Plus petit commun multiple de 14 11. Nod et nok des nombres - plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple de plusieurs nombres
De nombreux diviseurs
Considérons le problème suivant : trouver le diviseur du nombre 140. Évidemment, le nombre 140 n'a pas un diviseur, mais plusieurs. Dans de tels cas, on dit que le problème vient un tas de les décisions. Trouvons-les tous. Tout d’abord, prenons en compte ce nombre en facteurs simples :
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.
Nous pouvons maintenant facilement écrire tous les diviseurs. Commençons par les facteurs premiers, c'est-à-dire ceux qui sont présents dans le développement donné ci-dessus :
Ensuite, nous notons ceux qui sont obtenus par multiplication par paires de diviseurs premiers :
2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.
Ensuite - ceux qui contiennent trois diviseurs premiers :
2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.
Enfin, n’oublions pas l’unité et le nombre décomposé lui-même :
Tous les diviseurs que nous avons trouvés forment un tas de diviseurs du nombre 140, qui s'écrit entre accolades :
Ensemble de diviseurs du nombre 140 =
{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.
Pour faciliter la perception, nous avons noté ici les diviseurs ( éléments de l'ensemble) par ordre croissant, mais, en général, cela n'est pas nécessaire. De plus, nous introduisons une abréviation de notation. Au lieu de « Ensemble des diviseurs du nombre 140 » nous écrirons « D(140) ». Ainsi,
De la même manière, vous pouvez trouver l’ensemble des diviseurs de tout autre nombre naturel. Par exemple, à partir de la décomposition
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7
on a:
D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).
De l'ensemble de tous les diviseurs, il faut distinguer l'ensemble des diviseurs simples, qui pour les nombres 140 et 105 sont respectivement égaux :
PD(140) = (2, 5, 7).
PD(105) = (3, 5, 7).
Il faut surtout souligner que dans la décomposition du nombre 140 en facteurs premiers, les deux apparaissent deux fois, alors que dans l'ensemble PD(140) il n'y en a qu'un. L’ensemble de PD(140) est, en substance, toutes les réponses au problème : « Trouver le facteur premier du nombre 140 ». Il est clair que la même réponse ne doit pas être répétée plus d’une fois.
Réduire les fractions. Plus grand diviseur commun
Considérons la fraction
On sait que cette fraction peut être réduite d'un nombre qui est à la fois diviseur du numérateur (105) et diviseur du dénominateur (140). Regardons les ensembles D(105) et D(140) et notons-les éléments communs.
D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105) ;
D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).
Éléments communs aux ensembles D(105) et D(140) =
La dernière égalité peut s'écrire plus brièvement, à savoir :
D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).
Ici, l'icône spéciale « ∩ » (« sac avec le trou vers le bas ») indique que parmi les deux ensembles écrits sur les côtés opposés, seuls les éléments communs doivent être sélectionnés. L’entrée « D(105) ∩ D(140) » se lit comme suit : « intersection ensembles de De de 105 et De de 140. »
[Notez en cours de route que vous pouvez effectuer diverses opérations binaires avec des ensembles, presque comme avec des nombres. Une autre opération binaire courante est syndicat, qui est indiqué par l'icône « ∪ » (« sac avec le trou vers le haut »). L'union de deux ensembles comprend tous les éléments des deux ensembles :
PD(105) = (3, 5, 7) ;
PD(140) = (2, 5, 7) ;
PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]
Nous avons donc découvert que la fraction
peut être réduit par l'un des nombres appartenant à l'ensemble
D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)
et ne peut être réduit à aucun autre entier naturel. C'est tout moyens possibles abréviations (sauf l'abréviation inintéressante par un) :
Évidemment, il est plus pratique de réduire la fraction d’un nombre aussi grand que possible. DANS dans ce cas c'est le numéro 35, qu'ils disent être plus grand diviseur commun (PGCD) numéros 105 et 140. Ceci s’écrit
PGCD(105, 140) = 35.
Cependant, en pratique, si l’on nous donne deux nombres et que nous devons trouver leur plus grand diviseur commun, nous ne devrions construire aucun ensemble. Il suffit simplement de décomposer les deux nombres en facteurs premiers et de mettre en évidence ceux de ces facteurs qui sont communs aux deux décompositions, par exemple :
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .
En multipliant les nombres soulignés (dans n'importe laquelle des extensions), nous obtenons :
pgcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.
Bien entendu, il est possible qu’il y ait plus de deux facteurs soulignés :
168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;
396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.
De là il ressort clairement que
pgcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.
La situation mérite une mention particulière lorsqu'il n'y a aucun facteur commun et qu'il n'y a rien à souligner, par exemple :
42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;
Dans ce cas,
PGCD(42, 55) = 1.
Deux nombres naturels pour lesquels GCD est égal à un sont appelés mutuellement premier. Si vous faites une fraction à partir de ces nombres, par exemple,
alors une telle fraction est irréductible.
D'une manière générale, la règle de réduction des fractions peut s'écrire comme suit :
|
un/ pgcd( un, b) |
|||
|
b/ pgcd( un, b) |
Ici, on suppose que un Et b sont des nombres naturels et la fraction entière est positive. Si nous ajoutons maintenant un signe moins aux deux côtés de cette égalité, nous obtenons la règle correspondante pour les fractions négatives.
Additionner et soustraire des fractions. Multiple moins commun
Supposons que vous deviez calculer la somme de deux fractions :
Nous savons déjà comment les dénominateurs sont pris en compte dans les facteurs premiers :
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .
De cette décomposition il résulte immédiatement que, pour ramener les fractions à un dénominateur commun, il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 2 ∙ 2 (le produit des facteurs premiers non accentués du deuxième dénominateur), et le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par 3 (« produit » facteurs premiers non accentués du premier dénominateur). En conséquence, les dénominateurs des deux fractions deviendront égaux au nombre, qui peut être représenté comme suit :
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.
Il est facile de voir que les deux dénominateurs initiaux (105 et 140) sont des diviseurs du nombre 420, et que le nombre 420, à son tour, est un multiple des deux dénominateurs - et pas seulement un multiple, c'est multiple moins commun (CNP) les numéros 105 et 140. Il s'écrit ainsi :
LCM(105, 140) = 420.
En regardant de plus près la décomposition des nombres 105 et 140, on voit que
105 ∙ 140 = PGCD(105, 140) ∙ PGCD(105, 140).
De même, pour les nombres naturels arbitraires b Et d:
b ∙ d= LOC( b, d) ∙ PGCD( b, d).
Complétons maintenant la sommation de nos fractions :
|
3 ∙ 5 ∙ 7 |
2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 |
|
Note. Pour résoudre certains problèmes, vous devez savoir ce qu’est le carré d’un nombre. Mettez le nombre au carré un numéro appelé un, multiplié par lui-même, c'est-à-dire un∙un. (Comme il est facile de le voir, elle est égale à l'aire d'un carré de côté un). |
Définition. Le plus grand nombre naturel par lequel les nombres a et b sont divisés sans reste est appelé plus grand diviseur commun (PGCD) ces chiffres.
Trouvons le plus grand diviseur commun des nombres 24 et 35.
Les diviseurs de 24 sont les nombres 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 et les diviseurs de 35 sont les nombres 1, 5, 7, 35.
Nous voyons que les nombres 24 et 35 n'ont qu'un seul diviseur commun - le nombre 1. Ces nombres sont appelés mutuellement premier.
Définition. Les nombres naturels sont appelés mutuellement premier, si leur plus grand diviseur commun (PGCD) est 1.
Plus grand diviseur commun (PGCD) peut être trouvé sans écrire tous les diviseurs des nombres donnés.
En factorisant les nombres 48 et 36, on obtient :
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Parmi les facteurs inclus dans le développement du premier de ces nombres, nous biffons ceux qui ne sont pas inclus dans le développement du deuxième nombre (c'est-à-dire deux deux).
Les facteurs restants sont 2 * 2 * 3. Leur produit est égal à 12. Ce nombre est le plus grand diviseur commun des nombres 48 et 36. On trouve également le plus grand diviseur commun de trois nombres ou plus.
Trouver plus grand diviseur commun
2) parmi les facteurs inclus dans le développement d'un de ces nombres, rayer ceux qui ne sont pas inclus dans le développement d'autres nombres ;
3) trouver le produit des facteurs restants.
Si tous les nombres donnés sont divisibles par l’un d’eux, alors ce nombre est plus grand diviseur commun chiffres donnés.
Par exemple, le plus grand diviseur commun des nombres 15, 45, 75 et 180 est le nombre 15, puisque tous les autres nombres sont divisibles par lui : 45, 75 et 180.
Plus petit commun multiple (LCM)
Définition. Plus petit commun multiple (LCM) Les nombres naturels a et b sont le plus petit nombre naturel qui est un multiple de a et b. Le plus petit commun multiple (LCM) des nombres 75 et 60 peut être trouvé sans écrire les multiples de ces nombres d'affilée. Pour ce faire, factorisons 75 et 60 en facteurs premiers : 75 = 3 * 5 * 5 et 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Écrivons les facteurs inclus dans le développement du premier de ces nombres et ajoutons-y les facteurs manquants 2 et 2 du développement du deuxième nombre (c'est-à-dire que nous combinons les facteurs).
On obtient cinq facteurs 2 * 2 * 3 * 5 * 5 dont le produit est 300. Ce nombre est le plus petit commun multiple des nombres 75 et 60.
Ils trouvent également le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus.
À trouver le plus petit commun multiple plusieurs nombres naturels, il vous faut :
1) les factoriser en facteurs premiers ;
2) noter les facteurs inclus dans le développement de l'un des nombres ;
3) ajoutez-y les facteurs manquants issus des développements des nombres restants ;
4) trouver le produit des facteurs résultants.
Notez que si l’un de ces nombres est divisible par tous les autres nombres, alors ce nombre est le plus petit commun multiple de ces nombres.
Par exemple, le plus petit commun multiple des nombres 12, 15, 20 et 60 est 60 car il est divisible par tous ces nombres.
Pythagore (VIe siècle avant JC) et ses élèves étudièrent la question de la divisibilité des nombres. Nombre, égal à la somme Ils appelaient tous ses diviseurs (sans le nombre lui-même) un nombre parfait. Par exemple, les nombres 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sont parfaits. Les prochains nombres parfaits sont 496, 8 128, 33 550 336. Les Pythagoriciens ne connaissaient que les trois premiers nombres parfaits. Le quatrième - 8128 - est devenu connu au Ier siècle. n. e. Le cinquième – 33 550 336 – a été retrouvé au XVe siècle. En 1983, 27 nombres parfaits étaient déjà connus. Mais les scientifiques ne savent toujours pas s’il existe des nombres parfaits impairs ou s’il existe un nombre parfait plus grand.
L'intérêt des mathématiciens anciens pour les nombres premiers vient du fait que tout nombre est premier ou peut être représenté comme un produit. nombres premiers, c'est-à-dire que les nombres premiers sont comme des briques à partir desquelles le reste des nombres naturels est construit.
Vous avez probablement remarqué que les nombres premiers dans la série de nombres naturels apparaissent de manière inégale - dans certaines parties de la série, il y en a plus, dans d'autres, moins. Mais plus on avance dans la série de nombres, moins les nombres premiers sont courants. La question se pose : existe-t-il un dernier (le plus grand) nombre premier ? L'ancien mathématicien grec Euclide (IIIe siècle avant JC), dans son livre « Éléments », qui fut le principal manuel de mathématiques pendant deux mille ans, a prouvé qu'il existe une infinité de nombres premiers, c'est-à-dire que derrière chaque nombre premier il y a un nombre premier encore plus grand. nombre.
Pour trouver les nombres premiers, un autre mathématicien grec de la même époque, Eratosthène, a mis au point cette méthode. Il a noté tous les nombres de 1 à un certain nombre, puis en a barré un, qui n'est ni un nombre premier ni un nombre composé, puis a barré d'un seul tous les nombres venant après 2 (nombres multiples de 2, c'est-à-dire 4, 6, 8, etc.). Le premier nombre restant après 2 était 3. Puis, après deux, tous les nombres suivant 3 (nombres multiples de 3, c'est-à-dire 6, 9, 12, etc.) étaient barrés. au final, seuls les nombres premiers sont restés non croisés.
Mais de nombreux nombres naturels sont également divisibles par d’autres nombres naturels.
Par exemple:
Le nombre 12 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12 ;
Le nombre 36 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12, par 18, par 36.
Les nombres par lesquels le nombre est divisible par un tout (pour 12 ce sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12) sont appelés diviseurs de nombres. Diviseur d'un nombre naturel un- est un nombre naturel qui divise un nombre donné un sans laisser de trace. Un nombre naturel qui a plus de deux diviseurs s'appelle composite .
Veuillez noter que les nombres 12 et 36 ont des facteurs communs. Ces nombres sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le plus grand diviseur de ces nombres est 12. Le diviseur commun de ces deux nombres un Et b- c'est le nombre par lequel les deux nombres donnés sont divisés sans reste un Et b.
Multiples communs plusieurs nombres est un nombre divisible par chacun de ces nombres. Par exemple, les nombres 9, 18 et 45 ont un multiple commun de 180. Mais 90 et 360 sont aussi leurs multiples communs. Parmi tous les multiples communs, il y en a toujours un plus petit, dans ce cas il s'agit de 90. Ce nombre s'appelle le plus petitcommun multiple (CMM).
Le LCM est toujours un nombre naturel qui doit être supérieur au plus grand des nombres pour lesquels il est défini.
Le plus petit commun multiple (LCM). Propriétés.
Commutativité:
Associativité :
En particulier, si et sont des nombres premiers entre eux, alors :
Plus petit commun multiple de deux entiers m Et n est un diviseur de tous les autres multiples communs m Et n. De plus, l’ensemble des multiples communs m, n coïncide avec l'ensemble des multiples du LCM( m, n).
Les asymptotiques de peuvent être exprimées en termes de certaines fonctions de la théorie des nombres.
Donc, Fonction Chebyshev. Et:
Cela découle de la définition et des propriétés de la fonction de Landau g(n).
Ce qui découle de la loi de distribution des nombres premiers.
Recherche du plus petit commun multiple (LCM).
CNP ( un B) peut être calculé de plusieurs manières :
1. Si le plus grand diviseur commun est connu, vous pouvez utiliser sa connexion avec le LCM :
2. Connaître la décomposition canonique des deux nombres en facteurs premiers :
Où p 1 ,...,p k- divers nombres premiers, et d 1 ,...,d k Et e 1 ,...,ek— des entiers non négatifs (ils peuvent être des zéros si le nombre premier correspondant n'est pas dans le développement).
Puis CNP ( un,b) est calculé par la formule :
En d'autres termes, la décomposition LCM contient tous les facteurs premiers inclus dans au moins une des décompositions de nombres un B, et le plus grand des deux exposants de ce multiplicateur est pris.
Exemple:
Le calcul du plus petit commun multiple de plusieurs nombres peut se réduire à plusieurs calculs séquentiels du LCM de deux nombres :
Règle. Pour trouver le LCM d’une série de nombres, il vous faut :
- décomposer les nombres en facteurs premiers ;
- transférer la plus grande décomposition (le produit des facteurs du plus grand nombre de ceux donnés) aux facteurs du produit souhaité, puis ajouter des facteurs issus de la décomposition d'autres nombres qui n'apparaissent pas dans le premier nombre ou qui y apparaissent moins de fois ;
— le produit résultant de facteurs premiers sera le LCM des nombres donnés.
Deux nombres naturels ou plus ont leur propre LCM. Si les nombres ne sont pas des multiples les uns des autres ou n'ont pas les mêmes facteurs d'expansion, alors leur LCM est égal au produit de ces nombres.
Les facteurs premiers du nombre 28 (2, 2, 7) sont complétés par un facteur 3 (le nombre 21), le produit résultant (84) sera le plus petit nombre divisible par 21 et 28.
Les facteurs premiers du plus grand nombre 30 sont complétés par le facteur 5 du nombre 25, le produit résultant 150 est supérieur au plus grand nombre 30 et est divisible par tous les nombres donnés sans reste. Ce moindre produit des possibles (150, 250, 300...), pour lesquels tous les nombres donnés sont des multiples.
Les nombres 2,3,11,37 sont des nombres premiers, donc leur LCM est égal au produit des nombres donnés.
Règle. Pour calculer le LCM des nombres premiers, vous devez multiplier tous ces nombres entre eux.
Une autre option:
Pour trouver le plus petit commun multiple (LCM) de plusieurs nombres dont vous avez besoin :
1) représenter chaque nombre comme un produit de ses facteurs premiers, par exemple :
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) écrire les puissances de tous les facteurs premiers :
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) noter tous les diviseurs premiers (multiplicateurs) de chacun de ces nombres ;
4) choisir le plus grand degré de chacun d'eux, trouvé dans tous les développements de ces nombres ;
5) multiplier ces pouvoirs.
Exemple. Trouvez le LCM des nombres : 168, 180 et 3024.
Solution. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Nous notons les plus grandes puissances de tous les diviseurs premiers et les multiplions :
CNP = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15 120.
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Les élèves du secondaire sont confrontés aux concepts de plus grand commun diviseur (PGCD) et de plus petit commun multiple (LCM) en sixième année. Ce sujet est toujours difficile à comprendre. Les enfants confondent souvent ces concepts et ne comprennent pas pourquoi il faut les étudier. DANS Dernièrement et dans la littérature scientifique populaire, il existe des déclarations individuelles selon lesquelles ce matériel devrait être exclu du programme scolaire. Je pense que ce n'est pas tout à fait vrai, et il est nécessaire de l'étudier, sinon en classe, du moins pendant les heures extrascolaires pendant les cours de la composante scolaire, car il contribue au développement de la pensée logique chez les écoliers, en augmentant la vitesse des opérations de calcul, et la capacité de résoudre des problèmes en utilisant de belles méthodes.
Lors de l'étude du sujet « Addition et soustraction de fractions avec différents dénominateurs"nous apprenons aux enfants à trouver dénominateur commun deux nombres ou plus. Par exemple, vous devez additionner les fractions 1/3 et 1/5. Les élèves peuvent facilement trouver un nombre divisible par 3 et 5 sans reste. Ce nombre est 15. En effet, si les nombres sont petits, alors leur dénominateur commun est facile à trouver si l'on connaît bien la table de multiplication. L'un des enfants remarque que ce nombre est le produit des nombres 3 et 5. Les enfants pensent que de cette manière, il est toujours possible de trouver un dénominateur commun aux nombres. Par exemple, soustrayez les fractions 7/18 et 5/24. Trouvons le produit des nombres 18 et 24. Il est égal à 432. Nous en avons déjà reçu un grand nombre, et si d'autres calculs doivent être effectués (en particulier pour des exemples pour toutes les actions), alors la probabilité d'une erreur augmente. Mais le plus petit commun multiple des nombres (LCM), qui dans ce cas équivaut au plus petit dénominateur commun (LCD) - le nombre 72 - facilitera considérablement les calculs et conduira à une solution plus rapide à l'exemple, et sauvera ainsi le le temps imparti pour réaliser cette tâche, qui joue un rôle important dans la réalisation des tests finaux, essais, notamment lors de l’évaluation finale.
Lorsque vous étudiez le sujet « Réduire des fractions », vous pouvez vous déplacer séquentiellement en divisant le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre naturel, en utilisant les signes de divisibilité des nombres, pour finalement obtenir une fraction irréductible. Par exemple, vous devez réduire la fraction 128/344. Tout d'abord, divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par le nombre 2, nous obtenons la fraction 64/172. Encore une fois, divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction résultante par 2, nous obtenons la fraction 32/86. Divisez à nouveau le numérateur et le dénominateur de la fraction par 2, nous obtenons la fraction irréductible 16/43. Mais réduire une fraction peut être fait beaucoup plus facilement si l'on trouve le plus grand diviseur commun des nombres 128 et 344. PGCD(128, 344) = 8. En divisant le numérateur et le dénominateur de la fraction par ce nombre, on obtient immédiatement une fraction irréductible .
Il faut montrer aux enfants différentes façons trouver le plus grand diviseur commun (PGCD) et le plus petit commun multiple (LCM) de nombres. Dans les cas simples, il est pratique de trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) et le plus petit commun multiple (LCD) de nombres par simple énumération. À mesure que les nombres augmentent, vous pouvez utiliser la factorisation première. Le manuel de sixième année (auteur N.Ya. Vilenkin) montre la méthode suivante pour trouver le plus grand diviseur commun (PGCD) des nombres. Factorisons les nombres en facteurs premiers :
- 16 = 2*2*2*2
- 120 = 2*2*2*3*5
Ensuite, parmi les facteurs inclus dans le développement de l'un de ces nombres, on raye ceux qui ne sont pas inclus dans le développement de l'autre nombre. Le produit des facteurs restants sera le plus grand commun diviseur de ces nombres. Dans ce cas, il s'agit du nombre 8. D'après ma propre expérience, je suis convaincu que c'est plus clair pour les enfants si nous soulignons les mêmes facteurs dans les décompositions de nombres, puis dans l'une des décompositions nous trouvons le produit du facteurs soulignés. C'est le plus grand diviseur commun de ces nombres. En sixième, les enfants sont actifs et curieux. Vous pouvez leur confier la tâche suivante : essayez d'utiliser la méthode décrite pour trouver le plus grand diviseur commun des nombres 343 et 287. Il n'est pas immédiatement évident de savoir comment les factoriser en facteurs premiers. Et ici, vous pourrez leur parler de la merveilleuse méthode inventée par les anciens Grecs, qui permet de rechercher le plus grand diviseur commun (PGCD) sans le prendre en compte en facteurs premiers. Cette méthode permettant de trouver le plus grand diviseur commun a été décrite pour la première fois dans le livre d'Euclide, Elements. C’est ce qu’on appelle l’algorithme euclidien. Il consiste en ce qui suit : Tout d’abord, divisez le plus grand nombre par le plus petit. Si un reste est obtenu, divisez le plus petit nombre par le reste. Si un reste est à nouveau obtenu, divisez le premier reste par le second. Continuez à diviser de cette manière jusqu'à ce que le reste soit nul. Le dernier diviseur est le plus grand diviseur commun (PGCD) de ces nombres.
Revenons à notre exemple et, pour plus de clarté, écrivons la solution sous forme de tableau.
| Dividende | Diviseur | Privé | Reste |
| 343 | 287 | 1 | 56 |
| 287 | 56 | 5 | 7 |
| 56 | 7 | 8 | 0 |
Donc pgcd(344 287) = 7
Comment trouver le plus petit commun multiple (LCM) des mêmes nombres ? Existe-t-il un moyen pour cela qui ne nécessite pas de décomposition préalable de ces nombres en facteurs premiers ? Il s’avère que oui, et très simple en plus. Nous devons multiplier ces nombres et diviser le produit par le plus grand diviseur commun (PGCD) que nous avons trouvé. DANS dans cet exemple le produit des nombres est 98441. Divisez-le par 7 et nous obtenons le nombre 14063. LCM(343,287) = 14063.
L’un des sujets difficiles en mathématiques est la résolution de problèmes de mots. Nous devons montrer aux élèves comment les concepts de plus grand commun diviseur (PGCD) et de plus petit commun multiple (LCM) peuvent être utilisés pour résoudre des problèmes parfois difficiles à résoudre de la manière habituelle. Ici, il convient d'envisager avec les élèves, outre les tâches proposées par les auteurs du manuel scolaire, des tâches anciennes et divertissantes qui développent la curiosité des enfants et augmentent leur intérêt pour l'étude de ce sujet. La maîtrise habile de ces concepts permet aux étudiants de voir une belle solution à un problème non standard. Et si l’humeur d’un enfant s’améliore après avoir résolu un bon problème, c’est le signe d’un travail réussi.
Ainsi, étudier à l'école des concepts tels que le « Plus grand diviseur commun (PGCD) » et le « Plus petit commun multiple (LCD) » des nombres
Permet de gagner du temps alloué à la réalisation du travail, ce qui entraîne une augmentation significative du volume de tâches réalisées ;
Augmente la vitesse et la précision des opérations arithmétiques, ce qui entraîne une réduction significative du nombre d'erreurs de calcul ;
Permet de trouver belles façons résoudre des problèmes de texte non standard ;
Développe la curiosité des étudiants, élargit leurs horizons;
Crée les conditions préalables à l'éducation d'une personnalité créative polyvalente.
Considérons la résolution du problème suivant. Le pas du garçon est de 75 cm et celui de la fille de 60 cm. Il faut trouver la plus petite distance à laquelle ils font tous les deux un nombre entier de pas.
Solution. L'ensemble du chemin que parcourront les enfants doit être divisible par 60 et 70, puisqu'ils doivent chacun faire un nombre entier de pas. En d’autres termes, la réponse doit être un multiple de 75 et de 60.
Tout d’abord, nous allons écrire tous les multiples du nombre 75. Nous obtenons :
- 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .
Écrivons maintenant les nombres qui seront des multiples de 60. Nous obtenons :
- 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .
Nous trouvons maintenant les nombres qui se trouvent dans les deux lignes.
- Les multiples courants de nombres seraient 300, 600, etc.
Le plus petit d'entre eux est le nombre 300. Dans ce cas, on l'appellera le plus petit commun multiple des nombres 75 et 60.
Revenant à l'état du problème, la plus petite distance à laquelle les gars feront un nombre entier de pas sera de 300 cm. Le garçon parcourra ce chemin en 4 pas et la fille devra faire 5 pas.
Détermination du plus petit commun multiple
- Le plus petit commun multiple de deux nombres naturels a et b est le plus petit nombre naturel qui est un multiple de a et b.
Afin de trouver le plus petit commun multiple de deux nombres, il n'est pas nécessaire d'écrire tous les multiples de ces nombres d'affilée.
Vous pouvez utiliser la méthode suivante.
Comment trouver le plus petit commun multiple
Vous devez d’abord prendre en compte ces nombres en facteurs premiers.
- 60 = 2*2*3*5,
- 75=3*5*5.
Écrivons maintenant tous les facteurs qui sont dans le développement du premier nombre (2,2,3,5) et ajoutons-y tous les facteurs manquants du développement du deuxième nombre (5).
En conséquence, nous obtenons une série de nombres premiers : 2,2,3,5,5. Le produit de ces nombres sera le facteur le moins commun de ces nombres. 2*2*3*5*5 = 300.
Schéma général pour trouver le plus petit commun multiple
- 1. Divisez les nombres en facteurs premiers.
- 2. Notez les facteurs premiers qui font partie de l'un d'eux.
- 3. Ajoutez à ces facteurs tous ceux qui sont dans l'expansion des autres, mais pas dans celui sélectionné.
- 4. Trouvez le produit de tous les facteurs écrits.
Cette méthode est universelle. Il peut être utilisé pour trouver le plus petit commun multiple d’un nombre quelconque de nombres naturels.
