چگونه مخرج فرمول پیشروی هندسی q را پیدا کنیم. پیشرفت هندسی راهنمای جامع با مثال (2019)

فرمول n ام یک پیشروی هندسی بسیار ساده است. هم در معنا و هم در ظاهر کلی. اما انواع مشکلات در فرمول ترم n وجود دارد - از بسیار ابتدایی تا کاملا جدی. و در روند آشنایی ما قطعا هر دو را در نظر خواهیم گرفت. خوب، بیایید با هم آشنا شویم؟)

بنابراین، برای شروع، در واقع فرمولn

او اینجاست:

b n = ب 1 · qn -1

فرمول فقط یک فرمول است، هیچ چیز ماوراء طبیعی نیست. حتی ساده تر و فشرده تر از فرمول مشابه به نظر می رسد. معنی فرمول نیز به سادگی چکمه های نمدی است.

این فرمول به شما امکان می دهد هر عضوی از یک پیشرفت هندسی را بر اساس عدد آن پیدا کنید. n".

همانطور که می بینید، معنی قیاس کامل با یک تصاعد حسابی است. ما عدد n را می دانیم - همچنین می توانیم عبارت را زیر این عدد بشماریم. هر کدوم که بخوایم بدون ضرب مکرر در "q" چندین و چند بار. این تمام نکته است.)

من درک می کنم که در این سطح از کار با پیشرفت ها، تمام مقادیر موجود در فرمول باید از قبل برای شما واضح باشد، اما همچنان وظیفه خود می دانم که هر کدام را رمزگشایی کنم. محض احتیاط.

پس بزن که بریم:

ب 1 – اولینمدت پیشرفت هندسی؛

q – ;

n- شماره عضو؛

b n – نهمین (nث)اصطلاح یک پیشرفت هندسی

این فرمول چهار پارامتر اصلی هر پیشرفت هندسی را به هم متصل می کند - بn, ب 1 , qو n. و اطراف اینها چهار کلیدارقام و تمام مشکلات در حال چرخش هستند.

"چگونه حذف می شود؟"– یه سوال کنجکاو می شنوم... ابتدایی! نگاه کن

چه چیزی برابر است دومینعضو پیشرفت؟ مشکلی نیست! ما مستقیماً می نویسیم:

b 2 = b 1 ·q

و عضو سوم چطور؟ مشکلی هم نیست! جمله دوم را ضرب می کنیم یک بار دیگر درq.

مثل این:

B 3 = b 2 q

اکنون به یاد بیاوریم که جمله دوم به نوبه خود برابر با b 1 ·q است و این عبارت را با برابری خود جایگزین کنیم:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

ما گرفتیم:

ب 3 = b 1 ·q 2

حال بیایید مدخل خود را به زبان روسی بخوانیم: سومعبارت برابر است با جمله اول ضرب در q در دومیندرجه. متوجه شدي؟ نه هنوز؟ باشه یه قدم دیگه

ترم چهارم چیست؟ همه همینطور! تکثیر کردن قبلی(یعنی ترم سوم) در q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

جمع:

ب 4 = b 1 ·q 3

و دوباره به روسی ترجمه می کنیم: چهارمعبارت برابر است با جمله اول ضرب در q در سومدرجه.

و غیره. خوب ... چطوره؟ الگو رو گرفتی؟ آره! برای هر جمله با هر عدد، تعداد عوامل یکسان q (یعنی درجه مخرج) همیشه خواهد بود. یک عدد کمتر از تعداد عضو مورد نظرn.

بنابراین، فرمول ما بدون گزینه خواهد بود:

b n =ب 1 · qn -1

همین است.)

خوب، بیایید مشکلات را حل کنیم، حدس می زنم؟)

حل مسائل فرمولnترم یک پیشرفت هندسی.

بیایید طبق معمول با استفاده مستقیم از فرمول شروع کنیم. در اینجا یک مشکل معمولی وجود دارد:

در پیشرفت هندسی مشخص است که ب 1 = 512 و q = -1/2. جمله دهم پیشرفت را پیدا کنید.

البته این مشکل بدون هیچ فرمولی قابل حل است. مستقیماً به معنای پیشرفت هندسی. اما باید با فرمول ترم n خود را گرم کنیم، درست است؟ اینجا داریم گرم می کنیم.

داده های ما برای اعمال فرمول به شرح زیر است.

اولین عضو مشخص است. این 512 است.

ب 1 = 512.

مخرج پیشرفت نیز شناخته شده است: q = -1/2.

تنها چیزی که باقی می ماند این است که بفهمیم تعداد عضو n چقدر است. مشکلی نیست! آیا ما به ترم دهم علاقه مندیم؟ بنابراین ما جایگزین می کنیم فرمول کلیده به جای n.

و با دقت حساب را محاسبه کنید:

پاسخ 1

همانطور که می بینید، دهمین ترم پیشرفت منهای بود. هیچ چیز تعجب آور نیست: مخرج پیشرفت ما -1/2 است، یعنی. منفیعدد. و این به ما می گوید که نشانه های پیشرفت ما به طور متناوب، بله.)

اینجا همه چیز ساده است. در اینجا یک مشکل مشابه وجود دارد، اما از نظر محاسبات کمی پیچیده تر است.

در پیشرفت هندسی مشخص است که:

ب 1 = 3

جمله سیزدهم پیشرفت را پیدا کنید.

همه چیز یکسان است، فقط این بار مخرج پیشرفت است غیر منطقی. ریشه دو. خوب، اشکالی ندارد. فرمول یک چیز جهانی است و می تواند هر عددی را اداره کند.

ما مستقیماً طبق فرمول کار می کنیم:

فرمول البته آن طور که باید کار کرد، اما... اینجاست که بعضی ها گیر می کنند. بعد با روت چه کار کنیم؟ چگونه یک ریشه را به توان دوازدهم برسانیم؟

چطوری... باید بفهمی که هر فرمولی البته چیز خوبیه ولی دانش تمام ریاضیات قبلی لغو نمیشه! چگونه باید ساخت؟ بله، خواص درجات را به خاطر بسپار! بیایید ریشه را تبدیل کنیم درجه کسریو – طبق فرمول ارتقاء درجه به درجه.

مثل این:

جواب: 192

و این همه است.)

مشکل اصلی در کاربرد مستقیم فرمول ترم n چیست؟ آره! مشکل اصلی این است کار با مدرک!یعنی قدرت اعداد منفی، کسرها، ریشه ها و ساختارهای مشابه. پس کسانی که در این مورد مشکل دارند لطفا درجات و خواص آنها را تکرار کنند! وگرنه سرعت این تاپیک رو هم کم می کنید، بله...)

اکنون بیایید مشکلات جستجوی معمولی را حل کنیم یکی از عناصر فرمول، اگر بقیه داده شود. برای حل موفقیت آمیز چنین مشکلاتی، دستور العمل یکنواخت و بسیار ساده است - فرمول را بنویسnعضو در نمای کلی! درست در دفترچه کنار شرایط. و سپس از روی شرط متوجه می شویم که چه چیزی به ما داده شده و چه چیزی کم است. و مقدار مورد نظر را از فرمول بیان می کنیم. همه!

به عنوان مثال، چنین مشکل بی ضرر.

جمله پنجم یک تصاعد هندسی با مخرج 3 567 است. جمله اول این تصاعد را بیابید.

هیچ چیز پیچیده ای نیست. ما مستقیماً طبق طلسم کار می کنیم.

بیایید فرمول ترم n را بنویسیم!

b n = ب 1 · qn -1

چه چیزی به ما داده شده است؟ ابتدا مخرج پیشرفت داده می شود: q = 3.

علاوه بر این، به ما داده شده است عضو پنجم: ب 5 = 567 .

همه؟ نه! به ما نیز شماره n داده شده است! این پنج است: n = 5.

امیدوارم قبلا متوجه شده باشید که چه چیزی در ضبط است ب 5 = 567 دو پارامتر به طور همزمان پنهان می شوند - این پنجمین عبارت خود (567) و شماره آن (5) است. قبلاً در درس مشابهی در مورد این موضوع صحبت کردم، اما فکر می کنم در اینجا نیز ارزش ذکر آن را دارد.)

اکنون داده های خود را با فرمول جایگزین می کنیم:

567 = ب 1 · 3 5-1

ما حساب را انجام می دهیم، ساده می کنیم و چیز ساده ای می گیریم معادله خطی:

81 ب 1 = 567

حل می کنیم و می گیریم:

ب 1 = 7

همانطور که می بینید، هیچ مشکلی برای یافتن ترم اول وجود ندارد. اما هنگام جستجوی مخرج qو اعداد nممکن است شگفتی هایی نیز وجود داشته باشد. و همچنین باید برای آنها آماده باشید (سورپرایزها)، بله.)

مثلا این مشکل:

جمله پنجم یک تصاعد هندسی با مخرج مثبت 162 و جمله اول این تصاعد 2 است. مخرج پیشروی را پیدا کنید.

این بار عبارت اول و پنجم به ما داده می شود و از ما خواسته می شود مخرج پیشرفت را پیدا کنیم. در اینجا ما می رویم.

فرمول را می نویسیمnعضو ام!

b n = ب 1 · qn -1

داده های اولیه ما به شرح زیر خواهد بود:

ب 5 = 162

ب 1 = 2

n = 5

مقدار از دست رفته q. مشکلی نیست! بیایید اکنون آن را پیدا کنیم.) هر چیزی را که می دانیم در فرمول جایگزین می کنیم.

ما گرفتیم:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

یک معادله ساده درجه چهارم. و اکنون - با دقت!در این مرحله از حل، بسیاری از دانش آموزان بلافاصله با خوشحالی ریشه (درجه چهارم) را استخراج می کنند و پاسخ می گیرند. q=3 .

مثل این:

q4 = 81

q = 3

اما در واقع، این یک پاسخ ناتمام است. به طور دقیق تر، ناقص. چرا؟ نکته این است که پاسخ q = -3 همچنین مناسب: (-3) 4 نیز 81 خواهد بود!

این به دلیل معادله قدرت است x n = آهمیشه داشته است دو ریشه متضاددر زوجn . با مثبت و منفی:

هر دو مناسب هستند.

به عنوان مثال، هنگام تصمیم گیری (یعنی دومیندرجه)

x 2 = 9

به دلایلی از ظاهر شگفت زده نمی شوید دوریشه x=±3؟ اینجا هم همینطوره و با هر دیگری زوجدرجه (چهارم، ششم، دهم و ...) به همین ترتیب خواهد بود. جزئیات در تاپیک در مورد است

از همین رو راه حل صحیحبه این صورت خواهد بود:

q 4 = 81

q= 3±

خوب، ما علائم را مرتب کردیم. کدام یک درست است - مثبت یا منفی؟ خوب، بیایید دوباره بیانیه مشکل را در جستجوی آن بخوانیم اطلاعات اضافی. البته ممکن است وجود نداشته باشد، اما در این مشکل چنین اطلاعاتی وجود دارد در دسترس.شرایط ما در متن ساده بیان می کند که یک پیشرفت با آن داده می شود مخرج مثبت

بنابراین پاسخ واضح است:

q = 3

اینجا همه چیز ساده است. فکر می کنید اگر بیان مشکل به این صورت باشد چه اتفاقی می افتد:

جمله پنجم یک تصاعد هندسی 162 است و جمله اول این پیشروی 2 است. مخرج پیشرفت را پیدا کنید.

تفاوت در چیست؟ آره! در شرایط هیچ چیهیچ اشاره ای به علامت مخرج نشده است. نه مستقیم و نه غیر مستقیم. و در اینجا مشکل از قبل وجود داشت دو راه حل!

q = 3 و q = -3

بله بله! هم با مثبت و هم با منفی.) از نظر ریاضی، این واقعیت به این معنی است که وجود دارد دو پیشرفت، که متناسب با شرایط مشکل است. و هر کدام مخرج خاص خود را دارند. فقط برای سرگرمی، تمرین کنید و پنج ترم اول هر کدام را بنویسید.)

حالا بیایید پیدا کردن شماره عضو را تمرین کنیم. این مشکل سخت ترین است، بله. بلکه خلاق تر است.)

با توجه به یک پیشرفت هندسی:

3; 6; 12; 24; …

چه عددی در این پیشروی عدد 768 است؟

گام اول همچنان همان است: فرمول را بنویسnعضو ام!

b n = ب 1 · qn -1

و اکنون، طبق معمول، داده‌هایی را که می‌دانیم جایگزین آن می‌کنیم. هوم... کار نمیکنه! جمله اول کجا، مخرج کجا، بقیه کجا؟!

کجا، کجا... چرا به چشم نیاز داریم؟ مژه های خود را تکان می دهید؟ این بار پیشرفت به صورت مستقیم به ما داده می شود دنباله هاآیا می توانیم اولین عضو را ببینیم؟ می بینیم! این یک سه گانه است (b 1 = 3). در مورد مخرج چطور؟ ما هنوز آن را نمی بینیم، اما شمارش آن بسیار آسان است. البته اگر بفهمی...

پس حساب می کنیم. به طور مستقیم با توجه به معنای یک پیشرفت هندسی: ما هر یک از اصطلاحات آن را (به جز اولی) می گیریم و بر مورد قبلی تقسیم می کنیم.

حداقل اینجوری:

q = 24/12 = 2

دیگر چه می دانیم؟ ما همچنین مقداری از این پیشروی برابر با 768 را می دانیم. تحت تعدادی n:

b n = 768

ما شماره او را نمی دانیم، اما وظیفه ما دقیقاً یافتن او است.) بنابراین ما به دنبال آن هستیم. ما قبلاً تمام داده های لازم برای جایگزینی را در فرمول دانلود کرده ایم. بدون اینکه خودت بدانی.)

در اینجا ما جایگزین می کنیم:

768 = 3 2n -1

بیایید موارد ابتدایی را انجام دهیم - هر دو طرف را بر سه تقسیم کنیم و معادله را به شکل معمول بازنویسی کنیم: مجهول در سمت چپ است، معلوم در سمت راست است.

ما گرفتیم:

2 n -1 = 256

این یک معادله جالب است. ما باید "n" را پیدا کنیم. چی، غیر معمول؟ بله، من بحث نمی کنم. در واقع، این ساده ترین چیز است. به این دلیل نامیده می شود که مجهول (در در این مورداین شماره n) هزینه ها در نشانگردرجه.

در مرحله آشنایی با پیشرفت هندسی (این کلاس نهم) معادلات نماییآنها به شما یاد نمی دهند که چگونه تصمیم بگیرید، بله... این موضوع برای دبیرستان است. اما هیچ چیز ترسناکی وجود ندارد. حتی اگر نمی دانید چنین معادلاتی چگونه حل می شوند، بیایید سعی کنیم ما را پیدا کنیم n، با منطق ساده و عقل سلیم هدایت می شود.

بیا شروع به صحبت کنیم. در سمت چپ ما یک دوش داریم تا حدی مشخص. ما هنوز نمی دانیم که این مدرک دقیقاً چیست، اما این ترسناک نیست. اما به یقین می دانیم که این مدرک برابر با 256 است! بنابراین ما به یاد می آوریم که تا چه حد دو به ما 256 می دهد. آیا یادتان هست؟ آره! که در هشتمدرجه!

256 = 2 8

اگر به خاطر نمی آورید یا در تشخیص درجه ها مشکل دارید، این نیز اشکالی ندارد: فقط به ترتیب مربع دو، مکعب، چهارم، پنجم و غیره. انتخاب، در واقع، اما در این سطح بسیار خوب کار خواهد کرد.

به هر شکلی، ما دریافت می کنیم:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

بنابراین 768 است نهمعضو پیشرفت ما همین، مشکل حل شد.)

پاسخ: 9

چی؟ حوصله سر بر؟ از چیزهای ابتدایی خسته شده اید؟ موافق. و من هم همینطور بیایید به سطح بعدی برویم.)

وظایف پیچیده تر

حالا بیایید مشکلات چالش برانگیزتر را حل کنیم. خیلی جالب نیست، اما مواردی که برای رسیدن به پاسخ نیاز به کمی کار دارند.

مثلا این یکی

جمله دوم یک تصاعد هندسی را در صورتی بیابید که جمله چهارم آن 24- و جمله هفتم آن 192 باشد.

این یک کلاسیک از این ژانر است. دو اصطلاح مختلف از پیشرفت شناخته شده است، اما باید یک اصطلاح دیگر پیدا کرد. علاوه بر این، همه اعضا همسایه نیستند. که در ابتدا گیج کننده است، بله ...

همانطور که در، برای حل چنین مشکلاتی ما دو روش را در نظر خواهیم گرفت. روش اول جهانی است. جبری. بی عیب و نقص با هر داده منبع کار می کند. بنابراین از اینجا شروع خواهیم کرد.)

ما هر اصطلاح را با توجه به فرمول توصیف می کنیم nعضو ام!

همه چیز دقیقاً مانند یک پیشروی حسابی است. فقط این بار با آن کار می کنیم یکی دیگرفرمول کلی این همه است.) اما اصل یکسان است: ما می گیریم و یکی یکیما داده های اولیه خود را در فرمول ترم n جایگزین می کنیم. برای هر عضو - خود آنها.

برای ترم چهارم می نویسیم:

ب 4 = ب 1 · q 3

-24 = ب 1 · q 3

بخور یک معادله آماده است.

برای ترم هفتم می نویسیم:

ب 7 = ب 1 · q 6

192 = ب 1 · q 6

در مجموع، ما دو معادله برای همان پیشرفت .

ما یک سیستم از آنها جمع آوری می کنیم:

علیرغم ظاهر تهدید آمیز آن، این سیستم بسیار ساده است. اکثر راه آشکارراه حل ها جایگزینی معمولی هستند. بیان می کنیم ب 1 از معادله بالا و جایگزین آن به پایین:

پس از کمی دقت در معادله پایین (کاهش توان ها و تقسیم بر 24-)، به دست می آید:

q 3 = -8

اتفاقاً همین معادله را می توان به روش ساده تری به دست آورد! کدام یک؟ حالا راز دیگری را به شما نشان خواهم داد، اما بسیار زیبا، قدرتمند و راه مفیدراه حل هایی برای چنین سیستم هایی چنین سیستم هایی که معادلات آنها شامل فقط کار می کندحداقل در یکی. تماس گرفت روش تقسیمیک معادله به معادله دیگر

بنابراین، ما یک سیستم پیش روی خود داریم:

در هر دو معادله سمت چپ - کار، و در سمت راست فقط یک عدد است. این خیلی نشانه خوب.) بگیریم و... معادله پایینی را تقسیم بر بالا! یعنی چی، بیایید یک معادله را بر معادله دیگر تقسیم کنیم؟بسیار ساده. آن را بگیریم سمت چپیک معادله (پایین تر) و تقسیم کنیداو در سمت چپمعادله دیگر (بالا). با سمت راستمشابه: سمت راست یک معادله تقسیم کنیدبر سمت راستیکی دیگر.

کل فرآیند تقسیم به این شکل است:

اکنون، با کاهش هر چیزی که می توان کاهش داد، دریافت می کنیم:

q 3 = -8

چه چیزی در مورد این روش خوب است؟ بله، زیرا در فرآیند چنین تقسیم بندی می توان همه چیز بد و ناخوشایند را با خیال راحت کاهش داد و یک معادله کاملاً بی ضرر باقی می ماند! به همین دلیل است که داشتن آن بسیار مهم است فقط ضربحداقل در یکی از معادلات سیستم. هیچ ضربی وجود ندارد - چیزی برای کاهش وجود ندارد، بله ...

به طور کلی، این روش (مانند بسیاری از روش های غیر پیش پا افتاده دیگر حل سیستم ها) حتی شایسته یک درس جداگانه است. من قطعا آن را با جزئیات بیشتر بررسی خواهم کرد. روزی…

با این حال، مهم نیست که دقیقاً چگونه سیستم را حل کنید، در هر صورت، اکنون باید معادله حاصل را حل کنیم:

q 3 = -8

مشکلی نیست: ریشه مکعب را استخراج کنید و کارتان تمام شد!

لطفاً توجه داشته باشید که هنگام استخراج نیازی به قرار دادن یک مثبت/منفی در اینجا نیست. ما یک ریشه از درجه فرد (سوم) داریم. و پاسخ نیز یکسان است، بله.)

بنابراین، مخرج پیشرفت پیدا شده است. منهای دو عالی! این روند ادامه دارد.)

برای جمله اول (مثلاً از معادله بالا) به دست می آوریم:

عالی! عبارت اول را می دانیم، مخرج آن را می دانیم. و اکنون ما این فرصت را داریم که هر عضوی از پیشرفت را پیدا کنیم. از جمله دومی.)

برای ترم دوم همه چیز بسیار ساده است:

ب 2 = ب 1 · q= 3·(-2) = -6

پاسخ: -6

بنابراین، روش جبریما راه حل های مشکل را تجزیه کرده ایم. دشوار؟ نه واقعا موافقم طولانی و خسته کننده؟ بله قطعا. اما گاهی اوقات می توانید میزان کار را به میزان قابل توجهی کاهش دهید. برای این وجود دارد روش گرافیکیخوب قدیمی و برای ما آشنا.)

بیایید یک مشکل ترسیم کنیم!

آره! دقیقا. دوباره پیشرفت خود را بر روی محور اعداد به تصویر می کشیم. پیروی از خط کش لازم نیست، لازم نیست بایستید فواصل مساویبین اصطلاحات (که اتفاقاً یکسان نخواهد بود، زیرا پیشرفت هندسی است!)، اما به سادگی به صورت شماتیکبیایید دنباله خود را ترسیم کنیم.

من اینجوری گرفتم:

حالا به تصویر نگاه کنید و متوجه شوید. چند عامل یکسان "q" از هم جدا می شوند چهارمو هفتماعضا؟ درست است، سه!

بنابراین، ما داریم هر حقیبنویس:

-24·q 3 = 192

از اینجا به راحتی می توان q را پیدا کرد:

q 3 = -8

q = -2

این عالی است، ما قبلاً مخرج آن را در جیب خود داریم. حالا بیایید دوباره به تصویر نگاه کنیم: چه تعداد از این مخرج ها بین آنها قرار دارد دومینو چهارماعضا؟ دو! بنابراین برای ثبت ارتباط بین این عبارت ها مخرج را می سازیم مربع.

پس می نویسیم:

ب 2 · q 2 = -24 ، جایی که ب 2 = -24/ q 2

مخرج پیدا شده خود را با عبارت b 2 جایگزین می کنیم، بشماریم و بدست آوریم:

پاسخ: -6

همانطور که می بینید، همه چیز بسیار ساده تر و سریعتر از سیستم است. علاوه بر این، در اینجا ما اصلاً نیازی به شمارش اولین ترم نداشتیم! اصلا.)

در اینجا یک راه نور ساده و بصری وجود دارد. اما یک عیب جدی نیز دارد. حدس زدی؟ آره! این فقط برای قطعات بسیار کوتاه پیشرفت خوب است. آنهایی که فاصله بین اعضای مورد علاقه ما خیلی زیاد نیست. اما در همه موارد دیگر ترسیم یک تصویر از قبل دشوار است، بله... سپس ما مشکل را به صورت تحلیلی، از طریق سیستم حل می کنیم.) و سیستم ها چیزهای جهانی هستند. آنها می توانند هر عددی را مدیریت کنند.

چالش حماسی دیگر:

جمله دوم پیشرفت هندسی 10 بیشتر از جمله اول است و جمله سوم 30 بیشتر است. بیشتر از دومی. مخرج پیشرفت را پیدا کنید.

چی، باحال؟ اصلا! همه یکسان. دوباره بیان مسئله را به جبر خالص ترجمه می کنیم.

1) هر اصطلاح را طبق فرمول توصیف می کنیم nعضو ام!

ترم دوم: b 2 = b 1 q

ترم سوم: b 3 = b 1 q 2

2) ارتباط بین اعضا را از بیان مشکل یادداشت می کنیم.

شرط را می خوانیم: جمله دوم پیشرفت هندسی 10 بزرگتر از جمله اول است.بس کن، این ارزشمند است!

پس می نویسیم:

ب 2 = ب 1 +10

و ما این عبارت را به ریاضیات محض ترجمه می کنیم:

ب 3 = ب 2 +30

دو معادله به دست آوردیم. بیایید آنها را در یک سیستم ترکیب کنیم:

سیستم ساده به نظر می رسد. اما شاخص های بسیار زیادی برای حروف وجود دارد. بیایید به جای عبارت دوم و سوم عبارات آنها را از طریق جمله اول و مخرج جایگزین کنیم! بیهوده بود که آنها را نقاشی کردیم؟

ما گرفتیم:

اما چنین سیستمی دیگر هدیه نیست، بله... چگونه این را حل کنیم؟ متأسفانه، هیچ طلسم مخفی جهانی برای حل پیچیده وجود ندارد غیر خطیهیچ سیستمی در ریاضیات وجود ندارد و نمی تواند وجود داشته باشد. این خارق العاده است! اما اولین چیزی که هنگام تلاش برای شکستن چنین مهره سختی باید به ذهن شما برسد این است که بفهمید اما آیا یکی از معادلات سیستم قابل تقلیل نیست نمای زیبا، به عنوان مثال اجازه می دهد یکی از متغیرها را به راحتی بیان کند؟

بیایید آن را بفهمیم. معادله اول سیستم به وضوح ساده تر از معادله دوم است. ما او را شکنجه خواهیم کرد.) آیا نباید از همان معادله اول تلاش کنیم چیزیبیان از طریق چیزی؟از آنجایی که می خواهیم مخرج را پیدا کنیم q، در این صورت بیان آن برای ما بسیار سودمند خواهد بود ب 1 از طریق q.

بنابراین بیایید سعی کنیم این روش را با معادله اول با استفاده از معادله های خوب قدیمی انجام دهیم:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

همه! پس بیان کردیم غیر ضروریمتغیر (b 1) را به ما بدهید لازم است(ق). بله، این ساده ترین عبارتی نیست که ما دریافت کردیم. نوعی کسری... اما سیستم ما در سطح مناسبی است، بله.)

معمول. ما میدانیم چه کنیم.

ما ODZ را می نویسیم (لزوما!) :

q ≠ 1

همه چیز را در مخرج (q-1) ضرب می کنیم و همه کسرها را باطل می کنیم:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

همه چیز را بر ده تقسیم می کنیم، براکت ها را باز می کنیم و همه چیز را از سمت چپ جمع می کنیم:

q 2 – 4 q + 3 = 0

نتیجه را حل می کنیم و دو ریشه می گیریم:

q 1 = 1

q 2 = 3

تنها یک پاسخ نهایی وجود دارد: q = 3 .

جواب: 3

همانطور که می بینید، مسیر حل اکثر مسائل مربوط به فرمول ترم n یک پیشروی هندسی همیشه یکسان است: خواندن با دقتشرط مسئله و با استفاده از فرمول n ام کل را ترجمه می کنیم اطلاعات مفیدبه جبر محض

برای مثال:

1) ما طبق فرمول هر عبارتی را که در مسئله آورده شده است به طور جداگانه شرح می دهیمnعضو ام

2) از عبارت problem ما ارتباط بین اعضا را به آن ترجمه می کنیم فرم ریاضی. ما یک معادله یا سیستم معادلات می سازیم.

3) معادله یا سیستم معادلات حاصل را حل می کنیم، پارامترهای مجهول پیشرفت را پیدا می کنیم.

4) در صورت وجود پاسخ مبهم، در جستجوی اطلاعات اضافی (در صورت وجود) شرایط تکلیف را با دقت مطالعه کنید. ما همچنین پاسخ دریافتی را با شرایط DL (در صورت وجود) بررسی می کنیم.

اکنون بیایید مشکلات اصلی را که اغلب منجر به خطا در فرآیند حل مشکلات پیشروی هندسی می شوند، فهرست کنیم.

1. حساب ابتدایی. عملیات با کسر و اعداد منفی.

2. اگر حداقل یکی از این سه نقطه مشکل داشته باشد، به ناچار در این تاپیک دچار اشتباه خواهید شد. متأسفانه ... پس تنبل نباشید و آنچه در بالا ذکر شد را تکرار کنید. و پیوندها را دنبال کنید - بروید. گاهی اوقات کمک می کند.)

فرمول های اصلاح شده و مکرر

حالا بیایید به چند مشکل معمولی امتحان با ارائه ای کمتر آشنا از شرایط نگاه کنیم. بله، بله، درست حدس زدید! این اصلاح شدهو عود کنندهفرمول های ترم n. ما قبلاً با چنین فرمول هایی روبرو شده ایم و در آن کار کرده ایم پیشرفت حسابی. اینجا همه چیز شبیه است. اصل موضوع همین است.

به عنوان مثال، این مشکل از OGE:

پیشرفت هندسیتوسط فرمول ارائه شده است b n = 3 2 n . مجموع جمله اول و چهارم آن را بیابید.

این بار پیشرفت برای ما کاملاً معمول نیست. در قالب نوعی فرمول. پس چی؟ این فرمول است همچنین یک فرمولnعضو ام!من و شما می دانیم که فرمول ترم n را می توان هم به صورت کلی، با استفاده از حروف و هم برای نوشت پیشرفت خاص. با خاصجمله اول و مخرج

در مورد ما، در واقع، یک فرمول اصطلاح کلی برای یک پیشروی هندسی با پارامترهای زیر به ما داده می شود:

ب 1 = 6

q = 2

بیایید بررسی کنیم؟) بیایید فرمول ترم n را به صورت کلی بنویسیم و آن را جایگزین کنیم. ب 1 و q. ما گرفتیم:

b n = ب 1 · qn -1

b n= 6 2n -1

ما با استفاده از فاکتورگیری و ویژگی های توان ها ساده می کنیم و به دست می آوریم:

b n= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

همانطور که می بینید، همه چیز منصفانه است. اما هدف ما نشان دادن اشتقاق یک فرمول خاص نیست. درست است، انحراف غزلی. صرفاً برای درک.) هدف ما حل مشکل طبق فرمولی است که در شرایط به ما داده شده است. متوجه شدید؟) بنابراین ما مستقیماً با فرمول اصلاح شده کار می کنیم.

ترم اول را حساب می کنیم. جایگزین کنیم n=1 به فرمول کلی:

ب 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

مثل این. به هر حال، من تنبل نخواهم شد و یک بار دیگر توجه شما را به یک اشتباه معمولی در محاسبه ترم اول جلب می کنم. به فرمول نگاه نکنید b n= 3 2n، بلافاصله عجله کنید بنویسید که ترم اول یک سه است! این یک اشتباه فاحش است، بله...)

بیا ادامه بدهیم. جایگزین کنیم n=4 و جمله چهارم را بشمارید:

ب 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

و در نهایت مقدار مورد نیاز را محاسبه می کنیم:

ب 1 + ب 4 = 6+48 = 54

جواب: 54

مشکل دیگر.

پیشرفت هندسی با شرایط زیر مشخص می شود:

ب 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

جمله چهارم پیشرفت را پیدا کنید.

در اینجا پیشرفت با یک فرمول مکرر داده می شود. بسیار خوب.) نحوه کار با این فرمول - ما هم می دانیم

پس عمل می کنیم. گام به گام.

1) دو بشمار متوالیعضو پیشرفت

اولین ترم قبلاً به ما داده شده است. منهای هفت. اما ترم بعدی، دوم، به راحتی با استفاده از فرمول عود قابل محاسبه است. البته اگر اصل عملکرد آن را درک کنید.)

بنابراین ترم دوم را حساب می کنیم طبق اول معروف:

ب 2 = 3 ب 1 = 3·(-7) = -21

2) مخرج پیشرفت را محاسبه کنید

مشکلی هم نداره راست، بیایید تقسیم کنیم دومیندیک در اولین.

ما گرفتیم:

q = -21/(-7) = 3

3) فرمول را بنویسیدnعضو ام به شکل معمولی و محاسبه عضو مورد نیاز.

بنابراین، ما عبارت اول را می دانیم و مخرج را نیز می دانیم. پس می نویسیم:

b n= -7·3n -1

ب 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

پاسخ: -189

همانطور که می بینید، کار با چنین فرمول هایی برای یک پیشروی هندسی اساساً هیچ تفاوتی با پیشرفت حسابی ندارد. فقط درک آن مهم است جوهر کلیو معنی این فرمول ها خوب، شما همچنین باید معنای پیشرفت هندسی را درک کنید، بله.) و سپس هیچ اشتباه احمقانه ای وجود نخواهد داشت.

خوب، بیایید خودمان تصمیم بگیریم؟)

کارهای بسیار ابتدایی برای گرم کردن:

1. با توجه به پیشرفت هندسی که در آن ب 1 = 243، الف q = -2/3. جمله ششم پیشرفت را پیدا کنید.

2. عبارت کلی پیشرفت هندسی با فرمول داده می شود b n = 5∙2 n +1 . عدد آخرین جمله سه رقمی این پیشروی را پیدا کنید.

3. پیشرفت هندسی با شرایط زیر داده می شود:

ب 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

جمله پنجم پیشرفت را پیدا کنید.

کمی پیچیده تر:

4. با توجه به یک پیشرفت هندسی:

ب 1 =2048; q =-0,5

ششمین جمله منفی برابر است با چیست؟

چه چیزی فوق العاده سخت به نظر می رسد؟ اصلا. منطق و درک معنای پیشرفت هندسی شما را نجات می دهد. خوب، فرمول ترم n، البته.

5. جمله سوم پیشرفت هندسی 14- و جمله هشتم 112 است. مخرج پیشروی را بیابید.

6. مجموع جمله های اول و دوم یک تصاعد هندسی 75 و مجموع جمله های دوم و سوم 150 است. جمله ششم پیشروی را بیابید.

پاسخ ها (به هم ریخته): 6; -3888; -1؛ 800; -32; 448.

این تقریباً تمام است. تنها کاری که باید انجام دهیم این است که شمارش را یاد بگیریم مجموع n جمله اول یک پیشرفت هندسیبله کشف کنید پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش استو مقدار آن اتفاقاً یک چیز بسیار جالب و غیر معمول! در درس‌های بعدی بیشتر در این باره توضیح داده می‌شود.)

ریاضیات چیستمردم طبیعت و خودشان را کنترل می کنند.

ریاضیدان شوروی، آکادمیک A.N. کولموگروف

پیشرفت هندسی

در کنار مسائل مربوط به پیشرفت های حسابی، مسائل مربوط به مفهوم پیشرفت هندسی نیز در کنکور ریاضی رایج است. برای حل موفقیت آمیز چنین مسائلی، باید ویژگی های پیشروی های هندسی را بدانید و مهارت های خوبی در استفاده از آنها داشته باشید.

این مقاله به ارائه خصوصیات اساسی پیشروی هندسی اختصاص دارد. نمونه هایی از حل مسائل معمولی نیز در اینجا ارائه شده است., وام گرفته شده از تکالیف کنکور ریاضی.

اجازه دهید ابتدا ویژگی های اساسی پیشرفت هندسی را یادداشت کنیم و مهم ترین فرمول ها و عبارات را به یاد آوریم., مربوط به این مفهوم

تعریف.دنباله اعدادی را پیشروی هندسی می نامند که هر عددی که از عدد دوم شروع می شود با عدد قبلی برابر باشد و در همان عدد ضرب شود. عدد را مخرج یک تصاعد هندسی می گویند.

برای پیشرفت هندسیفرمول ها معتبر هستند

, (1)

جایی که . فرمول (1) فرمول عبارت کلی یک پیشروی هندسی نامیده می‌شود و فرمول (2) نشان‌دهنده ویژگی اصلی یک پیشرفت هندسی است: هر جمله از پیشرفت با میانگین هندسی عبارت‌های همسایه و .

توجه داشته باشید، که دقیقاً به دلیل همین ویژگی است که پیشرفت مورد بحث "هندسی" نامیده می شود.

فرمول های (1) و (2) فوق به صورت زیر تعمیم داده می شوند:

, (3)

برای محاسبه مقداراولین شرایط پیشرفت هندسیفرمول اعمال می شود

اگر نشان دهیم، پس

جایی که . از آنجایی که فرمول (6) تعمیم فرمول (5) است.

در صورتی که و پیشرفت هندسیبی نهایت در حال کاهش است. برای محاسبه مقداراز تمام عبارات یک پیشرفت هندسی بی‌نهایت کاهشی، از فرمول استفاده می‌شود

. (7)

مثلا ، با استفاده از فرمول (7) می توانیم نشان دهیم، چی

جایی که . این برابری ها از فرمول (7) به دست می آیند که، (برابری اول) و، (برابری دوم).

قضیه.اگر پس از آن

اثبات اگر پس از آن

قضیه ثابت می شود.

بیایید به بررسی نمونه هایی از حل مسائل در موضوع "پیشرفت هندسی" بپردازیم.

مثال 1.با توجه به:، و. پیدا کردن .

راه حل.اگر فرمول (5) را اعمال کنیم، پس

پاسخ: .

مثال 2.بگذار باشد. پیدا کردن .

راه حل.از آنجایی که و از فرمول های (5)، (6) استفاده می کنیم و یک سیستم معادلات به دست می آوریم

اگر معادله دوم سیستم (9) بر معادله اول تقسیم شود، سپس یا . از این نتیجه می شود که . بیایید دو مورد را در نظر بگیریم.

1. اگر، سپس از معادله اول سیستم (9) داریم.

2. اگر، پس.

مثال 3.اجازه دهید، و. پیدا کردن .

راه حل.از فرمول (2) نتیجه می شود که یا . از آن پس یا .

با شرط. با این حال، بنابراین. از آنجایی که و سپس در اینجا ما یک سیستم معادلات داریم

اگر معادله دوم سیستم بر معادله اول تقسیم شود، یا .

از آنجایی که معادله یک ریشه مناسب منحصر به فرد دارد. در این حالت از معادله اول سیستم نتیجه می شود.

با در نظر گرفتن فرمول (7) بدست می آوریم.

پاسخ: .

مثال 4.داده شده: و . پیدا کردن .

راه حل.از آن به بعد.

از آن پس یا

طبق فرمول (2) داریم . در این راستا از برابری (10) یا .

با این حال، به شرط، بنابراین.

مثال 5.مشخص است که . پیدا کردن .

راه حل. طبق قضیه دو برابری داریم

از آن پس یا . چون پس .

پاسخ: .

مثال 6.داده شده: و . پیدا کردن .

راه حل.با در نظر گرفتن فرمول (5) بدست می آوریم

از آن به بعد. از آن زمان و سپس .

مثال 7.بگذار باشد. پیدا کردن .

راه حل.با توجه به فرمول (1) می توانیم بنویسیم

بنابراین، داریم یا . معلوم است که و , بنابراین و .

پاسخ: .

مثال 8.مخرج یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش را پیدا کنید اگر

و .

راه حل. از فرمول (7) به دست می آیدو . از اینجا و از شرایط مسئله یک سیستم معادلات به دست می آوریم

اگر معادله اول سیستم مربع باشد, و سپس معادله به دست آمده را بر معادله دوم تقسیم کنید، سپس دریافت می کنیم

یا .

پاسخ: .

مثال 9.تمام مقادیری را که دنباله , , یک پیشرفت هندسی است را بیابید.

راه حل.اجازه دهید، و. با توجه به فرمول (2) که ویژگی اصلی یک پیشروی هندسی را تعریف می کند، می توانیم بنویسیم یا .

از اینجا معادله درجه دوم را بدست می آوریم, که ریشه آن استو .

بیایید بررسی کنیم: اگرو سپس و اگر، پس، و .

در مورد اول داریمو , و در دوم – و .

پاسخ: ، .

مثال 10.معادله را حل کنید

, (11)

کجا و .

راه حل. سمت چپمعادله (11) مجموع یک پیشروی هندسی نزولی نامتناهی است که در آن و، مشروط به: و .

از فرمول (7) به دست می آید، چی . در این راستا معادله (11) شکل می گیردیا . ریشه مناسب معادله درجه دوماست

پاسخ: .

مثال 11.پ دنباله ای از اعداد مثبتیک پیشرفت حسابی را تشکیل می دهد، آ - پیشرفت هندسی، چه ربطی داره . پیدا کردن .

راه حل.زیرا توالی محاسباتی، آن (ویژگی اصلی پیشرفت حسابی). زیرا، سپس یا . این دلالت می کنه که ، که پیشروی هندسی فرم دارد. طبق فرمول (2)، سپس آن را یادداشت می کنیم.

از آن زمان و سپس . در این مورد، بیانشکل یا . به شرط، بنابراین از معادلهما یک راه حل منحصر به فرد برای مشکل مورد بررسی به دست می آوریم، یعنی .

پاسخ: .

مثال 12.مجموع را محاسبه کنید

. (12)

راه حل. بیایید هر دو طرف تساوی (12) را در 5 ضرب کنیم و بدست آوریم

اگر (12) را از عبارت بدست آمده کم کنیم، آن

یا .

برای محاسبه، مقادیر را با فرمول (7) جایگزین می کنیم و بدست می آوریم. از آن به بعد.

پاسخ: .

نمونه هایی از حل مسئله که در اینجا آورده شده است برای متقاضیان در هنگام آمادگی برای کنکور مفید خواهد بود. برای مطالعه عمیق تر روش های حل مسئله, مربوط به پیشرفت هندسی, می تواند به کار رود وسایل کمک آموزشیاز فهرست ادبیات توصیه شده

1. مجموعه مسائل ریاضی برای متقاضیان کالج / ویرایش. M.I. اسکانوی. – م.: میر و آموزش، 1392. – 608 ص.

2. Suprun V.P. ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستانی: بخش های اضافی برنامه آموزشی مدرسه. - M.: Lenand / URSS، 2014. – 216 ص.

3. Medynsky M.M. دوره کاملریاضیات ابتدایی در مسائل و تمرینات. کتاب 2: دنباله های اعدادو پیشرفت - م.: ویرایش، 2015. – 208 ص.

هنوز سوالی دارید؟

برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.

وب سایت، هنگام کپی کامل یا جزئی مطالب، پیوند به منبع اصلی مورد نیاز است.

پیشرفت هندسیدر ریاضیات در مقایسه با حساب اهمیت کمتری ندارد. پیشروی هندسی دنباله ای از اعداد b1، b2،...، b[n] است که هر جمله بعدی از ضرب قبلی در یک عدد ثابت به دست می آید. این عدد که مشخص کننده سرعت رشد یا کاهش پیشرفت نیز می باشد نامیده می شود مخرج پیشرفت هندسیو نشان دهند

برای مشخص کردن کامل یک پیشروی هندسی، علاوه بر مخرج، باید اولین جمله آن را دانست یا تعیین کرد. برای ارزش مثبتپیشروی مخرج یک دنباله یکنواخت است و اگر این دنباله اعداد به طور یکنواخت کاهشی و اگر یکنواخت افزایش یابد. موردی که مخرج برابر با یک باشد، در عمل در نظر گرفته نمی شود، زیرا ما دنباله ای از اعداد یکسان داریم و جمع آنها هیچ فایده ای ندارد.

اصطلاح کلی پیشرفت هندسیبا فرمول محاسبه می شود

مجموع n جمله اول یک پیشروی هندسیبا فرمول تعیین می شود

بیایید به راه حل های مسائل پیشروی هندسی کلاسیک نگاه کنیم. بیایید با ساده ترین موارد برای درک شروع کنیم.

مثال 1. جمله اول یک تصاعد هندسی 27 و مخرج آن 1/3 است. شش جمله اول پیشرفت هندسی را بیابید.

راه حل: اجازه دهید شرط مسئله را در فرم بنویسیم

برای محاسبات از فرمول ترم n یک پیشرفت هندسی استفاده می کنیم

بر اساس آن، ما شرایط ناشناخته پیشرفت را پیدا می کنیم

همانطور که می بینید، محاسبه شرایط یک پیشرفت هندسی دشوار نیست. خود پیشرفت به این شکل خواهد بود

مثال 2. سه عبارت اول پیشرفت هندسی آورده شده است: 6; -12; 24. مخرج و جمله هفتم آن را بیابید.

راه حل: مخرج پیشروی هندسی را بر اساس تعریف آن محاسبه می کنیم

ما یک تصاعد هندسی متناوب به دست آورده ایم که مخرج آن برابر 2- است. ترم هفتم با استفاده از فرمول محاسبه می شود

این مشکل را حل می کند.

مثال 3. یک تصاعد هندسی با دو عبارت آن ارائه می شود . جمله دهم پیشرفت را پیدا کنید.

راه حل:

بیایید مقادیر داده شده را با استفاده از فرمول ها بنویسیم

طبق قوانین، ما باید مخرج را پیدا کنیم و سپس مقدار مورد نظر را جستجو کنیم، اما برای جمله دهم داریم

همین فرمول را می توان بر اساس دستکاری های ساده با داده های ورودی به دست آورد. ترم ششم سریال را بر دیگری تقسیم می کنیم و در نتیجه به دست می آید

اگر مقدار حاصل در جمله ششم ضرب شود، عدد دهم را بدست می آوریم

بنابراین، برای چنین وظایفی، با استفاده از تبدیل های ساده به راه سریعمی توانید راه حل مناسب را پیدا کنید

مثال 4. پیشروی هندسی با فرمول های مکرر داده می شود

مخرج پیشروی هندسی و مجموع شش جمله اول را پیدا کنید.

راه حل:

بیایید داده های داده شده را در قالب یک سیستم معادلات بنویسیم

مخرج را با تقسیم معادله دوم بر معادله اول بیان کنید

بیایید جمله اول پیشروی را از معادله اول پیدا کنیم

اجازه دهید پنج عبارت زیر را محاسبه کنیم تا مجموع پیشرفت هندسی را به دست آوریم

پیشروی هندسی همراه با پیشروی حسابی از سری اعداد مهمی است که در درس جبر مدرسه در پایه نهم مطالعه می شود. در این مقاله به مخرج یک پیشروی هندسی و چگونگی تأثیر ارزش آن بر خواص آن خواهیم پرداخت.

تعریف پیشرفت هندسی

ابتدا اجازه دهید تعریف این سری اعداد را ارائه دهیم. پیشروی هندسی مجموعه ای از اعداد گویا است که از ضرب متوالی اولین عنصر آن در عددی ثابت به نام مخرج تشکیل می شود.

برای مثال اعداد سری 3، 6، 12، 24، ... یک تصاعد هندسی هستند، زیرا اگر 3 (اول عنصر) را در 2 ضرب کنید، 6 می شود. اگر 6 را در 2 ضرب کنید، به دست می آید. 12 و غیره.

اعضای دنباله مورد بررسی معمولا با نماد ai نشان داده می شوند، جایی که i یک عدد صحیح است که نشان دهنده تعداد عنصر در سری است.

تعریف فوق از پیشرفت را می توان به زبان ریاضی به صورت زیر نوشت: an = bn-1 * a1، که در آن b مخرج است. بررسی این فرمول آسان است: اگر n = 1، سپس b1-1 = 1، و ما a1 = a1 را دریافت می کنیم. اگر n = 2 باشد، an = b * a1، و دوباره به تعریف سری اعداد مورد نظر می رسیم. استدلال مشابه را می توان برای مقادیر بزرگ n ادامه داد.

مخرج پیشرفت هندسی

عدد b به طور کامل مشخص می کند که کل سری اعداد چه کاراکتری خواهد داشت. مخرج b می تواند مثبت، منفی یا بزرگتر یا کمتر از یک باشد. همه گزینه های بالا به دنباله های مختلفی منجر می شوند:

• b > 1. یک سری اعداد گویا در حال افزایش است. به عنوان مثال، 1، 2، 4، 8، ... اگر عنصر a1 منفی باشد، کل دنباله فقط در مقدار مطلق افزایش می یابد، اما بسته به علامت اعداد کاهش می یابد.
• b = 1. غالباً به این حالت پیشرفت نمی گویند، زیرا یک سری معمولی از اعداد گویا یکسان وجود دارد. به عنوان مثال، -4، -4، -4.

فرمول برای مقدار

قبل از اینکه به بررسی مسائل خاص با استفاده از مخرج نوع پیشرفت مورد بررسی بپردازیم، یک فرمول مهم برای مجموع n عنصر اول آن باید ارائه شود. فرمول به نظر می رسد: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

اگر دنباله بازگشتی عبارات پیشرفت را در نظر بگیرید، می توانید این عبارت را خودتان بدست آورید. همچنین توجه داشته باشید که در فرمول بالا فقط کافی است عنصر اول و مخرج را بدانید تا مجموع تعداد دلخواه عبارت را بیابید.

توالی بی نهایت در حال کاهش

در بالا توضیح داده شد که چیست. حالا با دانستن فرمول Sn، بیایید آن را روی این سری اعداد اعمال کنیم. از آنجایی که هر عددی که مدول آن از 1 تجاوز نمی کند، وقتی به توان های بزرگ افزایش می یابد، به صفر میل می کند، یعنی b∞ => 0 اگر -1 باشد.

از آنجایی که تفاوت (1 - b) بدون توجه به مقدار مخرج همیشه مثبت خواهد بود، علامت مجموع یک پیشروی هندسی بی‌نهایت در حال کاهش S∞ به‌طور منحصربه‌فردی با علامت اولین عنصر آن a1 تعیین می‌شود.

اکنون بیایید به چندین مشکل نگاه کنیم که در آن نحوه اعمال دانش به دست آمده را برای اعداد خاص نشان خواهیم داد.

مسئله شماره 1. محاسبه عناصر مجهول پیشرفت و جمع

با توجه به یک تصاعد هندسی، مخرج پیشروی 2 و عنصر اول آن 3 است. جمله های هفتم و دهم آن برابر با چه چیزی خواهد بود و مجموع هفت عنصر اولیه آن چقدر است؟

شرایط مشکل بسیار ساده است و شامل استفاده مستقیم از فرمول های فوق می شود. بنابراین، برای محاسبه عنصر شماره n از عبارت an = bn-1 * a1 استفاده می کنیم. برای عنصر هفتم داریم: a7 = b6 * a1، با جایگزینی داده های شناخته شده، به دست می آوریم: a7 = 26 * 3 = 192. ما همین کار را برای ترم دهم انجام می دهیم: a10 = 29 * 3 = 1536.

بیایید از فرمول معروف برای جمع استفاده کنیم و این مقدار را برای 7 عنصر اول سری تعیین کنیم. ما داریم: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

مسئله شماره 2. تعیین مجموع عناصر دلخواه یک پیشروی

فرض کنید -2 برابر با مخرج پیشرفت هندسی bn-1 * 4 باشد که n یک عدد صحیح است. باید مجموع عنصر 5 تا 10 این مجموعه را شامل شود.

مشکل مطرح شده را نمی توان مستقیماً با استفاده از آن حل کرد فرمول های شناخته شده. به 2 روش قابل حل است روش های مختلف. برای تکمیل ارائه موضوع، هر دو را ارائه می کنیم.

روش 1. ایده ساده است: شما باید دو مجموع مربوط به عبارت اول را محاسبه کنید و سپس دیگری را از یکی کم کنید. مقدار کوچکتر را محاسبه می کنیم: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. اکنون مجموع بزرگتر را محاسبه می کنیم: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. توجه داشته باشید که در آخرین عبارت فقط 4 عبارت جمع شده است، زیرا 5 در حال حاضر در مقداری است که باید با توجه به شرایط مسئله محاسبه شود. در نهایت تفاوت را می گیریم: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

روش 2. قبل از جایگزینی اعداد و شمارش، می توانید فرمولی برای جمع بین m و n جمله سری مورد نظر بدست آورید. ما دقیقاً مانند روش 1 عمل می کنیم، فقط ابتدا با نمایش نمادین مقدار کار می کنیم. داریم: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . می توانید اعداد شناخته شده را در عبارت حاصل جایگزین کنید و نتیجه نهایی را محاسبه کنید: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

مسئله شماره 3. مخرج چیست؟

فرض کنید a1 = 2، مخرج پیشروی هندسی را پیدا کنید، مشروط بر اینکه مجموع نامتناهی آن 3 باشد، و معلوم است که این یک سری اعداد کاهشی است.

بر اساس شرایط مسئله، حدس زدن از کدام فرمول برای حل آن دشوار نیست. البته، برای مجموع پیشرفت بی نهایت کاهش می یابد. داریم: S∞ = a1 / (1 - b). از جایی که مخرج را بیان می کنیم: b = 1 - a1 / S∞. تنها چیزی که باقی می ماند جایگزین کردن است ارزش های شناخته شدهو عدد مورد نیاز را بدست آورید: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 یا -0.333(3). اگر به یاد داشته باشیم که برای این نوع دنباله مدول b نباید از 1 فراتر رود، می توانیم این نتیجه را به صورت کیفی بررسی کنیم. همانطور که مشاهده می شود، |-1 / 3|

کار شماره 4. بازیابی یک سری اعداد

اجازه دهید 2 عنصر از یک سری اعداد داده شود، به عنوان مثال، 5 برابر با 30 و 10 برابر با 60 است. لازم است کل سری را از این داده ها بازسازی کنیم، زیرا بدانیم که ویژگی های یک پیشرفت هندسی را برآورده می کند.

برای حل مشکل، ابتدا باید عبارت مربوط به هر عبارت شناخته شده را یادداشت کنید. داریم: a5 = b4 * a1 و a10 = b9 * a1. حالا عبارت دوم را بر اولی تقسیم کنید، به دست می آید: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. از اینجا، مخرج را با گرفتن ریشه پنجم از نسبت عبارات شناخته شده از بیان مسئله، b = 1.148698 تعیین می کنیم. عدد حاصل را در یکی از عبارات عنصر شناخته شده جایگزین می کنیم، به دست می آوریم: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

بنابراین، مخرج پیشرفت bn و پیشرفت هندسی bn-1 * 17.2304966 = an را پیدا کردیم که در آن b = 1.148698.

از پیشرفت های هندسی در کجا استفاده می شود؟

اگر کاربرد عملی این سری اعداد وجود نداشت، مطالعه آن به یک علاقه صرفا نظری کاهش می یافت. اما چنین برنامه ای وجود دارد.

در زیر 3 نمونه از معروف ترین آنها آورده شده است:

• پارادوکس زنو، که در آن آشیل زیرک نمی تواند به لاک پشت کند برسد، با استفاده از مفهوم دنباله ای از اعداد بی نهایت در حال کاهش حل می شود.
• اگر دانه های گندم را روی هر مربع صفحه شطرنج قرار دهید به طوری که در مربع اول 1 دانه، در دوم - 2، در سوم - 3 و غیره قرار دهید، سپس برای پر کردن تمام مربع های تخته به شما نیاز دارید. 18446744073709551615 دانه!
• در بازی "برج هانوی"، برای جابجایی دیسک ها از یک میله به میله دیگر، باید 2n - 1 عملیات انجام داد، یعنی تعداد آنها به صورت تصاعدی با تعداد n دیسک استفاده شده افزایش می یابد.

دستورالعمل ها

10, 30, 90, 270...

شما باید مخرج یک پیشرفت هندسی را پیدا کنید.
راه حل:

انتخاب 1. بیایید یک عبارت دلخواه از پیشروی (مثلا 90) را در نظر بگیریم و آن را بر عدد قبلی (30) تقسیم کنیم: 90/30=3.

اگر مجموع چند جمله یک تصاعد هندسی یا مجموع همه عبارت‌های یک تصاعد هندسی نزولی مشخص باشد، برای پیدا کردن مخرج پیشرفت، از فرمول‌های مناسب استفاده کنید:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q)، که در آن Sn مجموع n جمله اول پیشرفت هندسی و
S = b1/(1-q)، که در آن S مجموع یک پیشروی هندسی بی‌نهایت کاهشی است (مجموع تمام عبارات پیشرفت با مخرج کمتر از یک).
مثال.

جمله اول یک تصاعد هندسی نزولی برابر با یک و مجموع تمام عبارات آن برابر با دو است.

تعیین مخرج این پیشرفت الزامی است.
راه حل:

داده های مسئله را با فرمول جایگزین کنید. معلوم خواهد شد:
2=1/(1-q)، از آنجا – q=1/2.

پیشروی دنباله ای از اعداد است. در یک تصاعد هندسی، هر جمله بعدی از ضرب عبارت قبلی در عدد معینی q به دست می آید که مخرج پیشرفت نامیده می شود.

دستورالعمل ها

اگر دو عبارت هندسی مجاور b(n+1) و b(n) شناخته شده باشند، برای بدست آوردن مخرج، باید عدد بزرگتر را بر عدد قبل از آن تقسیم کنید: q=b(n+1)/b (ن). این از تعریف پیشرفت و مخرج آن به دست می آید. یک شرط مهمنابرابری جمله اول و مخرج پیشروی به صفر است، در غیر این صورت نامعین در نظر گرفته می شود.

بنابراین، روابط زیر بین شرایط پیشرفت برقرار می شود: b2=b1 q، b3=b2 q، ... , b(n)=b(n-1) q. با استفاده از فرمول b(n)=b1 q^(n-1)، هر جمله ای از پیشرفت هندسی که مخرج q و عبارت b1 در آن مشخص باشد را می توان محاسبه کرد. همچنین، هر یک از پیشرفت ها از نظر مدول با میانگین اعضای همسایه خود برابر است: |b(n)|=√، جایی که پیشروی به آن رسید.

آنالوگ یک پیشرفت هندسی ساده ترین است تابع نمایی y=a^x، جایی که x یک توان است، a یک عدد معین است. در این حالت، مخرج پیشروی با جمله اول منطبق است و برابر با عدد a است. مقدار تابع y را می توان به این صورت فهمید ترم نهماگر آرگومان x به صورت پیشروی در نظر گرفته شود عدد طبیعی n (شماره).

برای مجموع n جمله اول یک پیشرفت هندسی وجود دارد: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). این فرمولبرای q≠1 معتبر است. اگر q=1 باشد، مجموع n جمله اول با فرمول S(n)=n b1 محاسبه می شود. به هر حال، زمانی که q بزرگتر از یک و b1 مثبت باشد، پیشرفت نامیده می شود. اگر مخرج پیشروی در مقدار مطلق از یک تجاوز نکند، تصاعد نزولی نامیده می شود.

مورد خاصپیشرفت هندسی - پیشرفت هندسی بی نهایت کاهشی (b.u.g.p.). واقعیت این است که شرایط یک پیشرفت هندسی در حال کاهش بارها و بارها کاهش می یابد، اما هرگز به صفر نمی رسد. با وجود این، می توان مجموع تمام عبارات چنین پیشرفتی را یافت. با فرمول S=b1/(1-q) تعیین می شود. جمع n عضو بی نهایت هستند.

برای تجسم اینکه چگونه می توانید تعداد بی نهایت عدد را بدون بی نهایت اضافه کنید، یک کیک بپزید. نصفش رو قطع کن سپس نصف آن را نصف کنید و همینطور ادامه دهید. قطعاتی که به دست خواهید آورد چیزی بیش از اعضای یک پیشرفت هندسی در حال کاهش بی نهایت با مخرج 1/2 نیستند. اگر همه این قطعات را جمع کنید، کیک اصلی را دریافت خواهید کرد.

مشکلات هندسی هستند تنوع خاصتمریناتی که نیاز به تفکر فضایی دارند. اگر نمی توانید یک هندسی را حل کنید وظیفه، سعی کنید قوانین زیر را دنبال کنید.

دستورالعمل ها

شرایط کار را با دقت بخوانید، اگر چیزی را به خاطر نمی آورید یا متوجه نمی شوید، دوباره آن را بخوانید.

سعی کنید نوع مسائل هندسی را تعیین کنید، به عنوان مثال: مسائل محاسباتی، زمانی که شما نیاز به یافتن مقداری دارید، مشکلات مربوط به، نیاز به یک زنجیره منطقی از استدلال، مشکلات مربوط به ساخت و ساز با استفاده از قطب نما و خط کش. وظایف بیشتر نوع مختلط. وقتی نوع مشکل را فهمیدید، سعی کنید منطقی فکر کنید.

قضیه لازم را برای یک کار معین به کار ببرید، اما اگر شک دارید یا اصلاً گزینه ای ندارید، سعی کنید نظریه ای را که در مورد موضوع مربوطه مطالعه کرده اید به خاطر بسپارید.

همچنین راه حل مشکل را به صورت پیش نویس یادداشت کنید. سعی کنید از روش های شناخته شده برای بررسی صحت راه حل خود استفاده کنید.

راه حل مسئله را با دقت در دفترچه یادداشت خود پر کنید، بدون پاک کردن یا خط زدن، و مهمتر از همه - حل اولین مسائل هندسی ممکن است زمان و تلاش لازم را داشته باشد. با این حال، به محض اینکه بر این فرآیند مسلط شدید، شروع به کلیک کردن روی کارهایی مانند آجیل خواهید کرد و از آن لذت خواهید برد!

پیشروی هندسی دنباله ای از اعداد b1، b2، b3، ...، b(n-1)، b(n) است به طوری که b2=b1*q، b3=b2*q، ...، b(n ) =b(n-1)*q، b1≠0، q≠0. به عبارت دیگر، هر جمله از پیشروی با ضرب آن در مقداری مخرج غیر صفر پیشرفت q از جمله قبلی به دست می آید.

دستورالعمل ها

مشکلات پیشرفت اغلب با ترسیم و سپس دنبال کردن یک سیستم با توجه به جمله اول پیشرفت b1 و مخرج پیشرفت q حل می شود. برای ایجاد معادلات، یادآوری برخی فرمول ها مفید است.

چگونه عبارت n ام پیشرفت را از طریق جمله اول پیشروی و مخرج پیشروی بیان کنیم: b(n)=b1*q^(n-1).

اجازه دهید به طور جداگانه مورد |q| را در نظر بگیریم<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии