Сааталтай дифференциал тэгшитгэлүүд. Сааталын тэгшитгэл. Өргөтгөсөн объектын төлөвийн тэгшитгэлийн дифференциал хэлбэр

Уран зохиол

1. Инерцийн динамик объектууд

2. Сааталтай элемент бүхий өргөтгөсөн объектын төлөвийн тэгшитгэл

Дүгнэлт

Уран зохиол ба интернет

Баярлалаа

2.1. Өргөтгөсөн динамик объектуудын загваруудын тэгшитгэл ба бүтэц

2.2. Өргөтгөсөн объектуудын хамгийн энгийн бүтцийн элементүүд

2.3. Объектуудын ажиглалт, хяналтыг хойшлуулах боломжтой

2.4. Хугацаатай динамик объектын төлөв ба анхны нөхцөл

2.5. Сааталтай динамик объектын дижитал загварын төлөв байдлын бүрэн орон зай ба түүний тууштай дэд орон зайн дээр

Өргөтгөсөн объектын төлөвийн тэгшитгэлийн дифференциал хэлбэр

Өргөтгөсөн объектын төлөвийн тэгшитгэлийн салшгүй хэлбэр

Өргөтгөсөн объектын төлөвийн тэгшитгэлийн анхны нөхцөлүүд

Саатал бүхий динамик объектын загварын бүтэц

Тусгай курс

Хазайсан аргумент бүхий тэгшитгэлийн ангилал. Хоцролттой дифференциал тэгшитгэлийн үндсэн анхны асуудал.

Дараалсан интеграцийн арга. Тэгшитгэлийн шийдлийг хоцролттой жигд болгох зарчим.

Шахсан зураглалын зарчим. Хэд хэдэн бөөгнөрсөн сааталтай тэгшитгэлийн анхдагч үндсэн асуудлыг шийдвэрлэх оршихуй ба өвөрмөц байдлын теорем. Тархсан хоцролттой тэгшитгэлийн системийн анхны үндсэн асуудлыг шийдвэрлэх оршихуй ба өвөрмөц байдлын теорем.

Анхдагч үндсэн асуудлын шийдлүүдийн параметрүүд болон анхны функцуудаас тасралтгүй хамааралтай байх.

Сааталтай тэгшитгэлийн шийдлүүдийн онцлог шинж чанарууд. Шийдвэрийг үргэлжлүүлэх боломж. Эхлэх цэгийг хөдөлгө. Интервалыг наалдуулах хангалттай нөхцлийн тухай теоремууд. Шийдлийн орон нутгийн бус өргөтгөх боломжийн хангалттай нөхцлийн тухай теорем.

Шугаман саатал бүхий шугаман системийн ерөнхий шийдлийн томьёоны гарган авах.

Тогтвортой байдлын сааталтай тэгшитгэлийн судалгаа. D хуваалтын арга.

Тогтвортой байдлыг судлах функциональ аргыг ашиглах. Тогтвортой байдлын шаардлагатай ба хангалттай нөхцлийн тухай Н.Н.Красовскийн теоремууд. Функционалуудыг бүтээх жишээ.

Тогтвортой байдлын судалгаанд Ляпуновын функцын аргыг ашиглах. Хоцролттой тэгшитгэлийн шийдүүдийн тогтвортой байдал ба асимптотик тогтвортой байдлын тухай Разумихины теоремууд. Ляпуновын функцийг бүтээх жишээ.

Бүрэн ба бүрэн бус мэдээлэл бүхий системд саатал бүхий програмын хяналтыг бий болгох. V. I. Зубовын теоремууд. Хөрөнгийн хөрөнгө оруулалтыг салбараар хуваарилах асуудал.

Шугаман болон шугаман бус тохиолдлуудад оновчтой програмын хяналтыг бий болгох. Понтрягины хамгийн дээд зарчим.

Тогтмол сааталтай хяналтаар тэгшитгэлийн системийг тогтворжуулах. Хатуу биетийг нэг тэнхлэгт тогтворжуулахад хувьсах саатлын нөлөөлөл.

Жабко А.П., Зубов Н.В., Прасолов А.В.Үр нөлөө бүхий системийг судлах аргууд. Л., 1984. Деп. VINITI, № 2103-84.
Зубов В.И.Хожуу аргументтай шугаман суурин системийн онолын тухай // Изв. их дээд сургуулиуд. Сэр. математик. 1958. № 6.
Зубов В.И.Хяналтын онолын лекц. Москва: Наука, 1975.
Красовский Н.Н.Хөдөлгөөний тогтвортой байдлын онолын зарим асуудал. М., 1959 он
Малкин I. G.Хөдөлгөөний тогтвортой байдлын онол.
Мышкис A.D.Хожуу аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий онол // Успеки Мат. Шинжлэх ухаан. 1949. V.4, No5.
Прасолов А.В.Динамик үйл явцын аналитик болон тоон судалгаа. Санкт-Петербург: Санкт-Петербург улсын их сургуулийн хэвлэлийн газар, 1995 он.
Прасолов А.В.Эдийн засаг дахь динамикийн математик загварууд. Санкт-Петербург: Санкт-Петербургийн хэвлэлийн газар. Эдийн засаг, санхүүгийн их сургууль, 2000 он.
Чижова О.Н.Хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн системийн тогтвортой байдал, шийдлийг бий болгох. Л., 1988. Деп. VINITI-д, No 8896-B88.
Чижова О.Н.Шугаман саатлыг харгалзан хатуу биеийг тогтворжуулах // Санкт-Петербургийн Улсын Их Сургуулийн Мэдээлэл. Сер.1. 1995. Дугаар 4, No22.
Чижова О.Н.Хувьсах саатал бүхий тэгшитгэлийн орон нутгийн бус өргөтгөлийн тухай // Механик ба хяналтын үйл явцын асуултууд. Асуудал. 18. - Санкт-Петербург: Санкт-Петербург улсын их сургуулийн хэвлэлийн газар, 2000 он.
Элсголц Л.Е., Норкин С.Б.Хазайлттай аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн онолын танилцуулга. М., 1971.

Шугаман бус олон хэмжээст динамик объектуудын төлөв байдлын тэгшитгэлийг бичих ерөнхий дүгнэлтийг орон зайд өргөтгөсөн хяналтын систем, тээвэрлэлтийн саатлын элементүүдийг гүйцэтгэв. Ерөнхий дүгнэлтийг интеграторын хамт саатлын холбоосыг хамгийн энгийн динамикийн найрлагад оруулах замаар гүйцэтгэдэг. гаралтын утгыг бие даасан төлөвийн хувьсагч гэж үздэг хүмүүс.

Төлөв хувьсагчид дахь динамик объектын уламжлалт математикийн тайлбарт төлөвийн хувьсагчийн өөрчлөлтийн хурдыг тухайн объектод үзүүлэх нөлөө, төлөвийн хувьсагчийн утгуудтай холбодог вектор төлөвийн тэгшитгэл, түүнчлэн векторын тэгшитгэл орно. объектын гаралтын утгын утгууд (эсвэл тэдгээрийн хэмжилтийн үр дүн) түүний төлөв байдлын хувьсагч ба түүнд үзүүлэх нөлөө:

x - төлөвийн хувьсагчийн вектор;
u - объектод үзүүлэх нөлөөллийн вектор;
y - объектын гаралтын утгын вектор;
z - дуу чимээний вектор;
f(.) ба g(.) нь нэлээд ерөнхий функцууд юм.

Систем (К.1.1) нь орон зайд (цэгт) шугаман бус инерциал-динамик хяналтын объектын төвлөрсөн олон хэмжээст суурин бус төлөвийн хувьсагчийн вектор дифференциал-алгебрийн тэгшитгэлийн систем юм.

(К.1.1) тэгшитгэлээс харахад динамик объектыг сааталгүйгээр дүрслэх нь зөвхөн гурван төрлийн операторыг агуулна: шугаман ялгах нэг (үнэндээ динамик, инерциал) болон инерцийн бус шугаман бус хоёр: a. Холболтын элемент ба найрлагын элемент:

Шугаман ялгах оператор нь төлөвийн хувьсагчийн агшин зуурын өөрчлөлтийн хурдыг тогтоодог тул инерцийг тайлбарладаг бөгөөд иймээс зарим хүмүүсийн хувьд одоо мэдэгдэж байгаа хувьсагчийн утгыг бага ч гэсэн хугацааны өмнө тодорхойлдог. Үүнийг инерци гэж тайлбарлах хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл. урьдчилан тодорхойлсон зарим зан үйл.

Цагаан будаа. K.1.1. Инерцийн объектын тодорхойлолт ба түүний бүтцийн загвар. Дифференциал тэгшитгэл нь нөлөөллийн шалтгаан-үр дагаврын хамаарлыг илэрхийлдэг Xболон хариу үйлдэл (хариулт) yхамгийн энгийн инерцийн холбоос: нөлөөлөл Xгаралтын хэмжигдэхүүн y өөрчлөгдөхөд хүргэдэг хурдЭнэ өөрчлөлт нь шууд пропорциональ байна нөлөөлөл. Интегратор нь хамгийн энгийн, үндсэн динамик (инерциал) элементийн загвар юм. Бүтцийн загвар нь шалтгаан, нөлөөллийг үр дагавар, гаралтын утга болгон хувиргаж байгааг тусгасан болно: хамгийн энгийн (үндсэн) инерцийн загвар нь нөлөөллийн хуримтлал, хадгалалтыг баталгаажуулдаг.

Шугаманчлагдсан үйлдвэрийн загварт суперпозиция зарчим хүчинтэй тул хувьсах бүрэлдэхүүний оператор нь тэдгээрийн жигнэсэн нийлбэр бөгөөд холболтын оператор нь шугаман болно.

Төлөвийн хувьсагчид дахь динамик объектын тэгшитгэлийг мөн интеграл хэлбэрээр илэрхийлж болох бөгөөд энэ нь бүтцийн загварчлалд илүү ойлгомжтой байдаг.

Төлөвийн тэгшитгэл нь динамик объектын өөрийн гэсэн дотоод инерцийг тодорхойлдог. Гаралтын тэгшитгэл нь гаралтын хэмжигдэхүүний векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хэмжилтийн хөндлөнгийн оролцоог харгалзан үздэг.

Цэвэр инерцийн динамик объектын хамгийн багадаа хязгааргүй жижиг урагшлах интервалын төлөв байдал, хандлага нь тухайн объектын бүх төлөвийн хувьсагчийн утгуудын багцаар тодорхойлогддог бөгөөд тухайн объектын харгалзах байрлалаар харагдана. олон хэмжээст төлөвийн орон зай дахь төлөөлөх цэг. Инерцийн объектын тухай мэдээлэл нь бүрэн гүйцэд байгаа тул төлөөлөх цэгийн траекторийн аль ч цэгийн координатыг төлөвийн тэгшитгэлийг нэгтгэх анхны нөхцөл гэж үзэж болно, өөрөөр хэлбэл. төлөөлөх цэгийн дараачийн замыг бүхэлд нь тодорхойлох, динамик объектын гадны нөлөөн дор эсвэл тэдгээр нь байхгүй тохиолдолд үйл ажиллагааг үнэлэх.

Үүний жишээ болгон бид өөр өөр анхны нөхцөл бүхий чөлөөт хэлбэлзлийн системийн загварт зориулж фазын хөрөг зургийг (хоёр хэмжээст төлөвийн орон зай дахь объектуудыг төлөөлөх цэгүүдийн хөдөлгөөний замнал) танилцуулж байна.

Цагаан будаа. K.1.1. Ижил фазын замналтай харгалзах өөр өөр анхны нөхцөлд чөлөөт инерцийн хэлбэлзлийн системийн фазын зургууд давхцаж байна, өөрөөр хэлбэл. фазын траекторийн аль ч цэгийн координатыг объектын цаашдын чөлөөт байдлыг бүрэн тодорхойлдог анхны нөхцөл гэж үзэж болно.

Тиймээс цэгийн (зөвхөн инерцийн, сааталгүй элементүүд) динамик объектуудын зан төлөвийг төлөв ба гаралтын тэгшитгэл, түүнчлэн тухайн объектын бүх төлөвийн хувьсагчийн утгууд болох анхны нөхцлөөр бүрэн дүрсэлсэн байдаг. цаг хугацааны хувьд, тодорхой траектороор харагдана, объектын одоогийн төлөв нь төлөвийн хувьсагчийн олон хэмжээст орон зай дахь цэгээр тодорхойлогддог.

Объектын загвар дахь саатлын холбоосыг хамгийн энгийн динамик элементүүдийн хоёрдахь, бие даасан төрөл болгон инерцийн элементүүд (интегратор) болгон бүртгэх нь бараг бүх нарийн төвөгтэй динамик объектуудыг төлөв байдлын хувьсагчид жигд дүрслэх боломжийг олгодог. тэд.

Динамик объектын загварын зарим салбаруудад саатлын элементүүд байгаа нь сааталгүй объекттой харьцуулахад объектын динамик шинж чанарыг ихээхэн, ихэвчлэн үндсээр нь өөрчилдөг. Тиймээс зөвхөн инерцийн элементүүдийн (интегратор) гаралтын утгуудад тохирох төлөвийн орон зай нь саатлын холбоос бүхий объектын төлөв байдал, үйл ажиллагааг бүрэн тодорхойлж чадахгүй.

Динамик объектын саатлын элемент, түүнчлэн инерцийн элементийг динамик, гаралтын утгыг тусдаа төлөвийн хувьсагч гэж үзэх хэрэгтэй.

Хязгаарлагдмал хугацааны интервалын дохиог хойшлуулах элементийг энгийн динамик гэж ангилах үндэс нь бодит объектын загваруудын хамгийн энгийн динамик элементийн хоёр төрлийн ижил төстэй байдал ба ялгаан дээр үндэслэсэн бөгөөд дараах байдалтай байна.

Гадны ялгаа нь инерцийн элементийг энгийн дифференциал тэгшитгэлээр, харин хоцрогдсон элементийг алгебрийн нэгээр тайлбарладагт оршино.

"Динамик" гэсэн нэр томъёо нь гадны нөлөөн дор байгаа зан төлөвийг дор хаяж хязгааргүй бага интервалаар урьдчилан таамаглах боломжтой объектуудыг хэлдэг. Уламжлал ёсоор цорын ганц динамик гэж тооцогддог инерцийн элемент болох интегратор нь энэ шаардлагыг хангаж байна. Гэхдээ саатал нь мөн ижил шаардлагыг хангадаг, хэрэв түүнд үзүүлэх нөлөөллийн түүхийг мэддэг бол. Энэ тохиолдолд саатлын холбоос нь түүний гаралтын утгын цаашдын хязгаарлагдмал хугацааны интервалын зан төлөвийг хатуу тодорхойлох боломжийг олгодог. Тэр. саатлын холбоосыг динамик гэж ангилж болно.

Нөгөөтэйгүүр, бодит объектуудын саатлын холбоос нь материалыг шилжүүлэх ("тээврийн саатал") эсвэл объектын зарим элементийн оролтод дохио ирэх (нөлөөллийн загвар) сааталтай тохирч байна. орон зайд тархалтаараа. Тиймээс саатлын холбоос нь харилцааны элементүүдтэй холбоотой байж болно.

Тархалт бүхий суурин бус саатал элемент ба түүний онцгой тохиолдол, цэвэр саатал элемент, түүнчлэн хамгийн энгийн инерцийн элемент нь динамик бөгөөд учир нь түүний гаралтын дохио нь өвөрмөц бөгөөд бусад инерцийн бус бүрэлдэхүүнээр олж авах боломжгүй, зөвхөн инерцийн шинж чанартай байдаг. төлөв хувьсагч. Энэ бол ийм найрлагын цаг хугацааны хоцрогдлын үр дүн юм.

Коши хэлбэрээр үзүүлсэн цэгийн объектуудын төлөв байдлын тэгшитгэлийг өргөтгөсөн объектууд болон тээвэрлэлтийн сааталтай объектуудад нэгтгэхийн тулд бид урьдчилан таамаглах операторыг албан ёсоор нэвтрүүлэв. Урд (τ) :

Ерөнхий тохиолдолд энэ оператор нь мэдээжийн хэрэг физикийн хувьд хэрэгжих боломжгүй, учир нь энэ нь τ урагшлах хязгаарлагдмал хугацааны интервалд ажиллаж буй хувьсагчийн утгыг үнэн зөв таамаглах ёстой. Гэхдээ энэ оператор нь төлөвийн тэгшитгэлийн албан ёсны "сайхан" анхны дүрслэлд л хэрэгтэй бөгөөд тэдгээрийн бүтцийн шийдлийг хэрэгжүүлсэн саатлын оператор ашиглан хийх боломжтой. Нөгөө талаас, төлөвийн тэгшитгэл дэх таамаглах оператор нь зөвхөн хоцролт, оролтын үйлдэл бүхий объектын бүх төлөвийн хувьсагчийн үйл ажиллагааны түүхээр тодорхойлогддог төлөв байдлын хувьсагч дээр ажилладаг. тэдгээрийн зарим бүрэлдэхүүн хэсэг, тиймээс энэ тохиолдолд урьдчилан таамаглалыг эрт дээр үеэс хатуу тодорхойлсон тул үүнийг хэрэгжүүлэх боломжтой юм.

Ингээд өргөтгөсөн динамик объектын төлөвийн хувьсагчдын вектор тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичье.

(К.2.1.2)-д бичих, уншихад хялбар болгох үүднээс төлөвийн хувьсагчдыг хоёр бүлэгт хуваадаг. Эхний бүлгийн хувьсагч х (1) нь объектын хамгийн энгийн инерцийн элементүүдийн төлөвийн хувьсагч, тэдгээрийн гаралтын утгууд юм. Хувьсагч х (2) нь объектын саатлын холбоосын гаралттай харгалзах төлөвийн хувьсагч юм. Мэдээжийн хэрэг, зарчмын хувьд "инерцийн" болон "хоцрогдсон" төлөвийн хувьсагчдыг дурын дарааллаар бичиж, дугаарлаж, нэг вектор тэгшитгэлд нэгтгэж болно.

Динамик объектын төлөв байдлын тэгшитгэлийн ерөнхий систем нь зөвхөн нэг бие даасан хувьсагчтай байдаг гэдгийг анхаарна уу - цаг t. (К.2.1.2)-д заасан объектын орон зайн шинж чанарыг хязгаарлагдмал (хязгааргүй) хурдтай буюу тээвэрлэлтийн саатал бүхий орон зайд нөлөөллийн тархалтаас шалтгаалан саатал τ хугацааны векторыг харгалзан шууд бусаар дүрсэлсэн болно.

Динамик объектуудыг төлөв байдлын тэгшитгэлээр тайлбарласны үндсэн дээр сааталтайгаар авч үзэхийг зарим зохиогчид өмнө нь хийж байсан.

2.1-ийн (2.1.2)-д заасан тодорхойлолт нь зөвхөн тэгшитгэлийн баруун талын сааталуудыг зааж өгөхөөр хязгаарлагдаж, загвар бүтцийн саатлын холбоосыг өөрийн төлөвийн хувьсагчаар тодорхойлогддог функциональ элемент болгон оруулаагүй болно. Төлөвийн тэгшитгэлийн ижил төстэй эх дүрслэлийг “1.5. Тээврийн саатал бүхий системүүдийн оновчтой хяналт”, 188 ба дараалал, түүнчлэн .

Тэгшитгэлийн хэлбэр (K.2.1.2) нь саатлын холбоосын гаралтын утгуудад харгалзах тусгай төлөвийн хувьсагчдыг оруулахад санал болгож буй хэлбэрээс ялгаатай байна. Тиймээс саатлын холбоосууд нь хамгийн энгийн динамиктай холбоотой бөгөөд динамик объектуудын тайлбар нь бүх нийтийн шинж чанартай болдог.

Энэ зүйлд санал болгож буй динамик объектын дүрслэлд тухайн объектын одоогийн дотоод төлөвийг интегратор ба саатлын холбоосуудын гаралтын утгуудад харгалзах төлөвийн хувьсагчдын утгын вектор, түүхээр бүрэн тодорхойлдог. тэдний зан авираас.

Сааталтай динамик объектын төлөвийн хувьсагчдын тэгшитгэлийг интеграл "хоцрогдсон" хэлбэрээр илэрхийлж болох бөгөөд энэ нь объектын бүтцийн загварыг бүрдүүлэхэд илүү ойлгомжтой байж магадгүй юм.

саатуулагч операторууд хаана байна:

урьдчилан таамаглах операторын эсрэг үйлдэл хийх fwd(.).

Тиймээс (К.2.1.3) нь олон хэмжээст өргөтгөсөн шугаман бус хөдөлгөөнт бус динамик объектын вектор төлөвийн хувьсагчдын интеграл-"хоцрогдсон" тэгшитгэлүүд юм. Хамгийн энгийн инерцийн элементүүдийн гаралтын дохионд харгалзах хувьсагчдын хэсэг нь х (1) вектороор тэмдэглэгдсэн нь хувьсагчдын нэгэн адил бүх хувьсагчийн зарим хослолын хуримтлалын (интеграл) үр дүн юм. оролтын үйлдлүүд нь цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөж болно. Х (2) гэж тэмдэглэгдсэн төлөвийн хувьсагчдын хоёр дахь хэсэг нь бүх төлөвийн хувьсагчийн зарим хослол, түүнчлэн объектын оруулах үйлдлүүдийг хэсэг хугацаанд хойшлуулах явдал юм. τ (вектор), энэ нь ерөнхийдөө цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөж болно. Эдгээр тэгшитгэлийн дагуу бүтцийн тэгшитгэлийг байгуулж болно. виртуал аналог, динамик объектын загварууд.

Тэгшитгэлд (K.2.1.3) саатлын холбоосуудын (операторуудын) анхны нөхцөл нь интеграторуудын нэгэн адил зөвхөн тэг хугацааны төлөвийн хувьсагч ба оролтын үйлдлийн хослолын утга биш юм. Тэгшитгэлийн хоёрдмол утгагүй шийдлийн хувьд (K.2.1.3) эдгээр холбоосуудын оролтын утгуудын үйл ажиллагааны түүхийг тодорхойлсон функц хэлбэрээр саатлын холбоосуудын анхны нөхцлийг тохируулах шаардлагатай. тэдний хойшлуулах завсарлага.

Тэр. "санах ойтой" саатлын холбоосууд нь объектын зан төлөвийн асуудлыг хоёрдмол утгагүй шийдвэрлэхийн тулд илүү их мэдээлэл шаарддаг: интеграторуудад хангалттай байдаг шиг зарим үед төлөвийн хувьсагчийн утгын вектор биш, харин интеграцийн эхлэлийн өмнөх саатлын холбоосуудтай харгалзах хугацааны интервалд заасан функцүүдийн вектор (төрийн хувьсагч ба объект дээрх оруулах үйлдлүүдийн хослол).

Өөрөөр хэлбэл, сааталтай системүүдийн төлөвийн орон зай дахь цэг ба траектори гэх мэт динамик объектын төлөв байдал, төлөв байдал нь зөвхөн энэ орон зай дахь цэгийн байрлалаар тодорхойлогддоггүй, мөн түүний өмнөх траекторуудаар тодорхойлогддог. "саатал" дэд орон зай x (2) ба дэд орон зайд х (1) "инерцийн" хувьсагчид, түүнчлэн саатлын харгалзах холбоосуудад саатал гарсан эдгээр хугацааны интервал дахь гадны нөлөөллийн зан байдлын түүх. .

Хойшлуулсан объектын төлөв байдлын тэгшитгэлийг илэрхийлэх уламжлалт хэлбэрийн ижил төстэй мэдэгдлийг 2.1-д мөн өгсөн болно.

"Цаг хугацааны дурын агшинд сааталтай үргэлжилсэн объектын төлөв нь зөвхөн хязгаарлагдмал тооны параметрүүдээр тодорхойлогддоггүй (төрийн хувьсагч гэсэн үг - F.B.T.) (хугацаагүй объектуудын хувьд), мөн тус тусад нь тодорхойлогдсон зарим функцээр тодорхойлогддог. интервал дээр , . Энэ нь ийм объектыг удирдах асуудлыг шийдвэрлэхэд ихээхэн хүндрэл учруулж байна."

Ерөнхийдөө саатлын холбоосын анхны нөхцөлийг тодорхойлох асуудал нь зөвхөн динамик объектыг төлөвийн хувьсагчид дүрслэхээс гадна бусад тайлбарын аргуудын онцлог шинж юм. Ихэнхдээ динамик объектын дижитал загварчлалын сааталтай үед "хоцрогдсон" хувьсагчдын анхны траекторийг авдаг, i.e. саатлын холбоосуудын гаралтын утга тогтмол байна. Үүнийг хийхийн тулд холбоосын буферийг анхны төлөвт нь тэг эсвэл тогтмолоор дүүргэдэг.

Динамик объектын нэг хэсэг болох саатлын холбоосын оролтын дохио нь бусад холбоосуудтай холбоотой төлөвийн хувьсагчдын бүрэлдэхүүн бөгөөд объектод нөлөөлдөг тул саатлын холбоосын гаралтын дохиог өөрчлөх хатуу прогнозыг тохируулах нь тэнцүү юм. нэрлэгдсэн төлөвийн хувьсагч ба нөлөөллийн үйл ажиллагааны түүхийг ижил хугацааны интервалд тохируулах.

Цагаан будаа. 2.1.1. Тодорхой цаг хугацааны хоцрогдолтой динамик объектын төлөв нь тухайн үеийн төлөвийн хувьсагчдын утгууд болох координатууд нь төлөвийн орон зай дахь түүний төлөөлөх цэгийн байрлалаар тодорхойлогддог. цаг хугацааны өмнөх цэгүүдэд энэ цэгийн замнал. Олон хэмжээст төлөвийн орон зайг инерцийн төлөвийн хувьсагчдын дэд орон зай ба "хойшлогдсон" төлөвийн хувьсагчийн дэд орон зайгаар төлөөлж болно.

Тиймээс цэгийн объектуудын хувьд төлөвийн орон зай дахь төлөөлөх цэгийн байрлал нь динамик объектын төлөв байдал, ойрын ирээдүйд хандах хандлагыг бүрэн тодорхойлдог. Сансар огторгуйд сунаж тогтсон, бүтцэд нь тээвэрлэлтийн саатлын холбоос бүхий объектуудын хувьд тэдгээрийн төлөв байдал, цаашдын зан төлөвийг зөвхөн дүрслэх цэгийн одоогийн байрлалаар бус харин өмнөх үеийн төлөвийн орон зай дахь хөдөлгөөний замналаар тодорхойлдог. , энэ нь нэлээд том хугацааны интервал байж болно.

Системд (К.2.1.3) тохирох саатал бүхий динамик объектын загварын бүтцийг томруулсан хэлбэрээр зурагт үзүүлэв.

Цагаан будаа. K.2.1.2. Сансар огторгуйд өргөтгөсөн шугаман бус динамик хяналтын объектын ажиглагдсан олон хэмжээст суурин бус загварын үндсэн бүтцийн элементүүдийн томруулсан бүдүүвч дүрслэл. Объектийн өөрийн динамик шинж чанарууд нь зүүн блокийн бүтэц, шинж чанар, параметрүүдээр тодорхойлогддог бөгөөд хувиргагч блок нь төлөвийн хувьсагчийг хэмжиж болох утга болгон хувиргадаг (эсвэл шууд хэмжилтийн үр дүнд)

Цагаан будаа. K.2.1.3. Бодит динамик объектын загварын бүтэц, түүний дотоод "метаболизм" -ийг тусгасан, i.e. нөлөөлөл ба хувьсагчийн утгыг шилжүүлэх чиглэл, түүнчлэн тэдгээрт хийгдсэн үйлдлүүд. Сааталтай объектын зан төлөвийг зөвхөн "инерциал" төлөвийн хувьсагчдын анхны нөхцлийн вектор төдийгүй бүх төлөвийн хувьсагчийн түүх, түүнчлэн объектод үзүүлэх нөлөөллийн түүхээр тодорхойлдог.

Сааталын функциональ элементүүдтэй нийлмэл динамик объектыг бүтцийн хувьд инерцийн болон "хоцрогдсон" хоёр зэрэгцээ хэлхээгээр дүрсэлдэг. Бүхэл бүтэн объектын төлөвийн хувьсагчид нь инерцийн болон "хоцрогдсон" төлөвийн хувьсагчдын нэгдэл юм (объектын бүтцийн хамгийн энгийн инерцийн элементүүдийн гаралтын утгууд ба "хоцрогдсон", өөрөөр хэлбэл саатлын холбоосуудын гаралтын утгууд) нэг векторт. .

Дээр дурьдсанчлан, ерөнхий тохиолдолд зарим саатлын холбоосын оролтын дохиог тухайн объектын бүх төлөвийн хувьсагч болон түүнд үзүүлэх бүх нөлөөллийн аль алинаар нь тодорхойлно. Тиймээс объектын төлөв байдал, дараа нь зан төлөвийг хоёрдмол утгагүй тодорхойлохын тулд "хоцрогдсон" төлөвийн хувьсагчдын зан төлөвийн үнэ цэнэ, таамаглал, эсвэл түүнтэй адилтгах зан үйлийн түүхийг мэдэх шаардлагатай. бүх төлөвийн хувьсагч ба объектын оруулах үйлдэл.

Динамик объектуудын сааталтай төлөв ба гаралтын тэгшитгэл (К.2.1.2) ба (К.2.1.3)-аас харахад тэдгээрийг тодорхойлоход ердөө дөрвөн оператор хангалттай. Орон зайн өргөтгөл болон (эсвэл тээвэрлэлтийн саатал) бүхий динамик систем, объектуудын хамгийн энгийн дөрвөн элементийн (эдгээр операторуудын виртуал аналог) математикийн тодорхойлолтыг шууд бусаар тэдгээрийг тодорхойлсон физик хуулиудад үндэслэн энгийн тэгшитгэл болгон бууруулсан болно. шугаман дифференциал, нөгөө гурав нь алгебрийн:

x - элементэд үзүүлэх нөлөө,
y - түүний хариу үйлдэл,
t - цаг хугацаа,
τ нь тодорхой хугацааны хоцрогдол юм.

Цагаан будаа. K.2.2.1. Интегратор ба суурин саатлын холбоос - энгийн динамик объектын төрлүүдийн бүрэн багц. Сааталтай объектын загваруудын эдгээр хамгийн энгийн динамик элементүүд нь объектын төлөв байдал, зан төлөвийг бүрэн, хоёрдмол утгагүй дүрслэх анхны нөхцлийг шаарддаг. Интеграторын хувьд энэ нь нөхцөлт тэг цагийн цэг дэх гаралтын утгын утга бөгөөд саатлын холбоосын хувьд "анхны" нөхцөл нь [-τ, 0 интервал дээрх өмнөх цаг хугацааны цэгүүд дэх оролтын утгын төлөв байдал юм. ], эсвэл ижил байна, холбоос дахь саатлын хугацаатай тэнцэх интервал дахь саатлын холбоосын гаралтын утгын (“хоцрогдсон” төлөвийн хувьсагч) төлөв байдлын таамаглал.

Цагаан будаа. K.2.2.2. Динамик объектын блок диаграммын ерөнхий хэлбэрийн хамгийн энгийн (үндсэн) элементүүд нь түүний математик загвар болох дөрвөн өөр төрлийн элементийг агуулдаг. Эдгээр төрлийн элементүүд нь дур зоргоороо нарийн төвөгтэй динамик объектыг (технологийн үйлдвэр, түүний удирдлагын систем гэх мэт) загварчлахад хангалттай.

Хамгийн энгийн элементүүдийг нэгтгэснээр дурын нарийн төвөгтэй динамик объектын тууштай загварыг бий болгож чадна. Динамик объектын дифференциал-алгебрийн тэгшитгэлийн системийг төлөв байдлын тэгшитгэл хэлбэрээр эмхэтгэх нь динамик объектын загварыг нэг чиглэлтэй энгийн багц хэлбэрээр илэрхийлэх далд, шууд бус арга, нэг төрлийн "нууц" юм. бие биетэйгээ харилцан үйлчилдэг динамик элементүүд.

Дээрх дүгнэлтээс үзэхэд сааталтай динамик объектын хоёрдмол утгагүй төлөв нь зөвхөн төлөвийн хувьсагчдын одоогийн утгуудаар тодорхойлогддоггүй, мөн тэдгээрийн өмнөх цаг хугацаа, хязгаарлагдмал болон хугацааны туршид өөрчлөгдсөн түүхээр тодорхойлогддог. хангалттай урт интервал. Тиймээс ийм объектуудын хувьд ажиглагдах, хянах боломжтой гэсэн ойлголтуудыг тодруулах хэрэгтэй.

Хянах чадварХойшлогооны элемент бүхий динамик объектын тухайд: нөлөөллийн векторын хязгаарлагдмал өөрчлөлтөөр тодорхой хугацааны дараа тухайн объектыг тодорхой зан үйлийн өмнө байсан одоогийн төлөвөөс шинэ, шаардлагатай төлөвт шилжүүлэх боломжтой байдаг. төлөвийн орон зайд төлөөлөх цэгийн өгөгдсөн траекторийн өмнө.

ажиглах чадвархоцрогдсон объектыг бид ямар ч үед төлөвийн хувьсагчийн одоогийн векторыг олох боломж гэж тодорхойлдог. траекторийн эцсийн хэсэгТөлөөлөгчийн цэг нь тухайн объектын гаралтын утгуудын хэмжилт, өмнөх зарим хугацааны интервал дахь тэдгээрийн зан байдлын дагуу одоогийн байрлалд хүрэх төлөвийн орон зайд.

Төлөвийн тэгшитгэлийн зөв хэсгүүдийн сааталыг дүрслэн харуулах динамик объектын ажиглалт ба хянах чадварын тухай ойлголтын илүү нарийн тодорхойлолтыг дараахь хэсгээс олж болно. Сааталтай системийг хянах, ажиглах боломжтой".

Сааталтай динамик объектын одоогийн төлөв байдал нь түүний дараагийн цагуудад, дор хаяж маш богино хугацааны туршид түүний зан төлөвийг хоёрдмол утгагүйгээр тодорхойлох ёстой. Объект дээр гадны нөлөө байхгүй (чөлөөт хөдөлгөөн), эсвэл мэдэгдэж буй гадны нөлөөллөөр энэ хугацаа хязгааргүй хүртэл үргэлжилдэг.

Сааталтай динамик объектын төлөвийг "инерцийн" болон "хоцрогдсон" төлөвийн бүх хувьсагчийн агшин зуурын утга, түүнчлэн тэдгээрийн өмнөх болон объектод үзүүлэх нөлөөллийн өмнөх үеээр тодорхойлогддог.

Цагаан будаа. K.2.4.1. Динамик объектын төлөвийн хувьсагчийн үе шатны хөрөг зураг, зан төлөв нь гадны нөлөөлөл байхгүй үед сааталтай байдаг. Хэрэв бид сааталтай холбоосыг энгийн динамик гэж үзвэл, i.e. түүний гаралтын утгыг бие даасан төлөвийн хувьсагч гэж үзэхийн тулд сааталтай динамик объектын төлөв байдал, зан төлөвийг бүрэн тайлбарлахын тулд зөвхөн төлөвийн хувьсагчийн утгыг тодорхой хугацаанд тохируулах шаардлагатай. гэхдээ бас тэдний өөрчлөлтийн түүх, энэ тохиолдолд саатал холбоосын буферт байрлуулсан. Өөр өөр түүхийн өмнөх үе нь фазын хөрөг зургийн өөр өөр замнал руу хөтөлдөг, i.e. объектын өөр өөр зан төлөвт. Сааталтын холбоосын гаралтын хувьсагч (х3 төлвийн хувьсагч)-ийн зан төлөвийг урьдчилан таамаглах нь түүний оролтын утгын зан байдлын түүхтэй тэнцүү байна, учир нь энэ нь саатлын хугацаагаар хойшлогдсон түүхийг илэрхийлдэг бөгөөд энэ тохиолдолд τ = 1 сек байна. . Түүхийг мэдэх ёстой интервал нь саатлын холбоосын саатлын хэмжээгээр тодорхойлогддог

Эндээс харахад төлөвийн тэгшитгэлийн анхны нөхцлийг тогтоож, динамик объектын одоогийн төлөвийг хоцрогдолтой хоёрдмол утгагүй дүрслэхийн тулд зөвхөн төлөвийн хувьсагчдын утгыг мэдэх шаардлагатай. бас тэдний түүх.

Цагаан будаа. K.2.4.2. Анхны нөхцөл буюу түүнтэй адилтгах байдлаар инерциал-динамик биетүүд болон сааталтай инерци-динамик объектуудын төлөв байдал. Цэвэр инерцийн объектын хувьд түүний шинж чанарыг иж бүрэн тайлбарлахын тулд бүх төлөвийн хувьсагчийн утгууд, хэрэв байгаа бол тухайн объект дээрх оруулах үйлдлийн утгыг мэдэхэд хангалттай. Сааталтай объект нь инерцийн (загвар интеграторуудын гаралтын дохио) ба "хоцрогдсон" (загварын саатлын холбоосын гаралтын дохио) хоёулангийнх нь төлөв байдлын бүх хувьсагчийн утгуудын талаархи мэдлэгтэй байхаас гадна үйл ажиллагааны төлөв байдлын талаархи таамаглалтай байхыг шаарддаг. "хоцрогдсон"

Тиймээс объектуудыг сааталтай дүрслэхийн тулд энгийн инерцийн объектуудаас хамаагүй илүү мэдээлэл шаардагдах бөгөөд энэ нь тэдгээрийн дүн шинжилгээ, оновчлолыг төвөгтэй болгодог.

Бодит тасралтгүй инерциал динамик объектуудын загваруудыг зөвхөн интегратор (W(p) - загвар) болон зөвхөн энгийн саатал холбоосыг (W(z) - загвар) ашиглан бүтээж болно.

Цагаан будаа. 2.5.1. (хөдөлгөөнт дүрс, 14 фрейм) Интеграторын үндсэн дээр болон нэг циклээр хоцрогдсон элементар саатлын холбоос дээр суурилагдсан инерцийн хэлбэлзлийн системийн загварууд нь эквивалент бөгөөд үүнийг x1 ба z1 гаралтын утгуудын шилжилтийн функцээс харж болно. , тус тус. Мэдээжийн хэрэг, интеграторуудын гаралтын утгууд ба симуляцийн мөчлөгийн дохионы саатлын холбоостой харгалзах эдгээр загваруудын төлөвийн хувьсагчид өөр өөр байдаг. Тиймээс янз бүрийн хос хувьсагчдыг төлөөлөх цэгүүдийн замнал өөр өөр байдаг. Мэдээжийн хэрэг, саатлын энгийн холбоос дээрх загварын хувьд төлөөлөх цэгийн замнал нь нэлээд "уйтгартай" бөгөөд диагональ байдлаар явагддаг, учир нь хувьсагч хоёулаа ач холбогдолгүй хэмжээгээр ялгаатай байдаг бөгөөд энэ нь загварын тууштай байдлыг хангахад чухал ач холбогдолтой юм.

Интеграторууд (апериодын холбоосууд) хангалттай их сааталтай холбоосыг ойролцоогоор загварчлах боломжгүй, харин аливаа саатлыг мөчлөгийн саатлын холбоосоор ямар ч нарийвчлалтайгаар загварчлах боломжтой тул тэдгээрийн хангалттай тоог сонгоход хангалттай гэдгийг анхаарна уу.

Цагаан будаа. 2.5.2. Тасралтгүй саатлын холбоос ба түүний дижитал загварууд. Утга учиртай, иж бүрэн мэдээлэл агуулсан төлөвийн хувьсагч нь түүний оролтын үйлдлийн үйлдлийн түүхийг харгалзан саатлын холбоосын гаралтын утга юм. Сааталтай холбоосын салангид загварын завсрын элементүүдийн гаралтын дохиог албан ёсоор төлөвийн хувьсагчдад хамааруулж болох боловч тэдгээрийн мэдээлэл нь ээлжлэн давтагддаг тул бүхэл бүтэн холбоосын гаралтын утгыг хязгаарлахад хангалттай. мөн үүнийг энгийн нэгдмэл динамик гэж үзэх бөгөөд түүний төлөв байдал нь зөвхөн гаралтын утгын утгаар төдийгүй түүний урьдчилсан мэдээгээр тодорхойлогддог (оролтын үнэ цэнийн өмнөх түүх). Нэгт дискрет загварын буфер нь оролтын утгын түүхээр дүүрдэг тул төлөвийн хувьсагчийн таамаглал нь энэ түүхээр хатуу тодорхойлогддог.

Сааталын холбоостой холбоотой төлөвийн хувьсагчийн тодорхойлолт нь үнэндээ саатал буферийн микро холбоосын сүүлчийн утгатай тэнцүү бөгөөд зөвхөн үндсэн холбоосуудын гаралтын утгыг багтаасан төлөвүүдийн тууштай дэд орон зай болгон ашиглах боломжийг олгодог. саатал холбоосын дижитал загварыг бүрдүүлнэ. Харьцангуй цөөн тооны үр дүнтэй төлөвийн хувьсагч нь динамик объектын аналитик судалгаа, түүний үр дүнг графикаар харуулахад онцгой чухал юм.

Интегратороос гадна хязгаарлагдмал утгын саатлын холбоосыг хамгийн энгийн динамик элемент гэж үзэж болох бөгөөд гаралтын утга нь бие даасан төлөвийн хувьсагч бөгөөд объектын төлөв байдлыг бүрэн, хоёрдмол утгагүй дүрслэхийн тулд зайлшгүй шаардлагатай. төлөвийн орон зай дахь төлөөлөх цэгийн байрлал болон түүний өмнөх замналын хэсгийг хоёуланг нь мэдэх, t .e объектын зан төлөвийн өмнөх түүхийг.

Хяналтын оновчтой систем нь аль хэдийн хэрэгжсэн бол бодитой оршин тогтнох бөгөөд түүний шинж чанар нь ямар математикийн аппаратаар дүрсэлсэн, ямар математикийн арга, хэрэгслээр оновчтой болгосон зэргээс хамаардаггүй. Тиймээс хяналтын систем, ялангуяа автомат удирдлагын системийн математик тайлбарын энгийн байдлыг системийн нарийн төвөгтэй байдлаас хамаарч тодорхойлж, түүнд тохирсон байх ёстой.

1. Ким Д.П. Автомат удирдлагын онол. T.2. Олон хэмжээст, шугаман бус, оновчтой, дасан зохицох систем: Proc. Ашиг тус. - М.: FIZMATLIT, 2004. - 464 х. - ISBN 5-9221-0534-5.
2. Ким Д.П. Автомат удирдлагын онолын даалгаврын цуглуулга. Олон хэмжээст, шугаман бус, оновчтой, дасан зохицох системүүд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 328 х. - ISBN 978-5-9221-0937-6.
3. Юань Янь. Автомат удирдлагын онол. бүлэг 1-9. Танилцуулга, pdf формат. Мэдээллийн шинжлэх ухаан, инженерчлэлийн сургууль, CSU. 2005.08.28
http://wuhua.csu.edu.cn/ac/ac/ch1.pdf
http://wuhua.csu.edu.cn/ac/ac/ch2.pdf
...
http://wuhua.csu.edu.cn/ac/ac/ch9.pdf
4. Лукас В.А. Техникийн системийн хяналтын онол. Их дээд сургуулиудад зориулсан компакт сургалт. - 3 дахь хэвлэл, шинэчилсэн. болон нэмэлт - Екатеринбург. UGGA-ийн хэвлэлийн газар, 2002, - 675 х.
5. Д.Сю, А.Мейер. Автомат удирдлагын орчин үеийн онол ба түүний хэрэглээ. В.С.БОЧКОВ, Е.В.ГУРЕЦКАЯ, Л.М.КИСЕЛЕВА, В.Г.ПОТЕМКИН нар англи хэлнээс орчуулсан. d.t.s засварласан. профессор Ю.И. ТОПЧЕЕВ. -М., : ИНЖЕНЕР, 1972.
6. Дорф Р., Бишоп Р. Орчин үеийн хяналтын систем. Пер. англи хэлнээс. Копылова B.I. - М.: Үндсэн мэдлэгийн лаборатори, S_Pb, 2002. -832 х. ISBN 5-93208-119-8
7. Федосов Б.Т. Олон хэмжээст объектууд. Тодорхойлолт, дүн шинжилгээ, менежмент. Рудный, 2010 он.
http://model.exponenta.ru/bt/bt_171_MultyDim_Obj_Contr.htm
8. Ю.Ю. Громов нар сааталтай автомат удирдлагын систем. - Тамбов. : TSTU-ийн хэвлэлийн газар, 2007 он.
http://window.edu.ru/window_catalog/files/r56879/k_Gromov1.pdf (698 KB)
9. Калман Рудольф Е., Фалб Питер Л., Арбиб Майкл А. Системийн математикийн онолын тухай эссэ: Пер. англи хэлнээс. / Ред. I. Z. Цыпкина. Өмнөх үг Э.Л.Наппелбаум. Эд. 2-рт, хэвшмэл. - М .: Редакцийн URSS, 2004. - 400 х. ISBN 5-354-00762-3
Р.Э.Калман, Р.Л.Фалб, М.А.Арбиб
Математикийн системийн онолын сэдэв
10. Ф.Чаки. Орчин үеийн хяналтын онол. Шугаман бус, оновчтой, дасан зохицох систем. В.В.Капитоненко, С.А.Анисимов нарын англи хэлнээс орчуулсан. Н.С.Райбман М., : МИР 1975 он
11. V.M. Синеглазов, Р.Ю. Ткачев. Ерөнхий саатал бүхий олон хэмжээст объектын бие даасан удирдлага. Кибернетик ба тооцоолол. техник. Эрдэм шинжилгээний бүтээлийн салбар хоорондын цуглуулга. Асуудал. 157. Киев, 2009, х. 17-25.

Хэрэв саатал τ

(10) тэгшитгэлд t хугацаанаас хамаарна

(τ = τ (t )) , дараа нь эхний

Хоцролттой тэгшитгэлийн бодлого. Удирдлага нь сааталтай тэгшитгэлийн Коши бодлогоор системийн фазын траекторийг тодорхойлдог вариацын бодлогыг авч үзье.

Уран зохиолд ийм системийг ихэвчлэн нэгэн зэрэг тэгшитгэлийн систем гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь нэг тэгшитгэлийн хамааралтай хувьсагч нь нэг буюу хэд хэдэн өөр тэгшитгэлд нэгэн зэрэг хувьсагч хэлбэрээр (гэхдээ аль хэдийн бие даасан байдлаар) гарч ирдэг гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд хамааралтай ба бие даасан хувьсагчийн уламжлалт ялгаа нь утгаа алддаг. Үүний оронд хоёр төрлийн хувьсагчийн хооронд ялгаа бий. Эдгээр нь нэгдүгээрт, харилцан хамааралтай хувьсагч (эндоген) бөгөөд тэдгээрийн бие биендээ үзүүлэх нөлөөг судлах шаардлагатай (дээрх тэгшитгэлийн системийн A матриц A t). Хоёрдугаарт, эхнийхүүдэд нөлөөлөх ёстой, гэхдээ тэдгээрт нөлөөлдөггүй урьдчилан тодорхойлсон хувьсагчид нь хоцрогдолтой хувьсагчид, өөрөөр хэлбэл. өгөгдсөн тэгшитгэлийн системээс гадуур тодорхойлогдсон хоцролт (хоёр дахь гишүүн) болон экзоген хувьсагч.

Гэсэн хэдий ч хоцрогдлын ерөнхий төрлүүд болон үлдэгдлийн талаар илүү их эсвэл бага хэмжээгээр тодорхойлсон тэгшитгэлийн хувьд тооцооллын шинж чанарын талаар хангалттай найдвартай үр дүн гараагүй байна. Тиймээс ерөнхий олон гишүүнт хоцрогдол бүхий регрессийн тэгшитгэлийн тооцоо нь зөвхөн нийцлийн шинж чанартай бөгөөд гурван шатлалт хамгийн бага квадратын аргаар олж авсан экзоген ба эндоген хувьсагчид хоцрогдсон тэгшитгэлийн тооцоог (Марковын нэгдүгээр эрэмбийн автокорреляци байгаа тохиолдолд) ) ч гэсэн энэ өмч байхгүй (зураг дахь дүн шинжилгээг үзнэ үү).

Тиймээс, тогтвортой байдлын дээд зэрэгтэй өндөр хурдны системийг нэгтгэхдээ эхлээд (4), ng ба ω, (1 = 1, n) нөхцлийн биелэлтийг хангах bj-ийн оновчтой утгыг тодорхойлох шаардлагатай. дараа нь c/-г олоод (10) ба эцэст нь (12) нөхцлөөс C-ийн өгөгдсөн утгыг сонгоно. Сэтгэгдэл. Бодит тохиолдлуудаас үзэхэд оновчтой шийдлүүдийн бүтэц, тухайлбал туйлын баруун язгууруудын бодит ба нарийн төвөгтэй хосолсон хосуудын тоо, тэдгээрийн хослол, олон талт байдал, үүний үр дүнд X хавтгай дахь оновчтой шийдлийн годографын төрлүүд байна. , хяналтын хэмжээсээс хамаарна m (1.2), хангалттай өндөр дарааллын хувьд n (1.1) нь n-ийн утгаас хамаардаггүй.Өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн m тус бүр нь өөрийн сайн тодорхойлсон бүтцийн тоотой тохирч байна. оновчтой шийдэл шинэ оновчтой шийдэл. Тиймээс n - > QO-ийн хувьд тогтвортой байдлын хамгийн дээд түвшний системийг нэгтгэх боломж хэвээр байгаа бөгөөд оновчтой шийдлүүдийн бүтцийг зөвхөн m-ээр тодорхойлдог бөгөөд энэ нь аль ч m-ийн хувьд оновчтой шийдлийн бүтцийг мөн объектын хувьд мэддэг гэсэн үг юм. саатал.

Үзүүлэлт бүрийн хугацааны хоцрогдлын утгыг хэрхэн тодорхойлох вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ.Тохирох хугацааны хоцрогдол зэргийг тодорхойлохын тулд өгөгдлийн хугацааны цувааны корреляцийн шинжилгээг ашигладаг. Хугацааны хоцролтыг тодорхойлох гол шалгуур нь инфляцийн түвшинд үзүүлэх нөлөөллийн янз бүрийн хоцрогдолтой үзүүлэлтүүдийн хугацааны цувралуудын хоорондын харилцан хамаарлын коэффициентийн хамгийн том утга юм. Үүний үр дүнд тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийг авна

Нэмж дурдахад, S. d. арга нь нэг загварын хүрээнд олон тооны урсгал (биет. хяналт ба мэдээлэл) болон эдгээр урсгалыг хуримтлуулж буй хөрөнгийн хөрөнгө оруулалт, захиран зарцуулах түвшинг үндсэн түвшинд холбох боломжийг олгодог. хүн амын насны бүтэц нь янз бүрийн насны бүлэгт нийслэл, төрөлт, нас баралтын түвшин, гэх мэт -rykh загвар нь өөрөө параметрүүд болон бүтцээс хамааран тогтвортой байдлын нэлээн энгийн туршилт судалгааг зээл.

Дүрмүүдийг бусад шалгуурын дагуу бүлэглэж болно. Жишээлбэл, мөнгөний бодлогын хэрэгсэлд (валютын ханш, хүүгийн түвшин эсвэл мөнгөний агрегат) гадаад эдийн засгийн харилцаа (нээлттэй эсвэл хаалттай эдийн засаг) байгаа эсэх, дүрмийн тэгшитгэлд эдийн засгийн хувьсагчдын таамаглалыг оруулах (урагшлах ба дасан зохицох дүрэм) саатлын хэмжээгээр (хоцрогдолтой эсвэл хоцрогдолгүй) гэх мэт.

Уг загвар нь пуужингийн нислэгийн хугацаа, гал дамжуулах саатлыг харгалзан дайсны пуужингийн довтолгооноос урьдчилан сэргийлэх систем, түүний цөмийн пуужингийн сансрын хяналтын системийн саатлыг харгалзан үзэх боломжийг олгодог. хүч. Энэ загварыг тэгшитгэлээр тодорхойлно

Тогтмол саатлын блок BPZ-2M нь аналог тооцоолох төхөөрөмжүүдийн саатлын аргумент бүхий функцийг хуулбарлахад зориулагдсан бөгөөд олон багтаамжтай цогц объектуудын тэгшитгэлийг ойролцоолсон үед бодисыг зөөвөрлөх эсвэл энерги дамжуулахтай холбоотой үйл явцын цахилгаан загварчлалд ашиглаж болно. хоцролттой эхний ба хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэлээр.

Шийдвэрлэх функцууд нь түвшний талаархи мэдээлэл нь одоогийн урсгалын үнэ цэнэтэй холбоотой шийдвэрийг хэрхэн сонгоход хүргэдэгийг тодорхойлдог үйл ажиллагааны шугамын томъёолол юм. Шийдвэрлэх функц нь нэг буюу хоёр түвшний төлөв байдалд материалын урсгалын хамгийн энгийн урвалыг тодорхойлдог энгийн тэгшитгэлийн хэлбэрийг авч болно (жишээлбэл, тээврийн системийн гүйцэтгэлийг ихэвчлэн дамжин өнгөрөх барааны тоогоор хангалттай илэрхийлж болно. , энэ нь түвшин бөгөөд тогтмол - тээвэрлэлтийн хугацааны дундаж саатал). Нөгөө талаас, шийдвэрийн функц нь хэд хэдэн нэмэлт нөхцлийн өөрчлөлтийг харгалзан гүйцэтгэсэн урт бөгөөд нарийн тооцооллын гинжин хэлхээ байж болно.

Хүйтний улиралд Байгаль нуурт диатом байхгүй байх гол шалтгаан нь ямар хүчин зүйл болох нь одоогоор бүрэн тодорхойгүй байна. [Грачев нар, 1997]-д уулын мөсөн голуудын үйл ажиллагааны улмаас усны булингаржилт ихсэх нь шийдвэрлэх хүчин зүйл гэж үздэг бол [Гавшин нар, 1998]-д гол нь цахиурын агууламж буурах явдал юм. Байгаль нуурын ус зайлуулах сав дахь элэгдэл бүдгэрч . Загварын өөрчлөлт (2.6.7), эхний тэгшитгэл нь цахиурын концентрацийн динамикийг, хоёр дахь нь - түдгэлзүүлсэн бодисын тунадасжилтын динамикийг тодорхойлсон нь эдгээр хоёр хүчин зүйлийн аль нь гол хүчин зүйл болохыг тодорхойлох хандлагыг санал болгох боломжийг бидэнд олгодог. . Усны асар их массын улмаас Байгаль нуурын биота нуурын ус зайлуулах сав газрын ургамлын бүлгүүдийн хариу үйлдэлтэй харьцуулахад цаг уурын өөрчлөлтөд тодорхой хэмжээгээр саатах нь тодорхой байна. Тиймээс диатомын дохио нь палинологийн дохионоос хоцрох ёстой. Хэрэв хүйтэн үед диатомууд алга болох гол шалтгаан нь цахиурын концентраци буурсан бол дулааралтын хариу урвалын саатал нь хөргөлтийн саатлаас их байх ёстой. Хэрэв диатомыг дарах гол хүчин зүйл нь мөсөн голын улмаас булингартдаг бол хөргөлтийн хариу саатал нь дулаарлаас ойролцоогоор ижил эсвэл бүр их байх ёстой.

Уншигчийн анзаарч магадгүй сүүлчийн тэгшитгэл нь пропорциональ саатал бүхий хамгийн энгийн өөрийгөө тохируулах механизмын үйл ажиллагааг дүрсэлсэн болно. Хавсралт А-г харуулсан блок диаграммыг үзүүлэв

Энэ тохиолдолд PERRON97 процедур нь завсарлагааны огноог 1999 07 гэж тодорхойлдог, хэрэв завсарлагааны огноог сонгохдоо бүх боломжит таслах цэгүүдийг авч үзсэн нэгж язгуур шалгуурын ta=i-ийн хамгийн бага - статистикийн дагуу хийгдсэн бол. Үүний зэрэгцээ, ta= = - 3.341 нь эгзэгтэй түвшин - 5.59-ийн 5%-иас дээш байгаа бөгөөд нэгж язгуур таамаглалыг үгүйсгээгүй. Тэгшитгэлийн баруун талд орсон ялгааны хамгийн том саатал нь 10%-ийн ач холбогдлын түвшинтэй загварыг багасгах GS процедурыг хэрэгжүүлэх хүрээнд 12 байхаар сонгосон.

ОРШИЛ

ОХУ-ын Боловсролын яам

Олон улсын боловсролын консорциум "Нээлттэй боловсрол"

Москвагийн Улсын эдийн засаг, статистик, мэдээлэл зүйн их сургууль

ANO "Евразийн нээлттэй хүрээлэн"

Е.А.Геворкян

Хойшлуулсан дифференциал тэгшитгэл

Сурах бичгийн хичээлийг судлах гарын авлага

Сахилгын даалгаврын цуглуулга Сахилгын сургалтын хөтөлбөр

Москва 2004 он

Геворкян Е.А. Хойшлуулсан аргументтай дифференциал тэгшитгэлүүд: Сурах бичиг, энэ хичээлийг судлах гарын авлага, тухайн хичээлийн даалгаврын цуглуулга, тухайн хичээлийн сургалтын хөтөлбөр / Москвагийн Улсын Эдийн засаг, Статистик, Мэдээлэл зүйн Их Сургууль - М .: 2004. - 79 х.

Геворкян Е.А., 2004 он

Москвагийн Улсын эдийн засаг, статистик, мэдээлэл зүйн их сургууль, 2004 он


Заавар
Оршил ................................................. . ................................................ .. ................................


1.1 Дифференциал тэгшитгэлийн ангилал
гажсан аргумент. Анхны асуудлын мэдэгдэл ................................................. ................. .
1.2 Хоцрогдсон аргументтай дифференциал тэгшитгэл. Алхам арга. .........
1.3 Салгах боломжтой дифференциал тэгшитгэл
хувьсагч болон хоцрогдсон аргументтай ................................................. ................. ...................................
1.4 Хоцрогдсон аргументтай шугаман дифференциал тэгшитгэлүүд...................................
1.5 Хоцрогдсон аргументтай Бернулли дифференциал тэгшитгэл. ...............
1.6 Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэл
хойшлуулсан маргаантай ................................................ ................... ................................... ................. .
II БҮЛЭГ. Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн үечилсэн шийдлүүд
хойшлуулсан маргаантай ................................................ ................... ................................... ................. .
2.1. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн үечилсэн шийдлүүд
тогтмол коэффициенттэй ба хоцрогдсон аргументтай ............................................. ....
2.2. Шугаман нэг төрлийн бус дифференциалын үечилсэн шийдлүүд
..................
2.3. Фурье цувралын нийлмэл хэлбэр ............................................. ................................................................ ...
2.4. Шугаман нэгэн төрлийн бус тодорхой үечилсэн шийдлийг олох
тогтмол коэффициенттэй ба хоцрогдсон дифференциал тэгшитгэл
Фурье цуврал дахь тэгшитгэлийн баруун талыг өргөтгөх аргументууд ................................. .......................... .
III БҮЛЭГ. Дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх ойролцоо аргууд
хойшлуулсан маргаантай ................................................ ................... ................................... ................. .
3.1. Үл мэдэгдэх функцийг өргөтгөх ойролцоо арга
хоцрогдсон аргументтай....................................... ......................... ........
3.2. Ойролцоогоор Пуанкаре арга. ................................................ . ...................................
IV БҮЛЭГ. Хойшлуулсан дифференциал тэгшитгэл,
эдийн засгийн зарим асуудлыг шийдвэрлэхэд гарч ирдэг
цаг хугацааны хоцрогдол зэргийг харгалзан .............................................. ................................................. ................. ..............

4.1. Колецкийн эдийн засгийн мөчлөг. Дифференциал тэгшитгэл

-тай өөрчлөлтийг тайлбарласан аргумент

мөнгөн хөрөнгийн нөөц ................................................... ................ ................................. .............. .......
4.2. Онцлог тэгшитгэл. Бодит хэрэг
шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс ............................................. ................................................. ....
4.3. Онцлог тэгшитгэлийн нийлмэл язгуурын тохиолдол...................................... .........
4.4. Хойшлуулсан дифференциал тэгшитгэл,

(үндэсний орлоготой харьцуулсан хэрэглээ) ................................................ ...... .........
4.5. Хойшлуулсан дифференциал тэгшитгэл,
үндэсний орлогын динамикийг хоцрогдолтой загваруудад тайлбарлах
(хэрэглээ өсөлтийн хурдаар экспоненциал өсдөг)................................................ ......................... .........
Уран зохиол.................................................. ................................................ . ......................

Сахилга батыг судлах гарын авлага

2. Үндсэн сэдвүүдийн жагсаалт ................................................... ... ................................................... .. ......
2.1. Сэдэв 1. Үндсэн ойлголт, тодорхойлолт. Ангилал
хазайсан аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэл.
Хойшлуулсан дифференциал тэгшитгэл. ...................................................
2.2. Сэдэв 2. Анхны асуудлын мэдэгдэл. Шийдлийн алхамын арга
хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлүүд. Жишээ.................................
2.3. Сэдэв 3. Салгах боломжтой дифференциал тэгшитгэл
хувьсагч болон хоцрогдсон аргументтай. Жишээ. ................................................ . .
2.4. Сэдэв 4. Шугаман дифференциал тэгшитгэл

2.5. Сэдэв 5. Бернулли дифференциал тэгшитгэл
хойшлуулсан маргаантай. Жишээ. ................................................ . ................................
2.6. Сэдэв 6. Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэл
хойшлуулсан маргаантай. Шаардлагатай, хангалттай нөхцөл. Жишээ ............
2.7. Сэдэв 7. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциалын үечилсэн шийдлүүд
тогтмол коэффициенттэй, хоцрогдсон аргументтай тэгшитгэлүүд.

2.8. Сэдэв 8. Шугаман нэг төрлийн бус дифференциалын үечилсэн шийдлүүд
тогтмол коэффициенттэй, хоцрогдсон аргументтай тэгшитгэлүүд.
Жишээ. ................................................ . ................................................ .. ...................................
2.9. Сэдэв 9. Фурье цувралын нийлмэл хэлбэр. Хувийн тогтмол хэвлэл хайж байна
тогтмол коэффициенттэй шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдлүүд болон
тэгшитгэлийн баруун талыг Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх замаар аргументыг удаашруулсан.
Жишээ. ................................................ . ................................................ .. ...................................
2.10. Сэдэв 10. Дифференциал тэгшитгэлийн ойролцоо шийдэл
функцийг сааталаас задлах хоцрогдсон аргумент арга
саатлын зэргээр. Жишээ ................................................. ...................................
2.11. Сэдэв 11. Үе үеийг олох ойролцоогоор Пуанкарийн арга
бага параметртэй бараг шугаман дифференциал тэгшитгэлийн шийдлүүд ба
хойшлуулсан маргаантай. Жишээ. ................................................ . ................................

2.12. Сэдэв 12. Колецкийн эдийн засгийн мөчлөг. Дифференциал тэгшитгэл

-тай Бэлэн мөнгөний нөөцийг харуулсан K(t) функцийн хоцрогдсон аргумент

t үеийн үндсэн капитал ................................................ ................................................. ...
2.13. Сэдэв 13. Харгалзах шинж чанарын тэгшитгэлийн шинжилгээ
K(t) функцийн дифференциал тэгшитгэл. ................................................ . ............
2.14. Сэдэв 14. Характеристикийн тэгшитгэлийн цогц шийдлийн тохиолдол
(ρ = α ± ιω )..................................................................................................................................
2.15. Сэдэв 15. y(t) функцийн дифференциал тэгшитгэлийг үзүүлэв

хэрэглээний функц нь c(t -τ ) = (1 - α ) y (t -τ ) хэлбэртэй, α нь тогтмол хурд юм.
үйлдвэрлэлийн хуримтлал ................................................. .............. ................................................. ............
2.16. Сэдэв 16. y(t) функцийн дифференциал тэгшитгэлийг үзүүлэв
хөрөнгийн хөрөнгө оруулалтын хоцрогдолтой загварт үндэсний орлого
хэрэглэгчийн функц нь c (t − τ ) = c (o ) e r (t − τ ) .......................... хэлбэртэй байна. ... .................................
Сахилга батын даалгаврын цуглуулга ............................................. .. .................................................
Хичээлийн хөтөлбөр ................................................. ................... ................................... ....

Заавар

ОРШИЛ

Оршил

Энэхүү заавар нь зарим техник, эдийн засгийн асуудлуудад тулгарч буй хоцрогдсон аргументуудтай дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх аргуудын танилцуулгад зориулагдсан болно.

Дээрх тэгшитгэлүүд нь ихэвчлэн үр дагавартай аливаа үйл явцыг (хоцролттой, цаг хугацааны хоцрогдолтой процессууд) тодорхойлдог. Жишээлбэл, судалж буй процесст t цаг хугацааны бидний сонирхсон хэмжигдэхүүний утга нь t-τ үеийн x утгаас хамаарах бөгөөд энд τ нь хугацааны хоцрогдол (y(t)=f) юм. Эсвэл t үеийн y хэмжигдэхүүний утга тухайн үеийн ижил хэмжигдэхүүний утгаас хамаарах үед

бага t-τ (y(t)=f).

Хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлээр тодорхойлсон процессууд нь байгалийн болон эдийн засгийн шинжлэх ухаанд байдаг. Сүүлд нь энэ нь нийгмийн үйлдвэрлэлийн мөчлөгийн ихэнх холбоосуудад цаг хугацааны хоцрогдол байгаа, хөрөнгө оруулалтын хоцрогдол (объектуудыг төлөвлөхөөс эхлээд бүрэн хүчин чадлаараа ашиглалтад оруулах хүртэлх хугацаа), хүн ам зүйн хоцрогдолтой холбоотой юм. төрснөөс хөдөлмөрийн насанд хүрэх, сургуулиа төгссөний дараа ажилд орох хүртэлх хугацаа).

Техник, эдийн засгийн асуудлыг шийдвэрлэхэд цаг хугацааны хоцрогдол байгааг харгалзан үзэх нь чухал бөгөөд учир нь хоцрогдол байгаа нь олж авсан шийдлүүдийн шинж чанарт ихээхэн нөлөөлдөг (жишээлбэл, тодорхой нөхцөлд энэ нь шийдлийн тогтворгүй байдалд хүргэж болзошгүй).

FROM ХОЦРОГДСОН АРГУМЕНТ

БҮЛЭГ I. Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үе шатуудын арга

-тай аргумент

1.1. Хазайсан аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн ангилал. Анхны асуудлын мэдэгдэл

Тодорхойлолт 1. Хазайсан аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийг аргументийн өөр утгуудын хувьд үл мэдэгдэх функц X(t) оруулдаг дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

X(t) = f ( t, x (t), x ) ,


X(t) = f [ t, x (t), x (t - τ 1 ), x (t − τ 2 )] ,

X(t) = f t, x (t), x (t), x [ t -τ (t )] , x [ t − τ


X(t) = f t, x (t ) , x (t) , x (t/2), x(t/2) .



(t)]

Тодорхойлолт 2. Хоцрогдсон аргументтай дифференциал тэгшитгэл нь үл мэдэгдэх функцийн дээд эрэмбийн дериватив нь аргументийн ижил утгууд дээр гарч ирэх бөгөөд энэ аргумент нь бүх аргументаас багагүй байх хазайлттай дифференциал тэгшитгэл юм. тэгшитгэлд орсон үл мэдэгдэх функц ба түүний уламжлал.

2-р тодорхойлолтын дагуу τ (t) ≥ 0, t − τ (t) ≥ 0 нөхцлийн (1) ба (3) тэгшитгэл нь хоцрогдсон аргументтай тэгшитгэл, (2) тэгшитгэл нь тэгшитгэл байх болно гэдгийг анхаарна уу.

хоцрогдсон аргументтай, хэрэв τ 1 ≥ 0, τ 2 ≥ 0, t ≥ τ 1, t ≥ τ 2 бол (4) тэгшитгэл нь t ≥ 0 байх тул хоцрогдсон аргументтай тэгшитгэл болно.

Тодорхойлолт 3. Тэргүүлэх аргументтай дифференциал тэгшитгэл нь үл мэдэгдэх функцийн дээд эрэмбийн дериватив нь аргументийн ижил утгуудад тохиолдох ба энэ аргумент нь бусад аргументаас ихгүй хазайх аргументтай дифференциал тэгшитгэл юм. тэгшитгэлд орсон үл мэдэгдэх функц ба түүний уламжлалын аргументууд.

Тэргүүлэх аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн жишээ:

X(t)=

f ( t, x(t), x[ t + τ (t) ] ) ,

f [ t , x (t ), x (t + τ 1 ), x (t + τ 2 )] ,

f t , x (t ), x . (t ), x [ t + τ (t )] , x . [ t + τ



(t)] .

I. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЭГШИЛТИЙГ ШИЙДЭХ АЛХАМ АРГА

FROM ХОЦРОГДСОН АРГУМЕНТ

Тодорхойлолт 4. Хоцрогдсон буюу тэргүүлэх аргументтай тэгшитгэл биш, хазайсан аргументтай дифференциал тэгшитгэлийг саармаг төрлийн дифференциал тэгшитгэл гэнэ.

Төвийг сахисан аргументтай дифференциал тэгшитгэлийн жишээ:

X (t) = f t, x(t) , x(t − τ ) , x(t − τ )

X (t) = f t, x(t) , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] .

Үүнтэй төстэй ангиллыг "функц" гэсэн үгийг "вектор функц" гэсэн үгээр солих замаар хазайх аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн системд ашигладаг болохыг анхаарна уу.

Хазайлттай аргумент бүхий хамгийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.


X (t) = f [ t, x(t) , x(t − τ ) ] ,

Энд τ ≥ 0 ба t − τ ≥ 0 (үнэндээ бид хоцрогдсон аргументтай дифференциал тэгшитгэлийг авч үздэг). (10) тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн ажил нь дараах байдалтай байна: t > t 0 (t 0 -) тэгшитгэлийн (10) X (t) тасралтгүй шийдийг тодорхойлох.

тогтмол хугацаа) t 0 − τ ≤ t ≤ t 0 үед X (t ) = ϕ 0 (t ) байх нөхцөлд ϕ 0 (t ) нь өгөгдсөн тасралтгүй эхний функц юм. [ t 0 − τ , t 0 ] хэрчмийг анхны олонлог, t 0 нь эхний цэг гэж нэрлэдэг. X (t 0 + 0) = ϕ 0 (t 0 ) гэж таамаглаж байна (Зураг 1).

X (t) \u003d ϕ 0 (t)

Анхны функц X (t ) = ϕ 0 t нь t 0 − τ (t 0 ) ≤ t ≤ t 0 мэдэгдэж байгаа бол t > t 0 бол (10) тэгшитгэлийн шийдийг олохын тулд асуудлыг дараах байдлаар томъёолсон.

Жишээ. Тэгшитгэлийн шийдийг ол.


X (t) = f [ t, x(t) , x(t − cos 2 t) ]
for t > t 0 = 0 бол анхны функц X (t ) = ϕ 0 (t ) for (t 0 − cos2 t 0 ) \|	t ≤ t0
t0 = 0

− 1 ≤ t ≤ 0).

I. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЭГШИЛТИЙГ ШИЙДЭХ АЛХАМ АРГА

FROM ХОЦРОГДСОН АРГУМЕНТ

Жишээ. Тэгшитгэлийн шийдийг ол


X (t) = f [ t, x(t) , x(t / 2 ) ]	үед (т	−t	/ 2) \|
Анхны функц X (t ) = ϕ t бол t > t 0 = 1	үед (т	−t	/ 2) \|	≤ t ≤ t

			t=1		t=1

1/ 2 ≤ t ≤ 1).

Анхдагч функц нь ихэвчлэн тодорхойлогдсон эсвэл туршилтаар олддог гэдгийг анхаарна уу (гол төлөв техникийн асуудлууд).

1.2. Хойшлуулсан дифференциал тэгшитгэл. Алхам арга

Хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.

t ≥ t 0 бол (13) тэгшитгэлийн шийдийг олох шаардлагатай.

t ≥ t 0 тэгшитгэлийн (13) шийдлийг олохын тулд бид алхамын аргыг (дараалсан интеграцийн арга) ашиглана.

Алхам аргын мөн чанар нь эхлээд (13) тэгшитгэлийн t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ, дараа нь t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ гэх мэтийн шийдлийг олдогт оршино. Үүний зэрэгцээ, жишээ нь, t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ мужид t − τ аргумент нь t 0 − τ ≤ t − τ ≤ t 0, дараа нь тэгшитгэлд өөрчлөгддөг гэдгийг бид тэмдэглэж байна.

(13) энэ мужид x (t − τ )-ийн оронд бид ϕ 0 (t − τ ) анхны функцийг авч болно. Дараа нь

t 0 ≤ t ≤ t 0 мужид (13) тэгшитгэлийн шийдийг олохын тулд бид үүнийг олж авна.		+ τ дахин хэрэгтэй
энгийн дифференциал тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр сааталгүйгээр оё.
	[ t, x(t) , ϕ 0 (t − τ ) ] ,
X(t) = f	[ t, x(t) , ϕ 0 (t − τ ) ] ,
t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ-ийн хувьд	анхны нөхцөлтэй X (t 0 ) = ϕ (t 0 ) (1-р зургийг үз).
	Энэ анхны асуудлын шийдлийг X (t) = ϕ 1 (t) хэлбэрээр олох,	бид нийтэлж болно -

t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ гэх мэт сегментийн шийдийг олох асуудлыг шийднэ.

Тиймээс бидэнд байна:

			0 (t − τ ) ] ,
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ		0 (t − τ ) ] ,
t 0 үед	≤ t ≤ t0 + τ , X (t0 )		= ϕ 0 (t 0 ) ,

	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ 1 (t − τ ) ] ,
t 0 +τ ≤ t ≤ t 0 + 2 τ-ийн хувьд,			X (t 0 + τ ) = ϕ 1(t 0 + τ ) ,

	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ 2 (t − τ ) ] ,
t 0 + 2τ ≤ t ≤ t 0 + 3τ-ийн хувьд,			X (t 0 + 2 τ ) = ϕ 2 (t 0 + 2 τ ) ,

	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ n (t − τ ) ] ,
хувьд t 0 + n τ ≤ t ≤ t 0 + (n +1 ) τ , X (t 0 + n τ ) = ϕ n (t 0 + n τ ) ,
	ϕ i (t ) байна	авч үзсэн анхны шийдэл		сегмент дэх даалгавар
t 0 + (i −1 ) ≤ t ≤ t 0 +i τ		(I=1,2,3…n,…).

I. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЭГШИЛТИЙГ ШИЙДЭХ АЛХАМ АРГА

FROM ХОЦРОГДСОН АРГУМЕНТ

Хоцрогдсон аргумент (13) бүхий дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алхамуудын энэ арга нь t-ийн өөрчлөлтийн тодорхой хязгаарлагдмал интервал дээр X (t) шийдлийг тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодог.

Жишээ 1. Үе шатуудын аргыг ашиглан хоцрогдсон аргументтай нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдийг ол.

	(t) = 6 X (t − 1 )

0 ≤ t ≤ 1-ийн анхны функц нь X (t ) = ϕ 0 (t ) = t хэлбэртэй байвал 1 ≤ t ≤ 3 мужид.
Шийдэл. Эхлээд 1 ≤ t ≤ 2 мужид (19) тэгшитгэлийн шийдийг олъё. Үүний тулд дотор
(19) бид X (t - 1) -ийг ϕ 0 (t - 1) -ээр солино, өөрөөр хэлбэл,
X (t - 1 ) = ϕ 0 (t - 1 ) = t\| t → t − 1 = t − 1
мөн X (1) = ϕ 0 (1) = t \| -ийг харгалзан үзнэ

Тиймээс 1 ≤ t ≤ 2 бүсэд бид ердийн дифференциал тэгшитгэлийг олж авна.
	(t )= 6 (t − 1 )

эсвэл dx(t)	6 (t −1 ) .

Үүнийг (20) харгалзан шийдэж, бид 1 ≤ t ≤ 2-ийн тэгшитгэлийн (19) шийдийг хэлбэрээр авна.
X (t) = 3 t 2 − 6 t + 4 = 3 (t − 1 ) 2 + 1.
(19) тэгшитгэлийн 2 ≤ t ≤ 3 мужид шийдийг олохын тулд бид X (t − 1)-ийг дараах байдлаар солино.
ϕ 1 (t −1 ) = 3 (t −1 ) 2 +1 \| t → t − 1		3(t − 2) 2 + 1. Дараа нь бид энгийнийг авна	дифференциал
тэгшитгэл:
	(t ) = 6[ 3(t − 2) 2 + 1] , X( 2) = ϕ 1 ( 2) = 4 ,

шийдэл нь хэлбэртэй байна (Зураг 2)
X (т ) = 6 (т − 2 ) 3 + 6 т − 8 .

Сааталтай системүүд нь өмнө нь авч үзсэн системүүдээс ялгаатай бөгөөд тэдгээрийн нэг буюу хэд хэдэн холбоосууд нь гаралтын утгыг өөрчлөх (оролтын өөрчлөлт эхэлсний дараа) цаг хугацааны хоцрогдолтой байдаг. t, саатлын хугацаа гэж нэрлэгддэг ба энэ саатал нь процессын дараа дараагийн бүх хугацаанд тогтмол хэвээр байна.

Жишээлбэл, холбоосыг тэгшитгэлээр тайлбарлавал

(эхний эрэмбийн үеийн холбоос), дараа нь сааталтай харгалзах холбоосын тэгшитгэл нь хэлбэртэй болно.

(хоцролттой эхний эрэмбийн цаг хугацааны холбоос). Энэ төрлийн тэгшитгэлийг хоцрогдсон аргументтай тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Дараа нь (6.31) тэгшитгэлийг энгийн хэлбэрээр бичнэ

тэгээс нэг хүртэл огцом өөрчлөгддөг (Зураг 6.20,

холбоосын тэгшитгэлийн баруун талд зогсож,

). Ерөнхий тохиолдолд (6.31)-ийн хувьд сааталтай аливаа холбоосын динамикийн тэгшитгэлийг хоёр хувааж болно.

хоцролттой холбоосын нөхцөлт задаргаа (Зураг 6.21, а) хоёр болгон харгалзах: ижил дарааллын болон ижил коэффициент бүхий энгийн холбоос ба түүнээс өмнөх саатлын элемент (Зураг 6.21.6).

өнхрөхөөс зузаан хэмжигч хүртэлх металлын шилжилтийн хугацааг хэлнэ. Сүүлийн хоёр жишээнд m-ийн утгыг тээвэрлэлтийн саатал гэж нэрлэдэг.

Эхний ойролцоолсон байдлаар, системийн холбоосуудад багтсан дамжуулах хоолой эсвэл урт цахилгаан шугамыг тодорхой саатлын утгаар тодорхойлж болно t.

Зурагт үзүүлэв. 6.22, b, дараа нь энэ холбоосыг туршилтын муруйгаас m, r, k утгуудыг авч сааталтай (6.31) эхний эрэмбийн апериод холбоос гэж ойролцоогоор тодорхойлж болно (Зураг 6.22, b).

Зураг дээрх графикийн дагуу ижил туршилтын муруй байгааг анхаарна уу. 6.22, c-г мөн тэгшитгэлтэй ердийн хоёр дахь эрэмбийн апериод холбоосын цаг хугацааны шинж чанар гэж тайлбарлаж болно.

ба k-г өгөгдсөн холбоосын хувьд § 4.5-д бичсэн хамаарлаас, туршилтын муруй дээрх зарим хэмжилтээс эсвэл бусад аргаар тооцоолж болно.

функц (6.36) нь саатал (6.35) бүхий холбоосын дамжуулах функцээс бага зэрэг ялгаатай.

Сааталтай (6.33) дурын шугаман холбоосын тэгшитгэлийг одоо маягт дээр бичнэ

Сааталтай шугаман холбоосын дамжуулах функц нь байх болно

харгалзах энгийн холбоосыг сааталгүйгээр дамжуулах функцийг зааж өгсөн болно.

- сааталгүйгээр холбоосын давтамж дамжуулах функцын модуль ба үе шат.

Тиймээс бид дараах дүрмийг олж авна.

Сааталтай аливаа холбоосын далайц-фазын шинж чанарыг бий болгохын тулд та харгалзах энгийн холбоосын шинж чанарыг авч, түүний цэг бүрийг цагны зүүний дагуу цагийн зүүний дагуу шилжүүлэх хэрэгтэй, энд w нь хэлбэлзлийн давтамжийн утга юм. шинж чанарын өгөгдсөн цэг (Зураг 6.23, а).

эхлэлийн цэг өөрчлөгдөөгүй хэвээр байх ба шинж чанарын төгсгөл нь эхийн эргэн тойронд асимптотоор эргэлддэг (хэрэв операторын олон гишүүнт В-ийн зэрэг нь C олон гишүүнтээс бага бол).

Зураг дээрх хэлбэрийн бодит түр зуурын үйл явц (цаг хугацааны шинж чанар) гэж дээр дурдсан. 6.22b-ийг ихэвчлэн тэгшитгэл (6.31) ба (6.34) хоёуланг нь ижил ойролцоо түвшинд тодорхойлж болно. (6.31) ба (6.34) тэгшитгэлийн далайц-фазын шинж чанарыг Зураг дээр үзүүлэв. 6.23, a ба b. Эхнийх нь үндсэн ялгаа нь тэнхлэгтэй огтлолцсон D цэгтэй байдаг (/. Хоёр шинж чанарыг бие биетэйгээ болон бодит холбоосын туршилтын далайц-фазын шинж чанаруудтай харьцуулахдаа зөвхөн тэнхлэгтэй огтлолцох D цэгтэй байдаг. муруйн хэлбэр, гэхдээ бас түүний дагуу ω давтамжийн тэмдгийн тархалтын шинж чанар.

Нээлттэй системийн функцийг цаг алдалгүй шилжүүлэх.

Бүлэгт үзүүлсэн шиг хаалттай системийн шинж чанарын тэгшитгэл. 5 хэлбэртэй байна

Тэгшитгэл нь хязгааргүй олон үндэстэй байж болно.

Нээлттэй хэлхээний далайц-фазын шинж чанарын хэлбэр, бүтээгдсэн боловч давтамж дамжуулах функц нь ихээхэн өөрчлөгддөг.

үүнээс гадна системийг нээх нь доор өгөгдсөн тодорхой дүрмийн дагуу хийгддэг.

Үүний үр дүнд эхний ба хоёрдугаар зэрэглэлийн шугаман системийн сааталтай тогтвортой байдлын хувьд зөвхөн эерэг коэффициентүүд хангалттай байхаа больсон бол гурав дахь ба түүнээс дээш түвшний сааталтай системүүдийн хувьд тогтвортой байдлын шалгуур үзүүлэлтүүд хангалттай байхаа больсон. Вышнеградский, Рут, Хурвиц нар хэрэглэх боломжгүй.

Доор бид тогтвортой байдлын тодорхойлолтыг зөвхөн Nyquist шалгуураар авч үзэх болно, учир нь энэ дуунд ашиглах нь хамгийн энгийн зүйл юм.

1 Нээлттэй давталтын системийн дамжуулах функцийг (6.38) хэлбэрээр үзүүлбэл далайц-фазын шинж чанарыг бүтээх, тогтвортой байдлын судалгааг Nyquist шалгуурын дагуу хийх нь дээр. Үүнийг авахын тулд системийг зөв нээх шаардлагатай.

Зурагт үзүүлсэн хэргийн хувьд. 6.24, a, нээлхийг үндсэн хэлхээний хаана ч хийж болно, жишээ нь, зурагт үзүүлснээр. Дараа нь нээлттэй системийн дамжуулах функц нь (6.41) хэлбэртэй давхцах болно.

Зурагт үзүүлсэн хэргийн хувьд. 6.24, b, үндсэн хэлхээг нээх нь илэрхийлэлийг өгнө