تقلیل کسرها به کمترین مخرج مشترک، قوانین، مثال ها، راه حل ها. تقلیل کسرها به مخرج مشترک (Moskalenko M.V.)

برای کاهش کسرها به کوچکترین مخرج مشترک، باید: 1) کمترین مضرب مشترک مخرج های این کسرها را پیدا کنید، آن کمترین مخرج مشترک خواهد بود. 2) با تقسیم مخرج جدید بر مخرج هر کسر، یک عامل اضافی برای هر کسر پیدا کنید. 3) صورت و مخرج هر کسر را در ضریب اضافی آن ضرب کنید.

مثال ها. کسرهای زیر را به کمترین مخرج مشترکشان کاهش دهید.

ما کمترین مضرب مشترک مخرج ها را پیدا می کنیم: LCM(5; 4) = 20، زیرا 20 کوچکترین عددی است که بر 5 و 4 بخش پذیر است. برای کسر اول یک عامل اضافی 4 پیدا کنید (20) : 5=4). برای کسر دوم ضریب اضافی 5 (20) است : 4=5). صورت و مخرج کسر اول را در 4 ضرب می کنیم و صورت و مخرج کسر دوم را در 5 ضرب می کنیم. این کسرها را به کمترین مخرج مشترک کاهش می دهیم ( 20 ).

کمترین مخرج مشترک این کسرها عدد 8 است، زیرا 8 بر 4 و خودش بخش پذیر است. هیچ عامل اضافی برای کسر 1 وجود نخواهد داشت (یا می توانیم بگوییم که برابر با یک است)، برای کسری 2 ضریب اضافی 2 است (8) : 4=2). صورت و مخرج کسر دوم را در 2 ضرب می کنیم. این کسرها را به کمترین مخرج مشترک تقلیل می دهیم ( 8 ).

این کسرها تقلیل ناپذیر نیستند.

بیایید کسر اول را 4 کاهش دهیم و کسر دوم را 2 کاهش دهیم. نمونه هایی در مورد کاهش کسرهای معمولی را ببینید: نقشه سایت → 5.4.2. نمونه هایی از کاهش کسرهای مشترک). LOC را پیدا کنید(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. ضریب اضافی برای کسر اول 5 (80) است : 16=5). ضریب اضافی برای کسر دوم 4 (80) است : 20=4). صورت و مخرج کسر اول را در 5 ضرب می کنیم و صورت و مخرج کسر دوم را در 4 ضرب می کنیم. این کسرها را به کمترین مخرج مشترک تقلیل می دهیم 80 ).

ما کمترین مخرج مشترک NCD را پیدا کردیم (5 ; 6 و 15)=NOK(5 ; 6 و 15) = 30. ضریب اضافی به کسر اول 6 (30) است : 5=6)، ضریب اضافی به کسر دوم 5 (30) است : 6=5)، ضریب اضافی به کسر سوم 2 (30) است : 15=2). صورت و مخرج کسر اول را در 6 ضرب می کنیم، صورت و مخرج کسر دوم را در 5، صورت و مخرج کسر سوم را در 2 ضرب می کنیم. این کسرها را به کمترین مخرج مشترک تقلیل می دهیم ( 30 ).

صفحه 1 از 1 1

که در این موادما نحوه تبدیل صحیح کسرها به مخرج جدید را بررسی خواهیم کرد، عامل اضافی چیست و چگونه آن را پیدا کنیم. پس از این، قاعده اصلی برای تقلیل کسرها به مخرج جدید را فرموله می کنیم و آن را با مثال هایی از مسائل توضیح می دهیم.

مفهوم تقلیل کسری به مخرج دیگر

بیایید ویژگی اصلی یک کسری را به یاد بیاوریم. به گفته وی، کسری معمولی a b (که a و b هر عددی هستند) دارای بی نهایت کسر است که با آن برابر است. چنین کسرهایی را می توان با ضرب صورت و مخرج در همان عدد m (عدد طبیعی) به دست آورد. به عبارت دیگر، همه چیز کسرهای رایجرا می توان با موارد دیگری به شکل a · m b · m جایگزین کرد. این کاهش مقدار اصلی به کسری با مخرج مورد نظر است.

شما می توانید با ضرب کسر و مخرج آن در هر یک، کسر را به مخرج دیگر کاهش دهید. عدد طبیعی. شرط اصلی این است که ضریب باید برای هر دو قسمت کسر یکسان باشد. نتیجه کسری برابر با کسری اصلی خواهد بود.

اجازه دهید این موضوع را با یک مثال توضیح دهیم.

مثال 1

کسر 11 25 را به مخرج جدید تبدیل کنید.

راه حل

بیایید یک عدد طبیعی دلخواه 4 بگیریم و هر دو طرف کسر اصلی را در آن ضرب کنیم. ما می شماریم: 11 · 4 = 44 و 25 · 4 = 100. نتیجه کسری از 44 100 است.

تمام محاسبات را می توان به این شکل نوشت: 11 25 = 11 4 25 4 = 44 100

به نظر می رسد که هر کسری را می توان به تعداد زیادی مخرج مختلف کاهش داد. به جای چهار، می‌توانیم یک عدد طبیعی دیگر بگیریم و کسری دیگر معادل کسری اصلی بدست آوریم.

اما هیچ عددی نمی تواند مخرج کسر جدید شود. بنابراین، برای a b مخرج فقط می تواند شامل اعداد b m باشد که مضرب b هستند. مفاهیم اساسی تقسیم - ضرب و مقسوم علیه را مرور کنید. اگر عدد مضرب b نباشد اما نمی تواند مقسوم علیه کسر جدید باشد. اجازه دهید ایده خود را با مثالی از حل یک مسئله توضیح دهیم.

مثال 2

محاسبه کنید که آیا امکان کاهش کسر 5 9 به مخرج 54 و 21 وجود دارد یا خیر.

راه حل

54 مضربی از نه است که در مخرج کسر جدید است (یعنی 54 را می توان بر 9 تقسیم کرد). این بدان معنی است که چنین کاهشی امکان پذیر است. اما ما نمی توانیم 21 را بر 9 تقسیم کنیم، بنابراین این عمل را نمی توان برای این کسر انجام داد.

مفهوم یک ضریب اضافی

اجازه دهید فرمول بندی کنیم که یک عامل اضافی چیست.

تعریف 1

ضریب اضافینشان دهنده یک عدد طبیعی است که هر دو طرف کسر را در آن ضرب می کنند تا آن را به مخرج جدیدی برسانند.

آن ها وقتی این کار را با کسری انجام می دهیم، یک عامل اضافی برای آن در نظر می گیریم. به عنوان مثال، برای تبدیل کسر 7 10 به شکل 21 30، به ضریب اضافی 3 نیاز داریم. و با استفاده از ضریب 5 می توانید کسر 15 40 را از 3 8 بدست آورید.

بر این اساس، اگر مخرجی را بدانیم که یک کسری باید به آن کاهش یابد، می‌توانیم یک عامل اضافی برای آن محاسبه کنیم. بیایید بفهمیم که چگونه این کار را انجام دهیم.

ما یک کسری a b داریم که می توان آن را به مخرج معینی c تقلیل داد. بیایید ضریب اضافی m را محاسبه کنیم. باید مخرج کسر اصلی را در m ضرب کنیم. b · m را بدست می آوریم و با توجه به شرایط مسئله b · m = c. بیایید به یاد بیاوریم که ضرب و تقسیم چگونه با یکدیگر مرتبط هستند. این ارتباط ما را به این نتیجه می‌رساند: عامل اضافی چیزی نیست جز ضریب تقسیم c بر b، به عبارت دیگر m = c: b.

بنابراین، برای یافتن عامل اضافی، باید مخرج مورد نیاز را بر مخرج اصلی تقسیم کنیم.

مثال 3

ضریب اضافی را که با آن کسر 17 4 به مخرج 124 کاهش می یابد، بیابید.

راه حل

با استفاده از قانون بالا، ما به سادگی 124 را بر مخرج کسر اصلی، چهار تقسیم می کنیم.

ما می شماریم: 124: 4 = 31.

این نوع محاسبه اغلب هنگام تبدیل کسرها به مخرج مشترک مورد نیاز است.

قانون کاهش کسرها به مخرج مشخص شده

بیایید به تعریف قانون اساسی برویم که با آن می توانید کسرها را به مخرج مشخص شده کاهش دهید. بنابراین،

تعریف 2

برای کاهش کسری به مخرج مشخص شده به موارد زیر نیاز دارید:

1. تعیین یک عامل اضافی؛
2. هم صورت و هم مخرج کسر اصلی را در آن ضرب کنید.

چگونه این قانون را در عمل اعمال کنیم؟ بیایید یک مثال برای حل مشکل بیاوریم.

مثال 4

کسر 7 16 را به مخرج 336 کاهش دهید.

راه حل

بیایید با محاسبه ضریب اضافی شروع کنیم. تقسیم: 336: 16 = 21.

جواب حاصل را در هر دو قسمت کسر اصلی ضرب می کنیم: 7 16 = 7 · 21 16 · 21 = 147 336. بنابراین کسر اصلی را به مخرج مورد نظر 336 رساندیم.

پاسخ: 7 16 = 147 336.

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

این مقاله توضیح می دهد چگونه می توان کمترین مخرج مشترک را پیدا کردو چگونه کسرها را به مخرج مشترک کاهش دهیم. ابتدا تعاریف مخرج مشترک کسرها و کمترین مخرج مشترک ارائه شده است و نحوه یافتن مخرج مشترک کسرها نشان داده شده است. در زیر قاعده ای برای تقلیل کسرها به مخرج مشترک و نمونه هایی از کاربرد این قانون در نظر گرفته شده است. در پایان، نمونه هایی از آوردن سه یا چند کسر به مخرج مشترک مورد بحث قرار می گیرد.

پیمایش صفحه.

تقلیل کسرها به مخرج مشترک چیست؟

حالا می‌توانیم بگوییم کاهش کسرها به مخرج مشترک چیست. تقلیل کسرها به مخرج مشترکضرب اعداد و مخرج کسرهای داده شده در عوامل اضافی است که حاصل آن کسری با مخرج های مشابه.

مخرج مشترک، تعریف، مثال ها

حالا نوبت به تعریف مخرج مشترک کسرها می رسد.

به عبارت دیگر، مخرج مشترک مجموعه معینی از کسرهای معمولی، هر عدد طبیعی است که بر تمام مخرج های این کسرها بخش پذیر باشد.

از تعریف بیان شده نتیجه می شود که مجموعه ای از کسرها دارای مخرج مشترک بی نهایت زیادی است، زیرا تعداد نامتناهی مضرب مشترک از همه مخرج های مجموعه اصلی کسرها وجود دارد.

تعیین مخرج مشترک کسرها به شما امکان می دهد مخرج مشترک کسرهای داده شده را پیدا کنید. به عنوان مثال، با توجه به کسرهای 1/4 و 5/6، مخرج آنها به ترتیب 4 و 6 است. مضرب مشترک مثبت اعداد 4 و 6 اعداد 12، 24، 36، 48، ... هر یک از این اعداد مخرج مشترک کسرهای 1/4 و 5/6 است.

برای تجمیع مطالب، راه حل مثال زیر را در نظر بگیرید.

مثال.

آیا کسرهای 2/3، 23/6 و 7/12 را می توان به مخرج مشترک 150 تقلیل داد؟

راه حل.

برای پاسخ به سوال مطرح شده، باید دریابیم که آیا عدد 150 مضرب مشترک مخرج های 3، 6 و 12 است یا خیر. برای این کار بررسی می کنیم که آیا 150 بر هر یک از این اعداد بخش پذیر است (در صورت لزوم قوانین و مثال های تقسیم اعداد طبیعی و همچنین قوانین و مثال های تقسیم اعداد طبیعی با باقی مانده را ببینید): 150:3=50 , 150:6=25, 150: 12=12 (6 باقیمانده) .

بنابراین، 150 به طور مساوی بر 12 بخش پذیر نیست، بنابراین 150 مضرب مشترک 3، 6 و 12 نیست. بنابراین عدد 150 نمی تواند مخرج مشترک کسرهای اصلی باشد.

پاسخ:

ممنوع است.

کمترین مخرج مشترک، چگونه آن را پیدا کنیم؟

در مجموعه اعدادی که مخرج مشترک کسرهای داده شده هستند، کوچکترین عدد طبیعی وجود دارد که به آن کمترین مخرج مشترک می گویند. اجازه دهید تعریف کمترین مخرج مشترک این کسرها را فرمول بندی کنیم.

تعریف.

کمترین مخرج مشترک- این کوچکترین عدد، از همه مخرج مشترک این کسرها.

باقی مانده است که به این سؤال بپردازیم که چگونه می توان کمترین تقسیم کننده مشترک را پیدا کرد.

از آنجایی که کمترین مخرج مشترک مثبت یک مجموعه معین از اعداد است، LCM مخرج کسرهای داده شده کمترین مخرج مشترک کسرهای داده شده را نشان می دهد.

بنابراین، یافتن کمترین مخرج مشترک کسرها به مخرج آن کسرها می رسد. بیایید به راه حل مثال نگاه کنیم.

مثال.

کمترین مخرج مشترک کسرهای 3/10 و 277/28 را پیدا کنید.

راه حل.

مخرج این کسرها 10 و 28 است. کمترین مخرج مشترک مورد نظر به عنوان LCM اعداد 10 و 28 یافت می شود. در مورد ما آسان است: از 10=2·5، و 28=2·2·7، سپس LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

پاسخ:

140 .

چگونه کسرها را به مخرج مشترک کاهش دهیم؟ قانون، مثال ها، راه حل ها

کسرهای مشترک معمولاً منجر به کمترین مخرج مشترک می شوند. اکنون قاعده ای را می نویسیم که توضیح می دهد چگونه کسرها را به کمترین مخرج مشترکشان کاهش دهیم.

قانون کاهش کسرها به کمترین مخرج مشترکشامل سه مرحله است:

• ابتدا کمترین مخرج مشترک کسرها را پیدا کنید.
• دوم اینکه یک عامل اضافی برای هر کسر با تقسیم کمترین مخرج مشترک بر مخرج هر کسر محاسبه می شود.
• ثالثاً، صورت و مخرج هر کسر در ضریب اضافی آن ضرب می شود.

اجازه دهید قانون بیان شده را برای حل مثال زیر اعمال کنیم.

مثال.

کسرهای 14/5 و 18/7 را به کمترین مخرج مشترکشان کاهش دهید.

راه حل.

بیایید تمام مراحل الگوریتم کاهش کسرها را به کمترین مخرج مشترک انجام دهیم.

ابتدا کمترین مخرج مشترک را پیدا می کنیم که برابر با کمترین مضرب مشترک اعداد 14 و 18 است. از آنجایی که 14=2·7 و 18=2·3·3، پس LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.

اکنون عوامل اضافی را محاسبه می کنیم که به کمک آنها کسرهای 5/14 و 7/18 به مخرج 126 کاهش می یابد. برای کسر 5/14 ضریب اضافی 126:14=9 و برای کسری 7/18 ضریب اضافی 126:18=7 است.

باقی مانده است که صورت و مخرج کسرهای 5/14 و 7/18 را به ترتیب در عوامل اضافی 9 و 7 ضرب کنیم. داریم و .

بنابراین، کاهش کسرهای 5/14 و 7/18 به کمترین مخرج مشترک کامل است. کسرهای حاصل 45/126 و 49/126 بودند.

هنگام جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج های مختلفابتدا کسرها منجر به مخرج مشترک. این بدان معنی است که آنها یک مخرج پیدا می کنند که بر مخرج اصلی هر کسر جبری موجود در عبارت داده شده تقسیم می شود.

همانطور که می دانید اگر صورت و مخرج کسری در عددی غیر از صفر ضرب (یا تقسیم) شود، مقدار کسری تغییر نمی کند. این خاصیت اصلی کسری است. بنابراین، وقتی کسرها به یک مخرج مشترک تقلیل می‌یابند، اساساً مخرج اصلی هر کسر را در ضریب گمشده ضرب می‌کنند تا یک مخرج مشترک به دست آید. در این صورت، باید عدد کسر را در این ضریب ضرب کنید (برای هر کسری متفاوت است).

به عنوان مثال، با توجه به مجموع کسرهای جبری زیر:

لازم است عبارت را ساده کنید، یعنی دو کسر جبری اضافه کنید. برای انجام این کار، اول از همه، شما باید عبارات کسری را به یک مخرج مشترک بیاورید. اولین قدم یافتن یک تک جمله ای است که بر 3x و 2y بخش پذیر باشد. در این مورد، مطلوب است که کوچکترین باشد، یعنی حداقل مضرب مشترک (LCM) را برای 3x و 2y پیدا کنید.

برای ضرایب و متغیرهای عددی، LCM به طور جداگانه جستجو می شود. LCM(3، 2) = 6، و LCM(x، y) = xy. در مرحله بعد، مقادیر یافت شده ضرب می شوند: 6xy.

حالا باید مشخص کنیم که با چه عاملی باید 3x را ضرب کنیم تا به 6xy برسیم:
6xy ÷ 3x = 2y

این بدان معناست که هنگام تقلیل کسر اول جبری به مخرج مشترک، صورت آن باید در 2y ضرب شود (در زمان تقلیل به مخرج مشترک، مخرج قبلاً ضرب شده است). ضریب برای صورت‌دهنده کسر دوم نیز به همین ترتیب جستجو می‌شود. برابر با 3 برابر خواهد بود.

بدین ترتیب به دست می آوریم:

سپس می توانید مانند کسری با مخرج یکسان عمل کنید: اعداد را جمع کنید و یک مخرج مشترک بنویسید:

پس از تبدیل ها، یک عبارت ساده شده به دست می آید که یکی است کسر جبری، که مجموع دو مورد اصلی است:

کسرهای جبری در عبارت اصلی ممکن است حاوی مخرج هایی باشند که چند جمله ای هستند و نه تک جمله ای (مانند مثال بالا). در این صورت، قبل از جستجوی مخرج مشترک، باید مخرج ها را در نظر بگیرید (در صورت امکان). در مرحله بعد، مخرج مشترک از عوامل مختلف جمع آوری می شود. اگر ضریب در چند مخرج اصلی باشد، یک بار گرفته می شود. اگر ضریب در مخرج اصلی توان های متفاوتی داشته باشد، آنگاه با بزرگتر گرفته می شود. مثلا:

در اینجا چند جمله ای a 2 – b 2 را می توان به صورت حاصل ضرب (a – b) (a + b) نشان داد. ضریب 2a – 2b به صورت 2(a – b) بسط می یابد. بنابراین، مخرج مشترک 2 (a – b) (a + b) خواهد بود.