مشاهده کنید که "شرط EXTREME" در سایر لغت نامه ها چیست:

حداکثر نسبی، حد فاصل تابع f (x1،...، xn + m) متغیرهای n + m، با فرض اینکه این متغیرها تابع m معادلات جفت (شرایط) بیشتری هستند: φk (x1،...، xn + m) = 0، 1≤ k ≤ m (*) (نگاه کنید به Extremum).……

اجازه دهید به یک مجموعه باز و روشن توابع داده شود. بگذار باشد. این معادلات را معادلات محدودیت می نامند (اصطلاحات از مکانیک به عاریت گرفته شده است). اجازه دهید یک تابع در G ... ویکی پدیا تعریف شود

- (از لاتین extremum extreme) مقدار تابع پیوسته f (x) که یا حداکثر یا حداقل است. به طور دقیق تر: یک تابع f (x) پیوسته در نقطه x0 دارای حداکثر (حداقل) در x0 است اگر همسایگی (x0 + δ, x0 δ) از این نقطه وجود داشته باشد، ... ... دایره المعارف بزرگ شوروی

این اصطلاح معانی دیگری دارد، به افراط (معانی) مراجعه کنید. Extremum (لاتین extremum extreme) در ریاضیات حداکثر یا حداقل مقدار یک تابع در یک مجموعه معین است. نقطه ای که در آن به افراط می رسد ... ... ویکی پدیا است

تابعی که در حل مسائل برای یک اکستروم شرطی از توابع چندین متغیر و تابع استفاده می شود. با کمک L.f. شرایط بهینه لازم در مسائل برای یک اکستروم شرطی نوشته شده است. نیازی به بیان متغیرها نیست... دایره المعارف ریاضی

یک رشته ریاضی که به یافتن مقادیر شدید (حداکثر و حداقل) توابع متغیرها بسته به انتخاب یک یا چند تابع اختصاص دارد. در و. توسعه طبیعی آن فصل است…… دایره المعارف بزرگ شوروی

متغیرهایی که با کمک آنها تابع لاگرانژ در مطالعه مسائل برای یک اکستروم شرطی ساخته می شود. استفاده از L.m و تابع لاگرانژ این امکان را فراهم می کند که شرایط بهینه لازم را به صورت یکنواخت در مسائل برای یک اکستروم شرطی به دست آوریم. دایره المعارف ریاضی

حساب تغییرات شاخه ای از تحلیل تابعی است که تغییرات تابع ها را مطالعه می کند. معمولی ترین کار محاسبات تغییرات یافتن تابعی است که یک تابع معین بر اساس آن به ... ... ویکی پدیا

بخشی از ریاضیات اختصاص داده شده به مطالعه روش‌هایی برای یافتن توابع افراطی که به انتخاب یک یا چند تابع تحت انواع محدودیت‌ها (فاز، دیفرانسیل، انتگرال و غیره) که بر اینها اعمال می‌شود، بستگی دارد. دایره المعارف ریاضی

حساب تغییرات شاخه ای از ریاضیات است که تغییرات تابع ها را مطالعه می کند. معمولی ترین کار حساب تغییرات یافتن تابعی است که تابعی در آن به یک مقدار شدید می رسد. روش ها ... ... ویکی پدیا

کتاب ها

• سخنرانی در مورد تئوری کنترل جلد 2. کنترل بهینه، V. Boss. مسائل کلاسیک تئوری کنترل بهینه در نظر گرفته شده است. ارائه با مفاهیم اساسی بهینه سازی در فضاهای محدود بعد آغاز می شود: حدی شرطی و غیرشرطی، ...

تعریف 1: به تابعی گفته می شود که در نقطه ای دارای حداکثر محلی باشد اگر همسایگی نقطه وجود داشته باشد به طوری که برای هر نقطه مبا مختصات (x, y)نابرابری برآورده می شود: . در این حالت، یعنی افزایش تابع< 0.

تعریف 2: به تابعی گفته می شود که در نقطه ای دارای حداقل محلی باشد اگر همسایگی آن نقطه وجود داشته باشد به طوری که برای هر نقطه مبا مختصات (x, y)نابرابری برآورده می شود: . در این حالت، یعنی افزایش تابع > 0.

تعریف 3: نقطه ها حداقل های محلیو حداکثر نامیده می شوند نقاط افراطی.

افراط های مشروط

هنگام جستجوی اکسترمات یک تابع از بسیاری از متغیرها، اغلب مشکلات مربوط به به اصطلاح ایجاد می شود افراطی مشروطاین مفهوم را می توان با مثال تابعی از دو متغیر توضیح داد.

اجازه دهید یک تابع و یک خط داده شود Lروی سطح 0xy. وظیفه خط کشی است Lچنین نقطه ای را پیدا کنید P(x, y)که در آن مقدار تابع در مقایسه با مقادیر این تابع در نقاط خط، بزرگترین یا کوچکترین است. Lواقع در نزدیکی نقطه پ. چنین نکاتی پتماس گرفت نقاط افراطی مشروطتوابع خط L. برخلاف نقطه اضطراری معمولی، مقدار تابع در نقطه منتهی الیه شرطی با مقادیر تابع نه در همه نقاط برخی از همسایگی‌های آن، بلکه فقط در نقاطی که روی خط قرار دارند مقایسه می‌شود. L.

کاملاً واضح است که نقطه افراط معمول (هم می گویند افراط بی قید و شرط) همچنین یک نقطه منتهی شرطی برای هر خطی است که از این نقطه عبور می کند. برعکس، البته، درست نیست: یک نقطه افراطی مشروط ممکن است یک نقطه افراطی معمولی نباشد. اجازه دهید این موضوع را با یک مثال ساده توضیح دهم. نمودار تابع نیمکره بالایی است (پیوست 3 (شکل 3)).

این تابع در مبدا دارای حداکثر است. با بالا مطابقت دارد منیمکره ها اگر خط Lیک خط از نقاط عبور می کند آو که در(معادله او x+y-1=0، سپس از نظر هندسی مشخص است که برای نقاط این خط بالاترین ارزشتابع در نقطه ای می رسد که در وسط بین نقاط قرار دارد آو که در.این نقطه حداکثر شرطی (حداکثر) تابع در خط داده شده است. با نقطه M 1 روی نیمکره مطابقت دارد و از شکل می توان دریافت که در اینجا هیچ گونه افراطی معمولی وجود ندارد.

توجه داشته باشید که در قسمت پایانی مسئله یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع در یک منطقه بسته، باید مقادیر اضافی تابع را در مرز این ناحیه پیدا کنیم، یعنی. در برخی از خطوط، و در نتیجه حل مشکل برای یک افراط مشروط.

اجازه دهید اکنون به جستجوی عملی برای نقاط انتهایی شرطی تابع Z= f(x,y) بپردازیم، مشروط بر اینکه متغیرهای x و y با معادله (x,y) = 0 مرتبط باشند. این رابطه خواهد بود. معادله محدودیت نامیده می شود. اگر از معادله اتصال y را بتوان به صراحت بر حسب x بیان کرد: y \u003d (x)، تابعی از یک متغیر Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x) بدست می آوریم.

با یافتن مقدار x که در آن این تابع به یک اکسترموم می رسد و سپس مقادیر متناظر y را از معادله اتصال تعیین می کنیم، نقاط مورد نظر اکستروم شرطی را به دست خواهیم آورد.

پس در مثال بالا از معادله ارتباط x+y-1=0 y=1-x داریم. از اینجا

بررسی اینکه z به حداکثر خود در x = 0.5 می رسد آسان است. اما پس از آن از معادله اتصال y = 0.5، و دقیقاً نقطه P را که از ملاحظات هندسی به دست می آید، بدست می آوریم.

حتی زمانی که بتوان معادله محدودیت را نشان داد، مشکل یک اکستروم شرطی بسیار ساده حل می شود. معادلات پارامتریک x=x(t)، y=y(t). جایگزین کردن عبارات برای x و y به این تابع، دوباره به مسئله یافتن اکسترومم تابع یک متغیر می رسیم.

اگر معادله محدودیت بیش از نمای پیچیدهو ما قادر به بیان صریح یک متغیر بر حسب متغیر دیگر و یا جایگزینی آن با معادلات پارامتری نیستیم، در این صورت مشکل یافتن یک مادون شرطی دشوارتر می شود. ما همچنان فرض می کنیم که در بیان تابع z= f(x, y) متغیر (x, y) = 0. مشتق کل تابع z= f(x, y) برابر است با:

مشتق y که با قاعده تمایز یافت می شود کجاست عملکرد ضمنی. در نقاط انتهایی شرطی، مشتق کل یافت شده باید برابر با صفر باشد. این یک معادله مربوط به x و y را به دست می دهد. از آنجایی که آنها باید معادله محدودیت را نیز برآورده کنند، سیستمی متشکل از دو معادله با دو مجهول دریافت می کنیم.

بیایید با نوشتن معادله اول به صورت نسبت و معرفی یک مجهول کمکی جدید، این سیستم را به سیستمی بسیار راحت تر تبدیل کنیم:

(یک علامت منفی برای راحتی در جلو قرار داده شده است). عبور از این برابری ها به سیستم زیر آسان است:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*)

که همراه با معادله قید (x, y) = 0 سیستمی متشکل از سه معادله با مجهولات x و y و.

استفاده از این معادلات (*) ساده ترین است قانون بعدی: به منظور یافتن نقاطی که می توانند نقاطی از منتهی الیه شرطی تابع باشند

Z= f(x, y) با معادله محدودیت (x, y) = 0، باید یک تابع کمکی تشکیل دهید.

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

جایی که مقداری ثابت است و معادلاتی بنویسید تا نقاط منتهی این تابع را بیابید.

سیستم معادلات مشخص شده، به عنوان یک قاعده، فقط شرایط لازم را ارائه می دهد، یعنی. هر جفت مقادیر x و y که این سیستم را برآورده می کند لزوماً یک نقطه اکستریمم شرطی نیست. من شرایط کافی برای امتیازهای اکستریم مشروط نمی دهم. غالباً محتوای خاص خود مسئله نشان می دهد که نقطه یافت شده چیست. روش توصیف شده برای حل مسائل برای یک اکسترمم شرطی، روش ضرب کننده های لاگرانژ نامیده می شود.

اجازه دهید ابتدا حالت تابعی از دو متغیر را در نظر بگیریم. حداکثر شرطی تابع $z=f(x,y)$ در نقطه $M_0(x_0;y_0)$ منتهی الیه این تابع است که تحت شرایطی به دست می آید که متغیرهای $x$ و $y$ در در مجاورت این نقطه معادله محدودیت $\ varphi(x,y)=0$ را برآورده می کند.

نام افراطی مشروط به این دلیل است که متغیرها تحمیلی هستند شرط اضافی$\varphi(x,y)=0$. اگر بتوان یک متغیر را بر حسب متغیر دیگر از معادله اتصال بیان کرد، در این صورت مسئله تعیین حد فاصل شرطی به مسئله حدت معمول یک تابع از یک متغیر کاهش می یابد. به عنوان مثال، اگر $y=\psi(x)$ از معادله محدودیت دنبال شود، سپس با جایگزینی $y=\psi(x)$ به $z=f(x,y)$، تابعی از یک متغیر $ دریافت می کنیم. z=f\ چپ (x,\psi(x)\راست)$. که در مورد کلیبا این حال، این روش کاربرد کمی دارد، بنابراین یک الگوریتم جدید مورد نیاز است.

روش ضریب های لاگرانژ برای توابع دو متغیر.

روش ضریب های لاگرانژ به این صورت است که برای یافتن اکسترمم شرطی، تابع لاگرانژ تشکیل می شود: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (پارامتر $\lambda $ ضریب لاگرانژ نامیده می شود. شرایط اضطراری لازم توسط سیستمی از معادلات ارائه می شود که از آن نقاط ثابت تعیین می شوند:

$$ \left \( \begin(تراز شده) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(تراز شده)\right.$$

علامت $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. اگر در یک نقطه ثابت $d^2F > 0$ باشد، تابع $z=f(x,y)$ در این نقطه حداقل شرطی دارد، اما اگر $d^2F< 0$, то условный максимум.

راه دیگری برای تعیین ماهیت اکستروم وجود دارد. از معادله محدودیت دریافت می کنیم: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$، بنابراین در هر نقطه ثابتی داریم:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\راست)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \راست)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\راست)$$

عامل دوم (واقع در پرانتز) را می توان به این شکل نشان داد:

عناصر $\left| \begin(آرایه) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (آرایه) \right|$ که هسین تابع لاگرانژ است. اگر $H > 0$ باشد، آنگاه $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 دلار، یعنی ما یک حداقل شرطی از تابع $z=f(x,y)$ داریم.

به شکل تعیین کننده $H$ توجه کنید. نمایش/پنهان کردن

$$ H=-\left|\begin(array) (cccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(آرایه) \right| $$

در این وضعیت، قانون فرمول‌بندی‌شده در بالا به صورت زیر تغییر می‌کند: اگر $H > 0$ باشد، تابع یک حداقل شرطی دارد و برای $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

الگوریتم مطالعه تابعی از دو متغیر برای یک اکستروم شرطی

1. تابع لاگرانژ را بنویسید $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. حل سیستم $ \left \( \begin(تراز شده) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(تراز شده)\right.$
3. ماهیت اکستریموم را در هر یک از نقاط ثابت موجود در پاراگراف قبل تعیین کنید. برای این کار از یکی از روش های زیر استفاده کنید:
   • تعیین $H$ را بنویسید و علامت آن را پیدا کنید
   • با در نظر گرفتن معادله محدودیت، علامت $d^2F$ را محاسبه کنید

روش ضریب لاگرانژ برای توابع n متغیر

فرض کنید تابعی از $n$ متغیرهای $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ و معادلات محدودیت $m$ داریم ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

با نشان دادن ضریب های لاگرانژ به صورت $\lambda_1،\lambda_2،\ldots،\lambda_m$، تابع لاگرانژ را می سازیم:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

شرایط لازم برای وجود یک اکستروم مشروط توسط سیستم معادلات ارائه می شود که از آن مختصات نقاط ثابت و مقادیر ضرب کننده های لاگرانژ پیدا می شود:

$$\left\(\begin (تراز شده) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(تراز شده) \right.$$

با استفاده از علامت $d^2F$ می‌توان فهمید که آیا یک تابع در نقطه پیدا شده دارای حداقل شرطی یا حداکثر شرطی است. اگر در نقطه پیدا شده $d^2F > 0$ باشد، تابع یک حداقل شرطی دارد، اما اگر $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

تعیین کننده ماتریس $\left| \begin(آرایه) (cccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\ partial x_(2) ) & \frac(\جزئی^2F)(\x_(1)\جزئی x_(3)) &\ldots & \frac(\جزئی^2F)(\بخشی x_(1)\جزئی x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\ x_(2) \ x_(3) جزئی )(\بخشی x_(3) \جزئی x_(1)) & \frac(\جزئی^2F)(\بخشی x_(3)\بخشی x_(2)) & \frac(\جزئی^2F)(\جزئی x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\جزئی x_(3)\جزئی x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\جزئی^2F)(\x_(n)\جزئی x_(1)) & \frac(\جزئی^2F)(\x_(n)\جزئی x_(2)) و \ frac(\جزئی^2F)(\x_(n)\جزئی x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\x_(n)^(2))\\ \end( آرایه) \right|$ که در ماتریس $L$ با رنگ قرمز مشخص شده است، هسین تابع لاگرانژ است. ما از قانون زیر استفاده می کنیم:

• اگر علائم مینورهای گوشه $H_(2m+1)،\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ ماتریس $L$ با علامت $(-1)^m$ منطبق است، سپس نقطه ثابت مورد مطالعه حداقل نقطه شرطی تابع $z است. =f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
• اگر علائم مینورهای گوشه $H_(2m+1)،\; H_(2m+2)،\ldots،H_(m+n)$ متناوب، و علامت جزئی $H_(2m+1)$ با علامت عدد $(-1)^(m+1 منطبق است )$، سپس نقطه ثابت مورد مطالعه حداکثر نقطه شرطی تابع $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ است.

مثال شماره 1

حداکثر شرطی تابع $z(x,y)=x+3y$ را تحت شرط $x^2+y^2=10$ پیدا کنید.

تفسیر هندسی این مسئله به شرح زیر است: لازم است بزرگترین و کوچکترین ارزشکاربردهای صفحه $z=x+3y$ برای نقاط تقاطع آن با استوانه $x^2+y^2=10$.

بیان یک متغیر بر حسب متغیر دیگر از معادله محدودیت و جایگزینی آن با تابع $z(x,y)=x+3y$ تا حدودی دشوار است، بنابراین از روش لاگرانژ استفاده خواهیم کرد.

با نشان دادن $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$، تابع لاگرانژ را می سازیم:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\x جزئی)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\جزئی y)=3+2\lambda y. $$

اجازه دهید سیستم معادلات را برای تعیین نقاط ثابت تابع لاگرانژ بنویسیم:

$$ \left \( \begin(تراز شده) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \پایان (تراز شده)\right.$$

اگر $\lambda=0$ را فرض کنیم، اولین معادله می شود: $1=0$. تضاد حاصل می گوید که $\lambda\neq 0$. تحت شرط $\lambda\neq 0$، از معادلات اول و دوم داریم: $x=-\frac(1)(2\lambda)$، $y=-\frac(3)(2\lambda) $. با جایگزینی مقادیر به دست آمده در معادله سوم، به دست می آید:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(تراز شده) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end (تراز شده) $$

بنابراین، سیستم دو راه حل دارد: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ و $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. اجازه دهید ماهیت اکسترموم را در هر نقطه ثابت دریابیم: $M_1(1;3)$ و $M_2(-1;-3)$. برای انجام این کار، تعیین کننده $H$ را در هر یک از نقاط محاسبه می کنیم.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\ چپ| \begin(آرایه) (cccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(آرایه) \right|= \چپ| \begin(array) (cccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

در نقطه $M_1(1;3)$ دریافت می کنیم: $H=8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$، بنابراین در نقطه $M_1(1;3)$ تابع $z(x,y)=x+3y$ دارای حداکثر شرطی است، $z_(\max)=z(1;3)=10$.

به طور مشابه، در نقطه $M_2(-1;-3)$ پیدا می کنیم: $H=8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. از آنجایی که $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

توجه داشته باشم که به جای محاسبه مقدار تعیین کننده $H$ در هر نقطه، بسیار راحت تر است که آن را در نمای کلی. برای اینکه متن با جزئیات شلوغ نشود، این روش را زیر یک یادداشت پنهان می کنم.

نماد $H$ تعیین کننده به صورت کلی. نمایش/پنهان کردن

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

در اصل، از قبل مشخص است که $H$ دارای کدام علامت است. از آنجایی که هیچ یک از نقاط $M_1$ یا $M_2$ با مبدا منطبق نیست، پس $y^2+x^2>0$. بنابراین، علامت $H$ مخالف علامت $\lambda$ است. همچنین می توانید محاسبات را کامل کنید:

$$ \begin(تراز شده) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\راست)=-40. \end (تراز شده) $$

سوال در مورد ماهیت انتها در نقاط ثابت $M_1(1;3)$ و $M_2(-1;-3)$ را می توان بدون استفاده از تعیین کننده $H$ حل کرد. علامت $d^2F$ را در هر نقطه ثابت پیدا کنید:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

توجه داشته باشم که علامت $dx^2$ دقیقاً به معنای $dx$ است که به توان دوم افزایش یافته است. $\چپ(dx\راست)^2$. بنابراین ما داریم: $dx^2+dy^2>0$، بنابراین برای $\lambda_1=-\frac(1)(2)$، $d^2F دریافت می کنیم< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

پاسخ: در نقطه $(-1;-3)$ تابع دارای حداقل شرطی، $z_(\min)=-10$ است. در نقطه $(1;3)$ تابع دارای حداکثر شرطی است، $z_(\max)=10$

مثال شماره 2

حداکثر شرطی تابع $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ را تحت شرط $x+y=0$ پیدا کنید.

راه اول (روش ضرب کننده های لاگرانژ)

با نشان دادن $\varphi(x,y)=x+y$ تابع لاگرانژ را می سازیم: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\جزئی F)(\ x جزئی)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(تراز شده) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(تراز شده)\right.$$

با حل سیستم، به دست می‌آییم: $x_1=0$، $y_1=0$، $\lambda_1=0$ و $x_2=\frac(10)(9)$، $y_2=-\frac(10)(9 )$، $\lambda_2=-10$. ما دو نقطه ثابت داریم: $M_1(0;0)$ و $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. اجازه دهید ماهیت اکسترموم را در هر نقطه ثابت با استفاده از تعیین کننده $H$ دریابیم.

$$ H=\ چپ| \begin(آرایه) (cccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(آرایه) \right|= \چپ| \begin(array) (cccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

در نقطه $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$، بنابراین در این مرحله تابع حداکثر شرطی دارد، $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

ما ماهیت اکسترموم را در هر یک از نقاط با روشی متفاوت بر اساس علامت $d^2F$ بررسی می کنیم:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^ 2 دلار

از معادله محدودیت $x+y=0$ داریم: $d(x+y)=0$، $dx+dy=0$، $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

از آنجایی که $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$، پس $M_1(0;0)$ حداقل نقطه شرطی تابع $z(x,y)=3y^3+ است. 4x^ 2-xy$. به طور مشابه، $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

راه دوم

از معادله محدودیت $x+y=0$ به دست می آید: $y=-x$. با جایگزینی $y=-x$ به تابع $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$، تابعی از متغیر $x$ را بدست می آوریم. بیایید این تابع را به صورت $u(x)$ نشان دهیم:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

بنابراین، ما مشکل یافتن حد فاصل یک تابع از دو متغیر را به مسئله تعیین حداکثر یک تابع از یک متغیر کاهش دادیم.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

امتیاز $M_1(0;0)$ و $M_2\left(\frac(10)(9)؛ -\frac(10)(9)\right)$ دریافت کرد. تحقیقات بیشتر از این دوره مشخص است حساب دیفرانسیلتوابع یک متغیر با بررسی علامت $u_(xx)^("")$ در هر نقطه ثابت یا بررسی تغییر علامت $u_(x)^(")$ در نقاط یافت شده، به همان نتیجه گیری در راه حل اول می رسیم. به عنوان مثال، علامت $u_(xx)^("")$ را علامت بزنید:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

از آنجایی که $u_(xx)^("")(M_1)>0$، پس $M_1$ حداقل نقطه تابع $u(x)$ است، در حالی که $u_(\min)=u(0)=0 دلار از $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

مقادیر تابع $u(x)$ تحت شرایط اتصال داده شده با مقادیر تابع $z(x,y)$ منطبق است، یعنی. انتهای یافت شده از تابع $u(x)$، اکسترمای شرطی مطلوب تابع $z(x,y)$ هستند.

پاسخ: در نقطه $(0;0)$ تابع دارای حداقل شرطی، $z_(\min)=0$ است. در نقطه $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ تابع حداکثر شرطی است، $z_(\max)=\frac(500)(243 ) دلار.

بیایید یک مثال دیگر را در نظر بگیریم که در آن با تعیین علامت $d^2F$ به ماهیت اکستروم پی می بریم.

مثال شماره 3

در صورت مثبت بودن متغیرهای $x$ و $y$، حداکثر و حداقل مقدار تابع $z=5xy-4$ را بیابید و معادله محدودیت $\frac(x^2)(8)+\frac( را برآورده کنید. y^2)(2) -1=0$.

تابع لاگرانژ را بنویسید: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. نقاط ثابت تابع لاگرانژ را پیدا کنید:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \چپ \( \begin(تراز شده) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(تراز شده) \راست.$$

تمام تبدیل های بعدی با در نظر گرفتن $x > 0 انجام می شود. \; y > 0$ (این در شرایط مشکل قید شده است). از معادله دوم، $\lambda=-\frac(5x)(y)$ را بیان می کنیم و مقدار پیدا شده را به معادله اول جایگزین می کنیم: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$، $4y^2-x^2=0$، $x=2y$. با جایگزینی $x=2y$ در معادله سوم، دریافت می کنیم: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$، $y^2=1$، $y = 1$.

از آنجایی که $y=1$، سپس $x=2$، $\lambda=-10$. ماهیت اکسترموم در نقطه $(2;1)$ از علامت $d^2F$ تعیین می شود.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

از آنجایی که $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$، پس:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

در اصل، در اینجا می توانید بلافاصله مختصات نقطه ثابت $x=2$، $y=1$ و پارامتر $\lambda=-10$ را جایگزین کنید و بدین ترتیب به دست آورید:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \راست)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

با این حال، در سایر مشکلات برای یک اکستروم مشروط، ممکن است چندین نقطه ثابت وجود داشته باشد. در چنین مواردی، بهتر است $d^2F$ را به صورت کلی نشان دهیم و سپس مختصات هر یک از نقاط ثابت یافت شده را در عبارت حاصل جایگزین کنیم:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \راست)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \راست)\cdot dx^2 $$

با جایگزینی $x=2$، $y=1$، $\lambda=-10$، دریافت می کنیم:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \راست)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

از آنجایی که $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

پاسخ: در نقطه $(2;1)$ تابع دارای حداکثر شرطی است، $z_(\max)=6$.

در قسمت بعدی کاربرد روش لاگرانژ برای توابع تعداد بیشتری از متغیرها را در نظر خواهیم گرفت.

مثال

حداکثر تابع را به شرط آن بیابید ایکسو دربا نسبت: . از نظر هندسی، مسئله به این معنی است: روی یک بیضی
سطح
.

این مشکل را می توان به صورت زیر حل کرد: از معادله
پیدا کردن
ایکس:

به شرطی که
، به مسئله یافتن حد فاصل تابع یک متغیر در قطعه تقلیل می یابد
.

از نظر هندسی، مسئله به این معنی است: روی یک بیضی با عبور از سیلندر به دست می آید
سطح
، لازم است حداکثر یا حداقل مقدار درخواست را پیدا کنید (شکل 9). این مشکل را می توان به صورت زیر حل کرد: از معادله
پیدا کردن
. با جایگزینی مقدار یافت شده y در معادله صفحه، تابعی از یک متغیر به دست می آوریم ایکس:

بنابراین، مشکل یافتن حد فاصل تابع
به شرطی که
، به مسئله یافتن حد فاصل تابع یک متغیر در یک قطعه تقلیل می یابد.

بنابراین، مشکل یافتن یک افراطی مشروطمشکل یافتن حد فاصل تابع هدف است
، به شرطی که متغیرها ایکسو درمشمول محدودیت
تماس گرفت معادله اتصال

این را خواهیم گفت نقطه
، ارضای معادله محدودیت، نقطه حداکثر شرطی محلی (حداقل) اگر محله ای باشد
به طوری که برای هر نقطه
، که مختصات آن معادله محدودیت را برآورده می کند، نابرابری برقرار است.

در صورتی که از معادله ارتباط می توان عبارتی برای در، سپس با جایگزینی این عبارت به تابع اصلی، دومی را به یک تابع پیچیده از یک متغیر تبدیل می کنیم ایکس.

روش کلی برای حل مشکل افراطی مشروط است روش ضریب لاگرانژ. بیایید یک تابع کمکی ایجاد کنیم، جایی که ─ یک عدد این تابع نامیده می شود تابع لاگرانژ، آ ─ ضریب لاگرانژ. بنابراین، مشکل یافتن یک اکسترمم شرطی به یافتن نقاط اکستروموم محلی برای تابع لاگرانژ کاهش یافته است. برای یافتن نقاط یک مادون ممکن، باید یک سیستم 3 معادله با سه مجهول را حل کرد. x، yو.

سپس باید از شرایط اکستریم کافی زیر استفاده کرد.

قضیه. اجازه دهید نقطه نقطه ای از حد اخر ممکن برای تابع لاگرانژ باشد. ما فرض می کنیم که در مجاورت نقطه
مشتقات جزئی مرتبه دوم پیوسته از توابع وجود دارد و . مشخص کن

سپس اگر
، آن
─ نقطه افراطی مشروط تابع
در معادله محدودیت
در همین حال، اگر
، آن
─ حداقل امتیاز مشروط، اگر
، آن
─ نقطه حداکثر مشروط.

§8. گرادیان و مشتق جهت

اجازه دهید تابع
در برخی از دامنه های (باز) تعریف شده است. هر نکته ای را در نظر بگیرید
این ناحیه و هر خط مستقیم جهت دار (محور) عبور از این نقطه (شکل 1). اجازه دهید
- یک نقطه دیگر از این محور،
- طول بخش بین
و
، اگر جهت باشد با علامت مثبت گرفته شده است
منطبق با جهت محور است ، و با علامت منفی اگر جهت آنها مخالف باشد.

اجازه دهید
به طور نامحدود نزدیک می شود
. حد

تماس گرفت مشتق تابع
به سمت (یا در امتداد محور ) و به صورت زیر نشان داده می شود:

.

این مشتق "نرخ تغییر" تابع را در نقطه مشخص می کند
به سمت . به طور خاص، و مشتقات جزئی معمولی ,همچنین می توان به عنوان مشتقات "با توجه به جهت" در نظر گرفت.

حالا فرض کنید که تابع
دارای مشتقات جزئی پیوسته در منطقه مورد نظر است. اجازه دهید محور با محورهای مختصات زاویه تشکیل می دهد
و . بر اساس مفروضات ساخته شده، مشتق جهت دار وجود دارد و با فرمول بیان می شود

.

اگر بردار
توسط مختصات آن تنظیم می شود
، سپس مشتق تابع
در جهت بردار
را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

.

وکتور با مختصات
تماس گرفت بردار گرادیانکارکرد
در نقطه
. بردار گرادیان جهت سریعترین افزایش تابع را در یک نقطه مشخص نشان می دهد.

مثال

با توجه به یک تابع، یک نقطه A(1، 1) و یک بردار
. پیدا کنید: 1) grad z در نقطه A. 2) مشتق در نقطه A در جهت بردار .

مشتقات جزئی یک تابع معین در یک نقطه
:

;
.

سپس بردار گرادیان تابع در این نقطه به صورت زیر است:
. بردار گرادیان را می توان با استفاده از بسط بردار نیز نوشت و :

. مشتق تابع در جهت بردار :

بنابراین،
,
.◄