Риманы Коши нөхцлийн комплекс хувьсагчийн функцийг ялгах. FKP дериватив. Коши-Риманы нөхцөл. Аналитик функцууд. Бусад толь бичгүүдээс "Коши-Риманы нөхцөл" гэж юу болохыг хараарай
Комплекс хувьсагчийн функцууд.
Комплекс хувьсагчийн функцүүдийн ялгаа.
Энэ нийтлэл нь цогц хувьсагчийн функцүүдийн онолтой холбоотой ердийн асуудлуудыг авч үзэх цуврал хичээлүүдийг нээж байна. Жишээнүүдийг амжилттай эзэмшихийн тулд та нийлмэл тооны үндсэн мэдлэгтэй байх ёстой. Материалыг нэгтгэх, давтахын тулд хуудас руу ороход хангалттай. Мөн олохын тулд танд ур чадвар хэрэгтэй болно хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив. Энд байна, эдгээр хэсэгчилсэн деривативууд ... одоо ч гэсэн тэд хэр олон тохиолддог болохыг би бага зэрэг гайхаж байсан ...
Бидний дүн шинжилгээ хийж байгаа сэдэв нь тийм ч хэцүү биш бөгөөд нарийн төвөгтэй хувьсагчийн функцэд зарчмын хувьд бүх зүйл ойлгомжтой, хүртээмжтэй байдаг. Хамгийн гол нь миний эмпирик байдлаар гаргасан үндсэн дүрмийг баримтлах явдал юм. Үргэлжлүүлэн уншина уу!
Комплекс хувьсагчийн функцийн тухай ойлголт
Эхлээд нэг хувьсагчийн сургуулийн функцын талаарх мэдлэгээ сэргээцгээе.
Нэг хувьсагчийн функцЭнэ нь бие даасан хувьсагчийн утга бүр (тодорхойлолтын мужаас) функцийн нэг бөгөөд зөвхөн нэг утгатай тохирдог дүрэм юм. Мэдээжийн хэрэг, "x" ба "y" нь бодит тоо юм.
Нарийн төвөгтэй тохиолдолд функциональ хамаарлыг дараах байдлаар өгнө.
Комплекс хувьсагчийн нэг утгатай функцхүн болгонд мөрддөг дүрэм юм нэгдсэнбие даасан хувьсагчийн утга (домэйноос) нь зөвхөн нэгтэй тохирч байна цогцфункцийн утга. Онолын хувьд олон утгатай болон бусад зарим төрлийн функцийг бас авч үздэг боловч энгийн байх үүднээс би нэг тодорхойлолт дээр анхаарлаа хандуулах болно.
Комплекс хувьсагчийн үүрэг юу вэ?
Гол ялгаа нь тоо нь нарийн төвөгтэй байдаг. Би шоолж байгаа юм биш. Ийм асуултаас тэд ихэвчлэн тэнэг байдалд ордог тул нийтлэлийн төгсгөлд би гайхалтай түүхийг ярих болно. Хичээл дээр Даммигийн нийлмэл тообид цогц тоог хэлбэрээр авч үзсэн. Одооноос хойш "Z" үсэг болжээ хувьсагч, дараа нь бид үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэх болно: , харин "x" болон "y" нь ялгаатай байж болно хүчинтэйүнэт зүйлс. Ойролцоогоор нийлмэл хувьсагчийн функц нь "ердийн" утгыг авдаг болон хувьсагчдаас хамаардаг. Энэ баримтаас дараах зүйл логикоор гарч байна.
Комплекс хувьсагчийн функцийг дараах байдлаар бичиж болно.
, энд ба нь хоёрын хоёр функц юм хүчинтэйхувьсагч.
Функцийг дууддаг бодит хэсэгфункцууд.
Функцийг дууддаг төсөөллийн хэсэгфункцууд.
Өөрөөр хэлбэл, нийлмэл хувьсагчийн функц нь хоёр бодит функцээс хамаардаг ба . Эцэст нь бүх зүйлийг тодруулахын тулд практик жишээг харцгаая.
Жишээ 1
Шийдэл:Бие даасан хувьсагч "z" нь таны санаж байгаагаар дараах байдлаар бичигдсэн байдаг.
(1) Анхны функцэд орлуулсан.
(2) Эхний гишүүний хувьд багасгасан үржүүлэх томъёог ашигласан. Энэ хугацаанд хаалт нээгдсэн.
(3) Үүнийг мартаж болохгүй болгоомжтой квадрат
(4) Нэр томъёоны өөрчлөлт: эхлээд нэр томъёог дахин бичих , ямар ч төсөөллийн нэгж байхгүй(эхний бүлэг), дараа нь нэр томъёо, хаана байгаа (хоёр дахь бүлэг). Нөхцөлүүдийг холих шаардлагагүй бөгөөд энэ алхамыг алгасаж болно (үнэндээ үүнийг амаар гүйцэтгэх замаар) гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
(5) Хоёр дахь бүлгийг хаалтнаас гаргаж авсан.
Үүний үр дүнд бидний функц хэлбэрээр дүрслэгдсэн байна
Хариулт:
функцийн бодит хэсэг юм.
функцийн төсөөллийн хэсэг юм.
Эдгээр функцууд юу вэ? Ийм алдартайг олж болох хоёр хувьсагчийн хамгийн энгийн функцууд хэсэгчилсэн деривативууд. Өршөөлгүйгээр - бид олох болно. Гэхдээ жаахан дараа.
Товчхондоо, шийдэгдсэн асуудлын алгоритмыг дараах байдлаар бичиж болно: бид анхны функцийг орлуулж, хялбаршуулж, бүх нэр томъёог хоёр бүлэгт хуваадаг - төсөөлөлгүй (бодит хэсэг) ба төсөөллийн нэгж (төсөөлөл хэсэг).
Жишээ 2
Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгийг ол
Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Та нүцгэн даамтай нарийн төвөгтэй онгоцонд тулалдаанд орохоосоо өмнө энэ сэдвээр хамгийн чухал зөвлөгөөг өгье.
АНХААРУУЛГА!Мэдээжийн хэрэг та хаа сайгүй болгоомжтой байх хэрэгтэй, гэхдээ нарийн төвөгтэй тоогоор та урьд өмнөхөөсөө илүү болгоомжтой байх хэрэгтэй! Хаалтанд болгоомжтой өргөж, юу ч бүү алдаарай гэдгийг санаарай. Миний ажигласнаар хамгийн түгээмэл алдаа бол тэмдэг алдагдах явдал юм. Битгий яар!
Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.
Одоо шоо. Үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг гаргаж авна.
.
Томъёо нь практикт хэрэглэхэд маш тохиромжтой, учир нь тэдгээр нь шийдлийн процессыг ихээхэн хурдасгадаг.
Комплекс хувьсагчийн функцүүдийн ялгаа.
Надад сайн, муу гэсэн хоёр мэдээ байна. Би сайнаас эхэлье. Комплекс хувьсагчийн функцийн хувьд ялгах дүрэм, элементар функцийн деривативын хүснэгт хүчинтэй байна. Иймээс дериватив нь бодит хувьсагчийн функцтэй яг ижил аргаар авдаг.
Муу мэдээ гэвэл нийлмэл хувьсагчийн олон функцийн хувьд дериватив огт байдаггүй бөгөөд та үүнийг олох хэрэгтэй. ялгах боломжтойнэг эсвэл өөр функц. Мөн таны зүрх сэтгэлд ямар мэдрэмж төрж байгааг "ойлгох" нь нэмэлт асуудалтай холбоотой юм.
Комплекс хувьсагчийн функцийг авч үзье. Энэ функцийг ялгахын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.
1) Эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд байхын тулд. Эдгээр тэмдэглэгээг нэн даруй мартаарай, учир нь нийлмэл хувьсагчийн функцийн онолд тэмдэглэгээний өөр хувилбарыг уламжлалт байдлаар ашигладаг. 
.
2) гэж нэрлэгддэг зүйлийг хэрэгжүүлэх Коши-Риманы нөхцөл:
Зөвхөн энэ тохиолдолд дериватив байх болно!
Жишээ 3
ШийдэлДараалсан гурван үе шатанд хуваагдана:
1) Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг ол. Энэ даалгаврыг өмнөх жишээнүүдэд дүн шинжилгээ хийсэн тул би тайлбаргүйгээр бичих болно.
Түүнээс хойш:
Энэ замаар: 
функцийн төсөөллийн хэсэг юм.
Би өөр нэг техникийн цэг дээр анхаарлаа хандуулах болно: ямар дарааллаарнэр томъёог бодит болон төсөөллийн хэсэгт бичнэ үү? Тиймээ, үндсэндээ энэ нь хамаагүй. Жишээлбэл, бодит хэсгийг дараах байдлаар бичиж болно. 
, мөн төсөөлөлтэй - иймэрхүү: .
2) Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгая. Тэдний хоёр нь бий.
Нөхцөл байдлыг шалгаж эхэлцгээе. Бид олдог хэсэгчилсэн деривативууд:
Ингэснээр нөхцөл биелсэн.
Сайн мэдээ бол хэсэгчилсэн дериватив нь бараг үргэлж маш энгийн байдаг нь эргэлзээгүй юм.
Бид хоёр дахь нөхцлийн биелэлтийг шалгана. 
Энэ нь ижил зүйл болсон, гэхдээ эсрэг шинж тэмдэгтэй, өөрөөр хэлбэл нөхцөл нь бас биелсэн.
Коши-Риманы нөхцөл хангагдсан тул функцийг ялгах боломжтой.
3) Функцийн деривативыг ол. Дериватив нь маш энгийн бөгөөд ердийн дүрмийн дагуу олддог.
Ялгаварлах дахь төсөөллийн нэгжийг тогтмол гэж үзнэ.
Хариулт: 
- бодит хэсэг 
төсөөлөлтэй хэсэг юм.
Коши-Риманы нөхцөл хангагдсан, .
Деривативыг олох өөр хоёр арга бий, тэдгээрийг мэдээж бага ашигладаг, гэхдээ мэдээлэл нь хоёр дахь хичээлийг ойлгоход хэрэгтэй болно. Комплекс хувьсагчийн функцийг хэрхэн олох вэ?
Деривативыг дараах томъёогоор олж болно. 
Энэ тохиолдолд: 
Энэ замаар
Энэ нь урвуу асуудлыг шийдэх шаардлагатай - үр дүнгийн илэрхийлэлд та тусгаарлах хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд дараахь зүйлийг хаалтнаас гаргаж авах шаардлагатай.
Урвуу үйлдлийг хийх нь арай илүү хэцүү гэдгийг олон хүн анзаарсан тул баталгаажуулахын тулд илэрхийлэлийг авч, ноорог дээр эсвэл хаалтуудыг амаар нээж, энэ нь яг таарч байгаа эсэхийг шалгаарай.
Дериватив олох толин тусгал томъёо: 
Энэ тохиолдолд: 
, ийм учраас:
Жишээ 4
Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тодорхойлох 
. Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгана уу. Коши-Риманы нөхцөл хангагдсан бол функцийн деривативыг ол.
Богино шийдэл, хичээлийн төгсгөлд дуусгах ойролцоо жишээ.
Коши-Риманы нөхцөл үргэлж хангагдсан уу? Онолын хувьд тэдгээр нь биелсэнээсээ илүү ихэвчлэн биелдэггүй. Гэхдээ практик жишээн дээр би гүйцэтгээгүй тохиолдлыг санахгүй байна =) Тиймээс, хэрэв таны хэсэгчилсэн деривативууд "нэгдээгүй" бол маш өндөр магадлалтайгаар та хаа нэгтээ алдаа гаргасан гэж хэлж болно.
Функцуудаа төвөгтэй болгоцгооё:
Жишээ 5
Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тодорхойлох 
. Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгана уу. Тооцоол
Шийдэл:Шийдлийн алгоритм нь бүрэн хадгалагдсан боловч эцэст нь шинэ моод нэмэгддэг: нэг цэгээс деривативыг олох. Кубын хувьд шаардлагатай томъёог аль хэдийн гаргаж авсан болно:
Энэ функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тодорхойлъё.
Анхаар, дахин анхаарлаа хандуулаарай!
Түүнээс хойш:
Энэ замаар:
функцийн бодит хэсэг юм;
функцийн төсөөллийн хэсэг юм.
Хоёр дахь нөхцлийг шалгаж байна: 
Энэ нь ижил зүйл болсон, гэхдээ эсрэг шинж тэмдэгтэй, өөрөөр хэлбэл нөхцөл нь бас биелсэн.
Коши-Риманы нөхцөлүүд хангагдсан тул функцийг ялгах боломжтой:
Шаардлагатай цэг дээр деривативын утгыг тооцоол.
Хариулт:, , Коши-Риманы нөхцөл хангагдсан,
Куб бүхий функцууд нийтлэг байдаг тул нэгтгэх жишээ:
Жишээ 6
Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тодорхойлох 
. Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгана уу. Тооцоол.
Хичээлийн төгсгөлд шийдвэр гаргах, дуусгах жишээ.
Нарийн төвөгтэй шинжилгээний онолд нарийн төвөгтэй аргументын бусад функцийг бас тодорхойлдог: экспоненциал, синус, косинус гэх мэт. Эдгээр функцууд нь ер бусын, бүр хачирхалтай шинж чанартай байдаг - энэ нь үнэхээр сонирхолтой юм! Би та нарт хэлэхийг үнэхээр хүсч байна, гэхдээ энэ нь лавлах ном эсвэл сурах бичиг биш, харин шийдэл байсан тул би зарим нэг нийтлэг функцтэй ижил ажлыг авч үзэх болно.
Эхлээд гэж нэрлэгддэг зүйлийн талаар Эйлерийн томъёо:
Хэнд ч зориулав хүчинтэйтоо, дараах томъёонууд хүчинтэй байна: 
Та мөн дэвтэртээ лавлагаа болгон хуулж болно.
Хатуухан хэлэхэд зөвхөн нэг томьёо байдаг, гэхдээ ихэвчлэн тав тухтай байлгах үүднээс индикаторт хасах тэмдэгтэй тусгай тохиолдлыг бичдэг. Параметр нь нэг үсэг байх албагүй, энэ нь нарийн төвөгтэй илэрхийлэл, функц байж болно, зөвхөн тэдгээрийг авах нь чухал юм. зөвхөн хүчинтэйүнэт зүйлс. Үнэндээ бид үүнийг яг одоо харах болно:
Жишээ 7
Деривативыг ол.
Шийдэл:Намын ерөнхий шугам нь хөдлөшгүй хэвээр байна - функцийн бодит болон төсөөллийн хэсгүүдийг ялгах шаардлагатай байна. Би нарийвчилсан шийдлийг өгч, доорх алхам бүрийн талаар тайлбар өгөх болно.
Түүнээс хойш:
(1) "z"-г орлуулна уу.
(2) Орлуулсны дараа бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг салгах шаардлагатай экспонентийн эхнийхүзэсгэлэнд оролцогчид. Үүнийг хийхийн тулд хаалтуудыг нээнэ үү.
(3) Бид индикаторын төсөөллийн хэсгийг бүлэглэж, төсөөллийн нэгжийг хаалтнаас гаргаж авдаг.
(4) Сургуулийн үйл ажиллагааг эрх мэдэлтэйгээр ашиглах.
(5) Үржүүлэгчийн хувьд бид Эйлерийн томъёог ашигладаг бол .
(6) Бид хаалтуудыг нээснээр:
функцийн бодит хэсэг юм;
функцийн төсөөллийн хэсэг юм.
Цаашдын үйлдлүүд нь стандарт бөгөөд Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгая: 
Жишээ 9
Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тодорхойлох 
. Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгана уу. Тиймээс бид деривативыг олохгүй.
Шийдэл:Шийдлийн алгоритм нь өмнөх хоёр жишээтэй маш төстэй боловч маш чухал цэгүүд байгаа тул би эхний үе шатыг алхам алхмаар дахин тайлбарлах болно.
Түүнээс хойш:
1) Бид "z"-ийн оронд орлоно.
(2) Эхлээд бодит болон зохиомол хэсгүүдийг сонго синусын дотор. Энэ зорилгоор хаалтуудыг нээнэ үү.
(3) Бид , while томъёог ашигладаг 
.
(4) Ашиглах гипербол косинусын паритет: ба гиперболын синусын сондгой байдал: . Гиперболиуд нь энэ ертөнцийнх биш боловч олон талаараа ижил төстэй тригонометрийн функцтэй төстэй байдаг.
Эцэст нь:
функцийн бодит хэсэг юм;
функцийн төсөөллийн хэсэг юм.
Анхаар!Хасах тэмдэг нь төсөөллийн хэсгийг хэлдэг бөгөөд ямар ч тохиолдолд бид үүнийг алдах ёсгүй! Үзүүлэн харуулахын тулд дээр дурдсан үр дүнг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгая: 
Коши-Риманы нөхцлүүд биелсэн.
Хариулт:, , Коши-Риманы нөхцөл хангагдсан.
Хатагтай, ноёд оо, косинусыг бид өөрсдөө ойлгодог.
Жишээ 10
Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тодорхойл. Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгана уу.
Хүн бүр хальсалсан самар шиг зүйлийг зохицуулж чаддаг тул би илүү төвөгтэй жишээнүүдийг зориудаар сонгосон. Үүний зэрэгцээ анхаарлаа төвлөрүүл! Хичээлийн төгсгөлд Щелкунчик.
Эцэст нь хэлэхэд, цогцолбор аргумент нь хуваагч дээр байх үед би өөр нэг сонирхолтой жишээг авч үзэх болно. Бид практик дээр хэд хэдэн удаа уулзсан, энгийн зүйлд дүн шинжилгээ хийцгээе. Өө, би хөгширч байна ...
Жишээ 11
Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тодорхойл. Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгана уу.
Шийдэл:Дахин хэлэхэд, функцийн бодит болон төсөөллийн хэсгүүдийг салгах шаардлагатай.
Хэрэв бол
Хуваарьт "Z" байвал яах вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ.
Бүх зүйл энгийн - стандарт нь туслах болно нийлмэл илэрхийллээр тоо болон хуваагчийг үржүүлэх арга, үүнийг аль хэдийн хичээлийн жишээнүүдэд ашигласан Даммигийн нийлмэл тоо. Сургуулийн томъёог санацгаая. Хуваагч нь бидэнд аль хэдийн байгаа тул нэгдмэл илэрхийлэл байх болно. Тиймээс та тоологч ба хуваагчийг дараах байдлаар үржүүлэх хэрэгтэй.
1. Дериватив ба дифференциал. Комплекс хувьсагчийн функцийн дериватив ба дифференциалын тодорхойлолтууд нь нэг бодит хувьсагчийн функцүүдийн харгалзах тодорхойлолттой үгчлэн давхцдаг.
Функцийг зөвшөөр w = f(z) = ба + ivзарим хөршид тодорхойлсон Уоноо zo.Бид бие даасан хувьсагчийг өгдөг z = x + гунэмэгдэх А z= A.g + Гау,хөршөөс гарахгүй У.Дараа нь функц w = f(z)харгалзах нэмэгдлийг хүлээн авна Aw = f(z 0 + Dg) - f(z0).
zq цэг дээрх w = f(z) функцийн деривативфункцийн өсөлтийн харьцааны хязгаар гэнэ Өөаргументийн өсөлтөд A zхичээж байхдаа Азтэг хүртэл (дур зоргоороо).
Деривативыг тэмдэглэв f"(z Q), wэсвэл u-. Деривативын тодорхойлолтыг ингэж бичиж болно
(6.1)-д заасан хязгаарлалт байхгүй байж болно; дараа нь функцийг гэж хэлнэ w = f(z) zq цэг дээр дериватив байхгүй.
Чиг үүрэг w = f(z)дуудсан Zq цэгээр ялгах боломжтой, хэрэв энэ нь зарим хөршид тодорхойлогдсон бол Уоноо zq ба түүний өсөлт Өөхэлбэрээр төлөөлж болно
цогцолбор тоо хаана байна Лнь A r-аас хамаарахгүй бөгөөд a(A r) функц нь төгсгөлгүй бага байна Аз-» 0, өөрөөр хэлбэл. Pm a(Ag) = 0.
Бодит хувьсагчийн функцүүдийн нэгэн адил функц болох нь батлагдсан f(z)цэг дээр ялгах боломжтой zq зөвхөн үүсмэл утгатай бол zo. болон A \u003d f "(zo).Илэрхийлэл f"(zo)Azдуудсан Zq цэг дээрх f(z) функцийн дифференциалболон тэмдэглэсэн dwэсвэл df(zo).Үүний зэрэгцээ, өсөлт Азбие даасан хувьсагч -r-ийг мөн r болон хувьсагчийн дифференциал гэж нэрлэдэг
тэмдэглэсэн dz.Энэ замаар,
Дифференциал нь функцийн өсөлтийн гол шугаман хэсэг юм.
Жишээ 6.1. Функц байгаа эсэхийг судал w= /(r) = R гэх мэтдурын Zq цэг дээрх дериватив.
Шийдэл. Нөхцөлөөр w = Rea = X.Деривативын тодорхойлолтын дагуу хязгаар (C.1) нь аль замаас хамаарахгүй байх ёстой
цэг z = Zq + Azойртож байна thдээр А z-? 0. Эхлээд А-г авна з - Аа(Зураг 15, а). Учир нь Өө = Аа.дараа нь = 1. Хэрэв
мөн адил А z = тийм ээ(Зураг 15, б), дараа нь Өө= 0, тиймээс, Өө = 0.
Эндээс u = 0. Тиймээс бид харилцаанаас урваж байна Аз-> 0 А биш zА z
байдаг ба улмаар функц w= Re r = Xямар ч үед дериватив байхгүй.
Үүний зэрэгцээ функц w=z = X + ээ, th-ийн аль ч цэг дээр дериватив байх нь тодорхой бөгөөд / "(th) = 1. Эндээс f(r) дифференциалагдах функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүд дурын байж болохгүй нь тодорхой байна; Тэд зарим нэмэлт харилцаатай холбоотой байх ёстой. Эдгээр харилцаа нь үүсмэл /"(o) байх нөхцөл нь нэг бодит хувьсагчийн функцын дериватив эсвэл хэд хэдэн бодит хувьсагчийн функцүүдийн хэсэгчилсэн дериватив байх нөхцлөөс үндсэндээ илүү хязгаарлагдмал байдагтай холбоотой юм. (6.1)-д заасан хязгаар оршин байх ба замаас хамааралгүй байх шаардлагатай. r = r0 + Ar цэг r-д Ar 0 гэж ойртоно. Эдгээр харилцааг гаргахын тулд бид хоёр хувьсагчийн функцийн дифференциал байдлын тодорхойлолтыг эргэн саная. .
Бодит функц u = u(x, y)бодит хувьсагч Xболон цагтцэгт ялгах боломжтой гэж нэрлэдэг Ро(хо, во)хэрэв энэ нь D> цэгийн зарим хөршид тодорхойлогдсон бол түүний нийт өсөлт А болон = тэд o + Өө, өө+ А у) - ба (хо, ву)хэлбэрээр төлөөлнө
хаана ATболон FROM- Ж-ээс хамааралгүй бодит тоо , ээ,а {3 Өөболон ээ,үед тэг рүү чиглэж байна Өө -» 0, ай-> 0.
Хэрэв функц болон Po цэг дээр ялгагдах боломжтой бол энэ нь пар-
Г," ди(P 0) ^ ди(Ро)гт ,
Po дахь деривативууд, ба AT= ---, C = ---. Гэхдээ (маш сайн
өө өө
нэг хувьсагчийн функцээс) функцийн хэсэгчилсэн дериватив байгаа эсэхээс i(x, y)түүний ялгаатай байдал хараахан дагаагүй байна.
2. Коши-Риманы нөхцөл.
Теорем 6.1. W функцийг үзье = z цогц хувьсагчийн f(z)= (w, y) цэгийн хөршөөр тодорхойлогддог, zq= (жо, y o) ба f(z) = u(x, y) + iv(x, y). f(z) нь Zq цэгт дифференциалагдахын тулд u(x, y) XI v(x, y) функцууд цэг дээр дифференциалагдах шаардлагатай бөгөөд хангалттай.(жо, yo) мөн энэ үед нөхцөл байдал
Тэгшитгэл (6.4) гэж нэрлэдэг Коши-Риманы нөхцөл .
Баталгаа. Хэрэгцээтэй. Функцийг зөвшөөр w = f(z) zq цэг дээр ялгах боломжтой, өөрөөр хэлбэл,
Тэмдэглэх f "(zo) \u003d a + ib a(Dg) = fi(Сүх, Ай)+ r7(J, Ай); Аз = Аа + (Ай,хаана /3 7 нь хувьсагчийн бодит функцууд юм Аа, аатэг рүү тэмүүлэх нь J -> 0, Ай -> 0. Эдгээр тэгшитгэлийг (6.5)-д орлуулж, бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг салгаснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
Комплекс тоонуудын тэгш байдал нь тэдгээрийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийн тэгшитгэлтэй тэнцүү тул (6.6) нь тэгш байдлын системтэй тэнцүү байна.
Тэгшитгэл (6.7) нь функцуудыг хэлнэ u(x, y), v(x,y)(6.3) нөхцөлийг хангасан тул ялгах боломжтой. J ба дахь коэффициентүүдээс хойш ай w ба-тай холбоотой хэсэгчилсэн деривативтай тэнцүү байна цагт(6.7)-аас бид олж авна
үүнээс (6.4) нөхцөл дагана.
Хангалттай байдал. Одоо функцууд гэж үзье u(x, y)болон v(x,y)цэг дээр ялгах боломжтой (хо.woo)болон i(x, y)ба нөхцөл (6.4) хангагдсан байна.
a = ^, 6 = -^ гэж тэмдэглээд (6.4) хэрэглэснээр бид (6.8) тэнцүү байна. (6.8)-аас болон функцүүдийн ялгах нөхцөл u(x, y), v(x, y)бидэнд байгаа 
хаана ft, 7i, ft, г-2 - гэж тэг рүү чиглэсэн функцууд Аа -> 0, Ай ->-> 0. Эндээс
Ан + iAv= (o + ib)(Сүх + i. Ay)+ (ft + ift)Ax + (71 + *72) Ай.(6.9) a(Aj) функцийг тэгшитгэлээр тодорхойлъё
болон тавих ГЭХДЭЭ = а 4- ib.Дараа нь (6.9) тэгшитгэл гэж дахин бичнэ
(6.2)-тай давхцаж байна. Ялгаатай байдлыг нотлох өдөр
функцууд f(z) lim a(Az) = 0 гэдгийг харуулахад үлдлээ.Тэгшээс
үүнийг дагадаг Өө^ |Dg|, ай^ |Dg|. Тийм ч учраас
Хэрвээ Аз-? 0, тэгвэл Өө-? 0, ай-> 0, иймээс ft, ft, 71, 72 функцууд тэг рүү чиглэдэг. Тиймээс a(Aj) -> 0 хувьд Аз-> 0, теорем 6.1-ийн баталгаа бүрэн байна.
Жишээ 6.2. Функц байгаа эсэхийг шалгана уу w = z 2 ялгах боломжтой; Хэрэв тийм бол ямар цэгүүдэд?
Шийдэл, w = u + iv = (x + iy) 2 = x 2 - y 2 + 2ixy,хаана ба \u003d \u003d x 2 - y 2, V \u003d 2xy.Үүний үр дүнд,
Тиймээс Коши-Риманы нөхцөл (6.4) цэг бүрт хангагдана; функц гэсэн үг w = g 2 нь C хэл дээр ялгагдах болно.
Жишээ 6.3. Функцийн дифференциал байдлыг судлах w = - z - x - iy.
Шийдэл. w = u + iv = x - iy,хаана u = x, v = -yболон
Тиймээс Коши-Риманы нөхцлүүд ямар ч үед хангагдахгүй, улмаар функц нь w=zхаана ч ялгарах боломжгүй.
Та (6.1) томъёог ашиглан функцийн ялгавартай байдлыг шалгаж, деривативыг шууд олох боломжтой.
ЖИШЭЭ 6.4. (6.1) томъёог ашиглан функцийн ялгах чадварыг судал IV = z2.
Шийдэл. А w- (zq + A z) 2- Zq = 2 zqAz -I- (А z) 2,хаана
Тиймээс функц w = zr 2o-ийн аль ч цэгт ялгах боломжтой ба түүний дериватив f"(zo) =2 зо-
Хязгаарын тухай үндсэн теоремууд нь комплекс хувьсагчийн функцэд хадгалагдаж, комплекс хувьсагчийн функцийн деривативын тодорхойлолт нь бодит хувьсагчийн функцүүдийн харгалзах тодорхойлолтоос ялгаатай байдаггүй тул сайн мэддэг дүрмүүд байдаг. нийлбэр, ялгавар, үржвэр, категори, комплекс функцийг ялгахад нийлбэр хувьсагчийн функцүүдэд хүчинтэй хэвээр байна. Үүний нэгэн адил, хэрэв функц байгаа бол энэ нь бас батлагдсан f(z)цэг дээр ялгах боломжтой zo.дараа нь энэ үед тасралтгүй байна; эсрэгээрээ үнэн биш.
3. Аналитик функцууд. Чиг үүрэг w= /(^ ns зөвхөн тухайн цэг дээр ялгах боломжтой zq, гэхдээ бас энэ цэгийн зарим хөрш, гэж нэрлэдэг zq цэг дээр аналитик.Хэрвээ f(z)бүс нутгийн цэг бүрт аналитик шинж чанартай байдаг D,дараа нь үүнийг нэрлэдэг домайн дахь аналитик (ердийн, холоморф) D.
Деривативын шинж чанараас нэн даруй гарч ирдэг бол хэрэв f(z)болон g(z)- талбар дахь аналитик функцууд D,дараа нь функцууд f(z) + g(z), f(z) - g(z).), f(z) g(z)мөн домэйнд аналитик шинж чанартай байдаг D,болон хувийн f(z)/g(z)бүс нутгийн бүх цэгүүдэд аналитик функц Д.аль нь g(z) f 0. Жишээлбэл, функц 
нь гадагш хаясан цэгүүдтэй С хавтгайд аналитик юм z== 1 ба z-i.
Комплекс функцийн деривативын тухай теоремоос дараах мэдэгдэл гарна: хэрэв функц болон = у(з) нь домайн дахь аналитик юм Дболон дэлгэцүүд Дбүс нутаг руу D"хувьсагч ба, мөн функц w = f(u)талбарт аналитик D", дараа нь цогц функц w = f(u(z))хувьсагч zаналитик Д.
Хаалттай домайн дахь аналитик функцийн тухай ойлголтыг танилцуулъя Д.Энд байгаа задгай талбайгаас ялгаатай нь харъяалагдах хороололгүй хилийн цэгүүдийг нэмж оруулсан D;тиймээс эдгээр цэгүүд дэх дериватив нь тодорхойлогдоогүй байна. Чиг үүрэг f(z)дуудсан аналитик (тогтмол, холоморф) хаалттай бүсэд Dхэрвээ энэ функцийг илүү өргөн хүрээнд өргөтгөх боломжтой бол Дби агуулж байна D,аналитик руу Дфункцууд.
- Нөхцөл (6.4)-ийг аль эрт 18-р зуунд судалж байжээ. Д'Аламберт ба Эйлер. Тиймээс тэдгээрийг заримдаа д'Аламберт-Эйлерийн нөхцөл гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь түүхэн үүднээс илүү зөв юм.
хуулбар
1 Коши-Риманы нөхцөл.) w zi e функцийн Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгана уу. z цэг дээр деривативтай функцийг тухайн цэгт дифференциалагдах гэж нэрлэдэг. Коши – Риман (Д’Аламбер – Эйлер, Эйлер – д’Аламберт): w f z u, iv, дараа нь функцийн дифференциалын цэг бүрт f z Хэрэв z i тэгшитгэлүүд хангагдвал u v u v isin e cos ie sin Бодит u –г сонгоно. ба w функцийн төсөөллийн v хэсгүүд: u, e cos v, e sin Хэсэгчилсэн деривативуудыг тооцоол: u cos e cos v e sin e cos u e cos e sin v e sin e sin - Коши-Риманы нөхцөл хангагдсан. Уран зохиол :) Gusak A.A. "Цогц хувьсагч ба үйлдлийн тооцооллын функцүүдийн онол", 00, 59-р хуудас (жишээ 9), х.0 (жишээ);) Писменный Д.Т. "Дээд математикийн лекцийн тэмдэглэл", 006, хуудас 530, х (Эйлер-Д'Аламберт нөхцөл, функцийн аналитик байдал).) w z 4iz функцийн Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгана уу. Бид энэ функцийг z i: w i 4i i i 4 i i тохируулж алгебрийн хэлбэрээр бичдэг.
2 w функцийн бодит u ба төсөөлөл v хэсгийг сонго: u, 4 v, 4 Хэсэгчилсэн деривативуудыг тооцоол: u 4 v 4 u 4 4 v Коши-Риманы нөхцөл хангагдсан. 3) sin iz функцийн Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгана уу. Бид тригонометрийн sin z функцийг экспоненциалаар илэрхийлнэ: iz iz e e sin z i ба z i: ii ii ii ii i i ii ii ii ii i i i ii ii ii ii i i i i i ii ii ii i i i i i i e e e e sin iz i i i i i i e e e e e e cos isin e cos isin e sin icose sinic icosie sinosse гэдгийг харгалзан үзнэ. sin ie cos sin cos e e i e e u iv-ийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүд: u, sin e e, cos v e e
3 Хэсэгчилсэн деривативуудыг тооцоол: u sin sin e e e e v cos e e sin e e sin e e ба u sin cos e e e cos cos e e e v Таны харж байгаагаар Коши-Риманы нөхцөл u v u v sin iz биелэгдэнэ. функцийн хувьд 4) Коши-Риманы нөхцөлийг ашиглан w f z функц аналитик эсэхийг шалгана уу: Функц wsin z3 z. w f z нь z цэгийн өөрөө болон түүний ойролцоо аль алинд нь ялгах боломжтой бол z цэг дээрх аналитик гэж нэрлэгддэг. Зарим D домэйны цэг бүрт ялгах боломжтой w f z функцийг энэ муж дахь аналитик функц гэж нэрлэдэг. Коши-Риман (Д'Аламбер-Эйлер, Эйлер-Д'Аламбер) нөхцөл: Хэрэв z i w f z u, iv бол f z функцийн дифференциалын цэг бүрт u v u v, тэгшитгэлүүд хангагдана. Бид энэ функцийг z i-г тохируулан алгебрийн хэлбэрээр бичнэ: i 3 i w sin ii ii e e 3i3 i i i e e e 3i3 i i i e e e e e 3i3 i e cos isin e cosisin 3i3 i e cos ie sin e cos i 3 e sini3
4 cos e i e e sin 3i3 ic cos i e e e e sin 3i3 e e sin i e e e cos 3i3 e e sin 3i e e cos 3 ch sin 3 sh icos 3 Хувиргахад хэрэглэгддэг томьёо: iz iz e e sin z i, zc e e sh, R e real ба сонго төсөөллийн хэсгүүд w z u, i v, u, chsin 3 v, shcos3: Хэсэгчилсэн деривативуудыг тооцоол: u ch sin 3 ch cos3 v sh cos3 ch cos3 u ch sin 3 sh sin v sh cos 3 sh sin Тэгэхээр Коши-Риманы нөхцөл u v u , биелсэн; тиймээс sin w f z z3 z функц аналитик байна. дөрөв
5 5) Функц нь аналитик гэдгийг баталж, деривативыг ол: z z e w e Энэ функцийг z i тохируулгаар алгебрийн хэлбэрээр бичнэ: i i e e w e cos isin e cosisin e cos isin e cos isin e cos ie sin e cos ie sin cos e e i e e sin e e e cos i sin ch cos ish sin Бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг салгах w z u, i v, u, chcos v, shsin Хэсэгчилсэн деривативыг тооцоолох: u ch cos sh cos v sh sin sh cos u ch cos ch sin v sh sin ch sin: Коши-Риман нөхцөл u v u v, хангасан; иймээс w f z e z e z функц аналитик байна. Аливаа аналитик функцийн хувьд f z u, i v, u u, v v, , функцүүдийн хэсэгчилсэн деривативууд: дериватив f u v v u u u v v f z i i i i u, ба v, : z функцийн деривативын уламжлалыг f z-ийн илэрхийлэлээр илэрхийлнэ. w z z z z e e u v w z i sh cos ich sin z функцийн уламжлал 5-ын хувьд
6 буюу шууд: z z e e z z z z w e e z e z i i i i i e ee e e e cos isin e cosisin e cos isin e cos isin e cosisin e cos isin e cos isin cos sin e e i e e e e cos i sin sh cos ich sn i 6) Express izi w, хаана, w, i. Энэ нь аналитик эсэхийг шалгана уу, хэрэв тийм бол z0 цэгээс деривативыг олоорой, алгебрийн цогц тоог олж авна. Re w u, e cos Im w v, e sin e v sin e cos e
7 у в в з и э и син cos 6 6 w zesin iecos e 3 ie 3 3 z0 i0 цэгт: Литература:) Гусак А.А. "Цогц хувьсагчийн функц ба үйлдлийн тооцооллын онол", 00, 59-р тал (жишээ 9), 0-р хуудас (жишээ). Функцийн утгыг тооцоол. 7) z0 i цэг дээрх w cos z комплекс хувьсагчийн функцын утгыг тооцоол. е Дурын z C-ийн хувьд: cos z iz e iz Дараа нь ii ii i i i i e ee ee e e e wicosi e cos isin e cos isin cos e e isin e e e e cos i sin ch cos i sh sin Хариулт: i cos ch cos ish sin Уран зохиол:) Морозова:) Морозова. "Комплекс хувьсагчийн функцийн онол", 009, боть 0, хэвлэл. МУБИС, 06-р тал;) Лунц Г.Л., Элсголц Л.Э. "Комплекс хувьсагчийн функц", 00, p) z 0 ln 3 цэгийн w th z бүхий комплекс хувьсагчийн функцын утгыг алгебрийн хэлбэрээр тооцоол. z z e e Ямар ч z C: th z z z e e So i i ln 3 i ln 3 i e 4 e w z 0 i e e th ln ln 3 i ln 3 i i i e 4 e 4 e 4 3 e 4 3 i7 гэсэн хариултыг бичнэ үү.
алгебрийн хэлбэрээр үр дүнгийн тооцоо. 9) z 0 цэгт Ln z комплекс хувьсагчийн функцийн утгыг тооцоол.Функцийн үндсэн утгыг заана уу. Логарифмын функц Ln ln arg z z i z k kz z тооны логарифмын үндсэн утга нь z тооны аргументийн үндсэн утгад харгалзах утга; тэдгээр. Бид k 0 дээр логарифмын үндсэн утгыг авна: ln z ln z i arg z Модуль ба z0 0 i тооны аргумент: z 0 arg z 0 Тиймээс Ln ln i k 0k i kz нь комплекс хувьсагчийн утгууд юм. z 0 цэг дээрх функцийг алгебрийн хэлбэрээр бичнэ. (логарифмын функц Ln z олон утгатай) z ln 0 i 8 тооны логарифмын үндсэн утга
9 0) z i 0 цэгт i z комплекс хувьсагчийн функцийн утгыг тооцоол. Аливаад w z C: w z z Ln w e. i iln i iln i iarg i ki i e e, kz Модуль ба w i-ийн аргумент: i arg iarctg 4 ln i ln i ki i k i k i i ln i iarg i ki ln i i e e 4 e 4 e kzln 4 , - z0 i цэг дэх z цогцолбор хувьсагчийн функцийн утгууд, тригонометрийн хэлбэрээр бичигдсэн (олон утгатай функц). алгебрийн хэлбэрээр хариул. i z i Arcctg z Ln z i Ln z ln z iarg z k, kz (k 0-ийн хувьд бид ln z ln z i arg z-ийн логарифмын үндсэн утгыг авна) 5iarcg k, kz 5 ба z0 i ln lncctiar0g ln 5 iarcg t arctg i ln 5 0, 3 i 0, 40 4 (Arcctg i-ийн үндсэн утга) 9
10 ) z0 i цэг дэх arccos z комплекс хувьсагчийн функцын утгыг тооцоод хариултыг алгебрийн хэлбэрээр бичнэ үү. Arccos z iln z z Ln z ln z i arg z k, kz k 0-ийн хувьд ln z ln z i arg z логарифмын үндсэн утгыг олж авах ба arccosine arccos z arg z z z iln z z цогцолборын квадрат язгуурыг гаргана. хоёр утга; Функцийн үндсэн утгын хувьд аргумент нь 0 ; интервалд багтах нэгийг сонгоно. Энэ тохиолдолд: arccos ln ln iln i i i i i i i i i i язгуур нь хоёр утгыг авна. Тэдгээрийг олцгооё: cos arctg i sin arctg i arctg k arctg k i 5 cos isin 4 arctg arctg 5cos isin, k 0 i 4 arctg arctg 5 cos i sin, k cos cos cosarctg 5 томьёог ашиглан sin, бид: мөн arctan 5 5 cos 0 arctan 5 5 sin 0, дараа нь i, k 0 i, k i i, k i, k 0 0 0 гэдгийг анхаарч үзвэл
11 ба 5 5 i, k 0 i i 5 5 i, k түүний аргумент 0 ; мужид багтана. Тэгэхээр, i i 5 i arccos z arg z z iln z z arctg 5 5 iln i 5 5 arctg 5 5 i ln 5 arctg 5 i l n 5 5 5, 7 i 0, 59 5 (Arccteros-ийн үндсэн утга) V:D.) . "Комплекс хувьсагчийн функцийн онол", 009, боть 0, хэвлэл. МУБИС, 06-р тал;) Лунц Г.Л., Элсголц Л.Э. "Цогц хувьсагчийн функцууд", 00, 40-р тал.
Комплекс тоо нь x y хэлбэрийн илэрхийлэл (комплекс тооны алгебр хэлбэр), энд x, y R; x Re - цогц тооны бодит хэсэг; y Im - нийлмэл тооны төсөөллийн хэсэг; - төсөөлөл
Сэдэв 11 Комплекс тооны онолын үндсэн мэдээлэл. Комплекс тоо гэдэг нь i нь "төсөөллийн нэгж" гэсэн хэлбэрээр бичигдсэн эрэмбэлэгдсэн хос бодит тоо юм. i = -1; - бодит хэсэг
Нарийн төвөгтэй тоо. Олон гишүүнт. Нарийн төвөгтэй тоо. 1. Бодлого шийдвэрлэх үндсэн тодорхойлолт, томьёо Алгебр хэлбэрийн комплекс тоо нь = x + y хэлбэрийн илэрхийлэл бөгөөд энд x ба y нь бодит байна.
1 Комплекс хувьсагчийн функцын тухай үндсэн ойлголтууд Комплекс хувьсагчийн функцтэй холбоотой үндсэн ойлголтууд нь бодит талбайн нэгэн адил олддог. Хоёр багц цогцолбор байг
Санкт-Петербург Улсын Их Сургуулийн Математик Анализийн тэнхим
Математикийн шалгалтын удирдамж Сэдэв 1. Комплекс хувьсагчийн функцууд Комплекс хувьсагчийн функцийн тодорхойлолтыг өгье. Тодорхойлолт. Цогцолборын цэгүүдийн D багц дээр гэж тэд хэлдэг
Сонголт даалгавар Функцийн утгыг тооцоод хариултыг алгебрийн хэлбэрээр өг: a sh ; b l Шийдэл a Тригонометрийн синус ба гиперболын синус хоорондын хамаарлын томьёог ашиглая: ; sh -s авах
Сонголт Даалгавар Функцийн утгыг тооцоол (хариултыг алгебрийн хэлбэрээр өг: a th (; b L (sh (/ Шийдэл a)) Шүргэгчийг синус ба косинусаар илэрхийлнэ үү: th (ch (/-ийн синусын томъёог хэрэглэнэ) ялгаа ба
ОХУ-ын Боловсрол, Шинжлэх Ухааны Яам Мельниковын ГУБКИНЫН нэрэмжит ОХУ-ын ГАЗРЫН ГАЗРЫН УЛСЫН ИХ СУРГУУЛЬ, Н.О.Фастовецын ОНОЛ ФУНКЦИЯНЫ ОНОЛ ЦОГЦ ХУВЬСАГЧ ҮЙЛ АЖИЛЛАГААНЫ
Сэдэв Цогцолбор тоо, функц. Комплекс тооны тодорхойлолт, комплекс тооны алгебрийн хэлбэр. Комплекс тооны бодит ба төсөөлөлтэй хэсгүүд. Комплекс тоог нэмэх, үржүүлэх үйлдлүүд.
Цогц хувьсагчийн цогц анализын функцууд Никита Александрович Евсеев Новосибирскийн Улсын Их Сургуулийн Хятад Оросын Хүрээлэнгийн Физикийн тэнхим, Хармөрөн Их Сургууль
Сэдэв: Хэсгийн нэр, сэдвүүд Танхимын нийт цаг Лекц, цаг Практик хичээл, цаг 1 2 3 4 Сэдэв 1. Аналитик геометр ба шугаман алгебр 68 34 34 Сэдэв 2. Математик анализын удиртгал
В.Д.Михайлов Жишээ ба бодлого дахь цогц хувьсагчийн функцууд 04 УДК 57.5 ББК.6 М69 Михайлов В.Д. Жишээ болон даалгаварт нийлмэл хувьсагчийн функцууд: Судалгааны гарын авлага. SPb., 04. 30 х. Заавар
Хуудас 14-ийн 1 2-р хичээл. Комплекс тооны экспоненциал хэлбэр Mat. шинжилгээ, програм. Математик, 4-р улирал A1 Дараах комплекс тоонуудын модуль ба аргументуудыг олж, эдгээр тоог z = ρe iϕ хэлбэрээр бич.
ОХУ-ын БОЛОВСРОЛ, ШИНЖЛЭХ УХААНЫ ЯАМ Дээд мэргэжлийн боловсролын Холбооны улсын төсвийн боловсролын байгууллага "Тула улсын их сургууль" Өндөр нарийвчлалын системийн дээд сургууль В.П.
ОХУ-ын БОЛОВСРОЛ, ШИНЖЛЭХ УХААНЫ ЯАМ АНГАРСК УЛСЫН ТЕХНИКИЙН АКАДЕМИ Мусева Т.Н.Свердлова О.Л.Туркина Н.М. ЦОГЦ ХУВЬСАГЧИЙН ФУНКЦИЙН ОНОЛЫН ЭЛЕМЕНТҮҮД Ангарскийн АГУУЛГА.
ЦОГЦ ХУВЬСАГЧ ҮЙЛ АЖИЛЛАГААНЫ ТООЦООНЫ ФУНКЦИЙН ОНОЛЫН ЭЛЕМЕНТҮҮД
ӨӨРИЙГӨӨ БОЛОВСРУУЛАХ ДААЛГАВАР Цогцолбор тоо, түүн дээр хийх үйлдлүүд Цогцолбор тоонууд өгөгдсөн бөгөөд олоорой :)))) 5): а) б) Энэ цогцолбор тоог бич:) тригонометрийн хэлбэрээр) экспоненциал хэлбэрээр бичнэ үү.
ФУНКЦИЙН УТГИЙГ ТООЦОХ СОНГОЛТЫН ДААЛГАВАР (Хариултыг АЛГЕБРИЙН ХӨРӨНГӨӨР ӨГӨ: a Arch; b ШИЙДЭЛ A БИД Arch(L(ЭНЭ ЖИШЭЭНД ZI, ТИЙМЭЭД L±БЭ) ARH-ийг Формулаар ТООЦОХ БОЛНО. ХЭРЭГЛЭЭ
Сонголт 9 Даалгавар Функцийн утгыг тооцоол (хариултыг алгебрийн хэлбэрээр өг: a cos (; b l (Шийдэл a Тригонометрийн томъёоны дагуу cos (-cos cos (s s))
ХОЛБООНЫ БОЛОВСРОЛЫН ГАЗАР "САМАРА УЛСЫН ТЕХНИКИЙН ИХ СУРГУУЛЬ" МЭРГЭЖЛИЙН ДЭЭД БОЛОВСРОЛЫН УЛСЫН БОЛОВСРОЛЫН БАЙГУУЛЛАГА Хэрэглээний математикийн тэнхим
Лекц.7. Тооны тухай ойлголтын өргөтгөл. Цогцолбор тоо, түүн дээрх үйлдлүүд Хураангуй: Уг лекц нь тооны тухай ойлголтыг натуралаас цогцолбор руу ерөнхийд нь авч үзэх шаардлагатайг заажээ. алгебр,
СОНГОЛТ ДААЛГАВАР ФУНКЦИЙН УТГИЙГ ТООЦОХ ХАРИУГ АЛГЕБРИЙН ХЭЛБЭРЭЭР ӨГНӨ: a Arch b ШИЙДВЭР A БИД ЭНЭ ЖИШЭЭ ДЭЭР Arch L томьёогоор ARH-ийг ТООЦОХ БОЛОМЖТОЙ, Arch L± L± USEUR
Лекц..3. Тодорхой бус интеграл Хураангуй: Тодорхой бус интеграл нь интегралын эсрэг деривативуудын багц гэж тодорхойлогддог. Тодорхойгүй интегралын шинж чанаруудыг авч үздэг, the
"үйл ажиллагааны тэмдэг" a+(-b)=a-b 1) Яагаад сөрөг тоог оруулсан бэ? “Тоо хэмжээний тэмдэг”) Яагаад тэдэн дээр үйлдлүүдийг бусдын дагуу биш харин ийм дүрмийн дагуу хийдэг вэ? Яагаад үржүүлж, хуваахад сөрөг байдаг
Практик дасгал Аналитик функц Коши-Риманы нөхцөл Комплекс хувьсагчийн функцын дериватив ба дифференциал Коши-Риманы нөхцөл 3 Модулийн геометрийн утга ба деривативын аргумент 4 Конформ
Лекц 2 2.1 Цогцолбор тооны дараалал Хэрэв ямар нэгэн ε > 0 тооны хувьд n 0 n 0 (ε) тоо байвал комплекс тооны дарааллын хязгаар (z n ) a цогцолбор тоо гэнэ.
Сонголт даалгавар Функцийн утгыг тооцоолох (хариултыг алгебрийн хэлбэрээр өг: a cos (; b l (Шийдэл a Тригонометрийн томъёоны дагуу cos (cos cos (-s s) Бид тригонометрийн холболтын томъёог ашигладаг.
Холбооны Боловсролын агентлаг Дээд мэргэжлийн боловсролын улсын боловсролын байгууллага "Уралын улсын багшийн их сургууль" Математикийн тэнхим
ОХУ-ын Боловсрол, шинжлэх ухааны яам Дээд мэргэжлийн боловсролын холбооны улсын төсвийн боловсролын байгууллага "Комсомольск-на-Амур улсын техникийн
МОСКВА УЛСЫН ТЕХНИКИЙН ИХ СУРГУУЛЬ О.Г. Илларионова, И.В. Платонова ДЭЭД МАТЕМАТИК Оюутнуудад зориулсан практик даалгаврыг хэрэгжүүлэх сургалт, арга зүйн гарын авлага II
Комплекс хувьсагчийн тухай ойлголт Комплекс хувьсагчийн хязгаар ба тасралтгүй байдал D ба Δ цогцолбор тоонуудын хоёр багцыг өгч, z D тоо бүрд ω Δ гэсэн тоог өгье.
Цогцолбор дүн шинжилгээ Комплекс хувьсагчийн функцүүдийн жишээ Никита Александрович Евсеев Новосибирскийн Улсын Их Сургуулийн Хятад-Оросын Хүрээлэнгийн Физикийн тэнхим, Хэйлунжан их сургуулийн
ЛЕКЦ N34. Нарийн төвөгтэй нэр томъёо бүхий тоон цуваа. Нарийн төвөгтэй домэйн дэх эрчим хүчний цуваа. Аналитик функцууд. Урвуу функц..цогцолбор гишүүнтэй тоон цуваа.....комплекс муж дахь чадлын цуваа....
ОХУ-ын БОЛОВСРОЛ, ШИНЖЛЭХ УХААНЫ ЯАМ
Оршил 1 Тоогоо алгебрийн хэлбэрээр бичээрэй Find, Re, Im, arg, Arg = 5 + i 3 + i Шийдэл Бид тоог хуваагчийн коньюгатаар үржүүлж хуваана: 5 + i 3 + i = 5 + i) 3 i) 3 + i) 3 i) = 15
1 Цогцолбор функцууд 1.1 Цогцолбор тоо Комплекс тоог C = ((x, y) : x, y R), z = x + iy нь төсөөллийн нэгж ( би
Үндсэн ойлголт 1 ЦОГЦОЛБОР ТООН нийлмэл тоо нь i хэлбэрийн илэрхийлэл бөгөөд энд ба бодит тоо, i бол i 1 нөхцөлийг хангасан төсөөллийн нэгж Тоог цогцолборын бодит хэсэг гэнэ.
Лекц 3. Тодорхой бус интеграл. Эсрэг дериватив ба тодорхойгүй интеграл Дифференциал тооцоонд асуудлыг шийддэг: өгөгдсөн функцийн хувьд f () түүний деривативыг (эсвэл дифференциал) олно. Интеграл тооцоо
БҮЛЭГ нийлмэл хувьсагчийн функцийн тухай ойлголт.
Функцууд Функцуудыг ялгах 1 Ялгах дүрэм Функцийн дериватив нь бодит талбайд тодорхойлогддог тул өөрөөр хэлбэл. хязгаар болгон, энэ тодорхойлолт болон хязгаарын шинж чанарыг ашиглан,
Сонголт даалгавар Функцийн утгыг тооцоолох (хариултыг алгебрийн хэлбэрээр өг: a Arctg; b (Шийдэл a) Ерөнхийдөө Arctg arctg + kπ Комплекс + хавтгай дахь бусад утгуудыг олно Бид Arctg-ийг томъёогоор тооцоолно.
Хэд хэдэн хувьсагчийн функцууд Хэд хэдэн хувьсагчийн функцууд Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремум. Хаалттай талбайн функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг олох Нөхцөлт экстремум цогцолбор
Магистрын элсэлтийн шалгалтын ДААЛГАВАР (үндсэн хэсэг) Билетийн даалгавар, 4 5 Хэсэг, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 6, 7, 8, 4, 5, 9 Онооны тоо 5 b b 5 b Агуулгын хэсэг Дериватив, quotient
Лекц 5 Үндсэн энгийн функцийн дериватив Хураангуй: Нэг хувьсагчийн функцийн деривативын физик, геометрийн тайлбарыг өгсөн.Функц ба дүрмийг ялгах жишээг авч үзсэн.
Бие даах ажил Даалгавар Параметрээр өгөгдсөн муруйны төрлийг тодорхойлж, муруйг дүрслэх t t t t 5 7 t t b) e e, 0 t π c) t t t
С.А.Зотова, В.Б.Светличная ЦОГЦ ХУВЬСАГЧ МАТЕМАТИКИЙН ФУНКЦИЙН ОНОЛЫН ПРАКТИКИЙН ГАРЫН АВЛАГА.
7 ЭКСПОНЕНЦАЛ БОЛОН ЛОГАРИФМИЙН ТЭГШИГЧИЛҮҮД БА ТЭГШ БУС 7. ҮНДСЭН ОЙЛГОЛТ, ТОМЪЁО. log a b ба a b тэнцэл нь a > 0, a, b > 0. log-тэй тэнцүү байна. Үндсэн логарифмын таних тэмдэг: a a b b, a > 0,
Үндсэн анхан шатны функцүүдийн дериватив Функцийн деривативыг дараах схемийн дагуу олж болно: y функцийн аргумент x-д нэмэгдэл өгнө. Бид харгалзах нэмэгдлийг олно y y бид олсон харьцааг гаргана.
ЦОГЦОЛБОР ХУВЬСАГЧИЙН ҮЙЛ АЖИЛЛАГАА ТСТУ ХЭВЛЭЛИЙН ҮЙЛДВЭР ОХУ-ын Боловсрол Шинжлэх Ухааны Яам Тамбовын Улсын Техникийн Их Сургууль ЦОГЦОЛБОР ХУВЬСАГЧИЙН ҮЙЛ АЖИЛЛАГАА Арга зүй
Шалгалтын асуултууд "МЭДЭХ" сурлагын түвшинг шалгах асуултууд Цувралын онолын үндсэн ойлголтууд Тооны цуваа нийлэх Коши шалгуур Тооны цувааны нийлэх зайлшгүй тэмдэг Хангалттай тэмдэг
Холбооны боловсролын агентлаг Дээд мэргэжлийн боловсролын улсын боловсролын байгууллага Ухта улсын техникийн их сургуулийн ЦОГЦОЛБОР ДУГААР Удирдамж
Цогцолбор шинжилгээ Комплекс тооны геометр Никита Александрович Евсеев Новосибирскийн Улсын Их Сургуулийн Физикийн факультет 2015 Цогцолбор шинжилгээ 1 / 31 Тооны мөр R Цогцолбор
ФУНКЦИЙН УТГИЙГ ТООЦОХ СОНГОЛТЫН ДААЛГАВАР (Хариултыг АЛГЕБРИЙН ХӨРӨНГӨӨР ӨГНӨ: s(; b a ТРИГОНОМЕТРИЙН ФОРМУЛЫГ АШИГЛАСАН ШИЙДВЭР A SIN (ISIN OSIOS SINI БИД ХАРИЛЦААНЫ ТОМЪЁОГ ХЭРЭГЛЭХ ТРИГОНОМЕТРИЙН ТОМЪЁОГ)
Светличная В.Б., Агишева Д.К., Матвеева Т.А., Зотова С.А. Математикийн тусгай бүлгүүд. Комплекс хувьсагчийн функцийн онол Волгоград 0 ж.ОХУ-ын Боловсрол, шинжлэх ухааны яам Волжскийн политехникум
ЖИЧИЙН ТООЦОО "Комплекс хувьсагчийн функцийн онол" Практик даалгавар Даалгавар. s тоо өгөгдсөн. arg-тай c-г олоод c тоог тригонометрийн болон экспоненциал хэлбэрээр бичээрэй :)))))) 8 6) 7) 8) 9)
ОХУ-ын БОЛОВСРОЛЫН ЯАМ ЦОГЦ ХУВЬСАГЧИЙН ФУНКЦИЙН ОНОЛ Арга зүйн гарын авлага Эмхэтгэсэн: М.Д.Улымжиев Л.И.Инхеева И.Б.Юмов С.Ж.Юмова Функцийн онолын арга зүйн гарын авлагын тойм.
Цогцолбор тоо, функц, тэдгээрт хийх үйлдлүүд y модуль R бодит хэсэг бодит тоо, yim төсөөлөл хэсэг бодит тоо iy комплекс тооны алгебрийн тэмдэглэгээ Аргументийн үндсэн утга
Сэдэв: Дериватив. Онолын товч мэдээлэл. Дериватив хүснэгт. (в) 0 (arcsin) () (arccos) (sin) cos (cos) sin (arctg) (tg) cos (arcctg) (ctg) sin v vln u vln u v v (u) (e) e (
Математик анализ Бүлэг: Комплекс хувьсагчийн функцийн онол Сэдэв: С дээр алгебрийн бус үйлдлүүд C. С дахь үндсэн элементар функцууд B.b. цогцолбор тоонуудын дараалал Лектор Янушчик О.В.
Сэдэв. Чиг үүрэг. Даалгаврын аргууд. Далд функц. Урвуу функц. Функцийн ангилал Олонлогийн онолын элементүүд. Үндсэн ойлголт Орчин үеийн математикийн үндсэн ойлголтуудын нэг бол олонлогийн тухай ойлголт юм.
Туршилтын ажил Хичээлийн хооронд оюутнууд бие даан бэлтгэл хийх ёстой. "Хэд хэдэн хувьсагчийн функцууд" сэдвээр лекц дээр онолын материалыг боловсруулах.
Мира. Математик шинжилгээний ердийн тооцоо Сэдвийн хяналтын даалгавар Цогцолбор тоо, TFKP. Даалгавар 1. Тэгшитгэлийг шийдэж, цогц хавтгай дээрх шийдийн багцыг төлөөл A) 4 i + 81i 0 B)
ҮЙЛ АЖИЛЛАГААНЫ ТООЦОО Лапласын хувиргалт ба урвуугийн томьёо Дирихлегийн интервалд оруулъя: Фурье интеграл (l l) a) энэ интервал дээр хязгаарлагдсан; функц нь нөхцөлийг хангасан b) хэсэгчлэн тасралтгүй байна
Нарийн төвөгтэй хувьсагчийн функцууд Аналитик функцууд Өмнөх шиг, өөрөөр заагаагүй бол бид w = f(z) нэг утгатай функцтэй харьцаж байна. Тодорхойлолт 1. f(z) функцийг аналитик гэж нэрлэдэг
ОХУ-ын БОЛОВСРОЛ, ШИНЖЛЭХ УХААНЫ ЯАМ АНГАРСК УЛСЫН ТЕХНИКИЙН АКАДЕМИ Иванова С.В., Евсевлеева Л.Г., Быкова Л.М., Добрынина Н.Н. ЦОГЦОЛБОР ХУВЬСАГЧИЙН ҮЙЛ АЖИЛЛАГАА, ҮЙЛ АЖИЛЛАГААНЫ ТООЦООНЫ багш
функцийг = гэж үзье у(x,y)+iv(x,y) нь тухайн цэгийн ойр орчимд тодорхойлогддог z
= x+iy. Хэрэв хувьсагч бол zөсөлт
z=
x+би
y, дараа нь функц 
нэмэгдэл авах болно
=
(z+
z)–
=у(x+
x,
y+
y)+
+ iv(x+ x, y+ y) - у(x,y) - iv(x,y) = [у(x+ x, y+ y) –
– у(x,y)] + би[v(x+ x, y+ y) - v(x,y)] =
= у(x,y) + би v(x,y).
Тодорхойлолт. Хэрэв хязгаар байгаа бол
=
,
тэгвэл энэ хязгаарыг функцийн дериватив гэнэ 
цэг дээр zболон тэмдэглэгдсэн байна е(z) эсвэл 
. Тиймээс, тодорхойлолтоор,
=
=
.
(1.37)
Хэрэв функц 
цэг дээр дериватив байна z, дараа нь бид функц гэж хэлдэг 
цэг дээр ялгах боломжтой z. Мэдээжийн хэрэг, функцийн ялгавартай байдлын хувьд 
функцууд зайлшгүй шаардлагатай у(x,y) ба v(x,y) ялгах боломжтой байсан. Гэсэн хэдий ч энэ нь дериватив оршин тогтноход хангалтгүй юм е(z). Жишээлбэл, функцийн хувьд w=
=
x–iyфункцууд у(x,y)=x
болон v(x,y)=–y M-ийн бүх цэгүүдэд ялгах боломжтой x,y), харин харилцааны хязгаар 
цагт
x0,
y0 байхгүй, учир нь if
y= 0,
x 0, тэгвэл
w/
z= 1,
хэрэв x = 0, y 0, тэгвэл w/z = -1.
Ганц хязгаарлалт байхгүй. Энэ нь функц гэсэн үг юм
w=
ямар ч үед дериватив байхгүй z. Нарийн төвөгтэй хувьсагчийн функцийн дериватив байхын тулд нэмэлт нөхцөл шаардагдана. Яг юу вэ? Энэ асуултын хариултыг дараах теоремоор өгнө.
Теорем.Функцуудыг зөвшөөр у(x,y) ба v(x,y) M цэг дээр дифференциалагдах боломжтой. x,y). Дараа нь функцийн дарааллаар
=
у(x,y)
+ iv(x,y)
нэг цэгт дериватив байсан z = x+iy, энэ нь шаардлагатай бөгөөд хангалттай тэнцүү байх ёстой
Тэгшитгэлийг (1.38) Коши-Риманы нөхцөл гэж нэрлэдэг.
Баталгаа. 1) Шаардлагатай байдал. Функцийг зөвшөөр 
z цэг дээр деривативтай, өөрөөр хэлбэл хязгаар байдаг
=
=
.(1.39)
Тэгш байдлын баруун талын хязгаар (1.39) нь тухайн цэгийн аль замаас хамаарахгүй z = x+би yэрэлхийлдэг
0 хүртэл. Ялангуяа y = 0 бол x 0 (Зураг 1.10) бол
Хэрэв x = 0, y 0 (Зураг 1.11), тэгвэл
(1.41)
Зураг 1.10 1.11
(1.40) ба (1.41) тэнцүү байдлын зүүн хэсгүүд тэнцүү байна. Тиймээс баруун талууд тэнцүү байна
Тиймээс үүнийг дагадаг
Тиймээс дериватив байдаг гэсэн таамаглалаас е(z) тэгшитгэл (1.38) биелэгдэнэ, өөрөөр хэлбэл дериватив оршин тогтноход Коши-Риманы нөхцөл шаардлагатай болно. е(z).
1) Хангалттай байдал. Одоо тэнцүү (1.38) хангагдсан гэж үзье.
мөн энэ тохиолдолд функц болохыг нотлох 
цэг дээр дериватив байна z=
x+iy, өөрөөр хэлбэл хязгаар (1.39)
=
байдаг.
Функцуудаас хойш у(x,y) ба v(x,y) M цэг дээр дифференциал болно. x,y), дараа нь M цэг дээрх эдгээр функцүүдийн нийт өсөлт ( x,y) хэлбэрээр төлөөлж болно
,
Энд 1 0, 2 0, 1 0, 2 0 үед x0, y0.
Учир нь (1.38)-ын дагуу
Үүний үр дүнд,
=
,
1 = 1 +би 1 0, 2 = 2 +би 2 0 үед z = x+биy0.
Энэ замаар,
оноос хойш z 2 = x 2 + y 2 , дараа нь x/ z1, у/z1. Тийм ч учраас
цагт z
0.
Үүнээс үзэхэд тэгш байдлын баруун тал (1.42) нь хязгаартай байна
z 0, тиймээс зүүн гар тал нь хязгаартай байна
z 0 бөгөөд энэ хязгаар нь аль замаас хамаарахгүй
z 0-д чиглэдэг.Иймээс хэрэв цэг дээр байгаа нь батлагдсан М(x,y) нөхцөл (1.38) хангагдсан бол функц 
цэг дээр дериватив байна z
= x+iy, ба
.
Теорем бүрэн батлагдсан.
Теоремыг батлах явцад нийлмэл хувьсагчийн функцийн деривативын хувьд (1.40) ба (1.42) хоёр томьёог олно.
,
.
Томъёо (1.38) ашиглан бид өөр хоёр томьёог олж авах боломжтой
,
(1.43)
.
(1.44)
Хэрэв функц е(z) нь D домэйны бүх цэгүүдэд деривативтай байвал функц гэж хэлнэ 
нь D мужид ялгах боломжтой. Үүний тулд Коши-Риманы нөхцөлүүд D домэйны бүх цэгүүдэд хангагдах шаардлагатай бөгөөд хангалттай.
Жишээ.Коши-Риманн нөхцөлийг шалгана уу
функцууд д z .
Учир нь д z = д x+iy = д x(cos y + бинүгэл y),
тэгээд у(x, y) = Re д z = д x cos y, v(x, y) = Би д z = д xнүгэл y,
,
,
,
,
Үүний үр дүнд,
Коши - Функцийн Риманы нөхцөл д z z бүх цэгүүдэд сэтгэл хангалуун байна. Тиймээс функц д zнийлмэл хувьсагчийн бүх хавтгайд ялгах боломжтой ба
Үүнтэй адилаар нэг нь ялгах чадварыг нотолж байна
функцууд z n , cos z, нүгэл z, ch z, ш z, Лн z, томъёоны хүчинтэй байдал
(з n) = nz n-1, (cos z) = -нүгэл z, (нүгэл z) = cos z,
(х z) = sh z, (ш z) = ch z, (Ln z) = 1/z.
Комплекс хувьсагчийн функцүүдийн хувьд бодит хувьсагчийн функцийг ялгах бүх дүрэм хүчинтэй хэвээр байна. Эдгээр дүрмийн баталгаа нь бодит хувьсагчийн функцүүдийн нэгэн адил деривативын тодорхойлолтоос үүдэлтэй.
Функцийг зөвшөөр В
=
е(З)
зарим багц дээр өгөгдсөн ба З 0
, эзэмшдэг Э, энэ багцын хязгаарын цэг. өгье З 0
=
x 0
+
би·
y 0
өсөлт Δ З
=
Δ x+
би·
Δ yзааж өгөх З
=
З 0
+
Δ Золон хүнд харьяалагддаг байсан Э. Дараа нь функц В
=
у+
би·
v
=
е(З)
=
у(x,
y)+
би·
v(x,
y).
Бид Δ өсөлтийг авна В
=
Δ у+
би·
Δ v
= е(З 0
+
Δ З)
-
е(З 0
)
=
Δ е(З 0
)
,
.
Хэрэв хязгаарлагдмал хязгаар байгаа бол 
, дараа нь үүнийг дууддаг дериватив функце(З) цэг дээрЗ 0
олон хүнээрЭ, болон тэмдэглэгдсэн байна 
,
,
,
В"
.
Албан ёсоор бол нийлмэл хувьсагчийн дериватив функц нь бодит хувьсагчийн функцийн деривативтай яг адилхан тодорхойлогддог боловч тэдгээрийн агуулга өөр байдаг.
Функцийн деривативын тодорхойлолтод е(x) цэг дээрх бодит хувьсагч X 0 , x→ x 0 шулуун шугамын дагуу. Комплекс хувьсагчийн функцийн хувьд е(З), Зтэмүүлж магадгүй З 0 цэг рүү хөтөлдөг аливаа хавтгай зам дагуу З 0 .
Иймд нийлмэл хувьсагчийн дериватив функц оршин байх шаардлага маш хатуу байдаг. Энэ нь нийлмэл хувьсагчийн энгийн функцүүд ч деривативгүй байдгийг тайлбарладаг.
Жишээ.
Функцийг авч үзье В
=
=
x-
би·
y. Энэ функц ямар ч үед деривативгүй гэдгийг харуулъя. Ямар ч цэгийг ав З 0
=
x 0
+
би·
y 0
,
Δ-ийн өсөлтийг өгье З
=
Δ x+
би·
Δ y, дараа нь функц нэмэгдэх болно. гэсэн үг 
,
,
Бид эхлээд Δ-г авч үзэх болно З
=
Δ x
+
би·
Δ yийм Δ x
→ 0
, ба Δ y
= 0
, өөрөөр хэлбэл цэг З 0
+
Δ З
→
З 0
хэвтээ шугамын дагуу. Ингэснээр бид үүнийг олж авдаг 
Одоо бид ∆ өсөлтийг авч үзэх болно З∆ x
= 0
, ба ∆ y
→ 0
, өөрөөр хэлбэл хэзээ З 0
+
∆
З→
З 0
босоо шулуун шугамын дагуу байх нь ойлгомжтой 
.
Үр дүнгийн хязгаар нь өөр өөр байдаг тул харьцаа 
хэзээ хязгааргүй ∆
З
→ 0
, өөрөөр хэлбэл функц 
ямар ч үед дериватив байхгүй З 0
.
Олонлогтой холбоотой деривативын утгыг олж мэдье. Болъё Эбодит тэнхлэг бөгөөд В
=
е(З)
=
x, тэгвэл энэ нь бодит хувьсагчийн ердийн бодит функц юм е(x)
=
xба түүний дериватив байх болно 1
(
).
Одоо зөвшөөр Эбүхэл бүтэн онгоц юм (З). Функц гэдгийг харуулъя е(З)
=
xЭнэ тохиолдолд ямар ч үед дериватив байхгүй. Үнэхээр энэ тохиолдолд 
.Эндээс харахад хэрэв 
а 
, дараа нь 
. Хэрэв 
, a 
, дараа нь 
.Үүнээс үүдэн харилцаа 
хэзээ хязгааргүй 
, тиймээс функц е(З)
=
xямар ч үед дериватив байхгүй 
.
Хэрэв бид бодит хувьсагчийн нийлмэл утгатай функцийг авч үзвэл деривативын тодорхойлолтоос шууд гарах болно гэдгийг анхаарна уу. 
, тиймээс, (энэ нь бодит тэнхлэгийн дагуух дериватив юм).
Функцийн өсөлтийн томъёо.
Функцийг зөвшөөр В
=
е(З)
цэг дээр байна З 0
дериватив 
. Хэмжигдэхүүн (1)-ийн дүрслэл явагдаж байгааг харуулъя 
, хэзээ 
.
Үнэхээр деривативын тодорхойлолтоор бид байна 
, тиймээс, үнэ цэнэ 
, хэзээ 
. Тиймээс дүрслэл (1) явагдана (бид хоёр хэсгийг хоёуланг нь үржүүлдэг 
болон шилжүүлэх 
зүүн талд).
Лекц No8 Комплекс хувьсагчийн функцийн дифференциал ба дифференциал
Чиг үүрэг В
=
е(З)
дуудсан цэг дээр ялгах боломжтойЗ 0
, хэрэв дүрслэл (2) энэ үед явагддаг бол хаана А
нь тогтмол комплекс тоо ба хэмжигдэхүүн юм 
үед тэг рүү чиглэдэг 
.
Хэрэв функц В
=
е(З)
цэг дээр ялгах боломжтой З 0
, дараа нь хамаарах үндсэн шугаман 
нэг хэсэг А·
өсөлт 
цэг дээр З 0
дуудсан функцийн дифференциал
е(З)
цэг дээр 
болон тэмдэглэсэн 
.
Нэг теорем байна.
Теорем.
Функцийн хувьдВ
=
е(З) тухайн үед ялгарах боломжтой байсанЗ 0
, энэ үед энэ нь хязгаарлагдмал деривативтэй байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай
, мөн төлөөллийн хувьд үргэлж гарч ирдэг (2) 
.
Баталгаа.
Хэрэгцээтэй.Функцийг цэг дээр ялгах боломжтой байг З 0
. Энэ цэг дээр төгсгөлтэй дериватив байгаа бөгөөд энэ дериватив нь тоотой тэнцүү гэдгийг харуулъя. ГЭХДЭЭ. Ялгарлын улмаас е(З)
цэг дээр З 0
төлөөлөл (2) байгаа тул 
(3). Энд, хязгаарт хүрч байна 
бид үүнийг ойлгодог 
, гэсэн үг 
.
Хангалттай байдал.Функцийг зөвшөөр е(З)
цэг дээр байна З 0
эцсийн дериватив 
. (2) төлөөллийг хангаж байгааг харуулъя. Дериватив байгаатай холбоотой 
дүрслэл (1) явагддаг, гэхдээ энэ нь дүрслэл (2) юм А
=
. Хангалттай байдлыг тогтоосон.
Бидний мэдэж байгаагаар дифференциал нь бие даасан хувьсагчийн дифференциал болгон авдаг З
түүний өсөлт 
, өөрөөр хэлбэл, таамаглаж байна 
, бид бичиж болно 
Тиймээс 
(энэ нь нэг тэмдэг биш, дифференциалуудын харьцаа юм).
