Арга зүйн хөгжил "математик индукцийн арга". Математик индукцийн тооцоолуурын арга онлайн Математик индукцийн онолын арга

MBOU лицей "Техник, эдийн засгийн"

МАТЕМАТИК ИНДУКЦИЙН АРГА

МАТЕМАТИК ИНДУКЦИЙН АРГА.

ТАЙЛБАРЫН ТАЙЛБАР

Математикийн профайлын 10-р ангийн сурагчдад зориулсан "Математикийн индукцийн арга" арга зүйн боловсруулалтыг эмхэтгэсэн.

Үндсэн зорилго: оюутнуудыг математик индукцийн аргатай танилцуулж, янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглахыг заах.

Арга зүй боловсруулахдаа анхан шатны математикийн асуултуудыг авч үздэг: хуваагдах бодлого, таних тэмдгийн нотолгоо, тэгш бус байдлын баталгаа, янз бүрийн түвшний нарийн төвөгтэй асуудлууд, тэр дундаа олимпиадад санал болгож буй асуудлуудыг санал болгож байна.

Туршилтын шинжлэх ухаанд индуктив дүгнэлтийн үүрэг маш их байдаг. Тэд эдгээр заалтуудыг өгдөг бөгөөд үүнээс цаашдын дүгнэлтийг хасалтаар хийдэг. Нэр Математик индукцийн аргахууран мэхлэх замаар - үнэндээ энэ арга нь дедуктив бөгөөд индукцаар таамагласан мэдэгдлийн хатуу нотолгоог өгдөг. Математик индукцийн арга нь математикийн янз бүрийн хэсгүүдийн хоорондын холбоог тодорхойлоход хувь нэмэр оруулж, оюутны математикийн соёлыг хөгжүүлэхэд тусалдаг.

Математик индукцийн аргын тодорхойлолт. Бүрэн ба бүрэн бус индукц. Тэгш бус байдлын баталгаа. Иргэний үнэмлэх. Хуваагдах асуудлыг шийдэх. "Математик индукцийн арга" сэдвээр янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх.

БАГШД ЗОРИУЛСАН Уран зохиол

1. М.Л.Галицки. Алгебр, математик анализын хичээлийг гүнзгийрүүлэн судлах. - М.Гэгээрэл.1986 он.

2. Л.И.Звавич. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл. Дидактик материал. М.Дрофа 2001 он.

3. Н.Я.Виленкин. Алгебр ба математикийн шинжилгээ. М Гэгээрэл. 1995 он.

4. Ю.В.Михеев. Математик индукцийн арга. НГУ.1995.

ОЮУТНУУДАД ЗОРИУЛСАН Уран зохиол

1. Н.Я.Виленкин. Алгебр ба математикийн шинжилгээ. М Гэгээрэл. 1995 он.

2. Ю.В.Михеев. Математик индукцийн арга. НГУ.1995.

ТҮЛХҮҮР ҮГ

Индукц, аксиом, математик индукцийн зарчим, бүрэн индукц, бүрэн бус индукц, батламж, адилтгал, тэгш бус байдал, хуваагдах чадвар.

СЭДВИЙН ДИДАКТИК ХАВСРАЛТ

"МАТЕМАТИК ИНДУКЦИЙН АРГА".

Хичээл №1

Математик индукцийн аргын тодорхойлолт.

Математик индукцийн арга нь шинэ үр дүн олох, дэвшүүлсэн таамаглалын үнэнийг батлах өндөр үр дүнтэй аргуудын нэг юм. Хэдийгээр энэ арга нь математикт шинэ зүйл биш ч гэсэн сонирхол буурахгүй байна. Математикийн индукцийн аргыг анх удаа 17-р зуунд Францын нэрт эрдэмтэн Блез Паскал өөрийн нэрээр нэрлэгдсэн тооны гурвалжны шинж чанарыг нотлоход ашигласан нь ойлгомжтой. Гэсэн хэдий ч математик индукцийн санааг эртний Грекчүүд мэддэг байсан. Математик индукцийн арга нь аксиом гэж хүлээн зөвшөөрөгдсөн математик индукцийн зарчим дээр суурилдаг. Бид математикийн индукцийн санааг жишээн дээр авч үзэх болно.

Жишээ №1.

Квадратыг сегментээр хоёр хэсэгт хувааж, дараа нь үүссэн хэсгүүдийн нэг нь хоёр хэсэгт хуваагдана гэх мэт. Дөрвөлжин хэдэн хэсэгт хуваагдахыг тодорхойл Палхамууд?

Шийдэл.

Эхний алхамын дараа бид нөхцөлөөр 2 хэсгийг авна. Хоёрдахь шатанд бид нэг хэсгийг нь хэвээр үлдээж, хоёр дахь хэсгийг нь 2 хэсэгт хувааж, 3 хэсгийг авна. Гурав дахь алхамд бид 2 хэсгийг өөрчлөгдөөгүй орхиж, гурав дахь хэсгийг хоёр хэсэгт хувааж, 4 хэсгийг авна. Дөрөв дэх алхамд бид 3 хэсгийг хэвээр үлдээж, сүүлчийн хэсгийг хоёр хэсэгт хувааж, 5 хэсгийг авна. Тав дахь шатанд бид 6 хэсгийг авна. Саналыг түүгээр дамжуулан гаргаж байна Пбидний авдаг алхамууд (n+1)хэсэг. Гэхдээ энэ саналыг батлах хэрэгтэй. Үүнийг дамжсан гэж үзье руудөрвөлжин алхмаар хуваагдана (k+1)хэсэг. Дараа нь (k+1)бид алхам руухэсгүүд өөрчлөгдөөгүй үлдэх болно, мөн (k+1)хэсгийг хоёр хэсэгт хувааж авна (k+2)хэсгүүд. Та хүссэн үедээ ингэж маргаж болно гэдгийг анзаарсан. Энэ нь бидний таамаглал юм Палхмуудыг квадрат болгон хуваах болно (n+1)хэсэг нь нотлогддог.

Жишээ №2.

Манай эмээ чанамалд их дуртай, тэр дундаа литрийн саванд хийдэг ач охинтой байсан. Гэвч эмээ түүнд хүрэхийг зөвшөөрөөгүй. Тэгээд ач охид эмээгээ хуурахаар шийджээ. Тэрээр өдөр бүр энэ савнаас 1/10 литр идэж, усаар дүүргэж, сайтар холихоор шийдсэн. Хэрэв чанамалыг усаар хагасаар шингэлсэн хэвээр байвал хэдэн өдрийн дараа эмээ хууран мэхлэхийг олж мэдэх вэ?

Шийдэл.

Дараа нь саванд хэр хэмжээний цэвэр чанамал үлдэхийг олоорой Пөдрүүд. Эхний өдрийн дараа хольц нь 9/10 саатал, 1/10 уснаас бүрдэх саванд үлдэх болно. Хоёр хоногийн дараа ус, чанамалын 1/10 нь савнаас алга болж үлдэх болно (1 литр хольцонд 9/10 литр чанамал, 1/10 литрт 9/100 литр чанамал агуулагдана)

9/10 - 9/100=81/100=(9/10) 2 литр чанамал. Гурав дахь өдөр 81/100 чанамал, 19/100 уснаас бүрдсэн 1/10 литр хольц нь савнаас алга болно. 1 литр хольцонд 81/100 литр чанамал, 1/10 литр хольцод 81/1000 литр чанамал байна. 81/100 – 81/1000=

729/1000=(9/10) 3 литр чанамал 3 хоногийн дараа үлдэж, үлдсэнийг нь усаар авна. Загвар гарч ирнэ. дамжуулан Пбанкинд үлдсэн хоног (9/10) Пби саатал. Гэхдээ дахин хэлэхэд энэ бол зөвхөн бидний таамаглал юм.

Болъё руунь дурын натурал тоо юм. Үүнийг дамжсан гэж үзье руубанкинд хоног үлдэх болно (9/10) л саатал. Өөр өдөр, өөрөөр хэлбэл банкинд юу байхыг харцгаая (k+1)өдөр. Банкнаас алга болно 1/10л-ийн холимог (9/10) руу лчанамал, ус. AT 1лхолимог юм (9/10) руу лсаатал, дотор 1/10лхолимог (9/10) k+1 лсаатал. Одоо бид үүнийг аюулгүйгээр хэлж чадна Пбанкинд хоног үлдлээ (9/10) П лсаатал. 6 хоногийн дараа банктай болно 531444/1000000лсаатал, 7 хоногийн дараа - 4782969/10000000лсаатал, өөрөөр хэлбэл хагасаас бага.

Хариулт: 7 хоногийн дараа эмээ нь заль мэхийг олж мэдэх болно.

Бид авч үзсэн асуудлын шийдлүүдийн хамгийн үндсэн зүйлийг тодруулахыг хичээцгээе. Бид тус бүрийг тусад нь буюу тэдний хэлснээр онцгой тохиолдлуудыг авч үзэх замаар шийдэж эхэлсэн. Дараа нь бид ажиглалтдаа үндэслэн зарим таамаглал дэвшүүлсэн P(n), байгалийн байдлаас хамаарна П.

батламжийг шалгасан, өөрөөр хэлбэл нотлогдсон P(1), P(2), P(3);

гэж санал болгосон P(n)-д хүчинтэй n=kДараа нь энэ нь хүчинтэй байх болно гэж дүгнэсэн n, n=k+1.

Тэгээд тэд ингэж маргав. P(1)зөв, P(2)зөв, P(3)зөв, P(4)зөв... зөв P(n).

Математик индукцийн зарчим.

Мэдэгдэл P(n), байгалийн байдлаас хамаарна П, бүх байгалийн хувьд хүчинтэй П, хэрэв

1) мэдэгдлийн хүчинтэй байдал n=1;

2) мэдэгдлийн хүчин төгөлдөр байдлын таамаглалаас P(n)цагт n=kёстой

шударга ёс P(n)цагт n=k+1.

Математикийн хувьд математик индукцийн зарчмыг дүрмээр бол тоонуудын байгалийн цувааг тодорхойлдог аксиомуудын нэг болгон сонгосон тул нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрдөг. Математик индукцийн зарчмаар нотлох аргыг ихэвчлэн математикийн индукцийн арга гэж нэрлэдэг. Энэ аргыг теорем, адилтгал, тэгш бус байдлыг нотлоход хуваагдах бодлого болон бусад олон асуудлыг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг болохыг анхаарна уу.

Хичээл №2

Бүрэн ба бүрэн бус индукц.

Математикийн илэрхийлэл нь хязгаарлагдмал тооны объекттой холбоотой тохиолдолд объект бүрийг шалгах замаар нотолж болно, жишээлбэл, "Хоёр оронтой тэгш тоо бүр хоёр анхны тооны нийлбэр" гэсэн хэллэг. Хязгаарлагдмал тооны тохиолдлуудад мэдэгдлийг шалгах нотлох аргыг бүрэн математикийн индукц гэж нэрлэдэг. Хязгааргүй олонлог дээр өгүүлбэрүүдийг ихэвчлэн авч үздэг тул энэ аргыг харьцангуй ховор ашигладаг. Тухайлбал, “Аливаа тэгш тоо нь хоёр анхны тооны нийлбэртэй тэнцүү” гэсэн теорем өнөөг хүртэл батлагдаагүй, үгүйсгэгдээгүй байна. Бид энэ теоремыг эхний тэрбумаар туршсан ч үүнийг батлахад нэг алхам ч ойртуулахгүй.

Байгалийн шинжлэх ухаанд бүрэн бус индукцийг ашигладаг бөгөөд туршилтыг хэд хэдэн удаа туршиж, үр дүнг бүх тохиолдолд шилжүүлдэг.

Жишээ №3

Натурал тоонуудын шоо нийлбэрийн бүрэн бус индукцийн томъёог ашиглан тааварлаарай.

Шийдэл.

1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;

1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 =(1+2+3+4+5) 2 ; …; 1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 .

Баталгаа.

Энэ нь үнэн байх болтугай n=k.

Энэ нь үнэн болохыг баталцгаая n=k+1.

Дүгнэлт: натурал тоонуудын шоо нийлбэрийн томъёо нь аливаа натурал тоонуудын хувьд үнэн юм П.

Жишээ №4

Тэнцүү байдлын талаар бодож, эдгээр жишээнүүд ямар ерөнхий хууль болж байгааг тааварлаарай.

Шийдэл.

1=0+1

2+3+4=1+8

5+6+7+8+9=8+27

10+11+12+13+14+15+16=27+64

17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125

……………………………………………………………..

Жишээ №5

Дараах илэрхийллийг нийлбэрээр бичнэ үү.

1)
2)
3)
; 4)
.

Грек үсэг "сигма".

Жишээ №6.

Тэмдгийг ашиглан дараах нийлбэрүүдийг бич
:

2)

Жишээ №7.

Дараах илэрхийллийг бүтээгдэхүүн болгон бичнэ үү.

1)

3)
4)

Жишээ №8.

Тэмдгийг ашиглан дараах бүтээлүүдийг бич

(Грекийн том үсэг "pi")

1)
2)

Жишээ №9.

Олон гишүүнтийн утгыг тооцоолох е ( n )= n 2 + n +11 , цагт n=1,2,3,4.5,6,7 ямар ч байгалийн хувьд гэж үзэж болноПтоо е ( n ) энгийн.

Энэ таамаг зөв үү?

Шийдэл.

Хэрэв нийлбэр бүр тоонд хуваагддаг бол нийлбэр нь тухайн тоонд хуваагдана.
ямар ч натурал тооны анхны тоо бишП.

Хязгаарлагдмал тооны тохиолдлуудад дүн шинжилгээ хийх нь математикт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг: нэг эсвэл өөр мэдэгдлийн нотолгоо өгөхгүйгээр энэ мэдэгдлийн зөв томъёоллыг хараахан мэдэхгүй байгаа бол таахад тусална. Петербургийн Шинжлэх Ухааны Академийн гишүүн Голдбах 2-оос эхлэн ямар ч натурал тоо хамгийн ихдээ гурваас доошгүй анхны тооны нийлбэр гэсэн таамаглалд хүрчээ.

Хичээл №3

Математик индукцийн арга нь янз бүрийн ижил төстэй байдлыг батлах боломжийг бидэнд олгодог.

Жишээ №10.Үүнийг бүгдээрээ баталцгаая Птаних тэмдэг

Шийдэл.

тавья

Бид үүнийг батлах хэрэгтэй

Дараа нь таних үнэнээс үүнийг баталъя

таних үнэнийг дагаж мөрддөг

Математикийн индукцийн зарчмаар бол хүн бүрт ижил төстэй байдлын үнэн П.

Жишээ №11.

Хэн болохыг баталъя

Баталгаа.

хугацааны тэгш байдал.

;
. Тиймээс энэ таних тэмдэг нь бүх хүмүүст үнэн юмП .

Хичээлийн дугаар 4.

Математикийн индукцээр таних баталгаа.

Жишээ №12. Хэн болохыг баталъя

Баталгаа.

Математик индукцийн зарчмыг ашигласнаар бид тэгш байдал нь бүгдэд үнэн болохыг нотолсон П.

Жишээ №13. Хэн болохыг баталъя

Баталгаа.

Математик индукцийн зарчмыг ашигласнаар бид аливаа байгалийн хувьд энэ мэдэгдэл үнэн болохыг нотолсон П.

Жишээ №14. Хэн болохыг баталъя

Баталгаа.

Жишээ №15. Хэн болохыг баталъя

1) n=1;

2) төлөө n=k тэгш байдал

3) тэгш байдал хангагдсаныг нотлох n=k+1:

Дүгнэлт: таних тэмдэг нь аливаа байгалийн хувьд хүчинтэй П.

Жишээ №16.Хэн болохыг баталъя

Баталгаа.

Хэрвээ n=1 , дараа нь

Баримт бичгийг нь үлдээгээрэй n=k.

Тодорхойлолт нь хамааралтай болохыг баталцгаая n=k+1.

Дараа нь таних нь аливаа байгалийн хувьд хүчинтэй байна П.

Хичээлийн дугаар 5.

Математикийн индукцээр таних баталгаа.

Жишээ №17.Хэн болохыг баталъя

Баталгаа.

Хэрвээ n=2 , тэгвэл бид зөв тэгш байдлыг авна:

Тэгш байдал нь үнэн байх болтугайn=k:

Баталгаажуулалтын үнэн зөвийг нотлоод үзье n=k+1.

Математикийн индукцийн зарчмын дагуу ижил төстэй байдал нотлогддог.

Жишээ №18. Хэн болохыг баталъя
n≥2-ийн хувьд.

At n=2 Энэ таних тэмдгийг маш энгийн хэлбэрээр дахин бичиж болно

мөн мэдээж үнэн.

Зөвшөөрөх n=kүнэхээр

.

Баталгаажуулалтын үнэн зөвийг нотлоод үзьеn=k+1, өөрөөр хэлбэл тэгш байдал хангагдана: .

Тиймээс бид ямар ч байгалиас заяасан шинж чанар нь үнэн гэдгийг нотолсон n≥2.

Жишээ №19. Хэн болохыг баталъя

At n=1 Бид зөв тэгш байдлыг олж авдаг:

Энэ үед гэж бодъё n=kБид бас зөв тэгш байдлыг олж авдаг:

Тэгш байдлын хүчин төгөлдөр байдал ажиглагдаж байгааг баталцгаая n=k+1:

Дараа нь таних нь аливаа байгалийн хувьд хүчинтэй байна П.

Хичээлийн дугаар 6.

Хуваагдах асуудлыг шийдэх.

Жишээ №20.Математикийн индукцаар нотлох

хуваасан 6 ул мөргүй.

Баталгаа.

At n=1 гэсэн хуваагдал бий6 ул мөргүй,
.

Зөвшөөрөх n=k илэрхийлэл
олон6.

Хэзээ гэдгийг баталцгаая n=k+1 илэрхийлэл
олон6 .

Нэр томьёо бүр олон талтай 6 , тэгэхээр нийлбэр нь үржвэр юм 6 .

Жишээ дугаар 21.
дээр5 ул мөргүй.

Баталгаа.

At n=1 илэрхийлэл нь хуваагддаг
.

Зөвшөөрөх n=k илэрхийлэл
мөн хуваагдана5 ул мөргүй.

At n=k+1хуваасан 5 .

Жишээ №22. Илэрхийллийн хуваагдах чадварыг батал
дээр16.

Баталгаа.

At n=1олон 16 .

Зөвшөөрөх n=k
олон16.

At n=k+1

Бүх нэр томъёо нь хуваагддаг 16: эхнийх нь таамаглалаар хоёр дахь нь ойлгомжтой, гурав дахь нь хаалтанд тэгш тоотой байна.

Жишээ №23. Хуваагдах чадварыг батлах
дээр676.

Баталгаа.

Эхлээд үүнийг баталъя
хуваасан
.

At n=0
.

Зөвшөөрөх n=k
хуваасан26 .

Дараа нь цагт n=k+1хуваасан 26 .

Асуудлын нөхцөлд томъёолсон батламжийг одоо нотолцгооё.

At n=1хуваасан 676.

At n=k гэдэг нь үнэн
хуваасан26 2 .

At n=k+1 .

Хоёр нэр томъёо хоёулаа хуваагддаг 676 ; Эхнийх нь бид хуваагдахыг нотолсон учраас 26 илэрхийлэл нь хаалтанд байгаа бөгөөд хоёр дахь нь индуктив таамаглалаар хуваагддаг.

Хичээлийн дугаар 7.

Хуваагдах асуудлыг шийдэх.

Жишээ дугаар 24.

Үүнийг нотол
хуваасан5 ул мөргүй.

Баталгаа.

At n=1
хуваасан5.

At n=k
хуваасан5 ул мөргүй.

At n=k+1 гишүүн бүр нь хуваагддаг5 ул мөргүй.

Жишээ №25.

Үүнийг нотол
хуваасан6 ул мөргүй.

Баталгаа.

At n=1
хуваасан6 ул мөргүй.

Зөвшөөрөх n=k
хуваасан6 ул мөргүй.

At n=k+1хуваасан 6 Үлдэгдэлгүй, учир нь гишүүн бүр нь хуваагддаг6 үлдэгдэлгүй: эхний гишүүн, индуктив таамаглалаар, хоёрдугаарт, мэдээжийн хэрэг, гурав дахь, учир нь
тэгш тоо.

Жишээ №26.

Үүнийг нотол
хуваах үед9 үлдсэнийг нь өгдөг 1 .

Баталгаа.

Үүнийг баталцгаая
хуваасан9 .

At n=1
хуваасан 9 . Зөвшөөрөх n=k
хуваасан9 .

At n=k+1хуваасан 9 .

Жишээ дугаар 27.

Энэ нь хуваагддаг болохыг батал15 ул мөргүй.

Баталгаа.

At n=1хуваасан 15 .

Зөвшөөрөх n=kхуваасан 15 ул мөргүй.

At n=k+1

Эхний нэр томъёо нь олон тоо юм15 индукцийн таамаглалаар хоёр дахь гишүүн нь үржвэр юм15 - Мэдээжийн хэрэг, гурав дахь гишүүн нь үржвэр юм15 , учир нь
олон5 (21-р жишээгээр нотлогдсон) дөрөв ба тав дахь гишүүн нь мөн үржвэр юм5 , энэ нь ойлгомжтой бол нийлбэр нь үржвэр болно15 .

Хичээлийн дугаар 8-9.

Математикийн индукцээр тэгш бус байдлын баталгаа

Жишээ №28.
.

At n=1бидэнд байгаа
- зөв.

Зөвшөөрөх n=k
жинхэнэ тэгш бус байдал юм.

At n=k+1

Дараа нь тэгш бус байдал нь аливаа байгалийн хувьд хүчинтэй байна П.

Жишээ №29.Тэгш бус байдал үнэн гэдгийг батал
ямар ч хувьд П.

At n=1Бид зөв тэгш бус байдлыг олж авдаг 4 >1.

Зөвшөөрөх n=kтэгш бус байдал
.

Хэзээ гэдгийг баталцгаая n=k+1тэгш бус байдал

Аливаа байгалийн хувьд руутэгш бус байдал ажиглагдаж байна.

Хэрвээ
цагт
тэгээд

Жишээ №30.

аливаа байгалийн хувьд Пболон аливаа

Болъё n=1
, зөв.

Тэгш бус байдал хэвээр байна гэж үзье n=k:
.

At n=k+1

Жишээ дугаар 31.Тэгш бус байдлын үнэн зөвийг нотлох

аливаа байгалийн хувьд П.

Юуны өмнө үүнийг ямар ч байгалийн хувьд баталцгаая ттэгш бус байдал

Тэгш бус байдлын хоёр талыг үржүүл
. Бид тэнцүү тэгш бус байдлыг олж авдаг эсвэл
;
; - энэ тэгш бус байдал ямар ч байгалийн хувьд хамаарна т.

At n=1анхны тэгш бус байдал нь үнэн юм
;
;
.

Тэгш бус байдал хэвээр байг n=k:
.

At n=k+1

Хичээлийн дугаар 10.

Сэдвийн асуудал шийдвэрлэх

Математик индукцийн арга.

Жишээ №32.Бернуллигийн тэгш бус байдлыг батал.

Хэрвээ
, дараа нь бүх байгалийн үнэт зүйлсийн хувьдП тэгш бус байдал

Баталгаа.

At n=1 нотлогдож байгаа тэгш бус байдал хэлбэрийг авна
мөн мэдээж зөв. Үүнийг үнэн гэж үзьеn=k , өөрөөр хэлбэл, юу
.

Учир нь нөхцөл байдлын дагуу
, дараа нь
, тиймээс тэгш бус байдлын аль алиныг нь үржүүлэхэд утга нь өөрчлөгдөхгүй
:

Учир нь
, тэгвэл бид үүнийг олж авна

.

Тиймээс тэгш бус байдал нь үнэн юм n=1, мөн түүний үнэнээс n=kэнэ нь үнэн ба n=k+1.Тиймээс, математикийн индукцийн хувьд энэ нь байгалийн бүх зүйлд хамаарна П.

Жишээлбэл,

Жишээ дугаар 33. Байгалийн бүх үнэт зүйлсийг олооройП , үүний төлөө тэгш бус байдал

Шийдэл.

At n=1тэгш бус байдал зөв. At n=2тэгш бус байдал нь бас үнэн юм.

At n=3тэгш бус байдал хангагдахаа больсон. Зөвхөн хэзээ n=6тэгш бус байдал хэвээр байгаа тул индукцийн үндэслэлийг авч болно n=6.

Зарим байгалийн хувьд тэгш бус байдал үнэн гэж бодъё руу:

Тэгш бус байдлыг авч үзье

Сүүлийн тэгш бус байдал нь хэрэв байна
n=1 сэдвийн тестийн ажлыг үе үе өгөв: n≥5 , энд П- -натурал тоо.

Савельева Екатерина

Уг нийтлэлд хуваагдах асуудлыг шийдвэрлэхэд математик индукцийн аргыг цувралын нийлбэрт ашиглах талаар авч үзсэн. Математикийн индукцийн аргыг тэгш бус байдлыг батлах, геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах жишээг авч үзнэ. Бүтээлийг үзүүлэнгээр харуулсан болно.

Татаж авах:

Урьдчилан үзэх:

ОХУ-ын Шинжлэх ухаан, боловсролын яам

Төрийн боловсролын байгууллага

618-р дунд сургууль

Хичээл: Алгебр ба анализын эхлэл

Төслийн ажлын сэдэв

"Математикийн индукцийн арга ба түүнийг асуудал шийдвэрлэхэд ашиглах арга"

Ажил дууссан: Савельева Е, 11Б анги

Удирдагч : Макарова Т.П., 618-р дунд сургуулийн математикийн багш

1. Танилцуулга.

2.Хуваах чадварын бодлого бодох математикийн индукцийн арга.

3. Цувралын нийлбэрт математик индукцийн аргыг хэрэглэх.

4. Математикийн индукцийн аргыг тэгш бус байдлын баталгаанд ашиглах жишээ.

5. Математикийн индукцийн аргыг геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах.

6. Ашигласан уран зохиолын жагсаалт.

Оршил

Дедуктив ба индуктив аргууд нь аливаа математикийн судалгааны үндэс болдог. Шалтгаан бодох дедуктив арга нь ерөнхийөөс тусгай руу чиглэсэн үндэслэл, өөрөөр хэлбэл. үндэслэл, түүний эхлэл нь ерөнхий үр дүн, эцсийн цэг нь тодорхой үр дүн юм. Тодорхой үр дүнгээс ерөнхий үр дүнд шилжих үед индукцийг ашигладаг, жишээлбэл. нь дедуктив аргын эсрэг юм. Математикийн индукцийн аргыг ахиц дэвшилтэй харьцуулж болно. Бид хамгийн доод хэсгээс эхэлдэг, логик сэтгэлгээний үр дүнд бид хамгийн дээд цэгт хүрдэг. Хүн үргэлж хөгжил дэвшлийн төлөө, сэтгэлгээгээ логикоор хөгжүүлэх чадварыг эрэлхийлсээр ирсэн бөгөөд энэ нь байгаль өөрөө түүнийг индуктив байдлаар сэтгэхийг заяасан гэсэн үг юм. Математикийн индукцийн аргын хэрэглээний талбар өргөжиж байгаа ч сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт үүнд бага цаг зарцуулагддаг.Гэхдээ индуктив сэтгэх чадвартай байх нь маш чухал юм. Бодлого шийдвэрлэх, теоремыг нотлоход энэ зарчмыг хэрэглэх нь сургуулийн практикт математикийн бусад зарчмуудыг авч үзэхтэй ижил түвшинд байна: хасагдсан дунд, оруулах-хасах, Дирихлет гэх мэт. Энэхүү эссэ нь математикийн янз бүрийн салбаруудын бодлогуудыг агуулдаг. гол хэрэгсэл нь математик индукцийн хэрэглээний арга юм. Энэ аргын ач холбогдлын талаар ярихдаа A.N. Колмогоров "Математикийн индукцийн зарчмыг ойлгох, хэрэгжүүлэх чадвар нь математикч хүнд зайлшгүй шаардлагатай төлөвшлийн сайн шалгуур юм" гэж тэмдэглэв. Өргөн утгаараа индукцийн арга нь хувийн ажиглалтаас бүх нийтийн, ерөнхий загвар эсвэл ерөнхий томъёолол руу шилжихээс бүрддэг. Энэхүү тайлбарт арга нь мэдээжийн хэрэг аливаа туршилтын байгалийн шинжлэх ухаанд судалгаа хийх гол арга техник юм.

хүний ​​үйл ажиллагаа. Математикийн индукцийн арга (зарчмыг) хамгийн энгийн хэлбэрээр бүх натурал тоонуудын мэдэгдлийг батлах шаардлагатай үед ашигладаг.

Бодлого 1. “Би хэрхэн математикч болсон бэ” өгүүлэлдээ A.N. Колмогоров: "Би математикийн "нээлт"-ийн баяр баясгаланг 5-6 настайдаа анзаарч мэдсэн.

1 =1 2 ,

1 + 3 = 2 2 ,

1 + 3 + 5 \u003d W 2,

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 гэх мэт.

Тус сургуулиас "Хаврын хараацай" сэтгүүл хэвлүүлсэн. Үүнд миний нээлт нийтлэгдсэн ... "

Энэ сэтгүүлд ямар төрлийн нотолгоо гарсныг бид мэдэхгүй ч бүх зүйл хувийн ажиглалтаар эхэлсэн. Эдгээр хэсэгчилсэн тэгш байдлыг олж мэдсэний дараа үүссэн таамаглал нь өөрөө томъёо юм

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2

ямар ч өгөгдсөн тооны хувьд үнэн n = 1, 2, 3, ...

Энэ таамаглалыг батлахын тулд хоёр баримтыг тогтооход хангалттай. Нэгдүгээрт, төлөө n = 1 (мөн n = хувьд ч гэсэн 2, 3, 4) хүссэн мэдэгдэл үнэн байна. Хоёрдугаарт, энэ мэдэгдэл үнэн гэж бодъё n = k, мөн энэ нь үнэн эсэхийг шалгаарай n = k + 1:

1 + 3 + 5+…+ (2к - 1) + (2к + 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2к - 1)) + (2к + 1) = k 2 + (2к +) 1) = (k + I) 2 .

Иймээс нотлогдсон мэдэгдэл нь бүх үнэ цэнийн хувьд үнэн юм n: n = хувьд 1 энэ нь үнэн (энэ нь батлагдсан) бөгөөд хоёр дахь баримтын ачаар n = 2, эндээс n байна = 3 (ижил хоёр дахь баримтын улмаас) гэх мэт.

Бодлого 2. Тоологч 1 ба дурын (эерэг бүхэл тоо) бүхий бүх боломжит энгийн бутархайг авч үзье.

хуваагч: Аль ч тохиолдолд үүнийг нотлох n> 3-ыг нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болноП энэ төрлийн янз бүрийн фракцууд.

Шийдэл, Эхлээд энэ мэдэгдлийг шалгаж үзье n = 3; бидэнд байгаа:

Тиймээс үндсэн батламжийг хангаж байна

Бидний сонирхсон мэдэгдэл зарим тооны хувьд үнэн байна гэж бодъёруу, мөн түүнийг дагасан тооны хувьд ч үнэн болохыг нотолруу + 1. Өөрөөр хэлбэл төлөөлөл байна гэж бодъё

үүнд к нэр томьёо болон бүх хуваагч нь өөр. Дараа нь нэгжийн дүрслэлийг нийлбэр хэлбэрээр авах боломжтой гэдгийг баталцгааяруу Хүссэн төрлийн + 1 бутархай. Бутархай хэсгүүд буурч байна, өөрөөр хэлбэл хуваагч (нэгжийг нийлбэрээр илэрхийлэх) гэж бид таамаглах болно.руу нэр томьёо) зүүнээс баруун тийш нэмэгдэх тулт хуваагчдын хамгийн том нь юм. Бид нийлбэр хэлбэрээр шаардлагатай төлөөллийг авна(хэрэглэх + 1)-р бутархай, хэрэв бид нэг бутархайг, жишээ нь сүүлийн нэгийг хоёр болгон хуваавал. Үүнийг хийж болно, учир нь

Тиймээс

Үүнээс гадна, бүх бутархай өөр өөр хэвээр байна, оноос хойшт хамгийн том хуваагч байсан ба t + 1 > t, ба

m(t + 1) > м.

Тиймээс бид тогтоосон:

1. n = хувьд 3 Энэ мэдэгдэл үнэн;

1. хэрэв бидний сонирхож буй мэдэгдэл үнэн болруу,
   дараа нь энэ нь бас үнэн юм+ 1 хүртэл.

Үүний үндсэн дээр авч үзэж буй мэдэгдэл нь гурваас эхлэн бүх натурал тоонуудын хувьд үнэн гэдгийг бид баталж чадна. Түүнээс гадна дээрх нотолгоо нь нэгдмэл байдлын хүссэн хуваалтыг олох алгоритмыг агуулдаг. (Энэ ямар алгоритм вэ? 1-ийн тоог 4, 5, 7 гишүүний нийлбэр гэж төсөөлөөд үз дээ.)

Өмнөх хоёр асуудлыг шийдэхдээ хоёр алхам хийсэн. Эхний алхам гэж нэрлэдэгсуурь индукц, хоёр дахьиндуктив шилжилтэсвэл индукцийн алхам. Хоёр дахь алхам нь хамгийн чухал бөгөөд энэ нь таамаглалыг агуулдаг (мэдэгдэл нь үнэн юм n = k) ба дүгнэлт (мэдэгдэл нь үнэн юм n = k + 1). p параметрийг өөрөө дууддаг индукцийн параметр.Суурь болон шилжилт хоёулаа хүчинтэй тул авч үзэж буй мэдэгдэл нь бүх натурал тоонуудын хувьд (эсвэл заримаас нь эхлэн бүгдэд) үнэн гэж дүгнэх боломжийг олгодог энэхүү логик схемийг (төхөөрөмж) гэж нэрлэдэг.Математик индукцийн зарчим,аль дээр болон математикийн индукцийн аргыг үндэслэсэн."Индукц" гэсэн нэр томъёо нь өөрөө Латин үгнээс гаралтайиндукци (удирдамж), энэ нь тухайн ангийн бие даасан объектуудын талаархи ганц мэдлэгээс тухайн ангийн бүх объектын талаархи ерөнхий дүгнэлт рүү шилжих гэсэн үг бөгөөд энэ нь мэдлэгийн үндсэн аргуудын нэг юм.

Математикийн индукцийн зарчим нь ердийн хоёр үе шаттай хэлбэрээр анх 1654 онд Блез Паскалийн "Арифметик гурвалжингийн тухай" зохиолд гарч ирсэн бөгөөд энэ нь хослолын тоог (биномын коэффициент) тооцоолох энгийн аргыг индукцээр нотолсон юм. Д.Поя дөрвөлжин хаалтанд бичсэн бага зэргийн өөрчлөлттэй номондоо Б.Паскалын хэлснийг иш татжээ.

“Хэдийгээр авч үзэж буй саналд [биномын коэффициентийн тодорхой томьёо] хязгааргүй тооны онцгой тохиолдлууд багтаж байгаа ч би хоёр лемм дээр үндэслэн маш товч нотлох баримтыг өгөх болно.

Эхний лемма нь уг таамаглал нь суурийн хувьд үнэн болохыг харуулж байна - энэ нь тодорхой юм. [ҮдП = 1 тодорхой томьёо хүчинтэй байна...]

Хоёрдахь лемма нь дараах зүйлийг өгүүлдэг: хэрвээ бидний таамаг дурын суурийн хувьд [дурын r-ийн хувьд] үнэн бол энэ нь дараах суурийн хувьд үнэн байх болно. n + 1].

Эдгээр хоёр лемма нь бүх үнэ цэнийн хувьд саналын үнэн зөвийг илтгэнэП. Үнэн хэрэгтээ, эхний леммагийн ачаар энэ нь хүчинтэйП = 1; тиймээс хоёр дахь леммийн ачаар энэ нь хүчинтэй байнаП = 2; тиймээс дахин хоёр дахь леммийн ачаар энэ нь хүчинтэй байна n = 3 гэх мэт хязгааргүй.

Бодлого 3. Ханойн цамхаг нь гурван саваагаас бүрдэнэ. Нэг саваа дээр пирамид байдаг (Зураг 1), янз бүрийн диаметртэй хэд хэдэн цагиргуудаас бүрдэх ба доороос дээш доошоо буурч байна.

Зураг 1

Энэ пирамид нь бусад саваагийн аль нэгэнд шилжих ёстой бөгөөд энэ бүрт зөвхөн нэг цагираг шилжүүлж, жижиг бөгж дээр том бөгжийг байрлуулж болохгүй. Үүнийг хийх боломжтой юу?

Шийдэл. Тэгэхээр, бид асуултанд хариулах хэрэгтэй байна: энэ нь бүрдсэн пирамидыг хөдөлгөх боломжтой юуП Тоглоомын дүрмийг дагаж мөрддөг өөр өөр диаметртэй цагиргууд, нэг саваагаас нөгөөд шилжих үү? Одоо асуудал бол тэдний хэлснээр бидний параметржүүлсэн (натурал тоо P), мөн үүнийг математикийн индукцаар шийдэж болно.

1. индукцийн суурь. n = хувьд 1, бүх зүйл тодорхой байна, учир нь нэг цагирагтай пирамидыг ямар ч саваа руу шилжүүлэх нь ойлгомжтой.
2. индукцийн алхам. Бид цагирагны тоогоор дурын пирамидыг хөдөлгөж чадна гэж бодъё p = k.
   Дараа нь бид пирамидыг дундаас нь хөдөлгөж болно гэдгийг баталцгаая n = k + 1.

Пирамидаас хамгийн том дээр хэвтэж буй цагиргууд(хэрэглэх + 1)-р цагираг, бид таамаглалын дагуу өөр ямар ч эргэлт рүү шилжиж болно. Энийг хийцгээе. хөдөлгөөнгүй(хэрэглэх + 1)-р цагираг нь нүүлгэн шилжүүлэх алгоритмыг хэрэгжүүлэхэд бидэнд саад болохгүй, учир нь энэ нь хамгийн том нь юм. Хөдлөсний дарааруу цагираг, хамгийн том хөдөлгө(хэрэглэх + 1) үлдсэн саваа дээр-р цагираг. Дараа нь бид индуктив таамаглалаар бидэнд мэдэгдэж буй хөдөлгөөнт алгоритмыг дахин ашигладагруу цагираг, тэдгээрийг саваа руу шилжүүлээрэй(хэрэглэх + 1) бөгж. Тиймээс, хэрэв бид пирамидуудыг хөдөлгөж чадвалруу цагираг, тэгвэл бид пирамидуудыг хөдөлгөж болноруу + 1 цагираг. Тиймээс математик индукцийн зарчмын дагуу пирамидыг үргэлж хөдөлгөх боломжтой байдаг. n цагираг, энд n > 1.

Хуваагдах асуудлыг шийдвэрлэх математикийн индукцийн арга.

Математикийн индукцийн аргыг ашиглан натурал тоонуудын хуваагдлын талаархи янз бүрийн мэдэгдлийг баталж болно.

Даалгавар 4 . Хэрэв n нь натурал тоо бол энэ тоо тэгш байна.

n=1-ийн хувьд бидний мэдэгдэл үнэн: - тэгш тоо. Үүнийг тэгш тоо гэж үзье. 2к нь тэгш тоо учраас энэ нь ч мөн адил. Тэгэхээр n=1-ийн хувьд паритет нотлогдож, паритетаас паритет гарч ирдэг.Иймээс n-ийн бүх натурал утгын хувьд ч гэсэн.

Даалгавар 3. Z тоо гэдгийг батал 3 + 3 - 26n - 27 дурын натуралтай n нь 26 2-т үлдэгдэлгүй хуваагдана.

Шийдэл. Эхлээд 3 гэсэн туслах баталгааг индукцаар баталъя 3n+3 1 нь 26-д үлдэгдэлгүй хуваагдана n > 0.

1. индукцийн суурь. n = 0-ийн хувьд бид: Z 3 байна - 1 \u003d 26 - 26-д хуваагдана.

индукцийн алхам. 3 гэж бодъё 3n + 3 - 1 нь 26-д хуваагддаг n = k, ба Энэ тохиолдолд мэдэгдэл үнэн байх болно гэдгийг баталцгаая n = k + 1. 3-аас хойш

дараа нь индуктив таамаглалаас бид 3-ын тоо гэж дүгнэж байна 3k + 6 - 1 нь 26-д хуваагдана.

Асуудлын нөхцөлд томъёолсон батламжийг одоо нотолцгооё. Мөн индукцаар дахин.

1. индукцийн суурь. Энэ нь тодорхой байна n = 1 мэдэгдэл үнэн: 3-аас хойш 3+3 - 26 - 27 = 676 = 26 2 .
2. индукцийн алхам. Энэ үед гэж бодъё n = k
   илэрхийлэл 3 3k + 3 - 26к - 27 нь 26-д хуваагдана 2 үлдэгдэлгүй, баталгаа нь үнэн болохыг нотлох n = k + 1,
   өөрөөр хэлбэл тэр тоо

26 2-т хуваагддаг ул мөргүй. Сүүлийн нийлбэрээр хоёр гишүүнийг үлдэгдэлгүйгээр 26-д хуваана 2 . Эхнийх нь хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь 26-д хуваагддаг гэдгийг баталсан учраас; хоёрдугаарт, индуктив таамаглалаар. Математик индукцийн зарчмын дагуу шаардлагатай мэдэгдлийг бүрэн нотолсон болно.

Цувралын нийлбэрт математик индукцийн аргыг хэрэглэх.

Даалгавар 5. Томьёог нотлох

N бол натурал тоо юм.

Шийдэл.

n=1-ийн хувьд тэгш байдлын хоёр хэсэг нь нэг болж хувирдаг тул математик индукцийн зарчмын эхний нөхцөл хангагдсан болно.

Томьёог n=k хувьд үнэн гэж үзье, өөрөөр хэлбэл.

Энэ тэгш байдлын хоёр тал дээр нэмээд баруун талыг нь өөрчилье. Дараа нь бид авна

Иймд n=k-ийн хувьд томьёо үнэн байхаас n=k+1-д ч гэсэн үнэн байна гэсэн үг. Энэ мэдэгдэл k-ийн аливаа байгалийн утгын хувьд үнэн юм. Тиймээс математикийн индукцийн зарчмын хоёр дахь нөхцөл бас хангагдана. Томъёо нь батлагдсан.

Даалгавар 6. Самбар дээр хоёр тоо бичсэн: 1.1. Тэдний нийлбэрийг тоонуудын хооронд оруулснаар бид 1, 2, 1 гэсэн тоонуудыг авна. Энэ үйлдлийг дахин давтан хийснээр бид 1, 3, 2, 3, 1 гэсэн тоонуудыг авна. Гурван үйлдэл хийсний дараа тоонууд нь 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1. Дараа нь самбар дээрх бүх тоонуудын нийлбэр хэд байх вэ 100 үйлдэл?

Шийдэл. 100-г бүгдийг нь хий үйл ажиллагаа нь маш их цаг хугацаа, цаг хугацаа шаардсан байх болно. Тиймээс бид S нийлбэрийн ерөнхий томъёог олохыг хичээх хэрэгтэй n-ийн дараах тоо үйл ажиллагаа. Хүснэгтийг харцгаая:

Та энд ямар нэгэн хэв маягийг анзаарсан уу? Үгүй бол та дахиад нэг алхам хийж болно: дөрвөн үйлдлийн дараа тоонууд байх болно

1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1,

S 4 нийлбэр нь 82 байна.

Үнэн хэрэгтээ та тоо бичиж болохгүй, гэхдээ шинэ тоо нэмсний дараа нийлбэр хэрхэн өөрчлөгдөхийг шууд хэлээрэй. Нийлбэр нь 5-тай тэнцүү байг.Шинэ тоо нэмэхэд ямар байх вэ? Шинэ тоо бүрийг хуучин хоёрын нийлбэр болгон хувацгаая. Жишээлбэл, 1, 3, 2, 3, 1-ээс бид 1 рүү очно.

1 + 3, 3, 3 + 2, 2, 2 + 3, 3, 3 + 1, 1.

Өөрөөр хэлбэл, хуучин тоо бүр (хоёр туйлын тооноос бусад) нийлбэрийг гурван удаа оруулдаг тул шинэ нийлбэр нь 3S - 2 байна (дутсан нэгжийг харгалзан 2-ыг хасна). Тиймээс С 5 = 3S 4 - 2 = 244, ерөнхийдөө

Ерөнхий томъёо нь юу вэ? Хэрэв хоёр нэгжийг хасахгүй бол нийлбэр нь гурвалсан (1, 3, 9, 27, 81, 243, ...) зэрэг гурав дахин нэмэгдэх болно. Таны харж байгаагаар бидний тоо дахиад нэг байна. Тиймээс ийм гэж таамаглаж болно

Одоо индукцаар үүнийг батлахыг хичээцгээе.

индукцийн суурь. Хүснэгтийг үзнэ үү (нь n = 0, 1, 2, 3).

индукцийн алхам. Ингэж жүжиглэе

Тэгвэл үүнийг баталцгаая S-ээс + 1 \u003d Z-ээс + 1 + 1 хүртэл.

Үнэхээр,

Тиймээс бидний томъёо батлагдсан. Энэ нь зуун үйлдэл хийсний дараа самбар дээрх бүх тоонуудын нийлбэр нь 3-тай тэнцүү болохыг харуулж байна 100 + 1.

Математикийн индукцийн зарчмын хэрэглээний нэг гайхалтай жишээг авч үзье, үүнд та эхлээд хоёр байгалийн параметрийг танилцуулж, дараа нь тэдгээрийн нийлбэрээр индукц хийх хэрэгтэй.

Даалгавар 7. Хэрэв гэдгийг нотлох= 2, x 2 = 3 ба байгалийн хувьд n> 3

x n \u003d Zx n - 1 - 2x n - 2,

тэгээд

2 n - 1 + 1, n = 1, 2, 3, ...

Шийдэл. Энэ асуудалд тоонуудын эхний дараалал байгааг анхаарна уу(x n) Эхний хоёроос бусад дарааллын нөхцлүүд нь индуктив байдлаар, өөрөөр хэлбэл өмнөх зүйлүүдээр дамжин өгөгдсөн тул индукцаар тодорхойлогддог. Өгөгдсөн дарааллыг дууднадавтагдах, мөн манай тохиолдолд энэ дарааллыг өвөрмөц байдлаар (эхний хоёр нэр томъёог зааж өгснөөр) тодорхойлдог.

индукцийн суурь. Энэ нь хоёр мэдэгдлийг шалгахаас бүрдэнэ: n=1 ба n=2.B Аль ч тохиолдолд энэ нь таамаглалаар үнэн юм.

индукцийн алхам. Үүний төлөө гэж бодъё n = k - 1 ба n = k баталгаа гаргасан, өөрөөр хэлбэл

Дараа нь энэ мэдэгдлийг баталцгаая n = k + 1. Бидэнд:

x 1 = 3(2 + 1) - 2(2 + 1) = 2 + 1, үүнийг батлах ёстой.

Даалгавар 8. Аливаа натурал тоог Фибоначчийн тоонуудын давтагдах дарааллын хэд хэдэн өөр гишүүдийн нийлбэрээр илэрхийлж болохыг батал.

k > 2-ын хувьд.

Шийдэл. Let p - натурал тоо. Бид индукцийг үргэлжлүүлэн хийх болноП.

индукцийн суурь. n = хувьд Нэгж нь өөрөө Фибоначчийн тоо учраас 1 мэдэгдэл үнэн.

индукцийн алхам. Бүх натурал тоонууд зарим тооноос бага гэж үзьеП, Фибоначчийн дарааллын хэд хэдэн өөр нөхцлийн нийлбэрээр илэрхийлж болно. Фибоначчийн хамгийн том тоог ол F t, хэтрэхгүй P; тиймээс F t n ба F t +1 > n.

Учир нь

Индукцийн таамаглалаар тоо p- F t Фибоначчийн дарааллын 5 өөр гишүүний нийлбэрээр төлөөлүүлж болох ба сүүлчийн тэгш бус байдлаас үзэхэд Фибоначчийн дарааллын 8-ын нийлбэрт оролцсон бүх гишүүд түүнээс бага байна.Ф т. Тиймээс тоог өргөжүүлэх n = 8 + F t асуудлын нөхцөлийг хангадаг.

Тэгш бус байдлыг батлахад математик индукцийн аргыг хэрэглэх жишээ.

Даалгавар 9. (Бернуллигийн тэгш бус байдал.)Үүнийг хэзээ нотлох x > -1, x 0, n > бүхэл тооны хувьд 2 тэгш бус байдал

(1 + x) n > 1 + xn.

Шийдэл. Бид нотлох баримтыг индукцээр дахин хийх болно.

1. Индукцийн суурь. Тэгш бус байдлын үнэн зөвийг шалгацгаая n = 2. Үнэхээр,

(1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 > 1 + 2x.

2. Индукцийн алхам. Тооны хувьд үүнийг төсөөлье n = k мэдэгдэл үнэн, тэр нь

(1 + x) k > 1 + xk,

Энд k > 2. Бид үүнийг n = k + 1-ээр батална. Бидэнд: (1 + x) k + 1 = (1 + x) k (1 + x)> (1 + kx) (1 + x) =

1 + (k + 1)x + kx 2 > 1 + (k + 1)x.

Тиймээс, математикийн индукцийн зарчимд үндэслэн Бернуллигийн тэгш бус байдал ямар ч тохиолдолд хүчинтэй гэж үзэж болно. n > 2.

Математикийн индукцийн аргыг ашиглан шийдсэн асуудлын нөхцөлд үргэлж биш, нотлох шаардлагатай ерөнхий хуулийг тодорхой томъёолдог. Заримдаа тодорхой тохиолдлуудыг ажиглах замаар эхлээд тэдгээр нь ямар ерөнхий хууль руу хөтөлж байгааг олж мэдэх (таамаглах) шаардлагатай бөгөөд зөвхөн дараа нь математикийн индукцээр заасан таамаглалыг батлах шаардлагатай болдог. Үүнээс гадна индукцийн хувьсагчийг далдлах боломжтой бөгөөд асуудлыг шийдэхийн өмнө индукцийг ямар параметрээр гүйцэтгэхийг тодорхойлох шаардлагатай. Жишээ болгон дараах ажлуудыг авч үзье.

Бодлого 10. Үүнийг батал

аливаа байгалийн хувьд n > 1.

Шийдэл, Энэ тэгш бус байдлыг математик индукцийн аргаар батлахыг оролдъё.

Индукцийн үндэслэлийг хялбархан баталгаажуулдаг: 1+

Индуктив таамаглалаар

Үүнийг батлах нь бидэнд үлдлээ

Индуктив таамаглалыг ашиглан бид үүнийг батлах болно

Хэдийгээр энэ тэгш байдал нь үнэндээ үнэн боловч энэ нь бидэнд асуудлыг шийдэх гарцыг өгдөггүй.

Анхны асуудалд шаардагдахаас илүү хүчтэй баталгааг батлахыг хичээцгээе. Тодруулбал, бид үүнийг батлах болно

Энэ мэдэгдлийг индукцаар нотлох нь найдваргүй мэт санагдаж магадгүй юм.

Гэсэн хэдий ч, p = 1 бидэнд байна: мэдэгдэл үнэн. Индуктив алхамыг зөвтгөхийн тулд ингэж бодъё

тэгээд бид үүнийг батлах болно

Үнэхээр,

Тиймээс, бид илүү хүчтэй нотлох баримтыг нотолсон бөгөөд үүнээс асуудлын нөхцөл байдалд агуулагдаж буй нотолгоо шууд гарч ирэв.

Энд сургамжтай зүйл бол бид асуудалд шаардагдахаас илүү хүчтэй нотлох баримтыг нотлох шаардлагатай байсан ч индуктив алхамд илүү хүчтэй таамаглалыг ашиглаж болно. Энэ нь математикийн индукцийн зарчмыг шууд хэрэглэх нь зорилгодоо үргэлж хүргэдэггүй гэдгийг тайлбарладаг.

Асуудлыг шийдвэрлэхэд үүссэн нөхцөл байдлыг нэрлэдэгзохион бүтээгчийн парадокс.Парадокс нь өөрөө илүү нарийн төвөгтэй төлөвлөгөө нь асуудлын мөн чанарыг илүү гүнзгий ойлгоход үндэслэсэн тохиолдолд илүү амжилттай хэрэгжих боломжтой юм.

Бодлого 11. 2м + n - 2м гэдгийг батал аливаа байгалийн хувьдтөрөл.

Шийдэл. Энд бидэнд хоёр сонголт байна. Тиймээс, та гэж нэрлэгддэг зүйлийг хэрэгжүүлэхийг оролдож болнодавхар индукц(индукц доторх индукц).

Бид индуктив үндэслэлийг хийх болноП.

1. p-ийн дагуу индукцийн суурь. n = хувьд 1 үүнийг шалгах хэрэгтэй 2 т ~ 1 > т. Энэ тэгш бус байдлыг батлахын тулд бид индукц дээр ашигладагт.

а) Индукцийн суурь боть. t = хувьд 1 ажиллаж байна
тэгш байдал, энэ нь хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц юм.

б) t-ийн дагуу индукцийн алхам.Энэ үед гэж бодъё t = k мэдэгдэл үнэн, өөрөөр хэлбэл 2 к ~ 1 > к. Дараа нь дээшээ
Баталгаа нь үнэн байсан ч гэсэн үнэн гэж хэлье m = k + 1.
Бидэнд байгаа:

байгалийн к.

Тиймээс тэгш бус байдал 2 ямар ч байгалийн хувьд гүйцэтгэнэт.

2. Зүйлийн дагуу индукцийн алхамЗарим натурал тоог сонгоод засаарайт. Энэ үед гэж бодъё n = I мэдэгдэл үнэн (тогтмол t), өөрөөр хэлбэл 2 t +1 ~ 2 > t1, тэгээд батламж үнэн байх болно гэдгийг нотлох n = l + 1.
Бидэнд байгаа:

аливаа байгалийн хувьдтөрөл.

Тиймээс математик индукцийн зарчимд үндэслэн (доор P) Асуудлын мэдэгдэл нь хэний ч хувьд үнэн юмП болон аливаа тогтмолт. Иймээс энэ тэгш бус байдал ямар ч байгалийн хувьд хамаарнатөрөл.

Бодлого 12. m, n, k гэж үзье натурал тоонууд ба t > p Хоёр тооны аль нь илүү вэ:

Илэрхийлэл бүртруу квадрат язгуур тэмдэг, t ба n ээлжилнэ.

Шийдэл. Эхлээд зарим туслах мэдэгдлийг баталъя.

Лемма. Аливаа байгалийн хувьд t ба n (t > n) ба сөрөг биш (заавал бүхэл тоо биш) X тэгш бус байдал

Баталгаа. Тэгш бус байдлыг авч үзье

Зүүн талын хүчин зүйлүүд хоёулаа эерэг байдаг тул энэ тэгш бус байдал үнэн юм. Хаалтуудыг өргөжүүлж, хөрвүүлснээр бид дараахь зүйлийг авна.

Сүүлийн тэгш бус байдлын хоёр хэсгийн квадрат язгуурыг авснаар бид леммын баталгааг олж авна. Тиймээс лемма батлагдсан.

Одоо асуудлыг шийдэх рүүгээ явцгаая. Эдгээр тоонуудын эхнийхийг нь гэж тэмдэглэеа, болон хоёр дахь нь дамжууланб хүртэл. Үүнийг баталцгаая a аливаа байгалийн хувьдруу. Баталгаажуулалтыг математик индукцийн аргаар тэгш, сондгойгоор тусад нь хийнэруу.

индукцийн суурь. k = хувьд 1 Бид тэгш бус байдал байна

y[t > y/n , энэ нь хүчинтэй байгаа тул хүчинтэй m > n. = 2, орлуулах замаар батлагдсан леммээс хүссэн үр дүнг гаргана x = 0.

индукцийн алхам. Зарим хүмүүсийн хувьд гэж бодъё a >b -ийн тэгш бус байдал руу шударга. Үүнийг баталцгаая

Индукц ба квадрат язгуурын монотон байдлын таамаглалаас бид дараах байдалтай байна.

Нөгөөтэйгүүр, энэ нь батлагдсан леммагаас харагдаж байна

Сүүлийн хоёр тэгш бус байдлыг нэгтгэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

Математикийн индукцийн зарчмын дагуу нотолгоо нотлогддог.

Даалгавар 13. (Кошигийн тэгш бус байдал.)Аль ч эерэг тоонуудын хувьд үүнийг батална уу..., a p тэгш бус байдал

Шийдэл. n = 2 бол тэгш бус байдал

арифметик дундаж ба геометрийн дундаж (хоёр тооны хувьд) нь мэдэгдэж байгаа гэж үзнэ. Болъё n= 2, k = 1, 2, 3, ... ба эхлээд индукцийг дээр хийнэруу. Хүссэн тэгш бус байдал нь аль хэдийн тогтоогдсон гэж үзвэл энэ индукцийн үндэс суурь болно n = 2, бид үүнийг батлах болноП = 2 . Бидэнд (хоёр тооны тэгш бус байдлыг ашиглан):

Тиймээс индукцийн таамаглалаар

Ийнхүү k-ийн индукцаар бид бүгдийн тэгш бус байдлыг нотолсонх 9 Эдгээр нь хоёрын хүч юм.

Бусад утгуудын тэгш бус байдлыг нотлохП бид "доош индукц"-ийг ашиглах болно, өөрөөр хэлбэл, хэрэв тэгш бус байдал нь дур зоргоороо сөрөг бус байвал хангагдсаныг нотлох болно.П тоо, энэ нь бас хүчинтэй(П - 1) дугаар. Үүнийг баталгаажуулахын тулд бид хийсэн таамаглалын дагууП тоо, тэгш бус байдал

өөрөөр хэлбэл a r + a 2 + ... + a n _ x > (n - 1) A. Хоёр хэсэг болгон хуваахП - 1, бид шаардлагатай тэгш бус байдлыг олж авна.

Тиймээс эхлээд бид тэгш бус байдал нь хязгааргүй тооны боломжит утгуудад тохирч байгааг тогтоосонП, дараа нь тэгш бус байдал хангагдсан бол гэдгийг харуулсанП тоо, энэ нь бас хүчинтэй(П - 1) тоо. Эндээс бид Котигийн тэгш бус байдал нь олонлогийн хувьд биелнэ гэж дүгнэж байнаП аль ч сөрөг бус тоо n = 2, 3, 4, ...

Бодлого 14. (Д. Успенский.) Ямар ч өнцөгтэй ABC гурвалжны хувьд = CAB, = CBA харьцуулж болохуйц, тэгш бус байдал бий

Шийдэл. Өнцөг ба хэмжигдэхүүн бөгөөд энэ нь (тодорхойлолтоор) эдгээр өнцгүүд нь нийтлэг хэмжигдэхүүнтэй гэсэн үг бөгөөд үүнд = p, = (p, q нь байгалийн анхны тоонууд).

Математик индукцийн аргыг хэрэглэж, нийлбэр дээр зурцгаая n = p + q натурал анхны тоо..

индукцийн суурь. p + q = 2-ын хувьд бид дараах байдалтай байна: p = 1 ба q = 1. Дараа нь ABC гурвалжин нь ижил өнцөгт байх ба хүссэн тэгш бус байдал нь тодорхой байна: гурвалжны тэгш бус байдлаас дагалддаг.

индукцийн алхам. Одоо p + q = 2, 3, ...-ын хувьд хүссэн тэгш бус байдал тогтоогдлоо гэж бодъё. k - 1, энд k > 2. Тэгш бус байдал нь мөн адил хүчинтэй гэдгийг баталъя p + q = k.

ABC үзье нь өгөгдсөн гурвалжин юм> 2. Дараа нь АС ба ВС талууд тэнцүү байж болохгүй: зөвшөөрөх AC > BC. Одоо 2-р зураг дээрх адил тэгш өнцөгт гурвалжинг байгуулъя ABC; бидэнд байгаа:

AC \u003d DC ба AD \u003d AB + BD, тиймээс,

2AC > AB + BD (1)

Одоо гурвалжинг авч үзье VDC, Тэдний өнцгийг харьцуулах боломжтой:

DCB = (q - p), BDC = p.

Цагаан будаа. 2

Энэ гурвалжин нь индуктив таамаглалыг хангаж байгаа тул

(2)

(1) ба (2)-ыг нэмснээр бид дараах байдалтай байна:

2AC+BD>

Тиймээс

Ижил гурвалжингаас WBS индукцийн таамаглалаар бид дүгнэж байна

Өмнөх тэгш бус байдлыг харгалзан бид үүнийг дүгнэж байна

Ийнхүү индуктив шилжилтийг олж авч, математикийн индукцийн зарчмаас асуудлын мэдэгдэл гарна.

Сэтгэгдэл. Бодлогын мэдэгдэл a ба p өнцгүүд тэнцүү биш байсан ч хүчинтэй хэвээр байна. Ерөнхий тохиолдолд авч үзэх үндсэн дээр бид математикийн өөр нэг чухал зарчмыг - тасралтгүй байдлын зарчмыг аль хэдийн ашиглах ёстой.

Бодлого 15. Хэд хэдэн шулуун шугамууд хавтгайг хэсэг болгон хуваана. Эдгээр хэсгүүдийг цагаан өнгөтэй болгох боломжтой гэдгийг батал

ба хар өнгөнүүд нь нийтлэг хилийн сегмент бүхий зэргэлдээ хэсгүүд нь өөр өөр өнгөтэй байдаг (Зураг 3-т үзүүлсэн шиг n = 4).

зураг 3

Шийдэл. Бид мөрийн тоонд индукц ашигладаг. За тэгьеП - манай онгоцыг хэсэг болгон хуваах шугамын тоо, n > 1.

индукцийн суурь. Хэрэв зөвхөн нэг шулуун байвал(П = 1), дараа нь энэ нь онгоцыг хоёр хагас хавтгайд хуваадаг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь цагаан, нөгөө нь хар өнгөтэй байж болох бөгөөд асуудлын мэдэгдэл үнэн болно.

индукцийн алхам. Индуктив алхамын нотолгоог илүү тодорхой болгохын тулд нэг шинэ мөр нэмэх үйл явцыг авч үзье. Хэрэв бид хоёр дахь шугамыг зурвал(П= 2), дараа нь бид эсрэг талын булангуудыг ижил өнгөөр ​​будаж хүссэн өнгөөр ​​будаж болох дөрвөн хэсгийг авна. Гурав дахь шулуун шугамыг зурвал юу болохыг харцгаая. Энэ нь "хуучин" хэсгүүдийн заримыг хуваах бөгөөд хилийн шинэ хэсгүүд гарч ирэх бөгөөд хоёр талд нь өнгө нь ижил байна (Зураг 4).

Цагаан будаа. дөрөв

Дараах байдлаар үргэлжлүүлье.нэг талшинэ шулуун шугамаас бид өнгийг өөрчлөх болно - бид цагаан хар, эсрэгээр нь болгоно; Үүний зэрэгцээ энэ шулуун шугамын нөгөө талд байрлах хэсгүүдийг дахин будаагүй болно (Зураг 5). Дараа нь энэхүү шинэ өнгө нь шаардлагатай шаардлагыг хангах болно: нэг талаас, шулуун шугам нь аль хэдийн ээлжлэн солигдсон (гэхдээ өөр өөр өнгөтэй), нөгөө талаас шаардлагатай байсан. Зурсан зураасанд хамаарах нийтлэг хүрээтэй хэсгүүдийг өөр өөр өнгөөр ​​будахын тулд бид энэ зурсан шугамын зөвхөн нэг талд хэсгийг дахин будсан.

Зураг 5

Одоо индуктив алхамыг баталцгаая. Зарим хүмүүсийн хувьд тийм гэж бодъёn = kасуудлын мэдэгдэл хүчинтэй, өөрөөр хэлбэл эдгээрээр хуваагдсан хавтгайн бүх хэсгүүдруушулуун, та цагаан, хар өнгөөр ​​будаж болно, ингэснээр хөрш зэргэлдээ хэсгүүд нь өөр өөр өнгөтэй байна. Тэгвэл ийм будах зүйл байдгийг нотолцгооёП= руу+ 1 шулуун. Хоёр шулуунаас гурав руу шилжихтэй ижил төстэй байдлаар явцгаая. Онгоцонд зарцуулцгааяруушууд. Дараа нь индуктив таамаглалаар үүссэн "газрын зураг" -ыг хүссэн өнгөөр ​​​​будаж болно. Одоо зарцуулъя(хэрэглэх+ 1)-р шулуун шугам ба түүний нэг талд бид өнгийг эсрэгээр нь өөрчилдөг. Тэгэхээр одоо(хэрэглэх+ 1)-р шулуун шугам нь янз бүрийн өнгөт хэсгүүдийг тусгаарладаг бол "хуучин" хэсгүүд нь зөв өнгөтэй хэвээр байна. Математикийн индукцийн зарчмын дагуу асуудлыг шийддэг.

Даалгавар16. Цөлийн захад их хэмжээний бензин, шатахуун түгээх станцтай, 50 км явах боломжтой машин байдаг. Хязгааргүй хэмжээгээр, та машины хийн савнаас бензинийг зайлуулж, цөлийн хаана ч хадгалах боломжтой савнууд байдаг. Машин 50 километрээс илүү бүхэл тоон зайг туулж чадна гэдгийг батал. Лаазтай бензин авч явахыг хориглоно, хоосон лаазыг ямар ч хэмжээгээр авч явах боломжтой.

Шийдэл.Үүнийг индукц дээр нотлохыг хичээцгээеП,машин жолоодох боломжтойПцөлийн захаас километрийн зайд. AtП= 50 мэдэгдэж байна. Индукцийн үе шатыг хийж, тийшээ хэрхэн хүрэхийг тайлбарлахад л үлддэгn = kХэрэв мэдэгдэж байгаа бол + 1 кмn = kкилометр явах боломжтой.

Гэсэн хэдий ч энд бид нэг бэрхшээлтэй тулгардаг: бид өнгөрсний дарааруукм, бензин буцах аялалд хүрэлцэхгүй байж магадгүй (хадгалах нь битгий хэл). Энэ тохиолдолд гарах гарц бол нотлогдсон мэдэгдлийг бэхжүүлэх явдал юм (зохион бүтээгчийн парадокс). Энэ нь зөвхөн жолоодох төдийгүй боломжтой гэдгийг бид батлах болноПкм, гэхдээ бас зайнаас нэг цэгт дур мэдэн их хэмжээний бензин нийлүүлэхПцөлийн захаас километр зайд, тээвэрлэлт дууссаны дараа энэ цэг дээр байна.

индукцийн суурь.Нэг километр замыг туулахад шаардагдах бензиний хэмжээг нэгж бензин гэж үзье. Дараа нь 1 км-ийн нислэг, буцаж явахад хоёр нэгж бензин шаардагдах тул захаас нэг километрийн зайд 48 нэгж бензин үлдээгээд буцах боломжтой. Тиймээс, агуулах руу хэд хэдэн удаа аялахдаа бид шаардлагатай хэмжээгээр дурын хэмжээтэй хувьцаа гаргаж болно. Үүний зэрэгцээ 48 нэгж нөөц бүрдүүлэхийн тулд 50 нэгж бензин зарцуулдаг.

индукцийн алхам.Үүнийг алсаас төсөөльеП= рууцөлийн захаас та ямар ч хэмжээний бензин хадгалах боломжтой. Дараа нь зайнаас хадгалах газар бий болгох боломжтой гэдгийг баталцгааяn = k+ Урьдчилан тогтоосон бензиний нөөцтэй 1 км, тээвэрлэлтийн төгсгөлд энэ агуулахад байх ёстой. Учир нь цэг дээрП= рууБензиний хязгааргүй нийлүүлэлт байгаа тул (индукцийн суурийн дагуу) бид хэд хэдэн удаа явах боломжтой.n = k+ 1 цэг тавихП= рууТанд хэрэгтэй ямар ч хэмжээтэй 4- 1 ширхэг.

Бодлогын нөхцөлөөс илүү ерөнхий мэдэгдлийн үнэн нь одоо математикийн индукцийн зарчмаас үүдэлтэй.

Дүгнэлт

Ялангуяа математикийн индукцийн аргыг судалснаар би математикийн энэ чиглэлээр мэдлэгээ дээшлүүлж, өмнө нь миний хүч чадлаас давсан асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурсан.

Үндсэндээ эдгээр нь логик, зугаатай ажлууд байсан, жишээлбэл. зүгээр л математикийг шинжлэх ухааны хувьд сонирхлыг нэмэгдүүлдэг. Ийм асуудлыг шийдэх нь зугаатай үйл ажиллагаа болж, улам бүр сониуч хүмүүсийг математикийн лабиринт руу татах болно. Миний бодлоор энэ бол аливаа шинжлэх ухааны үндэс суурь юм.

Математикийн индукцийн аргыг үргэлжлүүлэн судлахдаа би үүнийг зөвхөн математикт төдийгүй физик, хими, амьдралын асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглах талаар сурахыг хичээх болно.

Уран зохиол

1.Вуленкин ИНДУКЦИ. Комбинаторик. Багш нарт зориулсан гарын авлага. М., Гэгээрэл,

1976.-48 х.

2. Головина Л.И., Яглом И.М. Геометрийн индукц. - М .: Госуд. хэвлэн нийтлэгч ассан. - 1956 - S.I00. Их, дээд сургуульд элсэгчдэд зориулсан математикийн гарын авлага / Ed. Яковлева Г.Н. Шинжлэх ухаан. -1981. - P.47-51.

3. Головина Л.И., Яглом И.М. Геометрийн индукц. -
М .: Наука, 1961. - (Математикийн талаархи алдартай лекцүүд.)

4. И.Т.Демидов, А.Н.Колмогоров, С.И.Шварцбург, О.С.Ивашев-Мусатов, Б.Е.Вейц. Сурах бичиг / "Гэгээрэл" 1975.

5.Р. Курант, Г Роббинс "Математик гэж юу вэ?" 1-р бүлэг, § 2

6. Попа D. Математик ба үндэслэлтэй үндэслэл. - М: Наука, 1975.

7. Попа D. Математикийн нээлт. - М.: Наука, 1976.

8. Рубанов И.С. Математикийн индукцийн аргыг хэрхэн заах вэ / Математикийн сургууль. - Nl. - 1996. - С.14-20.

9. Соминский И.С., Головина Л.И., Яглом И.М. Математик индукцийн аргын талаар. - М .: Наука, 1977. - (Математикийн талаархи алдартай лекцүүд.)

10. Соломинский И.С. Математик индукцийн арга. - М .: Шинжлэх ухаан.

63с.

11. Соломинский И.С., Головина Л.И., Яглом И.М. Математик индукцийн тухай. - М .: Шинжлэх ухаан. - 1967. - С.7-59.

12.http://w.wikiredia.org/wiki

13.htt12:/ /www.refeshtcollestiop.ru/40 124.html

Саратов мужийн Боловсролын яам

Саратовын улсын нийгэм-эдийн засгийн их сургууль

Сургуулийн сурагчдын математик, компьютерийн бүтээлийн бүсийн уралдаан

"Ирээдүйн вектор - 2007"

«Математик индукцийн арга.

Алгебрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах нь"

("математик" хэсэг)

бүтээлч ажил

10"А" ангийн сурагчид

Санамж бичиг "1-р биеийн тамирын заал"

Саратовын Октябрский дүүрэг

Арутюнян Гаянэ.

Ажлын менежер:

математикийн багш

Гришина Ирина Владимировна

Саратов

2007

Танилцуулга…………………………………………………………………………………3

Математик индукцийн зарчим ба түүний

нотлох баримт…………………………………………………………………………..4

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..9

Дүгнэлт……………………………………………………………………………..16

Уран зохиол………………………………………………………………………………17

Оршил.

Математикийн индукцийн аргыг ахиц дэвшилтэй харьцуулж болно. Бид хамгийн доод хэсгээс эхэлдэг, логик сэтгэлгээний үр дүнд бид хамгийн дээд цэгт хүрдэг. Хүн үргэлж хөгжил дэвшлийг эрэлхийлж, сэтгэлгээгээ логикоор хөгжүүлэх чадварыг эрэлхийлсээр ирсэн бөгөөд энэ нь байгаль өөрөө түүнийг индуктив байдлаар сэтгэж, логикийн бүх дүрэм журмын дагуу хэрэгжүүлсэн нотлох баримтаар бодлоо бататгах боломжийг олгосон гэсэн үг юм.
Одоогийн байдлаар математикийн индукцийн аргын хэрэглээний талбар өргөжиж байгаа боловч харамсалтай нь сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт үүнд бага цаг зарцуулагддаг. Гэхдээ энэ нь маш чухал юм - индуктив байдлаар сэтгэх чадвартай байх.

Математик индукцийн зарчим ба түүний баталгаа

Математик индукцийн аргын мөн чанарт хандъя. Төрөл бүрийн мэдэгдлийг авч үзье. Тэдгээрийг ерөнхий болон тусгай гэж хувааж болно.Ерөнхий мэдэгдлийн жишээг өгье.

ОХУ-ын бүх иргэн боловсрол эзэмших эрхтэй.

Аливаа параллелограммд огтлолцох цэгийн диагональуудыг хоёр хуваасан.

Тэгээр төгссөн бүх тоо 5-д хуваагдана.

Хувийн мэдэгдлийн холбогдох жишээ:

Петров боловсрол эзэмших эрхтэй.

ABCD параллелограммд огтлолцох цэгийн диагональуудыг хоёр хуваасан.

140 нь 5-д хуваагддаг.

Ерөнхий мэдэгдлээс тодорхой зүйл рүү шилжихийг дедукц гэж нэрлэдэг (Латин хэлнээс хасалт - логикийн дүрмийн дагуу дүгнэлт).

Дедуктив дүгнэлтийн жишээг авч үзье.

ОХУ-ын бүх иргэн боловсрол эзэмших эрхтэй. (нэг)

Петров бол ОХУ-ын иргэн юм. (2)

Петров боловсрол эзэмших эрхтэй. (3)

Ерөнхий нотолгооноос (1) (2)-ын тусламжтайгаар тодорхой баталгаа (3)-ыг олж авна.

Тодорхой мэдэгдлээс ерөнхий мэдэгдэл рүү урвуу шилжилтийг индукц гэж нэрлэдэг (Латин хэлнээс индукц - удирдамж).

Индукц нь зөв ба буруу дүгнэлтэд хүргэж болно.

Үүнийг хоёр жишээгээр тайлбарлая.

140 нь 5-д хуваагдана. (1)

Тэгээр төгссөн бүх тоо 5-д хуваагдана. (2)

140 нь 5-д хуваагдана. (1)

Бүх гурван оронтой тоо 5-д хуваагдана. (2)

Тодорхой нотолгооноос (1) ерөнхий батламжийг (2) олж авна. (2) мэдэгдэл үнэн.

Хоёрдахь жишээ нь ерөнхий мэдэгдлийг (3) тодорхой мэдэгдлээс (1) хэрхэн авч болохыг харуулж байна, үүнээс гадна (3) мэдэгдэл үнэн биш юм.

Зөвхөн зөв дүгнэлт гаргахын тулд математикт индукцийг хэрхэн ашиглах вэ гэсэн асуултыг өөрөөсөө асууцгаая. Математикийн хувьд хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй индукцийн зарим жишээг авч үзье.

Жишээ 1.

Леонард Эйлер анхаарлаа хандуулсан Р(x)= x 2 + x + 41 хэлбэртэй дөрвөлжин гурвалжинг авч үзье.

P(0) = 41, P(1) = 43, P(2) = 47, P(3) = 53, P(4) = 61, P(5) = 71, P(6) = 83, P (7) = 97, P(8) = 113, P(9)=131, P(10) = 151.

Гурвалсан гишүүний утга нь анхны тоо болохыг бид харж байна. Хүлээн авсан үр дүнд үндэслэн бид авч үзэж буй гурвалсан гишүүнд орлуулахдаа x-ийн оронд орлуулсныг баталж байна. Аливаа сөрөг бус бүхэл тоо үргэлж анхны тоог гаргадаг.

Гэсэн хэдий ч гаргасан дүгнэлтийг найдвартай гэж үзэх боломжгүй юм. Юу болсон бэ? Баримт нь аливаа х-ийн тухай ерөнхий мэдэгдлийг зөвхөн x-ийн зарим утгын хувьд үнэн гэж үзсэний үндсэн дээр хийсэн болно.

Үнэн хэрэгтээ, гурвалсан P(x)-ийг сайтар судалж үзэхэд P(0), P(1), ..., P(39) тоонууд нь анхны тоо боловч P(40) = 41 2 нь нийлмэл тоо юм. Мөн маш тодорхой: P(41) = 41 2 +41+41 нь 41-ийн үржвэр юм.

Энэ жишээн дээр бид 40 онцгой тохиолдолд үнэн зөв боловч ерөнхийдөө шударга бус болсон мэдэгдэлтэй уулзсан.

Өөр хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 2

17-р зуунд В.Г. Лейбниц аливаа натурал n-ийн хувьд n 3 - n хэлбэрийн тоо нь 3-ын үржвэр, n 5 - n нь 5-ын үржвэр, n 7 - n нь 7-ын үржвэр гэдгийг нотолсон.Үүн дээр үндэслэн тэрээр аливаа сондгой k-ийн хувьд гэж санал болгосон. ба натурал n, n k - n тоо нь k-ийн үржвэр боловч удалгүй тэр өөрөө 2 9 -2=510 болохыг анзаарсан бөгөөд энэ нь 9-д хуваагдахгүй нь ойлгомжтой.

Үзсэн жишээнүүд нь чухал дүгнэлт гаргах боломжийг бидэнд олгодог: мэдэгдэл нь хэд хэдэн онцгой тохиолдлуудад үнэн байж болох ба нэгэн зэрэг ерөнхийдөө шударга бус байж болно.

Мэдээжийн хэрэг асуулт гарч ирдэг: хэд хэдэн онцгой тохиолдлуудад үнэн байдаг мэдэгдэл байдаг; бүх онцгой тохиолдлыг авч үзэх боломжгүй; Энэ мэдэгдэл үнэн эсэхийг яаж мэдэх вэ?

Заримдаа энэ асуултыг математик индукцийн арга гэж нэрлэх тусгай аргыг ашиглан шийдэж болно. Энэ арга нь дээр суурилдаг Математик индукцийн зарчим, дараах байдлаар дүгнэсэн: мэдэгдэл нь ямар ч натурал n хувьд үнэн, хэрэв:

энэ нь n = 1-д хүчинтэй;

Зарим дурын натурал n =k -ийн хувьд мэдэгдлийн хүчинтэй байдлаас үзэхэд энэ нь n = k +1-ийн хувьд үнэн болно.

Баталгаа.

Үүний эсрэгээр, өөрөөр хэлбэл байгалийн n бүрийн хувьд уг мэдэгдэл үнэн байх ёсгүй гэж үзье. Тэгвэл тийм натурал m тоо байна

n =m-ийн мэдэгдэл үнэн биш,

бүхний төлөө n

n =1 (нөхцөл 1)-ийн хувьд баталгаа үнэн тул m >1 гэдэг нь ойлгомжтой. Тиймээс m -1 нь натурал тоо юм. m -1 натурал тооны хувьд мэдэгдэл үнэн, харин дараагийн натурал тоо m хувьд энэ нь үнэн биш юм. Энэ нь 2-р нөхцөлтэй зөрчилдөж байна. Үүссэн зөрчил нь таамаглал буруу болохыг харуулж байна. Иймээс аливаа натурал n, h.e.d-ийн хувьд баталгаа үнэн юм.

Математик индукцийн зарчимд үндэслэсэн нотолгоог математик индукцийн аргаар нотлох баримт гэнэ. Ийм нотолгоо нь бие даасан хоёр теоремыг батлах хоёр хэсгээс бүрдэх ёстой.

Теорем 1. Энэ мэдэгдэл нь n =1-ийн хувьд үнэн юм.

Теорем 2. Хэрэв n=k хувьд үнэн бол n =k +1-ийн хувьд уг мэдэгдэл үнэн бөгөөд k нь дурын натурал тоо юм.

Хэрэв эдгээр теорем хоёулаа батлагдсан бол математик индукцийн зарчимд үндэслэн мэдэгдэл нь аль ч тохиолдолд үнэн болно.
байгалийн n .

Математикийн индукцийн нотолгоо нь 1 ба 2-р теоремуудын аль алиных нь нотолгоог шаарддаг гэдгийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй. Теорем 2-ыг үл тоомсорлох нь буруу дүгнэлтэд хүргэдэг (жишээ 1-2). Теорем 1-ийн нотолгоо ямар хэрэгтэйг жишээгээр харуулъя.

Жишээ 3. "Теорем": натурал тоо бүр түүнийг дагаж байгаа натурал тоотой тэнцүү байна.

Баталгаажуулалтыг математик индукцийн аргаар гүйцэтгэнэ.

k =k +1 (1) гэж бодъё.

k +1=k +2 (2) гэдгийг баталцгаая. Үүнийг хийхийн тулд "тэгш байдал" (1) -ийн хэсэг бүр дээр 1-ийг нэмнэ.Бид "тэгш байдал" (2) авна. Хэрэв n =k-ийн хувьд уг мэдэгдэл үнэн бол n =k +1. гэх мэтийн хувьд ч үнэн болох нь харагдаж байна.

"Теорем"-оос тодорхой "үр дагавар": бүх натурал тоо тэнцүү байна.

Математик индукцийн зарчмыг хэрэгжүүлэхэд шаардлагатай теорем 1 батлагдаагүй, үнэн биш, харин зөвхөн хоёр дахь теорем батлагдсанд алдаа байгаа юм.

1 ба 2-р теоремууд онцгой ач холбогдолтой.

Теорем 1 нь индукцийн суурийг бий болгодог. 2-р теорем нь энэ суурийг хязгааргүй автоматаар өргөтгөх, энэ тодорхой тохиолдлоос дараагийн тохиолдол руу шилжих, n-ээс n + 1 хүртэл шилжих эрхийг өгдөг.

Хэрэв 1-р теорем нотлогдоогүй, харин теорем 2-ыг баталсан бол индукцийн үндэс үүсээгүй тул 2-р теоремыг хэрэглэх нь утгагүй болно, учир нь үнэндээ өргөжүүлэх зүйл байхгүй.

Хэрэв теорем 2 нотлогдоогүй бөгөөд зөвхөн 1-р теорем батлагдсан бол индукцийг явуулах суурь бий болсон ч энэ суурийг өргөтгөх эрх байхгүй болно.

Тайлбар.

Заримдаа нотлох баримтын хоёр дахь хэсэг нь зөвхөн n =k төдийгүй n =k -1-ийн хувьд мэдэгдлийн хүчинтэй байдалд тулгуурладаг. Энэ тохиолдолд эхний хэсэгт байгаа мэдэгдлийг n-ийн дараагийн хоёр утгыг шалгах шаардлагатай.

Заримдаа уг мэдэгдлийг аль нэг натурал n-д биш, харин n > m-ийн хувьд нотолсон байдаг бөгөөд энд m нь бүхэл тоо юм. Энэ тохиолдолд нотлох баримтын эхний хэсэгт нотолгоог n = m +1, шаардлагатай бол n-ийн хэд хэдэн дараагийн утгуудын хувьд баталгаажуулна.

Хэлсэн зүйлийг нэгтгэн дүгнэж хэлэхэд, математикийн индукцийн арга нь ерөнхий хуулийг хайж олоход энэ тохиолдолд үүссэн таамаглалыг шалгаж, худал таамаглалыг хаяж, үнэнийг батлах боломжийг олгодог.

Эмпирик, туршилтын шинжлэх ухааны хувьд бие даасан ажиглалт, туршилтын үр дүнг нэгтгэх (жишээ нь индукц) үйл явцын үүргийг хүн бүр мэддэг. Нөгөөтэйгүүр, математик нь бүх математикийн саналууд (анхдагч гэж хүлээн зөвшөөрөгдсөн аксиомуудаас бусад) нотлогддог, тодорхой хэрэглээ байдаг гэж үргэлж тодорхой эсвэл далд байдлаар үздэг тул математик нь цэвэр дедуктив аргуудыг хэрэгжүүлэх сонгодог жишээ гэж эртнээс үзэж ирсэн. Эдгээр саналуудын ерөнхий хэрэг (хасах)-д тохирсон нотлох баримтаас гаргаж авсан болно.

Математикт индукц гэж юу гэсэн үг вэ? Энэ нь тийм ч найдвартай биш арга гэж ойлгох ёстой юу, ийм индуктив аргуудын найдвартай байдлын шалгуурыг хэрхэн хайх вэ? Эсвэл туршилтын шинжлэх ухааны туршилтын ерөнхий дүгнэлттэй ижил шинж чанартай математикийн дүгнэлтийн баталгаа нь ямар ч батлагдсан баримтыг "баталгаажуулах" нь муу зүйл биш гэж үү? Бодит байдал дээр энэ нь тийм биш юм.

Таамаглалын талаархи индукц (удирдамж) нь математикт маш чухал боловч цэвэр эвристик үүрэг гүйцэтгэдэг: энэ нь ямар шийдэл байх ёстойг таах боломжийг олгодог. Гэхдээ математикийн саналуудыг зөвхөн дедуктив байдлаар тогтоодог. Мөн математикийн индукцийн арга нь нотлох цэвэр дедуктив арга юм. Үнэн хэрэгтээ энэ аргаар хийсэн нотолгоо нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ.

"үндсэн" гэж нэрлэгддэг - нэг (эсвэл хэд хэдэн) натурал тоогоор хүссэн өгүүлбэрийн дедуктив нотолгоо;

ерөнхий мэдэгдлийн дедуктив нотолгооноос бүрдэх индуктив алхам. Теорем нь бүх натурал тоонуудын хувьд нарийн батлагдсан. Жишээлбэл, 0 тооны хувьд нотлогдсон үндэслэлээс бид индукцийн алхамаар 1-ийн тооны нотолгоо, дараа нь 2, 3 гэсэн нотолгоог олж авдаг ... дурын натурал тоо.

Өөрөөр хэлбэл, "математик индукц" гэсэн нэр нь энэ арга нь бидний оюун санаанд уламжлалт индуктив үндэслэлтэй холбоотой байдагтай холбоотой (эцсийн эцэст үндэс нь зөвхөн тодорхой тохиолдолд нотлогддог); Индуктив алхам нь байгалийн болон нийгмийн шинжлэх ухааны туршлагад үндэслэсэн индуктив үндэслэлийн үнэмшилтэй байдлын шалгуураас ялгаатай нь ямар нэгэн тодорхой үндэслэл шаарддаггүй ерөнхий мэдэгдэл бөгөөд дедуктив үндэслэлийн хатуу хууль тогтоомжийн дагуу нотлогддог. Тиймээс математикийн индукц нь дедуктив, бүрэн найдвартай нотлох арга тул "бүрэн" эсвэл "төгс" гэж нэрлэдэг.

Асуудлын шийдлүүдийн жишээ

Алгебр дахь индукц

Математикийн индукцийн аргыг ашиглан шийдэж болох янз бүрийн тэгш бус байдлын нотолгоо, алгебрийн асуудлын хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Даалгавар 1. Нийлбэрийн томъёог тааж, батал.

ГЭХДЭЭ( n )= 2  1 2 + 3 2 2 + …..+(n +1) n 2 .

Шийдэл.

1. А(n) нийлбэрийн илэрхийллийг хувиргая:

A(n)= 2  1 2 + 3  2 2 + ….+ (n+1) n 2 = (1+1) 1 2 + (2+1) 2 2 + …. + (n+1) n 2 = =1  1 2 + 2  2 2 + …+n  n 2 + 1 2 + 2 2 +… +n 2 =1 3 + 2 3 +… +n 3 +1 2 + 2 2 +… +n 2 = В(n) + C(n), энд B(n) = 1 3 + 2 3 + …..+ n 3 , C(n)= 1 2 + 2 2 + …+ n 2.

2. C (n) ба B (n) нийлбэрүүдийг авч үзье.

a) C( n ) = 1 2 + 2 2 +…+ n 2 . Математик индукцийн аргын талаар байнга тулгардаг асуудлуудын нэг бол аливаа байгалийн n -ийн хувьд тэгш байдал гэдгийг батлах явдал юм.

1 2 + 2 2 +…+ n 2 = (1)

Бүх n-ийн хувьд (1) үнэн гэж үзье  Н.

б ) B(n) = 1 3 + 2 3 + …..+ n 3 . B (n) -ийн утгууд n-ээс хамаарч хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг ажиглацгаая.

B(1) = 1 3 = 1 .

B(2) = 1 3 + 2 3 = 9 = 3 2 = (1 + 2) 2

B(3) = 1 3 + 2 3 + 3 3 = 36 =

Тиймээс ийм гэж таамаглаж болно
B (n) = (1 + 2 + ….+ n) 2 =
(2)

в) Үүний үр дүнд бид А(n) нийлбэрийг авна

ГЭХДЭЭ( n ) ==

= (*)

3. Олж авсан томъёог (*) математик индукцийн аргаар баталъя.

a) n = 1-ийн тэгш байдлыг (*) шалгана уу.

A(1) = 2  =2,

n = 1-ийн хувьд (*) томьёо үнэн байх нь ойлгомжтой.

б) n=k-ийн хувьд (*) томьёо үнэн гэж бодъё, энд k N, өөрөөр хэлбэл тэгш байдал

A(k)=

Таамаглал дээр үндэслэн бид n =k +1 томъёоны үнэн зөвийг батлах болно. Үнэхээр,

A(k+1)=

(*) томьёо нь n =1-ийн хувьд үнэн бөгөөд зарим байгалийн k-ийн хувьд энэ нь үнэн гэсэн таамаглалаас үзэхэд n =k +1-ийн хувьд энэ нь үнэн гэсэн дүгнэлтэд хүрч, математик индукцийн зарчимд үндэслэн бид дараах дүгнэлтийг хийж байна. тэгш байдал

ямар ч натурал n -д тохирно.

Даалгавар 2.

1-2 + 3-4 +…(-1) n -1 n нийлбэрийг тооцоол.

Шийдэл.

n-ийн өөр өөр утгуудын нийлбэрүүдийн утгыг дараалан бичье.

A(1)=1, A(2)=1-2= -1, A(3)=1-2+3=2, A(4)=1-2+3-4= -2,

A(5)=1-2+3-4+5=3, A(6)=1-2+3-4+5-6= -3.

Загварыг ажигласнаар бид A (n)= - тэгш n ба A (n)= гэж үзэж болно.
сондгой n. Хоёр үр дүнг нэгтгэж нэг томьёо болгоё:

A(n) =
, энд r нь n-ийг 2-т хуваахад үлдсэн хэсэг юм.

Тэгээд r , дараах дүрмээр тодорхойлогддог нь ойлгомжтой

0 бол n нь тэгш,

r=

1 бол n нь сондгой.

Дараа нь r(тааж болно) дараах байдлаар төлөөлж болно.

Эцэст нь бид A (n) томъёог авна.

A(n)=

(*)

Бүх n-ийн тэгш байдлыг (*) баталъя  Н Математик индукцийн арга.

2. a) n =1-ийн тэгш байдлыг (*) шалгана уу. A(1) = 1=

Тэгш байх нь шударга

б) Тэгш байдал гэж бодъё

1-2+3-4+…+(-1) n-1 n=

үнэн цагт n=k. Энэ нь n =k + 1-д бас хүчинтэй гэдгийг баталцгаая, өөрөөр хэлбэл.

A(k+1)=

Үнэхээр,

A(k+1)=A(k)+(-1) k (k+1) =

=

Q.E.D.

Математикийн индукцийн аргыг мөн хуваагдах асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

Даалгавар 3.

Аливаа натурал n тоонд N (n)=n 3 + 5n тоо 6-д хуваагддаг болохыг батал.

Баталгаа.

At n =1 тоо N (1)=6 тул мэдэгдэл үнэн болно.

Зарим натурал k-д N (k )=k 3 +5k тоо 6-д хуваагддаг байя.N (k +1)= (k +1) 3 + 5(k +1) 6-д хуваагддаг болохыг баталъя. Үнэхээр бидэнд байгаа
N (k +1)= (k +1) 3 + 5(k +1)=(k 3 +5k )+3k (k +1)+6.

Учир нь k ба k +1 нь зэргэлдээ натурал тоонууд бөгөөд тэдгээрийн аль нэг нь заавал тэгш байх тул 3k (k +1) илэрхийлэл нь 6-д хуваагдана. Тиймээс бид N (k +1) нь 6-д хуваагдах боломжтой болно. Гаралт N (n)=n 3 + 5n тоо нь дурын натурал n-д 6-д хуваагдана.

Бүрэн математикийн индукцийн аргыг хэд хэдэн удаа ашиглах шаардлагатай бол илүү төвөгтэй хуваагдах асуудлын шийдлийг авч үзье.

Даалгавар 4.

Аль ч натурал n тооны хувьд үүнийг батал
2 n +3 -т ч хуваагддаггүй.

Баталгаа.

Төсөөлөөд үз дээ
бүтээл хэлбэрээр
=

= (*)

Таамаглалаар (*) эхний хүчин зүйл нь 2 k +3 тоонд жигд хуваагддаггүй, өөрөөр хэлбэл нийлмэл тоог илэрхийлэхэд.
анхны тоонуудын үржвэрийн хэлбэрээр 2-ын тоог (k + 2) дахин давтана. Тиймээс энэ тоог батлахын тулд
2 k +4 -д хуваагддаггүй тул бид үүнийг батлах ёстой
4-т хуваагддаггүй.

Энэ батламжийг батлахын тулд бид туслах баталгааг нотолж байна: ямар ч натурал n-ийн хувьд 3 2 n +1 тоо 4-т хуваагддаггүй. n =1-ийн хувьд 10 нь 4-т үлдэгдэлгүйгээр хуваагддаггүй тул баталгаа нь ойлгомжтой. 3 2 k +1 нь 4-т хуваагддаггүй гэж үзвэл 3 2(k +1) +1 ч хуваагддаггүйг баталж байна.
4. Сүүлийн илэрхийллийг нийлбэрээр илэрхийлье.

3 2(k+1) +1=3 2к+2 +1=3 2к * 9+1=(3 2к +1)+8 * 3 2к . Нийлбэрийн хоёр дахь гишүүн нь 4-т хуваагддаг боловч эхнийх нь хуваагддаггүй. Тиймээс бүхэл нийлбэр нь үлдэгдэлгүйгээр 4-т хуваагддаггүй. Туслах баталгаа нь батлагдсан.

Одоо энэ нь тодорхой боллоо
2к нь тэгш тоо учраас 4-т хуваагддаггүй.

Эцэст нь бид энэ тоог авдаг
ямар ч натурал n-д 2 n +3-т жигд хуваагддаггүй.

Тэгш бус байдлын нотолгоонд индукц хэрэглэх жишээг одоо авч үзье.

Даалгавар 5.

Аль байгалийн n-д 2 n > 2n + 1 тэгш бус байдал үнэн байх вэ?

Шийдэл.

1. Хэзээ n=1 2 1< 2*1+1,

цагт n=2 2 2< 2*2+1,

цагт n =3 2 3 > 2*3+1,

цагт n =4 2 4 > 2*4+1.

Тэгш бус байдал нь ямар ч натурал n-д хүчинтэй байх шиг байна  3. Энэ мэдэгдлийг баталъя.

2. Хэзээ n =3 тэгш бус байдлын үнэн зөвийг аль хэдийн харуулсан. Одоо n =k хувьд тэгш бус байдал хүчинтэй байг, энд k нь 3-аас багагүй натурал тоо, өөрөөр хэлбэл.

2 k > 2k+1 (*)

Тэгвэл тэгш бус байдал нь n =k +1, өөрөөр хэлбэл 2 k +1 >2(k +1)+1-д мөн хүчинтэй болохыг баталъя. (*) -ийг 2-оор үржүүлбэл 2 k +1 >4k +2 болно. 2(k +1)+1 ба 4k +2 илэрхийллүүдийг харьцуулж үзье.

4k+2-(2(k+1)+1)=2к-1. Мэдээжийн хэрэг, аливаа байгалийн k хувьд 2k -1>0. Дараа нь 4k +2>2(k +1)+1, өөрөөр хэлбэл. 2к+1 >2(k+1)+1. Энэхүү мэдэгдэл нь батлагдсан.

Даалгавар 6.

n сөрөг бус тооны арифметик дундаж ба геометрийн дундажийн тэгш бус байдал (Кошигийн тэгш бус байдал)., бид = авна

Хэрэв тоонуудын дор хаяж нэг нь байвал
тэгтэй тэнцүү бол тэгш бус байдал (**) мөн хүчинтэй байна.

Дүгнэлт.

Ажлыг хийхдээ математикийн индукцийн аргын мөн чанар, түүний баталгааг судалсан. Энэхүү баримт бичигт бүрэн бус индукц чухал үүрэг гүйцэтгэсэн асуудлуудыг зөв шийдэлд хүргэж, дараа нь математик индукцийн аргыг ашиглан олж авсан нотолгоог харуулсан болно.

Уран зохиол.

Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабурин М.И. Анхан шатны математикийн лекц, бодлого; Шинжлэх ухаан, 1974.

Виленкин Н.Я. , Шварцбурд С.И. Математик шинжилгээ.-
М.: Боловсрол, 1973 он.

Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Алгебр, математикийн шинжилгээний хичээлийг гүнзгийрүүлэн судлах. - М .: Боловсрол, 1990.

Потапов М.К., Александров В.В., Пасиченко П.И. Алгебр ба энгийн функцүүдийн шинжилгээ.- М.: Наука, 1980.

Соминский И.С., Головина М.Л., Яглом И.М. Математик индукцийн тухай. - М.: Наука, 1967.

Бүх цаг үеийн жинхэнэ мэдлэг нь тодорхой нөхцөл байдалд хэв маягийг тогтоож, түүний үнэн зөвийг нотлоход суурилдаг байв. Логик үндэслэл оршин тогтносон ийм урт хугацааны туршид дүрмийн томъёоллыг өгсөн бөгөөд Аристотель "зөв үндэслэл" -ийн жагсаалтыг хүртэл эмхэтгэсэн. Түүхийн хувьд бүх дүгнэлтийг бетоноос олон тоо (индукц) ба эсрэгээр (дедукц) гэсэн хоёр төрөлд хуваадаг заншилтай байдаг. Нотлох баримтын төрлүүд тодорхойоос ерөнхий рүү, ерөнхийөөс тодорхой руу чиглэсэн зөвхөн харилцан уялдаа холбоотой байдаг бөгөөд тэдгээрийг сольж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Математик дахь индукц

"Индукц" (индукц) гэсэн нэр томъёо нь латин үндэстэй бөгөөд шууд утгаараа "удирдамж" гэж орчуулагддаг. Нарийн судалсны дараа үгийн бүтцийг ялгаж болно, тухайлбал латин угтвар - in- (дотогшоо чиглэсэн үйлдэл эсвэл дотор байгааг илэрхийлдэг) ба -дукц - танилцуулга. Бүрэн ба бүрэн бус индукц гэсэн хоёр төрөл байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Бүрэн хэлбэр нь тодорхой ангийн бүх сэдвийг судалсны үр дүнд гаргасан дүгнэлтээр тодорхойлогддог.

Бүрэн бус - дүгнэлт нь ангийн бүх хичээлд хамаарах боловч зөвхөн зарим нэгжийг судалсны үндсэн дээр хийсэн.

Математикийн бүрэн индукц гэдэг нь энэхүү функциональ холболтын талаархи мэдлэг дээр үндэслэн байгалийн тоон цувралын харьцаагаар функциональ хамааралтай аливаа объектын бүх ангийн талаархи ерөнхий дүгнэлтэд үндэслэсэн дүгнэлт юм. Энэ тохиолдолд нотлох үйл явц гурван үе шаттайгаар явагдана.

• эхний шатанд математикийн индукцийн мэдэгдлийн зөвийг нотолсон. Жишээ нь: f = 1, индукц;
• дараагийн шат нь бүх натурал тоонуудын хувьд байрлал хүчинтэй гэсэн таамаглал дээр суурилдаг. Өөрөөр хэлбэл, f=h, энэ нь индуктив таамаглал юм;
• Гурав дахь шатанд өмнөх догол мөрийн байрлалын зөв байдалд үндэслэн f=h+1 тооны байрлалын үнэн зөвийг нотолсон - энэ нь индукцийн шилжилт буюу математик индукцийн алхам юм. Үүний жишээ бол эгнээний эхний яс унасан (үндсэн), дараа нь эгнээний бүх яс унадаг (шилжилт) гэж нэрлэгддэг.

Хошигносон ч, нухацтай ч

Ойлголтыг хөнгөвчлөхийн тулд математикийн индукцийн аргаар шийдлийн жишээг хошигнол хэлбэрээр буруутгадаг. Энэ бол эелдэг дарааллын даалгавар юм:

• Ёс зүйн дүрэм нь эрэгтэй хүн эмэгтэй хүний ​​өмнө ээлжлэн явахыг хориглодог (ийм нөхцөлд түүнийг урд нь оруулдаг). Энэ мэдэгдлээс үзэхэд хамгийн сүүлд эрэгтэй хүн байвал бусад нь эрэгтэй байна.

Математик индукцийн аргын тод жишээ бол "Хэмжээгүй нислэг" гэсэн асуудал юм.

• Микроавтобусанд хэдэн ч хүн багтах ёстойг нотлох шаардлагатай. Тээвэрт нэг хүн ямар ч хүндрэлгүйгээр багтах нь үнэн (үндсэн). Гэхдээ микроавтобус хичнээн дүүрэн байсан ч 1 зорчигч үргэлж багтах болно (индукцийн алхам).

танил хүрээлэл

Бодлого, тэгшитгэлийг математик индукцийн аргаар шийдвэрлэх жишээнүүд нэлээд түгээмэл байдаг. Энэ аргын жишээ болгон бид дараах асуудлыг авч үзэж болно.

Нөхцөл байдал: h тойрог хавтгай дээр байрлуулсан байна. Дүрсүүдийн аль ч зохицуулалтын хувьд тэдгээрийн үүсгэсэн газрын зургийг хоёр өнгөөр ​​зөв будаж болохыг батлах шаардлагатай.

Шийдэл: h=1-ийн хувьд уг мэдэгдлийн үнэн нь тодорхой тул h+1 тойргийн тоогоор нотлох баримтыг байгуулна.

Энэ мэдэгдэл нь ямар ч газрын зургийн хувьд үнэн бөгөөд хавтгай дээр h + 1 тойрог өгөгдсөн гэж үзье. Нийт тойргийн аль нэгийг хасснаар та хоёр өнгөөр ​​(хар, цагаан) зөв будсан газрын зургийг авах боломжтой.

Устгасан тойргийг сэргээх үед хэсэг бүрийн өнгө эсрэгээр өөрчлөгдөнө (энэ тохиолдолд тойрог дотор). Энэ нь нотлох шаардлагатай хоёр өнгөөр ​​зөв будагдсан газрын зураг болж хувирав.

Натурал тоо бүхий жишээнүүд

Математик индукцийн аргын хэрэглээг доор тодорхой харуулав.

Шийдлийн жишээ:

Аль ч h-ийн хувьд тэгш байдал зөв болохыг батал.

1 2 +2 2 +3 2 +…+ц 2 =ц(ц+1)(2ц+1)/6.

1. h=1 гэж үзвэл:

R 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

Үүнээс үзэхэд h=1-ийн хувьд уг мэдэгдэл зөв байна.

2. h=d гэж үзвэл дараах тэгшитгэл гарна.

R 1 \u003d d 2 \u003d d (d + 1) (2d + 1) / 6 \u003d 1

3. h=d+1 гэж үзвэл:

R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

Ийнхүү h=d+1 тэгшитгэлийн үнэн зөв нь батлагдсан тул аливаа натурал тооны хувьд уг мэдэгдэл үнэн байх ба үүнийг шийдлийн жишээнд математикийн индукцээр харуулав.

Даалгавар

Нөхцөл байдал: h-ийн дурын утгын хувьд 7 h -1 илэрхийлэл 6-д үлдэгдэлгүй хуваагддаг болохыг батлах шаардлагатай.

Шийдэл:

1. Энэ тохиолдолд h=1 гэж үзье.

R 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 (жишээ нь 6-д үлдэгдэлгүйгээр хуваагдана)

Тиймээс h=1-ийн хувьд мэдэгдэл үнэн;

2. h=d ба 7 d -1 нь 6-д үлдэгдэлгүй хуваагдана;

3. h=d+1-ийн хувьд мэдэгдлийн хүчинтэй байдлын баталгаа нь дараах томьёо юм.

R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6

Энэ тохиолдолд эхний гишүүн нь эхний догол мөрийн таамаглалаар 6-д хуваагдах ба хоёр дахь гишүүн нь 6-тай тэнцүү байна.7 h -1 нь 6-д үлдэгдэлгүйгээр хуваагдана гэсэн үг нь аль ч натурал h-д хуваагдана.

Шүүлтийн төөрөгдөл

Ашигласан логик бүтцүүдийн буруугаас болж нотолгоонд буруу үндэслэлийг ихэвчлэн ашигладаг. Үндсэндээ энэ нь нотлох баримтын бүтэц, логикийг зөрчсөн тохиолдолд тохиолддог. Буруу үндэслэлийн жишээ бол дараах зураг юм.

Даалгавар

Нөхцөл байдал: аливаа овоолгын чулуу нь овоолго биш гэдгийг нотлох баримт шаарддаг.

Шийдэл:

1. h=1 гэж үзье, энэ тохиолдолд овоолгод 1 чулуу байгаа бөгөөд мэдэгдэл үнэн (үндсэн);

2. Чулууны овоолго нь овоо биш гэдгийг h=d хувьд үнэн гэж үзье (таамаглал);

3. h=d+1 гэж бодъё, үүнээс нэг чулуу нэмбэл олонлог овоо биш болно. Дүгнэлт нь таамаглал нь бүх байгалийн h-д хүчинтэй гэдгийг харуулж байна.

Алдаа нь овоо хэдэн чулуу үүсгэдэг талаар ямар ч тодорхойлолт байдаггүйд оршино. Математикийн индукцийн аргад ийм орхигдлыг яаран ерөнхийлөлт гэж нэрлэдэг. Жишээ нь үүнийг тодорхой харуулж байна.

Индукц ба логикийн хуулиуд

Түүхийн хувьд тэд үргэлж "гар гараасаа хөтлөлцөн алхдаг". Логик, философи зэрэг шинжлэх ухааны салбарууд тэдгээрийг эсрэг талын хэлбэрээр дүрсэлдэг.

Логикийн хуулийн үүднээс авч үзвэл индуктив тодорхойлолтууд нь баримт дээр тулгуурладаг бөгөөд байрны үнэн зөв байдал нь үр дүнгийн мэдэгдлийн үнэн зөвийг тодорхойлдоггүй. Ихэнхдээ дүгнэлтийг тодорхой магадлал, үнэмшилтэй байдлаар гаргаж авдаг бөгөөд энэ нь мэдээжийн хэрэг нэмэлт судалгаагаар баталгаажуулж, баталгаажуулах ёстой. Логик дахь индукцийн жишээ нь дараахь мэдэгдэл байж болно.

Эстонид ган гачиг, Латви ган, Литвад ган гачиг.

Эстони, Латви, Литва нь Балтийн орнууд юм. Балтийн бүх мужуудад ган гачиг.

Жишээлбэл, индукцийн аргыг ашиглан шинэ мэдээлэл эсвэл үнэнийг олж авах боломжгүй гэж бид дүгнэж болно. Тооцоож болох зүйл бол дүгнэлтийн үнэн зөв байх явдал юм. Түүнээс гадна байрны үнэн нь ижил дүгнэлтийг баталгаажуулдаггүй. Гэсэн хэдий ч энэ баримт нь индукцийн арын хашаанд ургамал ургадаг гэсэн үг биш юм: индукцийн аргыг ашиглан асар олон тооны заалт, шинжлэх ухааны хуулиудыг нотолсон болно. Математик, биологи болон бусад шинжлэх ухааныг жишээ болгож болно. Энэ нь үндсэндээ бүрэн индукцийн аргатай холбоотой боловч зарим тохиолдолд хэсэгчилсэн аргыг бас хэрэглэж болно.

Эрхэм хүндэт индукцийн нас нь хүний ​​​​үйл ажиллагааны бараг бүх салбарт нэвтрэх боломжийг олгосон - энэ бол шинжлэх ухаан, эдийн засаг, өдөр тутмын дүгнэлт юм.

Шинжлэх ухааны орчин дахь индукц

Индукцийн арга нь нягт нямбай хандлагыг шаарддаг, учир нь бүхэл бүтэн судлагдсан нарийн ширийн зүйлсийн тооноос хэт их зүйл хамаардаг: судлагдсан тоо их байх тусам үр дүн нь илүү найдвартай байх болно. Энэ шинж чанарт үндэслэн индукцийн аргаар олж авсан шинжлэх ухааны хуулиудыг бүх боломжит бүтцийн элементүүд, холбоо, нөлөөллийг тусгаарлах, судлахын тулд магадлалын таамаглалын түвшинд хангалттай урт хугацаанд туршина.

Шинжлэх ухаанд индуктив дүгнэлт нь санамсаргүй заалтуудыг эс тооцвол чухал шинж чанарууд дээр суурилдаг. Энэ баримт нь шинжлэх ухааны мэдлэгийн онцлогтой холбоотой чухал ач холбогдолтой юм. Энэ нь шинжлэх ухаан дахь индукцийн жишээнүүдээс тодорхой харагдаж байна.

Шинжлэх ухааны ертөнцөд индукцийн хоёр төрөл байдаг (судлах аргатай холбоотой):

1. индукц-сонгомол (эсвэл сонголт);
2. индукц - хасах (арилгах).

Эхний төрөл нь анги (дэд ангиуд) өөр өөр бүс нутгаас арга зүйн (шалгаж) түүвэрлэх замаар ялгагдана.

Энэ төрлийн индукцийн жишээ нь дараах байдалтай байна: мөнгө (эсвэл мөнгөний давс) нь усыг цэвэршүүлдэг. Дүгнэлт нь урт хугацааны ажиглалт (нэг төрлийн баталгаа, няцаалт - сонголт) дээр үндэслэсэн болно.

Хоёрдахь төрлийн индукц нь учир шалтгааны холбоог тогтоож, түүний шинж чанарт үл нийцэх нөхцөл байдлыг үгүйсгэсэн дүгнэлтэд суурилдаг, тухайлбал түгээмэл байдал, цаг хугацааны дарааллыг дагаж мөрдөх, зайлшгүй шаардлагатай байдал, хоёрдмол утгагүй байдал юм.

Философийн үүднээс индукц ба дедукц

Хэрэв та түүхийн ретроспективийг харвал "индукц" гэсэн нэр томъёог Сократ анх дурдсан байдаг. Аристотель философи дахь индукцийн жишээг илүү ойролцоо нэр томъёоны толь бичигт тодорхойлсон боловч бүрэн бус индукцийн тухай асуудал нээлттэй хэвээр байна. Аристотелийн силлогизмыг хавчуулсны дараа индуктив аргыг байгалийн шинжлэх ухаанд үр дүнтэй, цорын ганц боломжтой гэж хүлээн зөвшөөрч эхлэв. Бэконыг бие даасан тусгай аргын хувьд индукцийн эцэг гэж үздэг ч түүний үеийнхний шаардсанаар индукцийг дедуктив аргаас салгаж чадаагүй юм.

Индукцийн цаашдын хөгжлийг Ж.Милл гүйцэтгэсэн бөгөөд индукцийн онолыг тохироо, ялгаа, үлдэгдэл, харгалзах өөрчлөлт гэсэн дөрвөн үндсэн аргын үүднээс авч үзсэн. Өнөөдөр жагсаасан аргуудыг нарийвчлан авч үзэхэд дедуктив байдаг нь гайхах зүйл биш юм.

Бэкон, Милл хоёрын онолын зөрүүтэй байдлын талаарх мэдлэг нь эрдэмтдийг индукцийн магадлалын үндэслэлийг судлахад хүргэсэн. Гэсэн хэдий ч энд ч гэсэн зарим нэг туйлширсан зүйлүүд байсан: магадлалын онолын индукцийг бүх үр дагавраар нь багасгах оролдлого хийсэн.

Индукц нь индуктив суурийн хэмжүүрийн нарийвчлалын ачаар тодорхой сэдвийн хүрээнд практик хэрэглээнд итгэлийн санал авдаг. Философи дахь индукц ба дедукцийн жишээг бүх нийтийн таталцлын хууль гэж үзэж болно. Уг хуулийг нээсэн үед Ньютон үүнийг 4 хувийн нарийвчлалтайгаар шалгаж чадсан юм. Хоёр зуу гаруй жилийн дараа шалгах үед шалгалтыг ижил индуктив ерөнхий дүгнэлтээр хийсэн ч 0.0001 хувийн нарийвчлалтайгаар баталгаажуулсан.

Орчин үеийн философи нь дедукцид илүү анхаарал хандуулдаг бөгөөд энэ нь аль хэдийн мэдэгдэж байсан зүйлээс шинэ мэдлэг (эсвэл үнэн) олж авах, туршлага, зөн совингоо ашиглахгүйгээр, харин "цэвэр" үндэслэлийг ашиглах логик хүсэл эрмэлзлээс үүдэлтэй. Дедукцийн аргаар үнэн байрыг дурдахдаа бүх тохиолдолд гаралт нь үнэн мэдэгдэл юм.

Энэ маш чухал шинж чанар нь индуктив аргын үнэ цэнийг сүүдэрлэх ёсгүй. Туршлагын ололтод тулгуурласан индукц нь түүнийг боловсруулах хэрэгсэл (ерөнхийлөл, системчилэл орно) болдог.

Индукцийг эдийн засагт хэрэглэх

Индукц, дедукцийг эдийн засгийг судлах, түүний хөгжлийг урьдчилан таамаглах арга болгон эртнээс хэрэглэж ирсэн.

Индукцийн аргын хэрэглээний хүрээ нэлээд өргөн: урьдчилсан үзүүлэлтүүдийн биелэлтийг судлах (ашиг, элэгдэл гэх мэт), аж ахуйн нэгжийн төлөв байдлын ерөнхий үнэлгээ; баримт, тэдгээрийн харилцаанд тулгуурлан аж ахуйн нэгжийг дэмжих үр дүнтэй бодлогыг бий болгох.

Индукцийн ижил аргыг Shewhart-ийн диаграммд ашигладаг бөгөөд процессыг хяналттай ба удирддаггүй гэж хуваадаг гэж үзвэл хяналттай процессын хүрээ идэвхгүй байна гэж заасан байдаг.

Шинжлэх ухааны хуулиудыг индукцийн аргыг ашиглан зөвтгөж, баталгаажуулдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй бөгөөд эдийн засаг нь математик анализ, эрсдэлийн онол, статистикийн өгөгдлийг ихэвчлэн ашигладаг шинжлэх ухаан учраас индукцийг үндсэн аргуудын жагсаалтад оруулсан нь гайхах зүйл биш юм.

Дараах нөхцөл байдал нь эдийн засгийн индукц ба дедукцийн жишээ болж болно. Хүнсний үнэ (хэрэглээний сагснаас) болон зайлшгүй шаардлагатай бараа бүтээгдэхүүний үнийн өсөлт нь хэрэглэгчийг мужид шинээр гарч ирж буй өндөр зардлын талаар бодоход хүргэдэг (индукц). Үүний зэрэгцээ, өндөр өртөгтэй байдлаас шалтгаалан математикийн аргыг ашиглан хувь хүний ​​​​бараа эсвэл барааны ангиллын үнийн өсөлтийн үзүүлэлтийг (хасах) гаргаж авах боломжтой.

Ихэнхдээ удирдлагын ажилтнууд, менежерүүд, эдийн засагчид индукцийн аргад ханддаг. Аж ахуйн нэгжийн хөгжил, зах зээлийн зан байдал, өрсөлдөөний үр дагаврыг хангалттай үнэн зөвөөр урьдчилан таамаглахын тулд мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх, боловсруулахад индуктив-дедуктив хандлага шаардлагатай.

Худал дүгнэлтийг иш татсан эдийн засаг дахь индукцийн жишээг дурдвал:

• компанийн ашиг 30% -иар буурсан;
  өрсөлдөгч нь бүтээгдэхүүнийхээ хүрээг өргөжүүлсэн;
  өөр юу ч өөрчлөгдөөгүй;
• өрсөлдөгч компанийн үйлдвэрлэлийн бодлого нь ашгийг 30% бууруулахад хүргэсэн;
• тиймээс нэг үйлдвэрлэлийн бодлого явуулах хэрэгтэй.

Энэ жишээ нь индукцийн аргыг зохисгүй ашиглах нь аж ахуйн нэгжийг сүйрүүлэхэд хэрхэн нөлөөлж байгааг харуулсан өнгөлөг жишээ юм.

Сэтгэл судлалын дедукц ба индукц

Арга байдаг учраас логикийн хувьд зөв зохион байгуулалттай сэтгэлгээ (аргыг ашиглах) бас байдаг. Сэтгэл судлал нь сэтгэцийн үйл явц, тэдгээрийн үүсэх, хөгжил, харилцаа холбоо, харилцан үйлчлэлийг судалдаг шинжлэх ухаан болохын хувьд дедукц, индукцийн илрэлийн нэг хэлбэр болох "дедуктив" сэтгэлгээг анхаарч үздэг. Харамсалтай нь интернет дэх сэтгэл судлалын хуудсууд дээр дедуктив-индуктив аргын бүрэн бүтэн байдлыг зөвтгөх үндэслэл бараг байдаггүй. Хэдийгээр мэргэжлийн сэтгэл судлаачид индукцийн илрэл, эс тэгвээс алдаатай дүгнэлттэй тулгарах магадлал өндөр байдаг.

Сэтгэл судлал дахь индукцийн жишээ бол алдаатай дүгнэлтийн жишээ болгон "Миний ээж бол хууран мэхлэгч, тиймээс бүх эмэгтэйчүүд хууран мэхлэгч" гэсэн үг юм. Амьдралаас индукцийн илүү "алдаатай" жишээнүүд байдаг:

• Математикийн хичээлд тэнцсэн оюутан юу ч хийх чадваргүй;
• тэр бол тэнэг;
• тэр ухаалаг;
• Би бүгдийг хийж чадна;

Санамсаргүй, заримдаа ач холбогдолгүй мессеж дээр үндэслэсэн бусад олон үнэлэмжийн дүгнэлтүүд.

Энд тэмдэглэх нь зүйтэй: хүний ​​дүгнэлтийн төөрөгдөл нь утгагүй байдалд хүрэх үед сэтгэл засалчдад ажлын урд гарч ирдэг. Мэргэжилтнээр томилох нэг жишээ:

"Өвчтөн улаан өнгө нь аливаа илрэлийн хувьд зөвхөн аюул дагуулдаг гэдэгт бүрэн итгэлтэй байна. Үүний үр дүнд хүн энэ өнгөний схемийг амьдралаас нь аль болох хассан. Гэрийн орчинд тав тухтай амьдрах олон боломж бий. Та улаан өнгийн бүх зүйлээс татгалзаж эсвэл өөр өнгөт схемээр хийсэн аналогоор сольж болно. Гэхдээ олон нийтийн газар, ажил дээрээ, дэлгүүрт - энэ нь боломжгүй юм. Стресстэй нөхцөл байдалд орохдоо өвчтөн өөр өөр сэтгэл хөдлөлийн "түрлэг" -ийг мэдэрдэг бөгөөд энэ нь бусдад аюултай байж болно.

Индукцийн энэхүү жишээг ухамсаргүйгээр "тогтмол санаа" гэж нэрлэдэг. Хэрэв энэ нь сэтгэцийн хувьд эрүүл хүнд тохиолдвол сэтгэцийн үйл ажиллагааны зохион байгуулалт хангалтгүй байгаа тухай ярьж болно. Дедуктив сэтгэлгээний анхан шатны хөгжил нь хийсвэр байдлаас ангижрах арга зам болж чадна. Бусад тохиолдолд сэтгэцийн эмч нар ийм өвчтөнүүдтэй ажилладаг.

Индукцийн дээрх жишээнүүд нь "хуулийг үл тоомсорлох нь үр дагавраас (алдаатай шүүлтээс) чөлөөлөгдөхгүй" гэдгийг харуулж байна.

Дедуктив сэтгэлгээний сэдвээр ажиллаж буй сэтгэл судлаачид хүмүүст энэ аргыг эзэмшихэд нь туслах зорилготой зөвлөмжийн жагсаалтыг гаргажээ.

Эхний алхам бол асуудлыг шийдэх явдал юм. Эндээс харахад математикт хэрэглэгддэг индукцийн хэлбэрийг "сонгодог" гэж үзэж болох бөгөөд энэ аргыг ашиглах нь оюун ухааны "сахилга бат"-д хувь нэмэр оруулдаг.

Дедуктив сэтгэлгээг хөгжүүлэх дараагийн нөхцөл бол алсын харааг тэлэх явдал юм (тодорхой сэтгэдэг, тодорхой хэлдэг хүмүүс). Энэхүү зөвлөмж нь "зовлон" -ыг шинжлэх ухаан, мэдээллийн санд (номын сан, вэбсайт, боловсролын санаачлага, аялал гэх мэт) чиглүүлдэг.

"Сэтгэл зүйн индукц" гэж нэрлэгддэг зүйлийг тусад нь дурдах хэрэгтэй. Энэ нэр томъёог хааяа ч гэсэн интернетээс олж болно. Бүх эх сурвалжид энэ нэр томъёоны товч тодорхойлолтыг өгдөггүй, харин "амьдралаас авсан жишээнүүд" -ийг иш татдаг бөгөөд санал, сэтгэцийн эмгэгийн зарим хэлбэр, эсвэл хүний ​​сэтгэцийн эрс тэс байдлын аль нэгийг индукцийн шинэ хэлбэр болгон танилцуулдаг. Дээр дурдсан бүхнээс харахад худал (ихэвчлэн худал) байр сууринд тулгуурлан "шинэ нэр томъёо" гаргах оролдлого нь туршилт хийгчийг алдаатай (эсвэл яаран) мэдэгдлийг хүлээн авахад хүргэдэг нь тодорхой байна.

1960 оны туршилтуудын тухай лавлагаа (туршилт хийх газар, туршилтын оролцогчдын нэр, субъектуудын түүвэр, хамгийн чухал нь туршилтын зорилгыг заагаагүй) нь зөөлөн, үнэмшилгүй, мэдэгдэл харагдаж байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тархи нь бүх мэдрэхүйн эрхтнүүдийг тойрон мэдээллийг хүлээн авдаг (энэ тохиолдолд "туршлагатай" гэсэн хэллэг илүү органик байдлаар багтах болно) нь мэдэгдлийн зохиогчийн итгэл үнэмшил, шүүмжлэлтэй байдлын талаар бодоход хүргэдэг.

Дүгнэлтийн оронд

Шинжлэх ухааны хатан хаан - математик нь индукц ба дедукцийн аргын бүх боломжит нөөцийг дэмий хоосон ашигладаг. Үзсэн жишээнүүд нь хамгийн үнэн зөв, найдвартай аргуудыг өнгөцхөн, чадваргүй (тэдний хэлснээр бодолгүй) хэрэглэх нь үргэлж алдаатай үр дүнд хүргэдэг гэж дүгнэх боломжийг бидэнд олгодог.

Олон нийтийн ухамсарт дедукцийн арга нь алдартай Шерлок Холмстой холбоотой бөгөөд тэрээр логик бүтэцдээ шаардлагатай нөхцөл байдалд дедукцийг ашигладаг индукцийн жишээг ихэвчлэн ашигладаг.

Энэхүү нийтлэлд эдгээр аргыг хүний ​​​​амьдралын янз бүрийн шинжлэх ухаан, салбарт ашиглах жишээг авч үзсэн.

Пеаногийн 4-р аксиом дээр үндэслэсэн нотлох аргыг математикийн олон шинж чанар, янз бүрийн мэдэгдлийг батлахад ашигладаг. Үүний үндэс нь дараах теорем юм.

Теорем. Хэрэв мэдэгдэл бол ГЭХДЭЭ(n)байгалийн хувьсагчтай nхувьд үнэн n= 1 ба энэ нь үнэн гэдгийг баримтаас n=k, энэ нь дараагийн тоонд мөн адил байна гэсэн үг n=k,дараа нь мэдэгдэл ГЭХДЭЭ(n) n.

Баталгаа. -ээр тэмдэглээрэй МЭдгээр болон зөвхөн эдгээр натурал тоонуудын багц ГЭХДЭЭ(n)үнэн. Дараа нь теоремын нөхцлөөс бид: 1) 1 М; 2) к МкМ. Тиймээс 4-р аксиомын үндсэн дээр бид ингэж дүгнэж байна М =Н, өөрөөр хэлбэл мэдэгдэл ГЭХДЭЭ(n)ямар ч байгалийн хувьд үнэн n.

Энэ теорем дээр үндэслэсэн нотлох аргыг гэнэ Математик индукцийн арга,ба аксиом нь индукцийн аксиом юм. Энэхүү баталгаа нь хоёр хэсэгтэй:

1) мэдэгдлийг нотлох ГЭХДЭЭ(n)хувьд үнэн n= A(1);

2) мэдэгдэл гэж үзье ГЭХДЭЭ(n)хувьд үнэн n=k, мөн энэ таамаглалаас эхлэн уг мэдэгдлийг нотлох A(n)хувьд үнэн n=k+ 1, өөрөөр хэлбэл. мэдэгдэл үнэн гэдгийг A(k) A(k + 1).

Хэрвээ ГЭХДЭЭ( 1) ГЭХДЭЭ(k) A(k + 1) үнэн мэдэгдэл юм, тэгвэл тэд мэдэгдэл гэж дүгнэж байна A(n)дурын натурал тооны хувьд үнэн n.

Математик индукцийн нотолгоо нь зөвхөн мэдэгдлийн үнэнийг батлахаас эхэлдэг n= 1, гэхдээ бас дурын натурал тооноос м. Энэ тохиолдолд мэдэгдэл ГЭХДЭЭ(n)бүх натурал тоонуудын хувьд нотлогдох болно nm.

Бодлого Дурын натурал тооны хувьд 1 + 3 + 5 ... + (2 n- 1) = n.

Шийдэл.Тэгш байдал 1 + 3 + 5 ... + (2 n- 1) = nэхний дараалсан сондгой натурал тоонуудын нийлбэрийг олох томьёо юм. Жишээлбэл, 1 + 3 + 5 + 7 = 4= 16 (нийлбэр нь 4 гишүүнтэй), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6= 36 (нийлбэр нь 6 гишүүнтэй); хэрэв энэ нийлбэрт заасан төрлийн 20 гишүүн байвал 20 = 400 гэх мэт. Энэхүү тэгш байдлын үнэнийг нотолсоны дараа бид томъёог ашиглан заасан төрлийн аль ч тооны гишүүний нийлбэрийг олох боломжтой болно.

1) Энэ тэгш байдлын үнэн эсэхийг шалгана уу n= 1. Хэзээ n= 1 тэгш байдлын зүүн тал нь 1-тэй тэнцүү нэг гишүүн, баруун тал нь 1= 1-тэй тэнцүү байна. 1 = 1 тул n= 1 Энэ тэгш байдал үнэн.

2) Энэ тэгш байдал нь үнэн гэж бодъё n=k, өөрөөр хэлбэл 1 + 3 + 5 + … + (2 к- 1) = к.Энэ таамаглал дээр үндэслэн бид энэ нь үнэн гэдгийг баталж байна n=k+ 1, өөрөөр хэлбэл. 1 + 3 + 5 + ... + (2 к- 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1).

Сүүлийн тэгш байдлын зүүн талыг авч үзье.

Таамаглалаар эхний нийлбэр кнөхцөл юм кТиймээс 1 + 3 + 5 + ... + (2 к- 1) + (2(k + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2к- 1) + (2к+ 1)=

= k+(2k + 1) = k+ 2k + 1. Илэрхийлэл k+ 2k + 1 нь илэрхийлэлтэй ижил тэнцүү байна ( k + 1).

Иймээс энэ тэгш байдлын төлөө үнэн n=k+ 1 нь батлагдсан.

Тиймээс энэ тэгш байдал нь үнэн юм n= 1 ба түүний үнэнээс n=kтөлөө үнэнийг дагадаг n=k+ 1.

Энэ нь аливаа натурал тооны хувьд энэ тэгш байдал үнэн болохыг баталж байна.

Математик индукцийн аргыг ашиглан зөвхөн тэгш бус байдлын үнэнийг баталж чадна.

Даалгавар. Хаана гэдгийг нотол nN.

Шийдэл.Тэгш бус байдлын үнэн эсэхийг шалгацгаая n= 1. Бидэнд - жинхэнэ тэгш бус байдал.

Тэгш бус байдал нь үнэн гэж үзье n=k,тэдгээр. - жинхэнэ тэгш бус байдал. Энэ нь үнэн гэдгийг таамаглал дээр үндэслэн баталцгаая n=k+ 1, өөрөөр хэлбэл. (*).

Бид тэгш бус байдлын зүүн талыг (*) хувиргаж, дараахь зүйлийг харгалзан үзнэ.

Гэхдээ, энэ нь гэсэн үг .

Тиймээс энэ тэгш бус байдал нь үнэн юм n= 1, мөн, тэгш бус байдал нь зарим хүмүүсийн хувьд үнэн байхаас n= к, бид энэ нь бас үнэн болохыг олж мэдсэн n= k + 1.

Ийнхүү аксиом 4-ийг ашиглан бид энэ тэгш бус байдал ямар ч натурал тооны хувьд үнэн болохыг баталсан.

Бусад мэдэгдлийг математик индукцийн аргаар баталж болно.

Даалгавар. Аливаа натурал тооны хувьд уг мэдэгдэл үнэн болохыг батал.

Шийдэл. Энэ мэдэгдлийн үнэн зөв эсэхийг шалгацгаая n= 1: - үнэн мэдэгдэл.

Энэ мэдэгдэл үнэн зөв гэж үзье n=k: . Үүнийг ашиглан мэдэгдлийн үнэнийг харуулъя n=k+ 1: .

Илэрхийлэлийг өөрчилье: . Ялгааг нь олцгооё кболон k+ 1 гишүүн. Хэрэв үр дүнгийн зөрүү нь 7-ын үржвэр бөгөөд хасах нь 7-д хуваагддаг гэж үзвэл хасах нь мөн 7-ын үржвэр болно.

Бүтээгдэхүүн нь 7-ын үржвэр тул, ба .

Тиймээс энэ мэдэгдэл нь үнэн юм n= 1 ба түүний үнэнээс n=kтөлөө үнэнийг дагадаг n=k+ 1.

Энэ нь аливаа натурал тооны хувьд энэ мэдэгдэл үнэн болохыг баталж байна.

Даалгавар. Үүнийг дурын натурал тоогоор батал n 2 мэдэгдэл (7-1)24 үнэн.

Шийдэл. 1) Мэдэгдэлийн үнэн эсэхийг шалгана уу n= 2: - үнэн мэдэгдэл.