مساحت پایه منشور: از مثلث تا چند ضلعی. حجم یک منشور مثلثی: فرمول نوع کلی و فرمول یک منشور منظم

حجم منشور. حل مسئله

هندسه قوی ترین وسیله برای تقویت قوای ذهنی ما و توانمندسازی ما برای تفکر و استدلال صحیح است.

جی. گالیله

هدف از درس:

• آموزش حل مسائل مربوط به محاسبه حجم منشورها، خلاصه کردن و نظام مند کردن اطلاعات دانش آموزان در مورد یک منشور و عناصر آن، توسعه توانایی حل مسائل با پیچیدگی زیاد.
• توسعه دهد تفکر منطقیتوانایی کار مستقل، مهارت های کنترل و خودکنترلی متقابل، توانایی صحبت کردن و گوش دادن.
• عادت به کار مداوم در برخی از فعالیت های مفید، پرورش پاسخگویی، سخت کوشی و دقت را ایجاد کنید.

نوع درس: درس به کارگیری دانش، مهارت و توانایی.

تجهیزات: کارت های کنترل، پروژکتور رسانه ای، ارائه "درس. حجم منشور، کامپیوترها.

در طول کلاس ها

• دنده های جانبی منشور (شکل 2).
• سطح جانبی منشور (شکل 2، شکل 5).
• ارتفاع منشور (شکل 3، شکل 4).
• منشور مستقیم (شکل 2،3،4).
• یک منشور مایل (شکل 5).
• منشور صحیح (شکل 2، شکل 3).
• بخش مورب منشور (شکل 2).
• مورب منشور (شکل 2).
• بخش عمود بر منشور (شکل 3، شکل 4).
• سطح جانبی منشور.
• مربع سطح کاملمنشورها
• حجم منشور.

1. بررسی تکالیف منزل (8 دقیقه)

نوت بوک ها را تعویض کنید، راه حل را در اسلایدها بررسی کنید و آن را علامت بزنید (اگر مشکل کامپایل شده است، 10 علامت بزنید)

با توجه به تصویر یک مسئله درست کنید و آن را حل کنید. دانش آموز از مشکلی که تدوین کرده در هیئت دفاع می کند. شکل 6 و شکل 7.





فصل 2، §3
مشکل.2. طول تمام لبه های یک منشور مثلثی منظم با یکدیگر برابر است. اگر مساحت سطح منشور سانتی متر مربع باشد حجم منشور را محاسبه کنید (شکل 8)



فصل 2، §3
مسئله 5. قاعده منشور مستقیم ABCA 1B 1C1 است راست گوشه ABC (زاویه ABC=90°)، AB=4cm. اگر شعاع دایره محصور در اطراف مثلث ABC 2.5 سانتی متر و ارتفاع منشور 10 سانتی متر باشد، حجم منشور را محاسبه کنید. (شکل 9).



فصل 2، §3
مسئله 29. طول ضلع قاعده منشور چهار گوش منتظم 3 سانتی متر است. مورب منشور با صفحه وجه جانبی زاویه 30 درجه تشکیل می دهد. حجم منشور را محاسبه کنید (شکل 10).



2. همکاریمعلمان با کلاس (2-3 دقیقه).

هدف: جمع بندی گرم کردن نظری (دانش آموزان نمره می دهند یکدیگر) مطالعه راه های حل مسائل در یک موضوع.

3. دقیقه فیزیکی (3 دقیقه)
4. حل مسئله (10 دقیقه)

در این مرحله، معلم کار پیشانی را بر روی تکرار روش‌های حل مسائل پلان‌سنجی و فرمول‌های پلان‌سنجی سازماندهی می‌کند. کلاس به دو گروه تقسیم می شود، برخی مشکلات را حل می کنند، برخی دیگر در رایانه کار می کنند. سپس آنها تغییر می کنند. از دانش آموزان خواسته می شود که تمام شماره 8 (شفاهی)، شماره 9 (شفاهی) را حل کنند. سپس به گروه ها تقسیم می شوند و به حل مسائل شماره 14، 30، شماره 32 اقدام می کنند.

فصل 2، §3، صفحات 66-67

مسئله 8. تمام لبه های یک منشور مثلثی منتظم با هم برابرند. اگر سطح مقطع صفحه ای که از لبه پایه پایینی و وسط ضلع پایه بالایی می گذرد برابر با سانتی متر باشد، حجم منشور را بیابید (شکل 11).



فصل 2، §3، صفحه 66-67
مسئله 9. قاعده منشور مستقیم مربع است و اندازه لبه های کناری آن دو برابر ضلع قاعده است. اگر شعاع دایره ای که در نزدیکی سطح مقطع منشور با صفحه ای که از کنار پایه و وسط لبه طرف مقابل می گذرد برابر با سانتی متر باشد، حجم منشور را محاسبه کنید (شکل 12).



فصل 2، §3، صفحه 66-67
مسئله 14قاعده منشور مستقیم لوزی است که یکی از قطرهای آن برابر با ضلع آن است. محیط مقطع را با صفحه ای که از مورب اصلی قاعده پایینی می گذرد محاسبه کنید، اگر حجم منشور برابر باشد و تمام وجوه جانبی مربع باشند (شکل 13).



فصل 2، §3، صفحه 66-67
مسئله 30 ABCA 1 B 1 C 1 یک منشور مثلثی منتظم است که تمام لبه های آن با یکدیگر برابر هستند، نقطه وسط یال BB 1 است. اگر حجم منشور برابر با (شکل 14) باشد، شعاع دایره ای را که در قسمت منشور توسط صفحه AOS محاط شده است، محاسبه کنید.



فصل 2، §3، صفحه 66-67
مسئله 32در منشور چهار گوش منتظم، مجموع مساحت قاعده ها برابر است با مساحت سطح جانبی. اگر قطر دایره ای که در نزدیکی مقطع منشور با صفحه ای که از دو راس قاعده پایینی و راس مخالف پایه بالایی می گذرد، 6 سانتی متر باشد، حجم منشور را محاسبه کنید (شکل 15).



دانش آموزان هنگام حل مسائل، پاسخ های خود را با پاسخ هایی که معلم نشان می دهد مقایسه می کنند. این یک نمونه راه حل مشکل با نظرات دقیق است ... کار انفرادیمعلمان با دانش آموزان "قوی" (10 دقیقه).

5. کار مستقلدانش آموزانی که روی یک آزمون در رایانه کار می کنند

1. ضلع قاعده منشور مثلثی منتظم برابر است و ارتفاع آن 5 است. حجم منشور را بیابید.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. عبارت صحیح را انتخاب کنید.

1) حجم منشوری قائم الزاویه که قاعده آن مثلث قائم الزاویه است برابر با حاصل ضرب مساحت قاعده و ارتفاع است.

2) حجم یک منشور مثلثی منظم با فرمول V = 0.25a 2 h محاسبه می شود - که در آن a ضلع پایه است، h ارتفاع منشور است.

3) حجم منشور مستقیم برابر است با نصف حاصلضرب مساحت قاعده و ارتفاع.

4) حجم یک منشور چهار گوش منتظم با فرمول V = a 2 h - که a ضلع قاعده است، h ارتفاع منشور محاسبه می شود.

5) حجم یک منشور شش ضلعی منظم با فرمول V = 1.5a 2 h محاسبه می شود که a ضلع قاعده و h ارتفاع منشور است.

3. ضلع قاعده منشور مثلثی منتظم برابر است با . صفحه ای از سمت پایه پایینی و راس مخالف پایه بالایی کشیده می شود که با زاویه 45 درجه از پایه عبور می کند. حجم منشور را بیابید.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. قاعده منشور راست لوزی است که ضلع آن 13 و یکی از قطرهای آن 24 است. اگر قطر وجه جانبی 14 باشد حجم منشور را بیابید.

در فیزیک، اغلب از یک منشور مثلثی ساخته شده از شیشه برای مطالعه طیف استفاده می شود نور سفید، زیرا قادر است آن را به اجزای جداگانه تجزیه کند. در این مقاله فرمول حجم را در نظر خواهیم گرفت

منشور مثلثی چیست؟

قبل از ارائه فرمول حجم، اجازه دهید خواص این شکل را در نظر بگیریم.

برای به دست آوردن این، باید یک مثلث به هر شکلی بگیرید و آن را به موازات خودش تا فاصله ای حرکت دهید. رئوس مثلث در موقعیت های اولیه و نهایی باید توسط بخش های مستقیم به هم متصل شوند. شکل حجمی حاصل را منشور مثلثی می نامند. از پنج ضلع تشکیل شده است. دو تا از آنها را پایه می گویند: موازی و مساوی یکدیگرند. پایه های منشور مورد بحث مثلث هستند. سه ضلع باقی مانده متوازی الاضلاع هستند.

علاوه بر اضلاع، منشور مورد بحث با شش رأس (سه رأس برای هر پایه) و نه یال (6 یال در صفحات پایه ها قرار دارد و 3 یال از تلاقی اضلاع تشکیل می شود) مشخص می شود. اگر لبه های جانبی بر پایه ها عمود باشند، چنین منشوری مستطیل نامیده می شود.

تفاوت منشور مثلثی با سایر اشکال این کلاس در این است که همیشه محدب است (منشورهای چهار، پنج، ...، n ضلعی نیز می توانند مقعر باشند).

این یک شکل مستطیل شکل با یک مثلث متساوی الاضلاع در قاعده آن است.

حجم یک منشور مثلثی کلی

چگونه حجم یک منشور مثلثی را پیدا کنیم؟ فرمول در نمای کلیمشابه آن برای هر نوع منشوری. دارای نماد ریاضی زیر است:

در اینجا h ارتفاع شکل است، یعنی فاصله بین پایه های آن، S o مساحت مثلث است.

مقدار S o را می توان در صورتی یافت که برخی از پارامترهای مثلث شناخته شده باشند، به عنوان مثال، یک ضلع و دو زاویه یا دو ضلع و یک زاویه. مساحت یک مثلث برابر است با نصف حاصلضرب ارتفاع آن و طول ضلعی که این ارتفاع به وسیله آن کاهش می یابد.

در مورد ارتفاع h شکل، پیدا کردن آن برای یک منشور مستطیلی ساده‌تر است. در حالت دوم، h با طول لبه کناری منطبق است.

حجم یک منشور مثلثی منظم

فرمول کلیحجم یک منشور مثلثی، که در بخش قبلی مقاله آورده شده است، می تواند برای محاسبه مقدار مربوط به یک منشور مثلثی منظم استفاده شود. از آنجایی که قاعده آن یک مثلث متساوی الاضلاع است، مساحت آن برابر است با:

هر کسی می تواند این فرمول را دریافت کند اگر به یاد داشته باشد که در یک مثلث متساوی الاضلاع همه زوایا با یکدیگر برابر هستند و برابر با 60 درجه هستند. در اینجا علامت a طول ضلع مثلث است.

ارتفاع h طول لبه است. ربطی به بنیاد ندارد منشور درستو می تواند مقادیر دلخواه را بگیرد. در نتیجه فرمول حجم یک منشور مثلثی است نوع مناسببه نظر می رسد که:

پس از محاسبه ریشه، می توانید این فرمول را به صورت زیر بازنویسی کنید:

بنابراین، برای یافتن حجم یک منشور منظم با قاعده مثلثی، باید ضلع پایه را مربع کرد، این مقدار را در ارتفاع ضرب کرد و مقدار حاصل را در 0.433 ضرب کرد.

حجم یک منشور چقدر است و چگونه آن را پیدا کنیم

حجم یک منشور حاصل ضرب مساحت قاعده و ارتفاع آن است.

با این حال، می دانیم که در پایه منشور می تواند یک مثلث، یک مربع یا چند وجهی دیگر وجود داشته باشد.

بنابراین، برای یافتن حجم یک منشور، فقط باید مساحت پایه منشور را محاسبه کنید و سپس این ناحیه را در ارتفاع آن ضرب کنید.

یعنی اگر یک مثلث در پایه منشور وجود دارد، ابتدا باید مساحت مثلث را پیدا کنید. اگر پایه منشور مربع یا چند ضلعی دیگر است، ابتدا باید مساحت مربع یا چند ضلعی دیگر را جستجو کنید.

باید به خاطر داشت که ارتفاع منشور عمود کشیده شده به پایه های منشور است.

منشور چیست

حال بیایید تعریف منشور را به یاد بیاوریم.

منشور چند ضلعی است که دو وجه (پایه) آن در صفحات موازی قرار دارند و تمام یال های واقع در خارج از این وجوه موازی هستند.

به بیان ساده:

منشور هر شکل هندسی است که دارای دو قاعده مساوی و وجه مسطح باشد.

نام منشور به شکل پایه آن بستگی دارد. وقتی پایه یک منشور مثلث باشد، به چنین منشوری مثلثی می گویند. منشور چند وجهی یک شکل هندسی است که قاعده آن چند وجهی است. همچنین منشور نوعی استوانه است.

چه نوع منشوری وجود دارد؟

اگر به تصویر بالا نگاه کنیم، می بینیم که منشورها مستقیم، منظم و مایل هستند.

ورزش

1. کدام منشور صحیح نامیده می شود؟
2. چرا به آن می گویند؟
3. نام منشوری که پایه های آن چند ضلعی منتظم است چیست؟
4. ارتفاع این شکل چقدر است؟
5- منشوری که لبه های آن عمود نیستند چه نام دارد؟
6. منشور مثلثی را تعریف کنید.
7. آیا منشور می تواند متوازی الاضلاع باشد؟
8- چه شکل هندسی را چندضلعی نیمه منظم می نامند؟

منشور از چه عناصری تشکیل شده است؟

یک منشور از عناصری مانند پایه پایین و بالایی، وجوه جانبی، لبه ها و رئوس تشکیل شده است.

هر دو پایه منشور در صفحات قرار دارند و موازی یکدیگر هستند.
وجوه جانبی هرم متوازی الاضلاع است.
سطح جانبی هرم مجموع وجوه جانبی آن است.
اضلاع مشترک وجه های جانبی چیزی بیش از لبه های کناری یک شکل مشخص نیست.
ارتفاع هرم قسمتی است که صفحات پایه ها و عمود بر آنها را به هم متصل می کند.

خواص منشور

یک شکل هندسی، مانند یک منشور، دارای تعدادی ویژگی است. بیایید نگاهی دقیق تر به این ویژگی ها بیندازیم:

اولاً، پایه های یک منشور چند ضلعی های مساوی هستند.
ثانیا، وجوه جانبی یک منشور به صورت متوازی الاضلاع ارائه می شود.
ثالثاً این شکل هندسیلبه ها موازی و مساوی هستند.
چهارم، سطح کل منشور برابر است با:

حال بیایید به قضیه نگاه کنیم که فرمول مورد استفاده برای محاسبه مساحت سطح جانبی و اثبات را ارائه می دهد.

آیا تا به حال به این موضوع فکر کرده اید حقیقت جالبکه یک منشور نه تنها می تواند یک جسم هندسی باشد، بلکه می تواند اجسام دیگر اطراف ما نیز باشد. حتی یک دانه برف معمولی، بسته به رژیم دمامی تواند به یک منشور یخی تبدیل شود و شکل یک شکل شش ضلعی را به خود بگیرد.

اما کریستال‌های کلسیت دارای پدیده‌ای منحصربه‌فرد مانند شکسته شدن به قطعات و به‌دست آوردن شکل موازی‌پایه هستند. و شگفت‌انگیزترین چیز این است که هر چقدر هم که کریستال‌های کلسیت خرد شوند، نتیجه همیشه یکسان است: آنها به موازی‌پایه‌های کوچک تبدیل می‌شوند.

به نظر می رسد که منشور نه تنها در ریاضیات محبوبیت پیدا کرده است و بدنه هندسی خود را نشان می دهد، بلکه در زمینه هنر نیز محبوبیت پیدا کرده است، زیرا اساس نقاشی هایی است که توسط هنرمندان بزرگی مانند پیکاسو، براک، گریس و دیگران ایجاد شده است.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• وقتی درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است ما جمع آوری کنیم اطلاعات مختلف، از جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما پست الکترونیکو غیره.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• جمع آوری شده توسط ما اطلاعات شخصیبه ما این امکان را می دهد که با شما تماس بگیریم و به شما اطلاع دهیم پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و رویدادهای دیگر و رویدادهای آینده.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای اهداف داخلی مانند حسابرسی، تجزیه و تحلیل داده ها و مطالعات مختلفبه منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف بهداشت عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی را درباره شما فاش کنیم. موارد مهم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

دوره ویدیویی "Get an A" شامل تمام موضوعاتی است که شما نیاز دارید اتمام موفقیت آمیزآزمون دولتی واحد در ریاضیات برای امتیاز 60-65. به طور کامل تمام وظایف 1-13 از آزمون دولتی یکپارچه پروفایل در ریاضیات. همچنین برای قبولی در آزمون پایه یکپارچه دولتی در ریاضیات مناسب است. اگر می خواهید در آزمون یکپارچه دولتی با 90-100 امتیاز قبول شوید، باید قسمت 1 را در 30 دقیقه و بدون اشتباه حل کنید!

دوره آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی برای پایه های 10-11 و همچنین برای معلمان. هر آنچه برای حل قسمت 1 آزمون دولتی واحد ریاضی (12 مسئله اول) و مسئله 13 (مثلثات) نیاز دارید. و این بیش از 70 امتیاز در آزمون یکپارچه دولتی است و نه یک دانش آموز 100 امتیازی و نه دانش آموز علوم انسانی نمی تواند بدون آنها باشد.

تمام تئوری لازم راه های سریعراه حل ها، دام ها و اسرار آزمون یکپارچه دولتی. تمام وظایف فعلی بخش 1 از بانک وظیفه FIPI تجزیه و تحلیل شده است. این دوره به طور کامل با الزامات آزمون یکپارچه دولتی 2018 مطابقت دارد.

این دوره شامل 5 موضوع بزرگ است که هر کدام 2.5 ساعت است. هر موضوع از ابتدا، ساده و واضح ارائه شده است.

صدها تکلیف یکپارچه آزمون دولتی. مسائل کلمه و نظریه احتمال. الگوریتم های ساده و آسان برای به خاطر سپردن برای حل مسائل. هندسه. تئوری، مواد مرجع، تجزیه و تحلیل انواع وظایف آزمون دولتی واحد. استریومتری. راه حل های حیله گر، برگه های تقلب مفید، توسعه تخیل فضایی. مثلثات از ابتدا تا مسئله 13. درک به جای انباشته کردن. توضیحات واضح مفاهیم پیچیده جبر. ریشه ها، توان ها و لگاریتم ها، تابع و مشتق. مبنای راه حل وظایف پیچیده 2 قسمت از آزمون یکپارچه دولتی.