විවික්ත ෆූරියර් පරිවර්තනයේ මූලික අංග. ෆූරියර් පරිවර්තනය. සංඛ්යාත වසම තුළ රේඛීය පෙරහන. සංඛ්‍යාත වසම තුළ රූප පෙරීම

ඉඩ f(x 1 , x 2) යනු විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයකි. ඒක මාන ෆූරියර් පරිණාමනය හා සමානව, අපට ද්විමාන ෆූරියර් පරිවර්තනයක් හඳුන්වා දිය හැක:

ω 1, ω 2 ස්ථාවර අගයන්හි ශ්‍රිතය තලයේ තල තරංගයක් විස්තර කරයි. x 1 , x 2 (රූපය 19.1).

ω 1, ω 2 ප්‍රමාණවලට අවකාශීය සංඛ්‍යාත සහ මානය යන අර්ථය ඇත. මි.මී−1 , සහ F(ω 1 , ω 2) ශ්‍රිතය අවකාශීය සංඛ්‍යාතවල වර්ණාවලිය තීරණය කරයි. ගෝලාකාර කාචයකට දෘශ්‍ය සංඥාවක වර්ණාවලිය ගණනය කිරීමේ හැකියාව ඇත (රූපය 19.2). රූප සටහන 19.2 හි, පහත සඳහන් අංක හඳුන්වා දී ඇත: φ - නාභීය දුර,

රූපය 19.1 - අවකාශීය සංඛ්යාතවල නිර්වචනයට

ද්විමාන ෆූරියර් පරිණාමයට ඒකමාන පරිවර්තනයේ සියලුම ගුණාංග ඇත, ඊට අමතරව, අතිරේක ගුණාංග දෙකක් අපි සටහන් කරමු, එහි සාක්ෂිය ද්විමාන ෆූරියර් පරිවර්තනයේ අර්ථ දැක්වීමෙන් පහසුවෙන් අනුගමනය කරයි.

රූපය 19.2 - භාවිතා කරන දෘශ්‍ය සංඥා වර්ණාවලිය ගණනය කිරීම
ගෝලාකාර කාච

සාධකකරණය. ද්විමාන සංඥාවක් සාධකකරණය වී ඇත්නම්,

එවිට එහි වර්ණාවලිය ද සාධකකරණය වේ:

රේඩියල් සමමිතිය. 2D සංඥාව රේඩියල් සමමිතික නම්, එනම්

ශුන්‍ය අනුපිළිවෙල Bessel ශ්‍රිතය කොහෙද. රේඩියල් සමමිතික ද්විමාන සංඥාවක් සහ එහි අවකාශීය වර්ණාවලිය අතර සම්බන්ධය තීරණය කරන සූත්‍රය හැන්කල් පරිවර්තනය ලෙස හැඳින්වේ.

දේශනය 20. විවික්ත ෆූරියර් පරිවර්තනය. අඩු සමත් පෙරහන

සෘජු ද්විමාන විවික්ත ෆූරියර් පරිවර්තනය (DFT) අවකාශීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක ලබා දී ඇති රූපයක් පරිවර්තනය කරයි ( x, y), සංඛ්‍යාත ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ නිශ්චිතව දක්වා ඇති ද්විමාන විවික්ත රූප පරිවර්තනයක් බවට ( u,v):

ප්‍රතිලෝම විවික්ත ෆූරියර් ට්‍රාන්ස්ෆෝම් (IDFT) ආකෘතිය ඇත:

DFT යනු සංකීර්ණ පරිවර්තනයක් බව දැකිය හැකිය. මෙම පරිවර්තනයේ මාපාංකය රූප වර්ණාවලියේ විස්තාරය නියෝජනය කරන අතර DFT හි සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස්වල වර්ගවල එකතුවේ වර්ගමූලය ලෙස ගණනය කෙරේ. අදියර (අදියර මාරු කෝණය) DFT හි මනඃකල්පිත කොටසෙහි සැබෑ කොටසෙහි අනුපාතයෙහි චාප ස්පර්ශක ලෙස අර්ථ දැක්වේ. ශක්ති වර්ණාවලිය වර්ණාවලියේ විස්තාරයේ වර්ග හෝ වර්ණාවලියේ මනඃකල්පිත හා සැබෑ කොටස්වල වර්ගවල එකතුවට සමාන වේ.

Convolution theorem

පරිවර්තන ප්‍රමේයයට අනුව, අභ්‍යවකාශ වසමෙහි ශ්‍රිත දෙකක සංකෝචනය ඔවුන්ගේ DFT හි නිෂ්පාදනයේ ODFT මගින් ලබා ගත හැක, i.e.

සංඛ්‍යාත වසම තුළ පෙරීම මඟින් ඔබට අවශ්‍ය රූප පරිවර්තනය ලබා දෙමින් රූපයේ DFT වෙතින් ෆිල්ටරයේ සංඛ්‍යාත ප්‍රතිචාරය තෝරා ගැනීමට ඉඩ සලසයි. වඩාත් පොදු පෙරහන් වල සංඛ්යාත ප්රතිචාරය සලකා බලන්න.

රූප රේඛීය පෙරීම අවකාශීය සහ සංඛ්‍යාත වසම් දෙකෙහිම සිදු කළ හැක. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, "අඩු" අවකාශීය සංඛ්යාත රූපයේ ප්රධාන අන්තර්ගතයට අනුරූප වන බව සලකනු ලැබේ - පසුබිම සහ විශාල ප්රමාණයේ වස්තූන්, සහ "ඉහළ" අවකාශීය සංඛ්යාත - කුඩා ප්රමාණයේ වස්තූන්, විශාල හැඩතලවල කුඩා විස්තර සහ ශබ්දය. සංරචකය.

සම්ප්‍රදායිකව, අවකාශීය සංඛ්‍යාත කලාපයට යාමට $\textit(Fourier Transform)$ මත පදනම් වූ ක්‍රම භාවිතා වේ. මෑත වසරවලදී, $\textit(wavelet-transform (wavelet-transform))$ මත පදනම් වූ ක්‍රම ද වැඩිවන භාවිතයක් සොයාගෙන ඇත.

ෆූරියර් පරිවර්තනය.

ෆූරියර් පරිවර්තනය මඟින් ඔබට සයින් සහ කොසයින් වැනි ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල එකතුවක් ලෙස ඕනෑම ශ්‍රිතයක් හෝ දත්ත කට්ටලයක් නියෝජනය කිරීමට ඉඩ සලසයි, එමඟින් දත්තවල ආවර්තිතා සංරචක හඳුනා ගැනීමට සහ මුල් දත්තවල ව්‍යුහයට හෝ හැඩයට ඒවායේ දායකත්වය ඇගයීමට ඉඩ සලසයි. කාර්යය. සම්ප්‍රදායිකව, ෆූරියර් පරිණාමයේ ප්‍රධාන ආකාර තුනක් ඇත: අනුකලිත ෆූරියර් පරිවර්තනය, ෆූරියර් ශ්‍රේණිය සහ විවික්ත ෆූරියර් පරිවර්තනය.

අනුකලිත ෆූරියර් පරිවර්තනය සැබෑ ශ්‍රිතයක් සැබෑ ශ්‍රිත යුගලයක් බවට හෝ එක් සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක් තවත් එකක් බවට පරිවර්තනය කරයි.

සත්‍ය ශ්‍රිතය $f(x)$ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල විකලාංග පද්ධතියක් අනුව ප්‍රසාරණය කළ හැක, එනම් එය මෙසේ නිරූපණය කළ හැක.

$$ f\left(x \right)=\int\limits_0^\infty (A\left(\omega \right)) \cos \left((2\pi \omega x) \right)d\omega -\ int\limits_0^\infty (B\left(\omega \right)) \sin \left((2\pi \omega x) \right)d\omega , $$

මෙහි $A(\omega)$ සහ $B(\omega)$ අනුකලිත කෝසයින් සහ සයින් පරිවර්තන ලෙස හැඳින්වේ.

$$ A\left(\omega \right)=2\int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (f\left(x \right)) \cos \left((2\pi \omega x )\දකුණ)dx; \quad B\left(\omega \right)=2\int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (f\left(x \right)) \sin \left((2\pi \omega x )\දකුණ)dx. $$

ෆූරියර් ශ්‍රේණිය සයින් සහ කොසයිනවල අසීමිත ශ්‍රේණියක් ලෙස $$ අන්තරයේ අර්ථ දක්වා ඇති $f(x)$ ආවර්තිතා ශ්‍රිතය නියෝජනය කරයි. එනම් $f(x)$ ආවර්තිතා ශ්‍රිතය ෆූරියර් සංගුණකවල අසීමිත අනුපිළිවෙලක් සමඟ සම්බන්ධ වේ.

$$ f\left(x \right)=\frac(A_0 )(2)+\sum\limits_(n=1)^\infty (A_n ) \cos \left((\frac(2\pi xn)( b-a)) \දකුණ)+\ එකතුව\සීමා_(n=1)^\infty (B_n \sin \left((\frac(2\pi xn)(b-a)) \right)) , $$

$$ A_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \right)) \cos \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \right)dx ; \quad B_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \right)) \sin \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \right)dx . $$

විවික්ත ෆූරියර් පරිවර්තනය තාත්වික සංඛ්‍යාවල පරිමිත අනුක්‍රමයක් ෆූරියර් සංගුණකවල පරිමිත අනුක්‍රමයක් බවට පරිවර්තනය කරයි.

$\left\( (x_i ) \right\), i= 0,\ldots, N-1 $ තාත්වික සංඛ්‍යා අනුපිළිවෙලක් වීමට ඉඩ දෙන්න - උදාහරණයක් ලෙස, රූප රේඛාවක් ඔස්සේ පික්සල් දීප්තිය කියවීම. මෙම අනුපිළිවෙල ආකෘතියේ සීමිත එකතුවක් ලෙස දැක්විය හැක

$$ x_i =a_0 +\sum\limits_(n=1)^(N/2) (a_n ) \cos \left((\frac(2\pi ni)(N)) \දකුණ)+\sum\සීමා_ (n=1)^(N/2) (b_n \sin \left((\frac(2\pi ni)(N)) \right)) , $$

$$ a_0 =\frac(1)(N)\sum\සීමා_(i=0)^(N-1) (x_i ) , \quad a_(N/2) =\frac(1)(N)\sum \limits_(i=0)^(N-1) (x_i ) \left((-1) \right)^i, \quad a_k =\frac(2)(N)\sum\සීමා_(i=0) ^(N-1) (x_i \cos \left((\frac(2\pi ik)(N)) \දකුණ)), $$

$$ b_k =\frac(2)(N)\sum\සීමා_(i=0)^(N-1) (x_i \sin \left((\frac(2\pi ik)(N)) \දකුණ) ), \quad i\le k

ෆූරියර් පරිණාමයේ ආකාර තුන අතර ඇති ප්‍රධාන වෙනස නම්, $f(x)$ ශ්‍රිතයේ සම්පූර්ණ වසම පුරා අනුකලිත ෆූරියර් පරිණාමනය නිර්වචනය කරන්නේ නම්, ශ්‍රේණිය සහ විවික්ත ෆූරියර් පරිණාමය නිර්වචනය කරනු ලබන්නේ විවික්ත කට්ටලයක් මත පමණි. ලකුණු, ෆූරියර් මාලාව සඳහා අසීමිත වන අතර විවික්ත පරිවර්තනයන් සඳහා සීමිත වේ.

ෆූරියර් පරිවර්තනයේ නිර්වචනවලින් දැකිය හැකි පරිදි, ඩිජිටල් සංඥා සැකසුම් පද්ධති සඳහා විශාලතම උනන්දුව වන්නේ විවික්ත ෆූරියර් පරිවර්තනයයි. ඩිජිටල් මාධ්‍ය හෝ තොරතුරු මූලාශ්‍රවලින් ලබාගත් දත්ත දෛශික හෝ න්‍යාස ලෙස ලියා ඇති සංඛ්‍යා කට්ටල ඇණවුම් කර ඇත.

විවික්ත පරිවර්තනයක් සඳහා ආදාන දත්ත $\Delta $ පියවරක් සහිත ඒකාකාර නියැදියක් බව සාමාන්‍යයෙන් උපකල්පනය කෙරේ, $T=N\Delta $ අගය වාර්තාවේ දිග හෝ ප්‍රධාන කාල සීමාව ලෙස හැඳින්වේ. මූලික සංඛ්‍යාතය $1/T$ ට සමාන වේ. මේ අනුව, විවික්ත ෆූරියර් පරිවර්තනයේදී, ආදාන දත්ත මූලික සංඛ්‍යාතයේ පූර්ණ සංඛ්‍යා ගුණාකාරයක් වන සංඛ්‍යාතවලට වියෝජනය වේ. ආදාන දත්තවල මානය මගින් තීරණය කරනු ලබන උපරිම සංඛ්‍යාතය $1/2 \Delta $ ට සමාන වන අතර එය $\it(Nyquist සංඛ්‍යාතය)$ ලෙස හැඳින්වේ. විවික්ත පරිවර්තනයක් භාවිතා කරන විට Nyquist සංඛ්යාතය සඳහා ගිණුම්කරණය අත්යවශ්ය වේ. ආදාන දත්තවල Nyquist සංඛ්‍යාතය ඉක්මවන සංඛ්‍යාත සහිත ආවර්තිතා සංරචක තිබේ නම්, විවික්ත ෆූරියර් පරිණාමනය ගණනය කිරීමේදී, අධි-සංඛ්‍යාත දත්ත අඩු සංඛ්‍යාතයකින් ප්‍රතිස්ථාපනය වේ, එය විවික්ත පරිවර්තනයේ ප්‍රතිඵල අර්ථකථනය කිරීමේදී දෝෂ ඇති විය හැක.

දත්ත විශ්ලේෂණය සඳහා වැදගත් මෙවලමක් ද $\it(ශක්ති වර්ණාවලිය)$ වේ. $\omega $ සංඛ්යාතයේ සංඥා ශක්තිය පහත පරිදි තීරණය වේ:

$$ P \left(\omega \right)=\frac(1)(2)\left((A \left(\omega \right)^2+B \left(\omega \right)^2) \දකුණ ) $$

මෙම අගය බොහෝ විට $\omega $ සංඛ්‍යාතයේදී $\it(සංඥා ශක්තිය)$ ලෙස හැඳින්වේ. Parseval ප්‍රමේයයට අනුව, ආදාන සංඥාවේ සම්පූර්ණ ශක්තිය සියලු සංඛ්‍යාතවල ශක්ති එකතුවට සමාන වේ.

$$ E=\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i^2 ) =\sum\limits_(i=0)^(N/2) (P \left((\omega _i ) \දකුණ)) . $$

සංඛ්‍යාතයට එදිරිව බලයේ කුමන්ත්‍රණයක් ශක්ති වර්ණාවලියක් හෝ බල වර්ණාවලියක් ලෙස හැඳින්වේ. බලශක්ති වර්ණාවලිය මඟින් ආදාන දත්තවල සැඟවුණු ආවර්තිතා හෙළි කිරීමටත්, ආදාන දත්තවල ව්‍යුහයට ඇතැම් සංඛ්‍යාත සංරචකවල දායකත්වය ඇගයීමටත් හැකි වේ.

ෆූරියර් පරිවර්තනයේ සංකීර්ණ නිරූපණය.

විවික්ත ෆූරියර් පරිවර්තනයේ ත්‍රිකෝණමිතික ස්වරූපයට අමතරව, $\it(සංකීර්ණ නියෝජනය)$ බහුලව භාවිතා වේ. ෆූරියර් පරිණාමනයේ සංකීර්ණ ස්වරූපය බහු විචල්‍ය විශ්ලේෂණයේ සහ විශේෂයෙන් රූප සැකසීමේදී බහුලව භාවිතා වේ.

ත්‍රිකෝණමිතික සිට සංකීර්ණ ස්වරූපය දක්වා සංක්‍රමණය සිදු කරනු ලබන්නේ ඉයුලර් සූත්‍රයේ පදනම මතය

$$ e^(j\omega t)=\cos \omega t+j\sin \omega t, \quad j=\sqrt (-1) . $$

ආදාන අනුක්‍රමය $N$ සංකීර්ණ සංඛ්‍යා නම්, එහි විවික්ත ෆූරියර් පරිවර්තනය වනු ඇත

$$ G_m =\frac(1)(N)\sum\සීමා_(n=1)^(N-1) (x_n ) e^(\frac(-2\pi jmn)(N)), $$

සහ ප්රතිලෝම පරිවර්තනය

$$ x_m =\sum\සීමා_(n=1)^(N-1) (G_n ) e^(\frac(2\pi jmn)(N)). $$

ආදාන අනුක්‍රමය තාත්වික සංඛ්‍යා අරාවක් නම්, ඒ සඳහා සංකීර්ණ සහ සයින්-කොසයින් විවික්ත පරිවර්තනයක් ඇත. මෙම නිරූපණයන්ගේ සම්බන්ධතාවය පහත පරිදි ප්‍රකාශ වේ:

$$ a_0 =G_0 , \quad G_k =\left((a_k -jb_k) \right)/2, \quad 1\le k\le N/2; $$

පරිවර්තනයේ ඉතිරි $N/2$ අගයන් සංකීර්ණ සංයුක්ත වන අතර අමතර තොරතුරු නොමැත. එබැවින්, විවික්ත ෆූරියර් පරිවර්තකයේ බල වර්ණාවලියේ ප්‍රස්ථාරය $N/2$ ට සාපේක්ෂව සමමිතික වේ.

වේගවත් ෆූරියර් පරිවර්තනය.

Discrete Fourier Transform (DFT) ගණනය කිරීමේ සරලම ක්‍රමය සෘජු සමාකලනය වන අතර, එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස සංගුණකයකට $N$ ක්‍රියා කරයි. මුළු $N$ සංගුණක ඇත, එබැවින් සම්පූර්ණ සංකීර්ණත්වය $O\වම ((N^2) \දකුණ)$ වේ. $O (N\log N)$ සංකීර්ණතාවක් ඇති වේගවත් ෆූරියර් පරිණාමනය (FFT) ලෙස හැඳින්වෙන DFT ගණනය කිරීමට වඩා කාර්යක්ෂම ක්‍රම ඇති බැවින් මෙම ප්‍රවේශය ප්‍රායෝගික උනන්දුවක් නොදක්වයි. FFT අදාළ වන්නේ 2 බලයක ගුණාකාරයක් වන දිග (මූලද්‍රව්‍ය ගණන) ඇති අනුපිළිවෙලට පමණි. FFT ඇල්ගොරිතම පිටුපස ඇති වඩාත් පොදු මූලධර්මය වන්නේ ආදාන අනුක්‍රමය අර්ධ-දිග අනුපිළිවෙල දෙකකට බෙදීමයි. පළමු අනුක්‍රමය ඉරට්ටේ සංඛ්‍යා දත්ත වලින් පුරවා ඇති අතර දෙවන අනුක්‍රමය ඔත්තේ සංඛ්‍යා දත්ත වලින් පුරවා ඇත. මෙමගින් $N/2$ පරිවර්තන දෙකක් හරහා DFT සංගුණක ගණනය කිරීමට හැකි වේ.

$\omega _m =e^(\frac(2\pi j)(m))$ දක්වන්න, ඉන්පසු $G_m =\sum\සීමා_(n=1)^((N/2)-1) (x_(2n) ) ) \omega _(N/2)^(mn) +\sum\සීමා_(n=1)^((N/2)-1) (x_(2n+1) ) \omega _(N/2) ^(mn) \omega _N^m $.

$m සඳහා< N/2$ тогда можно записать $G_m =G_{\textrm{even}} \left(m \right)+G_{\textrm{odd}} \left(m \right)\omega _N^m $. Учитывая, что элементы ДПФ с индексом б ольшим, чем $N/2$, являются комплексно сопряженными к элементам с индексами меньшими $N/2$, можно записать $G_{m+(N/2)} =G_{\textrm{even}} \left(m \right)-G_{\textrm{odd}} \left(m \right)\omega _N^m $. Таким образом, можно вычислить БПФ длиной $N$, используя два ДПФ длиной $N/2$. Полный алгоритм БПФ заключается в рекурсивном выполнении вышеописанной процедуры, начиная с объединения одиночных элементов в пары, затем в четверки и так до полного охвата исходного массива данных.

ද්විමාන ෆූරියර් පරිවර්තනය.

$M\times N$ සංඛ්‍යාවල ද්විමාන අරාවක් සඳහා වූ විවික්ත ෆූරියර් පරිවර්තනය පහත පරිදි අර්ථ දක්වා ඇත:

$$ G_(uw) =\frac(1)(NM)\sum\සීමා_(n=1)^(N-1) (\sum\limits_(m=1)^(M-1) (x_(mn) ) ) e^((-2\pi j\left[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \right]) ), $$

සහ ප්රතිලෝම පරිවර්තනය

$$ x_(mn) =\sum\සීමා_(u=1)^(N-1) (\sum\limits_(w=1)^(M-1) (G_(uw) ) e^(2 \pi j\left[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \right]) ). $$

රූප සැකසීමේදී, 2D ෆූරියර් පරිවර්තන සංරචක $\textit(අවකාශීය සංඛ්‍යාත)$ ලෙස හැඳින්වේ.

ද්විමාන ෆූරියර් පරිවර්තනයේ වැදගත් ගුණාංගයක් වන්නේ ඒක මාන FFT ක්‍රියා පටිපාටිය භාවිතා කර එය ගණනය කිරීමේ හැකියාවයි:

$$ G_(uw) =\frac(1)(N)\sum\සීමා_(n=1)^(N-1) ( \left[ (\frac(1)(M)\sum\limits_(m= 0)^(M-1) (x_(mn) e^(\frac(-2\pi jmw)(M))) \right] ) e^(\frac(-2\pi jnu)(N) ), $$

මෙහි වර්ග වරහන් වල ප්‍රකාශනය දත්ත න්‍යාසයේ ඒකමාන පේළි පරිවර්තනයකි, එය ඒකමාන FFT සමඟ සිදු කළ හැක. මේ අනුව, ද්විමාන ෆූරියර් පරිවර්තනයක් ලබා ගැනීම සඳහා, ප්රථමයෙන් එක්-මාන පේළි පරිවර්තන ගණනය කිරීම, මුල් න්යාසයට ප්රතිඵල ලිවීම සහ ප්රතිඵලය වන න්යාසයේ තීරු සඳහා ඒක-මාන පරිවර්තන ගණනය කිරීම කළ යුතුය. ද්විමාන ෆූරියර් පරිවර්තනය ගණනය කිරීමේදී, ලැබුණු තොරතුරු තවදුරටත් සැකසීම සඳහා ඉතා පහසු නොවන අනුකෘතියේ කොන් වල අඩු සංඛ්‍යාත සංකේන්ද්‍රණය වේ. න්‍යාසයේ මධ්‍යයේ අඩු සංඛ්‍යාත සංකේන්ද්‍රණය වී ඇති ද්විමාන ෆූරියර් පරිණාමනයක නිරූපණය පරිවර්තනය කිරීම සඳහා, ඔබට සරල ක්‍රියා පටිපාටියක් සිදු කළ හැකිය, එය මුල් දත්ත $-1^(m+n)$ කින් ගුණ කිරීම සමන්විත වේ. .

අත්තික්කා මත. 16 මුල් රූපය සහ එහි ෆූරියර් පරිවර්තනය පෙන්වයි.

අළු පරිමාණ රූපය සහ එහි ෆූරියර් රූපය (LabVIEW පද්ධතියෙන් ලබාගත් පින්තූර)

ෆූරියර් ට්‍රාන්ස්ෆෝමරය භාවිතා කරමින් Convolution.

$s(t)$ සහ $r(t)$ යන ශ්‍රිතවල සංකලනය ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත

$$ s\ast r\cong r\ast s\cong \int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (s(\tau)) r(t-\tau)d\tau . $$

ප්‍රායෝගිකව, කෙනෙකුට විවික්ත කැළඹීමක් සමඟ කටයුතු කිරීමට සිදුවේ, එහි අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයන් ඒකාකාර ජාලයක නෝඩ් වල අගයන් කට්ටල මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය වේ (සාමාන්‍යයෙන් පූර්ණ සංඛ්‍යා ජාලයක් ගනු ලැබේ):

$$ (r\ast s)_j \cong \sum\limits_(k=-N)^P (s_(j-k) r_k ). $$

මෙහි $-N$ සහ $P$ $r(t) = 0$ ඉක්මවා යන පරාසයක් නිර්වචනය කරයි.

ෆූරියර් ට්‍රාන්ස්ෆෝමරය භාවිතයෙන් සංකෝචනය ගණනය කිරීමේදී, ෆූරියර් පරිණාමනයේ ගුණය භාවිතා කරනු ලබන අතර, ඒ අනුව සංඛ්‍යාත වසමෙහි ශ්‍රිතවල රූපවල ගුණිතය කාල වසම තුළ මෙම ශ්‍රිතවල සංකෝචනයට සමාන වේ.

ප්රතිසන්ධානය ගණනය කිරීම සඳහා, මුල් දත්ත සංඛ්යාත වසම බවට පරිවර්තනය කිරීම අවශ්ය වේ, එනම්, ඒවායේ ෆූරියර් පරිවර්තනය ගණනය කිරීම, පරිවර්තනයේ ප්රතිඵල ගුණ කිරීම සහ ප්රතිලෝම ෆූරියර් පරිවර්තනය සිදු කිරීම, මුල් නිරූපණය ප්රතිෂ්ඨාපනය කිරීම.

ඇල්ගොරිතමයේ ක්‍රියාකාරිත්වයේ ඇති එකම සියුම්කම සම්බන්ධ වන්නේ විවික්ත ෆූරියර් පරිණාමනයකදී (අඛණ්ඩ එකකට ප්‍රතිවිරුද්ධව), ආවර්තිතා ශ්‍රිත දෙකක් සංකෝචනය වීම, එනම් අපගේ අගයන් කට්ටල නියම කරයි හරියටම මෙම ශ්‍රිතවල කාල පරිච්ඡේද, සහ අක්ෂයේ යම් වෙනම කොටසක අගයන් පමණක් නොවේ. එනම්, ඇල්ගොරිතම සලකනු ලබන්නේ $x_(N )$ ලක්ෂ්‍යයට පසුව ශුන්‍ය නොව $x_(0)$ යන ලක්ෂ්‍යය, යනාදී ලෙස රවුමක ය. එබැවින්, සංකෝචනය නිවැරදිව ගණනය කිරීම සඳහා, සංඥාවට ප්රමාණවත් තරම් දිගු ශුන්ය අනුපිළිවෙලක් පැවරීම අවශ්ය වේ.

සංඛ්‍යාත වසම තුළ රූප පෙරීම.

වේගවත් පරිවර්තන ඇල්ගොරිතම සහ වර්ණාවලි විශ්ලේෂණය මත පදනම් වූ කාර්යක්ෂම පරිගණක යෝජනා ක්‍රම සංවර්ධනය කර ඇති හොඳින් ව්‍යුහගත ක්‍රම අතර රේඛීය පෙරීමේ ක්‍රම වේ. සාමාන්යයෙන්, රේඛීය පෙරහන ඇල්ගොරිතම ආකෘති පත්රයේ පරිවර්තනයක් සිදු කරයි

$$ f"(x,y) = \int\int f(\zeta -x, \eta -y)K (\zeta , \eta) d \zeta d \eta , $$

මෙහි $K(\zeta ,\eta)$ යනු රේඛීය පරිවර්තනයේ කර්නලය වේ.

සංඥාවේ විවික්ත නිරූපණයක් සමඟින්, මෙම සූත්‍රයේ ඇති අනුකලනය යම් විවරයක් තුළ මුල් රූපයේ බරැති සාම්පල එකතුවක් බවට පිරිහී යයි. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, එක් හෝ තවත් ප්‍රශස්තතා නිර්ණායකයකට අනුකූලව $K(\zeta ,\eta)$ කර්නලය තෝරා ගැනීම ප්‍රයෝජනවත් ගුණාංග ගණනාවකට හේතු විය හැක (රූපයක සංඛ්‍යාත්මක අවකලනය පිළිබඳ ගැටළුව විධිමත් කිරීමේදී Gaussian සුමටනය , ආදිය).

සංඛ්යාත වසම තුළ රේඛීය සැකසුම් ක්රම වඩාත් ඵලදායී ලෙස ක්රියාත්මක වේ.

පෙරහන් මෙහෙයුම් සිදු කිරීම සඳහා රූපයේ ෆූරියර් රූපය භාවිතා කිරීම මූලික වශයෙන් එවැනි මෙහෙයුම්වල ඉහළ කාර්ය සාධනය නිසාය. රීතියක් ලෙස, සෘජු හා ප්‍රතිලෝම ද්විමාන ෆූරියර් පරිවර්තනය සිදු කිරීම සහ පෙරනයේ ෆූරියර් රූපයේ සංගුණක මගින් ගුණ කිරීම මුල් රූපයේ ද්විමාන සංවෘත කිරීමට වඩා අඩු කාලයක් ගතවේ.

සංඛ්‍යාත වසමෙහි පෙරීමේ ඇල්ගොරිතම පදනම් වී ඇත්තේ සංකෝචන ප්‍රමේය මතය. ද්විමාන අවස්ථාවෙහිදී, පරිවර්තන පරිවර්තනය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:

$$ G\left((u,v) \right)=H\left((u,v) \right)F\left((u,v) \right), $$

මෙහි $G$ යනු පරිවර්තන ප්‍රතිඵලයේ ෆූරියර් පරිණාමය වන අතර $H$ යනු පෙරනයේ ෆූරියර් පරිණාමය වන අතර $F$ යනු මුල් රූපයේ ෆූරියර් පරිණාමය වේ. එනම්, සංඛ්‍යාත වසමෙහි, ද්විමාන සංකෝචනය මුල් රූපයේ සහ අනුරූප පෙරහනෙහි මූලද්‍රව්‍ය අනුව ගුණ කිරීම මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය වේ.

පෙරළීම සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ පහත සඳහන් දෑ කළ යුතුය:

1. ෆූරියර් රූපය මධ්‍යගත කිරීමට මුල් රූපයේ මූලද්‍රව්‍ය $-1^(m+n)$ මගින් ගුණ කරන්න.
2. FFT භාවිතයෙන් $F(u,v)$ හි ෆූරියර් පරිවර්තනය ගණනය කරන්න.
3. $H(u,v)$ පෙරහනෙහි සංඛ්‍යාත ශ්‍රිතයෙන් $F(u,v)$ හි ෆූරියර් පරිණාමනය ගුණ කරන්න.
4. ප්රතිලෝම ෆූරියර් පරිවර්තනය ගණනය කරන්න.
5. ප්‍රතිලෝම පරිවර්තනයේ සැබෑ කොටස $-1^(m+n)$ වලින් ගුණ කරන්න.

සංඛ්‍යාත වසමේ පෙරහන් ශ්‍රිතය සහ අවකාශීය වසම අතර සම්බන්ධය convolution theorem භාවිතයෙන් තීරණය කළ හැක.

$$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \right)H\left((( u,v) \දකුණ), $$

$$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \right)h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \right)\ast H\left((( u,v)\දකුණ). $$

ආවේග ශ්‍රිතයක් සහිත ශ්‍රිතයක සංකෝචනය පහත පරිදි නිරූපණය කළ හැක.

$$ \sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (s\left((x,y) \right)) ) \delta \left((x-x_0 , y-y_0 ) \right)=s(x_0 ,y_0). $$

ආවේග ශ්‍රිතයේ ෆූරියර් පරිවර්තනය

$$ F\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)\sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (\delta \ වම්((x,y) \දකුණ) ) e^( (-2\pi j\left(\frac(ux)(M)+\frac(vy)(N)) \right)) ) =\ frac(1)(MN). $$

$f(x,y) = \delta (x,y)$, පසුව සංකලනය කරමු

$$ f\left((x,y) \right)\ast h(x,y)=\frac(1)(MN)h\left((x,y) \right), $$

$$ \Phi \left[ (\delta \left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=\Phi \left[ (\delta \left((x,y) \right)) \right]H\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)H\left((u,v) \right). $$

ෆූරියර් පරිවර්තනය හරහා සංඛ්‍යාතයේ සහ අවකාශීය වසම්වල පෙරහන් ක්‍රියාකාරීත්වය අන්තර් සම්බන්ධිත බව මෙම ප්‍රකාශනවලින් දැකගත හැකිය. ලබා දී ඇති සංඛ්‍යාත වසම් පෙරහන් ශ්‍රිතයක් සඳහා, ප්‍රතිලෝම ෆූරියර් පරිවර්තනය යෙදීමෙන් ඔබට සැමවිටම අනුරූප අවකාශීය වසම් පෙරහන සොයාගත හැක. ප්‍රතිලෝම නඩුව සඳහාද එයම වේ. මෙම සම්බන්ධතාවය භාවිතා කරමින්, අවකාශීය රේඛීය පෙරහන් සංශ්ලේෂණය සඳහා ක්රියා පටිපාටිය තීරණය කළ හැකිය.

1. සංඛ්යාත වසමෙහි පෙරහනෙහි අවශ්ය ලක්ෂණ (හැඩය) අපි තීරණය කරමු.
2. අපි ප්රතිලෝම ෆූරියර් පරිවර්තනය සිදු කරන්නෙමු.
3. ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන ෆිල්ටරය අවකාශීය සංකෝචනය සඳහා වෙස් මුහුණක් ලෙස භාවිතා කළ හැකි අතර, මුල් පෙරනයේ ප්‍රමාණයට සාපේක්ෂව වෙස් මුහුණේ ප්‍රමාණය අඩු කළ හැක.

($\textit(Ideal low-pass filter)$) $H(u,v)$ යනු $$H(u,v) = 1, \quad \mbox(if )D(u,v)< D_0 ,$$ $$H(u,v) = 0, \quad \mbox{если }D(u,v) \ge D_0 ,$$ где $D\left({u,v} \right)=\sqrt {\left({u-\frac{M}{2}} \right)^2+\left({v-\frac{N}{2}} \right)^2}$ - расстояние от центра частотной плоскости.

($\textit(Ideal high-pass filter)$) ලබාගන්නේ කදිම පහත් පෙරහන ප්‍රතිලෝම කිරීමෙනි:

$$ H"(u,v) = 1-H(u,v). $$

මෙහිදී, අධි-සංඛ්‍යාත ඒවා පවත්වා ගනිමින් අඩු සංඛ්‍යාත සංරචක සම්පූර්ණයෙන්ම යටපත් වේ. කෙසේ වෙතත්, පරමාදර්ශී පහත් පෙරහනක මෙන්, එහි භාවිතය සැලකිය යුතු විකෘතියක පෙනුමෙන් පිරී ඇත.

අවම විකෘතියක් සහිත පෙරහන් සැලසුම් කිරීම සඳහා විවිධ ප්රවේශයන් භාවිතා කරනු ලැබේ. ඒවායින් එකක් වන්නේ ඝාතක පාදක පෙරහන් සංස්ලේෂණයයි. එවැනි පෙරහන් මඟින් ලැබෙන රූපයට අවම විකෘතියක් හඳුන්වා දෙන අතර සංඛ්‍යාත වසම තුළ සංශ්ලේෂණය සඳහා පහසු වේ.

රූප සැකසීමේදී බහුලව භාවිතා වන්නේ සැබෑ Gaussian ශ්‍රිතය මත පදනම් වූ පෙරහන් පවුලකි.

$\textit(Low Pass Gaussian Filter)$ පෝරමය ඇත

$$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma Ae^(-2\left((\pi \sigma x) \right)^2) \mbox( සහ ) H\left( u \right)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma ^2)) $$

සංඛ්‍යාත වසමෙහි පෙරහන් පැතිකඩ පටු වන තරමට (විශාල $\sigma $), අවකාශීය වසමෙහි එය පුළුල් වේ.

($\textit(High Pass Gaussian Filter)$) පෝරමය ඇත

$$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma _A Ae^(-2\left((\pi \sigma _A x) \right)^2)-\sqrt (2\pi ) \sigma _B Be^(-2\left((\pi \sigma _B x) \right)^2 ), $$

$$ H\left(u \right)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma _A^2 ))-Be^(-\frac(u^2)(2\sigma _B^2 )) $$

ද්විමාන අවස්ථාවෙහි ($\it(low-pass)$) Gaussian ෆිල්ටරය මේ ආකාරයට පෙනේ:

$$ H\left((u,v) \right)=e^(-\frac(D^2\left((u,v) \right))(2D_0^2 )). $$

($\it(Hig-Pass)$) Gaussian ෆිල්ටරයේ පෝරමය ඇත

$$ H\left((u,v) \right)=1-e^(-\frac(D^2\left((u,v) \right))(2D_0^2 )). $$

සංඛ්යාත වසමෙහි (රූපය 17 - 22) රූප පෙරීම (රූපය 1) පිළිබඳ උදාහරණයක් සලකා බලන්න. රූපයක සංඛ්‍යාත පෙරීම සුමට කිරීම ($\textit(අඩු-පාස් පෙරීම)$) සහ සමෝච්ඡයන් සහ කුඩා ප්‍රමාණයේ වස්තූන් ($\textit(high-pass filtering)$) උද්දීපනය කිරීම සඳහා යන දෙකම අර්ථවත් කළ හැකි බව සලකන්න.

අත්තික්කා වලින් දැකිය හැකි පරිදි. 17, 19, රූපයේ අඩු-සංඛ්‍යාත සංරචකයේ පෙරීමේ "බලය" වැඩි වන විට, රූපයේ "පෙනෙන නාභිගත කිරීමේ" හෝ $\it(blur)$ හි බලපෑම වඩාත් ප්‍රකාශ වේ. ඒ අතරම, රූපයේ තොරතුරු අන්තර්ගතයේ විශාල කොටසක් ක්රමයෙන් ඉහළ සංඛ්යාත සංරචකය තුළට ගමන් කරයි, ආරම්භයේ දී වස්තූන්ගේ සමෝච්ඡයන් පමණක් නිරීක්ෂණය කරනු ලැබේ (රූපය 18, 20 - 22).

රූපයේ (රූපය 7) ආකලන Gaussian ඝෝෂාව ඉදිරිපිටදී අපි දැන් high-pass සහ low-pass පෙරහන් (රූපය 23 - 28) හැසිරීම සලකා බලමු.

අත්තික්කා වලින් දැකිය හැකි පරිදි. 23, 25, ආකලන අහඹු ශබ්දය යටපත් කිරීමේදී අඩු සංඛ්‍යාත පෙරහන් වල ගුණාංග කලින් සලකා බැලූ රේඛීය පෙරහන් වල ගුණාංග වලට සමාන වේ - ප්‍රමාණවත් පෙරහන් බලයක් සහිතව, ශබ්දය යටපත් වේ, නමුත් මේ සඳහා මිල සමෝච්ඡයන් දැඩි ලෙස බොඳ කිරීමකි. සම්පූර්ණ රූපය "ඩිෆෝස් කිරීම". ඝෝෂාකාරී රූපයක අධි-සංඛ්‍යාත සංරචකය තොරතුරු සැපයීම නවත්වයි, මන්ද සමෝච්ඡය සහ වස්තු තොරතුරු වලට අමතරව, ශබ්දය සංරචකය ද දැන් එහි සම්පූර්ණයෙන්ම පවතී (රූපය 27, 28).

ශබ්ද ක්‍රියාවලියේ සංඛ්‍යාන ආකෘතිය සහ/හෝ රූප සම්ප්‍රේෂණ නාලිකාවේ දෘෂ්‍ය හුවමාරු ශ්‍රිතය දන්නා විට සංඛ්‍යාත ක්‍රම භාවිතය වඩාත් සුදුසු වේ. ප්‍රතිස්ථාපන පෙරහනක් ලෙස පහත පෝරමයේ සාමාන්‍යකරණය කළ හැකි ($\sigma$ සහ $\mu$ යන පරාමිති අනුව) පෙරහනක් තෝරා ගැනීමෙන් එවැනි පූර්ව දත්තයන් සැලකිල්ලට ගැනීම පහසු වේ:

$$ F(w_1,w_2)= \left[ ( \frac (1) (P(w_1,w_2))\right] \cdot \left[ (\frac (\vert P(w_1,w_2) \vert )^2) (\vert P(w_1,w_2) \vert ^2 + \alpha \vert Q(w_1,w_2) \vert ^2) )\දකුණ]. $$

එහිදී $0< \sigma < 1$, $0 < \mu < 1$ - назначаемые параметры фильтра, $P(w_{1}$, $w_{2})$ - передаточная функция системы, $Q(w_{1}$, $w_{2})$ - стабилизатор фильтра, согласованный с энергетическим спектром фона. Выбор параметров $\sigma = 1$, $\mu = 0$ приводит к чисто инверсной фильтрации, $\sigma =\mu = 1$ к \it{винеровской фильтрации}, что позволяет получить изображение, близкое к истинному в смысле минимума СКО при условии, что спектры плотности мощности изображения и его шумовой компоненты априорно известны. Для дальнейшего улучшения эффекта сглаживания в алгоритм линейной (винеровской) фильтрации вводят адаптацию, основанную на оценке локальных статистик: математического ожидания $M(P)$ и дисперсии $\sigma (P)$. Этот алгоритм эффективно фильтрует засоренные однородные поверхности (области) фона. Однако при попадании в скользящее окно обработки неоднородных участков фона импульсная характеристика фильтра сужается ввиду резкого изменения локальных статистик, и эти неоднородности (контуры, пятна) передаются практически без расфокусировки, свойственной неадаптивным методам линейной фильтрации.

රේඛීය පෙරීමේ ක්‍රමවල වාසි අතර ඒවායේ පැහැදිලි භෞතික අර්ථය සහ ප්‍රතිඵල විශ්ලේෂණය කිරීමේ පහසුව ඇතුළත් වේ. කෙසේ වෙතත්, සංඥා-ශබ්ද අනුපාතයෙහි තියුනු ලෙස පිරිහීම සමඟ, ප්‍රදේශයේ ශබ්දයේ හැකි ප්‍රභේද සහ ඉහළ-විස්තාරක ආවේග ශබ්දය තිබීම, රේඛීය පෙර සැකසුම් ක්‍රම ප්‍රමාණවත් නොවිය හැකිය. මෙම තත්වය තුළ, රේඛීය නොවන ක්රම වඩා බලවත් වේ.

19 ටිකට් 1. ඩිලේෂන් මෙහෙයුම

2. අවකාශීය-වර්ණාවලි ලක්ෂණ

විස්තාරණ මෙහෙයුම්.

Z 2 අවකාශයෙන් A සහ ​​B සකසන්න. B (හෝ B සම්බන්ධයෙන්) කට්ටලයක් සම්බන්ධයෙන් A කට්ටලයක විස්තාරණය A⊕B මගින් දක්වනු ලබන අතර එය අර්ථ දැක්වේ

එය පහත ආකාරයෙන් නැවත ලිවිය හැකිය:

B කට්ටලය ව්‍යුහය සාදන කට්ටලයක් හෝ විස්තාරක ප්‍රාථමිකයක් ලෙස හැඳින්වේ.

Eq. (11) පදනම් වන්නේ එහි ආරම්භක ඛණ්ඩාංක (මධ්‍ය B) ට සාපේක්ෂව B කාණ්ඩයේ කේන්ද්‍රීය පරාවර්තනයක් ලබා ගැනීම මත ය, ඉන්පසු මෙම කට්ටලය z ලක්ෂ්‍යයට මාරු කිරීම, A කට්ටලය B දිගේ විස්තාරණය කිරීම - එවැනි සියලු මාරුවීම් z කට්ටලය, එහිදී සහ A අවම වශයෙන් එක් මූලද්‍රව්‍යයකට සමපාත වේ.

මෙම නිර්වචනය එකම එක නොවේ. කෙසේ වෙතත්, විස්තාරණ ක්රියා පටිපාටිය කට්ටල මත සිදු කරනු ලබන සංකෝචන මෙහෙයුමට සමාන වේ.

අවකාශීය වර්ණාවලි ලක්ෂණ

(1.8) අනුව, ද්විමාන ෆූරියර් පරිණාමනය ලෙස අර්ථ දැක්වේ

කොහෙද w x, w yඅවකාශීය සංඛ්යාත වේ.

වර්ණාවලියේ මාපාංකයේ වර්ග M( w x, w y) = |Ф( w x, w y)| 2 විශේෂාංග ගණනාවක් ගණනය කිරීමට භාවිතා කළ හැක. කාර්යය ඒකාබද්ධ කිරීම එම්(w x, w y) අවකාශීය සංඛ්‍යාතවල තලයේ කෝණය මගින් රූපයේ මාරුව සහ භ්‍රමණය සම්බන්ධයෙන් වෙනස් නොවන අවකාශීය-සංඛ්‍යාත ලක්ෂණයක් ලබා දෙයි. කාර්යය හඳුන්වා දීමෙන් එම්(w x, w y) ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංකවල, අපි මෙම විශේෂාංගය පෝරමයේ ලියන්නෙමු

කොහෙද q= ආක්ටන් ( w y/w x); ආර් 2 = w x 2 +w y 2 .

පරිමාණය සම්බන්ධයෙන් ලක්ෂණය වෙනස් නොවේ

20 ටිකට් 1. ඛාදනය මෙහෙයුම

රූප නියැදි අනුකෘතියේ විවික්ත ද්විමාන ෆූරියර් පරිවර්තනය ශ්‍රේණියක් ලෙස අර්ථ දැක්වේ:

එහිදී , සහ විවික්ත ප්‍රතිලෝම පරිවර්තනයේ ස්වරූපය ඇත:

අඛණ්ඩ ෆූරියර් පරිණාමනයේ පාරිභාෂිතය සමඟ ප්‍රතිසමයෙන්, විචල්‍යයන් අවකාශීය සංඛ්‍යාත ලෙස හැඳින්වේ. සියලුම පර්යේෂකයන් නිර්වචනය (4.97), (4.98) භාවිතා නොකරන බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය. සමහරක් සියලු පරිමාණ නියතයන් ප්‍රතිලෝම ප්‍රකාශනයේ තැබීමට කැමැත්තක් දක්වන අතර අනෙක් අය කර්නලයේ සලකුණු ආපසු හරවයි.

පරිවර්තන කර්නල් සමමිතික සහ වෙන් කළ හැකි බැවින්, ද්විමාන පරිවර්තනය රූප අනුකෘතියේ පේළි සහ තීරු මත අනුප්‍රාප්තික ඒකමාන පරිවර්තනයක් ලෙස සිදු කළ හැක. මූලික පරිවර්තන ශ්‍රිතයන් වන්නේ සංකීර්ණ ඝාතක සහිත ඝාතක වන අතර ඒවා සයින් සහ කොසයින් සංරචක බවට වියෝජනය කළ හැක. මේ ක්රමයෙන්,

රූපයේ වර්ණාවලිය බොහෝ රසවත් ව්යුහාත්මක ලක්ෂණ ඇත. සංඛ්යාත තලයේ මූලාරම්භයේ වර්ණාවලි සංරචකය

වැඩිවීමට සමාන වේ එන්රූපයේ දීප්තියේ සාමාන්‍ය (මුල් තලයට වඩා) අගය මෙන් ගුණයක්.

සමානාත්මතාවයට ආදේශ කිරීම (4.97)

නියතයන් කොහිද, අපට ලැබෙන්නේ:

ඕනෑම නිඛිල අගයක් සඳහා සහ සමානාත්මතාවයේ දෙවන ඝාතීය සාධකය (4.101) එකක් බවට පත්වේ. මේ අනුව, දී,

සංඛ්යාත තලයේ ආවර්තිතා පෙන්නුම් කරයි. මෙම ප්රතිඵලය රූප සටහන 4.14, a හි දැක්වේ.

රූපයක 2D ෆූරියර් වර්ණාවලිය අත්‍යවශ්‍යයෙන්ම ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් ලෙස 2D ක්ෂේත්‍රයේ නිරූපණයකි. එවැනි නිරූපණයක් වලංගු වීමට නම්, මුල් රූපයට ආවර්තිතා ව්‍යුහයක් ද තිබිය යුතුය, i.e. සිරස් අතට සහ තිරස් අතට පුනරාවර්තනය වන රටාවක් ඇත (රූපය 4.14, b). මේ අනුව, රූපයේ දකුණු කෙළවර වමට යාබදව පිහිටා ඇති අතර ඉහළ කෙළවරේ පහළට යාබදව පිහිටා ඇත. මෙම ස්ථානවල දීප්තියේ අගයන්හි අඛණ්ඩතාවයන් හේතුවෙන්, සංඛ්‍යාත තලයේ ඛණ්ඩාංක අක්ෂ මත පිහිටා ඇති රූප වර්ණාවලියේ අතිරේක සංරචක දිස් වේ. මෙම සංරචක රූපයේ අභ්‍යන්තර පික්සලවල දීප්තියේ අගයන්ට සම්බන්ධ නොවේ, නමුත් ඒවායේ තියුණු දාර ප්‍රතිනිෂ්පාදනය කිරීමට අවශ්‍ය වේ.

රූප සාම්පල මාලාවක් දීප්ති ක්ෂේත්‍රයක් විස්තර කරන්නේ නම්, එම සංඛ්‍යා සැබෑ සහ ධනාත්මක වනු ඇත. කෙසේ වෙතත්, මෙම රූපයේ ෆූරියර් වර්ණාවලිය සාමාන්යයෙන් සංකීර්ණ අගයන් ඇත. වර්ණාවලියේ සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් නියෝජනය කරන සංරචකයක් හෝ එක් එක් සංඛ්‍යාතය සඳහා වර්ණාවලි සංරචකවල අදියර සහ මාපාංකය අඩංගු වන බැවින්, ෆූරියර් පරිවර්තන රූපයේ මානය වැඩි කරන බව පෙනේ. කෙසේ වෙතත්, මෙය එසේ නොවේ, මන්ද එයට සංකීර්ණ සංයෝජන යටතේ සමමිතිය ඇත. සමානාත්මතාවයේ (4.101) අපි නිඛිලවලට සකසන්නේ නම්, සංකීර්ණ සංයෝජනයෙන් පසුව අපට සමානාත්මතාවය ලැබේ:

ආදේශන සහ src=http://electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic126_15.gif> ආධාරයෙන් අපට එය පෙන්විය හැක

සංකීර්ණ සංයුජ සමමිතිය පැවතීම හේතුවෙන්, වර්ණාවලි සංරචකවලින් අඩක් පමණ අතිරික්තයක් බවට පත්වේ, i.e. ඉතිරි සංරචක වලින් ඒවා සෑදිය හැකිය (රූපය 4.15). ඇත්ත වශයෙන්ම, පහළින් නොව, දකුණු අර්ධ තලයේ වැටෙන හාර්මොනික්ස්, ඇත්ත වශයෙන්ම, අතිරික්ත සංරචක ලෙස සැලකිය හැකිය.

රූප සැකසීමේ දී ෆූරියර් විශ්ලේෂණය ඒකමාන සංඥා සඳහා එකම අරමුණු සඳහා භාවිතා වේ. කෙසේ වෙතත්, සංඛ්‍යාත වසම තුළ, රූප කිසිදු අර්ථවත් තොරතුරක් නියෝජනය නොකරන අතර, එමඟින් ෆූරියර් රූප විශ්ලේෂණය සඳහා එතරම් ප්‍රයෝජනවත් මෙවලමක් නොවන බවට පරිවර්තනය කරයි. උදාහරණයක් ලෙස, ෆූරියර් පරිණාමනය ඒක මාන ශ්‍රව්‍ය සංඥාවකට යොදන විට, කාල වසම තුළ ඇති විධිමත් හා සංකීර්ණ තරංග ආකෘතියක් සංඛ්‍යාත වසම තුළ පහසුවෙන් තේරුම් ගත හැකි වර්ණාවලියක් බවට පරිවර්තනය වේ. සංසන්දනය කිරීමේදී, රූපයක ෆූරියර් පරිණාමනය (ෆූරියර් පරිණාමය) ගැනීමෙන්, අපි අවකාශීය වසමේ (අවකාශීය වසම) ඇණවුම් කළ තොරතුරු සංඛ්‍යාත වසමේ (සංඛ්‍යාත වසම) කේතනය කළ ආකාරයක් බවට පරිවර්තනය කරමු. කෙටියෙන් කිවහොත්, රූපවල කේතනය කර ඇති තොරතුරු තේරුම් ගැනීමට ෆූරියර් පරිවර්තනය ඔබට උපකාර කරනු ඇතැයි අපේක්ෂා නොකරන්න.

එලෙසම, පෙරහනක් සැලසුම් කිරීමේදී සංඛ්‍යාත වසම වෙත යොමු නොවන්න. රූපවල ඇති ප්‍රධාන ලක්ෂණය වන්නේ මායිම - එකක් වෙන් කරන රේඛාවයි වස්තුවක්හෝ කලාපයේතවත් එකකින් වස්තුවහෝ ප්රදේශ. රූපයේ ඇති සමෝච්ඡයන් පුළුල් පරාසයක සංඛ්යාත සංරචක අඩංගු වන බැවින්, සංඛ්යාත වර්ණාවලිය හැසිරවීමෙන් රූපය වෙනස් කිරීමට උත්සාහ කිරීම අකාර්යක්ෂම කාර්යයකි. රූප සැකසුම් ෆිල්ටර සාමාන්‍යයෙන් නිර්මාණය කර ඇත්තේ අවකාශීය වසම තුළ වන අතර එහිදී තොරතුරු එහි සරලම සහ වඩාත්ම ප්‍රවේශ විය හැකි ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කෙරේ. රූප සැකසීමේ ගැටළු විසඳීමේදී, මෙහෙයුම් අනුව ක්‍රියා කිරීම අවශ්‍ය වේ සුමට කිරීමහා යටින් ඉරිඅනුව වඩා සමෝච්ඡ (අවකාශීය වසම). ඉහළ සමත් පෙරහනහා අඩු සමත් පෙරහන(සංඛ්‍යාත වසම).

එසේ තිබියදීත්, ෆූරියර් රූප විශ්ලේෂණයට ප්‍රයෝජනවත් ගුණාංග කිහිපයක් ඇත. උදාහරණ වශයෙන්, convolutionඅවකාශීය වසම තුළ අනුරූප වේ ගුණ කිරීමසංඛ්යාත වසම තුළ. මෙය වැදගත් වන්නේ ගුණ කිරීම සංකෝචනයට වඩා සරල ගණිතමය මෙහෙයුමක් වන බැවිනි. 1D සංඥා සමග මෙන්, මෙම ගුණාංගය FFT convolution සහ විවිධ deconvolution තාක්ෂණික ක්‍රම වලට ඉඩ සලසයි. සංඛ්‍යාත වසමෙහි තවත් ප්‍රයෝජනවත් ගුණාංගයකි ෆූරියර් අංශයේ ප්‍රමේයය, එය රූපය සහ එහි ප්‍රක්ෂේපණ අතර ලිපි හුවමාරු කරයි (විවිධ පැතිවලින් එකම රූපයේ දර්ශන). මෙම ප්‍රමේයය එවැනි දිශාවන්හි න්‍යායික පදනම සාදයි පරිගණක ටොමොග්රැෆි, fluoroscopyඖෂධ සහ කර්මාන්තයේ බහුලව භාවිතා වේ.

රූපයක සංඛ්‍යාත වර්ණාවලිය ක්‍රම කිහිපයකින් ගණනය කළ හැකි නමුත් වර්ණාවලිය ගණනය කිරීම සඳහා වඩාත් ප්‍රායෝගික ක්‍රමය වන්නේ FFT ඇල්ගොරිතමයයි. FFT ඇල්ගොරිතම භාවිතා කරන විට, මුල් රූපයේ අඩංගු විය යුතුය එන්රේඛා සහ එන්තීරු, සහ අංකය එන් 2 හි බලයේ ගුණාකාරයක් විය යුතුය, i.e. 256, 512, 1024 සහ

ආදිය ප්‍රභව රූපය මානයෙන් 2ක බලයක ගුණාකාරයක් නොවේ නම්, රූපය අපේක්ෂිත ප්‍රමාණයට පෑඩ් කිරීමට ශුන්‍ය අගය පික්සල එකතු කළ යුතුය. ෆූරියර් පරිණාමනය තොරතුරු අනුපිළිවෙල ආරක්ෂා කරන නිසා, අඩු සංඛ්‍යාත සංරචකවල විස්තාරය ද්විමාන වර්ණාවලියේ කොන් වල පිහිටා ඇති අතර අධි-සංඛ්‍යාත සංරචක එහි මධ්‍යයේ පවතිනු ඇත.

උදාහරණයක් ලෙස, ක්රියාකාරී ඇම්ප්ලිෆයර් (රූපය 4.16) ආදාන අදියරෙහි ඉලෙක්ට්රෝන අන්වීක්ෂ රූපයක ෆූරියර් පරිවර්තනයේ ප්රතිඵලය සලකා බලන්න. සංඛ්‍යාත වසමෙහි සෘණ අගයන් සහිත පික්සෙල් අඩංගු විය හැකි බැවින්, මෙම රූපවල අළු පරිමාණය මාරු කරනු ලබන්නේ රූපයේ අඳුරු ලක්ෂ්‍ය ලෙස සෘණ අගයන් සංජානනය වන පරිදි, ශුන්‍ය අගයන් අළු සහ ධනාත්මක අගයන් වේ. දීප්තිමත්. සාමාන්‍යයෙන්, රූප වර්ණාවලියේ අඩු සංඛ්‍යාත සංරචක අධි-සංඛ්‍යාත ඒවාට වඩා විස්තාරයේ විශාල වන අතර, වර්ණාවලියේ රූපයේ කොන් හතරේ ඉතා දීප්තිමත් සහ ඉතා අඳුරු තිත් ඇති බව පැහැදිලි කරයි (රූපය 4.16, b). රූපයෙන් දැකිය හැකි පරිදි, සාමාන්යය