نحوه تعیین میانگین حسابی روش میانگین ها، نظریه
موضوع: آمار
گزینه شماره 2
مقادیر متوسط مورد استفاده در آمار
مقدمه………………………………………………………………………….3
تکلیف نظری
مقدار متوسط در آمار، ماهیت آن و شرایط کاربرد.
1.1. ذات سایز متوسطو شرایط استفاده………….4
1.2. انواع مقادیر متوسط………………………………………………………………………………
کار عملی
تکلیف 1،2،3………………………………………………………………………………………………………
نتیجه……………………………………………………………………………….21
فهرست ادبیات مورد استفاده………………………………………………………………………………………………………………
مقدمه
این تستاز دو بخش - نظری و عملی تشکیل شده است. در بخش نظری، مقوله آماری مهمی مانند مقدار میانگین به منظور شناسایی ماهیت و شرایط کاربرد آن و همچنین شناسایی انواع میانگین ها و روش های محاسبه آنها به تفصیل در نظر گرفته خواهد شد.
همانطور که می دانید آمار به مطالعه پدیده های اجتماعی-اقتصادی توده ای می پردازد. هر یک از این پدیده ها می توانند بیان کمی متفاوت از یک ویژگی داشته باشند. به عنوان مثال، دستمزد همان حرفه کارگران یا قیمت های موجود در بازار برای همان کالا و غیره. مقادیر متوسط مشخص می شود شاخص های کیفیفعالیت های تجاری: هزینه های توزیع، سود، سودآوری و غیره.
برای مطالعه هر جمعیتی با توجه به ویژگی های متغیر (تغییر کمی)، آمار از میانگین ها استفاده می کند.
جوهر متوسط
مقدار متوسط یک خلاصه است مشخصه کمیمجموعه ای از همان نوع پدیده ها بر اساس یک مبنای متفاوت. در عمل اقتصادی، طیف گسترده ای از شاخص ها استفاده می شود که به عنوان میانگین محاسبه می شود.
مهمترین ویژگی مقدار متوسط این است که ارزش یک صفت معین را در کل جمعیت به عنوان یک عدد نشان می دهد، علیرغم تفاوت های کمی آن در واحدهای فردی جمعیت، و چیز مشترکی را بیان می کند که در همه واحدها ذاتی است. جمعیت مورد مطالعه بنابراین، از طریق ویژگی یک واحد جمعیت، کل جمعیت را به عنوان یک کل مشخص می کند.
میانگین ها به قانون اعداد بزرگ مربوط می شوند. ماهیت این رابطه در این است که هنگام میانگین گیری انحرافات تصادفی مقادیر فردی، به دلیل عملکرد قانون اعداد بزرگ، یکدیگر را خنثی می کنند و در میانگین روند اصلی توسعه، ضرورت، منظم بودن آشکار می شود. مقادیر متوسط امکان مقایسه شاخص های مربوط به جمعیت با تعداد واحدهای مختلف را فراهم می کند.
در شرایط مدرن توسعه روابط بازاردر اقتصاد، میانگین ها به عنوان ابزاری برای مطالعه الگوهای عینی پدیده های اجتماعی-اقتصادی عمل می کنند. با این حال، تجزیه و تحلیل اقتصادی نباید تنها به شاخص‌های متوسط محدود شود، زیرا میانگین‌های مطلوب عمومی می‌توانند هم کاستی‌های عمده و جدی در فعالیت‌های واحدهای اقتصادی منفرد و هم جوانه‌های جدید و مترقی را پنهان کنند. به عنوان مثال، توزیع جمعیت بر اساس درآمد، شناسایی شکل گیری جدید را ممکن می سازد گروه های اجتماعی. بنابراین، در کنار میانگین داده های آماری، لازم است ویژگی های واحدهای فردی جامعه در نظر گرفته شود.
مقدار متوسط حاصل همه عوامل مؤثر بر پدیده مورد مطالعه است. یعنی هنگام محاسبه مقادیر متوسط، تأثیر عوامل تصادفی (آشفتگی، فردی) یکدیگر را خنثی می کند و بنابراین، می توان الگوی ذاتی پدیده مورد مطالعه را تعیین کرد. آدولف کوتلت تاکید کرد که اهمیت روش میانگین ها در امکان گذار از مفرد به کلی، از تصادفی به منظم است و وجود میانگین ها مقوله ای از واقعیت عینی است.
آمار به مطالعه پدیده ها و فرآیندهای توده ای می پردازد. هر یک از این پدیده ها هم در کل مجموعه مشترک هستند و هم ویژگی های خاص و فردی دارند. تفاوت بین پدیده های فردی را تنوع می گویند. یکی دیگر از ویژگی های پدیده های توده ای نزدیکی ذاتی آنها به ویژگی های پدیده های فردی است. بنابراین، تعامل عناصر مجموعه منجر به محدودیت تنوع حداقل بخشی از خواص آنها می شود. این روند به طور عینی وجود دارد. در عینیت آن است که دلیل نهفته است گسترده ترین کاربردمقادیر متوسط در عمل و در تئوری.
مقدار متوسط در آمار یک شاخص تعمیم دهنده است که سطح معمولی یک پدیده را در شرایط خاص مکان و زمان مشخص می کند و بزرگی یک ویژگی متغیر را در واحد یک جمعیت از نظر کیفی همگن منعکس می کند.
در عمل اقتصادی، طیف گسترده ای از شاخص ها استفاده می شود که به عنوان میانگین محاسبه می شود.
با کمک روش میانگین ها، آمار بسیاری از مسائل را حل می کند.
مقدار اصلی میانگین ها تابع تعمیم آنها است، یعنی جایگزینی بسیاری از مقادیر مختلف فردی یک ویژگی با یک مقدار متوسط که کل مجموعه پدیده ها را مشخص می کند.
اگر مقدار متوسط مقادیر کیفی همگن یک صفت را تعمیم دهد، آنگاه یک ویژگی معمولی از یک صفت در یک جمعیت معین است.
با این حال، اشتباه است که نقش مقادیر میانگین را فقط به توصیف مقادیر معمولی ویژگی ها در جمعیت هایی که از نظر این ویژگی همگن هستند کاهش دهیم. در عمل، آمارهای مدرن اغلب از میانگین هایی استفاده می کنند که پدیده های کاملاً همگن را تعمیم می دهند.
متوسط درآمد سرانه ملی، متوسط بازده محصول در سراسر کشور، متوسط مصرف محصولات مختلفتغذیه - اینها ویژگی های دولت به عنوان یک سیستم اقتصادی واحد است، اینها به اصطلاح میانگین های سیستمی هستند.
میانگین‌های سیستمی می‌توانند هر دو سیستم فضایی یا جسمی را که به طور همزمان وجود دارند (ایالت، صنعت، منطقه، سیاره زمین و غیره) مشخص کند. سیستم های دینامیکیتمدید شده در زمان (سال، دهه، فصل و غیره).
مهمترین ویژگی مقدار متوسط این است که منعکس کننده مشترکی است که در همه واحدهای جمعیت مورد مطالعه ذاتی است. مقادیر ویژگی واحدهای فردی جمعیت تحت تأثیر عوامل بسیاری در یک جهت یا در جهت دیگر در نوسان است که در میان آنها می توان هم پایه و هم تصادفی را نام برد. به عنوان مثال، قیمت سهام یک شرکت به عنوان یک کل توسط آن تعیین می شود وضعیت مالی. در عین حال ممکن است در روزهای خاص و در برخی بورس ها با توجه به شرایط حاکم، این سهام با نرخ بالاتر یا کمتر به فروش برسد. ماهیت میانگین در این واقعیت نهفته است که انحرافات مقادیر ویژگی واحدهای فردی جمعیت را به دلیل عمل لغو می کند. عوامل تصادفی، و تغییرات ناشی از عوامل اصلی در نظر گرفته شده است. این به میانگین اجازه می دهد تا سطح معمولی ویژگی و انتزاعی را منعکس کند ویژگی های فردیذاتی در واحدهای منفرد
محاسبه میانگین یکی از تکنیک های رایج تعمیم است. میانگینآنچه را که برای همه واحدهای جمعیت مورد مطالعه مشترک (معمول) است منعکس می کند، در عین حال تفاوت بین واحدهای فردی را نادیده می گیرد. در هر پدیده و توسعه آن ترکیبی از شانس و ضرورت وجود دارد.
میانگین مشخصه خلاصه ای از منظم بودن فرآیند در شرایطی است که در آن پیش می رود.
هر میانگین جمعیت مورد مطالعه را با توجه به یک ویژگی مشخص می کند، اما برای توصیف هر جمعیت، توصیف ویژگی های معمولی و ویژگی های کیفی آن، سیستمی از شاخص های میانگین مورد نیاز است. بنابراین، در عمل آمارهای داخلی برای مطالعه پدیده های اجتماعی-اقتصادی، به عنوان یک قاعده، سیستمی از شاخص های متوسط محاسبه می شود. بنابراین، برای مثال، میانگین دستمزدهمراه با شاخص های میانگین تولید، نسبت سرمایه به نیروی کار و نسبت نیرو به نیروی کار، درجه مکانیزاسیون و اتوماسیون کار و غیره ارزیابی می شوند.
میانگین باید با در نظر گرفتن محتوای اقتصادی شاخص مورد مطالعه محاسبه شود. بنابراین، برای یک شاخص خاص که در تحلیل های اجتماعی-اقتصادی استفاده می شود، تنها یک مقدار واقعی میانگین را می توان بر اساس روش علمی محاسبه محاسبه کرد.
مقدار متوسط یکی از مهمترین شاخص‌های آماری تعمیم‌دهنده است که کل همان نوع پدیده‌ها را با توجه به برخی ویژگی‌های کمی متفاوت مشخص می‌کند. میانگین ها در آمار، شاخص های تعمیم دهنده هستند، اعدادی که ابعاد مشخصه معمولی پدیده های اجتماعی را بر اساس یک ویژگی کمی متفاوت بیان می کنند.
انواع میانگین ها
انواع مقادیر متوسط در درجه اول در این که چه ویژگی، چه پارامتری از جرم متغیر اولیه مقادیر فردی این صفت باید بدون تغییر نگه داشته شود، متفاوت است.
میانگین حسابی
میانگین حسابی چنین مقدار میانگین یک ویژگی است که در محاسبه آن حجم کلیصفت در کل بدون تغییر باقی می ماند. در غیر این صورت می توان گفت که میانگین مقدار حسابیمیان مدت است. هنگامی که محاسبه می شود، حجم کل ویژگی به طور ذهنی به طور مساوی بین همه واحدهای جمعیت توزیع می شود.
اگر مقادیر مشخصه متوسط (x) و تعداد واحدهای جمعیت با مقدار مشخصه مشخص (f) مشخص باشد، میانگین حسابی استفاده می شود.
میانگین حسابی می تواند ساده و وزنی باشد.
میانگین حسابی ساده
اگر هر مقدار ویژگی x یک بار اتفاق بیفتد، از یک ساده استفاده می‌شود. برای هر x، مقدار ویژگی f=1 است، یا اگر داده های اصلی مرتب نشده باشند و مشخص نباشد که چند واحد دارای مقادیر مشخصی هستند.
فرمول میانگین حسابی ساده است.
,میانگین حسابی - یک شاخص آماری که میانگین مقدار یک آرایه داده معین را نشان می دهد. چنین شاخصی به عنوان کسری محاسبه می شود که صورت آن مجموع همه مقادیر آرایه است و مخرج تعداد آنها است. میانگین حسابی ضریب مهمی است که در محاسبات خانگی استفاده می شود.
معنی ضریب
میانگین حسابی یک شاخص ابتدایی برای مقایسه داده ها و محاسبه مقدار قابل قبول است. به عنوان مثال، یک قوطی آبجو از یک سازنده خاص در فروشگاه های مختلف فروخته می شود. اما در یک فروشگاه 67 روبل، در فروشگاه دیگر - 70 روبل، در سومین - 65 روبل، و در آخرین - 62 روبل هزینه دارد. محدوده نسبتاً زیادی از قیمت ها وجود دارد، بنابراین خریدار به میانگین هزینه یک قوطی علاقه مند می شود، به طوری که هنگام خرید یک محصول می تواند هزینه های خود را مقایسه کند. به طور متوسط، یک قوطی آبجو در شهر قیمت دارد:
قیمت متوسط = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 روبل.
دانستن قیمت میانگین، به راحتی می توان تعیین کرد که خرید کالا از کجا سودآور است و کجا باید اضافه پرداخت کنید.
میانگین حسابی به طور مداوم در محاسبات آماری در مواردی که یک مجموعه داده همگن تجزیه و تحلیل می شود استفاده می شود. در مثال بالا، این قیمت یک قوطی آبجو با همان مارک است. با این حال، ما نمی توانیم قیمت آبجو را مقایسه کنیم تولید کنندگان مختلفیا قیمت آبجو و لیموناد، زیرا در این صورت گسترش مقادیر بیشتر خواهد شد، میانگین قیمت مبهم و غیرقابل اعتماد خواهد بود و معنای محاسبات به کاریکاتور "متوسط درجه حرارت در بیمارستان" تحریف می شود. . برای محاسبه آرایه های داده های ناهمگن، زمانی که هر مقدار ضریب وزنی خود را دریافت می کند، از میانگین وزنی حسابی استفاده می شود.
محاسبه میانگین حسابی
فرمول محاسبات بسیار ساده است:
P = (a1 + a2 + … an) / n،
جایی که an مقدار کمیت است، n است جمعارزش های.
برای چه چیزی می توان استفاده کرد این شاخص? اولین و آشکار استفاده از آن در آمار است. تقریباً در هر مطالعه آماری از میانگین حسابی استفاده می شود. میتونه باشه میانگین سنازدواج در روسیه، میانگین نمره در یک موضوع برای یک دانش آموز، یا متوسط هزینه برای خرید مواد غذایی در روز. همانطور که در بالا ذکر شد، بدون در نظر گرفتن وزن ها، محاسبه میانگین ها می تواند مقادیر عجیب و غریب یا پوچ به دست دهد.
مثلا رئیس جمهور فدراسیون روسیهاظهار داشت که طبق آمار، متوسط حقوق یک روسی 27000 روبل است. برای اکثر مردم روسیه، این سطح از حقوق پوچ به نظر می رسید. جای تعجب نیست، اگر محاسبه میزان درآمد الیگارشی ها، رهبران را در نظر بگیرد شرکت های صنعتیبانکداران بزرگ از یک سو و حقوق معلمان، نظافتچی ها و فروشندگان از سوی دیگر. حتی میانگین حقوق در یک تخصص، به عنوان مثال، یک حسابدار، تفاوت های جدی در مسکو، کوستروما و یکاترینبورگ خواهد داشت.
نحوه محاسبه میانگین برای داده های ناهمگن
در موقعیت های حقوق و دستمزد، در نظر گرفتن وزن هر ارزش مهم است. به این معنی که به حقوق الیگارشی ها و بانکداران وزنی مثلاً 00001/0 داده می شود و حقوق فروشندگان 12/0 خواهد بود. اینها اعدادی از سقف هستند، اما تقریباً رواج الیگارشی ها و فروشندگان در جامعه روسیه را نشان می دهند.
بنابراین، برای محاسبه میانگین میانگین ها یا مقدار متوسط در یک آرایه داده ناهمگن، باید از میانگین موزون حسابی استفاده شود. در غیر این صورت، میانگین حقوق در روسیه در سطح 27000 روبل دریافت خواهید کرد. اگر می خواهید خودتان را بشناسید معدل متوسطدر ریاضیات یا میانگین تعداد گل های زده شده توسط بازیکن هاکی منتخب، آنگاه ماشین حساب میانگین حسابی برای شما مناسب خواهد بود.
برنامه ما یک ماشین حساب ساده و راحت برای محاسبه میانگین حسابی است. برای انجام محاسبات فقط باید مقادیر پارامتر را وارد کنید.
بیایید به چند نمونه نگاه کنیم
محاسبه میانگین نمرات
بسیاری از معلمان از روش میانگین حسابی برای تعیین نمره سالانه در یک موضوع استفاده می کنند. بیایید تصور کنیم که یک کودک نمرات سه ماهه زیر را در ریاضی کسب می کند: 3، 3، 5، 4. معلم چه نمره ای سالانه به او می دهد؟ بیایید از ماشین حساب استفاده کنیم و میانگین حسابی را محاسبه کنیم. ابتدا تعداد مناسب فیلدها را انتخاب کنید و مقادیر درجه را در سلول های ظاهر شده وارد کنید:
(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75
معلم مقدار را به نفع دانش آموز گرد می کند و دانش آموز برای سال یک چهار ثابت دریافت می کند.
محاسبه شیرینی های خورده شده
بیایید مقداری پوچ بودن میانگین حسابی را نشان دهیم. تصور کنید که ماشا و ووا 10 شیرینی داشتند. ماشا 8 آب نبات خورد و ووا فقط 2. هر کودک به طور متوسط چند آبنبات خورد؟ با استفاده از ماشین حساب به راحتی می توان محاسبه کرد که کودکان به طور متوسط هر کدام 5 عدد شیرینی خورده اند که کاملاً خلاف واقع و عقل سلیم است. این مثال نشان می دهد که میانگین حسابی برای مجموعه داده های معنی دار مهم است.
نتیجه
محاسبه میانگین حسابی به طور گسترده در بسیاری از زمینه های علمی استفاده می شود. این شاخص نه تنها در محاسبات آماری، بلکه در فیزیک، مکانیک، اقتصاد، پزشکی یا امور مالی نیز محبوب است. از ماشین حساب ما به عنوان دستیار برای حل مسائل میانگین حسابی استفاده کنید.
در فرآیند مطالعه ریاضی، دانش آموزان با مفهوم میانگین حسابی آشنا می شوند. در آینده در آمار و برخی علوم دیگر، دانش آموزان با محاسبه دیگران مواجه می شوند، چه می توانند باشند و چه تفاوتی با یکدیگر دارند؟
معنا و تفاوت
همیشه شاخص های دقیق درک موقعیت را ارائه نمی دهند. برای ارزیابی این یا آن وضعیت، گاهی اوقات لازم است تعداد زیادی از ارقام را تجزیه و تحلیل کرد. و سپس میانگین ها به کمک می آیند. آنها به شما اجازه می دهند وضعیت را به طور کلی ارزیابی کنید.
از دوران مدرسه، بسیاری از بزرگسالان وجود میانگین حسابی را به خاطر می آورند. محاسبه آن بسیار آسان است - مجموع یک دنباله از n جمله بر n بخش پذیر است. یعنی اگر باید میانگین حسابی را در دنباله مقادیر 27، 22، 34 و 37 محاسبه کنید، باید عبارت (27 + 22 + 34 + 37) / 4 را حل کنید، زیرا 4 مقدار وجود دارد. در محاسبات استفاده می شود. AT این موردمقدار مورد نظر 30 خواهد بود.
اغلب، به عنوان بخشی از دوره مدرسه، میانگین هندسی نیز مورد مطالعه قرار می گیرد. محاسبه این مقدار بر اساس استخراج ریشه درجه n از حاصل ضرب n جمله است. اگر همان اعداد را بگیریم: 27، 22، 34 و 37، نتیجه محاسبات 29.4 خواهد بود.
میانگین هارمونیک در مدرسه آموزش عمومیمعمولا موضوع مطالعه نیست. با این حال، اغلب استفاده می شود. این مقدار متقابل میانگین حسابی است و به عنوان ضریب n - تعداد مقادیر و مجموع 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n محاسبه می شود. اگر دوباره همان را برای محاسبه در نظر بگیریم، هارمونیک 29.6 خواهد بود.
میانگین وزنی: ویژگی ها
با این حال، همه مقادیر بالا ممکن است در همه جا مورد استفاده قرار نگیرند. مثلاً در آمار هنگام محاسبه مقداری نقش مهمدارای یک "وزن" برای هر عدد مورد استفاده در محاسبات است. نتایج آشکارتر و صحیح تر هستند زیرا اطلاعات بیشتری را در نظر می گیرند. این گروه از مقادیر در مجموع به عنوان "میانگین وزنی" نامیده می شود. آنها در مدرسه قبول نمی شوند، بنابراین ارزش دارد که با جزئیات بیشتری در مورد آنها صحبت کنیم.
اول از همه، شایان ذکر است که منظور از "وزن" یک ارزش خاص چیست. ساده ترین راه برای توضیح این است مثال خاص. دمای بدن هر بیمار دو بار در روز در بیمارستان اندازه گیری می شود. از 100 بیمار در بخش های مختلف بیمارستان، 44 نفر خواهند داشت دمای معمولی- 36.6 درجه. 30 عدد دیگر دارای مقدار افزایش یافته است - 37.2، 14 - 38، 7 - 38.5، 3 - 39، و دو مورد باقی مانده - 40. و اگر میانگین حسابی را بگیریم، این مقدار به طور کلی برای بیمارستان بیش از 38 درجه خواهد بود. ! اما تقریباً نیمی از بیماران کاملاً دارند و در اینجا استفاده از میانگین وزنی صحیح تر است و "وزن" هر مقدار تعداد افراد خواهد بود. در این صورت نتیجه محاسبه 37.25 درجه خواهد بود. تفاوت آشکار است.
در مورد محاسبات میانگین وزنی، "وزن" را می توان به عنوان تعداد محموله ها، تعداد افرادی که در یک روز معین کار می کنند، به طور کلی هر چیزی که قابل اندازه گیری باشد و بر نتیجه نهایی تأثیر بگذارد، در نظر گرفت.
انواع
میانگین موزون با میانگین حسابی مورد بحث در ابتدای مقاله مطابقت دارد. با این حال، مقدار اول، همانطور که قبلا ذکر شد، وزن هر عدد مورد استفاده در محاسبات را نیز در نظر می گیرد. علاوه بر این، مقادیر هندسی و هارمونیک وزنی نیز وجود دارد.
یکی دیگر وجود دارد تنوع جالب، در سری اعداد استفاده می شود. این یک میانگین متحرک وزنی است. بر اساس آن است که روندها محاسبه می شود. علاوه بر خود مقادیر و وزن آنها، تناوب نیز در آنجا استفاده می شود. و هنگام محاسبه مقدار متوسط در مقطعی از زمان، مقادیر دوره های زمانی قبلی نیز در نظر گرفته می شود.
محاسبه همه این مقادیر چندان دشوار نیست، اما در عمل معمولاً فقط از میانگین وزنی معمول استفاده می شود.
روش های محاسبه
در عصر کامپیوتری شدن نیازی به محاسبه دستی میانگین موزون نیست. اما دانستن فرمول محاسبه مفید خواهد بود تا بتوانید نتایج به دست آمده را بررسی و در صورت لزوم تصحیح کنید.
در نظر گرفتن محاسبه بر روی یک مثال خاص ساده تر خواهد بود.
با در نظر گرفتن تعداد کارگرانی که حقوق خاصی دریافت می کنند، باید دریابید که میانگین دستمزد در این شرکت چقدر است.
بنابراین، محاسبه میانگین وزنی با استفاده از فرمول زیر انجام می شود:
x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)
به عنوان مثال، محاسبه به صورت زیر خواهد بود:
x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33.48
بدیهی است که در محاسبه دستی میانگین وزنی مشکل خاصی وجود ندارد. فرمول محاسبه این مقدار در یکی از محبوب ترین برنامه های کاربردی با فرمول - Excel - شبیه تابع SUMPRODUCT (سری اعداد؛ سری وزن ها) / SUM (سری وزن ها) است.
با شروع صحبت در مورد مقادیر متوسط، اغلب آنها به یاد می آورند که چگونه از مدرسه فارغ التحصیل شده و وارد شده اند موسسه تحصیلی. بعد طبق گواهی حساب کردم معدل: همه نمرات (اعم از خوب و نه چندان خوب) جمع شدند، مقدار حاصل بر تعداد آنها تقسیم شد. به این ترتیب ساده ترین نوع میانگین محاسبه می شود که به آن میانگین حسابی ساده می گویند. در عمل از آمار استفاده می شود انواع مختلفمیانگین ها: حسابی، هارمونیک، هندسی، درجه دوم، میانگین های ساختاری. بسته به ماهیت داده ها و اهداف مطالعه از یک یا دیگری از انواع آنها استفاده می شود.
مقدار متوسطرایج ترین شاخص آماری است که با کمک آن یک مشخصه تعمیم دهنده کل همان نوع پدیده ها با توجه به یکی از علائم مختلف ارائه می شود. سطح صفت در واحد جمعیت را نشان می دهد. با استفاده از مقادیر متوسط، با توجه به ویژگی‌های مختلف، مجموعه‌های مختلف مقایسه شده و الگوهای توسعه پدیده‌ها و فرآیندهای زندگی اجتماعی مورد بررسی قرار می‌گیرد.
در آمار از دو دسته میانگین ها استفاده می شود: توانی (تحلیلی) و ساختاری. دومی برای توصیف ساختار سری های متغیر استفاده می شود و در فصل بیشتر مورد بحث قرار خواهد گرفت. هشت
گروه ابزارهای توان شامل حسابی، هارمونیک، هندسی، درجه دوم است. فرمول های جداگانه برای محاسبه آنها را می توان به شکلی که برای همه میانگین های توان رایج است کاهش داد
که در آن m توان میانگین است: با m = 1 فرمولی برای محاسبه میانگین حسابی به دست می آوریم، با m = 0 - میانگین هندسی، m = -1 - میانگین هارمونیک، با m = 2 - میانگین درجه دوم. ;
x i - گزینه ها (مقادی که ویژگی می گیرد)؛
fi - فرکانس ها
شرط اصلی که تحت آن می توان از میانگین های قانون قدرت استفاده کرد تحلیل آماری، همگنی جمعیت است که نباید حاوی داده های اولیه باشد که به شدت از نظر مقدار کمی متفاوت است (در ادبیات به آنها مشاهدات غیرعادی می گویند).
اجازه دهید اهمیت این شرایط را در مثال زیر نشان دهیم.
مثال 6.1. میانگین حقوق کارمندان یک شرکت کوچک را محاسبه کنید.
| شماره p / p | حقوق، مالش. | شماره p / p | حقوق، مالش. |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 950 | 11 | 7 000 |
| 2 | 6 790 | 12 | 5 950 |
| 3 | 6 790 | 13 | 6 790 |
| 4 | 5 950 | 14 | 5 950 |
| 5 | 7 000 | 5 | 6 790 |
| 6 | 6 790 | 16 | 7 000 |
| 7 | 5 950 | 17 | 6 790 |
| 8 | 7 000 | 18 | 7 000 |
| 9 | 6 790 | 19 | 7 000 |
| 10 | 6 790 | 20 | 5 950 |
برای محاسبه متوسط دستمزد، لازم است دستمزدهای تعلق گرفته به همه کارکنان شرکت را جمع آوری کنید (یعنی صندوق دستمزد را پیدا کنید) و بر تعداد کارمندان تقسیم کنید:
و اکنون فقط یک نفر (مدیر این شرکت) را به کل خود اضافه می کنیم، اما با حقوق 50000 روبل. در این مورد، میانگین محاسبه شده کاملا متفاوت خواهد بود:
همانطور که می بینید، بیش از 7000 روبل و غیره است. از همه مقادیر ویژگی بزرگتر است، به جز یک مشاهده.
برای اینکه چنین مواردی در عمل رخ ندهد و میانگین معنای خود را از دست ندهد (در مثال 6.1 دیگر نقش یک مشخصه تعمیم دهنده جمعیت را بازی نمی کند که باید باشد)، هنگام محاسبه میانگین، غیرعادی، مشاهدات پرت یا باید از تجزیه و تحلیل حذف شوند و سپس جمعیت را همگن کرد، یا جمعیت را به گروه های همگن تقسیم کرد و مقادیر میانگین را برای هر گروه محاسبه کرد و نه میانگین کل، بلکه میانگین های گروه را تجزیه و تحلیل کرد.
6.1. میانگین حسابی و خواص آن
میانگین حسابی یا به عنوان یک مقدار ساده یا به عنوان یک مقدار وزنی محاسبه می شود.
هنگام محاسبه میانگین دستمزد طبق جدول مثال 6.1، تمام مقادیر ویژگی را جمع کرده و بر تعداد آنها تقسیم می کنیم. ما سیر محاسبات خود را به صورت فرمولی برای میانگین حسابی ساده می نویسیم
که در آن x i - گزینه ها (مقادیر فردی ویژگی)؛
n تعداد واحدهای جمعیت است.
مثال 6.2. حال بیایید داده های خود را از جدول مثال 6.1 و غیره گروه بندی کنیم. گسسته بساز سری تغییراتتوزیع کارگران بر اساس سطح دستمزد نتایج گروه بندی در جدول ارائه شده است.
بیایید عبارت محاسبه سطح دستمزد متوسط را به شکل فشرده تر بنویسیم:
در مثال 6.2، از فرمول میانگین حسابی وزنی استفاده شده است
جایی که f i - فرکانس هایی که نشان می دهد چند برابر مقدار ویژگی x i y واحدهای جمعیت رخ می دهد.
محاسبه میانگین وزنی حسابی به راحتی در جدول انجام می شود، همانطور که در زیر نشان داده شده است (جدول 6.3):
| اطلاعات اولیه | شاخص تخمینی | |
| حقوق، مالش. | تعداد کارمندان، افراد | صندوق حقوق و دستمزد، مالش. |
| x i | فی | x i f i |
| 5 950 | 6 | 35 760 |
| 6 790 | 8 | 54 320 |
| 7 000 | 6 | 42 000 |
| جمع | 20 | 132 080 |
لازم به ذکر است که از میانگین حسابی ساده در مواردی استفاده می شود که داده ها گروه بندی یا گروه بندی نشده باشند، اما همه فرکانس ها با یکدیگر برابر باشند.
اغلب نتایج مشاهدات به صورت یک سری توزیع بازه ای ارائه می شود (جدول در مثال 6.4 را ببینید). سپس هنگام محاسبه میانگین، نقاط میانی فواصل به صورت x i در نظر گرفته می شود. اگر بازه های اول و آخر باز باشند (یکی از مرزها را ندارند) ، به طور مشروط "بسته" می شوند و مقدار فاصله مجاور را به عنوان مقادیر بازه داده شده و غیره می گیرند. اولی بر اساس مقدار دوم بسته می شود و آخرین - بر اساس ارزش ماقبل آخر.
مثال 6.3. بر اساس نتایج یک بررسی نمونه از یکی از گروه های جمعیتی، اندازه متوسط درآمد نقدی سرانه را محاسبه می کنیم.
در جدول بالا، وسط بازه اول 500 است. در واقع، مقدار بازه دوم 1000 (2000-1000) است. سپس حد پایین اولی 0 (1000-1000) و وسط آن 500 است. ما همین کار را با فاصله آخر انجام می دهیم. ما 25000 را به عنوان وسط آن در نظر می گیریم: مقدار فاصله ماقبل آخر 10000 است (20000-10000) سپس حد بالایی آن 30000 (20000 + 10000) و وسط به ترتیب 25000 است.
| متوسط درآمد نقدی سرانه، روبل. هر ماه | جمعیت در کل، % f i | نقاط میانی فاصله x i | x i f i |
|---|---|---|---|
| تا 1000 | 4,1 | 500 | 2 050 |
| 1 000-2 000 | 8,6 | 1 500 | 12 900 |
| 2 000-4 000 | 12,9 | 3 000 | 38 700 |
| 4 000-6 000 | 13,0 | 5 000 | 65 000 |
| 6 000-8 000 | 10,5 | 7 000 | 73 500 |
| 8 000-10 000 | 27,8 | 9 000 | 250 200 |
| 10 000-20 000 | 12,7 | 15 000 | 190 500 |
| 20000 به بالا | 10,4 | 25 000 | 260 000 |
| جمع | 100,0 | - | 892 850 |
سپس میانگین درآمد سرانه ماهانه خواهد بود
بیایید فرض کنیم که شما باید میانگین تعداد روزهایی را برای انجام وظایف توسط کارمندان مختلف پیدا کنید. یا می خواهید یک فاصله زمانی 10 ساله را محاسبه کنید. میانگین دمای یک روز خاص. محاسبه مقدار متوسط یک سری اعداد به چند روش.
میانگین تابعی از اندازه گیری گرایش مرکزی است که در آن مرکز یک سری اعداد در می باشد توزیع آماری. سه اکثریت معیارهای رایجگرایش های مرکزی برجسته می شوند.
میانگینمیانگین حسابی با جمع کردن یک سری اعداد و سپس تقسیم تعداد آن اعداد محاسبه می شود. به عنوان مثال، میانگین 2، 3، 3، 5، 7 و 10 دارای 30 تقسیم بر 6، 5 است.
میانهعدد وسط یک سری اعداد. نیمی از اعداد دارای مقادیری بزرگتر از میانه و نیمی از اعداد دارای مقادیر کمتر از میانه هستند. به عنوان مثال، میانه 2، 3، 3، 5، 7 و 10 4 است.
حالترایج ترین عدد در یک گروه از اعداد. به عنوان مثال حالت 2، 3، 3، 5، 7 و 10 - 3.
این سه معیار گرایش مرکزی توزیع متقارن یک سری اعداد یکی و یکسان هستند. در توزیع نامتقارن تعدادی از اعداد، آنها می توانند متفاوت باشند.
مقدار متوسط سلول هایی که به طور پیوسته در یک سطر یا یک ستون قرار دارند را محاسبه کنید
موارد زیر را انجام دهید.
محاسبه میانگین سلول های پراکنده
برای انجام این کار، از تابع استفاده کنید میانگین. جدول زیر را در یک صفحه خالی کپی کنید.
محاسبه میانگین موزون
SUMPRODUCTو مقادیر. v این مثال میانگین قیمت یک واحد اندازه گیری پرداخت شده در سه خرید را محاسبه می کند، که در آن هر خرید برای تعداد متفاوتی از واحدهای اندازه گیری است. قیمت های مختلفبرای یک واحد
جدول زیر را در یک صفحه خالی کپی کنید.
محاسبه مقدار متوسط اعداد، بدون توجه به مقادیر صفر
برای انجام این کار، از توابع استفاده کنید میانگینو اگر. جدول زیر را کپی کنید و در نظر داشته باشید که در این مثال برای سهولت در درک آن، آن را در یک صفحه خالی کپی کنید.
