Trouvez le point d'intersection des lignes. Algorithmes géométriques. Coordonnées du point d'intersection des graphes de fonctions

Si deux droites ne sont pas parallèles, elles se croiseront strictement en un point. découvrir coordonnées points l'intersection de 2 lignes est autorisée à la fois graphiquement et méthode arithmétique, selon les données fournies par la tâche.

Tu auras besoin de

• - deux lignes droites dans le dessin ;
• – équations de 2 droites.

Instruction

1. Si les lignes sont tracées plus étroitement sur le graphique, trouvez la solution méthode graphique. Pour ce faire, continuez les deux ou l'une des lignes de manière à ce qu'elles se croisent. Après cela, marquez le point d'intersection et abaissez la perpendiculaire de celui-ci à l'axe des x (oh, comme d'habitude).

2. À l'aide de la coche sur l'axe, trouvez la valeur x pour ce point. S'il est dans le sens positif de l'axe (à droite du zéro), alors sa valeur sera correcte, sinon elle sera négative.

3. True détecte également l'ordonnée du point d'intersection. Si la projection du point est située au-dessus du zéro, elle est correcte ; si elle est en dessous, elle est négative. Écrivez les coordonnées du point sous la forme (x, y) - c'est la solution au problème.

4. Si les lignes sont données sous forme de formules y=kx+b, vous pouvez également résoudre le problème graphiquement : tracez des lignes sur la grille de coordonnées et trouvez la solution en utilisant la méthode décrite ci-dessus.

5. Essayez de trouver une solution au problème en appliquant ces formules. Pour ce faire, construisez un système de ces équations et résolvez-le. Si les équations sont données comme y=kx+b, assimiler primitivement les deux côtés à x et trouver x. Ensuite, branchez la valeur x dans l'une des équations et trouvez y.

6. Il est permis de trouver la solution par la méthode de Cramer. Dans ce cas, amenez les équations sous la forme A1x + B1y + C1 \u003d 0 et A2x + B2y + C2 \u003d 0. Selon la formule de Cramer, x \u003d - (C1B2-C2B1) / (A1B2-A2B1) et y \u003d - (A1C2-A2C1) / (A1B2-A2B1). Faites attention, si le dénominateur est égal à zéro, alors les lignes sont parallèles ou coïncident et, par conséquent, ne se croisent pas.

7. Si on vous donne des lignes dans l'espace sous forme canonique, avant de commencer à chercher une solution, vérifiez si les lignes sont parallèles. Pour ce faire, évaluez les exposants avant t s'ils sont proportionnels à, disons, x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t et x=-1+6t, y=-1+4t, z=-5 +2t, alors les droites sont parallèles. De plus, les lignes peuvent se croiser, auquel cas le système n'aura pas de solution.

8. Si vous découvrez que les lignes se croisent, trouvez le point de leur intersection. Tout d'abord, définissez les variables de différentes lignes égales en remplaçant conditionnellement t par u pour la première ligne et par v pour la 2ème ligne. Disons que si on vous donne des lignes x=t-1, y=2t+1, z=t+2 et x=t+1, y=t+1, z=2t+8 vous obtiendrez des expressions comme u-1 =v +1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.

9. Exprimez u à partir d'une équation, substituez-la dans une autre et trouvez v (dans ce problème u=-2,v=-4). Maintenant, pour trouver le point d'intersection, substituez les valeurs obtenues au lieu de t (pas de différence, dans la première ou la deuxième équation) et obtenez les coordonnées du point x=-3, y=-3, z=0 .

Considérer 2 sécantes direct il suffit de les considérer dans un plan, puisque les deux droites sécantes sont dans le même plan. Connaître les équations de ces direct, il est permis de trouver la coordonnée de leur point carrefours .

Tu auras besoin de

• équations de lignes

Instruction

1. En coordonnées cartésiennes, l'équation générale d'une droite ressemble à ceci : Ax + By + C = 0. Laissez deux droites se croiser. L'équation de la première ligne a la forme Ax + By + C = 0, la 2ème ligne - Dx + Ey + F = 0. Tous les indicateurs (A, B, C, D, E, F) doivent être spécifiés. trouver un point carrefours ces direct il faut résoudre le système de ces 2 équations linéaires.

2. Pour le résoudre, il est pratique de multiplier la première équation par E et la seconde par B. En conséquence, les équations ressembleront à : AEx + BEy + CE = 0, DBx + EBy + FB = 0. Après soustraction de la seconde équation à partir de la première, on obtient : (AE- DB)x = FB-CE. Otsel, x = (FB-CE)/(AE-DB) Par analogie, la première équation système initial il est permis de multiplier par D, le second - par A, après quoi soustraire à nouveau le second du premier. En conséquence, y = (CD-FA)/(AE-DB).Les valeurs x et y résultantes seront les coordonnées du point carrefours direct .

3. Équations direct peut également être écrit en fonction de l'exposant angulaire k , tangente angle d'inclinaison d'une droite. Dans ce cas, l'équation d'une droite a la forme y = kx+b. Soit maintenant l'équation de la première ligne est y = k1*x+b1, et la 2ème ligne est y = k2*x+b2.

4. Si nous assimilons les parties droites de ces 2 équations, nous obtenons : k1*x+b1 = k2*x+b2. De là, il est facile d'obtenir que x = (b1-b2)/(k2-k1). Plus tard, la substitution de cette valeur x dans l'une des équations donnera : y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). Les valeurs x et y définiront les coordonnées du point carrefours direct.Si deux lignes sont parallèles ou coïncident, alors elles n'ont pas de points communs ou ont une infinité de points communs, respectivement. Dans ces cas, k1 = k2, les dénominateurs des coordonnées des points carrefours disparaîtra, le système n'aura donc pas de solution classique. Le système ne peut avoir qu'une seule solution. solution classique, qui est inconditionnel, car deux droites non coïncidentes et non parallèles ne peuvent avoir qu'un seul point carrefours .

Vidéos connexes

Soit deux droites données et il faut trouver leur point d'intersection. Puisque ce point appartient à chacune des deux droites données, ses coordonnées doivent satisfaire à la fois l'équation de la première droite et l'équation de la deuxième droite.

Ainsi, pour trouver les coordonnées du point d'intersection de deux droites, il faut résoudre le système d'équations

Exemple 1. Trouver le point d'intersection des lignes et

La solution. Nous trouverons les coordonnées du point d'intersection souhaité en résolvant le système d'équations

Le point d'intersection M a pour coordonnées

Montrons comment construire une droite à partir de son équation. Pour tracer une droite, il suffit de connaître deux de ses points. Pour tracer chacun de ces points, nous donnons une valeur arbitraire à l'une de ses coordonnées, puis à partir de l'équation, nous trouvons la valeur correspondante de l'autre coordonnée.

Si dans équation générale Puisque les deux coefficients aux coordonnées actuelles ne sont pas égaux à zéro, alors pour construire cette ligne, il est préférable de trouver les points de son intersection avec les axes de coordonnées.

Exemple 2. Construisez une droite.

La solution. Trouvez le point d'intersection de cette droite avec l'axe des x. Pour ce faire, nous résolvons ensemble leurs équations :

et on obtient. Ainsi, le point M (3; 0) de l'intersection de cette droite avec l'axe des abscisses a été trouvé (Fig. 40).

Résoudre alors conjointement l'équation de la droite donnée et l'équation de l'axe des ordonnées

nous trouvons le point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. Enfin, on construit une droite à partir de ses deux points M et

Leçon de la série "Algorithmes géométriques"

Bonjour cher lecteur !

Nous continuons à nous familiariser avec les algorithmes géométriques. Dans la dernière leçon, nous avons trouvé l'équation d'une droite aux coordonnées de deux points. On a une équation de la forme :

Aujourd'hui, nous allons écrire une fonction qui, à l'aide des équations de deux droites, trouvera les coordonnées de leur point d'intersection (le cas échéant). Pour vérifier l'égalité des nombres réels, nous utiliserons la fonction spéciale RealEq().

Les points du plan sont décrits par une paire de nombres réels. Lors de l'utilisation du type réel, il est préférable d'organiser les opérations de comparaison avec des fonctions spéciales.

La raison est connue : il n'y a pas de relation d'ordre sur le type Réel dans le système de programmation Pascal, il est donc préférable de ne pas utiliser d'enregistrements de la forme a = b, où a et b sont des nombres réels.
Aujourd'hui, nous allons introduire la fonction RealEq() pour implémenter l'opération "=" (strictement égal) :

Fonction RealEq(Const a, b:Real):Booléen ; (strictement égal) début RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Une tâche. Les équations de deux droites sont données : et . Trouvez leur point d'intersection.

La solution. La solution évidente est de résoudre le système d'équations de droites : Réécrivons ce système un peu différemment :
(1)

On introduit la notation : , , . Ici D est le déterminant du système, et sont les déterminants obtenus en remplaçant la colonne des coefficients de l'inconnue correspondante par une colonne de termes libres. Si , alors le système (1) est défini, c'est-à-dire qu'il a une solution unique. Cette solution peut être trouvée par les formules suivantes : , , qui sont appelées Les formules de Cramer. Permettez-moi de vous rappeler comment le déterminant de second ordre est calculé. Le déterminant distingue deux diagonales : la principale et la secondaire. La diagonale principale est constituée d'éléments pris dans la direction allant du coin supérieur gauche du déterminant au coin inférieur droit. Diagonale latérale - du coin supérieur droit au coin inférieur gauche. Le déterminant du second ordre est égal au produit des éléments de la diagonale principale moins le produit des éléments de la diagonale secondaire.

Le code utilise la fonction RealEq() pour vérifier l'égalité. Les calculs sur des nombres réels sont effectués avec une précision jusqu'à _Eps=1e-7.

programme geom2; Const _Eps : Réel=1e-7 ; (précision de calcul) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy :Réel ; Fonction RealEq(Const a, b:Real):Booléen ; (strictement égal) début RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Nous avons compilé un programme avec lequel vous pouvez, connaissant les équations des lignes, trouver les coordonnées de leur point d'intersection.

Avec l'aide de cette calculatrice en ligne, vous pouvez trouver le point d'intersection des lignes sur le plan. Une solution détaillée avec des explications est donnée. Pour trouver les coordonnées du point d'intersection des droites, précisez le type de l'équation des droites ("canonique", "paramétrique" ou "générale"), entrez les coefficients des équations des droites dans les cellules et cliquez sur le bouton "Résoudre". Voir la partie théorique et les exemples numériques ci-dessous.

×

Avertissement

Effacer toutes les cellules ?

Fermer Effacer

Instruction de saisie de données. Les nombres sont saisis sous forme de nombres entiers (exemples : 487, 5, -7623, etc.), de nombres décimaux (par exemple, 67, 102,54, etc.) ou de fractions. La fraction doit être saisie sous la forme a/b, où a et b (b>0) sont des nombres entiers ou décimaux. Exemples 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, etc.

Point d'intersection des lignes dans le plan - théorie, exemples et solutions

1. Point d'intersection de droites donné sous forme générale.

Oxy L 1 et L 2:

Construisons une matrice augmentée :

Si un B" 2=0 et DE" 2 =0, alors le système d'équations linéaires a plusieurs solutions. D'où la directe L 1 et L 2 match. Si un B" 2=0 et DE" 2 ≠0, alors le système est incohérent et, par conséquent, les droites sont parallèles et n'ont pas de point commun. Si B" 2 ≠0, alors le système d'équations linéaires a une solution unique. De la deuxième équation, nous trouvons y: y=DE" 2 /B" 2 et en substituant la valeur résultante dans la première équation, nous trouvons X: X=−DE 1 −B 1 y. Obtenir le point d'intersection des lignes L 1 et L 2: M(x, y).

2. Point d'intersection de lignes donné sous forme canonique.

Soit un système de coordonnées rectangulaires cartésien donné Oxy et donnons des lignes dans ce système de coordonnées L 1 et L 2:

Ouvrons les parenthèses et effectuons les transformations :

Par une méthode similaire, on obtient l'équation générale de la droite (7) :

D'après les équations (12), il résulte :

Comment trouver le point d'intersection des lignes données sous la forme canonique est décrit ci-dessus.

4. Point d'intersection des lignes définies dans différentes vues.

Soit un système de coordonnées rectangulaires cartésien donné Oxy et donnons des lignes dans ce système de coordonnées L 1 et L 2:

Allons trouver t:

UN 1 X 2 +UN 1 mt+B 1 y 2 +B 1 pt+C 1 =0,

On résout le système d'équations linéaires par rapport à x, y. Pour ce faire, nous utilisons la méthode de Gauss. On a:

Exemple 2. Trouver le point d'intersection des lignes L 1 et L 2:

L 1: 2X+3y+4=0,

(20)

(21)

Pour trouver le point d'intersection des lignes L 1 et L 2 il faut résoudre le système d'équations linéaires (20) et (21). Nous représentons les équations sous forme matricielle.

Lors de la résolution de certains problèmes géométriques à l'aide de la méthode des coordonnées, il est nécessaire de trouver les coordonnées du point d'intersection des lignes. Le plus souvent, il faut chercher les coordonnées du point d'intersection de deux droites sur le plan, mais parfois il devient nécessaire de déterminer les coordonnées du point d'intersection de deux droites dans l'espace. Dans cet article, nous traiterons de la recherche des coordonnées du point d'intersection de deux lignes.

Navigation dans les pages.

Le point d'intersection de deux droites est une définition.

Définissons d'abord le point d'intersection de deux droites.

Ainsi, pour trouver les coordonnées du point d'intersection de deux droites définies sur le plan par des équations générales, il faut résoudre un système composé d'équations de droites données.

Prenons un exemple de solution.

Exemple.

Trouver le point d'intersection de deux droites définies dans un système de coordonnées rectangulaires dans le plan par les équations x-9y+14=0 et 5x-2y-16=0 .

La solution.

On nous donne deux équations générales de droites, nous en composerons un système : . Les solutions du système d'équations résultant sont facilement trouvées si sa première équation est résolue par rapport à la variable x et cette expression est substituée dans la seconde équation :

La solution trouvée du système d'équations nous donne les coordonnées souhaitées du point d'intersection de deux lignes.

Réponse:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 et 5x-2y-16=0 .

Ainsi, trouver les coordonnées du point d'intersection de deux droites, définies par des équations générales sur le plan, revient à résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues. Mais que se passe-t-il si les droites sur le plan sont données non pas par des équations générales, mais par des équations d'un type différent (voir les types de l'équation d'une droite sur le plan) ? Dans ces cas, vous pouvez d'abord mettre les équations de lignes sous une forme générale, et seulement après cela, trouver les coordonnées du point d'intersection.

Exemple.

et .

La solution.

Avant de trouver les coordonnées du point d'intersection des lignes données, nous apportons leurs équations à une forme générale. Passage des équations paramétriques à une droite à l'équation générale de cette droite est la suivante :

Nous allons maintenant effectuer les actions nécessaires avec l'équation canonique de la droite :

Ainsi, les coordonnées souhaitées du point d'intersection des lignes sont la solution du système d'équations de la forme . Nous utilisons pour le résoudre:

Réponse:

M 0 (-5, 1)

Il existe un autre moyen de trouver les coordonnées du point d'intersection de deux droites dans le plan. Il est commode de l'utiliser lorsqu'une des droites est donnée par des équations paramétriques de la forme , et l'autre - l'équation d'une ligne droite d'une forme différente. Dans ce cas, dans une autre équation, au lieu des variables x et y, vous pouvez substituer les expressions et , à partir de laquelle il sera possible d'obtenir la valeur qui correspond au point d'intersection des lignes données. Dans ce cas, le point d'intersection des lignes a pour coordonnées .

Trouvons les coordonnées du point d'intersection des lignes de l'exemple précédent de cette manière.

Exemple.

Déterminer les coordonnées du point d'intersection des lignes et .

La solution.

Remplacer dans l'équation de l'expression directe :

En résolvant l'équation résultante, on obtient . Cette valeur correspond au point commun des lignes et . Nous calculons les coordonnées du point d'intersection en substituant la ligne droite dans les équations paramétriques :
.

Réponse:

M 0 (-5, 1) .

Pour compléter le tableau, un autre point doit être discuté.

Avant de trouver les coordonnées du point d'intersection de deux droites dans le plan, il est utile de s'assurer que les droites données se coupent bien. S'il s'avère que les lignes d'origine coïncident ou sont parallèles, il ne peut être question de trouver les coordonnées du point d'intersection de ces lignes.

Vous pouvez, bien sûr, vous passer d'une telle vérification et composer immédiatement un système d'équations de la forme et résolvez-le. Si le système d'équations a une solution unique, alors il donne les coordonnées du point où les lignes d'origine se croisent. Si le système d'équations n'a pas de solutions, alors nous pouvons conclure que les lignes d'origine sont parallèles (puisqu'il n'y a pas une telle paire de nombres réels x et y qui satisferait simultanément les deux équations de lignes données). De la présence d'un ensemble infini de solutions au système d'équations, il s'ensuit que les lignes d'origine ont une infinité de points communs, c'est-à-dire qu'elles coïncident.

Examinons des exemples qui correspondent à ces situations.

Exemple.

Découvrez si les lignes et se croisent, et si elles se croisent, puis trouvez les coordonnées du point d'intersection.

La solution.

Les équations de lignes données correspondent aux équations et . Résolvons le système composé de ces équations .

Il est évident que les équations du système s'expriment linéairement les unes à travers les autres (la deuxième équation du système est obtenue à partir de la première en multipliant ses deux parties par 4), par conséquent, le système d'équations a un nombre infini de solutions. Ainsi, les équations et définissent la même droite, et on ne peut pas parler de trouver les coordonnées du point d'intersection de ces droites.

Réponse:

Les équations et déterminent la même ligne droite dans le système de coordonnées rectangulaires Oxy, nous ne pouvons donc pas parler de trouver les coordonnées du point d'intersection.

Exemple.

Trouver les coordonnées du point d'intersection des lignes et , si possible.

La solution.

La condition du problème admet que les lignes peuvent ne pas se croiser. Composons un système de ces équations. Applicable pour sa solution, puisqu'il permet d'établir la compatibilité ou l'incohérence du système d'équations, et s'il est compatible, de trouver une solution :

La dernière équation du système après le cours direct de la méthode de Gauss s'est transformée en une égalité incorrecte, par conséquent, le système d'équations n'a pas de solutions. De cela, nous pouvons conclure que les lignes d'origine sont parallèles, et nous ne pouvons pas parler de trouver les coordonnées du point d'intersection de ces lignes.

La deuxième solution.

Voyons si les lignes données se croisent.

- vecteur ligne normal , et le vecteur est un vecteur normal de la droite . Vérifions l'exécution et : égalité est vrai, puisque , par conséquent, les vecteurs normaux des lignes données sont colinéaires. Alors, ces droites sont parallèles ou coïncident. Ainsi, nous ne pouvons pas trouver les coordonnées du point d'intersection des lignes d'origine.

Réponse:

Il est impossible de trouver les coordonnées du point d'intersection des droites données, puisque ces droites sont parallèles.

Exemple.

Trouver les coordonnées du point d'intersection des droites 2x-1=0 et si elles se croisent.

La solution.

On compose un système d'équations qui sont des équations générales de droites données : . Le déterminant de la matrice principale de ce système d'équations est différent de zéro , donc le système d'équations a une solution unique, qui indique l'intersection des lignes données.

Pour trouver les coordonnées du point d'intersection des droites, il faut résoudre le système :

La solution résultante nous donne les coordonnées du point d'intersection des lignes, c'est-à-dire 2x-1=0 et .

Réponse:

Trouver les coordonnées du point d'intersection de deux droites dans l'espace.

Les coordonnées du point d'intersection de deux lignes dans l'espace tridimensionnel se trouvent de la même manière.

Prenons des exemples.

Exemple.

Trouver les coordonnées du point d'intersection de deux droites données dans l'espace par les équations et .

La solution.

On compose un système d'équations à partir des équations de droites données : . La solution de ce système nous donnera les coordonnées souhaitées du point d'intersection des lignes dans l'espace. Trouvons la solution du système écrit d'équations.

La matrice principale du système a la forme , et l'étendue .

définissons A et le rang de la matrice T . Nous utilisons