Séries de distribution variationnelle et statistique. Analyse de séries variationnelles

Tableau 1. Vue générale de la série variationnelle discrète des fréquences

Tableau 2. Vue générale de la série de variation d'intervalle des fréquences

Tableau 3. Images graphiques de la série de variations

Ligne	Polygone ou histogramme		Fonction de distribution empirique
Discret
intervalle

En tableau. 2.3 (Regroupement de la population de la Russie selon la taille du revenu moyen par habitant en avril 1994) est présenté série de variation d'intervalle.
Il est commode d'analyser la série de distribution à l'aide d'une représentation graphique, ce qui permet également de juger de la forme de la distribution. Une représentation visuelle de la nature du changement des fréquences de la série variationnelle est donnée par polygone et histogramme.
Le polygone est utilisé lors de l'affichage de séries variationnelles discrètes.
Représentons graphiquement, par exemple, la répartition du parc de logements par type d'appartements (tableau 2.10).
Tableau 2.10 - Répartition du parc de logements de l'aire urbaine par type d'appartements (chiffres conditionnels).

Riz. Polygone de répartition des logements

Riz. 2.2. Histogramme de la répartition des familles selon la taille de l'espace de vie par personne

Riz. 2.3. La distribution cumulée des familles selon la taille de l'espace de vie par personne

Pour une représentation graphique de la variation, des séries peuvent également être utilisées courbe cumulée. A l'aide du cumulé (la courbe des sommes), une série de fréquences cumulées est affichée. Les fréquences cumulées sont déterminées en additionnant successivement les fréquences par groupes et montrent combien d'unités de la population ont des valeurs de caractéristiques non supérieures à la valeur considérée.

Riz. 2.4. Répartition Ogiva des familles selon la taille de l'espace de vie par personne

Lors de la construction du cumul d'une série de variation d'intervalle, les variantes de la série sont tracées le long de l'axe des abscisses, et les fréquences cumulées le long de l'axe des ordonnées.

variationnel appelées séries de distribution construites sur une base quantitative. Les valeurs des caractéristiques quantitatives dans les unités individuelles de la population ne sont pas constantes, diffèrent plus ou moins les unes des autres.

Variation- fluctuation, variabilité de la valeur de l'attribut en unités de la population. Les valeurs numériques distinctes du trait apparaissant dans la population étudiée sont appelées options valeurs. L'insuffisance de la valeur moyenne pour une caractérisation complète de la population oblige à compléter les valeurs moyennes par des indicateurs permettant d'apprécier la typicité de ces moyennes en mesurant la fluctuation (variation) du trait étudié.

La présence de variation est due à l'influence d'un grand nombre de facteurs sur la formation du niveau de trait. Ces facteurs agissent avec une force inégale et dans des directions différentes. Les indicateurs de variation sont utilisés pour décrire la mesure de la variabilité des traits.

Tâches de l'étude statistique de la variation :

• 1) l'étude de la nature et du degré de variation des signes dans des unités individuelles de la population;
• 2) détermination du rôle des facteurs individuels ou de leurs groupes dans la variation de certaines caractéristiques de la population.

En statistique, des méthodes spéciales d'étude de la variation sont utilisées, basées sur l'utilisation d'un système d'indicateurs, Avec par lequel la variation est mesurée.

L'étude de la variation est essentielle. La mesure des variations est nécessaire lors de la réalisation d'observations d'échantillons, d'analyses de corrélation et de variance, etc. Ermolaev O.Yu. Statistiques mathématiques pour les psychologues: Manuel [Texte] / O.Yu. Ermolaïev. - M.: Maison d'édition Flint de l'Institut psychologique et social de Moscou, 2012. - 335p.

Selon le degré de variation, on peut juger de l'homogénéité de la population, de la stabilité des valeurs individuelles des traits et de la typicité de la moyenne. Sur leur base, des indicateurs de l'étroitesse de la relation entre les signes, des indicateurs permettant d'évaluer l'exactitude de l'observation sélective sont développés.

Il y a variation dans l'espace et variation dans le temps.

La variation dans l'espace est comprise comme la fluctuation des valeurs d'une caractéristique en unités de la population représentant des territoires distincts. Sous la variation dans le temps, on entend le changement des valeurs de l'attribut dans différentes périodes de temps.

Pour étudier la variation dans la série de distribution, toutes les variantes des valeurs d'attribut sont classées par ordre croissant ou décroissant. Ce processus est appelé classement des séries.

Les signes de variation les plus simples sont minimale et maximale- la plus petite et la plus grande valeur de l'attribut dans l'agrégat. Le nombre de répétitions de variantes individuelles de valeurs de caractéristiques est appelé la fréquence de répétition (fi). Il est pratique de remplacer les fréquences par des fréquences - wi. Fréquence - un indicateur relatif de fréquence, qui peut être exprimé en fractions d'unité ou en pourcentage et vous permet de comparer des séries de variations avec un nombre différent d'observations. Exprimé par la formule :

où Xmax, Xmin - les valeurs maximale et minimale de l'attribut dans l'agrégat; n est le nombre de groupes.

Pour mesurer la variation d'un trait, divers indicateurs absolus et relatifs sont utilisés. Les indicateurs absolus de variation comprennent la plage de variation, l'écart linéaire moyen, la variance, l'écart type. Les indicateurs relatifs de fluctuation comprennent le coefficient d'oscillation, la déviation linéaire relative, le coefficient de variation.

Un exemple de recherche d'une série de variations

Exercer. Pour cet échantillon :

• a) Trouver une série de variations ;
• b) Construire la fonction de distribution ;

Nb=42. Exemples d'articles :

1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2

La solution.

• a) construction d'une série variationnelle ordonnée :
  • 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9
• b) construction d'une série variationnelle discrète.

Calculons le nombre de groupes dans la série de variations à l'aide de la formule de Sturgess :

Prenons le nombre de groupes égal à 7.

Connaissant le nombre de groupes, on calcule la valeur de l'intervalle :

Pour la commodité de la construction du tableau, nous prendrons le nombre de groupes égal à 8, l'intervalle sera de 1.

Riz. une Le volume des ventes de marchandises par le magasin pendant une certaine période de temps

La variation détermine différences dans les valeurs de tout attribut dans différentes unités d'une population donnée au cours de la même période (point dans le temps). La raison de la variation est les différentes conditions d'existence des différentes unités de la population. Par exemple, même les jumeaux en cours de vie acquièrent des différences de taille, de poids, ainsi que des signes tels que le niveau d'éducation, le revenu, le nombre d'enfants, etc.

La variation résulte du fait que les valeurs de l'attribut elles-mêmes sont formées sous l'influence totale de diverses conditions qui se combinent de différentes manières dans chaque cas individuel. Ainsi, la valeur de toute option est objective.

La variation est caractéristiqueà tous les phénomènes de la nature et de la société, sans exception, à l'exception des valeurs normatives fixées par la loi des caractéristiques sociales individuelles. Les études de variation dans les statistiques sont d'une grande importance, elles aident à comprendre l'essence du phénomène étudié. Trouver la variation, élucider ses causes, identifier l'influence de facteurs individuels fournit des informations importantes pour la mise en œuvre de décisions de gestion fondées sur des preuves.

La valeur moyenne donne une caractéristique généralisée de la caractéristique de la population, mais elle ne révèle pas sa structure. La valeur moyenne ne montre pas comment les variantes de l'entité moyenne sont situées autour d'elle, si elles sont distribuées près de la moyenne ou s'en écartent. La moyenne dans deux ensembles peut être la même, mais dans une variante, toutes les valeurs individuelles en diffèrent légèrement, et dans l'autre, ces différences sont importantes, c'est-à-dire dans le premier cas, la variation du trait est faible, et dans le second cas, elle est grande, ce qui est très important pour caractériser la significativité de la valeur moyenne.

Pour que le responsable de l'organisation, le manager, le chercheur puisse étudier la variation et la gérer, la statistique a développé des méthodes particulières d'étude de la variation (un système d'indicateurs). Avec leur aide, la variation est trouvée, ses propriétés sont caractérisées. Les indicateurs de variation sont : plage de variation, écart linéaire moyen, coefficient de variation.

Série de variations et ses formes

Série de variantes- il s'agit d'une distribution ordonnée des unités de la population plus souvent en augmentant (moins souvent en diminuant) les valeurs de l'attribut et en comptant le nombre d'unités avec l'une ou l'autre valeur de l'attribut. Lorsque le nombre d'unités de population est important, la série ordonnée devient lourde, sa construction prend beaucoup de temps. Dans une telle situation, une série variationnelle est construite en regroupant des unités de population selon les valeurs du trait étudié.

Il y a les suivants formulaires de série de variations :

1. rangée classée est une liste d'unités individuelles de la population dans l'ordre croissant (décroissant) du trait à l'étude.
2. Série à variation discrète - il s'agit d'un tableau composé de deux lignes ou d'un graphique : les valeurs spécifiques de la caractéristique variable x et le nombre d'unités dans la population avec la valeur donnée f - la caractéristique des fréquences. Il est construit lorsque l'attribut prend le plus grand nombre de valeurs.
3. série d'intervalles.

La plage de variation est déterminée comme la valeur absolue de la différence entre les valeurs maximales et minimales (options) de l'attribut :

La plage de variation montre uniquement les déviations extrêmes du trait et ne reflète pas les déviations individuelles de toutes les variantes de la série. Il caractérise les limites de changement d'un attribut variable et dépend des fluctuations des deux options extrêmes et n'est absolument pas lié aux fréquences dans la série de variation, c'est-à-dire à la nature de la distribution, ce qui donne à cette valeur un caractère aléatoire. personnage. Pour analyser la variation, vous avez besoin d'un indicateur qui reflète toutes les fluctuations d'un trait de variation et donne une caractéristique générale. L'indicateur le plus simple de ce type est l'écart linéaire moyen.

(définition d'une série variationnelle ; composantes d'une série variationnelle ; trois formes d'une série variationnelle ; opportunité de construire une série d'intervalle ; conclusions que l'on peut tirer de la série construite)

Une série variationnelle est une séquence de tous les éléments d'un échantillon disposés dans un ordre non décroissant. Les mêmes éléments se répètent

Variationnel - ce sont des séries construites sur une base quantitative.

Les séries de distribution variationnelle sont constituées de deux éléments : les variantes et les fréquences :

Les variantes sont les valeurs numériques d'un trait quantitatif dans la série de variation de la distribution. Ils peuvent être positifs ou négatifs, absolus ou relatifs. Ainsi, lors du regroupement des entreprises en fonction des résultats de l'activité économique, les options sont positives - c'est le profit, et les nombres négatifs - c'est une perte.

Les fréquences sont les nombres de variantes individuelles ou de chaque groupe de la série de variantes, c'est-à-dire ce sont des chiffres indiquant la fréquence à laquelle certaines options se produisent dans une série de distribution. La somme de toutes les fréquences s'appelle le volume de la population et est déterminée par le nombre d'éléments de la population entière.

Les fréquences sont des fréquences exprimées en valeurs relatives (fractions d'unités ou pourcentages). La somme des fréquences est égale à un ou 100 %. Le remplacement des fréquences par des fréquences permet de comparer des séries variationnelles avec des nombres d'observations différents.

Il existe trois formes de séries de variations : séries classées, séries discrètes et séries d'intervalles.

Une série classée est la distribution des unités individuelles de la population dans l'ordre croissant ou décroissant du trait à l'étude. Le classement permet de diviser facilement les données quantitatives en groupes, de détecter immédiatement les valeurs les plus petites et les plus grandes d'une caractéristique et de mettre en évidence les valeurs qui se répètent le plus souvent.

D'autres formes de séries de variation sont des tableaux de groupe compilés selon la nature de la variation des valeurs du trait à l'étude. Par la nature de la variation, on distingue les signes discrets (discontinus) et continus.

Une série discrète est une telle série variationnelle dont la construction est basée sur des signes à évolution discontinue (signes discrets). Ces derniers comprennent la catégorie tarifaire, le nombre d'enfants dans la famille, le nombre d'employés dans l'entreprise, etc. Ces signes ne peuvent prendre qu'un nombre fini de certaines valeurs.

Une série variationnelle discrète est un tableau composé de deux colonnes. La première colonne indique la valeur spécifique de l'attribut et la seconde - le nombre d'unités de population avec une valeur spécifique de l'attribut.

Si un signe a un changement continu (le montant des revenus, l'expérience de travail, le coût des immobilisations d'une entreprise, etc., qui peut prendre n'importe quelle valeur dans certaines limites), alors une série de variation d'intervalle doit être construite pour ce signe.

La table de groupe ici a également deux colonnes. Le premier indique la valeur de la caractéristique dans l'intervalle "de - à" (options), le second - le nombre d'unités incluses dans l'intervalle (fréquence).

Fréquence (fréquence de répétition) - le nombre de répétitions d'une variante particulière des valeurs d'attribut, notée fi , et la somme des fréquences égales au volume de la population étudiée, notée

Où k est le nombre d'options de valeur d'attribut

Très souvent, le tableau est complété par une colonne dans laquelle les fréquences cumulées S sont calculées, qui montrent combien d'unités de la population ont une valeur de caractéristique non supérieure à cette valeur.

Une série de distribution variationnelle discrète est une série dans laquelle les groupes sont composés selon une caractéristique qui varie discrètement et ne prend que des valeurs entières.

La série de distribution de variation d'intervalle est une série dans laquelle l'attribut de regroupement, qui constitue la base du regroupement, peut prendre n'importe quelle valeur dans un certain intervalle, y compris les fractions.

Une série variationnelle d'intervalle est un ensemble ordonné d'intervalles de variation des valeurs d'une variable aléatoire avec les fréquences correspondantes ou les fréquences des valeurs de la quantité tombant dans chacune d'elles.

Il est opportun de construire une série de distribution d'intervalle, tout d'abord, avec une variation continue d'un trait, et aussi si une variation discrète se manifeste sur une large plage, c'est-à-dire le nombre d'options pour une caractéristique discrète est assez grand.

Plusieurs conclusions peuvent déjà être tirées de cette série. Par exemple, l'élément moyen d'une série de variations (médiane) peut être une estimation du résultat le plus probable d'une mesure. Le premier et le dernier élément de la série variationnelle (c'est-à-dire l'élément minimum et maximum de l'échantillon) montrent la répartition des éléments de l'échantillon. Parfois, si le premier ou le dernier élément est très différent du reste de l'échantillon, ils sont alors exclus des résultats de mesure, étant donné que ces valeurs ont été obtenues à la suite d'une sorte de défaillance grave, par exemple, la technologie.

Série de variation - une série dans laquelle ils sont comparés (par ordre croissant ou décroissant) options et leurs respectifs fréquences

Les variantes sont des expressions quantitatives distinctes d'une caractéristique. Désigné par une lettre latine V . La compréhension classique du terme « variante » suppose que chaque valeur unique d'une caractéristique est appelée une variante, quel que soit le nombre de répétitions.

Par exemple, dans une série variationnelle d'indicateurs de pression artérielle systolique mesurés chez dix patients :

110, 120, 120, 130, 130, 130, 140, 140, 160, 170;

seules 6 valeurs sont des options :

110, 120, 130, 140, 160, 170.

La fréquence est un nombre indiquant combien de fois une option est répétée. Désigné par une lettre latine P . La somme de toutes les fréquences (qui, bien sûr, est égale au nombre de toutes étudiées) est notée n.

Dans notre exemple, les fréquences prendront les valeurs suivantes :
• pour la variante 110 fréquence P = 1 (la valeur 110 se produit chez un patient),
• pour la variante 120 fréquence P = 2 (la valeur 120 survient chez deux patients),
• pour la variante 130 fréquence P = 3 (la valeur 130 survient chez trois patients),
• pour la variante 140 fréquence P = 2 (la valeur 140 survient chez deux patients),
• pour la variante 160 fréquence P = 1 (la valeur 160 se produit chez un patient),
• pour la variante 170 fréquence P = 1 (la valeur 170 se produit chez un patient),

Types de séries de variations :

1. Facile- c'est une série dans laquelle chaque option n'apparaît qu'une seule fois (toutes les fréquences sont égales à 1) ;
2. suspendu- une série dans laquelle une ou plusieurs options se répètent.

La série de variation est utilisée pour décrire de grands tableaux de nombres ; c'est sous cette forme que les données collectées de la plupart des études médicales sont initialement présentées. Afin de caractériser les séries de variation, des indicateurs spéciaux sont calculés, y compris des valeurs moyennes, des indicateurs de variabilité (ce que l'on appelle la dispersion), des indicateurs de la représentativité des données d'échantillon.

Indicateurs de séries de variations

1) La moyenne arithmétique est un indicateur généralisant qui caractérise la taille du trait étudié. La moyenne arithmétique est notée M , est le type de moyenne le plus courant. La moyenne arithmétique est calculée comme le rapport de la somme des valeurs des indicateurs de toutes les unités d'observation au nombre de tous examinés. La méthode de calcul de la moyenne arithmétique diffère pour une série de variation simple et pondérée.

Formule de calcul moyenne arithmétique simple :

Formule de calcul moyenne arithmétique pondérée :

M = Σ(V * P)/ n

​ 2) Mode - une autre valeur moyenne de la série de variations, correspondant à la variante la plus fréquemment répétée. Ou, pour le dire autrement, c'est l'option qui correspond à la fréquence la plus élevée. Désigné mois . Le mode est calculé uniquement pour les séries pondérées, car dans les séries simples, aucune des options n'est répétée et toutes les fréquences sont égales à un.

Par exemple, dans la série de variation des valeurs de fréquence cardiaque :

80, 84, 84, 86, 86, 86, 90, 94;

la valeur du mode est 86, puisque cette variante se produit 3 fois, sa fréquence est donc la plus élevée.

3) Médiane - la valeur de l'option, divisant la série de variations par deux : des deux côtés, il y a un nombre égal d'options. La médiane, ainsi que la moyenne arithmétique et le mode, font référence à des valeurs moyennes. Désigné Moi

4) Écart type (synonymes : écart type, écart sigma, sigma) - une mesure de la variabilité de la série de variation. C'est un indicateur intégral qui combine tous les cas d'écart d'une variante par rapport à la moyenne. En fait, cela répond à la question : jusqu'où et à quelle fréquence les options s'écartent-elles de la moyenne arithmétique. Désigné par une lettre grecque σ ("sigma").

Lorsque la taille de la population est supérieure à 30 unités, l'écart type est calculé à l'aide de la formule suivante :

Pour les petites populations - 30 unités d'observation ou moins - l'écart type est calculé à l'aide d'une formule différente :