Valeurs exactes des fonctions trigonométriques. Sinus, cosinus, tangente et cotangente - tout ce que vous devez savoir à l'OGE et à l'USE
Les concepts de sinus (), cosinus (), tangente (), cotangente () sont inextricablement liés au concept d'angle. Afin de bien comprendre ces concepts complexes à première vue (qui provoquent un état d'horreur chez de nombreux écoliers), et de s'assurer que "le diable n'est pas aussi effrayant qu'il est peint", commençons par le tout début et comprenons la notion d'angle.
La notion d'angle : radian, degré
Regardons l'image. Le vecteur "a tourné" par rapport au point d'une certaine quantité. Donc la mesure de cette rotation par rapport à la position initiale sera coin.
Que devez-vous savoir d'autre sur le concept d'angle ? Eh bien, les unités d'angle, bien sûr !
L'angle, à la fois en géométrie et en trigonométrie, peut être mesuré en degrés et en radians.
L'angle à (un degré) est appelé l'angle central dans le cercle, basé sur un arc de cercle égal à la partie du cercle. Ainsi, le cercle entier est constitué de "morceaux" d'arcs de cercle, ou l'angle décrit par le cercle est égal.
Autrement dit, la figure ci-dessus montre un angle égal, c'est-à-dire que cet angle est basé sur un arc de cercle avec la taille de la circonférence.
Un angle en radians est un angle au centre d'un cercle, basé sur un arc de cercle, dont la longueur est égale au rayon du cercle. Eh bien, avez-vous compris? Si ce n'est pas le cas, regardons l'image.
Ainsi, la figure montre un angle égal à un radian, c'est-à-dire que cet angle est basé sur un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle (la longueur est égale à la longueur ou au rayon égal à la longueur arc). Ainsi, la longueur de l'arc est calculée par la formule :
Où est l'angle au centre en radians.
Eh bien, sachant cela, pouvez-vous répondre à combien de radians contient un angle décrit par un cercle ? Oui, pour cela, vous devez vous rappeler la formule de la circonférence d'un cercle. Elle est là:
Eh bien, corrélons maintenant ces deux formules et obtenons que l'angle décrit par le cercle est égal. Autrement dit, en corrélant la valeur en degrés et en radians, nous obtenons cela. Respectivement, . Comme vous pouvez le voir, contrairement aux "degrés", le mot "radian" est omis, car l'unité de mesure est généralement claire dans le contexte.
Combien y a-t-il de radians ? C'est vrai!
J'ai compris? Puis accrochez-vous en avant :
Des difficultés ? Alors regarde réponses:
Triangle rectangle : sinus, cosinus, tangente, cotangente d'un angle
Donc, avec le concept de l'angle compris. Mais qu'est-ce que le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente d'un angle ? Essayons de comprendre. Pour cela, un triangle rectangle nous aidera.
Comment s'appellent les côtés ? triangle rectangle? C'est vrai, l'hypoténuse et les jambes : l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit (dans notre exemple, c'est le côté) ; les jambes sont les deux côtés restants et (ceux adjacents à angle droit), de plus, si l'on considère les jambes par rapport à l'angle, alors la jambe est la jambe adjacente et la jambe est celle opposée. Alors, maintenant, répondons à la question : quels sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle ?
Sinus d'un angle est le rapport de la jambe opposée (éloignée) à l'hypoténuse.
dans notre triangle.
Cosinus d'un angle- c'est le rapport de la jambe adjacente (fermée) à l'hypoténuse.
dans notre triangle.
Angle tangent- c'est le rapport de la jambe opposée (éloignée) à la jambe adjacente (proche).
dans notre triangle.
Cotangente d'un angle- c'est le rapport de la jambe adjacente (proche) à la jambe opposée (éloignée).
dans notre triangle.
Ces définitions sont nécessaires rappelles toi! Pour vous rappeler plus facilement quelle jambe diviser par quoi, vous devez bien comprendre que dans tangente et cotangente seules les jambes sont assises et l'hypoténuse n'apparaît que dans sinus et cosinus. Et puis vous pouvez créer une chaîne d'associations. Par exemple, celui-ci :
cosinus→toucher→toucher→adjacent ;
Cotangente→toucher→toucher→adjacent.
Tout d'abord, il faut se rappeler que le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente comme rapports des côtés d'un triangle ne dépendent pas des longueurs de ces côtés (à un angle). Ne fais pas confiance? Assurez-vous ensuite en regardant l'image:
Considérons, par exemple, le cosinus d'un angle. Par définition, à partir d'un triangle : , mais on peut calculer le cosinus d'un angle à partir d'un triangle : . Vous voyez, les longueurs des côtés sont différentes, mais la valeur du cosinus d'un angle est la même. Ainsi, les valeurs de sinus, cosinus, tangente et cotangente dépendent uniquement de la grandeur de l'angle.
Si vous comprenez les définitions, alors allez-y et corrigez-les !
Pour le triangle représenté sur la figure ci-dessous, on trouve.
Eh bien, avez-vous compris? Alors essayez vous-même : calculez la même chose pour le coin.
Cercle unitaire (trigonométrique)
Comprendre les concepts de degrés et de radians, nous avons considéré un cercle avec un rayon égal à. Un tel cercle s'appelle Célibataire. Il est très utile dans l'étude de la trigonométrie. Par conséquent, nous nous y attardons un peu plus en détail.
Comme vous pouvez le voir, ce cercle est construit dans le système de coordonnées cartésiennes. Le rayon du cercle est égal à un, tandis que le centre du cercle se trouve à l'origine, la position initiale du rayon vecteur est fixée le long de la direction positive de l'axe (dans notre exemple, il s'agit du rayon).
Chaque point du cercle correspond à deux nombres : la coordonnée selon l'axe et la coordonnée selon l'axe. Quels sont ces numéros de coordonnées ? Et en général, qu'ont-ils à voir avec le sujet traité ? Pour ce faire, rappelez-vous du triangle rectangle considéré. Dans la figure ci-dessus, vous pouvez voir deux triangles rectangles entiers. Considérez un triangle. Elle est rectangulaire car perpendiculaire à l'axe.
Qu'est-ce qui est égal à partir d'un triangle ? C'est vrai. De plus, nous savons que est le rayon du cercle unitaire, et donc, . Remplacez cette valeur dans notre formule de cosinus. Voici ce qui se passe :
Et qu'est-ce qui est égal à partir d'un triangle ? Oui bien sur, ! Remplacez la valeur du rayon dans cette formule et obtenez :
Alors, pouvez-vous me dire quelles sont les coordonnées d'un point qui appartient au cercle ? Eh bien, pas moyen? Et si vous vous en rendez compte et que vous n'êtes que des chiffres ? A quelle coordonnée correspond-il ? Eh bien, bien sûr, la coordonnée! A quelle coordonnée correspond-il ? C'est vrai, coordonnez-vous! Ainsi, le point.
Et quels sont alors égaux et? C'est vrai, utilisons les définitions appropriées de tangente et de cotangente et obtenons cela, a.
Et si l'angle est plus grand ? Ici, par exemple, comme sur cette image :
Qu'est-ce qui a changé dans cet exemple? Essayons de comprendre. Pour ce faire, nous nous tournons à nouveau vers un triangle rectangle. Considérons un triangle rectangle : un angle (comme adjacent à un angle). Quelle est la valeur du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente d'un angle ? C'est vrai, nous adhérons aux définitions pertinentes fonctions trigonométriques:
Eh bien, comme vous pouvez le voir, la valeur du sinus de l'angle correspond toujours à la coordonnée ; la valeur du cosinus de l'angle - la coordonnée; et les valeurs de tangente et cotangente aux rapports correspondants. Ainsi, ces relations sont applicables à toutes les rotations du rayon vecteur.
Il a déjà été mentionné que la position initiale du rayon vecteur est le long de la direction positive de l'axe. Jusqu'à présent, nous avons fait tourner ce vecteur dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, mais que se passe-t-il si nous le faisons tourner dans le sens des aiguilles d'une montre ? Rien d'extraordinaire, vous obtiendrez également un angle d'une certaine taille, mais seulement celui-ci sera négatif. Ainsi, lors de la rotation du vecteur de rayon dans le sens antihoraire, nous obtenons angles positifs, et en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre - négatif.
Ainsi, nous savons qu'une révolution entière du rayon vecteur autour du cercle est ou. Est-il possible de faire pivoter le rayon vecteur de ou de ? Bien sûr que tu peux! Dans le premier cas, le rayon vecteur fera donc un tour complet et s'arrêtera à la position ou.
Dans le second cas, c'est-à-dire que le rayon vecteur fera trois tours complets et s'arrêtera à la position ou.
Ainsi, à partir des exemples ci-dessus, nous pouvons conclure que les angles qui diffèrent de ou (où est un nombre entier) correspondent à la même position du rayon vecteur.
La figure ci-dessous montre un angle. La même image correspond au coin, et ainsi de suite. Cette liste peut être poursuivie indéfiniment. Tous ces angles peuvent être écrits avec la formule générale ou (où est un nombre entier)
Maintenant, connaissant les définitions des fonctions trigonométriques de base et en utilisant le cercle unitaire, essayez de répondre à quoi les valeurs sont égales :
Voici un cercle unitaire pour vous aider :
Des difficultés ? Alors découvrons-le. Donc on sait que :
A partir de là, on détermine les coordonnées des points correspondant à certaines mesures de l'angle. Bon, commençons dans l'ordre : le coin à correspond à un point de coordonnées, donc :
N'existe pas;
De plus, en respectant la même logique, nous découvrons que les coins correspondent respectivement à des points avec des coordonnées. Sachant cela, il est facile de déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques aux points correspondants. Essayez-le vous-même d'abord, puis vérifiez les réponses.
Réponses:
N'existe pas
N'existe pas
N'existe pas
N'existe pas
Ainsi, nous pouvons faire le tableau suivant :
Il n'est pas nécessaire de se souvenir de toutes ces valeurs. Il suffit de rappeler la correspondance entre les coordonnées des points sur le cercle unité et les valeurs des fonctions trigonométriques :
Mais les valeurs des fonctions trigonométriques des angles dans et, données dans le tableau ci-dessous, doit être rappelé:
N'ayez pas peur, nous allons maintenant montrer l'un des exemples mémorisation assez simple des valeurs correspondantes:
Pour utiliser cette méthode, il est indispensable de se souvenir des valeurs du sinus pour tout trois mesures angle (), ainsi que la valeur de la tangente de l'angle en. Connaissant ces valeurs, il est assez facile de restaurer l'ensemble du tableau - les valeurs de cosinus sont transférées conformément aux flèches, c'est-à-dire :
Sachant cela, vous pouvez restaurer les valeurs pour. Le numérateur " " correspondra et le dénominateur " " correspondra. Les valeurs cotangentes sont transférées conformément aux flèches indiquées sur la figure. Si vous comprenez cela et que vous vous souvenez du diagramme avec des flèches, il suffira de vous souvenir de la valeur entière du tableau.
Coordonnées d'un point sur un cercle
Est-il possible de trouver un point (ses coordonnées) sur un cercle, connaissant les coordonnées du centre du cercle, son rayon et son angle de rotation?
Bien sûr que tu peux! Faisons ressortir formule générale trouver les coordonnées d'un point.
Ici, par exemple, nous avons un tel cercle:
On nous donne que le point est le centre du cercle. Le rayon du cercle est égal. Il faut trouver les coordonnées du point obtenu en faisant tourner le point de degrés.
Comme on peut le voir sur la figure, la coordonnée du point correspond à la longueur du segment. La longueur du segment correspond à la coordonnée du centre du cercle, c'est-à-dire qu'elle est égale à. La longueur d'un segment peut être exprimée en utilisant la définition du cosinus :
Ensuite, nous avons pour le point la coordonnée.
Par la même logique, on trouve la valeur de la coordonnée y pour le point. De cette façon,
Alors dans vue générale les coordonnées des points sont déterminées par les formules :
Coordonnées du centre du cercle,
rayon du cercle,
Angle de rotation du rayon vecteur.
Comme vous pouvez le voir, pour le cercle unitaire que nous considérons, ces formules sont considérablement réduites, car les coordonnées du centre sont nulles et le rayon est égal à un:
Eh bien, essayons ces formules pour un avant-goût, en nous entraînant à trouver des points sur un cercle ?
1. Trouver les coordonnées d'un point sur un cercle unité obtenu en activant un point.
2. Trouver les coordonnées d'un point sur un cercle unité obtenu en faisant tourner un point sur.
3. Trouver les coordonnées d'un point sur un cercle unité obtenu en activant un point.
4. Point - le centre du cercle. Le rayon du cercle est égal. Il faut trouver les coordonnées du point obtenu en faisant tourner le rayon vecteur initial de.
5. Point - le centre du cercle. Le rayon du cercle est égal. Il faut trouver les coordonnées du point obtenu en faisant tourner le rayon vecteur initial de.
Vous avez du mal à trouver les coordonnées d'un point sur un cercle ?
Résolvez ces cinq exemples (ou comprenez bien la solution) et vous apprendrez à les trouver !
1.
Cela se voit. Et on sait ce qui correspond à un tour complet du point de départ. Ainsi, le point souhaité sera dans la même position que lors du virage vers. Sachant cela, on trouve les coordonnées désirées du point :
2. Le cercle est unité avec un centre en un point, ce qui signifie que nous pouvons utiliser des formules simplifiées :
Cela se voit. On sait ce qui correspond à deux rotations complètes du point de départ. Ainsi, le point souhaité sera dans la même position que lors du virage vers. Sachant cela, on trouve les coordonnées désirées du point :
Le sinus et le cosinus sont des valeurs tabulaires. Nous nous souvenons de leurs valeurs et obtenons:
Ainsi, le point recherché a des coordonnées.
3. Le cercle est unité avec un centre en un point, ce qui signifie que nous pouvons utiliser des formules simplifiées :
Cela se voit. Décrivons l'exemple considéré dans la figure:
Le rayon fait des angles avec l'axe égal à et. Sachant que les valeurs tabulaires du cosinus et du sinus sont égales, et ayant déterminé que le cosinus prend ici une valeur négative, et que le sinus est positif, on a :
Des exemples similaires sont analysés plus en détail lors de l'étude des formules de réduction des fonctions trigonométriques dans le sujet.
Ainsi, le point recherché a des coordonnées.
4.
Angle de rotation du rayon vecteur (par condition)
Pour déterminer les signes correspondants du sinus et du cosinus, on construit un cercle unité et un angle :
Comme vous pouvez le voir, la valeur, c'est-à-dire est positive, et la valeur, c'est-à-dire est négative. Connaissant les valeurs tabulaires des fonctions trigonométriques correspondantes, on obtient que :
Remplaçons les valeurs obtenues dans notre formule et trouvons les coordonnées:
Ainsi, le point recherché a des coordonnées.
5. Pour résoudre ce problème, nous utilisons des formules sous forme générale, où
Les coordonnées du centre du cercle (dans notre exemple,
Rayon du cercle (par condition)
Angle de rotation du rayon vecteur (par condition).
Remplacez toutes les valeurs dans la formule et obtenez :
et - les valeurs du tableau. Nous les rappelons et les substituons dans la formule :
Ainsi, le point recherché a des coordonnées.
RÉSUMÉ ET FORMULE DE BASE
Le sinus d'un angle est le rapport de la jambe opposée (éloignée) à l'hypoténuse.
Le cosinus d'un angle est le rapport de la jambe adjacente (proche) à l'hypoténuse.
La tangente d'un angle est le rapport de la jambe opposée (éloignée) à la jambe adjacente (proche).
La cotangente d'un angle est le rapport de la jambe adjacente (proche) à la jambe opposée (éloignée).
TABLE DES VALEURS DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques est compilé pour les angles de 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 et 360 degrés et leurs angles correspondants en radians. Parmi les fonctions trigonométriques, le tableau montre le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente, la sécante et la cosécante. Pour faciliter la résolution d'exemples scolaires, les valeurs des fonctions trigonométriques du tableau sont écrites sous forme de fraction avec la préservation des signes d'extraction de la racine carrée des nombres, ce qui aide très souvent à réduire les expressions mathématiques complexes. Pour la tangente et la cotangente, les valeurs de certains angles ne peuvent pas être déterminées. Pour les valeurs de la tangente et de la cotangente de tels angles, il y a un tiret dans le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques. Il est généralement admis que la tangente et la cotangente de tels angles sont égales à l'infini. Sur une page séparée se trouvent des formules pour réduire les fonctions trigonométriques.
Le tableau des valeurs de la fonction trigonométrique sinus montre les valeurs pour les angles suivants : sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 en degrés , ce qui correspond à sin 0 pi, sin pi / 6 , sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi en mesure d'angles en radians. Table d'école des sinus.
Pour la fonction cosinus trigonométrique, le tableau indique les valeurs pour les angles suivants : cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 en degrés, ce qui correspond à cos 0 pi, cos pi à 6, cos pi par 4, cos pi par 3, cos pi par 2, cos pi, cos 3 pi par 2, cos 2 pi en radian mesure des angles. Table scolaire des cosinus.
La table trigonométrique de la fonction trigonométrique tangente donne des valeurs pour les angles suivants : tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 en degré, ce qui correspond à tg 0 pi, tg pi / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi en radian des angles. Les valeurs suivantes des fonctions trigonométriques de la tangente ne sont pas définies tg 90, tg 270, tg pi/2, tg 3 pi/2 et sont considérées comme égales à l'infini.
Pour la fonction trigonométrique cotangente dans le tableau trigonométrique, les angles suivants sont donnés : ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 en degrés, ce qui correspond à ctg pi/6, ctg pi/4, ctg pi/3 , tg pi / 2, tg 3 pi/2 en radian mesure des angles. Les valeurs suivantes des fonctions cotangentes trigonométriques ne sont pas définies ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi et sont considérées comme égales à l'infini.
Les valeurs des fonctions trigonométriques sécante et cosécante sont données pour les mêmes angles en degrés et radians comme sinus, cosinus, tangente, cotangente.
Le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques des angles non standard présente les valeurs de sinus, cosinus, tangente et cotangente pour les angles en degrés 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 degrés et en radians pi/12 , pi/10, pi/8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radians. Les valeurs des fonctions trigonométriques sont exprimées en termes de fractions et de racines carrées pour simplifier la réduction des fractions dans les exemples scolaires.
Trois autres monstres de la trigonométrie. Le premier est la tangente de 1,5 degrés et demi, ou pi divisé par 120. Le second est le cosinus de pi divisé par 240, pi/240. Le plus long est le cosinus de pi divisé par 17, pi/17.
Le cercle trigonométrique des valeurs des fonctions sinus et cosinus représente visuellement les signes du sinus et du cosinus en fonction de la grandeur de l'angle. Surtout pour les blondes, les valeurs de cosinus sont soulignées d'un tiret vert afin d'être moins confuses. La conversion des degrés en radians est également très clairement présentée, lorsque les radians sont exprimés en pi.
Cette table trigonométrique présente les valeurs de sinus, cosinus, tangente et cotangente pour des angles de 0 zéro à 90 quatre-vingt-dix degrés dans des intervalles de un degré. Pour les quarante-cinq premiers degrés, les noms des fonctions trigonométriques doivent être regardés en haut du tableau. La première colonne contient les degrés, les valeurs des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes sont écrites dans les quatre colonnes suivantes.
Pour les angles de quarante-cinq degrés à quatre-vingt-dix degrés, les noms des fonctions trigonométriques sont écrits au bas du tableau. La dernière colonne contient les degrés, les valeurs des cosinus, sinus, cotangentes et tangentes sont écrites dans les quatre colonnes précédentes. Vous devez être prudent, car les noms des fonctions trigonométriques dans la partie inférieure du tableau trigonométrique sont différents des noms dans la partie supérieure du tableau. Les sinus et les cosinus sont interchangés, tout comme la tangente et la cotangente. Cela est dû à la symétrie des valeurs des fonctions trigonométriques.
Les signes des fonctions trigonométriques sont illustrés dans la figure ci-dessus. Le sinus a des valeurs positives de 0 à 180 degrés ou de 0 à pi. Valeurs négatives le sinus a 180 à 360 degrés, ou pi à 2 pi. Les valeurs de cosinus sont positives de 0 à 90 et de 270 à 360 degrés, soit de 0 à 1/2 pi et de 3/2 à 2 pi. Tangente et cotangente ont des valeurs positives de 0 à 90 degrés et de 180 à 270 degrés, correspondant à des valeurs de 0 à 1/2 pi et de pi à 3/2 pi. La tangente négative et la cotangente sont de 90 à 180 degrés et de 270 à 360 degrés, ou 1/2 pi à pi et 3/2 pi à 2 pi. Lors de la détermination des signes des fonctions trigonométriques pour des angles supérieurs à 360 degrés ou 2 pi, les propriétés de périodicité de ces fonctions doivent être utilisées.
Les fonctions trigonométriques sinus, tangente et cotangente sont des fonctions impaires. Les valeurs de ces fonctions pour les angles négatifs seront négatives. Le cosinus est une fonction trigonométrique paire - la valeur du cosinus pour un angle négatif sera positive. Lors de la multiplication et de la division de fonctions trigonométriques, vous devez suivre les règles des signes.
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Définition géométrique
|BD| - la longueur de l'arc de cercle centré au point A.
α est l'angle exprimé en radians.Tangente ( tga) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égale au rapport de la longueur de la branche opposée |BC| à la longueur de la branche adjacente |AB| .
Cotangente ( ctgα) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égale au rapport de la longueur de la branche adjacente |AB| à la longueur de la jambe opposée |BC| .
Tangente
Où n- ensemble.
Dans la littérature occidentale, la tangente est notée comme suit :
.
;
;
.Graphique de la fonction tangente, y = tg x
Cotangente
Où n- ensemble.
Dans la littérature occidentale, la cotangente est notée comme suit :
.
La notation suivante a également été adoptée :
;
;
.Graphique de la fonction cotangente, y = ctg x
Propriétés de la tangente et de la cotangente
Périodicité
Fonctions y= TG x et y= ctg x sont périodiques de période π.
Parité
Les fonctions tangente et cotangente sont impaires.
Domaines de définition et de valeurs, ascendants, descendants
Les fonctions tangente et cotangente sont continues sur leur domaine de définition (voir la preuve de continuité). Les principales propriétés de la tangente et de la cotangente sont présentées dans le tableau ( n- entier).
y= TG x y= ctg x Portée et continuité Plage de valeurs -∞ < y < +∞ -∞ < y < +∞ Ascendant - Descendant - Extrêmes - - Zéros, y= 0 Points d'intersection avec l'axe y, x = 0 y= 0 - Formules
Expressions en termes de sinus et de cosinus
; ;
; ;
;Formules pour la tangente et la cotangente de la somme et de la différence
Le reste des formules est facile à obtenir, par exempleProduit de tangentes
La formule pour la somme et la différence des tangentes
Ce tableau montre les valeurs des tangentes et des cotangentes pour certaines valeurs de l'argument.
Expressions en termes de nombres complexes
Expressions en termes de fonctions hyperboliques
;
;Dérivés
; .
.
Dérivée d'ordre n par rapport à la variable x de la fonction :
.
Dérivation des formules pour tangente > > > ; pour cotangente > > >Intégrales
Extensions en série
Pour obtenir le développement de la tangente en puissances de x, il faut prendre plusieurs termes du développement en puissance série pour les fonctions péché x et parce que x et diviser ces polynômes entre eux , . Cela se traduit par les formules suivantes.
À .
à .
où B n- Nombres de Bernoulli. Ils sont déterminés soit à partir de la relation de récurrence :
;
;
où .
Ou selon la formule de Laplace :
Fonctions inverses
Fonctions inversesà tangente et cotangente sont respectivement arctangente et arccotangente.
Arctangente, arctg
, où n- ensemble.Arc tangente, arcctg
, où n- ensemble.Références:
DANS. Bronstein, KA Semendyaev, Manuel de mathématiques pour les ingénieurs et les étudiants des établissements d'enseignement supérieur, Lan, 2009.
G. Korn, Manuel de mathématiques pour chercheurs et ingénieurs, 2012.Attention!
Il y a d'autres
matériel dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui fortement "pas très..."
Et pour ceux qui "beaucoup...")Tout d'abord, laissez-moi vous rappeler une conclusion simple mais très utile de la leçon "Qu'est-ce que le sinus et le cosinus ? Qu'est-ce que la tangente et la cotangente ?"
Voici cette sortie :
Le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente sont étroitement liés à leurs angles. Nous savons une chose, donc nous savons autre chose.
En d'autres termes, chaque angle a son propre sinus et cosinus fixes. Et presque tout le monde a sa propre tangente et cotangente. Pourquoi presque? Plus à ce sujet ci-dessous.
Cette connaissance vous aidera beaucoup ! Il existe de nombreuses tâches où vous devez passer des sinus aux angles et vice versa. Pour cela il y a tableau des sinus. De même, pour les travaux avec cosinus - tableau des cosinus. Et, vous l'avez deviné, il y a tableau des tangentes et table cotangente.)
Les tableaux sont différents. Les longs, où vous pouvez voir à quoi, disons, sin37 ° 6 'est égal. Nous ouvrons les tables Bradis, recherchons un angle de trente-sept degrés six minutes et voyons la valeur de 0,6032. Bien sûr, mémoriser ce nombre (et des milliers d'autres valeurs du tableau) n'est pas du tout nécessaire.
En fait, à notre époque, les longues tables de cosinus, sinus, tangentes et cotangentes ne sont pas vraiment nécessaires. Une bonne calculatrice les remplace complètement. Mais cela ne fait pas de mal de connaître l'existence de telles tables. Pour l'érudition générale.)
Pourquoi alors cette leçon ? - tu demandes.
Mais pourquoi. Parmi le nombre infini d'angles, il y a spécial, dont vous devriez savoir tout. Toute la géométrie et la trigonométrie scolaires sont construites sur ces angles. C'est une sorte de "table de multiplication" de la trigonométrie. Si vous ne savez pas à quoi équivaut sin50°, par exemple, personne ne vous jugera.) Mais si vous ne savez pas à quoi équivaut sin30°, préparez-vous à obtenir un deux bien mérité...
Tel spécial les coins sont également bien typés. Les manuels scolaires sont généralement gracieusement offerts pour la mémorisation. table sinus et table cosinus pour dix-sept corners. Et, bien sûr, table tangente et table cotangente pour les mêmes dix-sept coins... C'est-à-dire. il est proposé de retenir 68 valeurs. Qui, soit dit en passant, sont très similaires les uns aux autres, répétez et changez les signes de temps en temps. Pour une personne sans mémoire visuelle idéale - c'est une autre tâche ...)
Nous irons dans l'autre sens. Remplaçons la mémorisation mécanique par la logique et l'ingéniosité. Ensuite, il faut mémoriser 3 (trois !) valeurs pour le tableau des sinus et le tableau des cosinus. Et 3 (trois !) valeurs pour le tableau des tangentes et le tableau des cotangentes. Et c'est tout. Six valeurs sont plus faciles à retenir que 68, je pense...)
Nous obtiendrons toutes les autres valeurs nécessaires de ces six en utilisant une puissante feuille de triche légale. - cercle trigonométrique. Si vous n'avez pas étudié ce sujet, allez sur le lien, ne soyez pas paresseux. Ce cercle n'est pas seulement pour cette leçon. Il est irremplaçable pour toute la trigonométrie à la fois. Ne pas utiliser un tel outil est tout simplement un péché ! Tu ne veux pas? Ce sont vos affaires. mémoriser tableau des sinus. tableau des cosinus. Tableau tangent. Table cotangente. Toutes les 68 valeurs pour différents angles.)
Alors, commençons. Pour commencer, divisons tous ces angles spéciaux en trois groupes.
Le premier groupe de coins.
Considérez le premier groupe coins de dix-sept spécial. Ce sont 5 angles : 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.
Voici à quoi ressemble le tableau des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes pour ces angles :
Anglex
(en degrés)0
90
180
270
360
Anglex
(en radian)0
péché x
0
1
0
-1
0
parce que x
1
0
-1
0
1
TG x
0
pas substantif
0
pas substantif
0
ctg x
pas substantif
0
pas substantif
0
pas substantif
Ceux qui veulent se souvenir - se souvenir. Mais je dois dire tout de suite que tous ces uns et ces zéros sont très confus dans ma tête. Beaucoup plus fort que vous ne le souhaitez.) Par conséquent, nous activons la logique et le cercle trigonométrique.
On trace un cercle et on y marque ces mêmes angles : 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. J'ai marqué ces coins avec des points rouges :
Vous pouvez immédiatement voir quelle est la particularité de ces coins. Oui! Ce sont les coins qui tombent exactement sur l'axe des coordonnées ! En fait, c'est pourquoi les gens s'embrouillent ... Mais nous ne nous embrouillerons pas. Voyons comment trouver les fonctions trigonométriques de ces angles sans trop de mémorisation.
Au fait, la position de l'angle est de 0 degrés coïncide complètement avec un angle de 360 degrés. Cela signifie que les sinus, cosinus, tangentes de ces angles sont exactement les mêmes. J'ai marqué l'angle de 360 degrés pour terminer le cercle.
Supposons que, dans un environnement difficile et stressant de l'examen d'État unifié, vous doutiez d'une manière ou d'une autre ... À quoi est égal le sinus de 0 degrés? Cela ressemble à zéro... Et si c'est une unité ?! La mémoire mécanique est une telle chose. Dans des conditions difficiles, les doutes commencent à ronger...)
Calme, seulement calme!) Je vais vous dire une technique pratique qui vous donnera une réponse correcte à 100% et éliminera complètement tous les doutes.
À titre d'exemple, voyons comment déterminer clairement et de manière fiable, par exemple, un sinus de 0 degré. Et en même temps, cosinus 0. C'est dans ces valeurs, assez curieusement, que les gens se confondent souvent.
Pour ce faire, dessinez sur un cercle arbitraire coin X. Au premier trimestre, alors qu'il n'était pas loin de 0 degrés. Noter sur les axes le sinus et le cosinus de cet angle X, tout est chinois. Comme ça:
Et maintenant - attention ! Diminuer l'angle X, ramener le côté mobile vers l'axe OH. Survolez l'image (ou touchez l'image sur la tablette) et voyez tout.
Allumez maintenant la logique élémentaire !. Regardez et réfléchissez : Comment se comporte sinx lorsque l'angle x diminue ? Lorsque l'angle approche de zéro ?ça rétrécit ! Et cosx - augmente! Il reste à comprendre ce qu'il adviendra du sinus lorsque l'angle s'effondrera complètement ? Quand le côté mobile de l'angle (point A) se stabilisera-t-il sur l'axe OX et l'angle deviendra-t-il égal à zéro ? Évidemment, le sinus de l'angle ira également à zéro. Et le cosinus augmentera jusqu'à... jusqu'à... Quelle est la longueur du côté mobile de l'angle (le rayon du cercle trigonométrique) ? Unité!
Voici la réponse. Le sinus de 0 degré est 0. Le cosinus de 0 degré est 1. Absolument à toute épreuve et sans aucun doute !) Simplement parce que sinon ça ne peut pas être.
De la même manière, vous pouvez connaître (ou clarifier) le sinus de 270 degrés, par exemple. Ou cosinus 180. Dessinez un cercle, arbitraire un angle dans un quart à côté de l'axe de coordonnées qui nous intéresse, déplacez mentalement le côté de l'angle et saisissez ce que deviendront le sinus et le cosinus lorsque le côté de l'angle se stabilisera sur l'axe. C'est tout.
Comme vous pouvez le voir, il n'est pas nécessaire de mémoriser quoi que ce soit pour ce groupe d'angles. pas besoin ici tableau des sinus... Oui et tableau des cosinus- aussi.) D'ailleurs, après plusieurs applications du cercle trigonométrique, toutes ces valeurs sont mémorisées d'elles-mêmes. Et s'ils sont oubliés, j'ai dessiné un cercle en 5 secondes et l'ai clarifié. Beaucoup plus facile que d'appeler un ami depuis les toilettes avec le risque d'un certificat, non ?)
Quant à la tangente et la cotangente, tout est pareil. Nous traçons une ligne de tangente (cotangente) sur le cercle - et tout est immédiatement visible. Où ils sont égaux à zéro, et où ils n'existent pas. Quoi, tu ne connais pas les lignes de tangente et de cotangente ? C'est triste, mais réparable.) Visité la section 555 Tangente et cotangente sur un cercle trigonométrique - et pas de problème !
Si vous comprenez comment définir clairement le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente pour ces cinq angles - félicitations ! Au cas où, je vous informe que vous pouvez maintenant définir des fonctions tous les angles qui tombent sur l'axe. Et c'est 450°, et 540°, et 1800°, et même un nombre infini ...) J'ai compté (correctement !) L'angle sur le cercle - et il n'y a aucun problème avec les fonctions.
Mais, juste avec le comptage des angles, des problèmes et des erreurs surviennent ... Comment les éviter est écrit dans la leçon: Comment dessiner (compter) n'importe quel angle sur un cercle trigonométrique en degrés. Élémentaire, mais très utile dans la lutte contre les erreurs.)
Et voici la leçon: Comment dessiner (compter) n'importe quel angle sur un cercle trigonométrique en radians - ce sera plus abrupt. En termes de possibilités. Disons, déterminer sur lequel des quatre demi-axes tombe l'angle
vous pouvez en quelques secondes. Je ne plaisante pas! Juste dans quelques secondes. Eh bien, bien sûr, pas seulement 345 "pi" ...) Et 121, et 16, et -1345. Tout coefficient entier est bon pour une réponse instantanée.
Et si l'angle
Pense! La bonne réponse est obtenue en secondes 10. Pour toute valeur fractionnaire de radians avec un dénominateur de deux.
En fait, c'est à cela que sert le cercle trigonométrique. Le fait que la capacité de travailler avec quelques coins, il s'étend automatiquement jusqu'à ensemble infini coins.
Donc, avec cinq virages sur dix-sept - j'ai compris.
Le deuxième groupe d'angles.
Le prochain groupe d'angles sont les angles de 30°, 45° et 60°. Pourquoi ceux-ci, et pas, par exemple, 20, 50 et 80 ? Oui, cela s'est en quelque sorte passé comme ça ... Historiquement.) De plus, on verra à quel point ces angles sont bons.
Le tableau des sinus, cosinus, tangentes, cotangentes pour ces angles ressemble à ceci :
Anglex
(en degrés)0
30
45
60
90
Anglex
(en radian)0
péché x
0
1
parce que x
1
0
TG x
0
1
pas substantif
ctg x
pas substantif
1
0
J'ai laissé les valeurs pour 0° et 90° du tableau précédent par souci d'exhaustivité.) Pour préciser que ces angles se situent au premier quart et augmentent. De 0 à 90. Cela nous sera utile plus loin.
Les valeurs du tableau pour les angles 30°, 45° et 60° doivent être mémorisées. Grattez si vous voulez. Mais ici aussi, il y a une opportunité de se faciliter la vie.) Faites attention à valeurs de la table des sinus ces coins. Et comparer avec valeurs de la table des cosinus...
Oui! Elles sont même! Juste dans l'ordre inverse. Les angles augmentent (0, 30, 45, 60, 90) - et les valeurs de sinus augmenter de 0 à 1. Vous pouvez vérifier avec une calculatrice. Et les valeurs de cosinus - diminuer de 1 à zéro. De plus, les valeurs elles-mêmes même. Pour des angles de 20, 50, 80 cela ne se serait pas produit...
D'où une conclusion utile. Assez pour apprendre Trois valeurs pour les angles 30, 45, 60 degrés. Et rappelez-vous qu'ils augmentent dans le sinus et diminuent dans le cosinus. Vers le sinus.) À mi-chemin (45 °) ils se rencontrent, c'est-à-dire sinus 45 degrés égal au cosinus 45 degrés. Et puis ils divergent à nouveau... Trois sens s'apprennent, non ?
Avec tangentes - cotangentes, l'image est exclusivement la même. Un par un. Seules les valeurs sont différentes. Ces valeurs (trois de plus !) sont aussi à apprendre.
Eh bien, presque toute la mémorisation est terminée. Vous avez compris (espérons-le) comment déterminer les valeurs des cinq angles qui tombent sur l'axe et appris les valeurs des angles de 30, 45, 60 degrés. Total 8.
Il reste à traiter le dernier groupe de 9 virages.
Ce sont les coins :
120° ; 135° ; 150° ; 210° ; 225° ; 240° ; 300° ; 315° ; 330°. Pour ces angles, il faut connaître la table de fer des sinus, la table des cosinus, etc.Cauchemar, n'est-ce pas ?)
Et si vous ajoutez des angles ici, comme : 405°, 600°, ou 3000° et beaucoup, beaucoup de la même belle ?)
Ou des angles en radians ? Par exemple, à propos des coins :
et bien d'autres que vous devriez savoir tout.
Le plus drôle est de savoir tout - impossible en principe. Si vous utilisez une mémoire mécanique.
Et c'est très simple, en fait élémentaire - si vous utilisez un cercle trigonométrique. Si vous vous familiarisez avec le cercle trigonométrique, tous ces horribles angles en degrés peuvent être facilement et élégamment réduits aux bons vieux :
Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)
Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprendre - avec intérêt !)
vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivés.
Tableau des valeurs des fonctions trigonométriques
Noter. Ce tableau de valeurs de fonctions trigonométriques utilise le signe √ pour désigner racine carrée. Pour désigner une fraction - le symbole "/".
voir également matériel utile :
Pour déterminer la valeur d'une fonction trigonométrique, trouvez-le à l'intersection de la ligne indiquant la fonction trigonométrique. Par exemple, un sinus de 30 degrés - nous recherchons une colonne avec l'en-tête sin (sinus) et nous trouvons l'intersection de cette colonne du tableau avec la ligne "30 degrés", à leur intersection nous lisons le résultat - un deuxième. De même, on trouve cosinus 60 degrés, sinus 60 degrés (encore une fois, à l'intersection de la colonne sin (sinus) et de la rangée de 60 degrés, on trouve la valeur sin 60 = √3/2), etc. De la même manière, les valeurs des sinus, cosinus et tangentes d'autres angles "populaires" sont trouvées.
Sinus de pi, cosinus de pi, tangente de pi et autres angles en radians
Le tableau des cosinus, sinus et tangentes ci-dessous convient également pour trouver la valeur des fonctions trigonométriques dont l'argument est donné en radians. Pour ce faire, utilisez la deuxième colonne de valeurs d'angle. Grâce à cela, vous pouvez convertir la valeur des angles populaires de degrés en radians. Par exemple, trouvons l'angle de 60 degrés dans la première ligne et lisons sa valeur en radians en dessous. 60 degrés est égal à π/3 radians.
Le nombre pi exprime de manière unique la dépendance de la circonférence d'un cercle sur la mesure en degrés de l'angle. Donc pi radians est égal à 180 degrés.
Tout nombre exprimé en termes de pi (radian) peut être facilement converti en degrés en remplaçant le nombre pi (π) par 180.
Exemples:
1. sinus pi.
sin π = sin 180 = 0
ainsi, le sinus de pi est le même que le sinus de 180 degrés et est égal à zéro.2. cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
ainsi, le cosinus de pi est le même que le cosinus de 180 degrés et est égal à moins un.3. Tangente pi
tg π = tg 180 = 0
ainsi, la tangente de pi est la même que la tangente de 180 degrés et est égale à zéro.Tableau des valeurs sinus, cosinus, tangente pour les angles 0 - 360 degrés (valeurs fréquentes)
angle α
(degrés)angle α
en radians(via pi)
péché
(sinus)parce que
(cosinus)TG
(tangente)CTG
(cotangente)seconde
(sécante)cause
(cosécante)0 0 0 1 0 - 1 - 15 π/12 2 - √3 2 + √3 30 π/6 1/2 √3/2 1/√3 √3 2/√3 2 45 π/4 √2/2 √2/2 1 1 √2 √2 60 π/3 √3/2 1/2 √3 1/√3 2 2/√3 75 5π/12 2 + √3 2 - √3 90 π/2 1 0 - 0 - 1 105 7π/12 - - 2 - √3 √3 - 2 120 2π/3 √3/2 -1/2 -√3 -√3/3 135 3π/4 √2/2 -√2/2 -1 -1 -√2 √2 150 5π/6 1/2 -√3/2 -√3/3 -√3 180 π 0 -1 0 - -1 - 210 7π/6 -1/2 -√3/2 √3/3 √3 240 4π/3 -√3/2 -1/2 √3 √3/3 270 3π/2 -1 0 - 0 - -1 360 2π 0 1 0 - 1 - Si dans le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques, au lieu de la valeur de la fonction, un tiret est indiqué (tangente (tg) 90 degrés, cotangente (ctg) 180 degrés), alors pour une valeur donnée du degré mesure de l'angle, la fonction n'a pas de valeur définie. S'il n'y a pas de tiret, la cellule est vide, nous n'avons donc pas encore entré la valeur souhaitée. Nous sommes intéressés par les demandes des utilisateurs qui viennent nous voir et complètent le tableau avec de nouvelles valeurs, malgré le fait que les données actuelles sur les valeurs des cosinus, des sinus et des tangentes des valeurs d'angle les plus courantes suffisent à résoudre la plupart problèmes.
Tableau des valeurs des fonctions trigonométriques sin, cos, tg pour les angles les plus courants
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 degrés
(valeurs numériques "selon les tables Bradis")valeur d'angle α (degrés) valeur de l'angle α en radians péché (sinus) cos (cosinus) tg (tangente) ctg (cotangente) 0 0 15 0,2588
0,9659
0,2679
30 0,5000
0,5774
45 0,7071
0,7660
60 0,8660
0,5000
1,7321
7π/18
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