الگوریتم یافتن جواب کلی برای یک سیستم معادلات خطی. حل سیستم معادلات خطی. سیستم های ناسازگار سیستم هایی با راه حل کلی راه حل های خصوصی

سیستم های معادلات دریافت شده کاربرد گستردهدر بخش اقتصادی مدل سازی ریاضی فرآیندهای مختلف. به عنوان مثال، هنگام حل مشکلات مدیریت تولید و برنامه ریزی، مسیرهای لجستیک (مشکل حمل و نقل) یا قرار دادن تجهیزات.

سیستم های معادله نه تنها در زمینه ریاضیات، بلکه در فیزیک، شیمی و زیست شناسی، هنگام حل مسائل مربوط به یافتن اندازه جمعیت مورد استفاده قرار می گیرند.

سیستم معادلات خطیدو یا چند معادله با چندین متغیر را نام ببرید که برای آنها باید یک جواب مشترک پیدا کرد. چنین دنباله ای از اعداد که برای آن همه معادلات به برابری های واقعی تبدیل می شوند یا ثابت می کنند که دنباله وجود ندارد.

معادله خطی

معادلات شکل ax+by=c را خطی می نامند. عناوین x، y مجهولاتی هستند که مقدار آنها را باید پیدا کرد، b، a ضرایب متغیرها، c عبارت آزاد معادله است.
حل معادله با رسم نمودار آن مانند یک خط مستقیم به نظر می رسد که همه نقاط آن حل چند جمله ای هستند.

انواع سیستم های معادلات خطی

ساده ترین نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی با دو متغیر X و Y هستند.

F1(x,y) = 0 و F2(x,y) = 0 که در آن F1,2 توابع و (x,y) متغیرهای تابع هستند.

حل یک سیستم معادلات - به این معنی است که مقادیری (x, y) را پیدا کنید که سیستم برای آنها برابری واقعی می شود یا اینکه هیچ مقادیر مناسبی برای x و y وجود ندارد.

یک جفت مقدار (x, y) که به صورت مختصات نقطه نوشته می شود، راه حل یک سیستم معادلات خطی نامیده می شود.

اگر سیستم ها یک راه حل مشترک داشته باشند یا راه حلی وجود نداشته باشد، معادل نامیده می شوند.

سیستم های همگن معادلات خطی سیستم هایی هستند که سمت راست آنها برابر با صفر است. اگر قسمت سمت راست بعد از علامت "برابر" مقداری داشته باشد یا با یک تابع بیان شود، چنین سیستمی همگن نیست.

تعداد متغیرها می تواند بسیار بیشتر از دو باشد، پس باید در مورد مثالی از یک سیستم معادلات خطی با سه متغیر یا بیشتر صحبت کنیم.

در مواجهه با سیستم‌ها، دانش‌آموزان تصور می‌کنند که تعداد معادلات لزوماً باید با تعداد مجهول‌ها منطبق باشد، اما اینطور نیست. تعداد معادلات در سیستم به متغیرها بستگی ندارد، ممکن است تعداد زیادی از آنها وجود داشته باشد.

روش های ساده و پیچیده برای حل سیستم معادلات

هیچ روش تحلیلی کلی برای حل چنین سیستم هایی وجود ندارد، همه روش ها بر اساس آن هستند راه حل های عددی. درس ریاضیات مدرسه به تفصیل روش هایی مانند جایگشت، جمع جبری، جایگزینی و همچنین گرافیکی و روش ماتریسی، حل به روش گاوس.

وظیفه اصلی در آموزش روش های حل، آموزش نحوه تجزیه و تحلیل صحیح سیستم و یافتن الگوریتم حل بهینه برای هر مثال است. نکته اصلی حفظ سیستمی از قوانین و اقدامات برای هر روش نیست، بلکه درک اصول به کارگیری یک روش خاص است.

حل نمونه سیستم های معادلات خطی کلاس هفتم برنامه مدرسه راهنماییبسیار ساده و با جزئیات زیاد توضیح داده شده است. در هر کتاب درسی ریاضی به این بخش توجه کافی شده است. حل نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی به روش گاوس و کرامر در اولین دوره های موسسات آموزش عالی با جزئیات بیشتری مورد بررسی قرار می گیرد.

حل سیستم ها به روش جایگزینی

اقدامات روش جایگزینی با هدف بیان مقدار یک متغیر از طریق متغیر دوم است. این عبارت در معادله باقی مانده جایگزین می شود، سپس به یک شکل متغیر منفرد کاهش می یابد. این عمل بسته به تعداد مجهولات در سیستم تکرار می شود

بیایید یک سیستم معادلات خطی کلاس هفتم را با روش جایگزینی مثال بزنیم:

همانطور که از مثال مشخص است، متغیر x از طریق F(X) = 7 + Y بیان شده است. . راه حل این مثال مشکلی ایجاد نمی کند و به شما امکان می دهد مقدار Y را بدست آورید. آخرین مرحلهاین یک تست از مقادیر دریافتی است.

همیشه نمی توان نمونه ای از یک سیستم معادلات خطی را با جایگزینی حل کرد. معادلات می توانند پیچیده باشند و بیان متغیر بر حسب مجهول دوم برای محاسبات بیشتر دست و پا گیر خواهد بود. هنگامی که بیش از 3 مجهول در سیستم وجود دارد، راه حل جایگزینی نیز غیرعملی است.

حل یک مثال از سیستم معادلات ناهمگن خطی:

حل با استفاده از جمع جبری

هنگام جستجوی راه حل برای سیستم ها با روش جمع، جمع ترم به ترم و ضرب معادلات در اعداد مختلف. هدف نهایی عملیات ریاضیمعادله ای با یک متغیر است.

برای برنامه های کاربردی این روشاین نیاز به تمرین و مشاهده دارد. حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش جمع با تعداد متغیرهای 3 یا بیشتر آسان نیست. جمع جبری زمانی مفید است که معادلات دارای کسر و اعداد اعشاری باشند.

الگوریتم عمل حل:

1. دو طرف معادله را در یک عدد ضرب کنید. در نتیجه عملیات حسابی باید یکی از ضرایب متغیر برابر با 1 شود.
2. عبارت حاصل را ترم به ترم اضافه کنید و یکی از مجهولات را پیدا کنید.
3. مقدار حاصل را در معادله دوم سیستم جایگزین کنید تا متغیر باقیمانده را پیدا کنید.

روش حل با معرفی یک متغیر جدید

اگر سیستم نیاز به یافتن راه حلی برای بیش از دو معادله نداشته باشد، می توان یک متغیر جدید معرفی کرد، تعداد مجهولات نیز نباید بیش از دو باشد.

این روش برای ساده سازی یکی از معادلات با معرفی یک متغیر جدید استفاده می شود. معادله جدید با توجه به مجهول وارد شده حل می شود و مقدار حاصل برای تعیین متغیر اصلی استفاده می شود.

از مثال می توان دریافت که با معرفی متغیر جدید t، می توان معادله 1 سیستم را به یک مثلث مربع استاندارد کاهش داد. شما می توانید یک چند جمله ای را با پیدا کردن ممیز حل کنید.

لازم است ارزش تمایز را توسط فرمول شناخته شده: D = b2 - 4*a*c، که در آن D ممیز مورد نظر است، b، a، c ضرب کننده های چند جمله ای هستند. AT مطابق این مثال a=1، b=16، c=39، از این رو D=100. اگر ممیز بزرگتر از صفر باشد، دو راه حل وجود دارد: t = -b±√D / 2*a، اگر ممیز کمتر از صفر باشد، تنها یک راه حل وجود دارد: x= -b / 2*a.

راه حل برای سیستم های حاصل با روش جمع یافت می شود.

یک روش بصری برای حل سیستم ها

مناسب برای سیستم های دارای 3 معادله. این روش شامل ترسیم نمودارهای هر معادله موجود در سیستم بر روی محور مختصات است. مختصات نقاط تقاطع منحنی ها و خواهد بود راه حل مشترکسیستم های.

روش گرافیکی دارای تعدادی تفاوت ظریف است. چندین مثال از حل سیستم معادلات خطی را به صورت تصویری در نظر بگیرید.

همانطور که از مثال مشخص است، دو نقطه برای هر خط ساخته شده است، مقادیر متغیر x به صورت دلخواه انتخاب شده است: 0 و 3. بر اساس مقادیر x، مقادیر y پیدا شد: 3 و 0. نقاط با مختصات (0، 3) و (3، 0) روی نمودار مشخص شده و با یک خط به هم متصل شدند.

مراحل باید برای معادله دوم تکرار شوند. نقطه تلاقی خطوط راه حل سیستم است.

مثال زیر باید پیدا شود راه حل گرافیکیسیستم های معادلات خطی: 0.5x-y+2=0 و 0.5x-y-1=0.

همانطور که از مثال مشخص است، سیستم هیچ راه حلی ندارد، زیرا نمودارها موازی هستند و در تمام طول خود قطع نمی کنند.

سیستم‌های مثال‌های 2 و 3 مشابه هستند، اما وقتی ساخته می‌شوند، مشخص می‌شود که راه‌حل‌های آنها متفاوت است. باید به خاطر داشت که همیشه نمی توان گفت که آیا سیستم راه حلی دارد یا خیر، همیشه باید یک نمودار ساخت.

ماتریس و انواع آن

از ماتریس ها برای نوشتن مختصر یک سیستم معادلات خطی استفاده می شود. یک جدول ماتریس نامیده می شود. نوع خاصپر از اعداد n*m دارای n - سطر و m - ستون است.

یک ماتریس زمانی مربع است که تعداد ستون ها و سطرها برابر باشد. یک ماتریس - یک بردار ماتریسی از یک ستون با بی نهایت است شماره ممکنخطوط ماتریسی با واحدهایی در امتداد یکی از مورب ها و سایر عناصر صفر را هویت می نامند.

ماتریس معکوس چنین ماتریسی است که وقتی در آن ضرب شود ماتریس اصلی به واحد یک تبدیل می شود، چنین ماتریسی فقط برای مربع اصلی وجود دارد.

قوانین تبدیل یک سیستم معادلات به یک ماتریس

با توجه به سیستم معادلات، ضرایب و اعضای آزاد معادلات به صورت اعداد ماتریس نوشته می شوند، یک معادله یک ردیف از ماتریس است.

یک ردیف ماتریسی غیر صفر نامیده می شود اگر حداقل یک عنصر از سطر برابر با صفر نباشد. بنابراین، اگر در هر یک از معادلات تعداد متغیرها متفاوت باشد، باید به جای مجهول گمشده، صفر وارد شود.

ستون های ماتریس باید کاملاً با متغیرها مطابقت داشته باشند. این بدان معنی است که ضرایب متغیر x را فقط می توان در یک ستون نوشت، برای مثال اولی، ضریب مجهول y - فقط در ستون دوم.

هنگام ضرب یک ماتریس، تمام عناصر ماتریس به صورت متوالی در یک عدد ضرب می شوند.

گزینه هایی برای یافتن ماتریس معکوس

فرمول برای یافتن ماتریس معکوس بسیار ساده است: K -1 = 1 / |K|، که در آن K -1 - ماتریس معکوسو |K| - تعیین کننده ماتریس |K| نباید برابر با صفر باشد، پس سیستم یک راه حل دارد.

تعیین کننده به راحتی برای یک ماتریس دو در دو محاسبه می شود، فقط لازم است عناصر به صورت مورب در یکدیگر ضرب شوند. برای گزینه "سه در سه" فرمولی وجود دارد |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . می توانید از فرمول استفاده کنید یا می توانید به یاد داشته باشید که باید از هر سطر و هر ستون یک عنصر بگیرید تا شماره ستون و ردیف عناصر در محصول تکرار نشود.

حل نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی به روش ماتریسی

روش ماتریسی برای یافتن راه حل، کاهش ورودی های دست و پا گیر را در هنگام حل سیستم هایی با تعداد زیادی متغیر و معادلات ممکن می سازد.

در مثال، a nm ضرایب معادلات، ماتریس یک بردار است x n متغیرها، و b n عبارت‌های آزاد هستند.

حل سیستم ها به روش گاوس

در ریاضیات عالی، روش گاوس همراه با روش کرامر مطالعه می شود و فرآیند یافتن راه حل برای سیستم ها، روش حل گاوس-کرامر نامیده می شود. از این روش ها برای یافتن استفاده می شود متغیرهای سیستمبا تعداد زیادی معادلات خطی

روش گاوسی بسیار شبیه به راه حل های جایگزینی و جمع جبری است، اما سیستماتیک تر است. در دوره مدرسه از حل گاوسی برای سیستم های معادله 3 و 4 استفاده می شود. هدف از این روش، آوردن سیستم به شکل ذوزنقه معکوس است. با تبدیل ها و جانشینی های جبری، مقدار یک متغیر در یکی از معادلات سیستم پیدا می شود. معادله دوم عبارتی است با 2 مجهول و 3 و 4 - با 3 و 4 متغیر.

پس از آوردن سیستم به شکل توصیف شده، راه حل بعدی به جایگزینی متوالی متغیرهای شناخته شده در معادلات سیستم کاهش می یابد.

در کتاب های درسی مدرسه برای کلاس 7، نمونه ای از راه حل گاوسی به شرح زیر است:

همانطور که از مثال مشخص است، در مرحله (3) دو معادله 3x 3 -2x 4 =11 و 3x 3 +2x 4 =7 به دست آمد. حل هر یک از معادلات به شما امکان می دهد یکی از متغیرهای x n را پیدا کنید.

قضیه 5 که در متن به آن اشاره شده است، بیان می کند که اگر یکی از معادلات سیستم با معادلی جایگزین شود، سیستم حاصل نیز معادل معادله اصلی خواهد بود.

درک روش گاوس برای دانش آموزان دشوار است دبیرستان، اما یکی از بیشتر است راه های جالببرای توسعه نبوغ کودکان ثبت نام شده در برنامه مطالعه عمیقدر کلاس های ریاضی و فیزیک

برای سهولت در ثبت محاسبات، مرسوم است که موارد زیر را انجام دهید:

ضرایب معادله و عبارات آزاد به شکل ماتریس نوشته می شوند که هر ردیف از ماتریس با یکی از معادلات سیستم مطابقت دارد. جدا می کند سمت چپمعادلات از سمت راست اعداد رومی بیانگر تعداد معادلات در سیستم هستند.

ابتدا ماتریسی را می نویسند که با آن کار می کنند، سپس تمام اقدامات انجام شده با یکی از ردیف ها. ماتریس حاصل بعد از علامت "فلش" نوشته می شود و تا حصول نتیجه به انجام عملیات جبری لازم ادامه می دهد.

در نتیجه، ماتریسی باید به دست آید که در آن یکی از مورب ها 1 است و سایر ضرایب برابر با صفر هستند، یعنی ماتریس به یک شکل واحد کاهش می یابد. نباید فراموش کنیم که با اعداد دو طرف معادله محاسبات انجام دهیم.

این علامت گذاری کمتر دست و پا گیر است و به شما امکان می دهد با فهرست کردن مجهولات متعدد حواس شما پرت نشود.

استفاده رایگان از هر روش راه حلی نیاز به دقت و مقدار مشخصی تجربه دارد. همه روش ها اعمال نمی شوند. برخی از راه‌های یافتن راه‌حل در حوزه خاصی از فعالیت‌های انسانی ارجح‌تر هستند، در حالی که برخی دیگر به منظور یادگیری وجود دارند.

راه حل. A= . r(A) را پیدا کنید. زیرا ماتریس A دارای سفارش 3x4 است بالاترین مرتبهمینورها 3 است. در این حالت، همه مینورهای مرتبه سوم برابر با صفر هستند (خودتان بررسی کنید). به معنای، r(A)< 3. Возьмем главный جزئی اولیه = -5-4 = -9 ≠ 0. بنابراین r(A) =2.

در نظر گرفتن ماتریس از جانب = .

سوم جزئی سفارش ≠ 0. بنابراین، r(C) = 3.

از آنجایی که r(A) ≠ r(C)، پس سیستم ناسازگار است.

مثال 2سازگاری سیستم معادلات را تعیین کنید

اگر این سیستم سازگار است حل کنید.

راه حل.

A = ، C = . بدیهی است، r(A) ≤ 3، r(C) ≤ 4. از آنجایی که detC = 0، پس r(C)< 4. در نظر گرفتن جزئی سوم سفارش، واقع در گوشه سمت چپ بالای ماتریس A و C: = -23 ≠ 0. بنابراین، r(A) = r(C) = 3.

عدد ناشناس در سیستم n=3. بنابراین سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد. در این حالت معادله چهارم حاصل جمع سه مورد اول است و قابل چشم پوشی است.

طبق فرمول های کرامر x 1 = -98/23، x 2 = -47/23، x 3 = -123/23 را دریافت می کنیم.

2.4. روش ماتریسی. روش گاوس

سیستم nمعادلات خطیبا nمجهولات قابل حل است روش ماتریسیطبق فرمول X \u003d A -1 B (برای Δ ≠ 0) که از (2) با ضرب هر دو قسمت در A -1 بدست می آید.

مثال 1. حل یک سیستم معادلات

به روش ماتریسی (در بخش 2.2 این سیستم با استفاده از فرمول های کرامر حل شد)

راه حل. Δ=10 ≠ 0 A = - ماتریس غیر منفرد.

= (این مورد را خودتان با انجام محاسبات لازم تأیید کنید).

A -1 \u003d (1 / Δ) x \u003d .

X \u003d A -1 B \u003d x=.

پاسخ: .

از نقطه نظر عملی روش ماتریسیو فرمول ها کرامربا مقدار زیادی از محاسبات مرتبط هستند، بنابراین اولویت داده می شود روش گاوس، که شامل حذف متوالی مجهولات است. برای انجام این کار، سیستم معادلات به یک سیستم معادل با یک ماتریس تقویت شده مثلثی کاهش می یابد (همه عناصر زیر قطر اصلی برابر با صفر هستند). به این اعمال حرکت مستقیم می گویند. از سیستم مثلثی به دست آمده، متغیرها با استفاده از تعویض های متوالی (به عقب) یافت می شوند.

مثال 2. سیستم را با استفاده از روش گاوس حل کنید

(این سیستم در بالا با استفاده از فرمول کرامر و روش ماتریس حل شد).

راه حل.

حرکت مستقیم ماتریس تقویت شده را می نویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل مثلثی در می آوریم:

~ ~ ~ ~ .

گرفتن سیستم

حرکت معکوساز آخرین معادله ای که پیدا می کنیم ایکس 3 = -6 و این مقدار را با معادله دوم جایگزین کنید:

ایکس 2 = - 11/2 - 1/4ایکس 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

ایکس 1 = 2 -ایکس 2 + ایکس 3 = 2+4-6 = 0.

پاسخ: .

2.5. حل کلی یک سیستم معادلات خطی

اجازه دهید یک سیستم معادلات خطی داده شود = b i(من=). اجازه دهید r(A) = r(C) = r، یعنی. سیستم مشارکتی است هر جزئی غیر صفر درجه r است جزئی اولیهبدون از دست دادن کلیت، آن را فرض خواهیم کرد جزئی اولیهدر اولین ردیف و ستون r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) ماتریس A قرار دارد. آخرین m-rدر معادلات سیستم، یک سیستم کوتاه شده می نویسیم:

که معادل اصلی است. مجهولات را نام ببریم x 1،….x rاساسی، و x r +1،…، x rآزاد کنید و اصطلاحات حاوی مجهولات رایگان را به سمت راستمعادلات سیستم بریده شده ما سیستم را با توجه به مجهولات اساسی دریافت می کنیم:

که برای هر مجموعه ای از مقادیر مجهولات رایگان x r +1 \u003d C 1، ...، x n \u003d C n-rتنها راه حل را دارد x 1 (C 1، ...، C n-r)، ...، x r (C 1، ...، C n-r)،توسط قانون کرامر پیدا شد.

راه حل مناسبکوتاه شده، و از این رو سیستم اصلی به شکل زیر است:

Х(С 1،…، С n-r) = - راه حل کلی سیستم

اگر مقداری عددی به مجهولات آزاد در جواب کلی بدهیم، جواب را می گیریم سیستم خطی، خصوصی نامیده می شود.

مثال. ایجاد سازگاری و یافتن راه حل کلی سیستم

راه حل. A = ، С = .

بنابراین چگونه r(A)= r(C) = 2 (خودتان ببینید)، سپس سیستم اصلی سازگار است و تعداد بی نهایت راه حل دارد (از r< 4).

با این حال، دو مورد دیگر در عمل گسترده است:

- سیستم ناسازگار است (راه حلی ندارد).
این سیستم سازگار است و راه حل های بی نهایت زیادی دارد.

توجه داشته باشید : اصطلاح "ثبات" به این معناست که سیستم حداقل راه حلی دارد. در تعدادی از کارها، لازم است ابتدا سیستم را از نظر سازگاری، نحوه انجام این کار بررسی کنید - به مقاله مربوطه مراجعه کنید رتبه ماتریسی.

برای این سیستم ها، جهانی ترین روش حل استفاده می شود - روش گاوس. در واقع روش "مدرسه" نیز به پاسخ منتهی می شود، اما در ریاضیات عالی مرسوم است که از روش گاوسی استفاده شود. طرد متوالیناشناس. کسانی که با الگوریتم روش گاوس آشنایی ندارند لطفا ابتدا درس را مطالعه کنند روش گاوس برای آدمک ها.

خود تبدیل‌های ماتریس ابتدایی دقیقاً یکسان هستند، تفاوت در پایان راه حل خواهد بود. ابتدا، چند مثال را در نظر بگیرید که در آن سیستم هیچ راه حلی ندارد (ناسازگار).

مثال 1

چه چیزی بلافاصله در این سیستم توجه شما را جلب می کند؟ تعداد معادلات کمتر از تعداد متغیرها است. اگر تعداد معادلات کمتر از تعداد متغیرها باشد، بلافاصله می توان گفت که سیستم یا ناسازگار است یا راه حل های بی نهایت زیادی دارد. و تنها برای کشف باقی مانده است.

شروع راه حل کاملاً معمولی است - ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در می آوریم:

(1) در مرحله بالا سمت چپ، باید 1+ یا -1 را دریافت کنیم. چنین اعدادی در ستون اول وجود ندارد، بنابراین مرتب کردن مجدد ردیف ها کار نخواهد کرد. این واحد باید به طور مستقل سازماندهی شود، و این می تواند به چندین روش انجام شود. من این کار را انجام دادم: به خط اول، خط سوم را در -1 ضرب کنید.

(2) حالا در ستون اول دو صفر می گیریم. به سطر دوم سطر اول ضرب در 3 را اضافه می کنیم به سطر سوم سطر اول ضرب در 5 را اضافه می کنیم.

(3) پس از انجام تبدیل، همیشه توصیه می شود ببینید که آیا می توان رشته های حاصل را ساده کرد؟ می توان. خط دوم را بر 2 تقسیم می کنیم و همزمان در مرحله دوم 1- مورد نظر را بدست می آوریم. خط سوم را بر -3 تقسیم کنید.

(4) خط دوم را به خط سوم اضافه کنید.

احتمالاً همه به خط بد توجه کردند که در نتیجه تحولات ابتدایی معلوم شد: . واضح است که چنین چیزی نمی تواند باشد. در واقع، ماتریس حاصل را بازنویسی می کنیم بازگشت به سیستم معادلات خطی:

اگر در نتیجه تبدیل‌های ابتدایی، رشته‌ای از فرم به دست آید که در آن عددی غیر صفر باشد، سیستم ناسازگار است (راه‌حلی ندارد).

چگونه پایان یک کار را ثبت کنیم؟ بیایید با گچ سفید رسم کنیم: "در نتیجه دگرگونی های ابتدایی، خطی از فرم به دست می آید، کجا" و پاسخ می دهیم: سیستم هیچ راه حلی ندارد (ناسازگار).

اگر طبق شرایط، لازم است سیستم را برای سازگاری کاوش کنید، در این صورت باید راه حلی به سبک محکم تری صادر کرد که شامل مفهوم است. رتبه ماتریس و قضیه کرونکر-کاپلی.

لطفاً توجه داشته باشید که در اینجا هیچ حرکت معکوس الگوریتم گاوسی وجود ندارد - هیچ راه حلی وجود ندارد و به سادگی چیزی برای یافتن وجود ندارد.

مثال 2

حل یک سیستم معادلات خطی

این یک مثال برای راه حل مستقل. راه حل کاملو پاسخ در پایان درس. مجدداً به شما یادآوری می‌کنم که مسیر حل شما ممکن است با مسیر حل من متفاوت باشد، الگوریتم گاوسی «سفتی» قوی ندارد.

یکی دیگه ویژگی فنیراه حل: تحولات ابتدایی را می توان متوقف کرد فورا، به محض اینکه یک خط مانند ، کجا . در نظر گرفتن مثال شرطی: فرض کنید بعد از اولین تبدیل یک ماتریس به دست آوریم . ماتریس هنوز به شکل پلکانی تقلیل نیافته است، اما نیازی به تبدیلات ابتدایی بیشتر نیست، زیرا خطی از فرم ظاهر شده است، که در آن . بلافاصله باید پاسخ داد که سیستم ناسازگار است.

هنگامی که یک سیستم معادلات خطی هیچ راه حلی ندارد، این تقریبا یک هدیه است، زیرا یک راه حل کوتاه، گاهی اوقات به معنای واقعی کلمه در 2-3 مرحله به دست می آید.

اما همه چیز در این دنیا متعادل است و مشکلی که در آن سیستم راه حل های بی نهایت زیادی دارد طولانی تر است.

مثال 3

حل یک سیستم معادلات خطی

4 معادله و 4 مجهول وجود دارد، بنابراین سیستم می تواند یا یک راه حل داشته باشد، یا هیچ راه حلی نداشته باشد، یا راه حل های بی نهایت زیادی داشته باشد. هر چه بود، اما روش گاوس در هر صورت ما را به پاسخ می رساند. تطبیق پذیری آن نهفته است.

شروع دوباره استاندارد است. ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی آن را به شکل مرحله ای می آوریم:

همین و شما می ترسیدید.

(1) توجه داشته باشید که تمام اعداد در ستون اول بر 2 بخش پذیر هستند، بنابراین 2 در بالا سمت چپ خوب است. به خط دوم، خط اول را در 4- ضرب می کنیم. به خط سوم، خط اول را در 2- ضرب می کنیم. به خط چهارم، خط اول را در -1 ضرب می کنیم.

توجه!ممکن است خیلی ها از خط چهارم وسوسه شوند تفریق کردنخط اول. این را می توان انجام داد، اما لازم نیست، تجربه نشان می دهد که احتمال خطا در محاسبات چندین برابر افزایش می یابد. فقط جمع کنید: به سطر چهارم، سطر اول را در -1 ضرب کنید - دقیقا!

(2) سه خط آخر متناسب هستند، دو تا از آنها قابل حذف است.

در اینجا باز هم لازم است نشان داده شود افزایش توجه، اما آیا خطوط واقعاً متناسب هستند؟ برای بیمه اتکایی (مخصوصاً برای قوری) اضافی نیست که ردیف دوم را در -1 ضرب کنیم و ردیف چهارم را بر 2 تقسیم کنیم و در نتیجه سه ردیف یکسان ایجاد شود. و تنها پس از آن دو تا از آنها را حذف کنید.

در نتیجه تبدیل های اولیه، ماتریس توسعه یافته سیستم به شکل پلکانی کاهش می یابد:

هنگام تکمیل یک کار در یک دفترچه، توصیه می شود برای وضوح همان یادداشت ها را با مداد ایجاد کنید.

ما سیستم معادلات مربوطه را بازنویسی می کنیم:

تنها راه حل "معمول" سیستم در اینجا بویی نمی دهد. خط بدی هم وجود ندارد. این بدان معنی است که این سومین مورد باقی مانده است - سیستم راه حل های بی نهایت زیادی دارد. گاهی اوقات، بر اساس شرایط، لازم است سازگاری سیستم را بررسی کنید (یعنی برای اثبات وجود یک راه حل،) می توانید در پاراگراف آخر مقاله در این مورد مطالعه کنید. چگونه رتبه یک ماتریس را پیدا کنیم؟اما در حال حاضر، اجازه دهید اصول اولیه را بشکنیم:

مجموعه بی نهایت از راه حل های سیستم به طور خلاصه در قالب به اصطلاح نوشته شده است راه حل کلی سیستم .

ما جواب کلی سیستم را با استفاده از حرکت معکوس روش گاوس خواهیم یافت.

ابتدا باید مشخص کنیم که چه متغیرهایی داریم پایه ایو کدام متغیرها رایگان. لازم نیست با اصطلاحات جبر خطی زحمت بکشید، کافی است به یاد داشته باشید که چنین مواردی وجود دارد متغیرهای پایهو متغیرهای رایگان.

متغیرهای پایه همیشه به شدت روی مراحل ماتریس "نشسته" هستند.
در این مثال، متغیرهای پایه عبارتند از و

متغیرهای رایگان همه چیز هستند باقی مانده استمتغیرهایی که یک مرحله نگرفتند. در مورد ما، دو مورد از آنها وجود دارد: - متغیرهای آزاد.

حالا شما نیاز دارید همه متغیرهای پایهبیان فقط از طریق متغیرهای رایگان.

حرکت معکوس الگوریتم گاوسی به طور سنتی از پایین به بالا کار می کند.
از معادله دوم سیستم، متغیر پایه را بیان می کنیم:

حالا به معادله اول نگاه کنید: . ابتدا عبارت پیدا شده را جایگزین آن می کنیم:

باقی مانده است که متغیر اصلی را بر حسب متغیرهای آزاد بیان کنیم:

نتیجه همان چیزی است که شما نیاز دارید - همهمتغیرهای پایه (و) بیان می شوند فقط از طریقمتغیرهای رایگان:

در واقع، راه حل کلی آماده است:

چگونه راه حل کلی را یادداشت کنیم؟
متغیرهای رایگان در راه حل کلی "به تنهایی" و به طور دقیق در جای خود نوشته می شوند. AT این موردمتغیرهای آزاد باید در جایگاه دوم و چهارم نوشته شوند:
.

عبارات به دست آمده برای متغیرهای اساسی و بدیهی است که باید در جایگاه اول و سوم نوشته شود:

دادن متغیرهای رایگان مقادیر دلخواه، بی نهایت زیاد هستند تصمیمات خصوصی. محبوب ترین مقادیر صفر هستند، زیرا راه حل خاص ساده ترین است. جایگزین در راه حل کلی:

یک تصمیم خصوصی است

یکی دیگر از زوج های شیرین است، اجازه دهید راه حل کلی را جایگزین کنیم:

یک راه حل خاص دیگر است.

به راحتی می توان فهمید که سیستم معادلات دارد راه حل های بی نهایت زیاد(از آنجایی که می توانیم متغیرهای رایگان بدهیم هرارزش های)

هر یکیک راه حل خاص باید ارضا شود به هرمعادله سیستم این مبنایی برای بررسی "سریع" صحت راه حل است. به عنوان مثال، یک راه حل خاص را در نظر بگیرید و آن را در سمت چپ هر معادله در سیستم اصلی جایگزین کنید:

همه چیز باید با هم جمع شود. و با هر راه حل خاصی که دریافت می کنید، همه چیز باید همگرا شود.

اما، به طور دقیق، تأیید یک راه حل خاص گاهی اوقات فریب می دهد. برخی از راه حل های خاص می تواند هر معادله سیستم را برآورده کند، و خود راه حل کلی در واقع به اشتباه یافت می شود.

بنابراین، تأیید راه حل کلی دقیق تر و قابل اعتمادتر است. چگونه می توان راه حل کلی حاصل را بررسی کرد ?

آسان است، اما کاملا خسته کننده است. ما باید عباراتی را در نظر بگیریم پایه ایمتغیرها در این مورد و، و آنها را در سمت چپ هر معادله سیستم جایگزین کنید.

در سمت چپ معادله اول سیستم:

در سمت چپ معادله دوم سیستم:


سمت راست معادله اصلی به دست می آید.

مثال 4

سیستم را با استفاده از روش گاوس حل کنید. یک راه حل کلی و دو راه حل خصوصی پیدا کنید. راه حل کلی را بررسی کنید.

این یک مثال برای خودتان است. در اینجا، اتفاقا، باز هم تعداد معادلات از تعداد مجهولات کمتر است، به این معنی که بلافاصله مشخص می شود که سیستم یا ناسازگار خواهد بود یا با تعداد بی نهایت راه حل. چه چیزی در خود فرآیند تصمیم گیری مهم است؟ توجه، و دوباره توجه. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

و چند مثال دیگر برای تقویت مطالب

مثال 5

حل یک سیستم معادلات خطی. اگر سیستم بی نهایت راه حل دارد، دو راه حل خاص پیدا کنید و راه حل کلی را بررسی کنید

راه حل: بیایید ماتریس تقویت شده سیستم را بنویسیم و با کمک تبدیل های ابتدایی آن را به شکل گام در آوریم:

(1) خط اول را به خط دوم اضافه کنید. به خط سوم سطر اول ضرب در 2 را اضافه می کنیم به خط چهارم اولین سطر ضرب در 3 را اضافه می کنیم.
(2) به خط سوم، خط دوم را در 5- ضرب کنید. به خط چهارم، خط دوم را در 7- ضرب می کنیم.
(3) خط سوم و چهارم یکسان است، یکی از آنها را حذف می کنیم.

در اینجا چنین زیبایی وجود دارد:

متغیرهای پایه روی پله ها قرار می گیرند، بنابراین آنها متغیرهای پایه هستند.
تنها یک متغیر رایگان وجود دارد که یک مرحله دریافت نکرد:

حرکت معکوس:
متغیرهای پایه را بر حسب متغیر آزاد بیان می کنیم:
از معادله سوم:

معادله دوم را در نظر بگیرید و عبارت پیدا شده را جایگزین آن کنید:

معادله اول را در نظر بگیرید و عبارات یافت شده را جایگزین آن کنید:

بله، ماشین حسابی که کسرهای معمولی را می شمارد هنوز هم راحت است.

بنابراین راه حل کلی این است:

یک بار دیگر چگونه این اتفاق افتاد؟ متغیر رایگان به تنهایی در جایگاه چهارم قرار دارد. عبارات به دست آمده برای متغیرهای پایه نیز جایگاه ترتیبی خود را گرفتند.

اجازه دهید بلافاصله راه حل کلی را بررسی کنیم. برای سیاه پوستان کار کنید، اما من قبلاً آن را انجام داده ام، پس بگیر =)

ما سه قهرمان، را در سمت چپ هر معادله سیستم جایگزین می کنیم:

سمت راست معادلات مربوطه به دست می آید، بنابراین جواب کلی به درستی پیدا می شود.

اکنون از راه حل کلی یافت شده ما دو راه حل خاص دریافت می کنیم. سرآشپز اینجا تنها متغیر رایگان است. نیازی نیست سرت را بشکنی

بگذار پس یک تصمیم خصوصی است
بگذار پس یک راه حل خاص دیگر است.

پاسخ: تصمیم مشترک: راه حل های خاص: , .

بیهوده یاد سیاه‌پوستان اینجا افتادم... چون انواع انگیزه‌های سادیستی به ذهنم رسید و به یاد عکس معروف افتادم که در آن مردان کوکلاکس کلنس با لباس‌های سفید در سراسر زمین به دنبال یک فوتبالیست سیاه‌پوست می‌دویدند. . می نشینم و آرام لبخند می زنم. میدونی چقدر حواس پرت میکنه….

بسیاری از ریاضیات مضر است، بنابراین یک مثال نهایی مشابه برای یک راه حل مستقل.

مثال 6

جواب کلی سیستم معادلات خطی را بیابید.

من قبلاً راه حل کلی را بررسی کرده ام، می توان به پاسخ اعتماد کرد. راه حل شما ممکن است با راه حل من متفاوت باشد، نکته اصلی این است که راه حل های کلی مطابقت دارند.

احتمالاً بسیاری از مردم متوجه یک لحظه ناخوشایند در راه حل ها شده اند: اغلب اوقات، در طول معکوس روش گاوس، ما مجبور بودیم با کسرهای معمولی. در عمل، این درست است، مواردی که هیچ کسری وجود ندارد بسیار کمتر رایج است. از نظر ذهنی و از همه مهمتر از نظر فنی آماده باشید.

من در مورد برخی از ویژگی های راه حل که در مثال های حل شده یافت نشد صحبت خواهم کرد.

راه حل کلی سیستم گاهی اوقات می تواند شامل یک ثابت (یا ثابت) باشد، به عنوان مثال: . در اینجا یکی از متغیرهای اساسی برابر با یک عدد ثابت است: . هیچ چیز عجیب و غریبی در این وجود ندارد، این اتفاق می افتد. بدیهی است که در این حالت، هر راه حل خاصی حاوی یک پنج در موقعیت اول خواهد بود.

به ندرت، اما سیستم هایی وجود دارند که در آنها تعداد معادلات از تعداد متغیرها بیشتر است. روش گاوسی در شدیدترین شرایط کار می کند؛ باید با آرامش ماتریس توسعه یافته سیستم را طبق الگوریتم استاندارد به شکل پلکانی در آورد. چنین سیستمی ممکن است ناسازگار باشد، ممکن است راه حل های بی نهایت زیادی داشته باشد، و به اندازه کافی عجیب، ممکن است راه حل منحصر به فردی داشته باشد.

AT مورد کلیمعادله خطی به شکل زیر است:

معادله یک راه حل دارد: اگر حداقل یکی از ضرایب مجهولات با صفر متفاوت باشد. در این حالت، هر بردار بعدی را در صورتی حل معادله می نامند که وقتی مختصات آن جایگزین شود، معادله به یک هویت تبدیل شود.

مشخصات کلی سیستم معادلات مجاز

مثال 20.1

سیستم معادلات را شرح دهید.

راه حل:

1. آیا معادله ناسازگاری وجود دارد؟(اگر ضرایب باشد، در این حالت معادله به شکل: و فراخوانی می شود بحث برانگیز.)

• اگر سیستمی حاوی یک سیستم ناسازگار باشد، چنین سیستمی ناسازگار است و راه حلی ندارد.

2. همه متغیرهای مجاز را پیدا کنید. (مجهول نامیده می شودمجازبرای سیستم معادلات، اگر یکی از معادلات سیستم را با ضریب 1+ وارد کند و بقیه معادلات را وارد نکند (یعنی با ضریب صفر وارد شود).

3. آیا سیستم معادلات مجاز است؟ (سیستم معادلات حل شده نامیده می شود، اگر هر معادله سیستم حاوی یک مجهول حل شده باشد که در بین آنها هیچ مورد منطبقی وجود نداشته باشد)

مجهولات مجاز که هر بار از هر معادله سیستم گرفته می شوند، تشکیل می شوند مجموعه کامل مجهولات مجازسیستم های. (در مثال ما اینطور است)

مجهولات مجاز موجود در مجموعه کامل نیز نامیده می شوند پایه ای() و در مجموعه گنجانده نشده است - رایگان ().

در حالت کلی، سیستم معادلات حل شده به شکل زیر است:

در این مرحله، مهم است که بفهمیم چیست ناشناخته حل شد(شامل پایه و رایگان).

راه حل اساسی جزئی عمومی

راه حل کلیاز سیستم معادلات مجاز مجموعه ای از عبارات مجهولات مجاز بر حسب عبارت آزاد و مجهولات آزاد است:

تصمیم خصوصیراه حلی نامیده می شود که از حالت کلی برای مقادیر خاص متغیرهای آزاد و مجهولات بدست می آید.

راه حل اساسیراه حل خاصی است که از یک کلی در مقادیر صفر متغیرهای آزاد به دست می آید.

• راه حل اصلی (بردار) نامیده می شود منحطاگر تعداد مختصات آن غیر از صفر باشد، کمتر از عددمجهولات مجاز
• راه حل اساسی نامیده می شود غیر منحط، اگر تعداد مختصات غیر صفر آن با تعداد مجهولات مجاز سیستم موجود در مجموعه کامل برابر باشد.

قضیه (1)

سیستم مجاز معادلات همیشه سازگار است(چون حداقل یک راه حل دارد)؛ علاوه بر این، اگر سیستم مجهولات رایگان نداشته باشد،(یعنی در سیستم معادلات همه مجازها در مبنا قرار می گیرند) سپس تعریف می شود(راه حل منحصر به فردی دارد)؛ اگر حداقل یک متغیر آزاد وجود داشته باشد، سیستم تعریف نشده است(بی نهایت راه حل دارد).

مثال 1. برای سیستم معادلات یک راه حل کلی، اساسی و هر خاص پیدا کنید:

راه حل:

1. بررسی می کنید که آیا سیستم مجاز است؟

• سیستم مجاز است (زیرا هر یک از معادلات دارای مجهول مجاز است)

2. مجهولات مجاز را در مجموعه گنجانده ایم - یکی از هر معادله.

3. بسته به اینکه کدام مجهولات مجاز را در مجموعه قرار داده ایم، راه حل کلی را یادداشت می کنیم.

4. یافتن راه حل خصوصی. برای این کار، متغیرهای آزاد را که در مجموعه قرار نداده‌ایم با اعداد دلخواه برابر می‌کنیم.

پاسخ: راه حل خصوصی(یکی از گزینه ها)

5. یافتن راه حل اساسی. برای این کار، متغیرهای رایگانی را که در مجموعه قرار نداده ایم برابر با صفر می کنیم.

تبدیل های ابتدایی معادلات خطی

سیستم های معادلات خطی با کمک تبدیل های ابتدایی به سیستم های مجاز معادل کاهش می یابند.

قضیه (2)

در صورت وجود معادله سیستم را در عددی غیر صفر ضرب کنید، و بقیه معادلات را بدون تغییر رها کنید، سپس . (یعنی اگر سمت چپ و راست معادله را در یک عدد ضرب کنید، معادله ای معادل معادله داده شده به دست می آید)

قضیه (3)

اگر یک معادله دیگری را به هر معادله ای از سیستم اضافه کنید، و سپس تمام معادلات دیگر را بدون تغییر رها کنید یک سیستم معادل داده شده بدست آورید. (یعنی اگر دو معادله را اضافه کنید (با اضافه کردن قسمت چپ و راست آنها)، معادله ای معادل داده به دست می آید)

نتیجه گیری از قضایای (2 و 3)

اگر یک به هر معادله ای دیگر، ضرب در عدد معینی اضافه کنیدو تمام معادلات دیگر را بدون تغییر رها کنید، سپس سیستمی معادل با داده شده بدست می آوریم.

فرمول های محاسبه مجدد ضرایب سیستم

اگر ما یک سیستم معادلات داشته باشیم و بخواهیم آن را به یک سیستم معادلات مجاز تبدیل کنیم، روش جردن-گاوس در این امر به ما کمک می کند.

تبدیل اردنبا یک عنصر حل به شما امکان می دهد مجهول حل شده را برای سیستم معادلات در معادله با عدد بدست آورید. (مثال 2).

تبدیل اردن از دو نوع تبدیل اولیه تشکیل شده است:

فرض کنید می خواهیم مجهول موجود در معادله پایین را مجهول حل شده تبدیل کنیم. برای انجام این کار، باید بر آن تقسیم کنیم تا حاصل جمع شود.

مثال 2 ضرایب سیستم را دوباره محاسبه کنید

هنگام تقسیم یک معادله با یک عدد بر ضرایب آن طبق فرمول های زیر محاسبه می شود:

برای حذف از معادله با عدد، باید معادله با عدد را در ضرب کنید و به این معادله اضافه کنید.

قضیه (4) در مورد کاهش تعداد معادلات سیستم.

اگر سیستم معادلات دارای یک معادله بی اهمیت باشد، می توان آن را از سیستم حذف کرد و سیستمی معادل معادل اصلی بدست آورد.

قضیه (5) در مورد ناسازگاری سیستم معادلات.

اگر یک سیستم معادلات دارای یک معادله ناسازگار باشد، ناسازگار است.

الگوریتم روش جردن-گاوس

الگوریتم حل سیستم معادلات به روش جردن-گاوس شامل تعدادی مرحله از یک نوع است که هر یک از آنها اقدامات را به ترتیب زیر انجام می دهد:

1. بررسی می کند که آیا سیستم ناسازگار است. اگر یک سیستم دارای معادله ناسازگار باشد، ناسازگار است.
2. امکان کاهش تعداد معادلات بررسی می شود. اگر سیستم دارای یک معادله بی اهمیت باشد، خط زده می شود.
3. اگر سیستم معادلات مجاز است، جواب کلی سیستم و در صورت لزوم راه حل های خاص را بنویسید.
4. اگر سیستم مجاز نباشد، در معادله ای که مجهول مجاز ندارد، یک عنصر تفکیک کننده انتخاب شده و تبدیل جردن با این عنصر انجام می شود.
5. سپس به نقطه 1 برگردید.

مثال 3 سیستم معادلات را با استفاده از روش جردن-گاوس حل کنید.

پیدا کردن: دو راه حل کلی و دو راه حل اساسی متناظر

راه حل:

محاسبات در جدول زیر نشان داده شده است:

اقدامات روی معادلات در سمت راست جدول نشان داده شده است. فلش ها نشان می دهد که معادله با عنصر تفکیک کننده ضرب در یک عامل مناسب به کدام معادله اضافه شده است.

سه ردیف اول جدول شامل ضرایب مجهولات و قسمت های سمت راست سیستم اصلی است. نتایج اولین تبدیل جردن با وضوح برابر با یک در خطوط 4، 5، 6 آورده شده است. معادله سوم بی اهمیت است، نمی توان آن را در نظر گرفت.

روش گاوس که روش حذف متوالی مجهولات نیز نامیده می شود شامل موارد زیر است. با استفاده از تبدیل های ابتدایی، سیستم معادلات خطی به شکلی در می آید که ماتریس ضرایب آن معلوم می شود ذوزنقه ای (همان مثلثی یا پلکانی) یا نزدیک به ذوزنقه (مسیر مستقیم روش گاوس، سپس - فقط یک حرکت مستقیم). نمونه ای از چنین سیستمی و راه حل آن در شکل بالا نشان داده شده است.

در چنین سیستمی، آخرین معادله فقط شامل یک متغیر است و مقدار آن را می توان به طور منحصر به فرد یافت. سپس مقدار این متغیر به معادله قبلی ( معکوس گاوسی ، سپس - فقط یک حرکت معکوس)، که از آن متغیر قبلی پیدا می شود، و غیره.

همانطور که می بینیم در یک سیستم ذوزنقه ای (مثلثی)، معادله سوم دیگر دارای متغیر نیست. yو ایکس، و معادله دوم - متغیر ایکس .

پس از اینکه ماتریس سیستم به شکل ذوزنقه ای درآمد، دیگر مشکلی نیست که مسئله سازگاری سیستم را مرتب کنیم، تعداد راه حل ها را تعیین کنیم و خود راه حل ها را پیدا کنیم.

مزایای روش:

1. هنگام حل سیستم های معادلات خطی با بیش از سه معادله و مجهولات، روش گاوس به اندازه روش کرامر دشوار نیست، زیرا در هنگام حل روش گاوس به محاسبات کمتری نیاز است.
2. با استفاده از روش گاوس می توانید سیستم های نامحدود معادلات خطی را حل کنید، یعنی یک راه حل مشترک داشته باشید (و در این درس آنها را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد) و با استفاده از روش کرامر فقط می توانید بیان کنید که سیستم نامشخص است.
3. می توانید سیستم های معادلات خطی را حل کنید که در آنها تعداد مجهولات با تعداد معادلات برابر نیست (ما همچنین آنها را در این درس تجزیه و تحلیل خواهیم کرد).
4. این روش مبتنی بر روش های ابتدایی (مدرسه) است - روش جایگزینی مجهولات و روش اضافه کردن معادلات که در مقاله مربوطه به آنها اشاره کردیم.

برای اینکه همه با سادگی حل سیستم های ذوزنقه ای (مثلثی، پله ای) معادلات خطی آغشته شوند، حل چنین سیستمی را با استفاده از حرکت معکوس ارائه می کنیم. راه حل سریع این سیستم در تصویر ابتدای درس نشان داده شده است.

مثال 1حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از حرکت معکوس:

راه حل. در این سیستم ذوزنقه ای، متغیر zبه طور منحصر به فرد از معادله سوم یافت می شود. مقدار آن را جایگزین معادله دوم می کنیم و مقدار متغیر را بدست می آوریم y:

اکنون مقادیر دو متغیر را می دانیم - zو y. آنها را در معادله اول جایگزین می کنیم و مقدار متغیر را بدست می آوریم ایکس:

از مراحل قبل، حل سیستم معادلات را می نویسیم:

برای به دست آوردن چنین سیستم ذوزنقه ای از معادلات خطی، که ما آن را بسیار ساده حل کردیم، لازم است یک حرکت مستقیم مرتبط با تبدیل های اولیه سیستم معادلات خطی اعمال شود. همچنین خیلی سخت نیست.

تبدیل های ابتدایی یک سیستم معادلات خطی

با تکرار روش مکتبی جمع جبری معادلات سیستم، متوجه شدیم که می توان معادله دیگری از سیستم را به یکی از معادلات سیستم اضافه کرد و هر یک از معادلات را می توان در تعدادی اعداد ضرب کرد. در نتیجه سیستمی از معادلات خطی معادل معادله داده شده بدست می آوریم. در آن، یک معادله قبلاً فقط شامل یک متغیر بود که با جایگزینی مقدار آن با معادلات دیگر، به یک راه حل می رسیم. چنین افزودنی یکی از انواع دگرگونی ابتدایی سیستم است. هنگام استفاده از روش گاوس، می توانیم از چندین نوع تبدیل استفاده کنیم.

انیمیشن بالا نشان می دهد که چگونه سیستم معادلات به تدریج به یک سیستم ذوزنقه ای تبدیل می شود. یعنی همان چیزی که در همان اولین انیمیشن دیدید و مطمئن شدید که به راحتی می توانید مقادیر همه مجهولات را از آن پیدا کنید. نحوه انجام چنین تحولی و البته نمونه هایی بیشتر مورد بحث قرار خواهد گرفت.

هنگام حل سیستم های معادلات خطی با هر تعداد معادله و مجهولات در سیستم معادلات و در ماتریس منبسط شده سیستم می توان:

1. خطوط مبادله (این در همان ابتدای این مقاله ذکر شد)؛
2. اگر در نتیجه تغییرات دیگر خطوط مساوی یا متناسب ظاهر شد، می توان آنها را حذف کرد، به جز یک.
3. سطرهای "تهی" را حذف کنید، جایی که همه ضرایب برابر با صفر هستند.
4. هر رشته ای را در یک عدد ضرب یا تقسیم کنید.
5. به هر خط یک خط دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنید.

در نتیجه تبدیل ها، سیستمی از معادلات خطی معادل معادله داده شده به دست می آوریم.

الگوریتم و مثال هایی از حل سیستم معادلات خطی با ماتریس مربع سیستم به روش گاوس

ابتدا حل سیستم های معادلات خطی را در نظر بگیرید که در آنها تعداد مجهولات برابر با تعداد معادلات است. ماتریس چنین سیستمی مربع است، یعنی تعداد سطرهای آن با تعداد ستون ها برابر است.

مثال 2حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش مدرسه، ترم به ترم یکی از معادلات را در عدد معینی ضرب کردیم، به طوری که ضرایب متغیر اول در دو معادله اعداد متضاد بودند. هنگام اضافه کردن معادلات، این متغیر حذف می شود. روش گاوس به روشی مشابه عمل می کند.

برای ساده کردن ظاهرراه حل ها ماتریس تقویت شده سیستم را بسازید:

در این ماتریس ضرایب مجهولات در سمت چپ قبل از میله عمودی و اعضای آزاد در سمت راست بعد از میله عمودی قرار دارند.

برای راحتی تقسیم ضرایب متغیرها (برای بدست آوردن تقسیم بر یک) ردیف اول و دوم ماتریس سیستم را با هم عوض کنید. ما یک سیستم معادل سیستم داده شده را به دست می آوریم، زیرا در سیستم معادلات خطی می توان معادلات را دوباره مرتب کرد:

با معادله اول جدید متغیر را حذف کنید ایکساز معادلات دوم و تمام معادلات بعدی. برای انجام این کار، ردیف اول ضرب شده در (در مورد ما در ) را به ردیف دوم ماتریس، و ردیف اول ضرب در (در مورد ما در) را به ردیف سوم اضافه کنید.

این امکان پذیر است زیرا

اگر بیش از سه معادله در سیستم ما وجود داشته باشد، باید خط اول را به تمام معادلات بعدی، ضرب در نسبت ضرایب مربوطه، با علامت منفی، اضافه کرد.

در نتیجه ماتریسی معادل سیستم داده شده بدست می آوریم سیستم جدیدمعادلات، که در آن تمام معادلات، با شروع از دوم شامل متغیر نیست ایکس :

برای ساده کردن ردیف دوم سیستم به دست آمده، آن را در ضرب می کنیم و دوباره ماتریس سیستم معادلات معادل این سیستم را بدست می آوریم:

حال، بدون تغییر اولین معادله سیستم حاصل، با استفاده از معادله دوم، متغیر را حذف می کنیم y از تمام معادلات بعدی برای انجام این کار، ردیف دوم ضرب در (در مورد ما، در) را به ردیف سوم ماتریس سیستم اضافه کنید.

اگر بیش از سه معادله در سیستم ما وجود داشته باشد، خط دوم باید به تمام معادلات بعدی، ضرب در نسبت ضرایب مربوطه، با علامت منفی، اضافه شود.

در نتیجه، ما دوباره ماتریس سیستم معادل سیستم معادلات خطی داده شده را بدست می آوریم:

ما یک سیستم ذوزنقه ای از معادلات خطی معادل معادله داده شده به دست آورده ایم:

اگر تعداد معادلات و متغیرها بیشتر از مثال ما باشد، فرآیند حذف متوالی متغیرها تا زمانی که ماتریس سیستم ذوزنقه ای شود، مانند نمونه آزمایشی ما ادامه می یابد.

ما راه حل را "از پایان" پیدا خواهیم کرد - معکوس. برای این از آخرین معادله ای که تعیین می کنیم z:
.
با جایگزینی این مقدار به معادله قبلی، پیدا کردن y:

از معادله اول پیدا کردن ایکس:

پاسخ: حل این سیستم معادلات - .

: در این صورت اگر سیستم راه حل منحصر به فردی داشته باشد، همین پاسخ داده می شود. اگر سیستم بی نهایت راه حل داشته باشد، جواب هم همینطور است و این موضوع قسمت پنجم این درس است.

خود سیستم معادلات خطی را با استفاده از روش گاوس حل کنید و سپس به حل آن نگاه کنید

در مقابل ما دوباره نمونه ای از یک سیستم ثابت و معین از معادلات خطی است که در آن تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات است. تفاوت نمونه آزمایشی ما با الگوریتم این است که در حال حاضر چهار معادله و چهار مجهول وجود دارد.

مثال 4حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس:

حال باید از معادله دوم برای حذف متغیر از معادلات بعدی استفاده کنید. خرج کنیم کارهای مقدماتی. برای راحت تر کردن نسبت ضرایب، باید یک واحد در ستون دوم ردیف دوم دریافت کنید. برای این کار، ردیف سوم را از ردیف دوم کم کنید و ردیف دوم حاصل را در -1 ضرب کنید.

حال اجازه دهید حذف واقعی متغیر را از معادلات سوم و چهارم انجام دهیم. برای انجام این کار، دوم ضرب در، را به خط سوم، و دوم، ضرب در، به خط چهارم اضافه کنید.

حال با استفاده از معادله سوم، متغیر را از معادله چهارم حذف می کنیم. برای انجام این کار، به خط چهارم، سوم را ضرب در . ما یک ماتریس منبسط شده به شکل ذوزنقه می گیریم.

ما یک سیستم معادلات به دست آورده ایم که معادل است این سیستم:

بنابراین، سیستم های حاصل و داده شده سازگار و قطعی هستند. تصمیم نهایی"از پایان" را پیدا کنید. از معادله چهارم می توانیم مستقیماً مقدار متغیر "x fourth" را بیان کنیم:

این مقدار را جایگزین معادله سوم سیستم می کنیم و بدست می آوریم

,

,

در نهایت، جایگزینی ارزش

در معادله اول می دهد

,

جایی که ما ابتدا "x" را پیدا می کنیم:

پاسخ: این سیستم معادلات یک راه حل منحصر به فرد دارد. .

همچنین می توانید حل سیستم را روی ماشین حسابی که به روش کرامر حل می کند بررسی کنید: در این صورت اگر سیستم یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد، همین پاسخ داده می شود.

حل مسائل کاربردی با روش گاوس بر روی مثالی از یک مسئله برای آلیاژها

سیستم های معادلات خطی برای مدل سازی اشیاء واقعی دنیای فیزیکی استفاده می شود. بیایید یکی از این مشکلات را حل کنیم - برای آلیاژها. وظایف مشابه - وظایف در یک مخلوط، هزینه یا وزن مخصوصکالاهای فردی در گروهی از کالاها و مانند آن.

مثال 5سه قطعه آلیاژ دارای جرم کلی 150 کیلوگرم است. آلیاژ اول حاوی 60٪ مس، دوم - 30٪، سوم - 10٪ است. در عین حال، در آلیاژهای دوم و سوم روی هم، مس 28.4 کیلوگرم کمتر از آلیاژ اول و در آلیاژ سوم، مس 6.2 کیلوگرم کمتر از آلیاژ دوم است. جرم هر قطعه آلیاژ را پیدا کنید.

راه حل. ما یک سیستم معادلات خطی می سازیم:

با ضرب معادله دوم و سوم در 10، یک سیستم معادل از معادلات خطی به دست می آوریم:

ماتریس توسعه یافته سیستم را می سازیم:

توجه، حرکت مستقیم. با جمع کردن (در مورد ما، تفریق) یک ردیف، ضرب در یک عدد (آن را دو بار اعمال می کنیم)، تبدیل های زیر با ماتریس منبسط شده سیستم رخ می دهد:

دویدن مستقیم به پایان رسید. ما یک ماتریس منبسط شده به شکل ذوزنقه به دست آوردیم.

از معکوس استفاده کنیم. ما از آخر راه حل پیدا می کنیم. ما آن را می بینیم.

از معادله دوم پیدا می کنیم

از معادله سوم -

همچنین می توانید حل سیستم را روی ماشین حسابی که به روش کرامر حل می کند بررسی کنید: در این صورت اگر سیستم یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد، همین پاسخ داده می شود.

سادگی روش گاوس را این واقعیت نشان می دهد که کارل فردریش گاوس، ریاضیدان آلمانی تنها 15 دقیقه برای اختراع آن زمان صرف کرده است. علاوه بر روش نام او، از اثر گاوس، این ضرب المثل "ما نباید آنچه را که برای ما باورنکردنی و غیرطبیعی به نظر می رسد با مطلقاً غیرممکن" مخلوط کنیم. آموزش کوتاهبرای انجام اکتشافات

در بسیاری از مسائل کاربردی ممکن است محدودیت سوم یعنی معادله سوم وجود نداشته باشد، سپس لازم است یک سیستم دو معادله با سه مجهول را با استفاده از روش گاوس حل کنیم یا برعکس مجهولات کمتر از معادلات باشد. اکنون ما شروع به حل چنین سیستم های معادلات می کنیم.

با استفاده از روش گاوس، می توانید تعیین کنید که آیا هر سیستمی سازگار یا ناسازگار است nمعادلات خطی با nمتغیرها

روش گاوس و سیستم های معادلات خطی با تعداد بی نهایت جواب

مثال بعدی یک سیستم منسجم اما نامعین از معادلات خطی است، یعنی دارای تعداد بی نهایت جواب است.

پس از انجام تبدیلات در ماتریس گسترش یافته سیستم (جایگزینی سطرها، ضرب و تقسیم سطرها بر تعداد معین، افزودن یک سطر به سطر دیگر)، سطرهای فرم

اگر در تمام معادلات دارای فرم

اعضای آزاد برابر با صفر هستند، به این معنی که سیستم نامشخص است، یعنی تعداد بی نهایت جواب دارد و معادلات از این نوع "زائد" هستند و از سیستم حذف می شوند.

مثال 6

راه حل. اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بسازیم. سپس با استفاده از معادله اول، متغیر را از معادلات بعدی حذف می کنیم. برای انجام این کار، به خط دوم، سوم و چهارم، اولین را به ترتیب ضرب کنید:

حالا بیایید ردیف دوم را به ردیف سوم و چهارم اضافه کنیم.

در نتیجه به سیستم می رسیم

دو معادله آخر به معادلات فرم تبدیل شده اند. این معادلات برای هر مقدار از مجهولات برآورده می شوند و می توان آنها را کنار گذاشت.

برای برآوردن معادله دوم، می‌توانیم مقادیر دلخواه را برای و انتخاب کنیم، سپس مقدار for به طور واضح تعیین می‌شود: . از معادله اول، مقدار for نیز به طور یکتا پیدا می شود: .

هر دو سیستم داده شده و آخرین سیستم سازگار اما نامعین هستند و فرمول ها

برای دلخواه و به ما همه راه حل های سیستم داده شده است.

روش گاوس و سیستم های معادلات خطی که هیچ جوابی ندارند

مثال زیر یک سیستم ناسازگار از معادلات خطی است، یعنی هیچ راه حلی ندارد. پاسخ به چنین مشکلاتی به شرح زیر است: سیستم هیچ راه حلی ندارد.

همانطور که قبلاً در رابطه با مثال اول ذکر شد، پس از انجام تبدیل در ماتریس گسترش یافته سیستم، خطوط شکل

مربوط به معادله ای از فرم است

اگر در بین آنها حداقل یک معادله با جمله آزاد غیر صفر (یعنی ) وجود داشته باشد، این سیستم معادلات ناسازگار است، یعنی هیچ راه حلی ندارد و این حل آن را کامل می کند.

مثال 7حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس:

راه حل. ماتریس توسعه یافته سیستم را می سازیم. با استفاده از معادله اول، متغیر را از معادلات بعدی حذف می کنیم. برای این کار، اولین ضرب در ردیف دوم، اولین ضرب در ردیف سوم و اولین ضرب در ردیف چهارم اضافه کنید.

حال باید از معادله دوم برای حذف متغیر از معادلات بعدی استفاده کنید. برای بدست آوردن نسبت های صحیح ضرایب، ردیف دوم و سوم ماتریس توسعه یافته سیستم را با هم عوض می کنیم.

برای حذف از معادلات سوم و چهارم، دومی را با ضرب در ردیف سوم و دومی را با ضرب در ردیف چهارم اضافه کنید.

حال با استفاده از معادله سوم، متغیر را از معادله چهارم حذف می کنیم. برای انجام این کار، به خط چهارم، سوم را ضرب در .

بنابراین سیستم داده شده معادل موارد زیر است:

سیستم حاصل ناسازگار است، زیرا آخرین معادله آن را نمی توان با هیچ مقدار مجهول ارضا کرد. بنابراین این سیستم هیچ راه حلی ندارد.