کمترین مضرب مشترک 14 11. نود و نوک اعداد - بزرگترین مقسوم علیه مشترک و کمترین مضرب مشترک چند عدد

بسیاری از مقسم

مسئله زیر را در نظر بگیرید: مقسوم علیه عدد 140 را پیدا کنید. بدیهی است که عدد 140 یک مقسوم علیه ندارد، بلکه چندین مقسوم علیه دارد. در چنین مواردی گفته می شود که وظیفه دارد یک دسته ازراه حل ها بیایید همه آنها را پیدا کنیم. اول از همه، ما این عدد را به عوامل اول تجزیه می کنیم:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

اکنون می توانیم به راحتی تمام مقسوم علیه ها را بنویسیم. بیایید با مقسوم‌کننده‌های ساده شروع کنیم، یعنی آنهایی که در بسط بالا وجود دارند:

سپس آنهایی را می نویسیم که از ضرب زوجی مقسوم علیه های اول به دست می آیند:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

سپس - آنهایی که شامل سه مقسوم علیه ساده هستند:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

در نهایت، بیایید واحد و خود عدد تجزیه پذیر را فراموش نکنیم:

همه مقسوم‌گیرنده‌های یافت شده توسط ما تشکیل می‌شوند یک دسته ازمقسوم‌کننده‌های عدد 140 که با استفاده از پرانتز نوشته می‌شود:

مجموعه مقسوم علیه های عدد 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

برای سهولت درک، ما مقسوم‌کننده‌ها را در اینجا نوشته‌ایم ( مجموعه عناصر) به ترتیب صعودی، اما به طور کلی، این ضروری نیست. علاوه بر این، یک مخفف را معرفی می کنیم. به جای «مجموعه مقسوم‌کننده‌های عدد 140» می‌نویسیم «د (140)». بدین ترتیب،

به طور مشابه، می توان مجموعه مقسوم علیه هر عدد طبیعی دیگری را پیدا کرد. به عنوان مثال، از گسترش

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

ما گرفتیم:

D(105) = (1، 3، 5، 7، 15، 21، 35، 105).

از مجموعه همه مقسوم علیه ها باید مجموعه مقسوم علیه های اول را تشخیص داد که برای اعداد 140 و 105 به ترتیب برابر هستند:

PD(140) = (2، 5، 7).

PD(105) = (3، 5، 7).

لازم به تاکید است که در تجزیه عدد 140 به ضرایب اول، دو دو بار وجود دارد، در حالی که در مجموعه PD(140) تنها یک است. مجموعه PD(140) در اصل، تمام پاسخ های مسئله است: "یک عامل اول عدد 140 را بیابید". واضح است که همان پاسخ را نباید بیش از یک بار تکرار کرد.

کاهش کسری. بزرگترین مقسوم علیه مشترک

کسری را در نظر بگیرید

می دانیم که این کسر را می توان با عددی کاهش داد که هم مقسوم کننده صورت (105) و هم مقسوم علیه مخرج (140) باشد. بیایید نگاهی به مجموعه های D(105) و D(140) بیندازیم و آنها را یادداشت کنیم عناصر مشترک.

D(105) = (1، 3، 5، 7، 15، 21، 35، 105)؛

D(140) = (1، 2، 4، 5، 7، 10، 14، 20، 28، 35، 70، 140).

عناصر مشترک مجموعه های D(105) و D(140) =

آخرین برابری را می توان کوتاهتر نوشت، یعنی:

D(105) ∩ D(140) = (1، 5، 7، 35).

در اینجا، نماد ویژه "∩" ("کیف با سوراخ پایین") فقط نشان می دهد که از دو مجموعه ای که در طرف مقابل آن نوشته شده است، فقط عناصر مشترک باید انتخاب شوند. ورودی "D (105) ∩ D (140)" می گوید " تقاطعمجموعه Te از 105 و Te از 140.

[در طول مسیر توجه داشته باشید که می توانید عملیات باینری مختلف را با مجموعه ها انجام دهید، تقریباً مانند اعداد. یکی دیگر از عملیات دودویی رایج این است اتحاد. اتصال، که با نماد "∪" ("کیف با سوراخ بالا") نشان داده می شود. اتحاد دو مجموعه شامل تمام عناصر هر دو مجموعه است:

PD(105) = (3، 5، 7);

PD(140) = (2، 5، 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2، 3، 5، 7). ]

بنابراین، ما متوجه شدیم که کسری

را می توان به هر یک از اعداد متعلق به مجموعه کاهش داد

D(105) ∩ D(140) = (1، 5، 7، 35)

و نمی توان آن را به دیگری تقلیل داد عدد طبیعی. همین راه های ممکنکاهش‌ها (به جز کاهش غیر جالب یک‌جا):

بدیهی است که کاهش کسر به یک عدد، در صورت امکان، یک عدد بزرگتر، بسیار کاربردی است. که در این موردعدد 35 است که گفته می شود بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) اعداد 105 و 140. این به صورت نوشته می شود

gcd(105، 140) = 35.

با این حال، در عمل، اگر دو عدد به ما داده شود و نیاز به یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها داشته باشیم، اصلاً مجبور نیستیم هیچ مجموعه ای بسازیم. کافی است به سادگی هر دو عدد را در ضرایب اول قرار دهیم و زیر آن عواملی که در هر دو فاکتورگیری مشترک هستند، خط بکشیم، برای مثال:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

با ضرب اعداد زیر خط کشیده شده (در هر یک از بسط ها)، به دست می آید:

gcd(105، 140) = 5 ∙ 7 = 35.

البته این امکان وجود دارد که بیش از دو عامل برجسته وجود داشته باشد:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

از اینجا مشخص است که

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

ذکر ویژه سزاوار شرایطی است که اصلاً عوامل مشترک وجود نداشته باشد و چیزی برای تأکید وجود نداشته باشد، به عنوان مثال:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

در این مورد،

gcd(42، 55) = 1.

دو عدد طبیعی که gcd برابر یک است نامیده می شوند coprime. مثلاً اگر از این اعداد کسری بسازید،

پس چنین کسری است غیر قابل کاهش.

به طور کلی، قانون کاهش کسر را می توان به صورت زیر نوشت:

		آ/ gcd( آ, ب)
		ب/ gcd( آ, ب)

در اینجا فرض شده است که آو باعداد طبیعی هستند و همه کسرها مثبت هستند. اگر اکنون یک علامت منفی به هر دو طرف این تساوی اختصاص دهیم، قانون مربوطه را برای کسرهای منفی بدست می آوریم.

جمع و تفریق کسرها. کمترین مضرب مشترک

فرض کنید می خواهید مجموع دو کسر را محاسبه کنید:

ما قبلاً می دانیم که مخرج ها چگونه به عوامل اول تجزیه می شوند:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

از این بسط فوراً نتیجه می شود که برای رساندن کسرها به مخرج مشترک کافی است که صورت و مخرج کسر اول را در 2 ∙ 2 ضرب کنیم (محصول عوامل اول بدون تنش مخرج دوم) و صورت و مخرج کسر دوم بر 3 («محصول» ضرایب اول خط نخورده مخرج اول). در نتیجه، مخرج هر دو کسر برابر با عددی می شود که می توان آن را به صورت زیر نشان داد:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

به راحتی می توان فهمید که هر دو مخرج اصلی (هم 105 و هم 140) مقسوم علیه عدد 420 هستند و عدد 420 به نوبه خود مضربی از هر دو مخرج است - و نه فقط مضربی، بلکه حداقل مضرب مشترک (NOC) اعداد 105 و 140 به این صورت نوشته شده است:

LCM(105، 140) = 420.

با نگاه دقیق تر به بسط اعداد 105 و 140، می بینیم که

105 ∙ 140 = LCM (105، 140) ∙ GCD (105، 140).

به طور مشابه، برای اعداد طبیعی دلخواه بو د:

ب ∙ د= LCM( ب, د) ∙ GCD( ب, د).

حالا بیایید جمع کسرهایمان را کامل کنیم:

3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

توجه داشته باشید.برای حل برخی از مسائل، باید بدانید که مربع یک عدد چقدر است. مربع عدد آبه شماره ای زنگ زد آضرب در خودش، یعنی آ∙آ. (همانطور که می بینید برابر است با مساحت مربع با ضلع آ).

تعریف.بزرگترین عدد طبیعی که اعداد a و b بدون باقی مانده بر آن بخش پذیرند نامیده می شود بزرگترین مقسوم علیه مشترک (gcd)این اعداد

بیایید بزرگترین مقسوم علیه اعداد 24 و 35 را پیدا کنیم.
مقسوم علیه های 24 اعداد 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 24 و مقسوم علیه های 35 اعداد 1، 5، 7، 35 خواهند بود.
می بینیم که اعداد 24 و 35 فقط یک مقسوم علیه مشترک دارند - عدد 1. چنین اعدادی نامیده می شوند. coprime.

تعریف.اعداد طبیعی نامیده می شوند coprimeاگر بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها (gcd) 1 باشد.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD)را می توان بدون نوشتن تمام مقسوم علیه اعداد پیدا کرد.

با فاکتور گیری اعداد 48 و 36 به دست می آید:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
از عواملی که در بسط اعداد اول گنجانده شده است، مواردی را که در بسط عدد دوم گنجانده نشده اند (یعنی دو دس) حذف می کنیم.
ضرایب 2 * 2 * 3 باقی می مانند. حاصلضرب آنها 12 است. این عدد بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 48 و 36 است. بزرگترین مقسوم علیه مشترک سه عدد یا بیشتر نیز یافت می شود.

برای پیدا کردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک

2) از عواملی که در بسط یکی از این اعداد گنجانده شده است، مواردی را که در بسط اعداد دیگر گنجانده نشده اند خط بزنید.
3) حاصلضرب عوامل باقیمانده را بیابید.

اگر همه اعداد داده شده بر یکی از آنها بخش پذیر باشند، این عدد است بزرگترین مقسوم علیه مشترکاعداد داده شده
به عنوان مثال، بزرگترین مقسوم علیه مشترک 15، 45، 75 و 180، 15 است، زیرا همه اعداد دیگر را تقسیم می کند: 45، 75، و 180.

کمترین مضرب مشترک (LCM)

تعریف. کمترین مضرب مشترک (LCM)اعداد طبیعی a و b کوچکترین عدد طبیعی هستند که مضرب هر دو a و b هستند. کمترین مضرب مشترک (LCM) اعداد 75 و 60 را می توان بدون نوشتن مضرب این اعداد در یک ردیف پیدا کرد. برای انجام این کار ، 75 و 60 را به عوامل ساده تجزیه می کنیم: 75 \u003d 3 * 5 * 5 و 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
فاکتورهای موجود در بسط اعداد اول را می نویسیم و فاکتورهای گمشده 2 و 2 را از بسط عدد دوم به آنها اضافه می کنیم (یعنی عوامل را با هم ترکیب می کنیم).
پنج عامل 2 * 2 * 3 * 5 * 5 بدست می آوریم که حاصل ضرب آنها 300 می شود. این عدد کمترین مضرب مشترک اعداد 75 و 60 است.

همچنین کوچکترین مضرب مشترک سه عدد یا بیشتر را پیدا کنید.

به کمترین مضرب مشترک را پیدا کنیدچندین عدد طبیعی، شما نیاز دارید:
1) آنها را به عوامل اول تجزیه کنید.
2) عوامل موجود در گسترش یکی از اعداد را بنویسید.
3) عوامل گمشده از بسط اعداد باقیمانده را به آنها اضافه کنید.
4) حاصلضرب عوامل حاصل را بیابید.

توجه داشته باشید که اگر یکی از این اعداد بر همه اعداد دیگر بخش پذیر باشد، این عدد کمترین مضرب مشترک این اعداد است.
برای مثال، کمترین مضرب مشترک 12، 15، 20 و 60 60 خواهد بود، زیرا بر همه اعداد داده شده بخش پذیر است.

فیثاغورث (قرن ششم قبل از میلاد) و شاگردانش موضوع تقسیم پذیری اعداد را مطالعه کردند. عدد، برابر با مجموعتمام مقسوم‌کننده‌های آن (بدون خود عدد)، عدد کامل را نامیدند. به عنوان مثال، اعداد 6 (6 = 1 + 2 + 3)، 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) کامل هستند. اعداد کامل بعدی 496، 8128، 33،550،336 هستند. فیثاغورثی ها فقط سه عدد کامل اول را می دانستند. چهارم - 8128 - در قرن اول شناخته شد. n ه. پنجم - 33 550 336 - در قرن 15 یافت شد. تا سال 1983، 27 عدد کامل از قبل شناخته شده بود. اما تا به حال، دانشمندان نمی دانند که آیا اعداد کامل فرد وجود دارد یا خیر، آیا بزرگترین عدد کامل وجود دارد یا خیر.
علاقه ریاضیدانان باستان به اعداد اول به این دلیل است که هر عددی یا اول است یا می تواند به عنوان یک محصول نمایش داده شود. اعداد اول، یعنی اعداد اول، همانطور که بود، آجرهایی هستند که بقیه اعداد طبیعی از آنها ساخته شده اند.
احتمالاً متوجه شده اید که اعداد اول در سری اعداد طبیعی به طور ناهموار رخ می دهند - در برخی از قسمت های سری تعداد آنها بیشتر است، در برخی دیگر - کمتر. اما هر چه بیشتر در امتداد سری اعداد حرکت کنیم، اعداد اول نادرتر می شوند. این سوال مطرح می شود: آیا آخرین (بزرگترین) عدد اول وجود دارد؟ ریاضیدان یونانی باستان اقلیدس (قرن سوم قبل از میلاد) در کتاب خود "آغاز" که برای دو هزار سال کتاب اصلی ریاضیات بود، ثابت کرد که بی نهایت اعداد اول وجود دارد، یعنی پشت هر عدد اول یک عدد زوج وجود دارد. عدد اول بزرگتر
برای یافتن اعداد اول، یکی دیگر از ریاضیدانان یونانی در همان زمان، اراتوستنس، چنین روشی را ارائه کرد. او همه اعداد را از 1 تا فلان عدد یادداشت کرد و سپس واحد را که نه عدد اول است و نه ترکیبی خط کشید، سپس تمام اعداد بعد از 2 را از طریق یک خط زد (اعدادی که مضرب 2 هستند، یعنی 4، 6، 8، و غیره). اولین عدد باقیمانده بعد از 2، 3 بود. سپس، پس از دو، تمام اعداد بعد از 3 خط زده شدند (اعدادی که مضرب 3 هستند، یعنی 6، 9، 12 و غیره). در پایان، فقط اعداد اول بدون خط باقی ماندند.

اما بسیاری از اعداد طبیعی به طور مساوی بر سایر اعداد طبیعی بخش پذیرند.

مثلا:

عدد 12 بر 1، بر 2، بر 3، بر 4، بر 6، بر 12 بخش پذیر است.

عدد 36 بر 1، بر 2، بر 3، بر 4، بر 6، بر 12، بر 18، بر 36 بخش پذیر است.

اعدادی که عدد بر آنها بخش پذیر است (برای 12 عدد 1، 2، 3، 4، 6 و 12 است) نامیده می شوند. مقسوم علیه اعداد. مقسوم علیه یک عدد طبیعی آعدد طبیعی است که عدد داده شده را تقسیم می کند آبدون هیچ ردی. عدد طبیعی که بیش از دو عامل داشته باشد نامیده می شود کامپوزیت .

توجه داشته باشید که اعداد 12 و 36 مقسوم علیه مشترک دارند. این اعداد عبارتند از: 1، 2، 3، 4، 6، 12. بزرگترین مقسوم علیه این اعداد 12 است. مقسوم علیه مشترک این دو عدد آو بعددی است که هر دو عدد داده شده بدون باقیمانده بر آن بخش پذیرند آو ب.

مضرب مشترکچند عدد به عددی گفته می شود که بر هر یک از این اعداد بخش پذیر باشد. مثلا، اعداد 9، 18 و 45 مضرب مشترک 180 دارند. اما 90 و 360 نیز مضرب مشترک آنها هستند. در بین همه مضربهای jcommon، همیشه کوچکترین آنها وجود دارد، در این مورد 90 است. این عدد نامیده می شود. کمترینمضرب مشترک (LCM).

LCM همیشه یک عدد طبیعی است که باید بزرگتر از بزرگترین اعدادی باشد که برای آن تعریف شده است.

حداقل مضرب مشترک (LCM). خواص.

جابجایی:

انجمنی:

به طور خاص، اگر و اعداد هم اول باشند، پس:

حداقل مضرب مشترک دو عدد صحیح مترو nمقسوم علیه سایر مضرب های مشترک است مترو n. علاوه بر این، مجموعه ای از مضرب های مشترک m,nمنطبق با مجموعه مضرب برای LCM( m,n).

مجانبی برای را می توان در قالب برخی از توابع نظری اعداد بیان کرد.

بنابراین، عملکرد چبیشف. و:

این از تعریف و ویژگی های تابع لاندو به دست می آید g(n).

آنچه از قانون توزیع اعداد اول به دست می آید.

یافتن حداقل مضرب مشترک (LCM).

NOC( الف، ب) به چند روش قابل محاسبه است:

1. اگر بزرگترین مقسوم علیه مشترک شناخته شده است، می توانید از رابطه آن با LCM استفاده کنید:

2. اجازه دهید تجزیه متعارف هر دو عدد به عوامل اول مشخص شود:

جایی که p 1,...,p kاعداد اول مختلف هستند و d 1,...,dkو e 1,...,ekاعداد صحیح غیر منفی هستند (اگر عدد اول مربوطه در تجزیه نباشد، می توانند صفر باشند).

سپس LCM ( آ,ب) با فرمول محاسبه می شود:

به عبارت دیگر، بسط LCM شامل تمام عوامل اولی است که حداقل در یکی از بسط های اعداد گنجانده شده است. الف، ب، و بزرگترین از دو شاخص این عامل گرفته شده است.

مثال:

محاسبه کمترین مضرب مشترک چند عدد را می توان به چندین محاسبه متوالی LCM دو عدد تقلیل داد:

قانون.برای پیدا کردن LCM یک سری اعداد، شما نیاز دارید:

- اعداد را به عوامل اول تجزیه کنید.

- بزرگترین انبساط را به فاکتورهای حاصلضرب مورد نظر ( حاصل ضرب ضرایب بیشترین تعداد داده شده) منتقل کنید و سپس عواملی را از بسط اعداد دیگری که در عدد اول رخ نمی دهند یا در آن هستند اضافه کنید. تعداد دفعات کمتر؛

- حاصل ضرب ضرایب اول LCM اعداد داده شده خواهد بود.

هر دو یا چند عدد طبیعی LCM خود را دارند. اگر اعداد مضرب یکدیگر نباشند یا عوامل یکسانی در بسط نداشته باشند، LCM آنها برابر است با حاصلضرب این اعداد.

ضرایب اول عدد 28 (2، 2، 7) با ضریب 3 (عدد 21) تکمیل شد، حاصلضرب حاصل (84) کوچکترین عددی خواهد بود که بر 21 و 28 بخش پذیر است.

فاکتورهای اول بزرگترین عدد 30 با ضریب 5 از عدد 25 تکمیل شد، حاصل ضرب 150 از بزرگترین عدد 30 بزرگتر است و بر همه اعداد داده شده بدون باقیمانده بخش پذیر است. این کمترین محصولاز ممکن (150، 250، 300...)، که مضربی از همه اعداد داده شده است.

اعداد 2،3،11،37 اول هستند، بنابراین LCM آنها برابر است با حاصلضرب اعداد داده شده.

قانون. برای محاسبه LCM اعداد اول، باید همه این اعداد را در هم ضرب کنید.

گزینه ای دیگر:

برای یافتن کمترین مضرب مشترک (LCM) از چندین عدد به موارد زیر نیاز دارید:

1) هر عدد را به عنوان حاصلضرب عوامل اول آن نشان دهید، برای مثال:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7،

2) توان همه عوامل اول را بنویسید:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) تمام مقسوم علیه های اول (ضرب) هر یک از این اعداد را بنویسید.

4) بزرگترین درجه هر یک از آنها را که در همه بسط های این اعداد یافت می شود انتخاب کنید.

5) این قدرت ها را چند برابر کنید.

مثال. LCM اعداد: 168، 180 و 3024 را بیابید.

راه حل. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

ما بزرگترین قدرت های همه مقسوم علیه های اول را می نویسیم و آنها را ضرب می کنیم:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلاید فقط برای اهداف اطلاعاتی است و ممکن است گستره کامل ارائه را نشان ندهد. اگر شما علاقه مندید این کارلطفا نسخه کامل را دانلود کنید

با مفاهیم بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) و کمترین مضرب مشترک (LCM)، دانش آموزان دبیرستانی در کلاس ششم ملاقات می کنند. تسلط بر این موضوع همیشه دشوار است. کودکان اغلب این مفاهیم را اشتباه می گیرند، نمی دانند که چرا آنها باید مطالعه شوند. که در اخیراو در ادبیات علوم عامه گزاره های جداگانه ای وجود دارد که این مطالب باید از برنامه درسی مدرسه حذف شود. من فکر می کنم که این کاملاً درست نیست و لازم است آن را اگر نه در کلاس درس، در زمان فوق برنامه در کلاس درس جزء مدرسه مطالعه کنید، زیرا این امر به توسعه تفکر منطقی دانش آموزان کمک می کند و باعث افزایش سرعت عملیات محاسباتی و توانایی حل مسائل با استفاده از روش های زیبا.

هنگام مطالعه مبحث "جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف"ما به کودکان یاد می دهیم که پیدا کنند مخرج مشترکدو یا چند عدد به عنوان مثال، شما باید کسرهای 1/3 و 1/5 را اضافه کنید. دانش آموزان به راحتی می توانند عددی را بیابند که بدون باقی مانده بر 3 و 5 بخش پذیر است. این عدد 15 است. در واقع، اگر اعداد کوچک باشند، مخرج مشترک آنها به راحتی پیدا می شود، با دانستن جدول ضرب به خوبی. یکی از بچه ها متوجه می شود که این عدد حاصل ضرب اعداد 3 و 5 است. بچه ها فکر می کنند که از این طریق همیشه می توانید یک مخرج مشترک برای اعداد پیدا کنید. برای مثال، کسرهای 7/18 و 5/24 را کم کنید. بیایید حاصل ضرب اعداد 18 و 24 را پیدا کنیم. این برابر با 432 است. ما قبلاً یک عدد بزرگ دریافت کرده‌ایم، و اگر محاسبات بیشتری لازم باشد (مخصوصاً برای نمونه‌هایی برای همه اقدامات)، احتمال خطا افزایش می‌یابد. اما کمترین مضرب مشترک اعداد (LCM) که در این مورد معادل حداقل مخرج مشترک (LCD) است - عدد 72 - محاسبات را بسیار تسهیل می کند و به حل سریعتر مثال منجر می شود و در نتیجه در زمان صرفه جویی می کند. اختصاص داده شده برای این کار، که نقش مهمی در اجرای آزمون نهایی دارد، کنترل کار می کندبه خصوص در زمان ارزیابی نهایی

هنگام مطالعه مبحث "کاهش کسر" می توانید با تقسیم صورت و مخرج کسر بر همان عدد طبیعی و با استفاده از علائم بخش پذیری اعداد به صورت متوالی حرکت کنید و در نهایت کسری غیر قابل تقلیل به دست آورید. به عنوان مثال، شما باید کسر 128/344 را کاهش دهید. ابتدا صورت و مخرج کسر را بر عدد 2 تقسیم می کنیم، کسری 64/172 به دست می آید. یک بار دیگر، صورت و مخرج کسر حاصل را بر 2 تقسیم می کنیم، کسری 32/86 به دست می آید. یک بار دیگر صورت و مخرج کسر را بر 2 تقسیم می کنیم، کسری تقلیل ناپذیر 16/43 بدست می آید. اما اگر بزرگترین مقسوم علیه اعداد 128 و 344 را پیدا کنیم، کاهش کسر بسیار ساده تر می شود.

باید به بچه ها نشون بدم راه های مختلفپیدا کردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) و کمترین مضرب مشترک (LCM) اعداد. در موارد ساده، یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) و حداقل مضرب مشترک (LCM) اعداد با شمارش ساده راحت است. با بزرگتر شدن اعداد، می توان از عوامل اول استفاده کرد. کتاب درسی پایه ششم (نویسنده N.Ya. Vilenkin) روش زیر را برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) اعداد نشان می دهد. بیایید اعداد را به عوامل اول تجزیه کنیم:

• 16 = 2*2*2*2
• 120 = 2*2*2*3*5

سپس از بین عواملی که در بسط یکی از این اعداد گنجانده شده است، مواردی را که در بسط عدد دیگر لحاظ نشده اند خط می زنیم. حاصلضرب عوامل باقیمانده بزرگترین مقسوم علیه مشترک این اعداد خواهد بود. در این مورد، این عدد 8 است. با توجه به تجربه خودم متقاعد شدم که برای بچه ها قابل درک تر است اگر در بسط اعداد زیر همان عوامل خط بکشیم و سپس در یکی از بسط ها حاصلضرب خط کشیده شده را پیدا کنیم. عوامل. این بزرگترین مقسوم علیه مشترک این اعداد است. در کلاس ششم بچه ها فعال و کنجکاو هستند. می‌توانید کار زیر را برای آن‌ها تعیین کنید: سعی کنید بزرگترین مقسوم علیه اعداد 343 و 287 را به روشی که توضیح داده شد پیدا کنید. و در اینجا می توانید به آنها در مورد روش شگفت انگیز اختراع شده توسط یونانیان باستان بگویید، که به شما امکان می دهد بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) را بدون تجزیه به عوامل اول جستجو کنید. این روش برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک اولین بار در عناصر اقلیدس توضیح داده شد. به آن الگوریتم اقلیدس می گویند. این شامل موارد زیر است: ابتدا عدد بزرگتر را بر عدد کوچکتر تقسیم کنید. اگر باقی مانده بود، عدد کوچکتر را بر باقی مانده تقسیم کنید. اگر دوباره باقی مانده به دست آمد، باقی مانده اول را بر دومی تقسیم کنید. بنابراین به تقسیم ادامه دهید تا باقیمانده صفر شود. آخرین مقسوم علیه بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) این اعداد است.

بیایید به مثال خود برگردیم و برای وضوح، راه حل را به شکل جدول بنویسیم.

سود سهام	تقسیم کننده	خصوصی	باقی مانده
343	287	1	56
287	56	5	7
56	7	8	0

بنابراین gcd(344287) = 7

و چگونه می توان حداقل مضرب مشترک (LCM) اعداد یکسان را پیدا کرد؟ آیا راهی برای این کار وجود دارد که نیازی به تجزیه اولیه این اعداد به عوامل اول نباشد؟ به نظر می رسد وجود دارد، و در آن بسیار ساده است. ما باید این اعداد را ضرب کنیم و حاصلضرب را بر بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) که پیدا کردیم تقسیم کنیم. که در این مثالحاصل ضرب اعداد 98441 است. آن را بر 7 تقسیم کنید و عدد 14063 را بدست آورید. LCM(343,287) = 14063.

یکی از مباحث سخت ریاضی حل مسائل کلمه ای است. لازم است به دانش آموزان نشان داده شود که چگونه با استفاده از مفاهیم "بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD)" و "کمترین مضرب مشترک (LCM)" می توانید مسائلی را که گاهی اوقات حل آنها به روش معمول دشوار است حل کنید. در اینجا مناسب است در کنار تکالیف پیشنهادی نویسندگان کتاب مدرسه، کارهای قدیمی و سرگرم کننده ای که حس کنجکاوی کودکان را رشد می دهد و علاقه به مطالعه این موضوع را افزایش می دهد، در نظر بگیریم. داشتن ماهرانه این مفاهیم به دانش آموزان اجازه می دهد تا راه حلی زیبا برای یک مسئله غیر استاندارد ببینند. و اگر خلق و خوی کودک پس از حل یک مشکل خوب افزایش یابد، این نشانه کار موفق است.

بنابراین، مطالعه در مدرسه مفاهیمی مانند "بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD)" و "کمترین مضرب مشترک (LCD)" اعداد

به شما امکان می دهد در زمان اختصاص داده شده برای اجرای کار صرفه جویی کنید که منجر به افزایش قابل توجهی در حجم کارهای انجام شده می شود.

سرعت و دقت عملیات حسابی را افزایش می دهد که منجر به کاهش قابل توجهی در تعداد خطاهای محاسباتی مجاز می شود.

به شما امکان می دهد پیدا کنید راه های زیباحل مشکلات متنی غیر استاندارد؛

کنجکاوی دانش آموزان را توسعه می دهد، افق دید آنها را گسترش می دهد.

پیش نیازهای تربیت یک شخصیت خلاق همه کاره را ایجاد می کند.

راه حل مسئله زیر را در نظر بگیرید. گام پسر 75 سانتی متر و گام دختر 60 سانتی متر است، باید کوچکترین فاصله ای را پیدا کرد که هر دو به تعداد صحیح قدم برمی دارند.

راه حل.کل مسیری که بچه ها طی خواهند کرد باید بدون باقیمانده بر 60 و 70 بخش پذیر باشد، زیرا هر کدام باید تعداد صحیحی از مراحل را طی کنند. به عبارت دیگر، پاسخ باید مضرب هر دو 75 و 60 باشد.

ابتدا همه مضرب ها را برای عدد 75 می نویسیم.

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

حالا بیایید اعدادی را بنویسیم که مضرب 60 هستند.

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

حالا اعدادی را که در هر دو ردیف هستند پیدا می کنیم.

• مضرب های رایج اعداد اعداد، 300، 600 و غیره خواهند بود.

کوچکترین آنها عدد 300 است در این صورت کوچکترین مضرب مشترک اعداد 75 و 60 نامیده خواهد شد.

برگردیم به حالت مشکل، کوچکترین فاصله ای که پسرها در آن تعداد صحیح قدم برمی دارند 300 سانتی متر خواهد بود. پسر این راه را در 4 مرحله طی می کند و دختر باید 5 قدم بردارد.

یافتن کمترین مضرب مشترک

• کوچکترین مضرب مشترک دو عدد طبیعی a و b کوچکترین عدد طبیعی است که مضرب هر دو a و b باشد.

برای یافتن کمترین مضرب مشترک دو عدد، لازم نیست همه مضرب های این اعداد را پشت سر هم بنویسید.

می توانید از روش زیر استفاده کنید.

چگونه کمترین مضرب مشترک را پیدا کنیم

ابتدا باید این اعداد را به فاکتورهای اول تجزیه کنید.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

حال بیایید تمام عواملی که در بسط عدد اول (2،2،3،5) هستند را یادداشت کرده و تمام عوامل گمشده از بسط عدد دوم (5) را به آن اضافه کنیم.

در نتیجه یک سری اعداد اول بدست می آوریم: 2،2،3،5،5. حاصلضرب این اعداد کمترین عامل رایج برای این اعداد خواهد بود. 2*2*3*5*5 = 300.

طرح کلی برای یافتن کمترین مضرب مشترک

• 1. اعداد را به عوامل اول تجزیه کنید.
• 2-عوامل اولی که جزء یکی از آنها هستند را بنویسید.
• 3. به این عوامل همه آنهایی را که در تجزیه بقیه هستند، اما در انتخاب شده نه، اضافه کنید.
• 4. حاصلضرب تمام عوامل نوشته شده را بیابید.

این روش جهانی است. می توان از آن برای یافتن کمترین مضرب مشترک هر تعداد از اعداد طبیعی استفاده کرد.