Рассмотрим теперь решение примера 3.2.1 в Excel.

Чтобы вычислить корреляцию средствами Excel, можно воспользоваться функцией =коррел (), указав адреса двух столбцов чисел, как показано на рис. 3.2.2. Ответ помещен в D8 и равен 0,816.

Рис. 3.2.2.

(Примечание. Аргументы функции коррел должны быть числами или именами, массивами или ссылками, содержащими числа. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит текст, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако ячейки, которые содержат нулевые значения, учитываются.

Если массив! и массив2 имеют различное количество точек данных, то функция коррел возвращает значение ошибки #н/д.

Если массив1 либо массив2 пуст или если о (стандартное отклонение) их значений равно нулю, то функция коррел возвращает значение ошибки #дел/0 !.)

Критическое значение /-статистики Стьюдента может быть также получено с помощью функции стьюдраспробр 1 пакета Excel. В качестве аргументов функции необходимо задать число степеней свободы, равное п - 2 (в нашем примере 16 - 2= 14) и уровень значимости а (в нашем примере а = 0,1) (рис. 3.2.3). Если фактическое значение /-статистики, взятое по модулю, больше критического, то с вероятностью (1 - а) коэффициент корреляции значимо отличается от нуля.

Рис. 3.2.3. Критическое значение /-статистики равно 1,7613

В Excel входит набор средств анализа данных (так называемый пакет анализа), предназначенный для решения различных статистических задач. Для вычисления матрицы коэффициентов парной корреляции R следует воспользоваться инструментом Корреляция (рис. 3.2.4) и установить параметры анализа в соответствующем диалоговом окне. Ответ будет помещен на новый рабочий лист (рис. 3.2.5).

1 В Excel 2010 название функции стьюдраспробр изменено на стью-

ДЕНТ.ОБР.2Х.

Рис. 3.2.4.

Рис. 3.2.5.

• Основоположниками теории корреляции считаются английские статистики Ф. Гальтон (1822-1911) и К. Пирсон (1857-1936). Термин «корреляция» был заимствован из естествознания и обозначает «соотношение, соответствие». Представление о корреляции как взаимозависимости между случайными переменными величинами лежит воснове математико-статистической теории корреляции.

ВАРИАНТ 5

Изучается зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни от нескольких факторов по данным за 1995 г., представленным в табл. 5.

Таблица 5

Принятые в таблице обозначения:

· Y -- средняя ожидаемая продолжительность жизни при рождении, лет;

· X 1 -- ВВП в паритетах покупательной способности;

· X 2 -- цепные темпы прироста населения, %;

· X 3 -- цепные темпы прироста рабочей силы, %;

· Х 4 -- коэффициент младенческой смертности, %.

Требуется:

1. Составить матрицу парных коэффициентов корреляции между всеми исследуемыми переменными и выявить коллинеарные факторы.

2. Построить уравнение регрессии, не содержащее коллинеарных факторов. Проверить статистическую значимость уравнения и его коэффициентов.

3. Построить уравнение регрессии, содержащее только статистически значимые и информативные факторы. Проверить статистическую значимость уравнения и его коэффициентов.

Пункты 4 -- 6 относятся к уравнению регрессии, построенному при выполнении пункта 3.

4. Оценить качество и точность уравнения регрессии.

5. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов уравнения регрессии и сравнительную оценку силы влияния факторов на результативную переменную Y .

6. Рассчитать прогнозное значение результативной переменной Y , если прогнозные значения факторов составят 75 % от своих максимальных значений. Построить доверительный интервал прогноза фактического значения Y c надежностью 80 %.

Решение. Для решения задачи используется табличный процессор EXCEL.

1. С помощью надстройки «Анализ данных… Корреляция» строим матрицу парных коэффициентов корреляции между всеми исследуемыми переменными (меню «Сервис» «Анализ данных…» «Корреляция»). На рис. 1 изображена панель корреляционного анализа с заполненными полямиДля копирования снимка окна в буфер обмена данных WINDOWS используется комбинация клавиш Alt+Print Screen (на некоторых клавиатурах -- Alt+PrtSc).. Результаты корреляционного анализа приведены в прил. 2 и перенесены в табл. 1.

рис. 1. Панель корреляционного анализа

Таблица 1

Матрица парных коэффициентов корреляции

Анализ межфакторных коэффициентов корреляции показывает, что значение 0,8 превышает по абсолютной величине коэффициент корреляции между парой факторов Х 2 -Х 3 (выделен жирным шрифтом). Факторы Х 2 -Х 3 таким образом, признаются коллинеарными.

2. Как было показано в пункте 1, факторы Х2-Х3 являются коллинеарными, а это означает, что они фактически дублируют друг друга, и их одновременное включение в модель приведет к неправильной интерпретации соответствующих коэффициентов регрессии. Видно, что фактор Х2 имеет больший по модулю коэффициент корреляции с результатом Y, чем фактор Х3: ry,x2=0,72516; ry,x3=0,53397; |ry,x2|>|ry,x3| (см. табл. 1). Это свидетельствует о более сильном влиянии фактора Х2 на изменение Y. Фактор Х3, таким образом, исключается из рассмотрения.

Для построения уравнения регрессии значения используемых переменных (Y , X 1 , X 2 , X 4) скопируем на чистый рабочий лист (прил. 3) . Уравнение регрессии строим с помощью надстройки «Анализ данных… Регрессия » (меню «Сервис» «Анализ данных… » «Регрессия »). Панель регрессионного анализа с заполненными полями изображена на рис. 2 .

Результаты регрессионного анализа приведены в прил. 4 и перенесены в табл. 2 . Уравнение регрессии имеет вид (см. «Коэффициенты» в табл. 2 ):

y = 75.44 + 0.0447 ? x 1 - 0.0453 ? x 2 - 0.24 ? x 4

Уравнение регрессии признается статистически значимым, так как вероятность его случайного формирования в том виде, в котором оно получено, составляет 1.04571?10 -45 (см. «Значимость F» в табл. 2 ), что существенно ниже принятого уровня значимости =0,05.

Вероятность случайного формирования коэффициентов при факторе Х 1 ниже принятого уровня значимости =0,05 (см. «P-Значение» в табл. 2 ), что свидетельствует о статистической значимости коэффициентов и существенном влиянии этих факторов на изменение годовой прибыли Y .

Вероятность случайного формирования коэффициентов при факторах Х 2 и Х 4 превышает принятый уровень значимости =0,05 (см. «P-Значение» в табл. 2 ), и эти коэффициенты не признаются статистически значимыми.

рис. 2. Панель регрессионного анализа модели Y (X 1 ,X 2 ,X 4 )

Таблица 2

Y (X 1 , X 2 , X 4 )

3. По результатам проверки статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии, проведенной в предыдущем пункте, строим новую регрессионную модель, содержащую только информативные факторы, к которым относятся:

· факторы, коэффициенты при которых статистически значимы;

· факторы, у коэффициентов которых t _статистика превышает по модулю единицу (другими словами, абсолютная величина коэффициента больше его стандартной ошибки).

К первой группе относится фактор Х 1 ко второй -- фактор X 4 . Фактор X 2 исключается из рассмотрения как неинформативный, и окончательно регрессионная модель будет содержать факторы X 1 , X 4 .

Для построения уравнения регрессии скопируем на чистый рабочий лист значения используемых переменных (прил. 5) и проведем регрессионный анализ (рис. 3 ). Его результаты приведены в прил. 6 и перенесены в табл. 3 . Уравнение регрессии имеет вид:

y = 75.38278 + 0.044918 ? x 1 - 0.24031 ? x 4

(см. «Коэффициенты» в табл.3 ).

рис. 3. Панель регрессионного анализа модели Y (X 1 , X 4 )

Таблица 3

Результаты регрессионного анализа модели Y (X 1 , X 4 )

Уравнение регрессии статистически значимо: вероятность его случайного формирования ниже допустимого уровня значимости =0,05 (см. «Значимость F» в табл.3 ).

Статистически значимым признается и коэффициент при факторе Х 1 вероятность его случайного формирования ниже допустимого уровня значимости =0,05 (см. «P-Значение» в табл. 3 ). Это свидетельствует о существенном влиянии ВВП в паритетах покупательной способности X 1 на изменение годовой прибыли Y .

Коэффициент при факторе Х 4 (годовой коэффициент младенческой смертности) не является статистически значимым. Однако этот фактор все же можно считать информативным, так как t _статистика его коэффициента превышает по модулю единицу, хотя к дальнейшим выводам относительно фактора Х 4 следует относиться с некоторой долей осторожности.

4. Оценим качество и точность последнего уравнения регрессии, используя некоторые статистические характеристики, полученные в ходе регрессионного анализа (см. «Регрессионную статистику» в табл. 3):

· множественный коэффициент детерминации

R 2 = _ i=1 ____________ =0.946576

R 2 = показывает, что регрессионная модель объясняет 94,7 % вариации средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении Y , причем эта вариация обусловлена изменением включенных в модель регрессии факторов X 1 , X 4 ;

· стандартная ошибка регрессии

показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении Y отличаются от фактических значений в среднем на 2,252208 лет.

Средняя относительная ошибка аппроксимации определяется по приближенной формуле:

E отн?0,8 ? -- ? 100%=0.8 ? 2.252208/66.9 ? 100%?2.7

где тыс. руб. -- среднее значение продолжительности жизни (определено с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ »; прил. 1 ).

Е отн показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения годовой прибыли Y отличаются от фактических значений в среднем на 2,7 %. Модель имеет высокую точность (при -- точность модели высокая, при -- хорошая, при -- удовлетворительная, при -- неудовлетворительная).

5. Для экономической интерпретации коэффициентов уравнения регрессии сведем в таблицу средние значения и стандартные отклонения переменных в исходных данных (табл. 4). Средние значения были определены с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ», стандартные отклонения -- с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН» (см. прил. 1).

Контрольная работа №2

Вариант№5

Задание1. Используя компьютерные технологии, провести корреляционно-регрессионный анализ исследуемых экономических показателей и построить регрессионную модель………………………..…..3

1.1 Построение корреляционного поля ………………………………………4

1.2 Построение матрицы коэффициентов парной корреляции……………6

1.3 Построение и анализ однофакторных регрессионных моделей линейного и экспонентного вида средствами встроенных функций ТП MS Excel…………………………………………………………………………...6

1.4 Построение линейной однофакторной регрессионной модели……….10

1.5 Выводы………………………………………………………………………15

Задание 2. Используя компьютерные технологии, решить задачи линейного программирования……………………………………………….18

а) Задача оптимального планирования производства……………….19

1. Математическую постановку задачи……………………………………..19

2. Размещение на рабочем листе ТП MS Excel исходных данных, расчёт значений ограничений, расчёт значений целевой функции……………...19

3. Формулировка математической модели задачи в терминах ячеек рабочего листа ТП MS Excel…………………………………………………..20

4. Поиск оптимального решения поставленной задачи средствами надстройки «Поиск решения»………………………………………………..20

5. Анализ результатов………………………………………………………….21

б) Задача оптимизации плана перевозок (транспортная задача)…23

1. Математическую постановку задачи……………………………………..23

2. Размещение данных на рабочем листе ТП MS Excel …………………...24

3. Постановка задачи в терминах рабочего листа Excel для использования утилиты «Поиск решения»….…………………………25

4. Анализ результатов………………………………………………………….26

Список использованной литературы………………………………………..28

Задание 1. Используя компьютерные технологии, провести корреляционно-регрессионный анализ исследуемых экономических показателей и построить регрессионную модель.

В качестве инструментария исследования использовать:

Инструменты надстройки Пакет Анализа ТП MS Excel;

Встроенные функции библиотеки Stats (Statistics) CKM Maple.

Условия задания 1:

По выборочным данным исследовать влияние факторов X1, X2 и Х3 на результативный признак Y.

Построить корреляционное поле и сделать предположение о наличии и типе связи между исследуемыми факторами;

Оценив тесноту связи между исследуемыми факторами, построить многофакторную (однофакторную) линейную регрессионную модель вида Y=f(X1,X2 Х3)или вида Y=f(X).

Оценить:

Адекватность уравнения регрессии по значению коэффициента детерминированности R 2 ;

Значимость коэффициентов уравнения регрессии по t- критерию Стьюдента при заданном уровне доверительной вероятности р=0,05;

Степень случайности связи между каждым факторам Х и признаком Y (критерий Фишера);

Зависимость между показателями Х 1 , Х 2 , Х 3 основных фондов и объемом валовой продукции У предприятия одной из отраслей промышленности характеризуется следующими данными:

Вариант 5

Решение задания 1.

Решение задания 1 предполагает.

1. Построение корреляционного поля.

2. Построение матрицы коэффициентов парной корреляции.

3. Построение и анализ однофакторных регрессионных моделей линейного и экспонентного вида средствами встроенных функций ТП MS Excel.

4. Построение линейных однофакторных регрессионных моделей средствами надстройки «Пакет анализа».

5. Выводы.

Построение корреляционного поля.

Разместим таблицу с исходными данными в ячейках A3:D15 рабочего листа Excel.

Используя возможности мастера диаграмм ТП MS Excel, построим корреляционное поле, то есть представим графически связь между результирующим признаком Y и каждым из факторов X. Из графиков видно, что между результирующим признаком Y и каждым из факторов X существует прямо пропорциональная зависимость, приближающаяся к линейной.

.

.

Исследуем тесноту и характер связи между факторами.

Построение матрицы коэффициентов парной корреляции.

Используя надстройку «Пакет анализа» ТП MS Excel (Сервис – Анализ данных – Корреляция), построим матрицу коэффициентов парной корреляции. Окно инструмента «Корреляция» представлено на рисунке 1. Матрица коэффициентов парной корреляции представлена на рисунке 2.

Рис.1. –Окно «Корреляция»

Рис.2. – Матрица коэффициентов парной корреляции.

Из этой матрицы видно, что все рассматриваемые факторы X1 – X3 имеют тесную связь с результативным признаком Y. Кроме того, все факторы Х между собой мультиколлинеарны. Поэтому построение многофакторной модели вида Y=f(Х1,Х2,Х3) невозможно.

Основная задача, стоящая при выборе факторов включаемых в корреляционную модель, заключается в том, чтобы ввести в анализ все основные факторы, влияющие на уровень изучаемого явления. Однако, введение в модель большого числа факторов нецелесообразно, правильнее отобрать только сравнительно небольшое число основных факторов, находящихся предположительно в корреляционной зависимости с выбранным функциональным показателем.

Это можно сделать с помощью так называемого двух стадийного отбора. В соответствии с ним в модель включаются все предварительно отобранные факторы. Затем среди них на основе специальной количественной оценки и дополнительно качественного анализа выявляются несущественно влияющие факторы, которые постепенно отбрасываются пока не останутся те, относительно которых можно утверждать, что имеющийся статистический материал согласуется с гипотезой об их совместном существенном влиянии на зависимую переменную при выбранной форме связи.

Свое наиболее законченное выражение двух стадийный отбор получил в методике так называемого многошагового регрессионного анализа, при котором отсев несущественных факторов происходит на основе показателей их значимости, в частности на основе величины t ф - расчетном значении критерия Стьюдента.

Рассчитаем t ф по найденным коэффициентам парной корреляции и сравним их с t критическим для 5% уровня значимости (двустороннего) и 18 степенями свободы (ν = n-2).

где r – значение коэффициента парной корреляции;

n – число наблюдений (n=20)

При сравнении t ф для каждого коэффициента с t кр = 2,101 получаем, что найденные коэффициенты признаются значимыми, т.к. t ф > t кр.

t ф для r yx 1 = 2, 5599 ;

t ф для r yx 2 = 7,064206 ;

t ф для r yx 3 = 2,40218 ;

t ф для r х1 x 2 = 4,338906 ;

t ф для r х1 x 3 = 15,35065;

t ф для r х2 x 3 = 4,749981

При отборе факторов включаемых в анализ к ним предъявляются специфические требования. Прежде всего, показатели, выражающие эти факторы должны быть количественно измеримы.

Факторы, включаемые в модель, не должны находиться между собой в функциональной или близкой к ней связи. Наличие таких связей характеризуется мультиколлинеарностью.

Мультиколлинеарность свидетельствует о том, что некоторые факторы характеризуют одну и ту же сторону изучаемого явления. Поэтому их одновременное включение в модель нецелесообразно, так как они в определённой степени дублируют друг друга. Если нет особых предположений говорящих в пользу одного из этих факторов, следует отдавать предпочтение тому из них, который характеризуется большим коэффициентом парной (или частной) корреляции.

Считается, что предельным является значение коэффициента корреляции между двумя факторами, равное 0,8.

Мультиколлинеарность обычно приводит к вырождению матрицы переменных и, следовательно, к тому, что главный определитель уменьшает свое значение и в пределе становится близок к нулю. Оценки коэффициентов уравнения регрессии становятся сильно зависимыми от точности нахождения исходных данных и резко изменяют свои значения при изменении количества наблюдений.