نحوه یافتن راه حل های کلی یک ماتریس با استفاده از روش گاوسی روش گاوسی (حذف متوالی مجهولات). نمونه هایی از راه حل برای آدمک ها
یکی از ساده ترین راه ها برای حل سیستم معادلات خطییک تکنیک مبتنی بر محاسبه عوامل تعیین کننده است ( قانون کرامر). مزیت آن این است که به شما امکان می دهد بلافاصله راه حل را ضبط کنید، به ویژه در مواردی که ضرایب سیستم اعداد نیستند، بلکه برخی از پارامترها هستند. عیب آن دست و پا گیر بودن محاسبات در پرونده است تعداد زیادیعلاوه بر این، قانون کرامر به طور مستقیم برای سیستم هایی که در آن تعداد معادلات با تعداد مجهولات منطبق نیست، قابل اجرا نیست. در چنین مواردی معمولاً از آن استفاده می شود روش گاوسی.
سیستم های معادلات خطی که مجموعه ای از جواب های یکسان دارند نامیده می شوند معادل. بدیهی است که راه حل های زیادی وجود دارد سیستم خطیاگر معادله ای مبادله شود، یا اگر یکی از معادلات در عددی غیر صفر ضرب شود، یا اگر یک معادله به معادله دیگر اضافه شود، تغییر نمی کند.
روش گاوس (روش حذف متوالی مجهولات) این است که با کمک تبدیل های ابتدایی سیستم به یک سیستم معادل از نوع پله ای کاهش می یابد. ابتدا با استفاده از معادله 1 حذف می کنیم ایکس 1 از تمام معادلات بعدی سیستم. سپس با استفاده از معادله 2 حذف می کنیم ایکس 2 از 3 و تمام معادلات بعدی. این فرآیند، به نام روش گاوسی مستقیمادامه می یابد تا زمانی که تنها یک مجهول در سمت چپ آخرین معادله باقی بماند x n. بعد از این کار انجام می شود معکوس روش گاوسی- با حل آخرین معادله، پیدا می کنیم x n; پس از آن، با استفاده از این مقدار، از معادله ماقبل آخر محاسبه می کنیم x n-1 و غیره آخرین مورد را پیدا می کنیم ایکس 1 از معادله اول.
انجام تبدیل های گاوسی با انجام تبدیل نه با خود معادلات، بلکه با ماتریس ضرایب آنها راحت است. ماتریس را در نظر بگیرید:
تماس گرفت منبسط ماتریس سیستم, زیرا علاوه بر ماتریس اصلی سیستم، شامل ستونی از اصطلاحات آزاد است. روش گاوسی مبتنی بر کاهش ماتریس اصلی سیستم به شکل مثلثی (یا نمای ذوزنقه ایدر مورد سیستم های غیر مربعی) با استفاده از تبدیل های ردیف ابتدایی (!) ماتریس توسعه یافته سیستم.
مثال 5.1.حل سیستم با استفاده از روش گاوسی:
راه حل. بیایید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از ردیف اول، پس از آن عناصر باقی مانده را بازنشانی کنیم:
در ردیف های 2، 3 و 4 ستون اول، صفر می گیریم:
حالا باید تمام عناصر ستون دوم زیر ردیف دوم برابر با صفر باشند. برای این کار می توانید خط دوم را در 4/7- ضرب کرده و به خط 3 اضافه کنید. با این حال، برای اینکه با کسرها سروکار نداشته باشیم، اجازه دهید یک واحد در ردیف دوم ستون دوم ایجاد کنیم و فقط
حالا برای به دست آوردن یک ماتریس مثلثی، باید عنصر ردیف چهارم از ستون 3 را ریست کنید، می توانید ردیف سوم را در 8/54 ضرب کنید و آن را به ردیف چهارم اضافه کنید. اما برای اینکه با کسرها کار نکنیم، سطرهای 3 و 4 و ستون های 3 و 4 را با هم عوض می کنیم و تنها پس از آن عنصر مشخص شده را ریست می کنیم. توجه داشته باشید که هنگام تنظیم مجدد ستون ها، متغیرهای مربوطه جای خود را تغییر می دهند و این باید به خاطر داشته باشید. سایر تبدیل های ابتدایی با ستون (جمع و ضرب در یک عدد) قابل انجام نیستند!
آخرین ماتریس ساده شده مربوط به سیستمی از معادلات معادل معادله اصلی است:
از اینجا با استفاده از معکوس روش گاوسی از معادله چهارم به دست می آوریم ایکس 3 = -1; از سوم ایکس 4 = -2، از دوم ایکس 2 = 2 و از معادله اول ایکس 1 = 1. در فرم ماتریسی، پاسخ به صورت نوشته می شود
ما موردی را در نظر گرفتیم که سیستم قطعی باشد، یعنی. زمانی که تنها یک راه حل وجود دارد. بیایید ببینیم اگر سیستم ناسازگار یا نامطمئن باشد چه اتفاقی می افتد.
مثال 5.2.کاوش سیستم با استفاده از روش گاوسی:
راه حل. ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و تبدیل می کنیم
ما یک سیستم معادلات ساده شده می نویسیم:
در اینجا، در آخرین معادله معلوم می شود که 0=4، یعنی. تناقض. در نتیجه، سیستم هیچ راه حلی ندارد، یعنی. او ناسازگار. à
مثال 5.3.کاوش و حل سیستم با استفاده از روش گاوسی:
راه حل. ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و تبدیل می کنیم:
در نتیجه تبدیل ها، آخرین خط فقط شامل صفر است. این بدان معنی است که تعداد معادلات یک کاهش یافته است:
بنابراین، پس از ساده سازی، دو معادله باقی می ماند، و چهار مجهول، یعنی. دو ناشناخته "اضافی". بگذارید آنها "زائد" باشند، یا، همانطور که می گویند، متغیرهای رایگان، اراده ایکس 3 و ایکس 4 . سپس
باور کردن ایکس 3 = 2آو ایکس 4 = ب، ما گرفتیم ایکس 2 = 1–آو ایکس 1 = 2ب–آ; یا به صورت ماتریسی
راه حلی که به این شکل نوشته می شود نامیده می شود عمومی، زیرا، دادن پارامترها آو ب معانی مختلف، همه چیز قابل توصیف است راه حل های امکان پذیرسیستم های. آ
حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس.فرض کنید ما باید راه حلی برای سیستم پیدا کنیم nمعادلات خطی با nمتغیرهای ناشناخته
تعیین کننده ماتریس اصلی آن با صفر متفاوت است.
ماهیت روش گاوسشامل حذف متوالی متغیرهای ناشناخته است: ابتدا حذف x 1از تمام معادلات سیستم، با شروع از دوم، بیشتر حذف می شود x 2از تمام معادلات، از معادله سوم، و به همین ترتیب، تا زمانی که فقط متغیر مجهول در آخرین معادله باقی بماند. x n. این فرآیند تبدیل معادلات سیستم برای حذف متوالی متغیرهای مجهول نامیده می شود روش گاوسی مستقیم. پس از تکمیل پیشروی رو به جلو روش گاوسی، از آخرین معادله پیدا می کنیم x n، با استفاده از این مقدار از معادله ماقبل آخری که محاسبه می کنیم xn-1و به همین ترتیب، از اولین معادله ای که پیدا کردیم x 1. فرآیند محاسبه متغیرهای مجهول هنگام حرکت از آخرین معادله سیستم به اولین معادله نامیده می شود معکوس روش گاوسی.
اجازه دهید به طور خلاصه الگوریتم حذف متغیرهای ناشناخته را شرح دهیم.
ما این را فرض خواهیم کرد، زیرا همیشه می توانیم با تنظیم مجدد معادلات سیستم به این امر دست یابیم. متغیر ناشناخته را حذف کنید x 1از تمام معادلات سیستم، با شروع از دوم. برای انجام این کار، به معادله دوم سیستم، اولی را با ضرب در و به معادله سوم، اولین، ضرب در و غیره را اضافه می کنیم. نهمیناولی را به معادله اضافه می کنیم، ضربدر . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت 
کجا، و 
.
اگر بیان می کردیم به همین نتیجه می رسیدیم x 1از طریق سایر متغیرهای ناشناخته در معادله اول سیستم و عبارت حاصل با تمام معادلات جایگزین شد. بنابراین متغیر x 1از تمام معادلات، از معادله دوم حذف می شود.
در مرحله بعد، به روشی مشابه ادامه می دهیم، اما فقط با بخشی از سیستم حاصل که در شکل مشخص شده است 
برای انجام این کار، به معادله سوم سیستم، دومی را با ضرب در، به معادله چهارم اضافه می کنیم، در معادله دوم، ضرب در و به همین ترتیب، به نهمیندومی را به معادله اضافه می کنیم که در . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت 
کجا، و 
. بنابراین متغیر x 2از تمام معادلات که از سوم شروع می شود حذف می شوند.
در ادامه به حذف ناشناخته ها می پردازیم x 3، در این حالت با قسمتی از سیستم که در شکل مشخص شده است به طور مشابه عمل می کنیم 
بنابراین پیشروی مستقیم روش گاوسی را تا زمانی که سیستم شکل بگیرد ادامه می دهیم 
از این لحظه معکوس روش گاوسی را شروع می کنیم: محاسبه می کنیم x nاز آخرین معادله به عنوان، با استفاده از مقدار به دست آمده x nما پیدا می کنیم xn-1از معادله ماقبل آخر و غیره پیدا می کنیم x 1از معادله اول
مثال.
حل سیستم معادلات خطی 
روش گاوس
در این مقاله روش به عنوان روشی برای حل سیستم های معادلات خطی (SLAE) در نظر گرفته شده است. این روش تحلیلی است، یعنی به شما امکان می دهد یک الگوریتم راه حل را در آن بنویسید نمای کلیو سپس مقادیری را از نمونه های خاص در آنجا جایگزین کنید. برخلاف روش ماتریسی یا فرمول‌های کرامر، هنگام حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس، می‌توانید با آنهایی که تعداد جواب‌های نامحدود دارند نیز کار کنید. یا اصلاً ندارند.
حل با استفاده از روش گاوسی به چه معناست؟
ابتدا باید سیستم معادلات خود را در It به نظر می رسد بنویسیم. سیستم را بگیرید:
ضرایب به صورت جدول و عبارت های آزاد در ستونی جداگانه در سمت راست نوشته می شوند. ستون با شرایط آزاد برای راحتی از هم جدا شده است.
در مرحله بعد، ماتریس اصلی با ضرایب باید به بالا آورده شود شکل مثلثی. این نکته اصلی حل سیستم با استفاده از روش گاوسی است. به عبارت ساده، پس از دستکاری های خاص، ماتریس باید به گونه ای باشد که قسمت پایین سمت چپ آن فقط صفر داشته باشد:
سپس، اگر دوباره ماتریس جدید را به عنوان یک سیستم معادلات بنویسید، متوجه خواهید شد که آخرین ردیف قبلاً حاوی مقدار یکی از ریشه ها است که سپس به معادله بالا جایگزین می شود، ریشه دیگری پیدا می شود و غیره.
این توضیح بیشتر راه حل با روش گاوسی است طرح کلی. اگر ناگهان سیستم راه حلی نداشته باشد چه اتفاقی می افتد؟ یا تعداد آنها بی نهایت زیاد است؟ برای پاسخ به این سؤالات و بسیاری از سؤالات دیگر، لازم است تمام عناصر مورد استفاده در حل روش گاوسی را جداگانه در نظر بگیریم.
ماتریس ها، خواص آنها
هیچ یک معنای پنهاندر ماتریس نیست ساده است راه راحتثبت داده ها برای عملیات بعدی با آنها. حتی بچه های مدرسه هم نیازی به ترس از آنها ندارند.
ماتریس همیشه مستطیل شکل است، زیرا راحت تر است. حتی در روش گاوس، جایی که همه چیز به ساختن یک ماتریس مثلثی ختم می‌شود، یک مستطیل در ورودی ظاهر می‌شود، فقط با صفر در جایی که اعداد وجود ندارد. صفرها ممکن است نوشته نشوند، اما ضمنی هستند.
ماتریس یک اندازه دارد. "عرض" آن تعداد ردیف ها (m) و "طول" تعداد ستون ها (n) است. سپس اندازه ماتریس A (معمولاً از حروف بزرگ لاتین برای نشان دادن آنها استفاده می شود) به صورت A m×n نشان داده می شود. اگر m=n، این ماتریس مربع است و m=n ترتیب آن است. بر این اساس، هر عنصر ماتریس A را می توان با شماره ردیف و ستون آن نشان داد: a xy ; x - شماره ردیف، تغییرات، y - شماره ستون، تغییرات.
B نقطه اصلی تصمیم گیری نیست. در اصل، تمام عملیات را می توان مستقیماً با خود معادلات انجام داد، اما نمادگذاری بسیار دست و پا گیرتر خواهد بود و در آن گیج شدن بسیار آسان تر خواهد بود.
تعیین کننده
ماتریس یک تعیین کننده نیز دارد. این خیلی مشخصه مهم. اکنون نیازی به یافتن معنای آن نیست، می توانید به سادگی نشان دهید که چگونه محاسبه می شود و سپس بگویید که چه ویژگی هایی از ماتریس تعیین می کند. ساده ترین راه برای یافتن دترمینال از طریق قطرها است. مورب های خیالی در ماتریس رسم می شوند. عناصر واقع در هر یک از آنها ضرب می شوند و سپس محصولات حاصل اضافه می شوند: مورب با شیب به سمت راست - با علامت مثبت، با شیب به سمت چپ - با علامت منفی.
توجه به این نکته بسیار مهم است که تعیین کننده فقط برای یک ماتریس مربع قابل محاسبه است. برای یک ماتریس مستطیلی، می توانید کارهای زیر را انجام دهید: از بین تعداد سطرها و تعداد ستون ها کوچکترین را انتخاب کنید (بگذارید k باشد)، و سپس به طور تصادفی k ستون و k ردیف را در ماتریس علامت گذاری کنید. عناصری که در تقاطع ستون ها و ردیف های انتخاب شده قرار دارند، یک عنصر جدید را تشکیل می دهند ماتریس مربع. اگر تعیین کننده چنین ماتریسی یک عدد غیر صفر باشد، آن را پایه مینور ماتریس مستطیلی اصلی می نامند.
قبل از شروع حل یک سیستم معادلات با استفاده از روش گاوسی، محاسبه دترمینان ضرری ندارد. اگر معلوم شد که صفر است، بلافاصله می توانیم بگوییم که ماتریس یا تعداد بی نهایت راه حل دارد یا اصلاً هیچ کدام. در چنین مورد غم انگیز، شما باید بیشتر بروید و از رتبه ماتریس مطلع شوید.
طبقه بندی سیستم
چیزی به نام رتبه یک ماتریس وجود دارد. این حداکثر ترتیب تعیین کننده غیر صفر آن است (اگر به یاد داشته باشیم جزئی اولیه، می توان گفت که رتبه ماتریس به ترتیب پایه مینور است).
بر اساس موقعیت با رتبه، SLAE را می توان به موارد زیر تقسیم کرد:
- مشترک. Uدر سیستم های مشترک، رتبه ماتریس اصلی (شامل فقط ضرایب) با رتبه ماتریس توسعه یافته (با ستونی از عبارت های آزاد) منطبق است. چنین سیستم هایی یک راه حل دارند، اما نه لزوما یک راه حل، بنابراین سیستم های مشترک علاوه بر این به موارد زیر تقسیم می شوند:
- - مسلم - قطعی- داشتن یک راه حل واحد در سیستم های خاص، رتبه ماتریس و تعداد مجهولات (یا تعداد ستون ها که یکسان است) برابر است.
- - تعریف نشده -با تعداد بی نهایت راه حل رتبه ماتریس ها در چنین سیستم هایی کمتر از تعداد مجهولات است.
- ناسازگار. Uدر چنین سیستم‌هایی، رتبه‌های ماتریس اصلی و توسعه‌یافته بر هم منطبق نیستند. سیستم های ناسازگار راه حلی ندارند.
روش گاوس خوب است زیرا در حین حل به فرد اجازه می دهد یا یک اثبات روشن از ناسازگاری سیستم (بدون محاسبه عوامل تعیین کننده ماتریس های بزرگ) به دست آورد یا یک راه حل به شکل کلی برای سیستمی با تعداد بی نهایت راه حل.
تحولات ابتدایی
قبل از اینکه مستقیماً به حل سیستم بپردازید، می توانید آن را برای محاسبات کمتر و راحت تر کنید. این از طریق دگرگونی های ابتدایی حاصل می شود - به گونه ای که اجرای آنها به هیچ وجه پاسخ نهایی را تغییر نمی دهد. لازم به ذکر است که برخی از تبدیل های ابتدایی داده شده فقط برای ماتریس هایی معتبر هستند که منبع آنها SLAE بوده است. در اینجا لیستی از این تحولات آمده است:
- تنظیم مجدد خطوط بدیهی است که اگر ترتیب معادلات را در رکورد سیستم تغییر دهید، این امر به هیچ وجه روی جواب تاثیری نخواهد داشت. در نتیجه، ردیف‌های ماتریس این سیستم را نیز می‌توان تعویض کرد، البته ستون عبارت‌های آزاد را فراموش نکردیم.
- ضرب تمام عناصر یک رشته در یک ضریب معین. بسیار مفید! می توان از آن برای کاهش اعداد بزرگ در یک ماتریس یا حذف صفرها استفاده کرد. بسیاری از تصمیمات، طبق معمول، تغییر نخواهند کرد، اما عملیات بعدی راحت تر خواهد شد. نکته اصلی این است که ضریب برابر با صفر نیست.
- حذف ردیف هایی با فاکتورهای متناسب. این تا حدی از پاراگراف قبل ناشی می شود. اگر دو یا چند ردیف در یک ماتریس دارای ضرایب متناسب باشند، آنگاه وقتی یکی از سطرها بر ضریب تناسب ضرب/تقسیم شد، دو ردیف (یا دوباره، بیشتر) کاملاً یکسان به‌دست می‌آیند، و سطرهای اضافی را می‌توان حذف کرد. فقط یکی
- حذف یک خط پوچ اگر در حین تبدیل، ردیفی در جایی به دست آید که در آن همه عناصر، از جمله جمله آزاد، صفر باشند، آنگاه می توان چنین ردیفی را صفر نامید و از ماتریس خارج کرد.
- افزودن عناصر یک ردیف به عناصر یک ردیف دیگر (در ستون های مربوطه)، ضرب در یک ضریب خاص. نامشخص ترین و مهم ترین تحول از همه. ارزش آن را دارد که با جزئیات بیشتری در مورد آن صحبت کنیم.
اضافه کردن یک رشته ضرب در یک ضریب
برای سهولت درک، ارزش آن را دارد که این فرآیند را مرحله به مرحله تجزیه کنیم. دو ردیف از ماتریس گرفته شده است:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | ب 2
فرض کنید باید اولی را به دومی اضافه کنید، ضربدر ضریب "-2".
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
سپس ردیف دوم در ماتریس با یک ردیف جدید جایگزین می شود و ردیف اول بدون تغییر باقی می ماند.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
لازم به ذکر است که ضریب ضرب را می توان به گونه ای انتخاب کرد که در نتیجه جمع دو ردیف، یکی از عناصر ردیف جدید برابر با صفر شود. بنابراین، می توان معادله ای را در سیستمی به دست آورد که در آن یک مجهول کمتر وجود داشته باشد. و اگر دو معادله از این قبیل بدست آورید، می توان عملیات را دوباره انجام داد و معادله ای به دست آورد که حاوی دو مجهول کمتر باشد. و اگر هر بار یک ضریب از تمام ردیف هایی که زیر یک اصلی هستند را به صفر تبدیل کنید، می توانید مانند پله ها تا انتهای ماتریس پایین بروید و معادله ای با یک مجهول بدست آورید. به این می گویند حل سیستم با استفاده از روش گاوسی.
به طور کلی
بگذار یک سیستم وجود داشته باشد. دارای m معادله و n ریشه مجهول است. می توانید آن را به صورت زیر بنویسید:
ماتریس اصلی از ضرایب سیستم کامپایل شده است. ستونی از عبارت های آزاد به ماتریس توسعه یافته اضافه می شود و برای راحتی، با یک خط از هم جدا می شود.
- ردیف اول ماتریس با ضریب k = (-a 21 /a 11) ضرب می شود.
- اولین ردیف اصلاح شده و ردیف دوم ماتریس اضافه می شوند.
- به جای ردیف دوم، نتیجه اضافه از پاراگراف قبلی در ماتریس درج می شود.
- اکنون ضریب اول در دوم جدیدخط 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 است.
اکنون همان سری تبدیل ها انجام می شود، فقط ردیف اول و سوم درگیر است. بر این اساس، در هر مرحله از الگوریتم، عنصر a 21 با یک 31 جایگزین می شود. سپس همه چیز برای 41، ... a m1 تکرار می شود. نتیجه ماتریسی است که در آن اولین عنصر در ردیف ها صفر است. اکنون باید خط شماره یک را فراموش کنید و همان الگوریتم را از خط دو شروع کنید:
- ضریب k = (-a 32 /a 22);
- دومین خط اصلاح شده به خط "جاری" اضافه می شود.
- نتیجه اضافه به خطوط سوم، چهارم و غیره جایگزین می شود، در حالی که اولین و دومین بدون تغییر باقی می مانند.
- در ردیف های ماتریس دو عنصر اول از قبل برابر با صفر هستند.
الگوریتم باید تا زمانی که ضریب k = (-a m,m-1 /a mm) ظاهر شود تکرار شود. یعنی آخرین باری که الگوریتم اجرا شده فقط برای معادله پایینی بوده است. اکنون ماتریس شبیه یک مثلث است یا شکل پلکانی دارد. در خط پایین برابری a mn × x n = b m وجود دارد. ضریب و جمله آزاد مشخص هستند و ریشه از طریق آنها بیان می شود: x n = b m /a mn. ریشه حاصل در خط بالایی جایگزین می شود تا x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. و به همین ترتیب بر اساس قیاس: در هر خط بعدی یک ریشه جدید وجود دارد و با رسیدن به "بالای" سیستم ، می توانید راه حل های زیادی پیدا کنید. تنها خواهد بود.
زمانی که هیچ راه حلی وجود ندارد
اگر در یکی از ردیف های ماتریس، همه عناصر به جز جمله آزاد برابر با صفر باشند، معادله مربوط به این ردیف مانند 0 = b به نظر می رسد. راه حلی ندارد. و از آنجایی که چنین معادله ای در سیستم گنجانده شده است، پس مجموعه راه حل های کل سیستم خالی است، یعنی منحط است.
هنگامی که تعداد بی نهایت راه حل وجود دارد
ممکن است در ماتریس مثلثی داده شده هیچ ردیفی با یک عنصر ضریب معادله و یک جمله آزاد وجود نداشته باشد. فقط خطوطی هستند که وقتی بازنویسی شوند، شبیه معادله ای با دو یا چند متغیر به نظر می رسند. این بدان معنی است که سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است. در این صورت می توان پاسخ را در قالب یک راه حل کلی داد. چگونه انجامش بدهیم؟
تمامی متغیرهای ماتریس به دو دسته اصلی و آزاد تقسیم می شوند. موارد اساسی آنهایی هستند که "در لبه" ردیف ها در ماتریس گام قرار دارند. بقیه رایگان هستند. در حل کلی، متغیرهای پایه از طریق متغیرهای آزاد نوشته می شوند.
برای راحتی، ماتریس ابتدا در یک سیستم معادلات بازنویسی می شود. سپس در آخرین آنها، جایی که دقیقاً فقط یک متغیر اساسی باقی مانده است، در یک طرف باقی می ماند و بقیه چیزها به طرف دیگر منتقل می شود. این برای هر معادله با یک متغیر اساسی انجام می شود. سپس در معادلات باقی مانده، در صورت امکان، عبارت به دست آمده برای آن به جای متغیر پایه جایگزین می شود. اگر نتیجه مجدداً عبارتی باشد که فقط یک متغیر اساسی داشته باشد، دوباره از آنجا بیان می شود و به همین ترتیب تا زمانی که هر متغیر پایه به صورت عبارتی با متغیرهای آزاد نوشته شود. این راه حل کلی SLAE است.
شما همچنین می توانید راه حل اصلی سیستم را پیدا کنید - به متغیرهای رایگان هر مقداری بدهید و سپس برای این مورد خاص مقادیر متغیرهای اساسی را محاسبه کنید. تعداد بی نهایت راه حل خاصی وجود دارد که می توان ارائه داد.
راه حل با مثال های خاص
در اینجا یک سیستم معادلات است.
برای راحتی، بهتر است بلافاصله ماتریس آن را ایجاد کنید
مشخص است که هنگام حل با روش گاوسی، معادله مربوط به ردیف اول در پایان تبدیل ها بدون تغییر باقی می ماند. بنابراین، اگر عنصر سمت چپ بالای ماتریس کوچکترین باشد، سود بیشتری خواهد داشت - سپس اولین عناصر ردیف های باقی مانده پس از عملیات به صفر تبدیل می شوند. این بدان معنی است که در ماتریس کامپایل شده، قرار دادن ردیف دوم به جای ردیف اول سودمند خواهد بود.
خط دوم: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
خط سوم: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
حال، برای اینکه گیج نشوید، باید یک ماتریس با نتایج میانی تبدیل ها بنویسید.
بدیهی است که چنین ماتریسی را می توان با استفاده از عملیات خاص برای درک راحت تر کرد. به عنوان مثال، می توانید با ضرب هر عنصر در "-1" تمام "منهای" را از خط دوم حذف کنید.
همچنین شایان ذکر است که در خط سوم همه عناصر مضرب سه هستند. سپس می توانید خط را با این عدد کوتاه کنید و هر عنصر را در "-1/3" ضرب کنید (منهای - در همان زمان، برای حذف مقادیر منفی).
خیلی قشنگتر به نظر میرسه حالا باید خط اول را به حال خود رها کنیم و با خط دوم و سوم کار کنیم. وظیفه این است که خط دوم را به خط سوم اضافه کنیم، در چنین ضریبی ضرب کنیم که عنصر a 32 برابر با صفر شود.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (اگر در طول برخی از تبدیل ها پاسخ یک عدد صحیح نشد، توصیه می شود دقت محاسبات را حفظ کنید تا ترک کنید. آن را "همانطور که هست" به شکل کسر مشترک، و تنها پس از دریافت پاسخ ها، تصمیم بگیرید که آیا گرد و تبدیل به شکل دیگری از ضبط شود)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
ماتریس دوباره با مقادیر جدید نوشته می شود.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
همانطور که می بینید، ماتریس حاصل از قبل یک فرم پلکانی دارد. بنابراین، تغییرات بیشتر سیستم با استفاده از روش گاوسی مورد نیاز نیست. کاری که در اینجا می توانید انجام دهید این است که ضریب کلی "-1/7" را از خط سوم حذف کنید.
حالا همه چیز زیباست. تنها کاری که باید انجام دهید این است که دوباره ماتریس را به شکل یک سیستم معادلات بنویسید و ریشه ها را محاسبه کنید.
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
الگوریتمی که اکنون ریشه ها توسط آن پیدا می شوند، در روش گاوسی حرکت معکوس نامیده می شود. معادله (3) حاوی مقدار z است:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
و معادله اول به ما امکان می دهد x را پیدا کنیم:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
ما حق داریم چنین سیستمی را مشترک و حتی قطعی بنامیم، یعنی داشتن راه حل منحصر به فرد. پاسخ به شکل زیر نوشته شده است:
x 1 = -2/3، y = -65/9، z = 61/9.
نمونه ای از یک سیستم نامشخص
نوع حل یک سیستم خاص با استفاده از روش گاوس مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته است.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
ظاهر سیستم قبلاً هشدار دهنده است ، زیرا تعداد مجهولات n = 5 است و رتبه ماتریس سیستم قبلاً دقیقاً کمتر از این عدد است ، زیرا تعداد ردیف ها m = 4 است ، یعنی بالاترین مرتبه تعیین کننده مربع 4 است. این به این معنی است که تعداد بی نهایت راه حل وجود دارد و شما باید به دنبال ظاهر کلی آن باشید. روش گاوس برای معادلات خطی این امکان را به شما می دهد.
ابتدا، طبق معمول، یک ماتریس توسعه یافته کامپایل می شود.
خط دوم: ضریب k = (-a 21 /a 11) = -3. در خط سوم، اولین عنصر قبل از تبدیل است، بنابراین شما نیازی به لمس چیزی ندارید، باید آن را همانطور که هست رها کنید. خط چهارم: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
با ضرب عناصر ردیف اول در هر یک از ضرایب آنها و جمع آنها به سطرهای مورد نیاز، ماتریس را بدست می آوریم. نوع زیر:
همانطور که می بینید، ردیف های دوم، سوم و چهارم از عناصر متناسب با یکدیگر تشکیل شده اند. دوم و چهارم به طور کلی یکسان هستند، بنابراین یکی از آنها را می توان بلافاصله حذف کرد، و باقی مانده را می توان در ضریب "-1" ضرب کرد و خط شماره 3 را به دست آورد. و دوباره، از دو خط یکسان، یکی را ترک کنید.
نتیجه ماتریسی مانند این است. در حالی که سیستم هنوز نوشته نشده است، لازم است متغیرهای اساسی را در اینجا تعیین کنید - آنهایی که در ضرایب 11 = 1 و 22 = 1 قرار دارند و متغیرهای آزاد - بقیه.
در معادله دوم فقط یک متغیر اساسی وجود دارد - x 2. یعنی می توان آن را از آنجا با نوشتن آن از طریق متغیرهای x 3 , x 4 , x 5 که آزاد هستند بیان کرد.
عبارت به دست آمده را در معادله اول جایگزین می کنیم.
نتیجه معادله ای است که در آن تنها متغیر اصلی x 1 است. بیایید همان کار را با x 2 انجام دهیم.
همه متغیرهای اساسی که دو تا از آنها وجود دارد، بر حسب سه متغیر آزاد بیان شده اند.
همچنین می توانید یکی از راه حل های خاص سیستم را مشخص کنید. برای چنین مواردی معمولاً صفرها به عنوان مقادیر متغیرهای آزاد انتخاب می شوند. سپس پاسخ این خواهد بود:
16, 23, 0, 0, 0.
نمونه ای از سیستم غیر تعاونی
حل سیستم های معادلات ناسازگار با استفاده از روش گاوس سریع ترین است. به محض اینکه در یکی از مراحل معادله ای به دست می آید که جواب ندارد، بلافاصله پایان می یابد. یعنی مرحله محاسبه ریشه که کاملا طولانی و خسته کننده است حذف می شود. سیستم زیر در نظر گرفته شده است:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
طبق معمول، ماتریس کامپایل می شود:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
و به شکل گام به گام کاهش می یابد:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
پس از اولین تبدیل، خط سوم شامل یک معادله از فرم است
بدون راه حل در نتیجه، سیستم ناسازگار است و پاسخ مجموعه خالی خواهد بود.
مزایا و معایب روش
اگر روشی را برای حل SLAE روی کاغذ با قلم انتخاب کنید، روشی که در این مقاله مورد بحث قرار گرفت، جذاب ترین به نظر می رسد. گیج شدن در تبدیل های ابتدایی بسیار دشوارتر از این است که مجبور باشید به صورت دستی یک ماتریس معکوس تعیین کننده یا معکوس را جستجو کنید. با این حال، اگر از برنامه هایی برای کار با داده هایی از این نوع، به عنوان مثال، صفحات گسترده استفاده می کنید، معلوم می شود که چنین برنامه هایی قبلاً حاوی الگوریتم هایی برای محاسبه پارامترهای اصلی ماتریس ها - تعیین کننده، جزئی، معکوس و غیره هستند. و اگر مطمئن هستید که دستگاه خودش این مقادیر را محاسبه می کند و اشتباه نمی کند، بهتر است از آن استفاده کنید. روش ماتریسییا فرمول های کرامر، زیرا کاربرد آنها با محاسبه عوامل تعیین کننده شروع و پایان می یابد. ماتریس های معکوس.
کاربرد
از آنجایی که راه حل گاوسی یک الگوریتم است و ماتریس در واقع یک آرایه دو بعدی است، می توان از آن در برنامه نویسی استفاده کرد. اما از آنجایی که مقاله خود را به عنوان یک راهنمای "برای ساختگی ها" قرار می دهد، باید گفت که ساده ترین مکان برای قرار دادن روش در صفحات گسترده، به عنوان مثال، اکسل است. مجدداً، هر SLAE که به صورت ماتریس وارد جدول شود، توسط اکسل به عنوان یک آرایه دو بعدی در نظر گرفته می شود. و برای عملیات با آنها دستورات خوبی وجود دارد: جمع (شما فقط می توانید ماتریس هایی با همان اندازه اضافه کنید!)، ضرب در یک عدد، ضرب ماتریس ها (همچنین با محدودیت های خاص)، پیدا کردن ماتریس های معکوس و جابجا شده و از همه مهمتر ، محاسبه دترمینان. اگر این وظیفه وقت گیر با یک فرمان جایگزین شود، می توان رتبه ماتریس را با سرعت بیشتری تعیین کرد و بنابراین، سازگاری یا ناسازگاری آن را مشخص کرد.
در اینجا می توانید یک سیستم معادلات خطی را به صورت رایگان حل کنید روش گاوس آنلاین اندازه های بزرگدر اعداد مختلط با یک راه حل بسیار دقیق. ماشین حساب ما می تواند به صورت آنلاین هر دو سیستم معین و نامعین معمول معادلات خطی را با استفاده از روش گاوسی که تعداد بی نهایت راه حل دارد حل کند. در این صورت، در پاسخ، وابستگی برخی از متغیرها را از طریق متغیرهای رایگان دیگر دریافت خواهید کرد. شما همچنین می توانید سیستم معادلات را برای سازگاری آنلاین با استفاده از راه حل گاوس بررسی کنید.
در مورد روش
هنگام حل یک سیستم معادلات خطی روش آنلاینگاوس مراحل زیر انجام می شود.
- ماتریس توسعه یافته را می نویسیم.
- در واقع راه حل به گام های رو به جلو و عقب روش گاوسی تقسیم می شود. رویکرد مستقیم روش گاوسی کاهش یک ماتریس به شکل گام به گام است. معکوس روش گاوسی کاهش یک ماتریس به یک فرم گام به گام ویژه است. اما در عمل راحت تر است که بلافاصله آنچه را که در بالا و پایین عنصر مورد نظر قرار دارد، صفر کنید. ماشین حساب ما دقیقاً از این روش استفاده می کند.
- توجه به این نکته ضروری است که هنگام حل با استفاده از روش گاوسی، وجود حداقل یک ردیف صفر با یک NOT صفر در ماتریس سمت راست(ستون اعضای آزاد) نشان دهنده ناسازگاری سیستم است. در این حالت راه حلی برای سیستم خطی وجود ندارد.
برای درک بهتر نحوه عملکرد الگوریتم گاوسی به صورت آنلاین، هر مثالی را وارد کنید، "بسیار" را انتخاب کنید راه حل دقیقو راه حل او را به صورت آنلاین جستجو کنید.
کارل فردریش گاوس، بزرگترین ریاضیدان، برای مدت طولانی تردید داشت و بین فلسفه و ریاضیات انتخاب می کرد. شاید دقیقاً همین طرز فکر بود که به او اجازه داد چنین "میراث" قابل توجهی را در علم جهان ایجاد کند. به طور خاص، با ایجاد "روش گاوس" ...
تقریباً 4 سال است که مقالاتی در این سایت به آموزش مدرسه می پردازد، عمدتاً از دیدگاه فلسفه، اصول (سو)تفاهم وارد شده به ذهن کودکان. زمان برای جزئیات بیشتر، مثال ها و روش ها فرا می رسد ... من معتقدم که این دقیقاً همان رویکرد آشنا، گیج کننده و مهمزمینه های زندگی نتایج بهتری می دهد.
ما آدم ها طوری طراحی شده ایم که هر چقدر هم در موردش صحبت کنیم تفکر انتزاعی، ولی درك كردن همیشهاز طریق مثال اتفاق می افتد. اگر مصداق نباشد، درک اصول غیرممکن است... همانطور که رسیدن به بالای کوه غیر ممکن است مگر با پیمودن تمام شیب از روی پا.
در مورد مدرسه هم همینطور: در حال حاضر داستان های زندهاین کافی نیست که ما به طور غریزی به آن به عنوان مکانی که در آن به کودکان آموزش داده می شود درک کنیم، ادامه دهیم.
مثلا آموزش روش گاوسی...
روش گاوس در مدرسه پنجم دبستان
اجازه دهید فوراً یک رزرو انجام دهم: روش گاوس بسیار بیشتر است کاربرد گستردهمثلاً هنگام حل کردن سیستم های معادلات خطی. آنچه در مورد آن صحبت خواهیم کرد در کلاس پنجم اتفاق می افتد. این آغاز شده، با درک کدامیک ، درک "گزینه های پیشرفته" بسیار ساده تر است. در این مقاله ما در مورد روش (روش) گاوس برای یافتن مجموع یک سری
در اینجا نمونه ای است که کوچکترین پسر من، که کلاس پنجم را در یک سالن بدنسازی مسکو می خواند، از مدرسه آورده است.
نمایش مدرسه از روش گاوس
معلم ریاضی با استفاده از تخته سفید تعاملی (روش های مدرنآموزش) به کودکان ارائه ای از تاریخچه "ایجاد روش" توسط گاوس کوچک نشان داد.
معلم مدرسه کارل کوچک را شلاق زد (روشی قدیمی که این روزها در مدارس استفاده نمی شود) زیرا او
به جای اینکه به ترتیب اعداد 1 تا 100 را جمع کنید، مجموع آنها را بیابید متوجه شدکه جفت اعدادی که به طور مساوی از لبه های یک پیشروی حسابی فاصله دارند، به یک عدد می رسند. به عنوان مثال، 100 و 1، 99 و 2. با شمارش تعداد این جفت ها، گاوس کوچک تقریباً بلافاصله مسئله پیشنهاد شده توسط معلم را حل کرد. به همین دلیل او را در مقابل مردم حیرت زده اعدام کردند. تا دیگران از تفکر منصرف شوند.
گاوس کوچک چه کرد؟ توسعه یافته حس عدد? متوجه شدبرخی از ویژگی هاسری اعداد با گام ثابت (پیشرفت حسابی). و دقیقا اینبعدها از او دانشمند بزرگی ساخت، کسانی که می دانند چگونه متوجه شوند، داشتن احساس، غریزه درک.
به همین دلیل است که ریاضیات ارزشمند است و در حال توسعه است توانایی دیدنبه طور کلی به طور خاص - تفکر انتزاعی . بنابراین اکثر والدین و کارفرمایان به طور غریزی ریاضی انجام دهید رشته مهم ...
پس باید ریاضیات را یاد بگیرید، زیرا ذهن شما را مرتب می کند.
M.V.Lomonosov".
با این حال، پیروان کسانی که نوابغ آینده را با میله شلاق زدند، روش را به چیزی برعکس تبدیل کردند. همانطور که سرپرست من 35 سال پیش گفت: "سوال آموخته شده است." یا همانطور که کوچکترین پسرم دیروز در مورد روش گاوس گفت: "شاید ارزش این را نداشته باشد که یک علم بزرگ از این کار بسازید، نه؟"
پیامدهای خلاقیت «دانشمندان» در سطح جریان قابل مشاهده است ریاضیات مدرسه، سطح تدریس و درک او از "ملکه علوم" توسط اکثریت.
با این حال ادامه بدیم...
روش های تبیین روش گاوس در مدرسه پنجم دبستان
یک معلم ریاضیات در یک سالن بدنسازی مسکو، با توضیح روش گاوس به گفته ویلنکین، کار را پیچیده کرد.
اگر تفاوت (مرحله) یک پیشروی حسابی یک نباشد، بلکه عدد دیگری باشد چه؟ مثلا 20.
مشکلی که برای کلاس پنجمی ها مطرح کرد:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
قبل از آشنایی با روش ورزشگاه، بیایید نگاهی به اینترنت بیاندازیم: معلمان مدرسه و معلمان ریاضی چگونه این کار را انجام می دهند؟
روش گاوسی: توضیح شماره 1
یک معلم معروف در کانال یوتیوب خود استدلال زیر را ارائه می دهد:
بیایید اعداد 1 تا 100 را به صورت زیر بنویسیم:
ابتدا یک سری اعداد از 1 تا 50، و دقیقاً در زیر آن یک سری اعداد دیگر از 50 تا 100، اما به ترتیب معکوس"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"لطفا توجه داشته باشید: مجموع هر جفت اعداد از ردیف های بالا و پایین یکسان است و برابر با 101 است! بیایید تعداد جفت ها را بشماریم، 50 است و مجموع یک جفت را در تعداد جفت ها ضرب کنیم! Voila: پاسخ آماده است!"
"اگر نتوانستید متوجه شوید، ناراحت نشوید!" "شما این روش را در کلاس نهم انتخاب خواهید کرد!"
روش گاوسی: توضیح شماره 2
معلم دیگری که کمتر معروف است (با قضاوت بر اساس تعداد بازدیدها) بیشتر استفاده می کند رویکرد علمی، ارائه یک الگوریتم حل متشکل از 5 نقطه که باید به صورت متوالی تکمیل شوند.
برای افراد ناآشنا، 5 یکی از اعداد فیبوناچی است که به طور سنتی جادویی در نظر گرفته می شود. برای مثال، روش 5 مرحله ای همیشه علمی تر از روش 6 مرحله ای است. ...و این به ندرت تصادفی است، به احتمال زیاد، نویسنده از حامیان پنهان نظریه فیبوناچی است.
دانا پیشرفت حسابی: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
الگوریتم یافتن مجموع اعداد در یک سری با استفاده از روش گاوس:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
در عین حال، شما باید به یاد داشته باشید به علاوه یک قانون : باید یک را به ضریب حاصل اضافه کنیم: در غیر این صورت به نتیجه ای می رسیم که یک عدد کمتر از تعداد واقعی جفت ها است: 42 + 1 = 43.
این جمع مورد نیاز پیشروی حسابی از 4 تا 256 با اختلاف 6 است!
روش گاوس: توضیح در کلاس پنجم در یک سالن بدنسازی مسکو
در اینجا نحوه حل مشکل یافتن مجموع یک سری آمده است:
20+40+60+ ... +460+480+500
در کلاس پنجم یک سالن بدنسازی مسکو، کتاب درسی ویلنکین (به گفته پسرم).
پس از نمایش ارائه، معلم ریاضی چند مثال با استفاده از روش گاوسی نشان داد و به کلاس وظیفه داد که مجموع اعداد یک سری را با افزایش 20 پیدا کند.
این مستلزم موارد زیر بود:
همانطور که می بینید، این فشرده تر است و تکنیک موثر: عدد 3 نیز عضوی از دنباله فیبوناچی است
نظرات من در مورد نسخه مدرسه روش گاوس
ریاضیدان بزرگ اگر پیش بینی می کرد که "روش" او توسط پیروانش به چه چیزی تبدیل می شود، قطعاً فلسفه را انتخاب می کرد. معلم آلمانی، که کارل را با میله شلاق زد. او نمادگرایی، مارپیچ دیالکتیکی و حماقت بی پایان «معلمان» را می دید. تلاش برای سنجش هماهنگی اندیشه های زنده ریاضی با جبر سوء تفاهم ....
در ضمن: آیا می دانستی؟ که سیستم آموزشی ما ریشه در مکتب آلمانی قرن 18 و 19 دارد؟
اما گاوس ریاضیات را انتخاب کرد.
ماهیت روش او چیست؟
که در ساده سازی. که در مشاهده و درکالگوهای ساده اعداد که در تبدیل ریاضی مدرسه خشک به فعالیت جالب و هیجان انگیز به جای مسدود کردن فعالیت ذهنی پر هزینه، میل به ادامه را در مغز فعال می کند.
آیا می توان از یکی از "اصلاحات روش" داده شده گاوس برای محاسبه مجموع اعداد یک پیشروی حسابی تقریباً استفاده کرد؟ فورا? طبق "الگوریتم ها"، کارل کوچولو تضمین می شود که از کتک زدن خودداری کند، از ریاضیات بیزاری کند و انگیزه های خلاقانه خود را در جوانه سرکوب کند.
چرا معلم به طور مداوم به دانش‌آموزان کلاس پنجم توصیه می‌کرد «از سوء تفاهم» این روش نترسند و آنها را متقاعد می‌کرد که «چنین» مشکلات را از ابتدای کلاس نهم حل کنند؟ اقدام روانی بی سواد. این حرکت خوبی بود که باید به آن توجه کنید: "به امید دیدار در حال حاضر در کلاس 5 شما می توانیدمشکلاتی را که فقط در 4 سال تکمیل خواهید کرد را حل کنید! چه آدم بزرگی هستی!»
برای استفاده از روش گاوسی، سطح کلاس 3 کافی است، زمانی که کودکان عادی از قبل می دانند چگونه 2 -3 را جمع، ضرب و تقسیم کنند اعداد قابل توجه. مشکلات ناشی از ناتوانی معلمان بزرگسالی است که «خارج از ارتباط» در توضیح ساده ترین چیزها به زبان عادی انسان، و البته ریاضیات... آنها نمی توانند مردم را به ریاضیات علاقه مند کنند و حتی کسانی را که به «ریاضیات» علاقه مند هستند، کاملاً دلسرد می کنند. توانا.»
یا همانطور که پسرم اظهار داشت: "علم بزرگی از آن درست کردن."
روش گاوس، توضیحات من
من و همسرم این "روش" را برای فرزندمان توضیح دادیم، به نظر می رسد حتی قبل از مدرسه ...
سادگی به جای پیچیدگی یا بازی پرسش و پاسخ
"ببین، این اعداد از 1 تا 100 هستند. چه می بینی؟"
نکته این نیست که کودک دقیقاً چه چیزی می بیند. ترفند این است که او را وادار به نگاه کردن کنید.
"چگونه می توانید آنها را کنار هم قرار دهید؟" پسر متوجه شد که چنین سؤالاتی "درست" پرسیده نمی شوند و شما باید به این سوال "به نحوی متفاوت ، متفاوت از آنچه که معمولاً می کند" نگاه کنید.
مهم نیست که کودک فورا راه حل را ببیند، بعید است. مهم است که او دیگر از نگاه کردن نمی ترسم، یا به قول من: "تکلیف را جابجا کردم". این آغاز راه تفاهم است
"کدام ساده تر است: اضافه کردن، به عنوان مثال، 5 و 6 یا 5 و 95؟" یک سوال پیشرو ... اما هر آموزشی به "هدایت" شخص به "پاسخ" خلاصه می شود - به هر شکلی که برای او قابل قبول باشد.
در این مرحله، ممکن است حدس هایی در مورد نحوه "صرفه جویی" در محاسبات ایجاد شود.
تنها کاری که ما انجام دادیم این بود که اشاره کنیم: روش شمارش "جلو، خطی" تنها روش ممکن نیست. اگر کودکی این را بفهمد، بعداً روش‌های بسیار دیگری از این دست پیدا خواهد کرد. چون جالبه!!!و او قطعاً از "سوء تفاهم" ریاضیات جلوگیری می کند و از آن احساس انزجار نخواهد کرد. او برنده شد!
اگر کودک کشف کردکه جمع کردن جفت اعدادی که مجموع آنها به صد می رسد یک تکه کیک است "پیشرفت حسابی با اختلاف 1"- یک چیز نسبتاً ترسناک و غیر جالب برای یک کودک - ناگهان برایش زندگی پیدا کرد . نظم از هرج و مرج پدید آمد و این همیشه باعث شور و شوق می شود: ما اینگونه ساخته شده ایم!
سوالی که باید پاسخ داد: چرا پس از دریافت بینش کودک، باید دوباره او را در چارچوب الگوریتم‌های خشک که در این مورد از نظر عملکردی نیز بی‌فایده هستند، وادار کرد؟!
چرا مجبور به بازنویسی احمقانه؟اعداد دنباله ای در یک دفترچه: به طوری که حتی افراد توانا حتی یک شانس برای درک ندارند؟ البته از نظر آماری، اما آموزش انبوه به سمت "آمار" تنظیم شده است...
صفر کجا رفت؟
و با این حال، جمع اعدادی که مجموع آنها به 100 می رسد برای ذهن بسیار قابل قبول تر از اعدادی است که مجموع آنها به 101 می رسد.
"روش مدرسه گاوس" دقیقاً به این نیاز دارد: بی فکر تا کنیدجفت اعداد در فاصله مساوی از مرکز پیشروی، با وجود همه چیز.
اگه نگاه کنی چی؟
هنوز صفر - بزرگترین اختراعبشریت که بیش از 2000 سال قدمت دارد. و معلمان ریاضی همچنان او را نادیده می گیرند.
تبدیل یک سری از اعدادی که با 1 شروع می شوند به سری هایی که با 0 شروع می شوند بسیار ساده تر است. مجموع تغییر نمی کند، آیا؟ شما باید از "فکر کردن در کتاب های درسی" دست بردارید و شروع به جستجو کنید...و ببینید که جفت هایی با مجموع 101 را می توان به طور کامل با جفت هایی با مجموع 100 جایگزین کرد!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
چگونه قانون "به علاوه 1" را لغو کنیم؟
راستش من اولین بار در مورد چنین قانونی از معلم یوتیوب شنیدم ...
وقتی باید تعداد اعضای یک سریال را تعیین کنم هنوز چه کار کنم؟
دنباله رو نگاه میکنم:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
و وقتی کاملا خسته شدید، سپس به یک ردیف ساده تر بروید:
1, 2, 3, 4, 5
و من تصور می کنم: اگر یک را از 5 کم کنید، 4 می گیرید، اما من کاملاً واضح هستم می بینم 5 عدد! بنابراین، شما باید یکی را اضافه کنید! حس عدد توسعه یافته در دبستان، پیشنهاد می کند: حتی اگر کل گوگل از اعضای سری (قدرت 10 تا صدم) وجود داشته باشد، الگوی یکسان باقی می ماند.
لعنتی قوانینش چیه؟..
به طوری که در عرض یکی سه سال می توانید تمام فضای بین پیشانی و پشت سر خود را پر کنید و دیگر فکر نکنید؟ چگونه نان و کره خود را بدست آوریم؟ به هر حال، ما در رده‌های یکسان به عصر اقتصاد دیجیتال حرکت می‌کنیم!
بیشتر در مورد روش مدرسه گاوس: "چرا علم را از این کار بسازیم؟..."
بیخود نبود که یک اسکرین شات از دفترچه یادداشت پسرم گذاشتم...
"در کلاس چه اتفاقی افتاد؟"
"خب، من بلافاصله شمردم، دستم را بالا بردم، اما او نپرسید، بنابراین، در حالی که دیگران در حال شمارش بودند، من شروع به انجام تکالیف به زبان روسی کردم تا وقت خود را تلف نکنم. ??)، او مرا به تخته صدا زد و من جواب را گفتم.
معلم گفت: "درست است، به من نشان بده چگونه آن را حل کردی." من آن را نشان دادم. او گفت: "اشتباه، شما باید همانطور که من نشان دادم حساب کنید!"
"خوب است که او نمره بدی نداد و من را وادار کرد که "مسیر راه حل" را به روش خودشان بنویسم؟
جرم اصلی معلم ریاضی
به سختی بعد آن حادثهکارل گاوس احساس احترام زیادی را برای معلم ریاضی مدرسه خود تجربه کرد. اما اگر می دانست چگونه پیروان آن معلم ماهیت روش را تحریف خواهد کرد... با خشم غرش می کرد و از طریق سازمان جهانی مالکیت فکری WIPO به ممنوعیت استفاده از نام نیک خود در کتاب های درسی مدارس دست می یافت!
در چه اشتباه اصلی رویکرد مدرسه ? یا به قول من - جنایت معلمان مدرسهریاضیدانان علیه کودکان؟
الگوریتم سوء تفاهم
روش شناسان مدرسه که اکثریت قریب به اتفاق آنها نمی دانند چگونه فکر کنند، چه می کنند؟
آنها روش ها و الگوریتم ها را ایجاد می کنند (نگاه کنید به). این یک واکنش تدافعی که معلمان را از انتقاد محافظت می کند ("همه چیز طبق ... انجام می شود") و کودکان را از درک محافظت می کند. و بنابراین - از میل به انتقاد از معلمان!(دومین مشتق از «حکمت» بوروکراتیک، رویکردی علمی به مسئله). کسی که معنی را درک نمی کند، به جای حماقت سیستم مدرسه، سوء تفاهم خود را مقصر می داند.
این چیزی است که اتفاق می افتد: والدین فرزندان خود را سرزنش می کنند و معلمان ... همین کار را برای کودکانی که "ریاضی نمی دانند!"
آیا باهوش هستی؟
کارل کوچولو چه کرد؟
یک رویکرد کاملاً غیر متعارف به یک کار فرمولی. این جوهر رویکرد اوست. این اصلی ترین چیزی که باید در مدرسه آموزش داده شود این است که نه با کتاب های درسی، بلکه با ذهن خود فکر کنید. البته یک قطعه ابزاری نیز وجود دارد که می توان از ... در جستجوی آن استفاده کرد ساده تر و روش های موثرحساب ها.
روش گاوس از نظر ویلنکین
در مدرسه می آموزند که روش گاوس این است
چی، اگر تعداد عناصر سریال فرد باشدهمانطور که در مشکلی که به پسرم محول شد؟..
"گرفتن" این است که در این مورد شما باید یک عدد "اضافی" را در سری پیدا کنیدو به مجموع جفت ها اضافه کنید. در مثال ما این عدد 260 است.
چگونه تشخیص دهیم؟ کپی کردن همه جفت اعداد در یک دفترچه!(به همین دلیل است که معلم بچه ها را مجبور به انجام این کار احمقانه می کند که سعی می کنند "خلاقیت" را با استفاده از روش گاوسی آموزش دهند... و به همین دلیل است که چنین "روشی" عملاً برای مجموعه داده های بزرگ قابل اجرا نیست و به همین دلیل است که نه روش گاوسی).
کمی خلاقیت در روال مدرسه...
پسر جور دیگری عمل کرد.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
سخت نیست، درست است؟
اما در عمل حتی ساده تر می شود، که به شما امکان می دهد 2-3 دقیقه را برای سنجش از راه دور به زبان روسی اختصاص دهید، در حالی که بقیه "شمارش" هستند. علاوه بر این، تعداد مراحل روش را حفظ می کند: 5، که اجازه نمی دهد رویکرد به دلیل غیرعلمی بودن مورد انتقاد قرار گیرد.
بدیهی است که این رویکرد به سبک روش ساده‌تر، سریع‌تر و جهانی‌تر است. اما... معلم نه تنها تمجید نکرد، بلکه مرا مجبور کرد که آن را "به روش صحیح" بازنویسی کنم (به اسکرین شات مراجعه کنید). یعنی او تلاش مذبوحانه ای برای خفه کردن انگیزه خلاقانه و توانایی درک ریاضیات از ریشه انجام داد! ظاهراً برای اینکه بعداً به عنوان معلم خصوصی استخدام شود ... به شخص اشتباهی حمله کرد ...
همه چیزهایی که اینقدر طولانی و خسته کننده توضیح دادم حداکثر در نیم ساعت برای یک کودک عادی قابل توضیح است. همراه با مثال.
و به گونه ای که هرگز آن را فراموش نکند.
و خواهد شد قدم به سوی درک... نه فقط ریاضیدانان.
بپذیرید: چند بار در زندگی خود با استفاده از روش گاوسی اضافه کرده اید؟ و من هرگز انجام ندادم!
ولی غریزه درک، که در فرآیند یادگیری توسعه می یابد (یا خاموش می شود). روش های ریاضیدر مدرسه... اوه!.. این واقعاً یک چیز غیرقابل جایگزین است!
به ویژه در عصر دیجیتالی شدن جهانی که ما بی سر و صدا تحت رهبری سختگیرانه حزب و دولت وارد شده ایم.
چند کلمه در دفاع از معلمان...
این ناعادلانه و اشتباه است که تمام مسئولیت این سبک تدریس را صرفاً بر عهده معلمان مدرسه بگذاریم. سیستم در حال اجرا است.
مقداریمعلمان پوچ بودن آنچه را که اتفاق می افتد می دانند، اما چه باید کرد؟ قانون آموزش، استانداردهای آموزشی ایالتی فدرال، روش ها، نقشه های تکنولوژیکیدرس... همه چیز باید «بر اساس و بر اساس» انجام شود و همه چیز مستند باشد. کنار رفت - در صف ایستاد تا اخراج شود. بیایید ریاکار نباشیم: حقوق معلمان مسکو بسیار خوب است ... اگر شما را اخراج کنند کجا بروید؟
بنابراین این سایت نه در مورد آموزش. او در مورد آموزش فردی، فقط راه ممکناز جمعیت خارج شوید نسل Z ...
