Équation d'une droite sur un plan passant par 2 points. Équation d'une droite qui passe par deux points donnés : exemples, solutions

Équation d'une droite sur un plan.
Le vecteur direction est droit. Vecteur normal

Une ligne droite sur un avion est l'une des plus simples formes géométriques, que vous connaissez depuis l'école primaire, et aujourd'hui nous allons apprendre à le gérer en utilisant les méthodes de la géométrie analytique. Pour maîtriser la matière, il faut être capable de construire une ligne droite ; savoir quelle équation définit une droite, en particulier une droite passant par l'origine des coordonnées et des droites parallèles aux axes de coordonnées. Cette information peut être trouvé dans le manuel Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires, je l'ai créé pour matan, mais la section sur fonction linéaire Cela s’est avéré très réussi et détaillé. Alors, chères théières, réchauffez-vous d'abord là-bas. De plus, vous devez avoir notions de baseÔ vecteurs, sinon la compréhension du matériel sera incomplète.

Dans cette leçon, nous verrons comment créer l’équation d’une droite sur un plan. Je recommande de ne pas négliger les exemples pratiques (même si cela semble très simple), puisque je leur fournirai des éléments élémentaires et faits importants, techniques techniques qui seront nécessaires à l'avenir, y compris dans d'autres sections de mathématiques supérieures.

• Comment écrire l’équation d’une droite avec un coefficient d’angle ?
• Comment ?
• Comment trouver un vecteur directeur en utilisant l'équation générale d'une droite ?
• Comment écrire l’équation d’une droite étant donné un point et un vecteur normal ?

et on commence :

Équation d'une droite avec pente

La forme « scolaire » bien connue d’une équation en ligne droite s’appelle équation d'une droite avec pente. Par exemple, si une droite est donnée par l'équation, alors sa pente est : . Considérons la signification géométrique coefficient donné et comment sa valeur affecte l'emplacement de la ligne :

Dans un cours de géométrie, il est prouvé que la pente de la droite est égale à tangente de l'angle entre la direction de l'axe positifet cette ligne: , et l'angle se « dévisse » dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Afin de ne pas encombrer le dessin, j'ai dessiné des angles uniquement pour deux lignes droites. Considérons la ligne « rouge » et sa pente. D'après ce qui précède : (l'angle « alpha » est indiqué par un arc vert). Pour la droite « bleue » avec le coefficient d'angle, l'égalité est vraie (l'angle « bêta » est indiqué par un arc marron). Et si la tangente de l'angle est connue, alors si nécessaire, elle est facile à trouver et le coin lui-même en utilisant fonction inverse– arctangente. Comme on dit, une table trigonométrique ou une microcalculatrice entre les mains. Ainsi, le coefficient angulaire caractérise le degré d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe des abscisses.

Dans ce cas, il est possible cas suivants:

1) Si la pente est négative : alors la droite va grosso modo du haut vers le bas. Des exemples sont les lignes droites « bleues » et « framboise » du dessin.

2) Si la pente est positive : alors la droite va du bas vers le haut. Exemples - lignes droites « noires » et « rouges » dans le dessin.

3) Si la pente est nulle : , alors l'équation prend la forme , et la droite correspondante est parallèle à l'axe. Un exemple est la ligne droite « jaune ».

4) Pour une famille de droites parallèles à un axe (il n'y a pas d'exemple sur le dessin, à part l'axe lui-même), le coefficient angulaire n'existe pas (la tangente de 90 degrés n'est pas définie).

Plus le coefficient de pente en valeur absolue est élevé, plus le graphique en ligne droite est raide..

Par exemple, considérons deux lignes droites. Ici donc, la ligne droite a une pente plus forte. Je vous rappelle que le module permet d'ignorer le signe, nous ne nous intéressons qu'à valeurs absolues coefficients angulaires.

À son tour, une ligne droite est plus raide que les lignes droites .

A l’inverse : plus le coefficient de pente en valeur absolue est petit, plus la droite est plate.

Pour les lignes droites l'inégalité est vraie, donc la droite est plus plate. Toboggan pour enfants, pour ne pas vous donner de bleus et de bosses.

Pourquoi est-ce nécessaire ?

Prolongez votre tourment La connaissance des faits ci-dessus vous permet de voir immédiatement vos erreurs, en particulier les erreurs lors de la construction de graphiques - si le dessin s'avère être « manifestement quelque chose qui ne va pas ». Il est conseillé que vous tout de suite il était clair que, par exemple, la ligne droite est très raide et va de bas en haut, et la ligne droite est très plate, pressée près de l'axe et va de haut en bas.

Dans les problèmes géométriques, plusieurs lignes droites apparaissent souvent, il est donc pratique de les désigner d'une manière ou d'une autre.

Désignations: les lignes droites sont désignées en petites lettres latines : . Une option populaire consiste à les désigner en utilisant la même lettre avec des indices naturels. Par exemple, les cinq lignes que nous venons d’examiner peuvent être désignées par .

Puisque toute ligne droite est déterminée de manière unique par deux points, elle peut être désignée par ces points : etc. La désignation implique clairement que les points appartiennent à la ligne.

Il est temps de s'échauffer un peu :

Comment écrire l’équation d’une droite avec un coefficient d’angle ?

Si un point appartenant à une certaine ligne et le coefficient angulaire de cette ligne sont connus, alors l'équation de cette ligne est exprimée par la formule :

Exemple 1

Écrivez une équation pour une droite avec une pente si l’on sait que le point appartient à la droite donnée.

Solution: Composons l'équation de la droite en utilisant la formule . DANS dans ce cas:

Répondre:

Examen se fait simplement. Tout d’abord, nous examinons l’équation résultante et nous assurons que notre pente est en place. Deuxièmement, les coordonnées du point doivent satisfaire à cette équation. Branchons-les dans l'équation :

L'égalité correcte est obtenue, ce qui signifie que le point satisfait l'équation résultante.

Conclusion: L'équation a été trouvée correctement.

Un exemple plus délicat pour décision indépendante:

Exemple 2

Écrivez une équation pour une droite si l'on sait que son angle d'inclinaison par rapport à la direction positive de l'axe est et que le point appartient à cette droite.

Si vous rencontrez des difficultés, relisez matériel théorique. Plus précisément, plus pratique, je passe à côté de nombreuses preuves.

Ça a sonné dernier appel, la fête de remise des diplômes s'est calmée et devant les portes école à la maison Ce qui nous attend, c’est en fait la géométrie analytique. Les blagues sont finies... Ou peut-être qu'ils ne font que commencer =)

Nous agitons avec nostalgie notre plume vers le familier et nous familiarisons avec l'équation générale d'une ligne droite. Car en géométrie analytique, c’est exactement ce qui est utilisé :

L'équation générale d'une droite a la forme: , où sont quelques chiffres. Parallèlement, les coefficients simultanément ne sont pas égaux à zéro, puisque l’équation perd son sens.

Habillons-nous en costume et lions l'équation avec le coefficient de pente. Tout d’abord, déplaçons tous les termes vers côté gauche:

Le terme avec un « X » doit être mis en première place :

En principe, l'équation a déjà la forme , mais selon les règles de l'étiquette mathématique, le coefficient du premier terme (dans ce cas) doit être positif. Changement de signes :

Souviens-toi de ça caractéristique technique! On rend le premier coefficient (le plus souvent) positif !

En géométrie analytique, l’équation d’une droite sera presque toujours donnée sous forme générale. Eh bien, si nécessaire, il peut être facilement réduit à la forme « école » avec un coefficient angulaire (à l'exception des droites parallèles à l'axe des ordonnées).

Demandons-nous quoi assez savez-vous construire une ligne droite ? Deux points. Mais pour en savoir plus sur cet incident d'enfance, nous nous en tenons désormais à la règle des flèches. Chaque ligne droite a une pente bien spécifique, à laquelle il est facile de « s’adapter ». vecteur.

Un vecteur parallèle à une ligne est appelé vecteur directeur de cette ligne.. Il est évident que toute ligne droite a un nombre infini de vecteurs directeurs, et tous seront colinéaires (codirectionnels ou non - cela n'a pas d'importance).

Je désignerai le vecteur direction comme suit : .

Mais un seul vecteur ne suffit pas pour construire une droite : le vecteur est libre et n’est lié à aucun point du plan. Par conséquent, il est également nécessaire de connaître un point appartenant à la ligne.

Comment écrire l’équation d’une droite à l’aide d’un point et d’un vecteur directeur ?

Si un certain point appartenant à une ligne et le vecteur directeur de cette ligne sont connus, alors l'équation de cette ligne peut être compilée à l'aide de la formule :

On l'appelle parfois équation canonique de la droite .

Que faire quand une des coordonnées est égal à zéro, nous le comprendrons dans des exemples pratiques ci-dessous. Au fait, veuillez noter - les deux à la fois les coordonnées ne peuvent pas être égales à zéro, puisque le vecteur zéro ne spécifie pas de direction spécifique.

Exemple 3

Écrire une équation pour une ligne droite en utilisant un point et un vecteur directeur

Solution: Composons l'équation d'une droite en utilisant la formule. Dans ce cas:

En utilisant les propriétés de proportion on se débarrasse des fractions :

Et nous ramenons l'équation à apparence générale:

Répondre:

En règle générale, il n'est pas nécessaire de faire un dessin dans de tels exemples, mais par souci de compréhension :

Dans le dessin, nous voyons le point de départ, le vecteur directeur d'origine (il peut être tracé à partir de n'importe quel point du plan) et la ligne droite construite. À propos, dans de nombreux cas, il est plus pratique de construire une ligne droite à l'aide d'une équation avec un coefficient angulaire. Il est facile de transformer notre équation en forme et de sélectionner facilement un autre point pour construire une ligne droite.

Comme indiqué au début du paragraphe, une ligne droite a une infinité de vecteurs directeurs, et tous sont colinéaires. Par exemple, j'ai dessiné trois de ces vecteurs : . Quel que soit le vecteur directeur choisi, le résultat sera toujours la même équation en ligne droite.

Créons une équation d'une droite en utilisant un point et un vecteur directeur :

Résoudre la proportion :

Divisez les deux côtés par –2 et obtenez l’équation familière :

Les personnes intéressées peuvent tester les vecteurs de la même manière ou tout autre vecteur colinéaire.

Résolvons maintenant le problème inverse :

Comment trouver un vecteur directeur en utilisant l'équation générale d'une droite ?

Très simple:

Si une droite est donnée par une équation générale dans système rectangulaire coordonnées, alors le vecteur est le vecteur direction de cette ligne.

Exemples de recherche de vecteurs directeurs de lignes droites :

L’énoncé nous permet de trouver un seul vecteur directeur parmi un nombre infini, mais nous n’en avons pas besoin de plus. Bien que dans certains cas il soit conseillé de réduire les coordonnées des vecteurs directeurs :

Ainsi, l'équation spécifie une ligne droite parallèle à l'axe et les coordonnées du vecteur de direction résultant sont commodément divisées par –2, obtenant exactement le vecteur de base comme vecteur de direction. Logique.

De même, l'équation spécifie une ligne droite parallèle à l'axe, et en divisant les coordonnées du vecteur par 5, on obtient le vecteur unitaire comme vecteur de direction.

Maintenant, faisons-le vérification de l'exemple 3. L'exemple a augmenté, je vous rappelle donc que nous y avons compilé l'équation d'une droite en utilisant un point et un vecteur direction

Premièrement, à l'aide de l'équation de la droite on reconstruit son vecteur direction : – tout va bien, nous avons reçu le vecteur original (dans certains cas le résultat peut être un vecteur colinéaire à celui d'origine, et cela se remarque généralement facilement par la proportionnalité des coordonnées correspondantes).

Deuxièmement, les coordonnées du point doivent satisfaire l'équation. Nous les substituons dans l'équation :

L'égalité correcte a été obtenue, ce dont nous sommes très heureux.

Conclusion: La tâche a été accomplie correctement.

Exemple 4

Écrire une équation pour une ligne droite en utilisant un point et un vecteur directeur

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon. Il est fortement conseillé de vérifier à l’aide de l’algorithme qui vient d’être évoqué. Essayez de toujours (si possible) vérifier un brouillon. C’est stupide de faire des erreurs là où elles peuvent être évitées à 100 %.

Dans le cas où l'une des coordonnées du vecteur directeur est nulle, procédez très simplement :

Exemple 5

Solution: La formule ne convient pas puisque le dénominateur du côté droit est zéro. Il y a une sortie ! En utilisant les propriétés de proportion, nous réécrivons la formule sous la forme, et le reste roule le long d'une ornière profonde :

Répondre:

Examen:

1) Restaurer le vecteur directeur de la droite :
– le vecteur résultant est colinéaire au vecteur directeur d’origine.

2) Remplacez les coordonnées du point dans l'équation :

L'égalité correcte est obtenue

Conclusion: tâche terminée correctement

La question se pose, pourquoi s'embêter avec la formule s'il existe une version universelle qui fonctionnera dans tous les cas ? Il y a deux raisons. Premièrement, la formule se présente sous la forme d'une fraction on s'en souvient beaucoup mieux. Et deuxièmement, l’inconvénient de la formule universelle est que le risque de confusion augmente considérablement lors du remplacement des coordonnées.

Exemple 6

Écrivez une équation pour une ligne droite en utilisant un point et un vecteur directeur.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même.

Revenons aux deux points omniprésents :

Comment écrire l’équation d’une droite à l’aide de deux points ?

Si deux points sont connus, alors l'équation d'une droite passant par ces points peut être compilée à l'aide de la formule :

En fait, c'est un type de formule et voici pourquoi : si deux points sont connus, alors le vecteur sera le vecteur direction de la ligne donnée. À la leçon Vecteurs pour les nuls nous avons considéré tâche la plus simple– comment trouver les coordonnées d'un vecteur à partir de deux points. D’après ce problème, les coordonnées du vecteur direction sont :

Note : les points peuvent être « échangés » et la formule peut être utilisée . Une telle solution sera équivalente.

Exemple 7

Écrire l'équation d'une droite en utilisant deux points .

Solution: On utilise la formule :

Peigner les dénominateurs :

Et mélangez le jeu :

Il est maintenant temps de s'en débarrasser nombres fractionnaires. Dans ce cas, vous devez multiplier les deux côtés par 6 :

Ouvrez les parenthèses et rappelez-vous l’équation :

Répondre:

Examen est évident - les coordonnées des points initiaux doivent satisfaire l'équation résultante :

1) Remplacez les coordonnées du point :

Une véritable égalité.

2) Remplacez les coordonnées du point :

Une véritable égalité.

Conclusion: L'équation de la droite est écrite correctement.

Si au moins un des points ne satisfait pas à l’équation, recherchez une erreur.

Il convient de noter que la vérification graphique dans ce cas est difficile, car construire une ligne droite et voir si les points lui appartiennent , pas si simple.

J'en mentionnerai quelques autres points techniques solutions. Peut-être que dans ce problème, il est plus rentable d'utiliser la formule miroir et, aux mêmes points faire une équation :

Moins de fractions. Si vous le souhaitez, vous pouvez effectuer la solution jusqu'au bout, le résultat devrait être la même équation.

Le deuxième point est d’examiner la réponse finale et de déterminer si elle peut être davantage simplifiée ? Par exemple, si vous obtenez l’équation , alors il convient de la réduire par deux : – l’équation définira la même droite. Cependant, c'est déjà un sujet de conversation sur position relative des lignes.

Ayant reçu la réponse dans l'exemple 7, juste au cas où, j'ai vérifié si TOUS les coefficients de l'équation sont divisibles par 2, 3 ou 7. Cependant, le plus souvent, de telles réductions sont effectuées lors de la solution.

Exemple 8

Écrire une équation pour une droite passant par les points .

Ceci est un exemple de solution indépendante, qui vous permettra de mieux comprendre et pratiquer les techniques de calcul.

Semblable au paragraphe précédent : si dans la formule l'un des dénominateurs (la coordonnée du vecteur directeur) devient nul, puis on le réécrit sous la forme . Encore une fois, remarquez à quel point elle a l’air maladroite et confuse. Je ne vois pas sens spécial conduire exemples pratiques, puisque nous avons déjà effectivement résolu un tel problème (voir n° 5, 6).

Vecteur normal direct (vecteur normal)

Qu'est-ce qui est normal ? En mots simples, la normale est perpendiculaire. Autrement dit, le vecteur normal d’une ligne est perpendiculaire à une ligne donnée. Évidemment, toute droite en possède un nombre infini (ainsi que des vecteurs directeurs), et tous les vecteurs normaux de la droite seront colinéaires (codirectionnels ou non, cela ne fait aucune différence).

Les gérer sera encore plus facile qu'avec des vecteurs guides :

Si une ligne est donnée par une équation générale dans un système de coordonnées rectangulaires, alors le vecteur est le vecteur normal de cette ligne.

Si les coordonnées du vecteur directeur doivent être soigneusement « extraites » de l'équation, alors les coordonnées du vecteur normal peuvent être simplement « supprimées ».

Le vecteur normal est toujours orthogonal au vecteur directeur de la ligne. Vérifions l'orthogonalité de ces vecteurs en utilisant produit scalaire:

Je vais donner des exemples avec les mêmes équations que pour le vecteur direction :

Est-il possible de construire une équation d’une droite étant donné un point et un vecteur normal ? Je le ressens dans mes tripes, c’est possible. Si le vecteur normal est connu, alors la direction de la ligne droite elle-même est clairement définie - il s'agit d'une « structure rigide » avec un angle de 90 degrés.

Comment écrire l’équation d’une droite étant donné un point et un vecteur normal ?

Si un certain point appartenant à une droite et le vecteur normal de cette droite sont connus, alors l'équation de cette droite est exprimée par la formule :

Ici, tout s'est déroulé sans fractions ni autres surprises. C'est notre vecteur normal. Aime-le. Et respect =)

Exemple 9

Écrivez l'équation d'une droite étant donné un point et un vecteur normal. Trouvez le vecteur direction de la ligne.

Solution: On utilise la formule :

L’équation générale de la droite a été obtenue, vérifions :

1) « Supprimer » les coordonnées du vecteur normal de l'équation : – oui, en effet, le vecteur original a été obtenu à partir de la condition (ou un vecteur colinéaire doit être obtenu).

2) Vérifions si le point satisfait l'équation :

Une véritable égalité.

Une fois que nous serons convaincus que l’équation est correctement composée, nous terminerons la deuxième partie de la tâche, la plus simple. On sort le vecteur directeur de la droite :

Répondre:

Sur le dessin, la situation ressemble à ceci :

À des fins de formation, une tâche similaire à résoudre de manière indépendante :

Exemple 10

Écrivez l'équation d'une droite étant donné un point et un vecteur normal. Trouvez le vecteur direction de la ligne.

Section finale la leçon sera consacrée à des types d'équations moins courants, mais aussi importants, d'une droite sur un plan

Équation d'une droite en segments.
Équation d'une droite sous forme paramétrique

L'équation d'une droite en segments a la forme , où sont des constantes non nulles. Certains types d'équations ne peuvent pas être représentés sous cette forme, par exemple la proportionnalité directe (puisque le terme libre est égal à zéro et qu'il n'y a aucun moyen d'en obtenir un du côté droit).

Il s’agit, au sens figuré, d’une équation de type « technique ». Une tâche courante consiste à équation générale représenter une droite sous la forme d'une équation d'une droite en segments. En quoi est-ce pratique ? L'équation d'une droite en segments permet de trouver rapidement les points d'intersection d'une droite avec des axes de coordonnées, ce qui peut être très important dans certains problèmes de mathématiques supérieures.

Trouvons le point d'intersection de la ligne avec l'axe. On remet le « y » à zéro, et l’équation prend la forme . Le point souhaité est obtenu automatiquement : .

Idem avec l'axe – le point où la droite coupe l’axe des ordonnées.

Leçon de la série « Algorithmes géométriques »

Bonjour cher lecteur !

Aujourd'hui, nous allons commencer à apprendre des algorithmes liés à la géométrie. Le fait est qu'il existe de nombreux problèmes d'Olympiade en informatique liés à la géométrie computationnelle, et la résolution de ces problèmes pose souvent des difficultés.

Au cours de plusieurs leçons, nous examinerons un certain nombre de sous-tâches élémentaires sur lesquelles repose la solution de la plupart des problèmes de géométrie computationnelle.

Dans cette leçon, nous allons créer un programme pour trouver l'équation d'une droite, passant par donné deux points. Pour résoudre des problèmes géométriques, nous avons besoin de certaines connaissances en géométrie computationnelle. Nous consacrerons une partie de la leçon à faire leur connaissance.

Aperçus de la géométrie computationnelle

La géométrie computationnelle est une branche de l'informatique qui étudie les algorithmes permettant de résoudre des problèmes géométriques.

Les données initiales pour de tels problèmes peuvent être un ensemble de points sur un plan, un ensemble de segments, un polygone (spécifié, par exemple, par une liste de ses sommets dans le sens des aiguilles d'une montre), etc.

Le résultat peut être soit une réponse à une question (comme un point appartient-il à un segment, est-ce que deux segments se coupent, ...), soit un objet géométrique (par exemple, le plus petit polygone convexe reliant points donnés, aire d'un polygone, etc.).

Nous considérerons les problèmes de géométrie computationnelle uniquement sur le plan et uniquement dans le système de coordonnées cartésiennes.

Vecteurs et coordonnées

Pour appliquer les méthodes de géométrie computationnelle, il est nécessaire de traduire les images géométriques dans le langage des nombres. Nous supposerons que le plan reçoit un système de coordonnées cartésiennes, dans lequel le sens de rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est dit positif.

Désormais, les objets géométriques reçoivent une expression analytique. Ainsi, pour préciser un point, il suffit d'indiquer ses coordonnées : une paire de nombres (x ; y). Un segment peut être spécifié en spécifiant les coordonnées de ses extrémités ; une ligne droite peut être spécifiée en spécifiant les coordonnées d'une paire de ses points.

Mais notre principal outil pour résoudre les problèmes seront les vecteurs. Permettez-moi donc de rappeler quelques informations à leur sujet.

Segment de ligne UN B, ce qui a un point UN est considéré comme le début (point d'application), et le point DANS– fin, appelée vecteur UN B et désigne soit , soit en gras lettre minuscule, Par exemple UN .

Pour désigner la longueur d'un vecteur (c'est-à-dire la longueur du segment correspondant), nous utiliserons le symbole de module (par exemple, ).

Un vecteur arbitraire aura des coordonnées égales à la différence entre les coordonnées correspondantes de sa fin et de son début :

,

voici les points UN Et B avoir des coordonnées respectivement.

Pour les calculs nous utiliserons le concept angle orienté, c'est-à-dire un angle qui prend en compte la position relative des vecteurs.

Angle orienté entre les vecteurs un Et b positif si la rotation vient du vecteur un vecteur b s'effectue dans le sens positif (dans le sens inverse des aiguilles d'une montre) et négatif dans l'autre cas. Voir Fig.1a, Fig.1b. On dit aussi qu’une paire de vecteurs un Et b orienté positivement (négativement).

Ainsi, la valeur de l'angle orienté dépend de l'ordre dans lequel les vecteurs sont répertoriés et peut prendre des valeurs dans l'intervalle.

De nombreux problèmes de géométrie computationnelle utilisent le concept de produits vectoriels (asymétriques ou pseudoscalaires) de vecteurs.

Le produit vectoriel des vecteurs a et b est le produit des longueurs de ces vecteurs et du sinus de l'angle qui les sépare :

.

Produit vectoriel des vecteurs en coordonnées :

L'expression de droite est un déterminant du second ordre :

Contrairement à la définition donnée en géométrie analytique, c'est un scalaire.

Signe produit vectoriel détermine la position des vecteurs les uns par rapport aux autres :

un Et b orienté positivement.

Si la valeur est , alors une paire de vecteurs un Et b orienté négativement.

Le produit vectoriel des vecteurs non nuls est nul si et seulement s'ils sont colinéaires ( ). Cela signifie qu'ils se trouvent sur la même ligne ou sur des lignes parallèles.

Examinons quelques problèmes simples qui sont nécessaires pour résoudre des problèmes plus complexes.

Déterminons l'équation d'une droite à partir des coordonnées de deux points.

Équation d'une droite passant par deux points différents spécifiés par leurs coordonnées.

Soit deux points non coïncidants sur une droite : de coordonnées (x1 ; y1) et de coordonnées (x2 ; y2). En conséquence, un vecteur avec un début en un point et une fin en un point a des coordonnées (x2-x1, y2-y1). Si P(x, y) est un point arbitraire sur notre droite, alors les coordonnées du vecteur sont égales à (x-x1, y – y1).

En utilisant le produit vectoriel, la condition de colinéarité des vecteurs peut s'écrire comme suit :

Ceux. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

On réécrit la dernière équation comme suit :

hache + par + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Ainsi, la droite peut être spécifiée par une équation de la forme (1).

Problème 1. Les coordonnées de deux points sont données. Trouvez sa représentation sous la forme ax + by + c = 0.

Dans cette leçon, nous avons appris quelques informations sur la géométrie computationnelle. Nous avons résolu le problème de trouver l’équation d’une droite à partir des coordonnées de deux points.

Dans la prochaine leçon, nous créerons un programme pour trouver le point d’intersection de deux droites données par nos équations.

Équation d'une droite sur un plan.

Comme on le sait, tout point du plan est déterminé par deux coordonnées dans un système de coordonnées. Les systèmes de coordonnées peuvent être différents selon le choix de la base et de l'origine.

Définition. Équation de droite s'appelle la relation y = f(x) entre les coordonnées des points qui composent cette ligne.

Notez que l'équation d'une ligne peut être exprimée de manière paramétrique, c'est-à-dire que chaque coordonnée de chaque point est exprimée par un paramètre indépendant. t.

Un exemple typique est la trajectoire d’un point en mouvement. Dans ce cas, le rôle du paramètre est joué par le temps.

Équation d'une droite sur un plan.

Définition. Toute droite sur le plan peut être spécifiée par une équation du premier ordre

Hache + Wu + C = 0,

De plus, les constantes A et B ne sont pas égales à zéro en même temps, c'est-à-dire A 2 + B 2  0. Cette équation du premier ordre est appelée équation générale d'une droite.

En fonction des valeurs des constantes A, B et C, les cas particuliers suivants sont possibles :

C = 0, A  0, B  0 – la droite passe par l'origine

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - droite parallèle à l'axe Ox

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – droite parallèle à l'axe Oy

B = C = 0, A  0 – la droite coïncide avec l'axe Oy

A = C = 0, B  0 – la droite coïncide avec l'axe Ox

L'équation d'une droite peut être présentée sous différentes formes en fonction de conditions initiales données.

Équation d'une droite partant d'un point et d'un vecteur normal.

Définition. Dans le système de coordonnées rectangulaires cartésiennes, un vecteur de composantes (A, B) est perpendiculaire à la droite donnée par l'équation Ax + By + C = 0.

Exemple. Trouver l'équation de la droite passant par le point A(1, 2) perpendiculaire au vecteur (3, -1).

Avec A = 3 et B = -1, composons l'équation de la droite : 3x – y + C = 0. Pour trouver le coefficient C, on substitue les coordonnées du point donné A dans l'expression résultante.

On obtient : 3 – 2 + C = 0, donc C = -1.

Total : l’équation recherchée : 3x – y – 1 = 0.

Équation d'une droite passant par deux points.

Soit deux points M 1 (x 1, y 1, z 1) et M 2 (x 2, y 2, z 2) dans l'espace, alors l'équation de la droite passant par ces points est :

Si l’un des dénominateurs est nul, le numérateur correspondant doit être égal à zéro.

Dans le plan, l'équation de la droite écrite ci-dessus est simplifiée :

si x 1  x 2 et x = x 1, si x 1 = x 2.

Fraction
=k est appelé pente droit.

Exemple. Trouvez l'équation de la droite passant par les points A(1, 2) et B(3, 4).

En appliquant la formule écrite ci-dessus, on obtient :

Équation d'une droite utilisant un point et une pente.

Si l'équation générale de la droite Ax + By + C = 0 se réduit à la forme :

et désigner
, alors l'équation résultante s'appelle équation d'une droite avec pentek.

Équation d'une droite partant d'un point et d'un vecteur directeur.

Par analogie avec le point considérant l'équation d'une droite passant par un vecteur normal, vous pouvez saisir la définition d'une droite passant par un point et le vecteur directeur de la droite.

Définition. Tout vecteur non nul ( 1,  2), dont les composantes satisfont à la condition A 1 + B 2 = 0 est appelé vecteur directeur de la droite

Hache + Wu + C = 0.

Exemple. Trouver l'équation d'une droite avec un vecteur directeur (1, -1) et passant par le point A(1, 2).

On cherchera l'équation de la droite recherchée sous la forme : Ax + By + C = 0. Conformément à la définition, les coefficients doivent satisfaire aux conditions :

1A + (-1)B = 0, soit A = B.

Alors l’équation de la droite a la forme : Ax + Ay + C = 0, ou x + y + C/A = 0.

à x = 1, y = 2 nous obtenons C/A = -3, c'est-à-dire équation requise :

Équation d'une droite en segments.

Si dans l'équation générale de la droite Ах + Ву + С = 0 С 0, alors, en divisant par –С, on obtient :
ou

, Où

La signification géométrique des coefficients est que le coefficient UN est la coordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe Ox, et b– la coordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe Oy.

Exemple. On donne l'équation générale de la droite x – y + 1 = 0. Trouvez l'équation de cette droite en segments.

C = 1,
, une = -1,b = 1.

Équation normale d'une droite.

Si les deux côtés de l'équation Ax + By + C = 0 sont divisés par le nombre
qui est appelée facteur de normalisation, alors on obtient

xcos + ysin - p = 0 –

équation normale d'une droite.

Le signe  du facteur de normalisation doit être choisi de telle sorte que С< 0.

p est la longueur de la perpendiculaire tombée de l'origine à la droite, et  est l'angle formé par cette perpendiculaire avec la direction positive de l'axe Ox.

Exemple.Étant donné l’équation générale de la droite 12x – 5y – 65 = 0. Vous devez écrire Divers typeséquations de cette droite.

équation de cette droite en segments :

équation de cette droite avec pente : (diviser par 5)

équation normale d'une droite :

; cos = 12/13 ; péché = -5/13 ; p = 5.

Il convient de noter que toutes les droites ne peuvent pas être représentées par une équation en segments, par exemple des droites parallèles aux axes ou passant par l'origine des coordonnées.

Exemple. La ligne droite coupe des segments positifs égaux sur les axes de coordonnées. Écrivez une équation pour une droite si l'aire du triangle formé par ces segments est de 8 cm 2.

L'équation de la droite est :
, une = b = 1 ; ab/2 = 8; une = 4 ; -4.

a = -4 ne convient pas selon les conditions du problème.

Total:
ou x + y – 4 = 0.

Exemple.Écrivez une équation pour une droite passant par le point A(-2, -3) et l'origine.

L'équation de la droite est :
, où x 1 = y 1 = 0 ; x2 = -2 ; oui 2 = -3.

L'angle entre des lignes droites sur un plan.

Définition. Si deux lignes sont données y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, alors l'angle aigu entre ces lignes sera défini comme

.

Deux droites sont parallèles si k 1 = k 2.

Deux droites sont perpendiculaires si k 1 = -1/k 2 .

Théorème. Lignes directes Ax + Wu + C = 0 et A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sont parallèles lorsque les coefficients A sont proportionnels 1 =  UN B 1 =  B. Si aussi C 1 =  C, alors les lignes coïncident.

Les coordonnées du point d'intersection de deux droites sont trouvées comme solution du système d'équations de ces droites.

Équation d'une droite passant par ce point

perpendiculaire à cette ligne.

Définition. Une droite passant par le point M 1 (x 1, y 1) et perpendiculaire à la droite y = kx + b est représentée par l'équation :

Distance d'un point à une ligne.

Théorème. Si le point M(x) est donné 0 , oui 0 ), alors la distance à la droite Ах + Ву + С =0 est définie comme

.

Preuve. Soit le point M 1 (x 1, y 1) la base de la perpendiculaire tombant du point M à une droite donnée. Puis la distance entre les points M et M 1 :

Les coordonnées x 1 et y 1 peuvent être trouvées en résolvant le système d'équations :

La deuxième équation du système est l'équation d'une droite passant par un point donné M 0 perpendiculaire à une droite donnée.

Si l'on transforme la première équation du système sous la forme :

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Par 0 + C = 0,

alors, en résolvant, on obtient :

En substituant ces expressions dans l'équation (1), nous trouvons :

.

Le théorème a été prouvé.

Exemple. Déterminez l'angle entre les lignes : y = -3x + 7 ; y = 2x + 1.

k 1 = -3 ; k 2 = 2 tg =
;  = /4.

Exemple. Montrer que les droites 3x – 5y + 7 = 0 et 10x + 6y – 3 = 0 sont perpendiculaires.

On trouve : k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, donc les droites sont perpendiculaires.

Exemple. Sont donnés les sommets du triangle A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Trouvez l'équation de la hauteur tirée du sommet C.

On retrouve l’équation du côté AB :
; 4x = 6 ans – 6 ;

2x – 3 ans + 3 = 0 ;

L'équation de hauteur requise a la forme : Ax + By + C = 0 ou y = kx + b.

k = . Alors y =
. Parce que la hauteur passe par le point C, alors ses coordonnées satisfont à cette équation :
d'où b = 17. Total :
.

Réponse : 3x + 2a – 34 = 0.

Géométrie analytique dans l'espace.

Équation d'une droite dans l'espace.

Équation d'une droite dans l'espace étant donné un point et

vecteur de direction.

Prenons une ligne arbitraire et un vecteur (m, n, p), parallèle à la ligne donnée. Vecteur appelé vecteur de guidage droit.

Sur la droite, nous prenons deux points arbitraires M 0 (x 0 , y 0 , z 0) et M (x, y, z).

z

M1

Notons les rayons vecteurs de ces points comme Et , il est évident que - =
.

Parce que vecteurs
Et sont colinéaires, alors la relation est vraie
= t, où t est un paramètre.

Au total, on peut écrire : = + t.

Parce que cette équation est satisfaite par les coordonnées de n'importe quel point sur la ligne, alors l'équation résultante est équation paramétrique d'une droite.

Cette équation vectorielle peut être représentée sous forme de coordonnées :

En transformant ce système et en assimilant les valeurs du paramètre t, on obtient équations canoniques droite dans l'espace :

.

Définition. Cosinus directeurs direct sont les cosinus directeurs du vecteur , qui peut être calculé à l'aide des formules :

;

.

De là, nous obtenons : m : n : p = cos : cos : cos.

Les nombres m, n, p sont appelés coefficients d'angle droit. Parce que est un vecteur non nul, alors m, n et p ne peuvent pas être égaux à zéro en même temps, mais un ou deux de ces nombres peuvent être égaux à zéro. Dans ce cas, dans l'équation de la droite, les numérateurs correspondants doivent être définis égaux à zéro.

Équation d'une droite dans l'espace passant

à travers deux points.

Si sur une ligne droite dans l'espace nous marquons deux points arbitraires M 1 (x 1, y 1, z 1) et M 2 (x 2, y 2, z 2), alors les coordonnées de ces points doivent satisfaire l'équation de la droite obtenu ci-dessus :

.

De plus, pour le point M 1 on peut écrire :

.

En résolvant ces équations ensemble, nous obtenons :

.

C'est l'équation d'une droite passant par deux points de l'espace.

Équations générales d'une droite dans l'espace.

L'équation d'une droite peut être considérée comme l'équation de la ligne d'intersection de deux plans.

Comme indiqué ci-dessus, un plan sous forme vectorielle peut être spécifié par l'équation :

+ D = 0, où

- plan normal ; - le rayon est le vecteur d'un point arbitraire sur le plan.

Laissez la droite passer par les points M 1 (x 1 ; y 1) et M 2 (x 2 ; y 2). L'équation d'une droite passant par le point M 1 a la forme y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

Où k - coefficient encore inconnu.

Puisque la droite passe par le point M 2 (x 2 y 2), les coordonnées de ce point doivent satisfaire l'équation (10.6) : y 2 -y 1 = k (x2 - x1).

De là, nous trouvons Remplacer la valeur trouvée k dans l'équation (10.6), on obtient l'équation d'une droite passant par les points M 1 et M 2 :

On suppose que dans cette équation x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Si x 1 = x 2, alors la droite passant par les points M 1 (x 1,y I) et M 2 (x 2,y 2) est parallèle à l'axe des ordonnées. Son équation est x = x 1 .

Si y 2 = y I, alors l'équation de la droite peut s'écrire y = y 1, la droite M 1 M 2 est parallèle à l'axe des abscisses.

Équation d'une droite en segments

Laissez la droite couper l'axe Ox au point M 1 (a;0) et l'axe Oy au point M 2 (0;b). L'équation prendra la forme :
ceux.
. Cette équation s'appelle équation d'une droite en segments, car les nombres a et b indiquent quels segments la ligne coupe sur les axes de coordonnées.

Équation d'une droite passant par un point donné perpendiculaire à un vecteur donné

Trouvons l'équation d'une droite passant par un point donné Mo (x O ; y o) perpendiculaire à un vecteur non nul donné n = (A ; B).

Prenons un point arbitraire M(x; y) sur la droite et considérons le vecteur M 0 M (x - x 0; y - y o) (voir Fig. 1). Puisque les vecteurs n et M o M sont perpendiculaires, leur produit scalaire est égal à zéro : c'est-à-dire

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

L'équation (10.8) est appelée équation d'une droite passant par un point donné perpendiculaire à un vecteur donné .

Le vecteur n= (A; B), perpendiculaire à la droite, est appelé normal vecteur normal de cette ligne .

L’équation (10.8) peut être réécrite comme suit Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

où A et B sont les coordonnées du vecteur normal, C = -Ax o - Vu o est le terme libre. Équation (10.9) est l'équation générale de la droite(voir fig. 2).

Figure 1 Figure 2

Équations canoniques de la droite

,

Où
- les coordonnées du point par lequel passe la ligne, et
- vecteur de direction.

Courbes du second ordre Cercle

Un cercle est l'ensemble de tous les points du plan équidistants d'un point donné, appelé centre.

Équation canonique d'un cercle de rayon R. centré en un point
:

En particulier, si le centre du piquet coïncide avec l'origine des coordonnées, alors l'équation ressemblera à :

Ellipse

Une ellipse est un ensemble de points sur un plan dont la somme des distances de chacun d'entre eux à deux points donnés Et , appelés foyers, est une quantité constante
, supérieur à la distance entre les foyers
.

L'équation canonique d'une ellipse dont les foyers se trouvent sur l'axe Ox, et l'origine des coordonnées au milieu entre les foyers a la forme
g de un longueur du demi-grand axe ; b – longueur du demi-petit axe (Fig. 2).

Propriétés d'une droite en géométrie euclidienne.

Un nombre infini de lignes droites peuvent être tracées passant par n’importe quel point.

Passant par deux points non coïncidents, une seule ligne droite peut être tracée.

Deux lignes divergentes dans un plan se coupent en un seul point ou sont

parallèle (découle du précédent).

Dans un espace tridimensionnel, il existe trois options position relative deux lignes droites :

• les lignes se croisent ;

• les lignes sont parallèles ;

• des lignes droites se croisent.

Droit doubler— courbe algébrique du premier ordre : une droite dans le système de coordonnées cartésiennes

est donnée sur le plan par une équation du premier degré (équation linéaire).

Équation générale d'une droite.

Définition. Toute droite sur le plan peut être spécifiée par une équation du premier ordre

Hache + Wu + C = 0,

et constante UN B ne sont pas égaux à zéro en même temps. Cette équation du premier ordre s’appelle général

équation d'une droite. En fonction des valeurs des constantes UN B Et AVEC Les cas particuliers suivants sont possibles :

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- une droite passe par l'origine

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Par + C = 0)- droite parallèle à l'axe Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- droite parallèle à l'axe UO

. B = C = 0, A ≠0- la droite coïncide avec l'axe UO

. A = C = 0, B ≠0- la droite coïncide avec l'axe Oh

L'équation d'une droite peut être représentée sous la forme sous diverses formes en fonction d'une donnée

conditions initiales.

Équation d'une droite partant d'un point et d'un vecteur normal.

Définition. Dans un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes, un vecteur avec des composantes (A, B)

perpendiculaire à la droite, donné par l'équation

Hache + Wu + C = 0.

Exemple. Trouver l'équation d'une droite passant par un point UNE(1, 2) perpendiculaire au vecteur (3, -1).

Solution. Avec A = 3 et B = -1, composons l'équation de la droite : 3x - y + C = 0. Pour trouver le coefficient C

Remplaçons les coordonnées du point donné A dans l'expression résultante. Nous obtenons : 3 - 2 + C = 0, donc

C = -1. Total : l'équation recherchée : 3x - y - 1 = 0.

Équation d'une droite passant par deux points.

Soit deux points dans l'espace M 1 (X 1 , oui 1 , z 1) Et M2 (x 2, y 2, z 2), Alors équation d'une droite,

en passant par ces points :

Si l’un des dénominateurs est nul, le numérateur correspondant doit être égal à zéro. Sur

plan, l’équation de la droite écrite ci-dessus est simplifiée :

Si x1 ≠x2 Et x = x1, Si x1 = x2 .

Fraction =k appelé pente droit.

Exemple. Trouvez l'équation de la droite passant par les points A(1, 2) et B(3, 4).

Solution. En appliquant la formule écrite ci-dessus, on obtient :

Équation d'une droite utilisant un point et une pente.

Si l'équation générale de la droite Hache + Wu + C = 0 mener à:

et désigner , alors l'équation résultante s'appelle

équation d’une droite de pente k.

Équation d'une droite partant d'un point et d'un vecteur directeur.

Par analogie avec le point considérant l'équation d'une droite passant par le vecteur normal, vous pouvez entrer dans la tâche

une ligne droite passant par un point et un vecteur directeur d'une ligne droite.

Définition. Tout vecteur non nul (α1,α2), dont les composants satisfont à la condition

Aα1 + Ba2 = 0 appelé vecteur directeur d’une droite.

Hache + Wu + C = 0.

Exemple. Trouver l'équation d'une droite de vecteur directeur (1, -1) et passant par le point A(1, 2).

Solution. Nous chercherons l'équation de la droite souhaitée sous la forme : Hache + Par + C = 0. D'après la définition,

les coefficients doivent satisfaire aux conditions suivantes :

1 * A + (-1) * B = 0, soit A = B.

Alors l’équation de la droite a la forme : Hache + Ay + C = 0, ou x + y + C / A = 0.

à x = 1, y = 2 on a C/A = -3, c'est à dire. équation requise :

x + y - 3 = 0

Équation d'une droite en segments.

Si dans l'équation générale de la droite Ах + Ву + С = 0 С≠0, alors, en divisant par -С, on obtient :

ou où

La signification géométrique des coefficients est que le coefficient a est la coordonnée du point d'intersection

droit avec axe Oh, UN b- coordonnée du point d'intersection de la ligne avec l'axe OU.

Exemple. L'équation générale d'une droite est donnée x - y + 1 = 0. Trouvez l'équation de cette droite en segments.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Équation normale droit.

Si les deux côtés de l’équation Hache + Wu + C = 0 diviser par nombre qui est appelée

facteur de normalisation, alors on obtient

xcosφ + ysinφ - p = 0 -équation normale d'une droite.

Le signe ± du facteur de normalisation doit être choisi de telle sorte que µ*C< 0.

R.- la longueur de la perpendiculaire tombée de l'origine à la droite,

UN φ - l'angle que forme cette perpendiculaire avec la direction positive de l'axe Oh.

Exemple. L'équation générale de la droite est donnée 12x - 5 ans - 65 = 0. Nécessaire pour écrire différents types d'équations

cette ligne droite.

L'équation de cette droite en segments:

L'équation de cette droite avec la pente: (diviser par 5)

Équation d'une droite:

cos φ = 12/13 ; péché φ= -5/13 ; p = 5.

Il convient de noter que toutes les droites ne peuvent pas être représentées par une équation en segments, par exemple les droites,

parallèle aux axes ou passant par l'origine.

L'angle entre des lignes droites sur un plan.

Définition. Si deux lignes sont données y = k 1 X + b 1 , y = k 2 X + b 2, alors l'angle aigu entre ces lignes

sera défini comme

Deux droites sont parallèles si k1 = k2. Deux lignes sont perpendiculaires

Si k 1 = -1/ k 2 .

Théorème.

Direct Hache + Wu + C = 0 Et A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 parallèle lorsque les coefficients sont proportionnels

A 1 = λA, B 1 = λB. Si aussi С 1 = λС, alors les lignes coïncident. Coordonnées du point d'intersection de deux lignes

sont trouvés comme solution au système d’équations de ces droites.

L'équation d'une droite passant par un point donné perpendiculaire à une droite donnée.

Définition. Ligne passant par un point M 1 (x 1, y 1) et perpendiculaire à la ligne y = kx + b

représenté par l'équation :

Distance d'un point à une ligne.

Théorème. Si un point est donné M(x 0, oui 0), puis la distance jusqu'à la ligne droite Hache + Wu + C = 0 défini comme:

Preuve. Laissons le point M 1 (x 1, y 1)- la base d'une perpendiculaire tombée d'un point M pour une donnée

direct. Puis la distance entre les points M Et M1:

(1)

Coordonnées x1 Et à 1 peut être trouvé comme solution au système d’équations :

La deuxième équation du système est l'équation d'une droite passant par un point donné M 0 perpendiculairement

ligne droite donnée. Si l'on transforme la première équation du système sous la forme :

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Par 0 + C = 0,

alors, en résolvant, on obtient :

En substituant ces expressions dans l'équation (1), nous trouvons :

Le théorème a été prouvé.