پاره خطی که مرکز دایره و نقاط محیط آن را به هم متصل می کند شعاع نامیده می شود. در این حالت، در هر دایره، تمام شعاع ها با یکدیگر برابر هستند. قطر دایره خط مستقیمی است که دو نقطه دایره را به هم متصل می کند و از مرکز آن می گذرد. ما به همه اینها نیاز داریم محاسبه صحیحناحیه دایره بعلاوه، ارزش داده شدهبا استفاده از پی محاسبه می شود.

نحوه محاسبه مساحت دایره

مثلا دایره ای به شعاع چهار سانتی متر داریم. مساحت آن را محاسبه می کنیم: S=(3.14)*4^2=(3.14)*16=50.24. بنابراین، مساحت دایره 50.24 سانتی متر مربع است.

همچنین، یک فرمول ویژه برای محاسبه مساحت یک دایره از طریق قطر وجود دارد: S=(pi/4) d^2.

بیایید با دانستن شعاع شکل، به مثالی از چنین محاسبه ای از یک دایره از طریق قطر آن نگاه کنیم. مثلا دایره ای به شعاع چهار سانتی متر داریم. ابتدا باید قطر را پیدا کنید، که دو برابر شعاع خود است: d=2R، d=2*4=8.

اکنون باید از داده های بدست آمده برای محاسبه مساحت دایره با استفاده از فرمول فوق استفاده کنید: S=((3.14)/4)*8^2=0.785*64=50.24.

همانطور که می بینید در نهایت همان پاسخ مورد اول را می گیریم.

دانستن فرمول های استاندارد شرح داده شده در بالا برای محاسبه صحیح مساحت یک دایره به شما کمک می کند تا مقادیر گم شده را به راحتی پیدا کنید و مساحت بخش ها را تعیین کنید.

بنابراین، می دانیم که فرمول محاسبه مساحت یک دایره با ضرب مقدار ثابت Pi در مربع شعاع خود دایره محاسبه می شود. خود شعاع را می توان بر حسب محیط واقعی با جایگزین کردن عبارت بر حسب محیط در فرمول بیان کرد. یعنی: R=l/2pi.

اکنون باید این معادله را به فرمول محاسبه مساحت یک دایره تبدیل کنیم و در نتیجه فرمول یافتن مساحت این شکل هندسی را از طریق محیط بدست آوریم: S=pi((l/2pi) ))^2=l^2/(4pi).

مثلا دایره ای به ما داده می شود که محیط آن هشت سانتی متر است. مقدار را در فرمول در نظر گرفته شده جایگزین می کنیم: S=(8^2)/(4*3.14)=64/(12.56)=5. و مساحت دایره را برابر با پنج سانتی متر مربع بدست می آوریم.

حلقه ها نیاز به رویکرد دقیق تری دارند و در کارهای B5 بسیار کمتر رایج هستند. با این حال، طرح کلیراه‌حل‌ها حتی ساده‌تر از چند ضلعی‌ها هستند (به درس "مناطق چند ضلعی در یک شبکه مختصات" مراجعه کنید).

تنها چیزی که در چنین کارهایی مورد نیاز است، یافتن شعاع دایره R است. سپس می توانید مساحت دایره را با استفاده از فرمول S = πR 2 محاسبه کنید. همچنین از این فرمول نتیجه می گیرد که برای یافتن R 2 برای محلول کافی است.

برای یافتن مقادیر مشخص شده کافی است روی دایره نقطه ای را که در تقاطع خطوط شبکه قرار دارد نشان دهید. و سپس از قضیه فیثاغورث استفاده کنید. در نظر گرفتن نمونه های عینیمحاسبات شعاع:

یک وظیفه. شعاع سه دایره نشان داده شده در شکل را پیدا کنید:

بیایید ساختارهای اضافی را در هر دایره انجام دهیم:

در هر مورد، نقطه B روی دایره انتخاب می شود تا در محل تقاطع خطوط شبکه قرار گیرد. نقطه C در دایره های 1 و 3 شکل را کامل می کند راست گوشه. برای یافتن شعاع ها باقی مانده است:

مثلث ABC را در دایره اول در نظر بگیرید. طبق قضیه فیثاغورث: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

برای دایره دوم، همه چیز واضح است: R = AB = 2.

مورد سوم مشابه مورد اول است. از مثلث ABC طبق قضیه فیثاغورث: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 1 2 + 2 2 \u003d 5.

اکنون می دانیم که چگونه شعاع یک دایره (یا حداقل مربع آن) را پیدا کنیم. بنابراین، ما می توانیم منطقه را پیدا کنیم. وظایفی وجود دارد که لازم است مساحت یک بخش و نه کل دایره را پیدا کنید. در چنین مواردی، به راحتی می توان فهمید که این بخش در چه قسمتی از دایره قرار دارد و بنابراین منطقه را پیدا می کند.

یک وظیفه. ناحیه S بخش سایه دار را پیدا کنید. S / π را در پاسخ خود نشان دهید.

بدیهی است که بخش یک چهارم دایره است. بنابراین، S = 0.25 S از دایره.

باقی مانده است که S دایره - مساحت دایره را پیدا کنید. برای انجام این کار، یک ساخت و ساز اضافی انجام خواهیم داد:

مثلث ABC یک مثلث قائم الزاویه است. با قضیه فیثاغورث، داریم: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

اکنون مساحت دایره و بخش را پیدا می کنیم: S دایره = πR 2 = 8π. S = 0.25 S دایره = 2π.

در نهایت مقدار مورد نظر برابر با S /π = 2 است.

منطقه بخش با شعاع نامعلوم

عالیه نوع جدیدوظایف، هیچ چیز مشابهی در سال 2010-2011 وجود نداشت. با شرط، دایره ای از یک ناحیه خاص (یعنی مساحت، نه شعاع!) به ما داده می شود. سپس در داخل این دایره یک سکتور اختصاص داده می شود که مساحت آن باید پیدا شود.

خبر خوب این است که این مسائل ساده ترین از همه مسائل مربع هستند که در امتحان ریاضی هستند. علاوه بر این، دایره و سکتور همیشه روی شبکه مختصات قرار می گیرند. بنابراین، برای یادگیری نحوه حل چنین مشکلاتی، فقط به تصویر نگاه کنید:

بگذارید دایره اصلی دارای مساحت S دایره = 80 باشد. سپس می توان آن را به دو بخش با مساحت S = 40 تقسیم کرد (مرحله 2 را ببینید). به طور مشابه، هر یک از این بخش های "نیم" را می توان دوباره به نصف تقسیم کرد - ما چهار بخش از منطقه S = 20 هر کدام را دریافت می کنیم (مرحله 3 را ببینید). در نهایت، شما می توانید هر یک از این بخش ها را به دو بخش دیگر تقسیم کنید - ما 8 بخش را دریافت می کنیم - "تکه های کوچک". مساحت هر یک از این "تکه ها" S = 10 خواهد بود.

لطفاً توجه داشته باشید: هیچ بخش کوچکتری در هیچ کار USE در ریاضیات وجود ندارد! بنابراین، الگوریتم برای حل مسئله B-3 به شرح زیر است:

1. دایره اصلی را به 8 بخش - "قطعه" برش دهید. مساحت هر یک از آنها دقیقاً 1/8 مساحت کل دایره است. به عنوان مثال، اگر با توجه به شرایط دایره دارای مساحت S دایره = 240 باشد، "توده ها" دارای مساحت S = 240 هستند: 8 = 30.
2. دریابید که چه تعداد "توده" در بخش اصلی، ناحیه ای که می خواهید پیدا کنید، مناسب است. به عنوان مثال، اگر بخش ما دارای 3 "توده" با مساحت 30 باشد، مساحت بخش مورد نظر S = 3 30 = 90 است. این پاسخ خواهد بود.

همین! مشکل به صورت شفاهی حل می شود. اگر هنوز چیزی را متوجه نشدید، یک پیتزا بخرید و آن را به 8 تکه تقسیم کنید. هر قطعه از این قبیل همان بخش خواهد بود - "تکه" که می تواند به قطعات بزرگتر ترکیب شود.

و اکنون به نمونه هایی از آزمون آزمایشی نگاه می کنیم:

یک وظیفه. دایره ای به مساحت 40 روی کاغذ شطرنجی کشیده شده است. مساحت شکل سایه دار را پیدا کنید.

بنابراین، مساحت دایره 40 است. آن را به 8 بخش تقسیم کنید - هر یک با مساحت S = 40: 5 = 8. دریافت می کنیم:

بدیهی است که بخش سایه دار دقیقاً از دو بخش "کوچک" تشکیل شده است. بنابراین، مساحت آن 2 5 = 10 است. این کل راه حل است!

یک وظیفه. دایره ای به مساحت 64 روی کاغذ شطرنجی کشیده شده است. مساحت شکل سایه دار را پیدا کنید.

مجدداً کل دایره را به 8 بخش مساوی تقسیم کنید. بدیهی است که مساحت یکی از آنها فقط باید پیدا شود. بنابراین، مساحت آن S = 64: 8 = 8 است.

یک وظیفه. دایره ای به مساحت 48 روی کاغذ شطرنجی کشیده شده است. مساحت شکل سایه دار را پیدا کنید.

دوباره دایره را به 8 بخش مساوی تقسیم کنید. مساحت هر یک از آنها برابر است با S = 48: 8 = 6. دقیقاً سه بخش - "کوچک" در بخش مورد نظر قرار می گیرند (شکل را ببینید). بنابراین، مساحت بخش مورد نظر 3 6 = 18 است.

دایره مجموعه ای قابل مشاهده از نقاط زیادی است که در فاصله یکسانی از مرکز قرار دارند. برای پیدا کردن مساحت آن، باید بدانید شعاع، قطر، عدد π و محیط آن چقدر است.

مقادیری که در محاسبه مساحت دایره نقش دارند

فاصله محدود شده با نقطه مرکزی دایره و هر یک از نقاط دایره را شعاع این شکل هندسی می گویند. طول تمام شعاع های یک دایره یکسان است. پاره خط بین هر 2 نقطه از دایره که از نقطه مرکزی می گذرد قطر نامیده می شود. طول قطر برابر است با طول شعاع ضرب در 2.

برای محاسبه مساحت دایره از عدد π استفاده می شود. این مقدار برابر است با نسبت محیط به طول قطر دایره و مقدار ثابتی دارد. Π = 3.1415926. دور با استفاده از فرمول L=2πR محاسبه می شود.

مساحت دایره را با استفاده از شعاع پیدا کنید

بنابراین، مساحت یک دایره برابر است با حاصل ضرب عدد π و شعاع دایره به توان 2 افزایش یافته است. به عنوان مثال، طول شعاع دایره را برابر با 5 سانتی متر در نظر می گیریم. سپس مساحت دایره S برابر با 3.14 * 5 ^ 2 = 78.5 متر مربع خواهد بود. سانتی متر.

مساحت دایره از نظر قطر

مساحت دایره را نیز می توان با دانستن قطر دایره محاسبه کرد. در این حالت S = (π/4)*d^2 که d قطر دایره است. همین مثال را در نظر می گیریم که شعاع آن 5 سانتی متر است سپس قطر آن 5*2=10 سانتی متر می شود. مساحت دایره S=3.14/4*10^2=78.5 متر مربع است. نتیجه که برابر با مجموع محاسبات در مثال اول است، صحت محاسبات را در هر دو مورد تایید می کند.

مساحت دایره بر حسب محیط

اگر شعاع یک دایره برحسب محیط نمایش داده شود، فرمول خواهد داشت نمای بعدی: R=(L/2)π. این عبارت را با فرمول مساحت دایره جایگزین کنید و در نتیجه S=(L^2)/4π بدست می آوریم. مثالی را در نظر بگیرید که در آن محیط 10 سانتی متر است. سپس مساحت دایره S = (10 ^ 2) / 4 * 3.14 = 7.96 متر مربع است. سانتی متر.

مساحت دایره بر حسب طول ضلع مربع محاطی

اگر مربعی در دایره حک شود، طول قطر دایره برابر با طول قطر مربع است. با دانستن اندازه ضلع مربع، می توانید به راحتی قطر دایره را با فرمول پیدا کنید: d ^ 2 \u003d 2a ^ 2. به عبارت دیگر قطر به توان 2 برابر با طرفمجذور توان 2 ضربدر 2.

با محاسبه مقدار طول قطر یک دایره، می توانید شعاع آن را نیز پیدا کنید و سپس از یکی از فرمول ها برای تعیین مساحت یک دایره استفاده کنید.

ناحیه بخش یک دایره

یک بخش بخشی از یک دایره است که توسط 2 شعاع و یک قوس بین آنها محدود شده است. برای پیدا کردن مساحت آن، باید زاویه بخش را اندازه گیری کنید. پس از آن، لازم است کسری تشکیل شود، که در صورت‌دهنده آن، مقدار زاویه بخش، و در مخرج - 360 وجود دارد. برای محاسبه مساحت بخش، مقدار به دست آمده در نتیجه تقسیم کسری باید در مساحت دایره محاسبه شده با استفاده از یکی از فرمول های فوق ضرب شود.

- این هست شکل تخت، که مجموعه ای از نقاط با فاصله مساوی از مرکز است. همه آنها در یک فاصله قرار دارند و یک دایره تشکیل می دهند.

پاره خطی که مرکز یک دایره را به نقاطی از محیط آن متصل می کند نامیده می شود شعاع. در هر دایره، همه شعاع ها با یکدیگر برابرند. خطی که دو نقطه از یک دایره را به هم می پیوندد و از مرکز می گذرد نامیده می شود قطر. فرمول مساحت یک دایره با استفاده از یک ثابت ریاضی - عدد π .. محاسبه می شود.

جالبه : عدد پی. نسبت محیط دایره به طول قطر آن است و مقدار ثابتی است. مقدار π = 3.1415926 پس از کار L. Euler در سال 1737 استفاده شد.

مساحت دایره را می توان با استفاده از ثابت π محاسبه کرد. و شعاع دایره فرمول مساحت دایره بر حسب شعاع به صورت زیر است:

مثالی از محاسبه مساحت دایره با استفاده از شعاع را در نظر بگیرید. اجازه دهید دایره ای با شعاع R = 4 سانتی متر داده شود، بیایید مساحت شکل را پیدا کنیم.

مساحت دایره ما برابر با 50.24 متر مربع خواهد بود. سانتی متر.

یک فرمول وجود دارد مساحت یک دایره از طریق قطر. همچنین به طور گسترده ای برای محاسبه پارامترهای مورد نیاز استفاده می شود. از این فرمول ها می توان برای یافتن استفاده کرد.

مثالی از محاسبه مساحت دایره از طریق قطر با دانستن شعاع آن را در نظر بگیرید. اجازه دهید دایره ای با شعاع R = 4 سانتی متر داده شود، ابتدا قطری را که همانطور که می دانید دو برابر شعاع است، پیدا می کنیم.


اکنون از داده ها برای مثال محاسبه مساحت یک دایره با استفاده از فرمول بالا استفاده می کنیم:

همانطور که می بینید، در نتیجه ما همان پاسخی را که در محاسبات اول داشتیم دریافت می کنیم.

آگاهی از فرمول های استاندارد برای محاسبه مساحت یک دایره در آینده به آسانی تعیین کمک خواهد کرد منطقه بخشو یافتن مقادیر از دست رفته آسان است.

قبلاً می دانیم که فرمول مساحت یک دایره از حاصل ضرب مقدار ثابت π و مربع شعاع دایره محاسبه می شود. شعاع را می توان بر حسب محیط یک دایره بیان کرد و عبارت در فرمول را برای مساحت یک دایره بر حسب محیط جایگزین کرد:
حالا این تساوی را با فرمول محاسبه مساحت دایره جایگزین می کنیم و فرمول پیدا کردن مساحت دایره را از طریق محیط بدست می آوریم.

مثالی از محاسبه مساحت یک دایره از طریق محیط را در نظر بگیرید. اجازه دهید یک دایره با طول l = 8 سانتی متر داده شود. بیایید مقدار را در فرمول مشتق شده جایگزین کنیم:

مساحت کل دایره 5 متر مربع خواهد بود. سانتی متر.

مساحت دایره ای که دور یک مربع احاطه شده است

پیدا کردن مساحت دایره ای که دور یک مربع محصور شده است بسیار آسان است.

این فقط به ضلع مربع و دانش فرمول های ساده نیاز دارد. قطر مربع برابر با قطر دایره محصور خواهد بود. با دانستن طرف a، می توان آن را با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا کرد: از اینجا.
بعد از اینکه قطر را پیدا کردیم، می توانیم شعاع را محاسبه کنیم: .
و سپس همه چیز را به فرمول اصلی برای مساحت یک دایره محصور در اطراف یک مربع جایگزین می کنیم:

در هندسه دور و بربه مجموعه ای از تمام نقاط صفحه که از یک نقطه، مرکز آن، در فاصله ای نه بیشتر از یک معین، که شعاع آن نامیده می شود، جدا شده اند. در این حالت، مرز بیرونی دایره است دایرهو اگر طول شعاع برابر با صفر باشد، یک دایرهتا حدی منحط می شود

تعیین مساحت دایره

در صورت لزوم مساحت یک دایرهرا می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

r- شعاع دایره

D- قطر دایره

اس- مساحت یک دایره

π - 3.14

این شکل هندسیدر مهندسی و معماری بسیار رایج است. طراحان ماشین‌ها و مکانیزم‌ها قطعات مختلفی را توسعه می‌دهند که بخش‌های بسیاری از آنها دقیقاً هستند یک دایره. به عنوان مثال، اینها شفت، میله، میله، سیلندر، محور، پیستون و غیره هستند. در ساخت این قطعات از بلنک استفاده می شود مواد مختلف(فلزات، چوب، پلاستیک)، بخش های آنها نیز دقیقاً نشان می دهد یک دایره. ناگفته نماند که توسعه دهندگان اغلب مجبور به محاسبه هستند مساحت یک دایرهاز طریق یک قطر یا شعاع، با استفاده از ساده فرمول های ریاضیدر دوران باستان کشف شده است.

دقیقا اون موقع عناصر گردشروع به استفاده فعال و گسترده در معماری کرد. یکی از بارزترین نمونه های آن سیرک است که نوعی ساختمان است که برای میزبانی رویدادهای سرگرمی مختلف طراحی شده است. عرصه های آنها شکل گرفته است دایره، و برای اولین بار ساخت آنها در دوران باستان آغاز شد. همین کلمه " دایره» ترجمه شده از لاتینبه معنای " یک دایره". اگر در زمان های قدیم سیرک ها بودند اجراهای تئاتریو مبارزات گلادیاتورها برگزار شد ، اکنون آنها به عنوان مکانی عمل می کنند که تقریباً منحصراً نمایش های سیرک با مشارکت مربیان حیوانات ، آکروبات ها ، جادوگران ، دلقک ها و غیره برگزار می شود. قطر استانداردسالن سیرک 13 متر است و این اصلا تصادفی نیست: واقعیت این است که این اوست که حداقل لازم را فراهم می کند. پارامترهای هندسیعرصه ای که در آن اسب های سیرک می توانند به صورت دایره ای تاپ بزنند. اگر محاسبه کنیم مساحت یک دایرهاز طریق قطر، معلوم می شود که برای عرصه سیرک این مقدار 113.04 متر مربع است.

عناصر معماری که می توانند به شکل دایره درآیند پنجره ها هستند. البته در بیشتر موارد مستطیل یا مربع هستند (تا حد زیادی به این دلیل که هم برای معماران و هم برای سازندگان راحت‌تر است)، اما در برخی ساختمان‌ها می‌توانید پنجره‌های گرد را نیز پیدا کنید. علاوه بر این، در چنین وسایل نقلیهمانند هوا، دریا و قایق های رودخانه ایبیشتر اوقات آنها هستند.

استفاده از عناصر گرد برای تولید مبلمان مانند میز و صندلی به هیچ وجه غیر معمول نیست. حتی یک مفهوم وجود دارد میزگرد "، که دلالت بر یک بحث سازنده دارد که در طی آن بحث جامعی از انواع مختلف وجود دارد موضوعات مهمو راه هایی برای حل آنها ایجاد کنید. در مورد ساخت کانترهای خود که دارند شکل گرد، سپس از ابزار و تجهیزات تخصصی برای تولید آنها استفاده می شود، مشروط به مشارکت کارگران با صلاحیت نسبتاً بالا.