Орон зай дахь координатын арга: багшийн томъёо, тайлбар. Сансар дахь координатын арга Сансрын координатын арга тэгш өнцөгт координатын систем

Тэгш өнцөгт координатын системийг ашиглан огторгуйн аль ч цэгийн байрлалыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлж болно. Энэ системд нэг цэгт огтлолцох харилцан перпендикуляр гурван тэнхлэг багтана O нь координатын гарал үүсэл юм.Тэнхлэгүүдийн нэг нь гэж нэрлэгддэг x тэнхлэг(тэнхлэг Өө), бусад у тэнхлэг (OU), Гурав дахь тэнхлэгийг ашиглах (Оз). онгоцууд XOY, XOZболон YOZкоординатын хавтгай гэж нэрлэдэг. Аливаа сегментийг гэж авна масштабын нэгжбүх гурван тэнхлэгийн хувьд . Тэнхлэг дээрх эерэг чиглэлийг эерэг цацрагийг нэгтгэх 90 0 эргүүлэх байдлаар сонгосон. ҮХЭРэерэг туяатай Өө, цацрагаас харахад цагийн зүүний эсрэг явж байх шиг санагдав унц. Энэ координатын системийг гэж нэрлэдэг зөв.

Аливаа цэгийн байрлал Морон зайд гурван координатаар дараах байдлаар тодорхойлж болно . дамжууланМхавтгайтай параллель онгоц зурахXOY, XOZболон YOZ. Тэнхлэгтэй огтлолцох үед бид оноо авдаг, жишээлбэл, П, Qболон Ртус тус. Тоонууд X (абсцисса), цагт(ординат), z (applique), хэмжих сегментүүдOP, OQболонЭСВЭЛсонгосон масштабаар дуудагданатэгш өнцөгт координатоноо М.Харгалзах сегментүүд эерэг эсвэл сөрөг хагас тэнхлэг дээр хэвтэж байгаа эсэхээс хамааран эерэг эсвэл сөрөг гэж авдаг. Гурвалсан тоо бүр ( X; цагт; z) нь огторгуйн цорын ганц цэгтэй тохирч, эсрэгээр.

Хоёр цэгийн хоорондох зай(1.6) томъёогоор тооцоолно.

Координатууд (x; y; z) онооӨгөгдсөн харьцаагаар M хуваахшугамын сегмент AB, (,)-ийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Ялангуяа, (цэг Мсегментийг хуваадаг ABхагас), сегментийн дунд цэгийн координатыг тодорхойлох томъёог олж авна.

Жишээ 4:тэнхлэг дээр OUхоёр цэгээс ижил зайд байгаа цэгийг ол болон .

Шийдэл:Цэг Мтэнхлэг дээр хэвтэж байна OU, координаттай . Даалгаврын дагуу |AM| = |VM|.Зайг олъё |AM|болон |VM|,(1.6) томъёог ашиглан:

Бид тэгшитгэлийг авна: .

Тиймээс бид 4-ийг олж мэднэ цагт= 16, өөрөөр хэлбэл. у= 4. Хүссэн цэг нь М(0; 4; 0).

Жишээ 5:Шугамын сегмент AB 3 тэнцүү хэсэгт хуваагдана. Хэрэв цэгүүд нь мэдэгдэж байгаа бол хуваах цэгүүдийн координатыг ол .

Шийдэл:

Сегментийн хуваагдлын цэгүүдийг тэмдэглэ ABдараах дарааллаар: FROMболон Д.Даалгаврын дагуу |AC| = |CD| = |DB|.Тиймээс цэг FROMсегментийг хуваадаг ABхарилцаанд байгаа . Томъёо (1.7) ашиглан бид C цэгийн координатыг олно.

(1.8) томъёогоор бид цэгийн координатыг олно Д- сегментийн дунд хэсэг SW:

Өөрөөр хэлбэл D цэг нь координаттай байна: .

Жишээ 6:Цэгүүд дээр , ,, Үүний дагуу массууд төвлөрдөг м 1 , м 2 , м 3 , мдөрөв. Эдгээр массын системийн хүндийн төвийн координатыг ол.

Шийдэл:

Физикийн хичээлээс мэдэгдэж байгаагаар массын хүндийн төв м 1 ба м 2 цэг дээр байрлуулсан ГЭХДЭЭболон AT,сегментийг хуваадаг ABсегментийн төгсгөлд төвлөрсөн масстай урвуу пропорциональ хэсгүүдэд (). Үүний үндсэн дээр бид эхлээд хоёр массын системийн хүндийн төвийг олдог м 1 ба м 2 цэг дээр байрлуулсан ГЭХДЭЭ 1 болон ГЭХДЭЭ 2 :

, ,.

Гурван масстай системийн хүндийн төв м 1 ба м 2 ба м 3 () бид ижил төстэй байдлаар олно:

, ,.

Эцэст нь бид гурван массын системийн хүндийн төвийг оллоом 1 , м 2 , м 3 болонм 4 :

, ,.

Хянах асуултууд:

Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем ба түүний бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг дүрсэл.

Хавтгай дээрх дурын цэгийн координатыг хэрхэн тодорхойлох вэ?

p олох томьёо бичхоёр цэгийн хоорондох зайдээр онгоц .

Яаж олох вэӨгөгдсөн харьцаагаар сегментийг хуваах цэгийн координат?

Сегментийн дунд цэгийн координатын томъёог бич.

Гурвалжны оройн координат нь мэдэгдэж байгаа бол түүний талбайг тооцоолох томьёог бич. .

Туйлын координатын системийг тайлбарла.

Туйлын радиус гэж юу вэ? Үүнийг ямар хэмжээнд хэмждэг вэ?

Туйлын өнцөг гэж юу вэ? Түүний хэмжилтийн хязгаар?

Хэрхэнтуйлын координат нь мэдэгдэж байгаа цэгийн тэгш өнцөгт координатыг олох уу?

ХэрхэнТэгш өнцөгт координат нь мэдэгдэж байгаа цэгийн туйлын координатыг олох уу?

Яаж олох вэтуйлын координатын системийн цэг хоорондын зай?

Орон зай дахь тэгш өнцөгт координатын систем ба түүний бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг дүрсэл.

Орон зайн цэгийн координатыг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Орон зайн хоёр цэгийн хоорондох зайг олох томьёог бич.

Гурван хэмжээст координатын системийн өгөгдсөн харьцаагаар хэрчмийг хуваах цэгийн координатыг олох томьёог бичнэ үү.

Координатын аргыг ашиглахын тулд томьёог сайн мэдэх хэрэгтэй. Тэдгээрийн гурав нь:

Эхлээд харахад энэ нь аймшигтай мэт боловч бага зэрэг дасгал хийвэл бүх зүйл сайхан болно.

Даалгавар. a = (4; 3; 0) ба b = (0; 12; 5) векторуудын хоорондох өнцгийн косинусыг ол.

Шийдэл. Бидэнд векторуудын координат өгөгдсөн тул тэдгээрийг эхний томъёонд орлуулна.

Даалгавар. M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) ба K = (2; 1; 0) цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайг өнгөрөхгүй нь мэдэгдэж байгаа бол тэгшитгэлийг бич. гарал үүсэл.

Шийдэл. Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл: Ax + By + Cz + D = 0, гэхдээ хүссэн хавтгай нь эх үүсвэрээр дамждаггүй тул - цэг (0; 0; 0) - дараа нь бид D = 1-ийг тогтооно. Энэ хавтгай дамждаг тул M, N, K цэгүүдээр дамжуулан эдгээр цэгүүдийн координатууд нь тэгшитгэлийг жинхэнэ тоон тэгшитгэл болгон хувиргах ёстой.

M = (2; 0; 1) цэгийн координатыг х, у, z-ийн оронд орлуулъя. Бидэнд байгаа:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Үүний нэгэн адил N = (0; 1; 1) ба K = (2; 1; 0) цэгүүдийн хувьд бид тэгшитгэлийг олж авна.
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Тэгэхээр бидэнд гурван тэгшитгэл, гурван үл мэдэгдэх зүйл байна. Бид тэгшитгэлийн системийг зохиож, шийддэг.

Хавтгайн тэгшитгэл нь − 0.25x − 0.5y − 0.5z + 1 = 0 хэлбэртэй болохыг олж мэдсэн.

Даалгавар. Хавтгай нь 7x − 2y + 4z + 1 = 0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр векторын координатыг ол.

Шийдэл. Гурав дахь томьёог ашиглан бид n = (7; − 2; 4) авна - энэ бол бүх зүйл!

Векторуудын координатыг тооцоолох

Хэрэв асуудалд вектор байхгүй бол зөвхөн шулуун шугамууд дээр байрлах цэгүүд байгаа бөгөөд эдгээр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг тооцоолох шаардлагатай бол яах вэ? Энэ нь маш энгийн: цэгүүдийн координатыг мэддэг - векторын эхлэл ба төгсгөл - та векторын координатыг өөрөө тооцоолж болно.

Векторын координатыг олохын тулд түүний төгсгөлийн координатаас эхлэлийн координатыг хасах шаардлагатай.

Энэ теорем нь орон зайд болон хавтгайд адилхан ажилладаг. "Координатыг хасах" гэсэн илэрхийлэл нь өөр цэгийн х координатыг нэг цэгийн х координатаас хасвал y ба z координатуудтай ижил зүйлийг хийх ёстой гэсэн үг юм. Энд зарим жишээ байна:

Даалгавар. Орон зайд координатаар нь өгөгдсөн гурван цэг байдаг: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) ба C = (− 4; 3; − 2). AB, AC, BC векторуудын координатыг ол.

AB векторыг авч үзье: түүний эхлэл нь А цэгт, төгсгөл нь В цэгт байна. Тиймээс координатыг нь олохын тулд В цэгийн координатаас А цэгийн координатыг хасах шаардлагатай.
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

Үүний нэгэн адил, АС векторын эхлэл нь А цэг хэвээр байгаа боловч төгсгөл нь С цэг юм. Тиймээс бидэнд:
АС = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Эцэст нь ВС векторын координатыг олохын тулд В цэгийн координатыг С цэгийн координатаас хасах шаардлагатай.
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Хариулт: AB = (2; − 7; 4); АС = (−5;−3;−5); BC = (−7; 4; − 9)

Сүүлчийн BC векторын координатыг тооцоолоход анхаарлаа хандуулаарай: олон хүмүүс сөрөг тоотой ажиллахдаа алдаа гаргадаг. Энэ нь y хувьсагчдад хамаатай: В цэг нь y = − 1 координат, С цэг нь y = 3. Бид олон хүний бодож байгаа шиг 3 − 1 биш харин яг 3 − (− 1) = 4-ийг авдаг. Битгий ийм тэнэг алдаа гарга!

Шулуун шугамын чиглэлийн векторуудыг тооцоолох

Хэрэв та C2 бодлогыг анхааралтай уншвал тэнд вектор байхгүй байгааг олж мэдээд та гайхах болно. Зөвхөн шулуун ба хавтгайнууд л байдаг.

Шулуун шугамаар эхэлцгээе. Энд бүх зүйл энгийн: аль ч шулуун дээр дор хаяж хоёр өөр цэг байдаг бөгөөд эсрэгээр хоёр өөр цэг нь нэг шугамыг тодорхойлдог ...

Өмнөх догол мөрөнд юу бичсэнийг ойлгох хүн байна уу? Би өөрөө үүнийг ойлгоогүй тул илүү энгийнээр тайлбарлая: C2 бодлогод шугамыг үргэлж хос цэгээр өгдөг. Хэрэв бид координатын системийг нэвтрүүлж, эдгээр цэгүүдэд эхлэл ба төгсгөлтэй векторыг авч үзвэл шулуун шугамын чиглүүлэх вектор гэж нэрлэгддэг:

Энэ вектор яагаад хэрэгтэй вэ? Гол нь хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг юм. Тиймээс бид ойлгомжгүй шулуун шугамуудаас координатыг хялбархан тооцдог тодорхой векторууд руу шилжиж байна. Хэр амархан? Жишээнүүдийг харна уу:

Даалгавар. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб дээр AC ба BD 1 шугамуудыг зурсан. Эдгээр шулуунуудын чиглэлийн векторуудын координатыг ол.

Нөхцөлд шоогийн ирмэгийн уртыг заагаагүй тул AB = 1 гэж тогтоов.А цэгт эх, AB, AD, AA шулуунуудын дагуу чиглэсэн x,y,z тэнхлэгүүдтэй координатын системийг танилцуулъя. 1, тус тус. Нэгж сегмент нь AB = 1-тэй тэнцүү байна.

Одоо АС шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг олъё. Бидэнд хоёр цэг хэрэгтэй: A = (0; 0; 0) ба C = (1; 1; 0). Эндээс AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) векторын координатуудыг авна - энэ бол чиглэлийн вектор юм.

Одоо BD 1 шулуун шугамыг авч үзье. Мөн B = (1; 0; 0) ба D 1 = (0; 1; 1) гэсэн хоёр цэгтэй. Бид BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1) чиглэлийн векторыг авна.

Хариулт: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

Даалгавар. Бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү ABCA 1 B 1 C 1 ердийн гурвалжин призмд AB 1 ба AC 1 шулуун шугамууд татагдана. Эдгээр шулуунуудын чиглэлийн векторуудын координатыг ол.

Координатын системийг танилцуулъя: гарал үүсэл нь А цэг, x тэнхлэг нь AB, z тэнхлэг нь AA 1, y тэнхлэг нь x тэнхлэгтэй OXY хавтгайг үүсгэдэг, энэ нь ABC-тэй давхцдаг. онгоц.

Эхлээд AB 1 шулуун шугамыг авч үзье. Энд бүх зүйл энгийн: бидэнд A = (0; 0; 0) ба B 1 = (1; 0; 1) цэгүүд байна. Бид AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1) чиглэлийн векторыг авна.

Одоо AC 1-ийн чиглэлийн векторыг олъё. Бүх зүйл адилхан - цорын ганц ялгаа нь C 1 цэг нь иррационал координаттай байдаг. Тэгэхээр, A = (0; 0; 0), тэгэхээр бидэнд байна:

Хариулт: AB 1 = (1; 0; 1);

Сүүлийн жишээний тухай жижиг боловч маш чухал тэмдэглэл. Хэрэв векторын эхлэл нь гарал үүсэлтэй давхцаж байвал тооцооллыг маш хялбаршуулдаг: векторын координатууд нь төгсгөлийн координатуудтай тэнцүү байна. Харамсалтай нь энэ нь зөвхөн векторуудын хувьд үнэн юм. Жишээлбэл, онгоцтой ажиллахдаа тэдгээрийн координатын гарал үүсэл байгаа нь тооцооллыг улам хүндрүүлдэг.

Онгоцны хэвийн векторуудын тооцоо

Хэвийн векторууд нь сайн ажиллаж байгаа, эсвэл сайхан мэдрэмж төрүүлдэг векторууд биш юм. Тодорхойлолтоор бол хавтгайн хэвийн вектор (хэвийн) нь өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр вектор юм.

Өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн хавтгай дээрх дурын вектортой перпендикуляр векторыг нормаль гэнэ. Та ийм тодорхойлолттой тааралдсан нь лавтай - гэхдээ векторуудын оронд шулуун шугамын тухай байсан. Гэсэн хэдий ч C2 асуудалд ямар ч тохиромжтой объекттой, тэр ч байтугай шулуун шугамтай, тэр ч байтугай вектортой ажиллах боломжтой гэдгийг яг дээрээс харуулсан.

Ямар ч хавтгай огторгуйд A, B, C, D нь зарим коэффициент болох Ax + By + Cz + D = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлогддог гэдгийг дахин сануулъя. Шийдлийн ерөнхий байдлыг багасгахгүйгээр, хэрэв онгоц эхийг дайран өнгөрөхгүй бол D = 1, хэрэв өнгөрч байвал D = 0 гэж үзэж болно. Ямар ч тохиолдолд энэ хавтгайд хэвийн векторын координат нь n = (A; B; C) байна.

Тиймээс, онгоцыг вектороор амжилттай сольж болно - ижил хэвийн. Ямар ч хавтгай орон зайд гурван цэгээр тодорхойлогддог. Онгоцны тэгшитгэлийг (тиймээс хэвийн) хэрхэн олох талаар бид өгүүллийн эхэнд аль хэдийн ярилцсан. Гэсэн хэдий ч энэ үйл явц нь олон хүнд асуудал үүсгэдэг тул би дахиад хэдэн жишээ хэлье:

Даалгавар. A 1 BC 1 зүсэлтийг ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб дээр зурсан. Эхлэл нь А цэг дээр байх ба x, y, z тэнхлэгүүд нь AB, AD, AA 1 ирмэгүүдтэй тус тус давхцаж байвал энэ хэсгийн хавтгайн хэвийн векторыг ол.

Онгоц нь эх үүсвэрээр дамждаггүй тул тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна: Ax + By + Cz + 1 = 0, i.e. коэффициент D \u003d 1. Энэ онгоц нь A 1, B, C 1 цэгүүдийг дайран өнгөрдөг тул эдгээр цэгүүдийн координатууд нь онгоцны тэгшитгэлийг зөв тоон тэгшитгэл болгон хувиргадаг.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

Үүний нэгэн адил B = (1; 0; 0) ба C 1 = (1; 1; 1) цэгүүдийн хувьд бид тэгшитгэлийг олж авна.
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Гэхдээ A = − 1 ба C = − 1 коэффициентүүд бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байгаа тул B коэффициентийг олоход л үлдлээ.
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Бид хавтгайн тэгшитгэлийг олж авна: - A + B - C + 1 = 0, Иймээс хэвийн векторын координатууд нь n = (- 1; 1; - 1) байна.

Даалгавар. ABCDA 1 B 1 C 1 D шоо д AA 1 C 1 C зүсэлт зурсан. Хэрэв эх цэг нь А цэг дээр байх ба x, y, z тэнхлэгүүд нь тэнхлэгтэй давхцаж байвал энэ хэсгийн хавтгайн хэвийн векторыг ол. ирмэгүүд AB, AD болон AA 1 тус тус.

Энэ тохиолдолд онгоц эх үүсвэрийг дайран өнгөрдөг тул D \u003d 0 коэффициент, онгоцны тэгшитгэл дараах байдалтай байна: Ax + By + Cz \u003d 0. Онгоц нь A 1 ба C цэгүүдийг дайран өнгөрдөг тул Эдгээр цэгүүдийн координатууд нь хавтгайн тэгшитгэлийг зөв тоон тэгшитгэл болгон хувиргадаг.

А цэгийн координатыг x, y, z-ийн оронд 1 = (0; 0; 1) орлуулъя. Бидэнд байгаа:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Үүний нэгэн адил, C = (1; 1; 0) цэгийн хувьд бид тэгшитгэлийг авна.
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

B = 1. Дараа нь A = − B = − 1 байх ба бүхэл хавтгайн тэгшитгэл нь: − A + B = 0. Иймд хэвийн векторын координат n = (− 1; 1; 0) байна.

Ерөнхийдөө дээрх асуудлуудад тэгшитгэлийн системийг зохиож, түүнийг шийдвэрлэх шаардлагатай байна. Гурван тэгшитгэл, гурван хувьсагч байх болно, гэхдээ хоёр дахь тохиолдолд тэдгээрийн нэг нь үнэ төлбөргүй байх болно, i.e. дурын утгыг авах. Тийм ч учраас бид шийдлийн ерөнхий байдал, хариултын зөв байдлыг харгалзахгүйгээр B = 1 -ийг тавих эрхтэй.

Ихэнхдээ C2 асуудалд сегментийг хагасаар хуваах цэгүүдтэй ажиллах шаардлагатай байдаг. Хэрэв сегментийн төгсгөлийн координатыг мэддэг бол ийм цэгүүдийн координатыг хялбархан тооцоолох боломжтой.

Тиймээс сегментийг төгсгөлд нь өгье - A \u003d (x a; y a; z a) ба B \u003d (x b; y b; z b) цэгүүд. Дараа нь сегментийн дунд хэсгийн координатууд - бид үүнийг H цэгээр тэмдэглэнэ - дараах томъёогоор олно.

Өөрөөр хэлбэл сегментийн дунд хэсгийн координатууд нь түүний төгсгөлүүдийн координатын арифметик дундаж юм.

Даалгавар. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 нэгж кубыг координатын системд x, y, z тэнхлэгүүд нь AB, AD, AA 1 ирмэгийн дагуу тус тус чиглүүлж, эхлэл нь А цэгтэй давхцаж байхаар байрлуулсан. K цэг. нь A 1 B ирмэгийн дунд цэг юм. Энэ цэгийн координатыг ол.

K цэг нь A 1 B 1 сегментийн дунд хэсэг тул түүний координатууд нь төгсгөлүүдийн координатын арифметик дундажтай тэнцүү байна. Төгсгөлийн координатыг бичье: A 1 = (0; 0; 1) ба B 1 = (1; 0; 1). Одоо K цэгийн координатыг олъё.

Даалгавар. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 нэгж кубыг координатын системд x, y, z тэнхлэгүүд нь AB, AD, AA 1 ирмэгийн дагуу тус тус чиглүүлж, эхлэл нь А цэгтэй давхцаж байхаар байрлуулсан. Координатыг ол. A 1 B 1 C 1 D 1 квадратын диагональуудыг огтолж буй L цэгийн .

Планиметрийн явцад квадратын диагональуудын огтлолцлын цэг нь түүний бүх оройноос ижил зайд байдаг нь мэдэгдэж байна. Ялангуяа A 1 L = C 1 L, i.e. L цэг нь A 1 C 1 сегментийн дунд цэг юм. Гэхдээ A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), тэгэхээр бидэнд:

Хариулт: L = (0.5; 0.5; 1)

11-р ангийн геометрийн хичээлийн тест

Сэдэв: "Сансар дахь координатын арга".

Зорилтот: Оюутнуудын онолын мэдлэг, энэ мэдлэгийг вектор, вектор координатын аргаар асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах ур чадвар, чадварыг шалгах.

Даалгаварууд:

1 .Мэдлэг, ур чадвар эзэмшихэд хяналт тавих (өөрийгөө хянах, харилцан хянах) нөхцөлийг бүрдүүлэх.

2. Математик сэтгэлгээ, яриа, анхаарлыг хөгжүүлэх.

3. Оюутны үйл ажиллагаа, хөдөлгөөн, харилцах чадвар, ерөнхий соёлыг сурталчлах.

Үйл ажиллагааны маягт: бүлгийн ажил.

Тоног төхөөрөмж, мэдээллийн эх сурвалж: дэлгэц, мультимедиа проектор, хүснэгт, зээлийн карт, тест.

Хичээлийн үеэр

1. Дайчлах мөч.

CSR ашиглах хичээл; оюутнуудыг 3 динамик бүлэгт хуваадаг бөгөөд үүнд хүлээн зөвшөөрөгдсөн, оновчтой, ахисан түвшний оюутнууд байдаг. Бүлэг бүр бүхэл бүтэн бүлгийн ажлыг удирддаг зохицуулагчтай байдаг.

2 . Урьдчилан таамаглах үндсэн дээр оюутнуудын өөрийгөө тодорхойлох.

Даалгавар:схемийн дагуу зорилго тавих: санах-сурах-чадвартай байх.

Элсэлтийн шалгалт - хоосон зайг бөглөнө үү (хэвлэмэл дээр)

элсэлтийн шалгалт

Цоорхойг нөхөх…

1. Сансар огторгуйн цэгээр гурван хос перпендикуляр шугам татав

Бид тус бүр дээр сегментийн чиглэл, хэмжих нэгжийг сонгосон;

дараа нь тэд ………… тавьсан гэж хэлдэг. сансарт.

2. Чиглэлийг сонгосон шулуун шугамыг …………….. гэж нэрлэдэг.

Тэдний нийтлэг зүйл бол …………. .

3. Тэгш өнцөгт координатын системд орон зайн М цэг бүр нь түүнийг ……………….. гэж нэрлэдэг гурвалсан тоотой холбоотой байдаг.

4. Сансар огторгуйн цэгийн координатыг ……………….. гэнэ.

5. Урт нь нэгтэй тэнцүү векторыг ………….. гэнэ.

6. Векторууд биyк……… гэж нэрлэдэг.

7. Боломж xyzзадралд а= xби + yj + zкдуудсан

……………вектор а .

8. Хоёр ба түүнээс дээш векторын нийлбэрийн координат бүр нь ……………..-тэй тэнцүү байна.

9. Хоёр векторын ялгаварын координат бүр нь ………………-тэй тэнцүү байна.

10. Вектор ба тооны үржвэрийн координат бүр нь ………………..-тэй тэнцүү байна.

11.Векторын координат бүр нь ……………-тэй тэнцүү байна.

12. Сегментийн дунд хэсгийн координат бүр нь ………………-тэй тэнцүү байна.

13. Векторын урт а { xyz) -ийг томъёог тооцоолно ........................

14. М цэгүүдийн хоорондох зай 1(x 1 ; y 1; z 1) ба М 2 (x 2; y 2 ; z2) ………………… томъёогоор тооцоолно.

15. Хоёр векторын скаляр үржвэрийг …………….. гэнэ.

16. Тэг биш векторуудын скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү………………..

17. Векторуудын цэгийн үржвэра{ x 1; y 1; z 1} б { x 2 ; y 2 ; z 2) дотор томъёогоор илэрхийлсэн …………………

Элсэлтийн шалгалтыг харилцан баталгаажуулах. Дэлгэц дээрх тестийн даалгаврын хариултууд.

Үнэлгээний шалгуур:

1-2 алдаа - "5"

3-4 алдаа - "4"

5-6 алдаа - "3"

Бусад тохиолдолд - "2"

3. Ажил хийж байна. (картуудын хувьд).

Карт бүр нь хоёр даалгаврыг агуулна: №1 - нотлох баримт бүхий онолын, 2-т даалгавар орно.

Ажилд орсон ажлуудын хүндрэлийн түвшинг тайлбарла. Бүлэг нэг даалгавар гүйцэтгэдэг боловч 2 хэсэгтэй. Бүлгийн зохицуулагч нь бүхэл бүтэн бүлгийн ажлыг удирддаг. Хэд хэдэн хамтрагчидтай ижил мэдээллийг хэлэлцэх нь зөвхөн өөрийн амжилт төдийгүй хамтын ажлын үр дүнгийн хариуцлагыг нэмэгдүүлдэг бөгөөд энэ нь багийн бичил уур амьсгалд эерэг нөлөө үзүүлдэг.

КАРТ №1

1. Сегментийн дунд хэсгийн координатыг төгсгөлийн координатаар илэрхийлсэн томьёог гарга.

2. Даалгавар: 1) А (-3; 1; 2) ба В (1; -1; 2) оноог өгнө.

Олно:

a) AB сегментийн дунд цэгийн координатууд

б) AB векторын координат ба урт

2) ABCDA1 B1 C1 D1 шоо өгөгдсөн. Координатын аргыг ашиглан өнцгийг ол

AB1 ба A1 D мөрүүдийн хооронд.

КАРТ №2

Векторын уртыг координатаас нь тооцоолох томьёог гарга.

Даалгавар: 1) Өгөгдсөн оноо M(-4; 7; 0),Н(0; -1; 2). Координатын эхлэлээс М сегментийн дунд хүртэлх зайг олН.

→ → → → →

2) Вектор өгөгдөл аболон б. Хай b(a+b),хэрэв a(-2;3;6),b=6i-8k

КАРТ №3

Өгөгдсөн координат бүхий цэгүүдийн хоорондох зайг тооцоолох томьёог гарга.

Даалгавар: 1) А(2;1;-8), В(1;-5;0), С(8;1;-4) оноо өгнө.

∆ABC нь тэгш өнцөгт гэдгийг баталж, талуудын дунд цэгүүдийг холбосон гурвалжны дундын шугамын уртыг ол.

2) A(1;1;0) бол AB ба SD шулуун шугамуудын хоорондох өнцгийг тооцоол.

B(3;-1;2), D(0;1;0).

КАРТ №4

Өгөгдсөн координаттай тэг биш векторуудын хоорондох өнцгийн косинусын томъёог гарга.

Даалгавар: 1) ABCD параллелограммын гурван оройн координатыг өгөв.

A(-6;-;4;0), B(6;-6;2), C(10;0;4). D цэгийн координатыг ол.

2) A (1; 1; 2), B (0; 1; 1), C (2; -2; 2), D (2; -3; 1) байвал AB ба CD шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол. .

КАРТ №5

Эдгээр шулуунуудын чиглэлийн векторуудыг ашиглан огторгуйн хоёр шулууны хоорондох өнцгийг хэрхэн тооцоолохыг бидэнд хэлээрэй. →→

Даалгавар: 1) Векторуудын скаляр үржвэрийг олаболон б, хэрэв:

→ → → ^ →

a) | а| =4; | б| =√3 (аб)=30◦

б) а {2 ;-3; 1}, б = 3 би +2 к

2) A(0;4;0), B(2;0;0), C(4;0;4) ба D(2;4;4) цэгүүд өгөгдсөн. ABCD нь ромб гэдгийг батал.

4. Карт дээрх динамик бүлгүүдийн ажлыг шалгах.

Бүлгүүдийн төлөөлөгчдийн яриаг сонсдог. Бүлгүүдийн ажлыг багш сурагчдын оролцоотойгоор үнэлдэг.

5. Тусгал. Зээлийн үнэлгээ.

Сонголттой хариулт бүхий эцсийн тест (хэвлэмэл хэлбэрээр).

1) Векторууд өгөгдсөн а {2 ;-4 ;3} б(-3; ─ ; 1). Вектор координатыг ол

→ 2

в = а+ б

a) (-5; 3 -; 4); б) (-1; -3.5; 4) в) (5; -4 −; 2) d) (-1; 3.5; -4)

2) Векторууд өгөгдсөн а(4; -3; 5) ба б(-3; 1; 2). Вектор координатыг ол

C=2 а – 3 б

a) (7;-2;3); б) (11; -7; 8); в) (17; -9; 4); d) (-1; -3; 4).

→ → → → → →

3) Векторуудын скаляр үржвэрийг тооцоолмболон n, хэрэв м = а + 2 б- в

→ → → → →^ → → → → →

n= 2 а - бхэрэв | а|=2 , ‌| б |=3, (аб‌)=60°, в ┴ а , в ┴ б.

a) -1; б) -27; 1-д; г) 35.

4) Векторын урт а { xyz) тэнцүү 5. a if векторын координатыг олx=2, z=-√5

a) 16; б) 4 эсвэл -4; 9 цагт; d) 3 эсвэл -3.

5) Хэрэв A(1;-1;3) бол ∆ABC талбайг ол. B(3;-1;1) ба C(-1;1;-3).

a) 4√3; b) √3; в) 2√3; d) √8.

Хөндлөнгийн баталгаажуулалтын тест. Дэлгэц дээрх тестийн даалгаврын хариу кодууд: 1(b); 2(в);

3(а); 4(б); 5(в).

Үнэлгээний шалгуур:

Бүх зүйл зөв - "5"

1 алдаа - "4"

2 алдаа - "3"

Бусад тохиолдолд - "2"

Оюутны мэдлэгийн хүснэгт

Ажиллаарай

картууд

эцсийн

тест

Зээлийн оноо

Даалгаврууд

онол

дадлага хийх

1 бүлэг

2 бүлэг

3 бүлэг

Оюутнуудын шалгалтад бэлтгэсэн байдлыг үнэлэх.

Үзүүлэнг урьдчилан үзэхийг ашиглахын тулд Google акаунт (бүртгэл) үүсгэн нэвтэрнэ үү: https://accounts.google.com

Слайдын тайлбар:

Орон зай дахь тэгш өнцөгт координатын систем. Вектор координат.

Тэгш өнцөгт координатын систем

Хэрэв огторгуйн цэгээр гурван хос перпендикуляр шугамыг зурж, тус бүр дээр чиглэлийг сонгож, сегментүүдийн хэмжих нэгжийг сонгосон бол тэдгээр нь тэгш өнцөгт координатын системийг орон зайд тогтоосон гэж хэлдэг.

Чиглэлийг сонгосон шулуун шугамыг координатын тэнхлэг гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн нийтлэг цэгийг координатын эхлэл гэж нэрлэдэг. Энэ нь ихэвчлэн O үсгээр тэмдэглэгдсэн байна. Координатын тэнхлэгүүдийг дараах байдлаар тэмдэглэнэ: Ox, Oy, O z - мөн нэртэй байна: abscissa тэнхлэг, у тэнхлэг, хэрэглээний тэнхлэг.

Бүхэл бүтэн координатын системийг Oxy z гэж тэмдэглэв. Ox ба Oy, Oy ба O z , O z ба Ox координатын тэнхлэгүүдийг дайран өнгөрөх онгоцуудыг тус тус координатын хавтгай гэж нэрлэх ба Oxy, Oy z , O z x гэж тэмдэглэнэ.

О цэг нь координатын тэнхлэг бүрийг хоёр цацрагт хуваана. Чиглэл нь тэнхлэгийн чиглэлтэй давхцаж байгаа цацрагийг эерэг хагас тэнхлэг гэж нэрлэдэг ба нөгөө цацрагийг сөрөг хагас тэнхлэг гэнэ.

Тэгш өнцөгт координатын системд орон зайн М цэг бүр гурвалсан тоотой холбоотой байдаг бөгөөд үүнийг координат гэж нэрлэдэг.

Зурагт A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0) гэсэн зургаан цэгийг харуулав. , F(0; 0; -3).

Вектор координат

Аливаа векторыг координатын векторууд болгон задалж болно, өөрөөр хэлбэл x, y, z тэлэлтийн коэффициентүүд нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог хэлбэрээр дүрслэгддэг.

Векторыг координатын вектороор тэлэх х, у, z коэффициентүүдийг өгөгдсөн координатын систем дэх векторын координат гэнэ.

Эдгээр векторуудын координатыг ашиглан тэдгээрийн нийлбэр ба зөрүүний координат, мөн өгөгдсөн тоогоор өгөгдсөн векторын үржвэрийн координатыг олох боломжийг олгодог дүрмийг авч үзье.

арав. Хоёр ба түүнээс дээш векторын нийлбэрийн координат бүр нь эдгээр векторуудын харгалзах координатын нийлбэртэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, a (x 1, y 1, z 1) болон b (x 2, y 2, z 2) векторууд өгөгдсөн бол a + b вектор координаттай (x 1 + x 2, y 1 +) байна. y 2 , z 1 + z 2 ).

хорин . Хоёр векторын зөрүүний координат бүр нь эдгээр векторуудын харгалзах координатын зөрүүтэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, a (x 1, y 1, z 1) болон b (x 2 y 2; z 2) векторууд өгөгдсөн бол a - b вектор координаттай (x 1 - x 2, y 1 - y) байна. 2, z 1 - z 2).

гучин. Векторын үржвэрийн координат бүр нь векторын харгалзах координатын тухайн тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл a (x; y; x) нь өгөгдсөн вектор, α нь өгөгдсөн тоо бол α a вектор координаттай (αx; αy; α z) байна.

Сэдвийн талаар: арга зүйн боловсруулалт, танилцуулга, тэмдэглэл

Лекцийн хэлбэрээр хичээл явуулахад зориулсан "Орон зай дахь координатын арга" сэдвээр сурагчдад зориулсан тэмдэглэлийн багц. Геометрийн 10-11-р анги....

Хичээлийн зорилго: "С2 АШИГЛАХ даалгаврыг шийдвэрлэхийн тулд орон зай дахь координатын аргыг ашиглах нь" сэдвээр оюутнуудын мэдлэг, ур чадвар, чадварыг шалгах. Төлөвлөсөн боловсролын үр дүн: Оюутнууд харуулж байна: ...

Геометрийн асуудлыг шийдвэрлэх координатын аргын мөн чанар

Координатын аргыг ашиглан асуудлыг шийдэхийн мөн чанар нь нэг эсвэл өөр тохиолдолд бидэнд тохиромжтой координатын системийг нэвтрүүлж, бүх өгөгдлийг ашиглан дахин бичих явдал юм. Үүний дараа бүх үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн эсвэл нотолгоог энэ системийг ашиглан хадгалдаг. Аливаа координатын систем дэх цэгүүдийн координатыг хэрхэн оруулах талаар бид өөр нийтлэлд хэлэлцсэн - бид энд энэ талаар ярихгүй.

Координатын аргад хэрэглэгддэг үндсэн мэдэгдлүүдийг танилцуулъя.

Мэдэгдэл 1:Векторын координатыг энэ векторын төгсгөл ба эхлэлийн харгалзах координатуудын зөрүүгээр тодорхойлно.

Мэдэгдэл 2:Сегментийн дунд цэгийн координатыг түүний хилийн харгалзах координатын нийлбэрийн хагасаар тодорхойлно.

Мэдэгдэл 3:Өгөгдсөн координат $(δ_1,δ_2,δ_3)$ бүхий дурын $\overline(δ)$ векторын уртыг томъёогоор тодорхойлно.

$|\overline(δ)|=\sqrt(δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2)$

Мэдэгдэл 4:$(δ_1,δ_2,δ_3)$ ба $(β_1,β_2,β_3)$ координатаар өгөгдсөн дурын хоёр цэгийн хоорондох зайг томъёогоор тодорхойлно.

$d=\sqrt((δ_1-β_1)^2+(δ_2-β_2)^2+(δ_3-β_3)^2)$

Координатын аргыг ашиглан геометрийн асуудлыг шийдвэрлэх схем

Координатын аргыг ашиглан геометрийн асуудлыг шийдэхийн тулд энэ схемийг ашиглах нь зүйтэй.

Асуудалд өгөгдсөн зүйлд дүн шинжилгээ хий:

Даалгаварт хамгийн тохиромжтой координатын системийг тохируулах;
Математикийн хувьд бодлогын нөхцөл, бодлогын асуултыг бичиж, энэ бодлогод зориулж зураг зурдаг.

Сонгосон координатын системийн координат дахь асуудлын бүх өгөгдлийг бичнэ үү.
Асуудлын нөхцлөөс шаардлагатай харилцааг бүрдүүлэх, мөн эдгээр харилцааг олох шаардлагатай зүйлтэй холбоно (бодлоор нотлогдсон).
Хүлээн авсан үр дүнг геометрийн хэл рүү хөрвүүлнэ.

Координатын аргаар шийдсэн асуудлын жишээ

Дараах ажлуудыг координатын аргад хүргэдэг үндсэн ажлууд гэж нэрлэж болно (тэдгээрийн шийдлийг энд өгөхгүй).

Векторын төгсгөл ба эхлэл дэх координатыг олох даалгавар.
Аль ч талаараа сегментийг хуваахтай холбоотой даалгаварууд.
Гурван цэг нэг шулуун дээр байх эсвэл дөрвөн цэг нэг хавтгайд оршдогийг батлах.
Өгөгдсөн хоёр цэгийн хоорондох зайг олох даалгавар.
Геометрийн хэлбэрийн эзэлхүүн, талбайг олох асуудал.

Эхний болон дөрөв дэх асуудлыг шийдсэн үр дүнг дээрх үндсэн мэдэгдлүүд болгон танилцуулсан бөгөөд координатын аргыг ашиглан бусад асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг.