انتظار ریاضی تعداد اشتباهات را پیدا کنید. فرمول انتظار

انتظارات و واریانس متداول ترین مشخصه های عددی متغیر تصادفی هستند. آنها مهمترین ویژگی های توزیع را مشخص می کنند: موقعیت و درجه پراکندگی آن. در بسیاری از مسائل عملی، یک مشخصه کامل و جامع از یک متغیر تصادفی - قانون توزیع - یا اصلاً به دست نمی آید یا اصلاً مورد نیاز نیست. در این موارد، یکی به توصیف تقریبی یک متغیر تصادفی با استفاده از ویژگی‌های عددی محدود می‌شود.

مقدار مورد انتظار اغلب به سادگی مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی نامیده می شود. پراکندگی یک متغیر تصادفی - یک مشخصه پراکندگی، گسترش یک متغیر تصادفی در اطراف آن انتظارات ریاضی.

انتظار یک متغیر تصادفی گسسته

اجازه دهید به مفهوم انتظار ریاضی نزدیک شویم، ابتدا بر اساس تفسیر مکانیکی توزیع یک متغیر تصادفی گسسته. اجازه دهید واحد جرم بین نقاط محور x توزیع شود ایکس1 , ایکس 2 , ..., ایکس nو هر نقطه مادی دارای جرم مربوطه است پ1 , پ 2 , ..., پ n. لازم است یک نقطه در محور آبسیسا انتخاب شود که موقعیت کل سیستم نقاط مادی را با در نظر گرفتن جرم آنها مشخص می کند. طبیعی است که مرکز جرم سیستم نقاط مادی را چنین نقطه ای در نظر بگیریم. این میانگین وزنی متغیر تصادفی است ایکس، که به آن آبسیسه هر نقطه ایکسمنبا "وزن" برابر با احتمال مربوطه وارد می شود. مقدار متوسط ​​متغیر تصادفی از این طریق به دست می آید ایکسانتظار ریاضی آن نامیده می شود.

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته، مجموع حاصل از همه مقادیر ممکن آن و احتمالات این مقادیر است:

مثال 1.یک قرعه کشی برد-برد برگزار شده است. 1000 برد وجود دارد که 400 آن 10 روبل است. هر کدام 300 - 20 روبل. هر کدام 200 تا 100 روبل. و هر کدام 100 - 200 روبل. میانگین برد برای کسی که یک بلیط می خرد چقدر است؟

راه حل. اگر مجموع بردها را که 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50000 روبل است بر 1000 (مجموع بردها) تقسیم کنیم، میانگین برد را پیدا خواهیم کرد. سپس 50000/1000 = 50 روبل می گیریم. اما عبارت محاسبه میانگین برد را می توان به شکل زیر ارائه کرد:

از سوی دیگر، در این شرایط، اندازه برنده یک متغیر تصادفی است که می تواند مقادیر 10، 20، 100 و 200 روبل را به خود اختصاص دهد. با احتمالات به ترتیب برابر با 0.4; 0.3; 0.2; 0.1. بنابراین میانگین برد مورد انتظار برابر است با مجموع حاصل از اندازه بردها و احتمال دریافت آنها.

مثال 2.ناشر تصمیم به انتشار گرفت کتاب جدید. او قصد دارد این کتاب را به قیمت 280 روبل بفروشد، که از آن 200 روبل، 50 - کتابفروشی و 30 - نویسنده دریافت خواهد کرد. این جدول اطلاعاتی در مورد هزینه های چاپ کتاب و احتمال فروش تعداد معینی از نسخه های کتاب ارائه می دهد.

سود مورد انتظار ناشر را بیابید.

راه حل. متغیر تصادفی "سود" برابر است با تفاوت بین درآمد حاصل از فروش و هزینه هزینه. به عنوان مثال، اگر 500 نسخه از یک کتاب فروخته شود، درآمد حاصل از فروش 200 * 500 = 100000 و هزینه انتشار 225000 روبل است. بنابراین، ناشر با ضرر 125000 روبلی مواجه است. جدول زیر مقادیر مورد انتظار متغیر تصادفی - سود را خلاصه می کند:

عدد	سود ایکسمن	احتمال پمن	ایکسمن پمن
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
جمع:		1,00	25000

بنابراین، انتظار ریاضی سود ناشر را به دست می آوریم:

.

مثال 3.احتمال ضربه زدن با یک شلیک پ= 0.2. مصرف پرتابه هایی را که انتظار ریاضی تعداد ضربه برابر با 5 را ارائه می دهند، تعیین کنید.

راه حل. از همان فرمول انتظار ریاضی که تاکنون استفاده کرده ایم، بیان می کنیم ایکس- مصرف پوسته:

.

مثال 4.انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را تعیین کنید ایکستعداد ضربه با سه ضربه، در صورت احتمال ضربه با هر شلیک پ = 0,4 .

نکته: احتمال مقادیر متغیر تصادفی را بر اساس پیدا کنید فرمول برنولی .

ویژگی های انتظار ریاضی

بیایید ویژگی های انتظار ریاضی را در نظر بگیریم.

ملک 1.انتظار ریاضی یک مقدار ثابت برابر با این ثابت است:

ملک 2.عامل ثابت را می توان از علامت انتظار ریاضی خارج کرد:

ملک 3.انتظار ریاضی از مجموع (تفاوت) متغیرهای تصادفی برابر است با مجموع (تفاوت) انتظارات ریاضی آنها:

ملک 4.انتظارات ریاضی حاصل ضرب متغیرهای تصادفی برابر است با حاصل ضرب انتظارات ریاضی آنها:

ملک 5.اگر تمام مقادیر یک متغیر تصادفی ایکسکاهش (افزایش) به همان تعداد با، سپس انتظارات ریاضی آن به همان مقدار کاهش می یابد (افزایش می یابد):

وقتی نمی توانید خود را فقط به انتظارات ریاضی محدود کنید

در بیشتر موارد، تنها انتظار ریاضی نمی تواند به اندازه کافی یک متغیر تصادفی را مشخص کند.

اجازه دهید متغیرهای تصادفی ایکسو Yتوسط قوانین توزیع زیر ارائه می شود:

معنی ایکس	احتمال
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

معنی Y	احتمال
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

انتظارات ریاضی از این مقادیر یکسان است - برابر با صفر:

با این حال، الگوهای توزیع آنها متفاوت است. مقدار تصادفی ایکسفقط می تواند مقادیری را بگیرد که کمی با انتظارات ریاضی و متغیر تصادفی متفاوت است Yمی تواند مقادیری را بگیرد که به طور قابل توجهی از انتظارات ریاضی منحرف می شود. مثال مشابه: حقوق متوسط ​​امکان قضاوت را نمی دهد وزن مخصوصکارگران با دستمزد بالا و پایین به عبارت دیگر، نمی توان از روی انتظارات ریاضی قضاوت کرد که حداقل به طور متوسط ​​چه انحرافی از آن ممکن است. برای این کار باید واریانس متغیر تصادفی را پیدا کنید.

واریانس یک متغیر تصادفی گسسته

واریانسمتغیر تصادفی گسسته ایکسانتظار ریاضی مربع انحراف آن از انتظار ریاضی نامیده می شود:

انحراف معیار یک متغیر تصادفی ایکستماس گرفت مقدار حسابیجذر واریانس آن:

.

مثال 5.واریانس ها و میانگین ها را محاسبه کنید انحراف معیارمتغیرهای تصادفی ایکسو Yکه قوانین توزیع آن در جداول بالا آورده شده است.

راه حل. انتظارات ریاضی از متغیرهای تصادفی ایکسو Y، همانطور که در بالا مشاهده شد، برابر با صفر هستند. با توجه به فرمول پراکندگی در E(ایکس)=E(y)=0 دریافت می کنیم:

سپس انحراف معیار متغیرهای تصادفی ایکسو Yآرایش

.

بنابراین، با همان انتظارات ریاضی، واریانس متغیر تصادفی ایکسبسیار کوچک، اما یک متغیر تصادفی Y- قابل توجه. این نتیجه تفاوت در توزیع آنها است.

مثال 6.سرمایه گذار دارای 4 پروژه سرمایه گذاری جایگزین است. جدول سود مورد انتظار در این پروژه ها را با احتمال مربوطه خلاصه می کند.

پروژه 1	پروژه 2	پروژه 3	پروژه 4
500, پ=1	1000, پ=0,5	500, پ=0,5	500, پ=0,5
	0, پ=0,5	1000, پ=0,25	10500, پ=0,25
		0, پ=0,25	9500, پ=0,25

انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار را برای هر جایگزین بیابید.

راه حل. اجازه دهید نشان دهیم که چگونه این مقادیر برای گزینه سوم محاسبه می شود:

جدول مقادیر یافت شده را برای همه گزینه ها خلاصه می کند.

همه جایگزین ها انتظارات ریاضی یکسانی دارند. این بدان معناست که در دراز مدت همه درآمد یکسانی دارند. انحراف استاندارد را می توان به عنوان معیاری از ریسک تفسیر کرد - هر چه بیشتر باشد، ریسک سرمایه گذاری بیشتر می شود. سرمایه‌گذاری که ریسک زیادی نمی‌خواهد، پروژه 1 را انتخاب می‌کند زیرا دارای کمترین انحراف استاندارد (0) است. اگر سرمایه گذار ریسک و بازده بالا را در یک دوره کوتاه ترجیح دهد، پروژه با بیشترین انحراف معیار - پروژه 4 را انتخاب می کند.

خواص پراکندگی

اجازه دهید خواص پراکندگی را ارائه دهیم.

ملک 1.واریانس یک مقدار ثابت صفر است:

ملک 2.ضریب ثابت را می توان با مربع کردن آن از علامت پراکندگی خارج کرد:

.

ملک 3.واریانس یک متغیر تصادفی برابر با انتظار ریاضی مربع این مقدار است که مجذور انتظارات ریاضی خود مقدار از آن کم می شود:

,

جایی که .

ملک 4.واریانس مجموع (تفاوت) متغیرهای تصادفی برابر است با مجموع (تفاوت) واریانس آنها:

مثال 7.مشخص است که یک متغیر تصادفی گسسته ایکسفقط دو مقدار را می گیرد: -3 و 7. علاوه بر این، انتظارات ریاضی مشخص است: E(ایکس) = 4 . واریانس یک متغیر تصادفی گسسته را پیدا کنید.

راه حل. اجازه دهید با نشان دادن پاحتمالی که یک متغیر تصادفی مقداری را می گیرد ایکس1 = −3 . سپس احتمال مقدار ایکس2 = 7 1 خواهد بود پ. اجازه دهید معادله انتظار ریاضی را استخراج کنیم:

E(ایکس) = ایکس 1 پ + ایکس 2 (1 − پ) = −3پ + 7(1 − پ) = 4 ,

جایی که احتمالات را بدست می آوریم: پ= 0.3 و 1 - پ = 0,7 .

قانون توزیع یک متغیر تصادفی:

ایکس	−3	7
پ	0,3	0,7

ما واریانس این متغیر تصادفی را با استفاده از فرمول از ویژگی 3 پراکندگی محاسبه می کنیم:

D(ایکس) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را خودتان پیدا کنید و سپس به راه حل نگاه کنید

مثال 8.متغیر تصادفی گسسته ایکسفقط دو مقدار می گیرد. بزرگتر از مقادیر 3 را با احتمال 0.4 می پذیرد. علاوه بر این، واریانس متغیر تصادفی مشخص است D(ایکس) = 6. انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را پیدا کنید.

مثال 9.در یک کوزه 6 توپ سفید و 4 توپ سیاه وجود دارد. 3 توپ از کوزه کشیده می شود. تعداد توپ های سفید در بین توپ های کشیده شده یک متغیر تصادفی گسسته است ایکس. انتظارات ریاضی و واریانس این متغیر تصادفی را بیابید.

راه حل. مقدار تصادفی ایکسمی تواند مقادیر 0، 1، 2، 3 را بگیرد. احتمالات مربوطه را می توان از قانون ضرب احتمال. قانون توزیع یک متغیر تصادفی:

ایکس	0	1	2	3
پ	1/30	3/10	1/2	1/6

بنابراین انتظارات ریاضی از این متغیر تصادفی:

م(ایکس) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

واریانس یک متغیر تصادفی داده شده عبارت است از:

D(ایکس) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

انتظار و واریانس یک متغیر تصادفی پیوسته

برای یک متغیر تصادفی پیوسته، تفسیر مکانیکی انتظار ریاضی همان معنی را حفظ خواهد کرد: مرکز جرم برای یک واحد جرم که به طور پیوسته روی محور x با چگالی توزیع شده است. f(ایکس). بر خلاف یک متغیر تصادفی گسسته که آرگومان تابع آن ایکسمنتغییر ناگهانی برای یک متغیر تصادفی پیوسته، آرگومان به طور مداوم تغییر می کند. اما انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی پیوسته با مقدار میانگین آن نیز مرتبط است.

برای یافتن انتظارات ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی پیوسته، باید انتگرال های معین را پیدا کنید. . اگر تابع چگالی یک متغیر تصادفی پیوسته داده شود، آنگاه مستقیماً وارد انتگرال می شود. اگر تابع توزیع احتمال داده شود، با تفکیک آن، باید تابع چگالی را پیدا کنید.

میانگین حسابی تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی پیوسته آن نامیده می شود انتظارات ریاضی، با یا نشان داده می شود.

ویژگی های عددی پایه متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته: انتظار ریاضی، پراکندگی و انحراف معیار. خواص و نمونه های آنها.

قانون توزیع (تابع توزیع و سری توزیع یا چگالی احتمال) به طور کامل رفتار یک متغیر تصادفی را توصیف می کند. اما در تعدادی از مسائل، دانستن برخی ویژگی های عددی مقدار مورد مطالعه (مثلاً مقدار میانگین آن و انحراف احتمالی از آن) برای پاسخ به سوال مطرح شده کافی است. بیایید ویژگی های عددی اصلی متغیرهای تصادفی گسسته را در نظر بگیریم.

تعریف 7.1.انتظارات ریاضییک متغیر تصادفی گسسته مجموع حاصل از مقادیر ممکن و احتمالات مربوط به آنها است:

م(ایکس) = ایکس 1 آر 1 + ایکس 2 آر 2 + … + x p p p.(7.1)

اگر تعداد مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی بی نهایت باشد، اگر سری حاصل کاملاً همگرا شود.

یادداشت 1.گاهی اوقات انتظار ریاضی نامیده می شود میانگین وزنی، زیرا تقریباً برابر است با میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده متغیر تصادفی در تعداد زیادیآزمایش.

تبصره 2.از تعریف انتظار ریاضی چنین برمی‌آید که مقدار آن از کوچک‌ترین مقدار ممکن یک متغیر تصادفی کمتر و از بزرگترین آن بیشتر نیست.

نکته 3.انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته است غیر تصادفی(ثابت. بعداً خواهیم دید که همین امر برای متغیرهای تصادفی پیوسته نیز صادق است.

مثال 1. انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را بیابید ایکس- تعداد قطعات استاندارد در بین سه قطعه انتخاب شده از یک دسته 10 قطعه، شامل 2 قطعه معیوب. بیایید یک سری توزیع برای ایکس. از شرایط مشکل چنین برمی آید که ایکسمی تواند مقادیر 1، 2، 3 را بگیرد. سپس

مثال 2. انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را تعیین کنید ایکس- تعداد پرتاب سکه قبل از اولین ظاهر شدن نشان. این کمیت می تواند بی نهایت مقدار به خود بگیرد (مجموعه مقادیر ممکن مجموعه اعداد طبیعی است). سری توزیع آن به شکل زیر است:

ایکس			…	پ	…
آر	0,5	(0,5) 2	…	(0,5)پ	…

+ (هنگام محاسبه، فرمول مجموع بی نهایت کاهش پیشرفت هندسی: ، جایی که ).

ویژگی های انتظار ریاضی

1) انتظار ریاضی از یک ثابت برابر است با خود ثابت:

م(با) = با.(7.2)

اثبات اگر در نظر بگیریم بابه عنوان یک متغیر تصادفی گسسته که فقط یک مقدار را می گیرد بابا احتمال آر= 1، پس م(با) = با?1 = با.

2) عامل ثابت را می توان از علامت انتظار ریاضی خارج کرد:

م(CX) = سانتی متر(ایکس). (7.3)

اثبات اگر متغیر تصادفی ایکسارائه شده توسط سری توزیع

سپس م(CX) = Cx 1 آر 1 + Cx 2 آر 2 + … + Cx p p p = با(ایکس 1 آر 1 + ایکس 2 آر 2 + … + x p r p) = سانتی متر(ایکس).

تعریف 7.2.دو متغیر تصادفی نامیده می شوند مستقل، اگر قانون توزیع یکی از آنها به مقادیری که دیگری گرفته است بستگی ندارد. در غیر این صورت متغیرهای تصادفی وابسته.

تعریف 7.3.بیا تماس بگیریم حاصل ضرب متغیرهای تصادفی مستقل ایکسو Y متغیر تصادفی XY، که مقادیر ممکن آن برابر با محصولات همه مقادیر ممکن است ایکسبرای تمام مقادیر ممکن Y، و احتمالات مربوطه برابر است با حاصل ضرب احتمالات عوامل.

3) انتظار ریاضی حاصل ضرب دو متغیر تصادفی مستقل با حاصلضرب انتظارات ریاضی آنها برابر است:

م(XY) = م(ایکس)م(Y). (7.4)

اثبات برای ساده کردن محاسبات، ما خود را به این مورد محدود می کنیم که ایکسو Yفقط دو مقدار ممکن را بگیرید:

از این رو، م(XY) = ایکس 1 y 1 ?پ 1 g 1 + ایکس 2 y 1 ?پ 2 g 1 + ایکس 1 y 2 ?پ 1 g 2 + ایکس 2 y 2 ?پ 2 g 2 = y 1 g 1 (ایکس 1 پ 1 + ایکس 2 پ 2) + + y 2 g 2 (ایکس 1 پ 1 + ایکس 2 پ 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (ایکس 1 پ 1 + ایکس 2 پ 2) = م(ایکس)?م(Y).

یادداشت 1.شما می توانید به طور مشابه این ویژگی را برای تعداد بیشتری از مقادیر احتمالی فاکتورها اثبات کنید.

تبصره 2.خاصیت 3 برای حاصل ضرب هر تعداد متغیر تصادفی مستقل صادق است که با استقرای ریاضی ثابت می شود.

تعریف 7.4.تعریف کنیم مجموع متغیرهای تصادفی ایکسو Y به عنوان یک متغیر تصادفی X+Yکه مقادیر ممکن آن برابر با مجموع هر مقدار ممکن است ایکسبا هر مقدار ممکن Y; احتمالات چنین مبالغی برابر است با حاصلضرب احتمالات شرایط (برای متغیرهای تصادفی وابسته - حاصلضرب احتمال یک جمله با احتمال شرطی دوم).

4) انتظار ریاضی از مجموع دو متغیر تصادفی (وابسته یا مستقل) برابر است با مجموع انتظارات ریاضی اصطلاحات:

م (X+Y) = م (ایکس) + م (Y). (7.5)

اثبات

اجازه دهید دوباره متغیرهای تصادفی تعریف شده توسط سری توزیع ارائه شده در اثبات ویژگی 3 را در نظر بگیریم. سپس مقادیر ممکن X+Yهستند ایکس 1 + در 1 , ایکس 1 + در 2 , ایکس 2 + در 1 , ایکس 2 + در 2. اجازه دهید احتمالات آنها را به ترتیب نشان دهیم آر 11 , آر 12 , آر 21 و آر 22. پیدا خواهیم کرد م(ایکس+Y) = (ایکس 1 + y 1)پ 11 + (ایکس 1 + y 2)پ 12 + (ایکس 2 + y 1)پ 21 + (ایکس 2 + y 2)پ 22 =

= ایکس 1 (پ 11 + پ 12) + ایکس 2 (پ 21 + پ 22) + y 1 (پ 11 + پ 21) + y 2 (پ 12 + پ 22).

این را ثابت کنیم آر 11 + آر 22 = آر 1 . در واقع، رویدادی که X+Yارزش ها را خواهد گرفت ایکس 1 + در 1 یا ایکس 1 + در 2 و احتمال آن است آر 11 + آر 22 مصادف با رویدادی است که ایکس = ایکس 1 (احتمال آن است آر 1). به طریق مشابه ثابت می شود که پ 21 + پ 22 = آر 2 , پ 11 + پ 21 = g 1 , پ 12 + پ 22 = g 2. به معنای،

م(X+Y) = ایکس 1 پ 1 + ایکس 2 پ 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = م (ایکس) + م (Y).

اظهار نظر. از خاصیت 4 نتیجه می شود که مجموع هر تعداد متغیر تصادفی با مجموع انتظارات ریاضی عبارت ها برابر است.

مثال. انتظار ریاضی از مجموع تعداد امتیازهای به دست آمده هنگام پرتاب پنج تاس را بیابید.

بیایید انتظار ریاضی تعداد نقاط پرتاب شده هنگام پرتاب یک تاس را پیدا کنیم:

م(ایکس 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) همین عدد برابر است با انتظار ریاضی تعداد نقاط پرتاب شده روی هر تاس. بنابراین به وسیله خاصیت 4 م(ایکس)=

پراکندگی.

برای داشتن ایده ای از رفتار یک متغیر تصادفی، دانستن تنها انتظارات ریاضی آن کافی نیست. دو متغیر تصادفی را در نظر بگیرید: ایکسو Y، توسط سری های توزیع فرم مشخص شده است

ایکس
آر	0,1	0,8	0,1

Y
پ	0,5	0,5

پیدا خواهیم کرد م(ایکس) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, م(Y) = 0?0.5 + 100?0.5 = 50. همانطور که می بینید، انتظارات ریاضی هر دو کمیت برابر است، اما اگر برای HM(ایکس) به خوبی رفتار یک متغیر تصادفی را توصیف می کند، که محتمل ترین مقدار ممکن آن است (و مقادیر باقی مانده تفاوت زیادی با 50 ندارند)، سپس مقادیر Yبه طور قابل توجهی از م(Y). بنابراین، در کنار انتظارات ریاضی، مطلوب است بدانیم که مقادیر یک متغیر تصادفی چقدر از آن انحراف دارد. برای مشخص کردن این شاخص، پراکندگی استفاده می شود.

تعریف 7.5.پراکندگی (پراکندگی)یک متغیر تصادفی انتظار ریاضی مربع انحراف آن از انتظار ریاضی آن است:

D(ایکس) = م (X-M(ایکس))². (7.6)

بیایید واریانس متغیر تصادفی را پیدا کنیم ایکس(تعداد قطعات استاندارد در بین موارد انتخاب شده) در مثال 1 این سخنرانی. بیایید مجذور انحراف هر مقدار ممکن از انتظار ریاضی را محاسبه کنیم:

(1 - 2.4) 2 = 1.96; (2 - 2.4) 2 = 0.16; (3 - 2.4) 2 = 0.36. از این رو،

یادداشت 1.در تعیین پراکندگی، انحراف از خود میانگین ارزیابی نمی شود، بلکه مربع آن است. این کار به گونه ای انجام می شود که انحرافات علائم مختلف یکدیگر را خنثی نکنند.

تبصره 2.از تعریف پراکندگی نتیجه می شود که این کمیت فقط مقادیر غیر منفی می گیرد.

نکته 3.فرمولی برای محاسبه واریانس وجود دارد که برای محاسبات راحت تر است که اعتبار آن در قضیه زیر ثابت می شود:

قضیه 7.1.D(ایکس) = م(ایکس²) - م²( ایکس). (7.7)

اثبات

با استفاده از چه م(ایکس) یک مقدار ثابت است و ویژگی های انتظار ریاضی، فرمول (7.6) را به شکل زیر تبدیل می کنیم:

D(ایکس) = م(X-M(ایکس))² = م(ایکس² - 2 X?M(ایکس) + م²( ایکس)) = م(ایکس 2) - 2 م(ایکس)?م(ایکس) + م²( ایکس) =

= م(ایکس 2) - 2 م²( ایکس) + م²( ایکس) = م(ایکس²) - م²( ایکس) چیزی بود که باید ثابت می شد.

مثال. بیایید واریانس متغیرهای تصادفی را محاسبه کنیم ایکسو Yدر ابتدای این بخش مورد بحث قرار گرفت. م(ایکس) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

م(Y) = (0 2 ?0.5 + 100²?0.5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. بنابراین، واریانس دومین متغیر تصادفی چندین هزار بار بیشتر از واریانس متغیر اول است. بنابراین، حتی بدون دانستن قوانین توزیع این مقادیر، با توجه به ارزش های شناخته شدهواریانس می توانیم بگوییم که ایکسکمی از انتظارات ریاضی خود منحرف می شود، در حالی که برای Yاین انحراف کاملاً قابل توجه است.

خواص پراکندگی.

1) واریانس یک مقدار ثابت بابرابر با صفر:

D (سی) = 0. (7.8)

اثبات D(سی) = م((سانتی متر(سی))²) = م((C-C)²) = م(0) = 0.

2) ضریب ثابت را می توان با مربع کردن آن از علامت پراکندگی خارج کرد:

D(CX) = سی² D(ایکس). (7.9)

اثبات D(CX) = م((CX-M(CX))²) = م((CX-CM(ایکس))²) = م(سی²( X-M(ایکس))²) =

= سی² D(ایکس).

3) واریانس مجموع دو متغیر تصادفی مستقل برابر است با مجموع واریانس آنها:

D(X+Y) = D(ایکس) + D(Y). (7.10)

اثبات D(X+Y) = م(ایکس² + 2 XY + Y²) - ( م(ایکس) + م(Y))² = م(ایکس 2) + 2 م(ایکس)م(Y) +

+ م(Y²) - م²( ایکس) - 2م(ایکس)م(Y) - م²( Y) = (م(ایکس²) - م²( ایکس)) + (م(Y²) - م²( Y)) = D(ایکس) + D(Y).

نتیجه 1.واریانس مجموع چندین متغیر تصادفی مستقل از یکدیگر برابر با مجموع واریانس آنها است.

نتیجه 2.واریانس مجموع یک متغیر ثابت و یک متغیر تصادفی برابر است با واریانس متغیر تصادفی.

4) واریانس تفاوت بین دو متغیر تصادفی مستقل برابر است با مجموع واریانس آنها:

D(X-Y) = D(ایکس) + D(Y). (7.11)

اثبات D(X-Y) = D(ایکس) + D(-Y) = D(ایکس) + (-1)² D(Y) = D(ایکس) + D(ایکس).

واریانس مقدار میانگین مجذور انحراف یک متغیر تصادفی را از میانگین می دهد. برای ارزیابی خود انحراف از مقداری به نام انحراف استاندارد استفاده می شود.

تعریف 7.6.انحراف معیارσ متغیر تصادفی ایکستماس گرفت ریشه دوماز پراکندگی:

مثال. در مثال قبلی، انحرافات استاندارد ایکسو Yبه ترتیب برابر هستند

انتظار توزیع احتمال یک متغیر تصادفی است

انتظارات ریاضی، تعریف، انتظارات ریاضی متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته، نمونه، انتظار شرطی، محاسبه، خواص، مسائل، تخمین انتظار، پراکندگی، تابع توزیع، فرمول‌ها، مثال‌های محاسبه

مطالب را گسترش دهید

جمع کردن محتوا

انتظارات ریاضی تعریف است

یکی از مهمترین مفاهیم در آمار ریاضیو نظریه احتمال، که توزیع مقادیر یا احتمالات یک متغیر تصادفی را مشخص می کند. به طور معمول به عنوان میانگین وزنی تمام پارامترهای ممکن یک متغیر تصادفی بیان می شود. به طور گسترده در تحلیل تکنیکال، مطالعه سری های اعداد و مطالعه فرآیندهای مستمر و وقت گیر استفاده می شود. در ارزیابی ریسک‌ها، پیش‌بینی شاخص‌های قیمت هنگام معامله در بازارهای مالی مهم است و در توسعه استراتژی‌ها و روش‌های تاکتیک‌های بازی در تئوری قمار استفاده می‌شود.

انتظار ریاضی استمقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی، توزیع احتمال یک متغیر تصادفی در نظریه احتمال در نظر گرفته می شود.

انتظار ریاضی استاندازه گیری مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی در نظریه احتمال. انتظار یک متغیر تصادفی ایکسنشان داده شده با M(x).

انتظار ریاضی است

انتظار ریاضی استدر نظریه احتمال، میانگین وزنی تمام مقادیر ممکن که یک متغیر تصادفی می تواند بگیرد.

انتظار ریاضی استمجموع حاصل از تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات این مقادیر.

انتظار ریاضی استمیانگین سود از یک تصمیم خاص، مشروط بر اینکه بتوان چنین تصمیمی را در چارچوب تئوری اعداد بزرگ و مسافت طولانی در نظر گرفت.

انتظار ریاضی استدر تئوری قمار، میزان بردی که یک بازیکن می تواند به طور متوسط ​​برای هر شرط به دست آورد یا از دست بدهد. در اصطلاح قمار، گاهی اوقات به آن "لبه بازیکن" (اگر برای بازیکن مثبت باشد) یا "لبه خانه" (اگر برای بازیکن منفی باشد) می گویند.

انتظار ریاضی استدرصد سود به ازای هر برد ضرب در سود متوسط، منهای احتمال ضرر ضرب در میانگین ضرر.

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی در نظریه ریاضی

یکی از ویژگی های عددی مهم یک متغیر تصادفی، انتظار ریاضی آن است. اجازه دهید مفهوم سیستم متغیرهای تصادفی را معرفی کنیم. بیایید مجموعه ای از متغیرهای تصادفی را در نظر بگیریم که نتایج همان آزمایش تصادفی هستند. اگر یکی از مقادیر ممکن سیستم باشد، آنگاه رویداد با احتمال خاصی مطابقت دارد که بدیهیات کولموگروف را برآورده می کند. تابعی که برای هر مقدار ممکن از متغیرهای تصادفی تعریف می شود، قانون توزیع مشترک نامیده می شود. این تابع به شما امکان می دهد تا احتمالات هر رویدادی را از آن محاسبه کنید. به طور خاص، قانون توزیع مشترک متغیرهای تصادفی و که مقادیری از مجموعه و با احتمالات داده می شود.

اصطلاح "انتظار ریاضی" توسط پیر سیمون مارکیز د لاپلاس (1795) معرفی شد و از مفهوم "ارزش مورد انتظار برنده" می آید که اولین بار در قرن هفدهم در نظریه قمار در آثار بلز پاسکال و کریستیان ظاهر شد. هویگنس. با این حال، اولین درک نظری و ارزیابی کامل از این مفهوم توسط پافنوتی لوویچ چبیشف (اواسط قرن نوزدهم) ارائه شد.

قانون توزیع متغیرهای عددی تصادفی (تابع توزیع و سری توزیع یا چگالی احتمال) به طور کامل رفتار یک متغیر تصادفی را توصیف می کند. اما در تعدادی از مسائل، دانستن برخی از خصوصیات عددی کمیت مورد مطالعه (مثلاً مقدار متوسط ​​و انحراف احتمالی آن) برای پاسخ به سوال مطرح شده کافی است. ویژگی های عددی اصلی متغیرهای تصادفی عبارتند از انتظار ریاضی، واریانس، حالت و میانه.

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته، مجموع حاصل از مقادیر ممکن و احتمالات مربوط به آن است. گاهی اوقات انتظارات ریاضی را میانگین وزنی می نامند، زیرا تقریباً برابر است با میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده یک متغیر تصادفی در تعداد زیادی آزمایش. از تعریف انتظار ریاضی چنین برمی‌آید که مقدار آن از کوچک‌ترین مقدار ممکن یک متغیر تصادفی کمتر و از بزرگترین آن بیشتر نیست. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی یک متغیر غیر تصادفی (ثابت) است.

انتظار ریاضی معنای فیزیکی ساده ای دارد: اگر یک واحد جرم را روی یک خط مستقیم قرار دهید، جرم خاصی را در برخی نقاط قرار دهید (برای توزیع گسسته)، یا آن را با چگالی معین «لکه کنید» (برای توزیع کاملاً پیوسته) ، سپس نقطه متناظر با انتظارات ریاضی مختصات "مرکز ثقل" مستقیم خواهد بود.

مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی عدد معینی است که همان طور که گفته شد «نماینده» آن است و در محاسبات تقریباً تقریبی جایگزین آن می شود. وقتی می گوییم: "متوسط ​​زمان کارکرد لامپ 100 ساعت است" یا "متوسط ​​نقطه ضربه نسبت به هدف 2 متر به سمت راست جابه جا شده است"، مشخصه عددی خاصی از یک متغیر تصادفی را نشان می دهیم که مکان آن را توصیف می کند. روی محور عددی، یعنی. "ویژگی های موقعیت".

از ویژگی های موقعیت در نظریه احتمال نقش حیاتیانتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را بازی می کند که گاهی اوقات به سادگی مقدار متوسط ​​متغیر تصادفی نامیده می شود.

متغیر تصادفی را در نظر بگیرید ایکس، داشتن مقادیر ممکن x1، x2، …، xnبا احتمالات p1, p2, …, pn. ما باید موقعیت مقادیر یک متغیر تصادفی را در محور x با مقداری مشخص کنیم، با در نظر گرفتن این واقعیت که این مقادیر احتمالات متفاوتی دارند. برای این منظور، طبیعی است که از به اصطلاح «میانگین وزنی» مقادیر استفاده شود xi، و هر مقدار xi در طول میانگین گیری باید با "وزن" متناسب با احتمال این مقدار در نظر گرفته شود. بنابراین، میانگین متغیر تصادفی را محاسبه خواهیم کرد ایکس، که به آن اشاره می کنیم M |X|:

این میانگین وزنی انتظار ریاضی متغیر تصادفی نامیده می شود. بنابراین، ما یکی از مهمترین مفاهیم نظریه احتمال - مفهوم انتظار ریاضی را در نظر گرفتیم. انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی، مجموع حاصل از همه مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات این مقادیر است.

ایکسبا یک وابستگی عجیب با میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده متغیر تصادفی در تعداد زیادی آزمایش مرتبط است. این وابستگی از همان نوع وابستگی بین فرکانس و احتمال است، یعنی: با تعداد زیادی آزمایش، میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده یک متغیر تصادفی به انتظارات ریاضی آن نزدیک می شود (در احتمال همگرا می شود). از وجود ارتباط بین فرکانس و احتمال، می توان به عنوان یک نتیجه، وجود یک ارتباط مشابه بین میانگین حسابی و انتظار ریاضی را نتیجه گرفت. در واقع، متغیر تصادفی را در نظر بگیرید ایکسبا یک سری توزیع مشخص می شود:

بگذارید تولید شود نآزمایش های مستقل، که در هر یک از آنها ارزش ایکسارزش خاصی به خود می گیرد. بیایید فرض کنیم که ارزش x1ظاهر شد m1بار، ارزش x2ظاهر شد متر مربعیک بار به معنای عام xiبارها ظاهر شد اجازه دهید میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده از مقدار X را محاسبه کنیم که بر خلاف انتظارات ریاضی M|X|نشان می دهیم M*|X|:

با افزایش تعداد آزمایشات نفرکانس ها پیبه احتمالات مربوطه نزدیک می شود (در احتمال همگرا می شود). در نتیجه، میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده از متغیر تصادفی M|X|با افزایش تعداد آزمایش ها، به انتظارات ریاضی خود نزدیک می شود (احتمال همگرایی). ارتباط بین میانگین حسابی و انتظار ریاضی فرموله شده در بالا محتوای یکی از اشکال قانون اعداد بزرگ را تشکیل می دهد.

ما قبلاً می دانیم که همه اشکال قانون اعداد بزرگ این واقعیت را بیان می کنند که برخی از میانگین ها در تعداد زیادی آزمایش پایدار هستند. در اینجا ما در مورد پایداری میانگین حسابی از یک سری مشاهدات با همان کمیت صحبت می کنیم. با تعداد کمی آزمایش، میانگین حسابی نتایج آنها تصادفی است. با افزایش کافی در تعداد آزمایش ها، "تقریبا غیر تصادفی" می شود و با تثبیت به یک مقدار ثابت - انتظار ریاضی نزدیک می شود.

پایداری میانگین ها در تعداد زیادی آزمایش را می توان به راحتی به صورت تجربی تأیید کرد. به عنوان مثال، توزین یک بدن در آزمایشگاه در ترازوهای دقیق، در نتیجه وزن کردن، هر بار مقدار جدیدی دریافت می کنیم. برای کاهش خطای مشاهده، بدن را چندین بار وزن کرده و از میانگین حسابی مقادیر به دست آمده استفاده می کنیم. به راحتی می توان دریافت که با افزایش بیشتر تعداد آزمایش ها (توزین)، میانگین حسابی کمتر و کمتر به این افزایش واکنش نشان می دهد و با تعداد کافی آزمایش، عملاً تغییر نمی کند.

لازم به ذکر است که مهمترین ویژگیموقعیت یک متغیر تصادفی - انتظار ریاضی - برای همه متغیرهای تصادفی وجود ندارد. می توان نمونه هایی از چنین متغیرهای تصادفی را که انتظار ریاضی برای آنها وجود ندارد، ایجاد کرد، زیرا مجموع یا انتگرال مربوطه واگرا می شود. با این حال، چنین مواردی برای تمرین جالب نیست. به طور معمول، متغیرهای تصادفی که با آنها سروکار داریم، محدوده محدودی از مقادیر ممکن و البته انتظار ریاضی دارند.

علاوه بر مهمترین ویژگی های موقعیت یک متغیر تصادفی - انتظار ریاضی - در عمل، گاهی اوقات از سایر ویژگی های موقعیت به ویژه حالت و میانه متغیر تصادفی استفاده می شود.

حالت یک متغیر تصادفی محتمل ترین مقدار آن است. اصطلاح "محتمل ترین ارزش" به طور دقیق فقط در مورد کمیت های ناپیوسته کاربرد دارد. برای مقدار پیوستهحالت مقداری است که در آن چگالی احتمال حداکثر است. شکل ها به ترتیب حالت متغیرهای تصادفی ناپیوسته و پیوسته را نشان می دهند.

اگر چندضلعی توزیع (منحنی توزیع) بیش از یک ماکزیمم داشته باشد، توزیع را "چند وجهی" می نامند.

گاهی اوقات توزیع هایی وجود دارند که یک حداقل در وسط دارند نه حداکثر. چنین توزیع هایی "ضد وجهی" نامیده می شوند.

که در مورد کلیحالت و انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی با هم مطابقت ندارند. در حالت خاص، وقتی توزیع متقارن و مدال است (یعنی حالت دارد) و انتظار ریاضی وجود دارد، آنگاه با حالت و مرکز تقارن توزیع منطبق است.

یکی دیگر از مشخصه های موقعیت اغلب استفاده می شود - به اصطلاح میانه یک متغیر تصادفی. این مشخصه معمولاً فقط برای متغیرهای تصادفی پیوسته استفاده می شود، اگرچه می توان آن را به طور رسمی برای یک متغیر ناپیوسته تعریف کرد. از نظر هندسی، میانه آبسیسا نقطه ای است که در آن ناحیه محصور شده توسط منحنی توزیع به نصف تقسیم می شود.

در مورد توزیع مودال متقارن، میانه با انتظارات و حالت ریاضی منطبق است.

انتظارات ریاضی مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی است - یک مشخصه عددی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی. در کلی ترین حالت، انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی است X(w)به عنوان انتگرال Lebesgue با توجه به اندازه گیری احتمال تعریف می شود آردر فضای احتمال اصلی:

انتظارات ریاضی را می توان به عنوان انتگرال Lebesgue نیز محاسبه کرد ایکسبا توزیع احتمال pxمقادیر ایکس:

مفهوم متغیر تصادفی با انتظارات ریاضی بی نهایت را می توان به روشی طبیعی تعریف کرد. یک مثال معمولیبه عنوان زمان بازگشت در برخی از پیاده روی های تصادفی خدمت می کنند.

با استفاده از انتظارات ریاضی، بسیاری از عددی و ویژگی های عملکردیتوزیع ها (به عنوان انتظار ریاضی توابع متناظر از یک متغیر تصادفی)، به عنوان مثال، تابع تولید، تابع مشخصه، گشتاورهای هر مرتبه، به ویژه پراکندگی، کوواریانس.

انتظارات ریاضی مشخصه مکان مقادیر یک متغیر تصادفی (مقدار متوسط ​​توزیع آن) است. در این ظرفیت، انتظار ریاضی به عنوان برخی از پارامترهای توزیع "معمولی" عمل می کند و نقش آن مشابه نقش لحظه ایستا - مختصات مرکز ثقل توزیع جرم - در مکانیک است. از دیگر ویژگی های مکان که با کمک آنها توزیع به طور کلی توصیف می شود - میانه ها، حالت ها، انتظارات ریاضی در مقدار بیشتری که آن و مشخصه پراکندگی مربوطه - پراکندگی - در قضایای حدی نظریه احتمال دارند متفاوت است. معنای انتظار ریاضی به طور کامل توسط قانون اعداد بزرگ (نابرابری چبیشف) و قانون تقویت شده اعداد بزرگ آشکار می شود.

انتظار یک متغیر تصادفی گسسته

بگذارید یک متغیر تصادفی وجود داشته باشد که بتواند یکی از چندین مقدار عددی را بگیرد (مثلاً تعداد امتیازها هنگام پرتاب تاس می تواند 1، 2، 3، 4، 5 یا 6 باشد). اغلب در عمل، برای چنین مقداری، این سوال مطرح می شود: با تعداد زیادی تست، چه مقداری به طور متوسط ​​می گیرد؟ میانگین درآمد (یا ضرر) ما از هر یک از معاملات پرخطر چقدر خواهد بود؟

فرض کنید نوعی قرعه کشی وجود دارد. ما می خواهیم بفهمیم که آیا شرکت در آن سودآور است یا نه (یا حتی شرکت مکرر و منظم). بیایید بگوییم که هر بلیط چهارم برنده است، جایزه 300 روبل و قیمت هر بلیط 100 روبل خواهد بود. با تعداد بی نهایت زیاد مشارکت، این اتفاق می افتد. در سه چهارم موارد ما ضرر خواهیم کرد، هر سه ضرر 300 روبل هزینه خواهد داشت. در هر چهارمین مورد 200 روبل برنده خواهیم شد. (جایزه منهای هزینه)، یعنی برای چهار شرکت به طور متوسط ​​100 روبل از دست می دهیم، برای یک - به طور متوسط ​​25 روبل. در مجموع، میانگین نرخ خرابی ما برای هر بلیط 25 روبل خواهد بود.

پرتاب می کنیم تاس. اگر تقلب نباشد (بدون جابجایی مرکز ثقل و غیره)، پس به طور میانگین در یک زمان چند امتیاز خواهیم داشت؟ از آنجایی که احتمال هر گزینه به یک اندازه است، به سادگی میانگین حسابی را می گیریم و 3.5 می گیریم. از آنجایی که این میانگین است، نیازی به عصبانیت نیست که هیچ رول خاصی 3.5 امتیاز نمی دهد - خوب، این مکعب با چنین عددی روبرو نیست!

حال بیایید نمونه های خود را خلاصه کنیم:

بیایید به تصویر ارائه شده نگاه کنیم. در سمت چپ جدولی از توزیع یک متغیر تصادفی وجود دارد. مقدار X می تواند یکی از n مقدار ممکن را بگیرد (نشان داده شده در خط بالا). معانی دیگری نمی تواند وجود داشته باشد. در زیر هر مقدار ممکن، احتمال آن در زیر نوشته شده است. در سمت راست فرمول است که در آن M(X) انتظار ریاضی نامیده می شود. معنای این مقدار این است که با تعداد زیادی تست (با نمونه بزرگ)، مقدار متوسط ​​به همان انتظار ریاضی تمایل پیدا می کند.

بیایید دوباره به همان مکعب بازی برگردیم. انتظار ریاضی تعداد امتیازها هنگام پرتاب 3.5 است (اگر باور ندارید، خودتان آن را با استفاده از فرمول محاسبه کنید). فرض کنید شما آن را چند بار پرتاب کردید. نتایج 4 و 6 بود. میانگین 5 بود که با 3.5 فاصله زیادی دارد. یه بار دیگه انداختن 3 یعنی به طور متوسط ​​(4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... یه جورایی دور از انتظار ریاضی. اکنون یک آزمایش دیوانه انجام دهید - مکعب را 1000 بار بچرخانید! و حتی اگر میانگین دقیقاً 3.5 نباشد، به آن نزدیک خواهد شد.

بیایید انتظارات ریاضی برای قرعه کشی که در بالا توضیح داده شد را محاسبه کنیم. صفحه به شکل زیر خواهد بود:

سپس انتظارات ریاضی همانطور که در بالا مشخص کردیم خواهد بود:

نکته دیگر این است که اگر گزینه های بیشتری وجود داشته باشد، انجام آن "روی انگشتان" بدون فرمول دشوار خواهد بود. خوب، بیایید بگوییم که 75 درصد بلیت های از دست رفته، 20 درصد بلیت های برنده و 5 درصد به ویژه بلیت های برنده وجود دارد.

در حال حاضر برخی از ویژگی های انتظار ریاضی.

اثبات آن آسان است:

عامل ثابت را می توان به عنوان نشانه ای از انتظار ریاضی خارج کرد، یعنی:

این یک مورد خاص از ویژگی خطی بودن انتظار ریاضی است.

پیامد دیگر خطی بودن انتظار ریاضی:

یعنی انتظار ریاضی از مجموع متغیرهای تصادفی برابر است با مجموع انتظارات ریاضی متغیرهای تصادفی.

اجازه دهید X، Y متغیرهای تصادفی مستقل باشند، سپس:

این نیز به راحتی قابل اثبات است) کار کنید XYخود یک متغیر تصادفی است، و اگر مقادیر اولیه می تواند باشد nو متربر این اساس ارزش می دهد، پس XYمی تواند مقادیر nm را بگیرد. احتمال هر مقدار بر اساس چند برابر شدن احتمالات رویدادهای مستقل محاسبه می شود. در نتیجه این را دریافت می کنیم:

انتظار یک متغیر تصادفی پیوسته

متغیرهای تصادفی پیوسته دارای ویژگی هایی مانند چگالی توزیع (چگالی احتمال) هستند. اساساً وضعیتی را مشخص می کند که یک متغیر تصادفی مقادیری را از مجموعه اعداد واقعی اغلب و برخی دیگر را کمتر می گیرد. برای مثال این نمودار را در نظر بگیرید:

اینجا ایکس- متغیر تصادفی واقعی، f(x)- چگالی توزیع با قضاوت در این نمودار، در طول آزمایش مقدار ایکساغلب عددی نزدیک به صفر خواهد بود. شانس بیش از حد است 3 یا کوچکتر باشد -3 نه صرفا نظری

به عنوان مثال، یک توزیع یکنواخت وجود داشته باشد:

این کاملاً با درک شهودی سازگار است. بیایید بگوییم اگر به آن رسیدیم توزیع یکنواختبسیاری از اعداد واقعی تصادفی، هر کدام از یک بخش |0; 1| ، پس میانگین حسابی باید حدود 0.5 باشد.

ویژگی‌های انتظار ریاضی - خطی بودن و غیره که برای متغیرهای تصادفی گسسته قابل اعمال هستند، در اینجا نیز قابل استفاده هستند.

رابطه بین انتظارات ریاضی و سایر شاخص های آماری

در تحلیل آماری، همراه با انتظارات ریاضی، سیستمی از شاخص‌های وابسته به هم وجود دارد که همگنی پدیده‌ها و پایداری فرآیندها را منعکس می‌کند. شاخص های تنوع اغلب معنای مستقلی ندارند و برای تجزیه و تحلیل بیشتر داده ها استفاده می شوند. استثنا ضریب تغییرات است که همگن بودن داده ها را مشخص می کند که ارزشمند است مشخصه آماری.

درجه تغییرپذیری یا پایداری فرآیندها در علم آمار را می توان با استفاده از چند شاخص اندازه گیری کرد.

اکثر شاخص مهم، مشخص کننده تغییرپذیری یک متغیر تصادفی است پراکندگیکه نزدیک ترین و مستقیم ترین ارتباط را با انتظارات ریاضی دارد. این پارامتر به طور فعال در انواع دیگر تحلیل های آماری (آزمایش فرضیه، تجزیه و تحلیل روابط علت و معلولی و غیره) استفاده می شود. مانند میانگین انحراف خطی، واریانس نیز میزان گسترش داده ها را در اطراف منعکس می کند اندازه متوسط.

ترجمه زبان نشانه ها به زبان کلمات مفید است. معلوم می شود که پراکندگی میانگین مربعات انحرافات است. یعنی ابتدا مقدار میانگین محاسبه می شود، سپس تفاوت بین هر مقدار اصلی و میانگین گرفته شده، مربع، اضافه شده و سپس بر تعداد مقادیر موجود در جامعه تقسیم می شود. تفاوت بین یک مقدار فردی و میانگین نشان دهنده اندازه گیری انحراف است. مربع به طوری که تمام انحرافات منحصرا تبدیل شوند اعداد مثبتو در جمع بندی انحرافات مثبت و منفی از تخریب متقابل خودداری شود. سپس با توجه به مجذور انحرافات، به سادگی میانگین حسابی را محاسبه می کنیم. میانگین - مربع - انحرافات. انحرافات مجذور و میانگین محاسبه می شود. پاسخ به کلمه جادویی "پراکندگی" فقط در سه کلمه نهفته است.

با این حال، در شکل خالص، مانند میانگین حسابی، یا شاخص، واریانس استفاده نمی شود. این بیشتر یک شاخص کمکی و میانی است که برای انواع دیگر تحلیل های آماری استفاده می شود. حتی یک واحد اندازه گیری معمولی هم ندارد. با قضاوت بر اساس فرمول، این مربع واحد اندازه گیری داده های اصلی است.

اجازه دهید یک متغیر تصادفی را اندازه گیری کنیم نبرای مثال سرعت باد را ده بار اندازه می گیریم و می خواهیم مقدار متوسط ​​را پیدا کنیم. مقدار متوسط ​​چگونه با تابع توزیع مرتبط است؟

یا تاس می اندازیم تعداد زیادی ازیک بار. تعداد نقاطی که با هر پرتاب روی تاس ظاهر می شود یک متغیر تصادفی است و می تواند هر مقدار طبیعی را از 1 تا 6 داشته باشد. نبه یک عدد بسیار خاص تمایل دارد - انتظار ریاضی Mx. که در در این مورد Mx = 3.5.

چگونه به این مقدار رسیدید؟ بگذار وارد شود نتست ها n1 1 امتیاز یک بار رول می شود n2یک بار - 2 امتیاز و غیره. سپس تعداد نتایجی که در آنها یک امتیاز کاهش یافته است:

به طور مشابه برای نتایج زمانی که 2، 3، 4، 5 و 6 امتیاز داده می شود.

اکنون فرض می کنیم که قانون توزیع متغیر تصادفی x را می دانیم، یعنی می دانیم که متغیر تصادفی x می تواند مقادیر x1، x2، ...، xk را با احتمالات p1، p2، ​​...، بگیرد. pk.

انتظار ریاضی Mx از یک متغیر تصادفی x برابر است با:

انتظارات ریاضی همیشه تخمین معقولی از برخی متغیرهای تصادفی نیست. بنابراین، برای تخمین میانگین دستمزدمنطقی تر است که از مفهوم میانه استفاده کنیم، یعنی به گونه ای مقداری که تعداد افرادی که حقوق کمتر از میانه و بزرگتر دریافت می کنند، مطابقت داشته باشند.

احتمال p1 که متغیر تصادفی x کمتر از x1/2 باشد و احتمال p2 که متغیر تصادفی x بزرگتر از x1/2 باشد، یکسان و برابر با 1/2 است. میانه به طور منحصر به فرد برای همه توزیع ها تعیین نمی شود.

استاندارد یا انحراف استاندارددر آمار به درجه انحراف داده ها یا مجموعه های مشاهده ای از مقدار AVERAGE گفته می شود. با حروف s یا s مشخص می شود. یک انحراف معیار کوچک نشان می دهد که داده ها در اطراف میانگین خوشه می شوند، در حالی که یک انحراف استاندارد بزرگ نشان می دهد که داده های اولیه دور از آن قرار دارند. انحراف معیار برابر است با جذر کمیتی به نام واریانس. میانگین مجموع مجذور اختلاف داده های اولیه است که از مقدار متوسط ​​منحرف می شود. انحراف استاندارد یک متغیر تصادفی جذر واریانس است:

مثال. در شرایط آزمایش هنگام شلیک به یک هدف، پراکندگی و انحراف استاندارد متغیر تصادفی را محاسبه کنید:

تغییر- نوسان، تغییرپذیری ارزش یک مشخصه در بین واحدهای جمعیت. مقادیر عددی منفرد یک مشخصه که در جمعیت مورد مطالعه یافت می شود، انواع مقادیر نامیده می شود. مقدار متوسط ​​ناکافی برای مشخصات کاملجمعیت ما را مجبور می کند که مقادیر متوسط ​​را با شاخص هایی تکمیل کنیم که امکان ارزیابی معمولی بودن این میانگین ها را با اندازه گیری تغییرپذیری (تغییر) مشخصه مورد مطالعه امکان پذیر می کند. ضریب تغییرات با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

محدوده تنوع(R) نشان دهنده تفاوت بین مقادیر حداکثر و حداقل ویژگی در جمعیت مورد مطالعه است. این شاخص کلی ترین ایده را در مورد تغییرپذیری مشخصه مورد مطالعه ارائه می دهد، زیرا تنها تفاوت بین حداکثر مقادیر گزینه ها را نشان می دهد. وابستگی به مقادیر شدید یک مشخصه به دامنه تغییرات یک شخصیت ناپایدار و تصادفی می دهد.

میانگین انحراف خطیمیانگین حسابی انحرافات مطلق (مدول) همه مقادیر جمعیت مورد تجزیه و تحلیل را از مقدار متوسط ​​آنها نشان می دهد:

انتظارات ریاضی در نظریه قمار

انتظار ریاضی استمیانگین مقدار پولی که یک قمارباز می تواند در یک شرط بندی برنده یا ببازد. این یک مفهوم بسیار مهم برای بازیکن است زیرا برای ارزیابی بیشتر موقعیت های بازی اساسی است. انتظارات ریاضی نیز ابزار بهینه برای تجزیه و تحلیل طرح‌بندی کارت‌ها و موقعیت‌های بازی است.

فرض کنید در حال انجام یک بازی سکه ای با یک دوست هستید و هر بار به اندازه یک دلار شرط بندی می کنید، مهم نیست چه اتفاقی می افتد. دم به معنای برنده شدن است، سر یعنی باخت. شانس بالا رفتن یک به یک است، بنابراین شما 1 دلار به 1 دلار شرط می بندید. بنابراین، انتظارات ریاضی شما صفر است، زیرا از نقطه نظر ریاضی، شما نمی توانید بدانید که آیا بعد از دو پرتاب پیشروی می کنید یا می بازید یا بعد از 200.

سود ساعتی شما صفر است. برنده های ساعتی مقدار پولی است که انتظار دارید در یک ساعت برنده شوید. شما می توانید یک سکه را 500 بار در یک ساعت پرتاب کنید، اما نه برنده خواهید شد و نه بازنده زیرا... شانس شما نه مثبت است و نه منفی. اگر به آن نگاه کنید، از دید یک بازیکن جدی، این سیستم شرط بندی بد نیست. اما این به سادگی اتلاف وقت است.

اما فرض کنید شخصی می خواهد در همان بازی 2 دلار در برابر 1 دلار شما شرط بندی کند. سپس بلافاصله انتظار مثبت 50 سنت از هر شرط دارید. چرا 50 سنت؟ به طور متوسط، یک شرط را برنده می شوید و شرط دوم را می بازید. دلار اول را شرط بندی کنید و 1 دلار را ببازید. شما دو بار 1 دلار شرط می بندید و 1 دلار جلوتر هستید. بنابراین هر شرط یک دلاری شما 50 سنت به شما داد.

اگر یک سکه 500 بار در یک ساعت ظاهر شود، برنده ساعتی شما در حال حاضر 250 دلار خواهد بود، زیرا ... به طور متوسط، شما یک دلار را 250 بار باختید و دو دلار را 250 بار بردید. 500 دلار منهای 250 دلار معادل 250 دلار است که کل بردها است. لطفاً توجه داشته باشید که ارزش مورد انتظار، که میانگین مبلغی است که در هر شرط برنده می‌شوید، 50 سنت است. شما با 500 بار شرط‌بندی یک دلار، 250 دلار بردید، که معادل 50 سنت در هر شرط است.

انتظارات ریاضی ربطی به نتایج کوتاه مدت ندارد. حریف شما که تصمیم گرفته 2 دلار علیه شما شرط بندی کند، می تواند شما را در ده رول اول متوالی شکست دهد، اما شما با داشتن مزیت شرط بندی 2 به 1، در شرایطی که همه چیزها برابر باشند، در هر شرط 1 دلاری، 50 سنت به دست خواهید آورد. موقعیت. فرقی نمی‌کند که یک شرط برنده شوید یا ببازید یا چند شرط، تا زمانی که پول نقد کافی برای پوشش راحت هزینه‌ها داشته باشید. اگر به شرط بندی به همان روش ادامه دهید، پس از مدتی طولانی، برد شما به مجموع انتظارات در پرتاب های فردی نزدیک می شود.

هر بار که بهترین شرط بندی را انجام می دهید (شرطی که ممکن است در درازمدت سودآور باشد)، زمانی که شانس به نفع شما باشد، مطمئناً چیزی را برنده خواهید شد، مهم نیست که آن را ببازید یا نه. دست داده شده برعکس، اگر در زمانی که احتمالات علیه شما وجود دارد، یک شرط بندی ضعیف انجام دهید (شرطی که در درازمدت سودآور نیست)، بدون در نظر گرفتن اینکه برنده شوید یا ببازید، چیزی را از دست می دهید.

اگر انتظارات شما مثبت باشد، شرط بندی را با بهترین نتیجه انجام می دهید، و اگر شانس به سمت شما باشد، این شرط بندی مثبت است. وقتی شرط بندی می کنید که بدترین نتیجه را داشته باشد، یک انتظار منفی دارید، که زمانی اتفاق می افتد که شانس با شما مخالف باشد. بازیکنان جدی فقط بر روی بهترین نتیجه شرط می‌بندند، اگر بدترین اتفاق بیفتد، آنها را فولد می‌کنند. شانس به نفع شما به چه معناست؟ ممکن است در نهایت بیشتر از شانس های واقعی برنده شوید. شانس های واقعیشانس 1 به 1 است که بالا بیاید، اما شما به دلیل نسبت شرط بندی ها 2 به 1 می گیرید. در این مورد، شانس به نفع شماست. شما قطعا بهترین نتیجه را با انتظار مثبت 50 سنت در هر شرط می گیرید.

در اینجا بیشتر است مثال پیچیدهانتظارات ریاضی یکی از دوستان اعداد یک تا پنج را می نویسد و 5 دلار در برابر 1 دلار شما شرط می بندد که عدد را حدس نزنید. آیا باید با چنین شرط بندی موافقت کنید؟ در اینجا چه انتظاری وجود دارد؟

به طور متوسط ​​چهار بار اشتباه خواهید کرد. بر این اساس، احتمال اینکه شما عدد را حدس بزنید 4 به 1 است. احتمال از دست دادن یک دلار در یک بار تلاش وجود دارد. با این حال، شما 5 بر 1 برنده می شوید، با احتمال شکست 4 بر 1. بنابراین شانس به نفع شما است، می توانید شرط بندی را انجام دهید و به بهترین نتیجه امیدوار باشید. اگر این شرط را پنج بار انجام دهید، به طور متوسط ​​1 دلار چهار بار باخت و 5 دلار یک بار برنده خواهید شد. بر این اساس، برای هر پنج تلاش، 1 دلار با انتظار ریاضی مثبت 20 سنت در هر شرط به دست خواهید آورد.

بازیکنی که قرار است بیش از آنچه شرط بندی می کند برنده شود، مانند مثال بالا، در حال گرفتن شانس است. برعکس، زمانی که انتظار دارد کمتر از آنچه شرط بندی می کند، برنده شود، شانس خود را از بین می برد. یک شرط‌بند می‌تواند انتظار مثبت یا منفی داشته باشد، که بستگی به برنده شدن یا خراب کردن شانس دارد.

اگر 50 دلار برای برنده شدن 10 دلار با شانس 4 به 1 شرط بندی کنید، انتظار منفی 2 دلار خواهید داشت زیرا به طور متوسط، چهار بار 10 دلار برنده می شوید و یک بار 50 دلار از دست می دهید، که نشان می دهد ضرر هر شرط 10 دلار خواهد بود. اما اگر 30 دلار برای بردن 10 دلار شرط بندی کنید، با همان شانس 4 بر 1 برنده شدن، در این صورت انتظار مثبت 2 دلار دارید، زیرا شما دوباره 10 دلار چهار بار برنده می شوید و یک بار 30 دلار از دست می دهید، برای سود 10 دلار. این مثال ها نشان می دهد که شرط اول بد است و شرط دوم خوب است.

انتظارات ریاضی مرکز هر چیزی است وضعیت بازی. زمانی که یک شرکت شرط‌بندی هواداران فوتبال را تشویق می‌کند که ۱۱ دلار شرط ببندند تا ۱۰ دلار برنده شوند، انتظار مثبت ۵۰ سنت از هر ۱۰ دلار دارد. اگر کازینو حتی پولی را از خط پاس به صورت craps پرداخت کند، انتظار مثبت کازینو تقریباً 1.40 دلار برای هر 100 دلار خواهد بود، زیرا ساختار این بازی به گونه ای است که هر کسی که روی این خط شرط بندی می کند به طور متوسط ​​50.7 درصد بازنده است و 49.3 درصد از کل زمان برنده می شود. بدون شک، همین انتظارات مثبت به ظاهر حداقلی است که سود هنگفتی را برای صاحبان کازینو در سراسر جهان به ارمغان می آورد. همانطور که باب استوپاک، صاحب کازینو وگاس ورلد اشاره کرد، "یک هزارم یک درصد احتمال منفی در یک مسافت کافی طولانی، خراب خواهد شد. ثروتمندترین مرددر جهان".

انتظارات هنگام بازی پوکر

بازی پوکر آشکارترین و یک مثال واضحاز نقطه نظر استفاده از نظریه و ویژگی های انتظار ریاضی.

ارزش مورد انتظار در پوکر میانگین سود حاصل از یک تصمیم خاص است، مشروط بر اینکه چنین تصمیمی در چارچوب تئوری اعداد بزرگ و مسافت طولانی در نظر گرفته شود. یک بازی پوکر موفق این است که همیشه حرکاتی را با ارزش مورد انتظار مثبت بپذیرید.

معنای ریاضی انتظارات ریاضی هنگام بازی پوکر این است که ما اغلب هنگام تصمیم گیری با متغیرهای تصادفی مواجه می شویم (ما نمی دانیم که حریف چه کارت هایی در دست دارد، چه کارت هایی در دورهای بعدی شرط بندی خواهد آمد). ما باید هر یک از راه حل ها را از دیدگاه نظریه اعداد بزرگ در نظر بگیریم، که بیان می کند که با یک نمونه به اندازه کافی بزرگ، مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی به انتظارات ریاضی آن تمایل دارد.

در میان فرمول های خاص برای محاسبه انتظارات ریاضی، موارد زیر در پوکر بیشتر کاربرد دارند:

هنگام بازی پوکر، ارزش مورد انتظار را می توان برای شرط ها و تماس ها محاسبه کرد. در مورد اول، برابری سهام باید در نظر گرفته شود، در مورد دوم، شانس خود بانک. هنگام ارزیابی انتظارات ریاضی از یک حرکت خاص، باید به یاد داشته باشید که یک فولد همیشه انتظار صفر دارد. بنابراین، دور انداختن کارت‌ها همیشه یک تصمیم سودآورتر از هر حرکت منفی خواهد بود.

انتظارات به شما می گوید که برای هر دلاری که ریسک می کنید چه انتظاری دارید (سود یا ضرر). کازینوها پول در می آورند زیرا انتظارات ریاضی از همه بازی هایی که در آنها انجام می شود به نفع کازینو است. با یک سری بازی به اندازه کافی طولانی، می توانید انتظار داشته باشید که مشتری پول خود را از دست بدهد، زیرا "شانس" به نفع کازینو است. با این حال، بازیکنان حرفه‌ای کازینو بازی‌های خود را به دوره‌های زمانی کوتاه محدود می‌کنند و در نتیجه شانس‌ها را به نفع خود جمع می‌کنند. در مورد سرمایه گذاری هم همینطور. اگر انتظارات شما مثبت باشد، می توانید درآمد کسب کنید پول بیشتر، انجام معاملات بسیاری در مدت زمان کوتاه. انتظار عبارت است از درصد سود به ازای هر برد ضربدر میانگین سود، منهای احتمال ضرر ضربدر میانگین ضرر شما.

پوکر را می توان از نقطه نظر انتظارات ریاضی نیز در نظر گرفت. ممکن است تصور کنید که یک حرکت خاص سودآور است، اما در برخی موارد ممکن است بهترین نباشد زیرا حرکت دیگری سودآورتر است. فرض کنید در پوکر پنج کارتی به یک خانه کامل رسیدید. حریف شما شرط بندی می کند. شما می دانید که اگر شرط را افزایش دهید، او پاسخ خواهد داد. بنابراین به نظر می رسد بالا بردن بهترین تاکتیک باشد. اما اگر شرط را افزایش دهید، دو بازیکن باقی مانده قطعا تا می شوند. اما اگر تماس بگیرید، اطمینان کامل دارید که دو بازیکن دیگر پشت سر شما نیز همین کار را خواهند کرد. وقتی شرط خود را افزایش می دهید یک واحد دریافت می کنید و وقتی فقط تماس می گیرید دو واحد دریافت می کنید. بنابراین تماس، ارزش مورد انتظار مثبت بالاتری به شما می دهد و خواهد بود بهترین تاکتیک ها.

انتظارات ریاضی همچنین می‌تواند ایده‌ای درباره اینکه کدام تاکتیک‌های پوکر سود کمتری دارند و کدامیک سودآورتر هستند، به دست دهد. به عنوان مثال، اگر یک دست خاص بازی می کنید و فکر می کنید ضرر شما به طور متوسط ​​75 سنت با احتساب آنت است، باید آن دست را بازی کنید زیرا این بهتر از تا کردن زمانی است که آنت 1 دلار است.

یکی دیگر از دلایل مهم برای درک مفهوم ارزش مورد انتظار این است که به شما احساس آرامش می‌دهد، چه برنده شوید یا نه: اگر شرط‌بندی خوبی انجام دادید یا در زمان مناسب آن را انجام دادید، می‌دانید که کسب کرده‌اید یا مقدار معینی پول را پس انداز کرد که بازیکن ضعیفتر نتوانست پس انداز کند. اگر ناراحت هستید، فولد کردن بسیار سخت تر است زیرا حریف شما دست قوی تری کشید. با همه اینها، پولی که با بازی نکردن به جای شرط بندی پس انداز می کنید، به بردهای شما در شب یا ماه اضافه می شود.

فقط به یاد داشته باشید که اگر دست خود را تغییر می دادید، حریف شما را صدا می زد و همانطور که در مقاله قضیه اساسی پوکر خواهید دید، این تنها یکی از مزایای شماست. وقتی این اتفاق می افتد باید خوشحال باشید. حتی می توانید یاد بگیرید که از از دست دادن یک دست لذت ببرید زیرا می دانید که بازیکنان دیگر در موقعیت شما بسیار بیشتر از این دست را از دست داده اند.

همانطور که در مثال بازی سکه در ابتدا بحث شد، نسبت سود ساعتی با انتظارات ریاضی مرتبط است و این مفهومبه ویژه برای بازیکنان حرفه ای مهم است. وقتی به بازی پوکر می روید، باید به طور ذهنی تخمین بزنید که در یک ساعت بازی چقدر می توانید برنده شوید. در بیشتر موارد باید به شهود و تجربه خود تکیه کنید، اما می توانید از ریاضیات نیز استفاده کنید. به عنوان مثال، شما در حال بازی کردن در لوبال هستید و می بینید که سه بازیکن 10 دلار شرط بندی می کنند و سپس دو کارت را مبادله می کنند که تاکتیک بسیار بدی است، می توانید بفهمید که هر بار که 10 دلار شرط بندی می کنند، حدود 2 دلار از دست می دهند. هر کدام از آنها این کار را هشت بار در ساعت انجام می دهند، یعنی هر سه آنها تقریباً 48 دلار در ساعت ضرر می کنند. شما یکی از چهار بازیکن باقیمانده هستید که تقریباً برابر هستند، بنابراین این چهار بازیکن (و شما در میان آنها) باید 48 دلار تقسیم کنید و هر ساعت سودی معادل 12 دلار داشته باشد. شانس ساعتی شما در این مورد به سادگی برابر با سهم شما از مقدار پولی است که سه بازیکن بد در یک ساعت از دست داده اند.

در یک دوره زمانی طولانی، کل بردهای بازیکن مجموع انتظارات ریاضی او در دستان فردی است. هر چه دست های بیشتری با انتظارات مثبت بازی کنید، بیشتر برنده می شوید و بالعکس، هر چه دست های بیشتری با انتظارات منفی بازی کنید، بیشتر بازنده می شوید. در نتیجه، باید بازی‌ای را انتخاب کنید که بتواند انتظارات مثبت شما را به حداکثر برساند یا پیش‌بینی منفی‌تان را خنثی کند تا بتوانید برنده‌های ساعتی خود را به حداکثر برسانید.

انتظارات ریاضی مثبت در استراتژی بازی

اگر می دانید چگونه کارت ها را بشمارید، می توانید نسبت به کازینو برتری داشته باشید، به شرطی که متوجه نشوند و شما را بیرون نکنند. کازینوها عاشق بازیکنان مست هستند و بازیکنان شمارش کارت را تحمل نمی کنند. یک مزیت به شما این امکان را می دهد که بیشتر از آنچه در طول زمان باختید، برنده شوید. مدیریت خوبسرمایه در هنگام استفاده از محاسبات ارزش مورد انتظار می تواند به شما کمک کند سود بیشتری را از مزیت خود استخراج کرده و زیان خود را کاهش دهید. بدون مزیت، بهتر است پول را به خیریه بدهید. در بازی در بورس، مزیت سیستم بازی است که نسبت به ضرر، اختلاف قیمت و پورسانت سود بیشتری ایجاد می کند. هیچ مقدار مدیریت پول نمی تواند یک سیستم بازی بد را نجات دهد.

انتظار مثبت به عنوان مقداری بزرگتر از صفر تعریف می شود. هر چه این عدد بزرگتر باشد، انتظارات آماری قوی تر است. اگر مقدار کمتر از صفر باشد، انتظار ریاضی نیز منفی خواهد بود. هر چه ماژول مقدار منفی بزرگتر باشد، وضعیت بدتر است. اگر نتیجه صفر باشد، انتظار به سر می‌رسد. شما فقط زمانی می توانید برنده شوید که یک انتظار ریاضی مثبت و یک سیستم بازی معقول داشته باشید. بازی با شهود منجر به فاجعه می شود.

انتظارات ریاضی و معاملات سهام

انتظارات ریاضی بسیار مورد استفاده و محبوب است شاخص آماریهنگام انجام معاملات مبادله ای در بازارهای مالی. اول از همه، این پارامتر برای تجزیه و تحلیل موفقیت معاملات استفاده می شود. حدس زدن اینکه هر چه این مقدار بالاتر باشد، دلایل بیشتری برای موفقیت آمیز بودن تجارت مورد مطالعه دشوار نیست. البته، تجزیه و تحلیل کار یک معامله گر را نمی توان به تنهایی با استفاده از این پارامتر انجام داد. با این حال، مقدار محاسبه شده، در ترکیب با سایر روش های ارزیابی کیفیت کار، می تواند دقت تجزیه و تحلیل را به میزان قابل توجهی افزایش دهد.

انتظارات ریاضی اغلب در خدمات نظارت بر حساب معاملاتی محاسبه می شود که به شما امکان می دهد به سرعت کار انجام شده روی سپرده را ارزیابی کنید. استثناها شامل استراتژی هایی می شود که از معاملات بی سود «نشستن» استفاده می کنند. یک معامله گر ممکن است برای مدتی خوش شانس باشد و بنابراین ممکن است هیچ ضرری در کار او وجود نداشته باشد. در این صورت نمی توان تنها با انتظارات ریاضی هدایت کرد، زیرا ریسک های به کار رفته در کار در نظر گرفته نمی شود.

در معاملات بازار، انتظارات ریاضی اغلب هنگام پیش‌بینی سودآوری هر استراتژی معاملاتی یا پیش‌بینی درآمد معامله‌گر بر اساس داده‌های آماری از معاملات قبلی او استفاده می‌شود.

با توجه به مدیریت پول، درک این نکته بسیار مهم است که هنگام انجام معاملات با انتظارات منفی، هیچ طرح مدیریت پولی وجود ندارد که مطمئناً بتواند سود بالایی به همراه داشته باشد. اگر تحت این شرایط به بازی در بازار سهام ادامه دهید، بدون در نظر گرفتن اینکه چگونه پول خود را مدیریت می کنید، کل حساب خود را از دست خواهید داد، مهم نیست که در ابتدا چقدر بزرگ باشد.

این اصل نه تنها برای بازی ها یا معاملات با انتظارات منفی صادق است، بلکه برای بازی هایی با شانس برابر نیز صادق است. بنابراین، تنها زمانی که فرصتی برای سود در بلندمدت دارید این است که معاملاتی با ارزش مورد انتظار مثبت انجام دهید.

تفاوت بین انتظارات منفی و انتظارات مثبت تفاوت بین زندگی و مرگ است. مهم نیست انتظارات چقدر مثبت یا منفی هستند. تنها چیزی که مهم است مثبت یا منفی بودن آن است. بنابراین، قبل از در نظر گرفتن مدیریت پول، باید یک بازی با انتظارات مثبت پیدا کنید.

اگر آن بازی را نداشته باشید، تمام مدیریت پول در جهان شما را نجات نخواهد داد. از طرف دیگر، اگر انتظار مثبتی دارید، می توانید با مدیریت صحیح پول، آن را به یک کارکرد تبدیل کنید. رشد نمایی. مهم نیست توقع مثبت چقدر کوچک باشد! به عبارت دیگر، مهم نیست که یک سیستم معاملاتی بر اساس یک قرارداد چقدر سودآور باشد. اگر سیستمی دارید که در هر معامله 10 دلار در هر قرارداد برنده می شود (پس از کمیسیون و لغزش)، می توانید از تکنیک های مدیریت پول برای سودآوری بیشتر از سیستمی استفاده کنید که میانگین آن 1000 دلار در هر معامله است (پس از کسر کمیسیون و لغزش).

مهم این نیست که سیستم چقدر سودآور بوده است، بلکه این است که چقدر می توان گفت که سیستم حداقل سود را در آینده نشان می دهد. بنابراین، مهم ترین آماده سازی که یک معامله گر می تواند انجام دهد این است که اطمینان حاصل کند که سیستم ارزش مورد انتظار مثبتی را در آینده نشان خواهد داد.

برای داشتن ارزش مورد انتظار مثبت در آینده، بسیار مهم است که درجات آزادی سیستم خود را محدود نکنید. این امر نه تنها با حذف یا کاهش تعداد پارامترهایی که باید بهینه شوند، بلکه با کاهش هر چه بیشتر قوانین سیستم به دست می آید. هر پارامتری که اضافه می کنید، هر قانونی که ایجاد می کنید، هر تغییر کوچکی که در سیستم ایجاد می کنید، تعداد درجات آزادی را کاهش می دهد. در حالت ایده آل، شما باید یک و نسبتاً ابتدایی بسازید سیستم ساده، که به طور مداوم تقریباً در هر بازاری سود کمی ایجاد می کند. باز هم، برای شما مهم است که درک کنید که سودآوری سیستم تا زمانی که سودآور باشد، مهم نیست. پولی که از معامله به دست می آورید از طریق آن به دست خواهد آمد مدیریت موثرپول

یک سیستم معاملاتی به سادگی ابزاری است که به شما ارزش مورد انتظار مثبت می دهد تا بتوانید از مدیریت پول استفاده کنید. سیستم هایی که فقط در یک یا چند بازار کار می کنند (حداقل حداقل سود را نشان می دهند) یا قوانین یا پارامترهای متفاوتی برای بازارهای مختلف، به احتمال زیاد، به اندازه کافی در زمان واقعی کار نخواهد کرد. مشکل اکثر معامله گران فنی این است که زمان و تلاش زیادی را صرف بهینه سازی می کنند قوانین مختلفو مقادیر پارامترهای سیستم معاملاتی این نتایج کاملاً متضاد می دهد. به جای هدر دادن انرژی و زمان کامپیوتربرای افزایش سود سیستم معاملاتی، انرژی خود را به سمت افزایش سطح اطمینان کسب حداقل سود هدایت کنید.

با علم به اینکه مدیریت پول فقط یک بازی اعدادی است که مستلزم استفاده از انتظارات مثبت است، یک معامله گر می تواند جستجو برای " جام مقدس" معاملات سهام را متوقف کند. در عوض، او می تواند شروع به آزمایش روش معاملاتی خود کند، بفهمد این روش چقدر منطقی است و آیا انتظارات مثبتی را به همراه دارد یا خیر. روش های صحیحمدیریت پول، که برای هر روش تجاری، حتی بسیار متوسطی اعمال می شود، بقیه کار را خودش انجام خواهد داد.

برای اینکه هر معامله گر در کار خود موفق شود، باید سه مورد را حل کند وظایف مهم: . برای اطمینان از اینکه تعداد تراکنش های موفق بیش از اشتباهات و محاسبات نادرست اجتناب ناپذیر است. سیستم معاملاتی خود را طوری تنظیم کنید که تا حد امکان فرصت کسب درآمد داشته باشید. به نتایج مثبت پایدار از عملیات خود دست یابید.

و در اینجا، برای ما تاجران شاغل، انتظارات ریاضی می تواند کمک بزرگی باشد. این اصطلاحدر نظریه احتمال یکی از موارد کلیدی است. با کمک آن می توانید یک تخمین متوسط ​​از مقداری تصادفی ارائه دهید. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی مشابه مرکز ثقل است، اگر همه احتمالات ممکن را به صورت نقاطی با جرم های مختلف تصور کنید.

در رابطه با یک استراتژی معاملاتی، انتظار ریاضی سود (یا زیان) اغلب برای ارزیابی اثربخشی آن استفاده می شود. این پارامتر به عنوان مجموع محصولات سطوح معین سود و زیان و احتمال وقوع آنها تعریف می شود. به عنوان مثال، استراتژی تجاری توسعه یافته فرض می کند که 37٪ از کل معاملات سود را به همراه خواهد داشت و قسمت باقی مانده - 63٪ - بی سود خواهد بود. در عین حال، میانگین درآمد حاصل از یک تراکنش موفق 7 دلار و میانگین ضرر آن 1.4 دلار خواهد بود. بیایید انتظارات ریاضی معامله را با استفاده از این سیستم محاسبه کنیم:

این عدد به چه معناست؟ می گوید که با رعایت قوانین این سیستم، به طور متوسط ​​از هر کدام 1708 دلار دریافت خواهیم کرد معامله بسته. از آنجایی که تخمین بازده حاصل بزرگتر از صفر است، می توان از چنین سیستمی استفاده کرد کار واقعی. اگر در نتیجه محاسبه، انتظار ریاضی منفی باشد، این نشان دهنده ضرر متوسط ​​است و چنین معاملاتی منجر به خرابی می شود.

مقدار سود هر تراکنش را نیز می توان به صورت یک مقدار نسبی در قالب % بیان کرد. مثلا:

- درصد درآمد به ازای هر تراکنش - 5٪؛

- درصد عملیات تجاری موفق - 62%؛

– درصد ضرر در هر 1 تراکنش - 3%؛

- درصد تراکنش های ناموفق - 38٪؛

یعنی میانگین تجارت 1.96 درصد به ارمغان خواهد آورد.

می توان سیستمی را توسعه داد که علیرغم غلبه معاملات بی سود، نتیجه مثبتی را به همراه داشته باشد، زیرا MO>0 آن است.

با این حال، انتظار به تنهایی کافی نیست. اگر سیستم سیگنال های معاملاتی بسیار کمی بدهد، کسب درآمد دشوار است. در این صورت سودآوری آن با سود بانکی قابل مقایسه خواهد بود. بگذارید هر عملیات به طور متوسط ​​فقط 0.5 دلار تولید کند، اما اگر سیستم شامل 1000 عملیات در سال باشد، چه؟ این مبلغ در مدت زمان نسبتاً کوتاهی بسیار جدی خواهد بود. منطقاً از این نتیجه می شود که دیگری انگیک سیستم معاملاتی خوب را می توان در نظر گرفت کوتاه مدتداشتن مناصب

منابع و لینک ها

dic.academic.ru – فرهنگ لغت آنلاین آکادمیک

mathematics.ru – وب سایت آموزشی ریاضیات

nsu.ru - وب سایت آموزشی نووسیبیرسک دانشگاه دولتی

webmath.ru یک پورتال آموزشی برای دانش آموزان، متقاضیان و دانش آموزان مدرسه است.

وب سایت ریاضی آموزشی exponenta.ru

ru.tradimo.com – رایگان مدرسه آنلاینتجارت

crypto.hut2.ru - منبع اطلاعات چند رشته ای

poker-wiki.ru – دایره المعارف رایگان پوکر

sernam.ru – کتابخانه علوممنتخب انتشارات علوم طبیعی

reshim.su - وب سایت ما مشکلات دروس آزمون را حل خواهیم کرد

unfx.ru – فارکس در UNFX: آموزش، سیگنال های تجاری، مدیریت اعتماد

slovopedia.com – دیکشنری بزرگ دایره المعارفی اسلووپدیا

pokermansion.3dn.ru – راهنمای شما در دنیای پوکر

statanaliz.info – وبلاگ اطلاعاتی “ تحلیل آماریداده ها"

forex-trader.rf – پورتال Forex-Trader

megafx.ru – تجزیه و تحلیل فعلی فارکس

fx-by.com - همه چیز برای یک معامله گر

مهمترین ویژگی بعدی یک متغیر تصادفی بعد از انتظار ریاضی، پراکندگی آن است که به عنوان میانگین مربعات انحراف از میانگین تعریف می شود:

اگر در آن زمان مشخص شود، واریانس VX، مقدار مورد انتظار خواهد بود.

مانند مثال سادهبرای محاسبه واریانس، فرض می کنیم که به تازگی پیشنهادی به ما داده شده است که نمی توانیم آن را رد کنیم: شخصی به ما دو گواهی برای شرکت در یک قرعه کشی داده است. برگزارکنندگان قرعه کشی هر هفته 100 بلیت می فروشند و در قرعه کشی جداگانه شرکت می کنند. قرعه کشی یکی از این بلیط ها را از طریق یک فرآیند تصادفی یکسان انتخاب می کند - هر بلیط شانس مساوی برای انتخاب شدن دارد - و صاحب آن بلیط خوش شانس صد میلیون دلار دریافت می کند. 99 مالک باقی مانده بلیط بخت آزماییآنها چیزی برنده نمی شوند

ما می توانیم از هدیه به دو صورت استفاده کنیم: یا دو بلیط در یک قرعه کشی بخریم یا هر کدام یک بلیط برای شرکت در دو قرعه کشی مختلف. کدام استراتژی بهتر است؟ بیایید سعی کنیم آن را تحلیل کنیم. برای انجام این کار، اجازه دهید ما را با متغیرهای تصادفی نشان دهیم که نشان دهنده اندازه برد ما در بلیط های اول و دوم است. ارزش مورد انتظار به میلیون است

و همین امر برای مقادیر مورد انتظار افزایشی نیز صادق است، بنابراین میانگین کل بازده ما خواهد بود

صرف نظر از استراتژی اتخاذ شده

با این حال، این دو استراتژی متفاوت به نظر می رسند. بیایید از مقادیر مورد انتظار فراتر برویم و توزیع احتمال کامل را مطالعه کنیم

اگر در یک قرعه کشی دو بلیط بخریم، شانس ما برای برنده نشدن 98٪ و 2٪ خواهد بود - شانس برنده شدن 100 میلیون. اگر برای قرعه کشی های مختلف بلیط بخریم، اعداد به شرح زیر خواهد بود: 98.01٪ - شانس برنده نشدن چیزی که کمی بیشتر از قبل است. 0.01٪ - شانس برنده شدن 200 میلیون، همچنین کمی بیشتر از قبل. و شانس برنده شدن 100 میلیون در حال حاضر 1.98٪ است. بنابراین، در مورد دوم، توزیع قدر تا حدودی پراکنده تر است. ارزش متوسط، 100 میلیون دلار، اندکی کمتر محتمل است، در حالی که افراط بیشتر محتمل است.

این مفهوم از گسترش یک متغیر تصادفی است که پراکندگی در نظر گرفته شده است تا منعکس شود. ما گسترش را از طریق مربع انحراف یک متغیر تصادفی از انتظارات ریاضی آن اندازه گیری می کنیم. بنابراین، در مورد 1 واریانس خواهد بود

در مورد 2 واریانس است

همانطور که انتظار داشتیم، مقدار دوم کمی بزرگتر است، زیرا توزیع در مورد 2 تا حدودی گسترده تر است.

وقتی با واریانس ها کار می کنیم، همه چیز مربع است، بنابراین نتیجه می تواند اعداد بسیار بزرگی باشد. (ضریب یک تریلیون است، که باید چشمگیر باشد

حتی بازیکنانی که به شرط‌بندی‌های بزرگ عادت کرده‌اند.) برای تبدیل مقادیر به مقیاس اصلی معنی‌دارتر، اغلب جذر واریانس گرفته می‌شود. عدد حاصل را انحراف معیار می نامند و معمولاً با حرف یونانی a نشان داده می شود:

انحراف معیار بزرگی برای دو استراتژی قرعه کشی ما عبارتند از . از برخی جهات، گزینه دوم حدود 71247 دلار ریسک بیشتری دارد.

چگونه واریانس در انتخاب استراتژی کمک می کند؟ معلوم نیست. استراتژی با واریانس بالاتر ریسک بیشتری دارد. اما چه چیزی برای کیف پول ما بهتر است - ریسک یا بازی ایمن؟ اجازه دهید این فرصت را داشته باشیم که نه دو بلیت، بلکه هر صد بلیت بخریم. سپس می‌توانیم برنده شدن یک قرعه‌کشی را تضمین کنیم (و واریانس صفر خواهد بود). یا می‌توانید در صد قرعه‌کشی مختلف بازی کنید، با احتمال زیاد چیزی به دست نیاورید، اما شانس برنده شدن تا دلار را ندارید. انتخاب یکی از این گزینه ها از حوصله این کتاب خارج است. تنها کاری که می توانیم در اینجا انجام دهیم این است که نحوه انجام محاسبات را توضیح دهیم.

در واقع، روش ساده‌تری برای محاسبه واریانس نسبت به استفاده مستقیم از تعریف (8.13) وجود دارد. (هر دلیلی وجود دارد که در اینجا به نوعی ریاضیات پنهان مشکوک شویم؛ در غیر این صورت، چرا واریانس در نمونه های قرعه کشی یک عدد صحیح مضرب است؟

از آنجا که - ثابت؛ از این رو،

"واریانس میانگین مربع منهای مربع میانگین است."

به عنوان مثال، در مسئله بخت آزمایی، مقدار میانگین معلوم می شود یا تفریق (مربع میانگین) نتایجی را به دست می دهد که قبلاً به روشی دشوارتر به دست آورده ایم.

با این حال، یک فرمول ساده تر نیز وجود دارد که برای محاسبه X و Y مستقل قابل استفاده است

زیرا همانطور که می دانیم برای متغیرهای تصادفی مستقل بنابراین،

واریانس مجموع متغیرهای تصادفی مستقل برابر است با مجموع واریانس‌های آنها

بنابراین، پراکندگی کل برنده برای دو بلیط بخت آزمایی در دو قرعه کشی مختلف (مستقل) خواهد بود.

واریانس مجموع نقاط پرتاب شده روی دو تاس را می توان با استفاده از فرمول یکسان به دست آورد، زیرا حاصل جمع دو متغیر تصادفی مستقل است. ما داریم

برای مکعب صحیح؛ بنابراین، در مورد یک مرکز جرم جابجا شده است

بنابراین، اگر هر دو مکعب دارای یک مرکز جرم جابجا شده باشند. توجه داشته باشید که در مورد دوم واریانس بزرگتر است، اگرچه مقدار میانگین 7 بیشتر از تاس های معمولی است. اگر هدف ما این است که هفت های لاکی بیشتری بزنیم، پس واریانس اینطور نیست بهترین شاخصموفقیت

خوب، ما نحوه محاسبه واریانس را تعیین کرده ایم. اما هنوز پاسخی به این سوال نداده ایم که چرا باید واریانس محاسبه شود. همه این کار را می کنند، اما چرا؟ دلیل اصلی نابرابری چبیشف است که خاصیت پراکندگی مهمی را ایجاد می کند:

(این نابرابری با نابرابری های چبیشف برای مجموع هایی که در فصل 2 با آن مواجه شدیم متفاوت است.) در سطح کیفی، (8.17) بیان می کند که متغیر تصادفی X اگر واریانس VX آن کوچک باشد به ندرت مقادیر دور از میانگین خود را می گیرد. اثبات

مدیریت فوق العاده ساده است. واقعا،

تقسیم بر اثبات را کامل می کند.

اگر انتظار ریاضی را با a و انحراف معیار را با a نشان دهیم و با (8.17) جایگزین کنیم، آنگاه شرط تبدیل به بنابراین، از (8.17) به دست می‌آییم.

بنابراین، X در - برابر انحراف استاندارد میانگین خود قرار می گیرد، مگر در مواردی که احتمال تجاوز نمی کند. محدوده از تا - حداقل برای 99٪. اینها مواردی از نابرابری چبیشف است.

اگر یک بار چند تاس پرتاب کنید، مجموع امتیازات در همه پرتاب ها تقریباً همیشه نزدیک به این است: واریانس پرتاب های مستقل به معنای انحراف استاندارد همه چیز خواهد بود.

بنابراین، از نابرابری چبیشف به این نتیجه می‌رسیم که مجموع نقاط بین آنها قرار خواهد گرفت

حداقل برای 99٪ از همه تاس های صحیح ریخته می شود. به عنوان مثال، نتیجه یک میلیون پرتاب با احتمال بیش از 99 درصد بین 6.976 میلیون تا 7.024 میلیون خواهد بود.

به طور کلی، اجازه دهید X هر متغیر تصادفی در فضای احتمال Π با انتظار ریاضی محدود و یک انحراف استاندارد محدود a باشد. سپس می‌توان فضای احتمال Pn را در نظر گرفت که رویدادهای ابتدایی آن - دنباله‌هایی هستند که هر کدام، و احتمال به صورت تعریف می‌شود.

اگر اکنون متغیرهای تصادفی را با فرمول تعریف کنیم

سپس مقدار

مجموع متغیرهای تصادفی مستقل خواهد بود که مربوط به فرآیند جمع کردن تحقق مستقل مقدار X در P خواهد بود. انتظارات ریاضی برابر و انحراف استاندارد - بنابراین، میانگین ارزش تحقق ها،

حداقل در 99 درصد بازه زمانی از تا متغیر خواهد بود. به عبارت دیگر، اگر یک مورد به اندازه کافی بزرگ انتخاب کنید، میانگین حسابی آزمون‌های مستقل تقریباً همیشه بسیار نزدیک به مقدار مورد انتظار خواهد بود (در کتاب‌های درسی نظریه احتمال، یک قضیه قوی‌تر نیز ثابت شده است که قانون قوی اعداد بزرگ نامیده می‌شود؛ اما برای ما نتیجه ساده نابرابری چبیشف است که تازه آن را حذف کردیم.)

گاهی اوقات ما ویژگی های فضای احتمال را نمی دانیم، اما باید انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی X را با استفاده از مشاهدات مکرر مقدار آن تخمین بزنیم. (به عنوان مثال، ممکن است میانگین دمای ظهر ژانویه در سانفرانسیسکو را بخواهیم؛ یا ممکن است بخواهیم امید به زندگی را بدانیم که نمایندگان بیمه باید محاسبات خود را بر اساس آن قرار دهند.) اگر مشاهدات تجربی مستقلی در اختیار داشته باشیم، می توانیم فرض کنیم که انتظارات واقعی ریاضی تقریباً برابر است

همچنین می توانید با استفاده از فرمول واریانس را تخمین بزنید

با نگاهی به این فرمول، ممکن است فکر کنید که یک اشتباه تایپی در آن وجود دارد. به نظر می رسد که باید مانند (8.19) وجود داشته باشد، زیرا مقدار واقعی پراکندگی در (8.15) از طریق مقادیر مورد انتظار تعیین می شود. با این حال، جایگزینی در اینجا با به ما امکان می دهد تا تخمین بهتری به دست آوریم، زیرا از تعریف (8.20) بر می آید که

اینم مدرک:

(در این محاسبه زمانی که با ) جایگزین می کنیم، به استقلال مشاهدات تکیه می کنیم.

در عمل، برای ارزیابی نتایج یک آزمایش با متغیر تصادفی X، معمولاً میانگین تجربی و انحراف معیار تجربی را محاسبه می‌کنند و سپس پاسخ را به شکلی می‌نویسند که مثلاً نتایج پرتاب یک جفت تاس است. احتمالا درست است

هر مقدار جداگانه به طور کامل توسط تابع توزیع آن تعیین می شود. همچنین برای حل مسائل عملی، دانستن چندین ویژگی عددی کافی است که به لطف آنها می توان ویژگی های اصلی یک متغیر تصادفی را به صورت کوتاه ارائه کرد.

این مقادیر در درجه اول شامل می شود ارزش مورد انتظارو پراکندگی .

ارزش مورد انتظار- مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی در نظریه احتمال. به عنوان مشخص شده است.

بیشترین به روشی سادهانتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی X(w)، چگونگی را پیدا کنید انتگراللبگدر رابطه با معیار احتمال آر اصلی فضای احتمال

همچنین می توانید انتظارات ریاضی یک مقدار را به عنوان پیدا کنید انتگرال Lebesgueاز جانب ایکسبا توزیع احتمال R Xمقادیر ایکس:

مجموعه تمام مقادیر ممکن کجاست ایکس.

انتظارات ریاضی توابع از یک متغیر تصادفی ایکساز طریق توزیع یافت می شود R X. مثلا، اگر ایکس- یک متغیر تصادفی با مقادیر در و f(x)- بدون ابهام بورلتابع ایکس ، این که:

اگر F(x)- تابع توزیع ایکس، پس انتظار ریاضی قابل نمایش است انتگرالLebesgue - Stieltjes (یا Riemann - Stieltjes):

در این مورد یکپارچگی ایکسبه لحاظ ( * ) مربوط به محدود بودن انتگرال است

در موارد خاص، اگر ایکسدارای توزیع گسسته با مقادیر احتمالی است x k, k=1، 2، . ، و احتمالات، سپس

اگر ایکستوزیع کاملاً پیوسته با چگالی احتمال دارد p(x)، آن

در این حالت، وجود یک انتظار ریاضی معادل همگرایی مطلق سری یا انتگرال مربوطه است.

ویژگی های انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی.

• انتظار ریاضی یک مقدار ثابت برابر با این مقدار است:

سی- ثابت؛

• M=C.M[X]

• انتظار ریاضی از مجموع مقادیر تصادفی گرفته شده برابر است با مجموع انتظارات ریاضی آنها:

• انتظارات ریاضی حاصل ضرب متغیرهای تصادفی مستقل = حاصلضرب انتظارات ریاضی آنها:

M=M[X]+M[Y]

اگر ایکسو Yمستقل.

اگر سری همگرا شوند:

الگوریتم محاسبه انتظارات ریاضی.

ویژگی های متغیرهای تصادفی گسسته: همه مقادیر آنها را می توان مجددا شماره گذاری کرد اعداد طبیعی; به هر مقدار یک احتمال غیر صفر اختصاص دهید.

1. جفت ها را یک به یک ضرب کنید: x iبر p i.

2. محصول هر جفت را اضافه کنید x i p i.

مثلا، برای n = 4 :

تابع توزیع یک متغیر تصادفی گسستهگام به گام، در نقاطی که احتمالات آنها علامت مثبت دارد، ناگهان افزایش می یابد.

مثال:انتظارات ریاضی را با استفاده از فرمول پیدا کنید.