معادله یک خط از یک نرمال و یک نقطه. معادله کلی یک خط مستقیم موارد خاص معادله عمومی یک خط

در این مقاله معادله کلی یک خط مستقیم در یک صفحه را در نظر خواهیم گرفت. بیایید نمونه هایی از ساخت و ساز ارائه دهیم معادله کلیخط، اگر دو نقطه از این خط مشخص باشد یا اگر یک نقطه و بردار عادی این خط مشخص باشد. اجازه دهید روش هایی را برای تبدیل معادله به معرفی کنیم نمای کلیبه دیدگاه های متعارف و پارامتریک.

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی دلخواه داده شود اکسی. معادله درجه اول یا را در نظر بگیرید معادله خطی:

تبر + با + سی=0,

(1)

جایی که الف، ب، ج- برخی از ثابت ها و حداقل یکی از عناصر آو بمتفاوت از صفر

ما نشان خواهیم داد که یک معادله خطی در یک صفحه یک خط مستقیم را تعریف می کند. اجازه دهید قضیه زیر را اثبات کنیم.

قضیه 1. در دکارتی دلخواه سیستم مستطیل شکلمختصات روی صفحه، هر خط مستقیم را می توان با یک معادله خطی مشخص کرد. برعکس، هر معادله خطی (1) در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی دلخواه در یک صفحه یک خط مستقیم را تعریف می کند.

اثبات کافی است ثابت کنیم که صراط مستقیم Lبا یک معادله خطی برای هر یک از سیستم مختصات مستطیلی دکارتی تعیین می‌شود، زیرا پس از آن با یک معادله خطی برای هر انتخابی از سیستم مختصات مستطیلی دکارتی تعیین می‌شود.

بگذارید یک خط مستقیم روی هواپیما داده شود L. اجازه دهید یک سیستم مختصات را طوری انتخاب کنیم که محور گاو نرمنطبق با یک خط مستقیم L، و محور اوهعمود بر آن بود. سپس معادله خط Lبه شکل زیر خواهد بود:

y=0.

(2)

همه نقاط روی یک خط Lمعادله خطی (2) را برآورده می کند و تمام نقاط خارج از این خط معادله (2) را برآورده نمی کند. قسمت اول قضیه ثابت شده است.

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی داده شود و یک معادله خطی (1) داده شود، که در آن حداقل یکی از عناصر آو بمتفاوت از صفر اجازه دهید مکان هندسی نقاطی را پیدا کنیم که مختصات آنها معادله (1) را برآورده می کند. از آنجایی که حداقل یکی از ضرایب آو ببا صفر متفاوت است، پس معادله (1) حداقل یک جواب دارد م(ایکس 0 ,y 0). (مثلاً وقتی آ≠0، نقطه م 0 (−C/A، 0) متعلق به مکان هندسی داده شده از نقاط است). با جایگزینی این مختصات به (1) هویت را بدست می آوریم

تبر 0 +توسط 0 +سی=0.

(3)

بیایید هویت (3) را از (1) کم کنیم:

آ(ایکس−ایکس 0)+ب(y−y 0)=0.

(4)

بدیهی است که معادله (4) معادل معادله (1) است. بنابراین کافی است ثابت کنیم که (4) خط خاصی را تعریف می کند.

از آنجایی که ما یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی را در نظر می گیریم، از برابری (4) نتیجه می شود که بردار با مولفه های ( x-x 0 , y-y 0 ) متعامد بردار nبا مختصات ( الف، ب}.

یک خط مستقیم را در نظر بگیرید L، از نقطه عبور می کند م 0 (ایکس 0 , y 0) و عمود بر بردار n(عکس. 1). بگذارید نکته م(ایکس,y) متعلق به خط است L. سپس بردار با مختصات x-x 0 , y-y 0 عمود بر nو معادله (4) برآورده می شود (ضرب اسکالر بردارها). nو برابر با صفر). برعکس، اگر نقطه م(ایکس,y) روی یک خط قرار نمی گیرد L، سپس بردار با مختصات x-x 0 , y-y 0 متعامد بردار نیست nو معادله (4) ارضا نمی شود. قضیه ثابت شده است.

اثبات از آنجایی که خطوط (5) و (6) یک خط را تعریف می کنند، پس بردارهای معمولی n 1 ={آ 1 ,ب 1) و n 2 ={آ 2 ,ب 2) خطی. از آنجایی که بردارها n 1 ≠0, n 2 ≠0، پس چنین عددی وجود دارد λ ، چی n 2 =n 1 λ . از اینجا داریم: آ 2 =آ 1 λ , ب 2 =ب 1 λ . این را ثابت کنیم سی 2 =سی 1 λ . بدیهی است که خطوط منطبق هستند نقطه مشترک م 0 (ایکس 0 , y 0). ضرب معادله (5) در λ و با کم کردن معادله (6) از آن به دست می آوریم:

از آنجایی که دو برابری اول از عبارت (7) برآورده می شود، پس سی 1 λ −سی 2 = 0. آن ها سی 2 =سی 1 λ . تذکر ثابت شده است.

توجه داشته باشید که رابطه (4) معادله خط مستقیمی را که از نقطه عبور می کند تعریف می کند م 0 (ایکس 0 , y 0) و داشتن بردار معمولی n={الف، ب). بنابراین اگر بردار عادی یک خط و نقطه متعلق به این خط مشخص باشد، می توان با استفاده از رابطه (4) معادله کلی خط را ساخت.

مثال 1. یک خط مستقیم از یک نقطه عبور می کند م=(4,-1) و یک بردار نرمال دارد n= (3، 5). معادله کلی یک خط را بسازید.

راه حل. ما داریم: ایکس 0 =4, y 0 =−1, آ=3, ب=5. برای ساخت معادله کلی یک خط مستقیم، این مقادیر را با معادله (4) جایگزین می کنیم:

پاسخ:

بردار موازی با خط است Lو بنابراین عمود بر بردار معمولی خط L. بیایید یک بردار خط معمولی بسازیم L، با توجه به اینکه حاصلضرب عددیبردارها nو برابر با صفر است. می توانیم مثلا بنویسیم n={1,−3}.

برای ساخت معادله کلی خط مستقیم از فرمول (4) استفاده می کنیم. اجازه دهید مختصات نقطه را با (4) جایگزین کنیم. م 1 (می توانیم مختصات نقطه را نیز بگیریم م 2) و بردار معمولی n:

جایگزینی مختصات نقاط م 1 و م 2 در (9) می توانیم مطمئن شویم که خط مستقیمی که در رابطه (9) به دست می آید از این نقاط عبور می کند.

پاسخ:

تفریق (10) از (1):

گرفتیم معادله متعارفسر راست. بردار q={−ب, آ) بردار جهت خط (12) است.

تبدیل معکوس را ببینید.

مثال 3. یک خط مستقیم روی یک صفحه با معادله کلی زیر نشان داده می شود:

بیایید جمله دوم را به سمت راست ببریم و دو طرف معادله را بر 2·5 تقسیم کنیم.

درس از سری "الگوریتم های هندسی"

سلام خواننده عزیز!

امروز شروع به یادگیری الگوریتم های مرتبط با هندسه می کنیم. واقعیت این است که مسائل المپیاد زیادی در علوم کامپیوتر مرتبط با هندسه محاسباتی وجود دارد و حل چنین مسائلی اغلب مشکلاتی را ایجاد می کند.

در طول چندین درس، تعدادی از وظایف فرعی ابتدایی را در نظر خواهیم گرفت که حل اکثر مسائل در هندسه محاسباتی بر اساس آنها است.

در این درس ما یک برنامه برای پیدا کردن معادله یک خط، عبور از داده شده است دو نقطه. برای حل مسائل هندسی، به دانش هندسه محاسباتی نیاز داریم. بخشی از درس را به شناخت آنها اختصاص خواهیم داد.

بینش از هندسه محاسباتی

هندسه محاسباتی شاخه ای از علوم کامپیوتر است که به مطالعه الگوریتم هایی برای حل مسائل هندسی می پردازد.

داده های اولیه برای چنین مسائلی می تواند مجموعه ای از نقاط در یک صفحه، مجموعه ای از قطعات، یک چند ضلعی (مشخص شده، به عنوان مثال، با لیستی از رئوس آن در جهت عقربه های ساعت) و غیره باشد.

نتیجه می تواند پاسخی به برخی از سؤالات (مانند آیا یک نقطه به یک قطعه تعلق دارد، آیا دو بخش متقاطع می شوند یا ...) یا یک شی هندسی (مثلاً کوچکترین چند ضلعی محدب که نقاط داده شده را به هم متصل می کند، مساحت یک چند ضلعی و غیره).

ما مسائل هندسه محاسباتی را فقط در صفحه و فقط در سیستم مختصات دکارتی در نظر خواهیم گرفت.

بردارها و مختصات

برای اعمال روش های هندسه محاسباتی، باید تصاویر هندسی را به زبان اعداد ترجمه کرد. فرض می کنیم که به هواپیما یک سیستم مختصات دکارتی داده می شود که در آن جهت چرخش در خلاف جهت عقربه های ساعت مثبت نامیده می شود.

اکنون اجسام هندسی یک عبارت تحلیلی دریافت می کنند. بنابراین، برای تعیین یک نقطه، کافی است مختصات آن را نشان دهیم: یک جفت اعداد (x; y). یک قطعه را می توان با مشخص کردن مختصات انتهای آن مشخص کرد.

اما ابزار اصلی ما برای حل مسائل بردارها خواهند بود. بنابراین اجازه دهید اطلاعاتی را در مورد آنها یادآوری کنم.

بخش خط AB، که یک نکته دارد آآغاز (نقطه کاربرد)، و نقطه در نظر گرفته می شود که در– پایان، بردار نامیده می شود ABو علامت یا، یا پررنگ باشد حروف کوچک، مثلا آ .

برای نشان دادن طول یک بردار (یعنی طول قطعه مربوطه)، از نماد مدول استفاده می کنیم (مثلاً).

یک بردار دلخواه دارای مختصاتی برابر با تفاوت بین مختصات متناظر انتهای و ابتدای آن خواهد بود:

,

در اینجا نکات است آو ب مختصات دارند به ترتیب.

برای محاسبات از مفهوم استفاده خواهیم کرد زاویه جهت دار، یعنی زاویه ای که موقعیت نسبی بردارها را در نظر می گیرد.

زاویه جهت بین بردارها آ و ب اگر چرخش از بردار باشد مثبت است آ به بردار ب در جهت مثبت (در خلاف جهت عقربه های ساعت) و در حالت دیگر منفی انجام می شود. به شکل 1a، Fig.1b مراجعه کنید. همچنین گفته می شود که یک جفت بردار آ و ب مثبت (منفی) گرا.

بنابراین، مقدار زاویه جهت‌دار به ترتیب فهرست‌بندی بردارها بستگی دارد و می‌تواند مقادیری را در بازه‌ها بگیرد.

بسیاری از مسائل در هندسه محاسباتی از مفهوم بردار (ارول یا شبه مقیاس) حاصل از بردارها استفاده می کنند.

حاصل ضرب برداری بردارهای a و b حاصل ضرب طول این بردارها و سینوس زاویه بین آنها است:

.

حاصل ضرب برداری بردارها در مختصات:

عبارت سمت راست یک تعیین کننده مرتبه دوم است:

بر خلاف تعریف ارائه شده در هندسه تحلیلی، این یک عدد اسکالر است.

امضا کردن محصول برداریموقعیت بردارها را نسبت به یکدیگر تعیین می کند:

آ و ب مثبت گرا

اگر مقدار باشد، یک جفت بردار آ و ب جهت گیری منفی

حاصل ضرب بردارهای غیرصفر صفر است اگر و فقط اگر هم خط باشند ( ). این بدان معنی است که آنها روی یک خط یا روی خطوط موازی قرار می گیرند.

بیایید به چند مسئله ساده که هنگام حل مسائل پیچیده تر ضروری هستند نگاه کنیم.

بیایید معادله یک خط مستقیم را از مختصات دو نقطه تعیین کنیم.

معادله خطی که از دو نقطه مختلف می گذرد که با مختصات آنها مشخص می شود.

اجازه دهید دو نقطه غیر منطبق روی یک خط مستقیم داده شود: با مختصات (x1; y1) و با مختصات (x2; y2). بر این اساس، بردار با شروع در یک نقطه و پایان در یک نقطه دارای مختصات (x2-x1، y2-y1) است. اگر P(x, y) یک نقطه دلخواه در خط ما باشد، مختصات بردار برابر است با (x-x1, y – y1).

با استفاده از حاصلضرب بردار، شرط همخطی بودن بردارها را می توان به صورت زیر نوشت:

آن ها (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

معادله آخر را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

تبر + توسط + c = 0، (1)

c = x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1)

بنابراین، خط مستقیم را می توان با معادله شکل (1) مشخص کرد.

مسئله 1. مختصات دو نقطه آورده شده است. نمایش آن را به شکل ax + by + c = 0 بیابید.

در این درس اطلاعاتی در مورد هندسه محاسباتی آموختیم. مشکل یافتن معادله یک خط را از مختصات دو نقطه حل کردیم.

در درس بعدی برنامه ای ایجاد می کنیم تا نقطه تقاطع دو خط را که توسط معادلات ما داده شده است را پیدا کنیم.

ویژگی های خط مستقیم در هندسه اقلیدسی

تعداد نامحدودی از خطوط مستقیم را می توان در هر نقطه ترسیم کرد.

از طریق هر دو نقطه غیر متقارن می توان یک خط مستقیم را رسم کرد.

دو خط واگرا در یک صفحه یا در یک نقطه قطع می شوند یا هستند

موازی (از مورد قبلی پیروی می کند).

در فضای سه بعدی، سه گزینه برای موقعیت نسبی دو خط وجود دارد:

• خطوط متقاطع؛

• خطوط موازی هستند.

• خطوط مستقیم همدیگر را قطع می کنند

سر راست خط- منحنی جبری مرتبه اول: یک خط مستقیم در دستگاه مختصات دکارتی

در هواپیما با معادله درجه اول (معادله خطی) داده می شود.

معادله کلی یک خط مستقیم

تعریف. هر خط مستقیم روی هواپیما را می توان با یک معادله مرتبه اول مشخص کرد

تبر + وو + سی = 0،

و ثابت الف، بدر یک زمان برابر با صفر نیستند. این معادله مرتبه اول نامیده می شود عمومی

معادله یک خط مستقیمبسته به مقادیر ثابت ها الف، بو باموارد خاص زیر ممکن است:

. C = 0، A ≠0، B ≠ 0- یک خط مستقیم از مبدأ عبور می کند

. A = 0، B ≠0، C ≠0 (با + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور اوه

. B = 0، A ≠0، C ≠ 0 (Ax + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور OU

. B = C = 0، A ≠0- خط مستقیم با محور منطبق است OU

. A = C = 0، B ≠0- خط مستقیم با محور منطبق است اوه

معادله یک خط مستقیم را می توان به اشکال مختلف بسته به هر داده ارائه کرد

شرایط اولیه.

معادله یک خط مستقیم از یک نقطه و یک بردار معمولی.

تعریف. در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی، بردار با مولفه های (A, B)

عمود بر خط مستقیم، توسط معادله داده شده است

تبر + وو + سی = 0.

مثال. معادله خطی که از یک نقطه می گذرد را بیابید A (1، 2)عمود بر بردار (3, -1).

راه حل. با A = 3 و B = -1، بیایید معادله خط مستقیم را بسازیم: 3x - y + C = 0. برای پیدا کردن ضریب C

اجازه دهید مختصات نقطه داده شده A را در عبارت حاصل جایگزین کنیم: 3 - 2 + C = 0

C = -1. مجموع: معادله مورد نیاز: 3x - y - 1 = 0.

معادله خطی که از دو نقطه می گذرد.

بگذارید دو نقطه در فضا داده شود M 1 (x 1 , y 1 , z 1)و M2 (x 2، y 2، z 2)،سپس معادله یک خط,

عبور از این نقاط:

اگر هر یک از مخرج ها صفر باشد، صورت مربوطه باید برابر با صفر باشد. بر

در صفحه، معادله خط مستقیم که در بالا نوشته شده است ساده شده است:

اگر x 1 ≠ x 2و x = x 1، اگر x 1 = x 2 .

کسر = kتماس گرفت شیب سر راست.

مثال. معادله خطی که از نقاط A(1,2) و B(3,4) می گذرد را بیابید.

راه حل. با استفاده از فرمول نوشته شده در بالا، دریافت می کنیم:

معادله یک خط مستقیم با استفاده از یک نقطه و شیب.

اگر معادله کلی خط تبر + وو + سی = 0منجر شدن:

و تعیین کنید ، سپس معادله حاصل فراخوانی می شود

معادله یک خط مستقیم با شیب k.

معادله یک خط مستقیم از یک نقطه و یک بردار جهت.

با قیاس با نقطه با در نظر گرفتن معادله یک خط مستقیم از بردار عادی، می توانید کار را وارد کنید.

یک خط مستقیم از طریق یک نقطه و یک بردار جهت دهنده یک خط مستقیم.

تعریف. هر بردار غیر صفر (α 1، α 2)، که اجزای آن شرایط را برآورده می کند

Aα 1 + Bα 2 = 0تماس گرفت بردار جهت دهنده یک خط مستقیم

تبر + وو + سی = 0.

مثال. معادله یک خط مستقیم با بردار جهت (1، -1) و عبور از نقطه A (1، 2) را بیابید.

راه حل. معادله خط مورد نظر را به شکل زیر جستجو می کنیم: Ax + By + C = 0.طبق تعریف،

ضرایب باید شرایط زیر را داشته باشند:

1 * A + (-1) * B = 0، یعنی. الف = ب.

سپس معادله خط مستقیم به شکل زیر است: Ax + Ay + C = 0،یا x + y + C / A = 0.

در x = 1، y = 2ما گرفتیم C/A = -3، یعنی معادله مورد نیاز:

x + y - 3 = 0

معادله یک خط مستقیم در پاره ها.

اگر در معادله کلی خط مستقیم Ах + Ву + С = 0 С≠0، با تقسیم بر -С، به دست می آید:

یا کجا

معنی هندسی ضرایب این است که ضریب a مختصات نقطه تقاطع است.

مستقیم با محور اوه،آ ب- مختصات نقطه تقاطع خط با محور OU.

مثال. معادله کلی یک خط مستقیم داده شده است x - y + 1 = 0.معادله این خط را به صورت پاره پاره پیدا کنید.

C = 1، a = -1، b = 1.

معادله نرمالسر راست.

اگر هر دو طرف معادله تبر + وو + سی = 0تقسیم بر عدد که نامیده می شود

عامل عادی سازی، سپس دریافت می کنیم

xcosφ + ysinφ - p = 0 -معادله عادی یک خط.

علامت ± عامل نرمال کننده باید طوری انتخاب شود که μ*C< 0.

آر- طول عمود کاهش یافته از مبدأ به خط مستقیم،

آ φ - زاویه تشکیل شده توسط این عمود بر جهت مثبت محور اوه

مثال. معادله کلی خط داده شده است 12x - 5y - 65 = 0. برای نوشتن لازم است انواع مختلفمعادلات

این خط مستقیم

معادله این خط در بخش ها:

معادله این خط با شیب: (تقسیم بر 5)

معادله یک خط:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

لازم به ذکر است که هر خط مستقیم را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط مستقیم،

به موازات محورها یا عبور از مبدا.

زاویه بین خطوط مستقیم در یک صفحه.

تعریف. اگر دو خط داده شود y = k 1 x + b 1، y = k 2 x + b 2، سپس زاویه حاد بین این خطوط

به عنوان تعریف خواهد شد

دو خط موازی هستند اگر k 1 = k 2. دو خط عمود هستند

اگر k 1 = -1 / k 2 .

قضیه.

مستقیم تبر + وو + سی = 0و A 1 x + B 1 y + C 1 = 0موازی زمانی که ضرایب متناسب باشند

A 1 = λA، B 1 = λB. اگر همچنین С 1 = λС، سپس خطوط منطبق می شوند. مختصات نقطه تقاطع دو خط

به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط یافت می شوند.

معادله خطی که از آن می گذرد این نقطهعمود بر این خط

تعریف. خطی که از یک نقطه می گذرد M 1 (x 1، y 1)و عمود بر خط y = kx + b

با معادله نشان داده می شود:

فاصله از یک نقطه تا یک خط.

قضیه. اگر امتیاز داده شود M(x 0، y 0)،سپس فاصله تا خط مستقیم تبر + وو + سی = 0که تعریف میشود:

اثبات. بگذارید نکته M 1 (x 1، y 1)- قاعده یک عمود از یک نقطه افتاده است مبرای یک معین

مستقیم. سپس فاصله بین نقاط مو M 1:

(1)

مختصات x 1و در 1می توان به عنوان یک راه حل برای سیستم معادلات یافت:

معادله دوم سیستم معادله خط عبوری است نقطه داده شده M 0 عمود بر

خط مستقیم داده شده است. اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0،

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

قضیه ثابت شده است.

خطی که از نقطه K(x 0 ; y 0) می گذرد و موازی با خط y = kx + a است با فرمول پیدا می شود:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

جایی که k شیب خط است.

فرمول جایگزین:
خطی که از نقطه M 1 (x 1 ; y 1) و موازی با خط Ax+By+C=0 می گذرد با معادله نشان داده می شود.

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0. (2)

برای خطی که از نقطه K می گذرد معادله بنویسید ;) موازی با خط مستقیم y = x+ .

مثال شماره 1. معادله ای برای خط مستقیمی بنویسید که از نقطه M 0 (-2,1) می گذرد و همزمان:
الف) موازی با خط مستقیم 2x+3y -7 = 0.
ب) عمود بر خط مستقیم 2x+3y -7 = 0.
راه حل . بیایید معادله شیب را به شکل y = kx + a تصور کنیم. برای انجام این کار، تمام مقادیر به جز y را به سمت راست: 3y = -2x + 7 . سپس سمت راست را بر ضریب 3 تقسیم کنید. دریافت می کنیم: y = -2/3x + 7/3
بیایید معادله NK را پیدا کنیم که از نقطه K(-2;1) موازی با خط مستقیم y = -2 / 3 x + 7 / 3 عبور می کند.
با جایگزینی x 0 = -2، k = -2 / 3، y 0 = 1 دریافت می کنیم:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
یا
y = -2 / 3 x - 1 / 3 یا 3y + 2x +1 = 0

مثال شماره 2. معادله خطی موازی با خط 2x + 5y = 0 بنویسید و به همراه محورهای مختصات مثلثی را که مساحت آن 5 است تشکیل دهید.
راه حل . از آنجایی که خطوط موازی هستند، معادله خط مورد نظر 2x + 5y + C = 0 است. راست گوشه، جایی که a و b پاهای آن هستند. بیایید نقاط تلاقی خط مورد نظر را با محورهای مختصات پیدا کنیم:
;
.
بنابراین، A(-C/2،0)، B(0،-C/5). بیایید آن را در فرمول مساحت جایگزین کنیم: . ما دو راه حل دریافت می کنیم: 2x + 5y + 10 = 0 و 2x + 5y - 10 = 0.

مثال شماره 3. برای خطی که از نقطه (-2; 5) و موازی با خط 5x-7y-4=0 می گذرد، معادله ای بنویسید.
راه حل. این خط مستقیم را می توان با معادله y = 5 / 7 x - 4 / 7 (در اینجا a = 5 / 7) نشان داد. معادله خط مورد نظر y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)) است، یعنی. 7(y-5)=5(x+2) یا 5x-7y+45=0.

مثال شماره 4. پس از حل مثال 3 (A=5، B=-7) با استفاده از فرمول (2)، 5(x+2)-7(y-5)=0 را پیدا می کنیم.

مثال شماره 5. برای خطی که از نقطه (-2;5) و موازی با خط 7x+10=0 می گذرد، معادله بنویسید.
راه حل. در اینجا A=7، B=0. فرمول (2) 7(x+2)=0 را می دهد، یعنی. x+2=0. فرمول (1) قابل اجرا نیست، زیرا این معادله با توجه به y قابل حل نیست (این خط مستقیم موازی با محور ارتین است).

معادله کلی خط مستقیم:

موارد خاص معادله عمومی یک خط مستقیم:

و اگر سی= 0، معادله (2) شکل خواهد داشت

تبر + توسط = 0,

و خط مستقیم تعریف شده توسط این معادله از مبدا می گذرد، زیرا مختصات مبدا هستند ایکس = 0, y= 0 این معادله را برآورده می کند.

ب) اگر در معادله کلی خط مستقیم (2) ب= 0، سپس معادله شکل می گیرد

تبر + با= 0 یا .

معادله دارای متغیر نیست y، و خط مستقیم تعریف شده توسط این معادله موازی با محور است اوه.

ج) اگر در معادله کلی خط مستقیم (2) آ= 0، سپس این معادله شکل خواهد گرفت

توسط + با= 0 یا ;

معادله دارای متغیر نیست ایکس، و خط مستقیمی که تعریف می کند موازی با محور است گاو نر.

باید به خاطر داشت: اگر یک خط مستقیم موازی با یک محور مختصات باشد، در معادله آن هیچ عبارتی حاوی مختصاتی به همان نام این محور وجود ندارد.

د) چه زمانی سی= 0 و آ= 0 معادله (2) شکل می گیرد توسط= 0، یا y = 0.

این معادله محور است گاو نر.

د) چه زمانی سی= 0 و ب= 0 معادله (2) به شکل نوشته خواهد شد تبر= 0 یا ایکس = 0.

این معادله محور است اوه.

ترتیب متقابلخطوط مستقیم در هواپیما زاویه بین خطوط مستقیم در یک صفحه. شرایط برای خطوط موازی. شرط عمود بودن خطوط.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 بردارهای S 1 و S 2 برای خطوط خود راهنما نامیده می شوند.

زاویه بین خطوط مستقیم l 1 و l 2 با زاویه بین بردارهای جهت تعیین می شود.
قضیه 1: cos زاویه بین l 1 و l 2 = cos(l 1 ; l 2) =

قضیه 2:برای مساوی بودن 2 خط لازم و کافی است:

قضیه 3:برای عمود بودن 2 خط مستقیم لازم و کافی است:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

معادله صفحه عمومی و موارد خاص آن. معادله یک صفحه در قطعات.

معادله صفحه عمومی:

Ax + By + Cz + D = 0

موارد خاص:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – هواپیما از مبدأ عبور می کند

2. С=0 Ax+By+D = 0 – صفحه || OZ

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – صفحه || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – هواپیما || گاو نر

5. A=0 و D=0 By+Cz = 0 – هواپیما از OX عبور می کند

6. B=0 و D=0 Ax+Cz = 0 – هواپیما از OY عبور می کند

7. C=0 و D=0 Ax+By = 0 – هواپیما از OZ می گذرد

موقعیت نسبی صفحات و خطوط مستقیم در فضا:

1. زاویه بین خطوط مستقیم در فضا، زاویه بین بردارهای جهت آنها است.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (S 1 ; S 2) = =

2. زاویه بین صفحات از طریق زاویه بین بردارهای عادی آنها تعیین می شود.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (N 1 ; N 2) = =

3. کسینوس زاویه بین خط و صفحه را می توان از طریق سین زاویه بین بردار جهت خط و بردار عادی صفحه پیدا کرد.

4. 2 مستقیم || در فضا زمانی که آنها || راهنماهای برداری

5. 2 هواپیما || وقتی || بردارهای معمولی

6. مفاهیم عمود بودن خطوط و صفحات نیز به همین ترتیب معرفی شده است.

سوال شماره 14

انواع مختلفمعادلات یک خط مستقیم در یک صفحه (معادله یک خط مستقیم در قطعات، با ضریب زاویه و غیره)

معادله یک خط مستقیم در پاره ها:
فرض کنید در معادله کلی خط مستقیم:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 - خط مستقیم از مبدا می گذرد.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

معادله یک خط مستقیم با شیب:

هر خط مستقیم، نه برابر با محور Op-amp (B نه = 0)، را می توان به موارد زیر نوشت. فرم:

k = tanα α - زاویه بین خط مستقیم و خط مثبت OX

ب – نقطه تلاقی خط مستقیم با محور اپ امپ

سند:

Ax+By+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

معادله یک خط مستقیم بر اساس دو نقطه:

سوال شماره 16

حد محدود یک تابع در یک نقطه و برای x→∞

حد پایان در x0:

عدد A حد تابع y = f(x) برای x→x 0 نامیده می شود اگر برای هر E > 0 b > 0 وجود داشته باشد به طوری که برای x ≠x 0 نابرابری را ارضا کند |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

محدودیت با: = A نشان داده می شود

حد پایان در نقطه +∞:

عدد A حد تابع y = f(x) در x نامیده می شود → + ∞ ، اگر برای هر E > 0 C > 0 وجود داشته باشد به طوری که برای x > C نابرابری |f(x) - A|< Е

محدودیت با: = A نشان داده می شود

حد پایان در نقطه -∞:

عدد A را حد تابع y = f(x) می نامند x→-∞،اگر برای هر E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е