Volume d'une pyramide taillée. Formules pour le volume d'une pyramide pleine et tronquée. Volume de la pyramide de Khéops
- 09.10.2014
Le préamplificateur illustré sur la figure est conçu pour être utilisé avec 4 types de sources sonores, par exemple un microphone, un lecteur CD, une radio, etc. Dans ce cas, le préamplificateur a une entrée qui peut modifier la sensibilité de 50 mV à 500 mV. tension de sortie de l'amplificateur 1000mV. De liaison différentes sources signal lors de la commutation du commutateur SA1, nous obtenons toujours...
- 20.09.2014
L'alimentation est conçue pour une charge de 15…20 W. La source est réalisée selon le circuit d'un convertisseur haute fréquence à impulsion monocycle. Un transistor est utilisé pour assembler un auto-oscillateur fonctionnant à une fréquence de 20…40 kHz. La fréquence est ajustée par la capacité C5. Les éléments VD5, VD6 et C6 forment le circuit de démarrage de l'oscillateur. Dans circuit secondaire Après le pont redresseur se trouve un stabilisateur linéaire classique sur un microcircuit, qui permet d'avoir...
- 28.09.2014
La figure montre un générateur basé sur le microcircuit K174XA11 dont la fréquence est contrôlée par la tension. En changeant la capacité C1 de 560 à 4700 pF, vous pouvez obtenir large éventail fréquences, tandis que la fréquence est ajustée en changeant la résistance R4. Ainsi, par exemple, l'auteur a découvert qu'avec C1 = 560pF, la fréquence du générateur peut être modifiée à l'aide de R4 de 600 Hz à 200 kHz, ...
- 03.10.2014
L'unité est conçue pour alimenter un puissant ULF, elle est conçue pour une tension de sortie de ±27 V et une charge allant jusqu'à 3 A sur chaque bras. L'alimentation est bipolaire, réalisée sur des transistors composites complets KT825-KT827. Les deux bras du stabilisateur sont fabriqués selon le même circuit, mais dans l'autre bras (ce n'est pas représenté) la polarité des condensateurs est modifiée et des transistors d'un type différent sont utilisés...
La capacité de calculer le volume de figures spatiales est importante pour résoudre un certain nombre de problèmes pratiques de géométrie. L'une des figures les plus courantes est la pyramide. Dans cet article, nous considérerons les pyramides complètes et tronquées.
Pyramide comme figure tridimensionnelle
Tout le monde connaît les pyramides égyptiennes, ils ont donc une bonne idée du type de figure dont nous allons parler. Cependant, les structures égyptiennes en pierre ne constituent qu’un cas particulier d’une vaste classe de pyramides.
L'objet géométrique considéré dans cas général est une base polygonale dont chaque sommet est relié à un certain point de l'espace qui n'appartient pas au plan de la base. Cette définition donne une figure composée d’un n-gone et de n triangles.
Toute pyramide est constituée de n+1 faces, 2*n arêtes et n+1 sommets. Puisque la figure en question est un polyèdre parfait, les nombres d’éléments marqués obéissent à l’égalité d’Euler :
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
Le polygone situé à la base donne le nom de la pyramide, par exemple triangulaire, pentagonale, etc. Ensemble de pyramides avec pour des raisons différentes montré sur la photo ci-dessous.
Le point de rencontre des n triangles d’une figure est appelé sommet de la pyramide. Si une perpendiculaire en est abaissée sur la base et qu'elle la coupe au centre géométrique, alors une telle figure sera appelée une ligne droite. Si cette condition n’est pas remplie, une pyramide inclinée apparaît.
Une figure droite dont la base est formée par un n-gone équilatéral (équiangulaire) est dite régulière.
Formule pour le volume d'une pyramide
Pour calculer le volume de la pyramide, nous utiliserons le calcul intégral. Pour ce faire, on divise la figure en découpant des plans parallèles à la base en une infinité de couches minces. La figure ci-dessous montre une pyramide quadrangulaire de hauteur h et de côté L, dans laquelle le quadrilatère marque fine couche sections.
L'aire de chacune de ces couches peut être calculée à l'aide de la formule :
A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .
Ici A 0 est l'aire de la base, z est la valeur de la coordonnée verticale. On voit que si z = 0, alors la formule donne la valeur A 0 .
Pour obtenir la formule du volume d'une pyramide, il faut calculer l'intégrale sur toute la hauteur de la figure, soit :
V = ∫ h 0 (A(z)*dz).
En substituant la dépendance A(z) et en calculant la primitive, on arrive à l'expression :
V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.
Nous avons obtenu la formule du volume d'une pyramide. Pour trouver la valeur de V, multipliez simplement la hauteur de la figure par l'aire de la base, puis divisez le résultat par trois.
Notez que l'expression résultante est valable pour calculer le volume d'une pyramide de tout type. Autrement dit, il peut être incliné et sa base peut être un n-gon arbitraire.
et son volume
Reçu dans le paragraphe ci-dessus formule générale pour le volume peut être spécifié dans le cas d'une pyramide avec la bonne raison. L'aire d'une telle base est calculée à l'aide de la formule suivante :
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).
Ici L est la longueur du côté d’un polygone régulier à n sommets. Le symbole pi est le nombre pi.
En substituant l'expression de A 0 dans la formule générale, on obtient le volume pyramide régulière:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).
Par exemple, pour une pyramide triangulaire, cette formule donne l’expression suivante :
V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.
Pour une pyramide quadrangulaire régulière, la formule du volume prend la forme :
V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.
La détermination des volumes des pyramides régulières nécessite la connaissance du côté de leur base et de la hauteur de la figure.
Pyramide tronquée
Supposons que nous prenions une pyramide arbitraire et que nous coupions une partie de sa surface latérale contenant le sommet. La figure restante est appelée pyramide tronquée. Il se compose déjà de deux bases n-gonales et de n trapèzes qui les relient. Si le plan de coupe était parallèle à la base de la figure, alors une pyramide tronquée est formée avec des bases parallèles similaires. C'est-à-dire que les longueurs des côtés de l'un d'eux peuvent être obtenues en multipliant les longueurs de l'autre par un certain coefficient k.
La figure ci-dessus montre un hexagone régulier tronqué. On voit que sa base supérieure, comme celle du bas, est formée par un hexagone régulier.
La formule qui peut être dérivée à l’aide d’un calcul intégral similaire à celui ci-dessus est :
V = 1/3*h*(UNE 0 + UNE 1 + √(UNE 0 *UNE 1)).
Où A 0 et A 1 sont respectivement les zones des bases inférieure (grande) et supérieure (petite). La variable h désigne la hauteur de la pyramide tronquée.
Volume de la pyramide de Khéops
Il est intéressant de résoudre le problème de la détermination du volume que contient la plus grande pyramide égyptienne.
En 1984, les égyptologues britanniques Mark Lehner et Jon Goodman ont établi les dimensions exactes de la pyramide de Khéops. Sa hauteur d'origine était de 146,50 mètres (actuellement environ 137 mètres). La longueur moyenne de chacun des quatre côtés de la structure était de 230,363 mètres. Base de la pyramide avec haute précision est carré.
Utilisons les chiffres donnés pour déterminer le volume de ce géant de pierre. Puisque la pyramide est quadrangulaire régulière, alors la formule est valable pour elle :
En remplaçant les nombres, on obtient :
V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.
Le volume de la pyramide de Khéops est de près de 2,6 millions de m3. A titre de comparaison, on note que la piscine olympique a un volume de 2,5 mille m 3. Autrement dit, pour remplir toute la pyramide de Khéops, vous aurez besoin de plus de 1000 piscines de ce type !
Pyramide. Pyramide tronquée
Pyramide est un polyèdre dont l'une des faces est un polygone ( base ), et toutes les autres faces sont des triangles avec un sommet commun ( faces latérales ) (Fig.15). La pyramide s'appelle correct , si sa base est un polygone régulier et que le sommet de la pyramide est projeté au centre de la base (Fig. 16). Une pyramide triangulaire dont toutes les arêtes sont égales s’appelle tétraèdre .
Côte latérale d'une pyramide est le côté de la face latérale qui n'appartient pas à la base Hauteur la pyramide est la distance entre son sommet et le plan de la base. Toutes les arêtes latérales d'une pyramide régulière sont égales les unes aux autres, toutes les faces latérales sont égales triangles isocèles. La hauteur de la face latérale d'une pyramide régulière tirée du sommet est appelée apothème . Coupe diagonale s'appelle une section d'une pyramide par un plan passant par deux arêtes latérales n'appartenant pas à la même face.
Surface latérale la pyramide est la somme des aires de toutes les faces latérales. Zone toute la surface est appelée la somme des aires de toutes les faces latérales et de la base.
Théorèmes
1. Si dans une pyramide tous les bords latéraux sont également inclinés par rapport au plan de la base, alors le sommet de la pyramide est projeté au centre du cercle circonscrit près de la base.
2. Si dans une pyramide tous les bords latéraux ont longueurs égales, alors le sommet de la pyramide est projeté au centre du cercle circonscrit près de la base.
3. Si toutes les faces d'une pyramide sont également inclinées par rapport au plan de la base, alors le sommet de la pyramide est projeté au centre d'un cercle inscrit dans la base.
Pour calculer le volume d’une pyramide arbitraire, la formule correcte est :
Où V- volume;
Socle S– la superficie de base ;
H– hauteur de la pyramide.
Pour une pyramide régulière, les formules suivantes sont correctes :
Où p– périmètre de base ;
ha un– l'apothème ;
H- hauteur;
S plein
Côté S
Socle S– la superficie de base ;
V– volume d'une pyramide régulière.
Pyramide tronquée appelée partie de la pyramide comprise entre la base et un plan coupant parallèle à la base de la pyramide (Fig. 17). Pyramide tronquée régulière appelée partie d'une pyramide régulière comprise entre la base et un plan coupant parallèle à la base de la pyramide.
Terrains pyramide tronquée - polygones similaires. Faces latérales – les trapèzes. Hauteur d’une pyramide tronquée est la distance entre ses bases. Diagonale une pyramide tronquée est un segment reliant ses sommets qui ne se trouvent pas sur la même face. Coupe diagonale est une section d'une pyramide tronquée par un plan passant par deux arêtes latérales n'appartenant pas à la même face.
Pour une pyramide tronquée, les formules suivantes sont valables :
(4)
Où S 1 , S 2 – zones des bases supérieures et inférieures ;
S plein– superficie totale ;
Côté S– surface latérale ;
H- hauteur;
V– volume d’une pyramide tronquée.
Pour une pyramide tronquée régulière, la formule est correcte :
Où p 1 , p 2 – périmètres des bases ;
ha un– apothème d’une pyramide tronquée régulière.
Exemple 1. Dans le droit pyramide triangulaire l'angle dièdre à la base est de 60º. Trouvez la tangente de l'angle d'inclinaison du bord latéral au plan de la base.
Solution. Faisons un dessin (Fig. 18).
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La pyramide est régulière, ce qui signifie qu'à la base il y a un triangle équilatéral et que toutes les faces latérales sont des triangles isocèles égaux. L'angle dièdre à la base est l'angle d'inclinaison de la face latérale de la pyramide par rapport au plan de la base. L'angle linéaire est l'angle un entre deux perpendiculaires : etc. Le sommet de la pyramide est projeté au centre du triangle (le centre du cercle circonscrit et le cercle inscrit du triangle abc). L'angle d'inclinaison du bord latéral (par exemple S.B.) est l'angle entre le bord lui-même et sa projection sur le plan de la base. Pour la côte S.B. cet angle sera l'angle SBD. Pour trouver la tangente, il faut connaître les jambes DONC Et O.B.. Laissez la longueur du segment BD est égal à 3 UN. Point À PROPOS segment de ligne BD est divisé en parties : et De on trouve DONC: 
De là on retrouve : 
Répondre:
Exemple 2. Trouvez le volume d'une pyramide quadrangulaire tronquée régulière si les diagonales de ses bases sont égales à cm et cm et que sa hauteur est de 4 cm.
Solution. Pour trouver le volume d’une pyramide tronquée, on utilise la formule (4). Pour trouver l'aire des bases, vous devez trouver les côtés des carrés de base, connaissant leurs diagonales. Les côtés des bases sont respectivement égaux à 2 cm et 8 cm, ce qui signifie les aires des bases et en remplaçant toutes les données dans la formule, nous calculons le volume de la pyramide tronquée :
Répondre: 112cm3.
Exemple 3. Trouvez l'aire de la face latérale d'une pyramide tronquée triangulaire régulière dont les côtés des bases mesurent 10 cm et 4 cm et la hauteur de la pyramide est de 2 cm.
Solution. Faisons un dessin (Fig. 19).
La face latérale de cette pyramide est un trapèze isocèle. Pour calculer l'aire d'un trapèze, vous devez connaître la base et la hauteur. Les bases sont données selon la condition, seule la hauteur reste inconnue. Nous la trouverons d'où UN 1 E perpendiculaire à un point UN 1 sur le plan de la base inférieure, UN 1 D– perpendiculaire à UN 1 par CA. UN 1 E= 2 cm, puisque c'est la hauteur de la pyramide. Trouver DE Faisons un dessin supplémentaire montrant la vue de dessus (Fig. 20). Point À PROPOS– projection des centres des bases supérieure et inférieure. depuis (voir fig. 20) et d'autre part D'ACCORD– rayon inscrit dans le cercle et 
OM– rayon inscrit dans un cercle :
MK = DE.
D'après le théorème de Pythagore de
Zone du visage latéral : 
Répondre:
Exemple 4. A la base de la pyramide se trouve un trapèze isocèle dont les bases UN Et b (un> b). Chaque face latérale forme un angle égal au plan de la base de la pyramide j. Trouvez la surface totale de la pyramide.
Solution. Faisons un dessin (Fig. 21). Superficie totale de la pyramide SABCDégal à la somme des aires et de l'aire du trapèze A B C D.
Utilisons l'affirmation selon laquelle si toutes les faces de la pyramide sont également inclinées par rapport au plan de la base, alors le sommet est projeté au centre du cercle inscrit dans la base. Point À PROPOS– projection du sommet Sà la base de la pyramide. Triangle GAZON est la projection orthogonale du triangle CDD au plan de la base. Par le théorème sur l'aire de projection orthogonale silhouette plate on a:
De même, cela signifie 
Ainsi, le problème se réduisait à trouver l'aire du trapèze A B C D. Dessinons un trapèze A B C D séparément (Fig. 22). Point À PROPOS– le centre d'un cercle inscrit dans un trapèze.
Puisqu’un cercle peut s’inscrire dans un trapèze, alors ou Du théorème de Pythagore nous avons
est un polyèdre formé par la base de la pyramide et une section parallèle à celle-ci. On peut dire qu’une pyramide tronquée est une pyramide dont le sommet est coupé. Cette figurine possède de nombreuses propriétés uniques :
- Les faces latérales de la pyramide sont des trapèzes ;
- Les bords latéraux d'une pyramide tronquée régulière sont de même longueur et inclinés par rapport à la base du même angle ;
- Les bases sont des polygones similaires ;
- Dans une pyramide tronquée régulière, les faces sont identiques trapèzes isocèles, dont l'aire est égale. Ils sont également inclinés par rapport à la base selon un angle.
La formule de la surface latérale d'une pyramide tronquée est la somme des aires de ses côtés : 
Puisque les côtés d'une pyramide tronquée sont des trapèzes, pour calculer les paramètres vous devrez utiliser la formule zone trapézoïdale. Pour une pyramide tronquée régulière, vous pouvez appliquer une formule différente pour calculer l'aire. Puisque tous ses côtés, faces et angles à la base sont égaux, il est possible d'appliquer les périmètres de la base et de l'apothème, et également de déduire l'aire à travers l'angle à la base.
Si, selon les conditions d'une pyramide tronquée régulière, l'apothème (hauteur du côté) et les longueurs des côtés de la base sont donnés, alors l'aire peut être calculée par le demi-produit de la somme des périmètres de les bases et l'apothème :
Regardons un exemple de calcul de la surface latérale d'une pyramide tronquée.
Étant donné une pyramide pentagonale régulière. Apothème je= 5 cm, la longueur du bord dans la grande base est un= 6 cm, et le bord est à la plus petite base b= 4 cm Calculez l'aire de la pyramide tronquée.
Commençons par trouver les périmètres des bases. Puisqu’on nous donne une pyramide pentagonale, nous comprenons que les bases sont des pentagones. Cela signifie que les bases contiennent une figure avec cinq côtés identiques. Trouvons le périmètre de la plus grande base :
De la même manière on trouve le périmètre de la plus petite base :
Nous pouvons maintenant calculer l'aire d'une pyramide tronquée régulière. Remplacez les données dans la formule :
Ainsi, nous avons calculé l'aire d'une pyramide tronquée régulière à travers les périmètres et l'apothème.
Une autre façon de calculer la surface latérale d'une pyramide régulière est la formule à travers les angles à la base et l'aire de ces mêmes bases.
Regardons un exemple de calcul. Nous nous en souvenons cette formule s'applique uniquement à une pyramide tronquée régulière.
Soit une pyramide quadrangulaire régulière. Le bord de la base inférieure est a = 6 cm et le bord de la base supérieure est b = 4 cm. L'angle dièdre à la base est β = 60°. Trouvez l'aire latérale d'une pyramide tronquée régulière.
Tout d'abord, calculons l'aire des bases. Puisque la pyramide est régulière, tous les bords des bases sont égaux les uns aux autres. Considérant que la base est un quadrilatère, on comprend qu'il faudra calculer superficie de la place. C'est le produit de la largeur et de la longueur, mais au carré, ces valeurs sont les mêmes. Trouvons l'aire de la plus grande base : 
Nous utilisons maintenant les valeurs trouvées pour calculer la surface latérale. 
Connaissant quelques formules simples, nous avons facilement calculé l'aire du trapèze latéral d'une pyramide tronquée en utilisant différentes valeurs.
