour tout naturel n le nombre
n'est même pas divisible par 2 n +3 .

Preuve.

Imaginer
sous forme d'oeuvre
=

= (*)

Par hypothèse, le premier facteur de (*) n'est pas divisible par le nombre 2 k +3 , c'est-à-dire dans la représentation d'un nombre composé
sous la forme d'un produit de nombres premiers, le nombre 2 ne se répète pas plus de (k + 2) fois. Alors pour prouver que le nombre
n'est pas divisible par 2 k +4 , il faut montrer que
n'est pas divisible par 4.

Pour prouver cette assertion, on démontre une assertion auxiliaire : pour tout naturel n, le nombre 3 2 n +1 n'est pas divisible par 4. Pour n =1, l'assertion est évidente, puisque 10 n'est pas divisible par 4 sans reste. En supposant que 3 2 k +1 n'est pas divisible par 4, on montre que 3 2(k +1) +1 n'est pas non plus divisible
par 4. Représentons la dernière expression comme une somme :

3 2(k+1) +1=3 2k+2 +1=3 2k * 9+1=(3 2k +1)+8 * 3 2k . Le deuxième terme de la somme est divisible par 4, mais le premier n'est pas divisible. Par conséquent, la somme entière n'est pas divisible par 4 sans reste. L'assertion auxiliaire est démontrée.

Maintenant c'est clair que
n'est pas divisible par 4 car 2k est un nombre pair.

Finalement, on obtient que le nombre
n'est pas divisible par 2 n +3 pour tout naturel n .

Considérons maintenant un exemple d'application de l'induction à la preuve des inégalités.

Tâche 5.

Pour quel n naturel l'inégalité 2 n > 2n + 1 est-elle vraie ?

La solution.

1. Quand n=1 2 1< 2*1+1,

à n=2 2 2< 2*2+1,

à n =3 2 3 > 2*3+1,

à n =4 2 4 > 2*4+1.

Apparemment, l'inégalité est valable pour tout naturel n  3. Démontrons cette assertion.

2. Quand n =3 la validité de l'inégalité a déjà été démontrée. Maintenant, supposons que l'inégalité soit valide pour n =k , où k est un nombre naturel non inférieur à 3, c'est-à-dire

2 k > 2k+1 (*)

Montrons que l'inégalité est aussi valable pour n =k +1, c'est-à-dire 2 k +1 >2(k +1)+1. Multipliez (*) par 2, on obtient 2 k +1 >4k +2. Comparons les expressions 2(k +1)+1 et 4k +2.

4k+2-(2(k+1)+1)=2k-1. Évidemment, 2k -1>0 pour tout k naturel. Alors 4k +2>2(k +1)+1, soit 2k+1 >2(k+1)+1. L'affirmation a été prouvée.

Tâche 6.

Inégalité pour la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique de n nombres non négatifs (inégalité de Cauchy)., on obtient =

Si au moins un des nombres
est égal à zéro, alors l'inégalité (**) est également valable.

Conclusion.

En faisant le travail, j'ai étudié l'essence de la méthode d'induction mathématique et sa preuve. L'article présente des problèmes dans lesquels un rôle important a été joué par l'induction incomplète conduisant à la solution correcte, puis une preuve obtenue à l'aide de la méthode d'induction mathématique est effectuée.

Littérature.

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Sominsky I.S., Golovina M.L., Yaglom I.M. Sur l'induction mathématique - M. : Nauka, 1967.

La vraie connaissance à tout moment était basée sur l'établissement d'un modèle et la preuve de sa véracité dans certaines circonstances. Pendant une si longue période d'existence du raisonnement logique, les formulations des règles ont été données, et Aristote a même compilé une liste de "raisonnement correct". Historiquement, il est d'usage de diviser toutes les inférences en deux types - du concret au pluriel (induction) et vice versa (déduction). Il convient de noter que les types de preuve du particulier au général et du général au particulier n'existent qu'en interconnexion et ne peuvent pas être interchangés.

Induction en mathématiques

Le terme "induction" (induction) a des racines latines et se traduit littéralement par "orientation". Après une étude approfondie, on peut distinguer la structure du mot, à savoir le préfixe latin -in- (désigne une action dirigée vers l'intérieur ou étant à l'intérieur) et -duction - introduction. Il convient de noter qu'il existe deux types - l'induction complète et incomplète. La forme complète est caractérisée par des conclusions tirées de l'étude de tous les sujets d'une certaine classe.

Incomplet - conclusions appliquées à tous les sujets de la classe, mais faites sur la base de l'étude de certaines unités seulement.

L'induction mathématique complète est une conclusion basée sur une conclusion générale sur la classe entière de tous les objets qui sont fonctionnellement liés par des relations de la série naturelle de nombres basées sur la connaissance de cette connexion fonctionnelle. Dans ce cas, le processus de preuve se déroule en trois étapes :

• à la première étape, l'exactitude de l'énoncé d'induction mathématique est prouvée. Exemple : f = 1, induction ;
• l'étape suivante est basée sur l'hypothèse que la position est valable pour tous les nombres naturels. C'est-à-dire que f=h, c'est l'hypothèse inductive ;
• à la troisième étape, la validité de la position pour le nombre f = h + 1 est prouvée, sur la base de l'exactitude de la position du paragraphe précédent - il s'agit d'une transition d'induction, ou d'une étape d'induction mathématique. Un exemple est ce qu'on appelle si le premier os de la rangée tombe (base), alors tous les os de la rangée tombent (transition).

A la fois en plaisantant et en sérieux

Pour faciliter la perception, des exemples de solutions par la méthode de l'induction mathématique sont dénoncés sous forme de problèmes farfelus. Voici la tâche Polite Queue :

• Les règles de conduite interdisent à un homme de tourner devant une femme (dans une telle situation, elle est laissée devant). Sur la base de cette déclaration, si le dernier en ligne est un homme, alors tous les autres sont des hommes.

Un exemple frappant de la méthode d'induction mathématique est le problème "Vol sans dimension":

• Il est nécessaire de prouver que n'importe quel nombre de personnes rentre dans le minibus. Il est vrai qu'une seule personne peut rentrer à l'intérieur du transport sans difficulté (base). Mais peu importe le niveau de remplissage du minibus, 1 passager y rentrera toujours (étape d'induction).

cercles familiers

Les exemples de résolution de problèmes et d'équations par induction mathématique sont assez courants. Pour illustrer cette approche, on peut considérer le problème suivant.

Condition: h cercles sont placés sur le plan. Il est nécessaire de prouver que, pour toute disposition des figures, la carte formée par elles peut être correctement colorée avec deux couleurs.

La solution: pour h=1 la vérité de l'énoncé est évidente, donc la preuve sera construite pour le nombre de cercles h+1.

Supposons que l'énoncé est vrai pour n'importe quelle carte, et h + 1 cercles sont donnés sur le plan. En supprimant un des cercles du total, vous pouvez obtenir une carte correctement colorée avec deux couleurs (noir et blanc).

Lors de la restauration d'un cercle supprimé, la couleur de chaque zone change à l'opposé (dans ce cas, à l'intérieur du cercle). Il s'avère une carte correctement coloriée en deux couleurs, ce qui devait être prouvé.

Exemples avec des nombres naturels

L'application de la méthode d'induction mathématique est clairement indiquée ci-dessous.

Exemples de solutions :

Montrer que pour tout h l'égalité sera correcte :

1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.

1. Soit h=1, alors :

R 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

Il s'ensuit que pour h=1 l'énoncé est correct.

2. En supposant que h=d, l'équation suivante est obtenue :

R 1 \u003d ré 2 \u003d ré (d + 1) (2d + 1) / 6 \u003d 1

3. En supposant que h=d+1, il s'avère :

R j+1 =(j+1) (j+2) (2j+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( j+1)(2j+1)+6(j+1) 2)/6=(j+1)(j(2j+1)+6(k+1))/6=

(j+1)(2j 2 +7j+6)/6=(j+1)(2(j+3/2)(j+2))/6=(j+1)(j+2)( 2d+3)/6.

Ainsi, la validité de l'égalité pour h=d+1 a été prouvée, donc l'énoncé est vrai pour tout nombre naturel, ce qui est montré dans l'exemple de solution par induction mathématique.

Une tâche

Condition: il faut prouver que pour toute valeur de h, l'expression 7 h -1 est divisible par 6 sans reste.

La solution:

1. Disons h=1, dans ce cas :

R 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 (c'est-à-dire divisé par 6 sans reste)

Par conséquent, pour h=1, l'énoncé est vrai ;

2. Soit h=d et 7 d -1 est divisible par 6 sans reste ;

3. La preuve de la validité de l'énoncé pour h=d+1 est la formule :

R ré +1 =7 ré +1 -1=7∙7 ré -7+6=7(7 ré -1)+6

Dans ce cas, le premier terme est divisible par 6 par l'hypothèse du premier paragraphe, et le second terme est égal à 6. L'affirmation selon laquelle 7 h -1 est divisible par 6 sans reste pour tout h naturel est vraie.

Erreur de jugement

Souvent, un raisonnement incorrect est utilisé dans les preuves, en raison de l'imprécision des constructions logiques utilisées. Fondamentalement, cela se produit lorsque la structure et la logique de la preuve sont violées. Un exemple de raisonnement incorrect est l'illustration suivante.

Une tâche

Condition: nécessite une preuve que tout tas de pierres n'est pas un tas.

La solution:

1. Disons h=1, dans ce cas il y a 1 pierre dans la pile et l'énoncé est vrai (base) ;

2. Soit vrai pour h=d qu'un tas de pierres n'est pas un tas (hypothèse) ;

3. Soit h=d+1, d'où il résulte que lorsqu'on ajoute une pierre de plus, l'ensemble ne sera pas un tas. La conclusion suggère d'elle-même que l'hypothèse est valable pour tout h naturel.

L'erreur réside dans le fait qu'il n'y a pas de définition du nombre de pierres formant un tas. Une telle omission est appelée généralisation hâtive dans la méthode d'induction mathématique. Un exemple le montre clairement.

L'induction et les lois de la logique

Historiquement, ils « marchent toujours main dans la main ». Des disciplines scientifiques telles que la logique, la philosophie les décrivent sous la forme d'opposés.

Du point de vue de la loi de la logique, les définitions inductives sont basées sur des faits et la véracité des prémisses ne détermine pas l'exactitude de l'énoncé résultant. Souvent, les conclusions sont obtenues avec un certain degré de probabilité et de plausibilité, qui, bien sûr, doit être vérifié et confirmé par des recherches supplémentaires. Un exemple d'induction en logique serait l'énoncé :

Sécheresse en Estonie, sécheresse en Lettonie, sécheresse en Lituanie.

L'Estonie, la Lettonie et la Lituanie sont les États baltes. Sécheresse dans tous les États baltes.

De l'exemple, nous pouvons conclure que de nouvelles informations ou vérités ne peuvent pas être obtenues en utilisant la méthode d'induction. Tout ce sur quoi on peut compter, c'est une éventuelle véracité des conclusions. De plus, la vérité des prémisses ne garantit pas les mêmes conclusions. Cependant, ce fait ne signifie pas que l'induction végète dans l'arrière-cour de la déduction : un grand nombre de dispositions et de lois scientifiques sont justifiées par la méthode de l'induction. Les mathématiques, la biologie et d'autres sciences peuvent servir d'exemple. Ceci est principalement dû à la méthode d'induction complète, mais dans certains cas, une induction partielle est également applicable.

L'âge vénérable de l'induction lui a permis de pénétrer dans presque toutes les sphères de l'activité humaine - c'est-à-dire la science, l'économie et les conclusions quotidiennes.

Initiation au milieu scientifique

La méthode d'induction exige une attitude scrupuleuse, car trop dépend du nombre de particuliers étudiés de l'ensemble : plus le nombre étudié est grand, plus le résultat est fiable. Sur la base de cette caractéristique, les lois scientifiques obtenues par la méthode d'induction sont testées suffisamment longtemps au niveau des hypothèses probabilistes afin d'isoler et d'étudier tous les éléments structuraux, connexions et influences possibles.

En science, la conclusion inductive est basée sur des caractéristiques significatives, à l'exception des dispositions aléatoires. Ce fait est important en rapport avec les spécificités de la connaissance scientifique. Cela se voit clairement dans les exemples d'induction en science.

Il existe deux types d'induction dans le monde scientifique (en lien avec la méthode d'étude) :

1. induction-sélection (ou sélection);
2. induction - exclusion (élimination).

Le premier type se distingue par un échantillonnage méthodique (scrutineux) d'une classe (sous-classes) à partir de ses différentes zones.

Un exemple de ce type d'induction est le suivant : l'argent (ou les sels d'argent) purifie l'eau. La conclusion est basée sur des observations à long terme (une sorte de sélection de confirmations et de réfutations - sélection).

Le deuxième type d'induction est basé sur des conclusions qui établissent des relations causales et excluent les circonstances qui ne correspondent pas à ses propriétés, à savoir l'universalité, le respect de la séquence temporelle, la nécessité et l'absence d'ambiguïté.

Induction et déduction du point de vue de la philosophie

Si vous regardez la rétrospective historique, le terme "induction" a été mentionné pour la première fois par Socrate. Aristote a décrit des exemples d'induction en philosophie dans un dictionnaire terminologique plus approximatif, mais la question de l'induction incomplète reste ouverte. Après la persécution du syllogisme aristotélicien, la méthode inductive a commencé à être reconnue comme féconde et la seule possible en sciences naturelles. Bacon est considéré comme le père de l'induction en tant que méthode spéciale indépendante, mais il n'a pas réussi à séparer, comme ses contemporains l'exigeaient, l'induction de la méthode déductive.

Le développement ultérieur de l'induction a été réalisé par J. Mill, qui a considéré la théorie de l'induction du point de vue de quatre méthodes principales : accord, différence, résidus et changements correspondants. Il n'est pas surprenant qu'aujourd'hui les méthodes énumérées, lorsqu'elles sont examinées en détail, soient déductives.

La prise de conscience de l'incohérence des théories de Bacon et Mill a conduit les scientifiques à étudier la base probabiliste de l'induction. Cependant, même ici, il y avait des extrêmes: des tentatives ont été faites pour réduire l'induction à la théorie des probabilités, avec toutes les conséquences qui en découlent.

L'induction obtient un vote de confiance dans l'application pratique dans certains domaines et grâce à la précision métrique de la base inductive. Un exemple d'induction et de déduction en philosophie peut être considéré comme la loi de la gravitation universelle. À la date de découverte de la loi, Newton a pu la vérifier avec une précision de 4 %. Et lors de la vérification après plus de deux cents ans, l'exactitude a été confirmée avec une précision de 0,0001%, bien que la vérification ait été effectuée par les mêmes généralisations inductives.

La philosophie moderne accorde plus d'attention à la déduction, qui est dictée par un désir logique de tirer de nouvelles connaissances (ou vérités) de ce qui est déjà connu, sans recourir à l'expérience, à l'intuition, mais en utilisant un raisonnement "pur". Lorsqu'on se réfère à de vraies prémisses dans la méthode déductive, dans tous les cas, la sortie est une déclaration vraie.

Cette caractéristique très importante ne doit pas faire oublier l'intérêt de la méthode inductive. Depuis l'induction, basée sur les acquis de l'expérience, devient également un moyen de son traitement (y compris la généralisation et la systématisation).

Application de l'induction en économie

L'induction et la déduction ont longtemps été utilisées comme méthodes d'étude de l'économie et de prévision de son évolution.

La gamme d'utilisation de la méthode d'induction est assez large: l'étude de la réalisation d'indicateurs prévisionnels (bénéfice, amortissement, etc.) et une évaluation générale de l'état de l'entreprise; formation d'une politique efficace de promotion des entreprises basée sur les faits et leurs relations.

La même méthode d'induction est utilisée dans les diagrammes de Shewhart, où, sous l'hypothèse que les processus sont divisés en processus contrôlés et non gérés, il est indiqué que le cadre du processus contrôlé est inactif.

Il convient de noter que les lois scientifiques sont étayées et confirmées par la méthode de l'induction, et comme l'économie est une science qui utilise souvent l'analyse mathématique, la théorie du risque et les données statistiques, il n'est pas du tout surprenant que l'induction soit incluse dans la liste des principales méthodes.

La situation suivante peut servir d'exemple d'induction et de déduction en économie. Une augmentation du prix des denrées alimentaires (du panier de consommation) et des biens de première nécessité pousse le consommateur à réfléchir au surcoût naissant dans l'état (induction). Dans le même temps, du fait du coût élevé, en utilisant des méthodes mathématiques, il est possible de dériver des indicateurs de croissance des prix pour des biens individuels ou des catégories de biens (déduction).

Le plus souvent, le personnel de direction, les gestionnaires et les économistes se tournent vers la méthode d'induction. Afin de pouvoir prédire le développement d'une entreprise, le comportement du marché et les conséquences de la concurrence avec une véracité suffisante, une approche inductive-déductive de l'analyse et du traitement de l'information est nécessaire.

Un exemple illustratif d'induction en économie, faisant référence à des jugements fallacieux :

• le bénéfice de l'entreprise a diminué de 30 % ;
  un concurrent a élargi sa gamme de produits ;
  rien d'autre n'a changé;
• la politique de production d'une entreprise concurrente a provoqué une baisse de profit de 30 % ;
• par conséquent, la même politique de production doit être mise en œuvre.

L'exemple est une illustration colorée de la façon dont l'utilisation inepte de la méthode d'induction contribue à la ruine d'une entreprise.

Déduction et induction en psychologie

Puisqu'il y a une méthode, alors, logiquement, il y a aussi une pensée bien organisée (pour utiliser la méthode). La psychologie en tant que science qui étudie les processus mentaux, leur formation, leur développement, leurs relations, leurs interactions, prête attention à la pensée "déductive" comme l'une des formes de manifestation de la déduction et de l'induction. Malheureusement, sur les pages de psychologie sur Internet, il n'y a pratiquement aucune justification de l'intégrité de la méthode déductive-inductive. Bien que les psychologues professionnels soient plus susceptibles de rencontrer des manifestations d'induction, ou plutôt des conclusions erronées.

Un exemple d'induction en psychologie, comme illustration de jugements erronés, est l'énoncé : ma mère est une trompeuse, donc toutes les femmes sont des trompeuses. Il existe des exemples encore plus « erronés » d'induction de la vie :

• un élève n'est capable de rien s'il a reçu un deux en mathématiques ;
• c'est un imbécile;
• il est intelligent;
• Je peux tout faire;

Et bien d'autres jugements de valeur basés sur des messages absolument aléatoires et parfois insignifiants.

Il est à noter : lorsque le sophisme des jugements d'une personne atteint le point d'absurdité, un front de travail apparaît pour le psychothérapeute. Un exemple d'intégration lors d'un rendez-vous chez un spécialiste :

«Le patient est absolument sûr que la couleur rouge ne présente pour lui qu'un danger dans toutes les manifestations. En conséquence, une personne a exclu ce jeu de couleurs de sa vie - dans la mesure du possible. Dans l'environnement familial, il existe de nombreuses possibilités de vivre confortablement. Vous pouvez refuser tous les articles rouges ou les remplacer par des analogues fabriqués dans une palette de couleurs différente. Mais dans les lieux publics, au travail, dans le magasin - c'est impossible. Entrant dans une situation stressante, le patient éprouve à chaque fois une « marée » d'états émotionnels complètement différents, qui peuvent être dangereux pour les autres.

Cet exemple d'induction, et inconsciemment, est appelé "idées fixes". Si cela arrive à une personne en bonne santé mentale, on peut parler d'un manque d'organisation de l'activité mentale. Le développement élémentaire de la pensée déductive peut devenir un moyen de se débarrasser des états obsessionnels. Dans d'autres cas, les psychiatres travaillent avec de tels patients.

Les exemples d'induction ci-dessus indiquent que "l'ignorance de la loi n'exempte pas des conséquences (jugements erronés)".

Les psychologues, travaillant sur le thème de la pensée déductive, ont compilé une liste de recommandations conçues pour aider les gens à maîtriser cette méthode.

La première étape est la résolution de problèmes. Comme on peut le voir, la forme d'induction utilisée en mathématiques peut être considérée comme "classique", et l'utilisation de cette méthode contribue à la "discipline" de l'esprit.

La condition suivante pour le développement de la pensée déductive est l'élargissement des horizons (ceux qui pensent clairement, déclarent clairement). Cette recommandation dirige la "souffrance" vers les trésoreries de la science et de l'information (bibliothèques, sites Internet, initiatives pédagogiques, voyages, etc.).

Séparément, il convient de mentionner ce que l'on appelle "l'induction psychologique". Ce terme, bien que peu fréquent, peut être trouvé sur Internet. Toutes les sources ne donnent pas au moins une brève définition de ce terme, mais se réfèrent à des "exemples de la vie", tout en faisant passer soit la suggestion, certaines formes de maladie mentale, soit des états extrêmes de la psyché humaine comme un nouveau type d'induction. De tout ce qui précède, il est clair qu'une tentative de dériver un "nouveau terme" basé sur des prémisses fausses (souvent fausses) condamne l'expérimentateur à recevoir une déclaration erronée (ou hâtive).

Il convient de noter que la référence aux expériences de 1960 (sans indiquer le lieu, les noms des expérimentateurs, l'échantillon de sujets, et surtout, le but de l'expérience) semble, pour le moins, peu convaincante, et l'affirmation que le cerveau perçoive des informations contournant tous les organes de la perception (l'expression "expérimenté" dans ce cas s'intégrerait plus organiquement), fait réfléchir à la crédulité et à l'absence de critique de l'auteur de l'énoncé.

Au lieu d'une conclusion

La reine des sciences - les mathématiques, n'utilise pas en vain toutes les réserves possibles de la méthode d'induction et de déduction. Les exemples considérés nous permettent de conclure que l'application superficielle et inepte (irréfléchie, comme on dit) des méthodes même les plus précises et les plus fiables conduit toujours à des résultats erronés.

Dans la conscience de masse, la méthode de déduction est associée au célèbre Sherlock Holmes, qui, dans ses constructions logiques, utilise souvent des exemples d'induction, utilisant la déduction dans des situations nécessaires.

L'article a examiné des exemples d'application de ces méthodes dans diverses sciences et sphères de la vie humaine.

Une méthode de preuve basée sur l'axiome 4 de Peano est utilisée pour prouver de nombreuses propriétés mathématiques et diverses déclarations. La base pour cela est le théorème suivant.

Théorème. Si la déclaration MAIS(n) avec variable naturelle n vrai pour n= 1 et du fait que c'est vrai pour n=n, il s'ensuit qu'il est également vrai pour le nombre suivant n=k, puis la déclaration MAIS(n) n.

Preuve. Dénoter par M l'ensemble de ceux et seulement des nombres naturels pour lesquels l'énoncé MAIS(n) vrai. Alors à partir de la condition du théorème on a : 1) 1 M; 2) k MkM. Par conséquent, sur la base de l'axiome 4, nous concluons que M =N, c'est à dire. déclaration MAIS(n) vrai pour tout naturel n.

La méthode de preuve basée sur ce théorème est appelée méthode d'induction mathématique, et l'axiome est l'axiome d'induction. Cette preuve comporte deux parties :

1) prouver que l'énoncé MAIS(n) vrai pour n= A(1);

2) supposons que l'énoncé MAIS(n) vrai pour n=n, et, partant de cette hypothèse, prouver que l'énoncé Un) vrai pour n=k+ 1, c'est-à-dire que l'énoncé est vrai A(k) A(k + 1).

Si un MAIS( 1) MAIS(k) A(k + 1) est un énoncé vrai, alors ils concluent que l'énoncé Un) vrai pour tout nombre naturel n.

La preuve par induction mathématique peut commencer non seulement par la confirmation de la vérité de l'énoncé pour n= 1, mais aussi à partir de n'importe quel entier naturel m. Dans ce cas, la déclaration MAIS(n) se prouvera pour tous les nombres naturels nm.

Problème Prouvons que pour tout nombre naturel l'égalité 1 + 3 + 5 ... + (2 n- 1) = n.m.

La solution.Égalité 1 + 3 + 5 ... + (2 n- 1) = n est une formule qui peut être utilisée pour trouver la somme des premiers nombres naturels impairs consécutifs. Par exemple, 1 + 3 + 5 + 7 = 4= 16 (la somme contient 4 termes), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6= 36 (la somme contient 6 termes) ; si cette somme contient 20 termes du type indiqué, alors elle est égale à 20 = 400, etc. Après avoir prouvé la vérité de cette égalité, nous pourrons trouver la somme de n'importe quel nombre de termes du type spécifié en utilisant la formule.

1) Vérifier la vérité de cette égalité pour n= 1. Quand n= 1 le membre gauche de l'égalité est constitué d'un terme égal à 1, le membre droit est égal à 1= 1. Puisque 1 = 1, alors pour n= 1 cette égalité est vraie.

2) Supposons que cette égalité est vraie pour n=n, c'est à dire. que 1 + 3 + 5 + … + (2 k- 1) = k. Sur la base de cette hypothèse, nous prouvons qu'il est vrai pour n=k+ 1, c'est-à-dire 1 + 3 + 5 + ... + (2 k- 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1).

Considérons le côté gauche de la dernière égalité.

Par hypothèse, la somme des premiers k termes est k et donc 1 + 3 + 5 + ... + (2 k- 1) + (2(k + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k- 1) + (2k+ 1)=

= k+(2k + 1) = k+ 2k + 1. Expression k+ 2k + 1 est identiquement égal à l'expression ( k + 1).

Par conséquent, la vérité de cette égalité pour n=k+ 1 est prouvé.

Ainsi, cette égalité est vraie pour n= 1 et de sa vérité pour n=n suit la vérité pour n=k+ 1.

Cela prouve que cette égalité est vraie pour tout entier naturel.

En utilisant la méthode de l'induction mathématique, on peut prouver la vérité non seulement des égalités, mais aussi des inégalités.

Une tâche. Prouver que où nN.

La solution. Vérifions la vérité de l'inégalité pour n= 1. Nous avons - une vraie inégalité.

Supposons que l'inégalité soit vraie pour n=k, ceux. - véritable inégalité. Prouvons, en partant de l'hypothèse, que c'est vrai pour n=k+ 1, c'est-à-dire (*).

On transforme le membre de gauche de l'inégalité (*) en tenant compte que : .

Mais, cela signifie .

Donc cette inégalité est vraie pour n= 1, et, du fait que l'inégalité est vraie pour certains n= k, nous avons trouvé que c'est aussi vrai pour n= k + 1.

Ainsi, en utilisant l'axiome 4, nous avons prouvé que cette inégalité est vraie pour tout nombre naturel.

D'autres assertions peuvent également être prouvées par la méthode de l'induction mathématique.

Une tâche. Démontrer que l'énoncé est vrai pour tout nombre naturel.

La solution. Vérifions la vérité de l'énoncé pour n= 1 : - énoncé vrai.

Supposons que cette affirmation soit vraie pour n=n: . Montrons, à l'aide de ceci, la vérité de l'énoncé pour n=k+ 1: .

Transformons l'expression : . Trouvons la différence k et k+ 1 membres. S'il s'avère que la différence résultante est un multiple de 7 et que, par hypothèse, la soustraction est divisible par 7, alors la diminution de la fin est également un multiple de 7 :

Le produit est donc un multiple de 7 et .

Ainsi, cette affirmation est vraie pour n= 1 et de sa vérité pour n=n suit la vérité pour n=k+ 1.

Cela prouve que cette affirmation est vraie pour tout nombre naturel.

Une tâche. Montrer que pour tout nombre naturel n 2 affirmation (7-1)24 est vraie.

La solution. 1) Vérifier la véracité de l'énoncé pour n= 2 : - énoncé vrai.