Хэрхэн барих талаар огтлолцсон хос шугам. Төсөөллийн цэг ба шугамуудын харилцан зохицуулалт. Эллипс ба түүний каноник тэгшитгэл

Энэ бол хэдхэн секундын дотор ямар геометрийн объектыг тодорхойлох нь тодорхой болох үед тэгшитгэлийн нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн стандарт хэлбэр юм. Үүнээс гадна каноник хэлбэр нь олон практик асуудлыг шийдвэрлэхэд маш тохиромжтой. Жишээлбэл, каноник тэгшитгэлийн дагуу "хавтгай" шулуун, нэгдүгээрт, энэ нь шулуун шугам гэдэг нь шууд тодорхой болж, хоёрдугаарт, түүнд хамаарах цэг, чиглэлийн вектор нь энгийн харагдаж байна.

Мэдээжийн хэрэг, ямар ч 1-р захиалгын шугамшулуун шугамыг илэрхийлнэ. Хоёр давхарт биднийг сахигч байхаа больсон, харин есөн барималаас бүрдсэн илүү олон янзын компани байдаг.

Хоёрдахь эрэмбийн шугамын ангилал

Тусгай үйлдлүүдийн тусламжтайгаар аливаа хоёр дахь эрэмбийн шугамын тэгшитгэлийг дараах төрлүүдийн аль нэгэнд нь бууруулна.

(болон эерэг бодит тоонууд)

1) нь эллипсийн каноник тэгшитгэл юм;

2) гиперболын каноник тэгшитгэл;

3) параболын каноник тэгшитгэл юм;

4) – төсөөлөлтэйэллипс;

5) - огтлолцсон хос шугам;

6) - хос төсөөлөлтэйогтлолцох шугам (гарал үүсэл дээр огтлолцох цорын ганц бодит цэгтэй);

7) - хос зэрэгцээ шугам;

8) - хос төсөөлөлтэйзэрэгцээ шугамууд;

9) нь давхцаж буй хос шугам юм.

Зарим уншигчид жагсаалт бүрэн бус байна гэсэн сэтгэгдэл төрүүлж магадгүй юм. Жишээлбэл, 7-р догол мөрөнд тэгшитгэл нь хосыг тогтоодог шууд, тэнхлэгтэй параллель байх ба асуулт гарч ирнэ: y тэнхлэгтэй параллель шугамуудыг тодорхойлох тэгшитгэл хаана байна вэ? Хариулт: тэр канон гэж тооцогддоггүй. Шулуун шугамууд нь 90 градусаар эргэлдсэн ижил стандарт тохиолдлыг төлөөлдөг бөгөөд ангилалд нэмэлт оруулга нь үндсэндээ шинэ зүйл агуулаагүй тул шаардлагагүй болно.

Тиймээс, есөн, зөвхөн есөн төрлийн 2-р эрэмбийн шугам байдаг боловч практик дээр хамгийн түгээмэл нь эллипс, гипербол, парабол.

Эхлээд эллипсийг харцгаая. Ердийнх шигээ би асуудлыг шийдвэрлэхэд чухал ач холбогдолтой цэгүүдэд анхаарлаа хандуулдаг бөгөөд хэрэв танд томъёоны нарийвчилсан гаралт, теоремын нотолгоо хэрэгтэй бол жишээлбэл, Базылев / Атанасян эсвэл Александровын сурах бичгийг үзнэ үү.

Эллипс ба түүний каноник тэгшитгэл

Үг үсгийн алдаа ... "зууван хэлбэрийг хэрхэн бүтээх", "зууван ба зууван хоёрын ялгаа", "элебсийн хазгай" зэрэг сонирхолтой зарим Yandex хэрэглэгчдийн алдааг давтахгүй байхыг хүсье.

Зуувангийн каноник тэгшитгэл нь эерэг бодит тоонууд ба гэсэн хэлбэртэй байна. Би эллипсийн тодорхойлолтыг дараа нь томъёолох болно, гэхдээ одоохондоо яриагаа түр завсарлаж, нийтлэг асуудлыг шийдэх цаг болжээ.

Хэрхэн эллипс барих вэ?

Тийм ээ, үүнийг аваад зүгээр л зур. Даалгавар нь нийтлэг байдаг бөгөөд оюутнуудын нэлээд хэсэг нь зураг зурах чадваргүй байдаг.

Жишээ 1

Тэгшитгэлээр өгөгдсөн эллипсийг байгуул

Шийдэл: эхлээд бид тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулна:

Яагаад авчрах вэ? Каноник тэгшитгэлийн нэг давуу тал нь шууд тодорхойлох боломжийг олгодог эллипсийн оройнуудцэгүүд дээр байгаа . Эдгээр цэг бүрийн координат нь тэгшитгэлийг хангаж байгааг харахад хялбар байдаг.

Энэ тохиолдолд :


Шугамын сегментдуудсан гол тэнхлэгэллипс;
шугамын сегмент – бага тэнхлэг;
тоо дуудсан хагас том тэнхлэгэллипс;
тоо – хагас жижиг тэнхлэг.
бидний жишээнд: .

Энэ эсвэл өөр эллипс хэрхэн харагддагийг хурдан төсөөлөхийн тулд түүний канон тэгшитгэлийн "a" ба "be" утгыг харна уу.

Бүх зүйл сайхан, цэвэрхэн, үзэсгэлэнтэй, гэхдээ нэг анхааруулга байна: би програмыг ашиглан зураг зурсан. Мөн та ямар ч програмаар зурж болно. Гэсэн хэдий ч хатуу ширүүн бодит байдал дээр алаг цаас ширээн дээр хэвтэж, хулганууд бидний гарыг тойрон бүжиглэдэг. Урлагийн авьяастай хүмүүс мэдээжийн хэрэг маргаж болно, гэхдээ танд бас хулгана (жижиг ч гэсэн) бий. Хүн төрөлхтөн захирагч, луужин, протектор болон зурах бусад энгийн хэрэгслийг зохион бүтээсэн нь дэмий хоосон биш юм.

Энэ шалтгааны улмаас бид зөвхөн оройг нь мэддэг тул эллипсийг нарийн зурах боломжгүй юм. Хэрэв эллипс жижиг бол, жишээлбэл, хагас тэнхлэгтэй бол зүгээр. Үүний зэрэгцээ та зургийн масштаб, үүний дагуу хэмжээсийг багасгаж болно. Гэхдээ ерөнхий тохиолдолд нэмэлт оноо олох нь зүйтэй юм.

Зууван бүтээх хоёр арга байдаг - геометрийн болон алгебрийн. Богино алгоритм, зураг зурахад ихээхэн эмх замбараагүй байдаг тул би луужин, захирагчаар барих дургүй. Яаралтай тохиолдолд сурах бичгийг уншина уу, гэхдээ бодит байдал дээр алгебрийн хэрэгслийг ашиглах нь илүү оновчтой юм. Ноорог дээрх эллипсийн тэгшитгэлээс бид хурдан илэрхийлнэ:

Дараа нь тэгшитгэлийг хоёр функцэд хуваана:
– эллипсийн дээд нумыг тодорхойлно;
– эллипсийн доод нумыг тодорхойлно.

Аливаа эллипс нь координатын тэнхлэгүүд, түүнчлэн гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байдаг. Энэ нь гайхалтай юм - тэгш хэм нь бараг үргэлж үнэ төлбөргүй байдаг. Мэдээжийн хэрэг, координатын 1-р улиралтай ажиллахад хангалттай тул бидэнд функц хэрэгтэй байна . Энэ нь абсцисс бүхий нэмэлт цэгүүдийг олохыг санал болгож байна . Бид тооцоолуур дээр гурван SMS дарсан:

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв тооцоололд ноцтой алдаа гарвал энэ нь барилгын ажлын явцад шууд тодорхой болох нь таатай байна.

Зурган дээрх цэгүүдийг (улаан өнгө), бусад нуман дээрх тэгш хэмтэй цэгүүдийг (цэнхэр өнгө) тэмдэглээд бүх компанийг шугамаар сайтар холбоно уу.


Эхний ноорог нимгэн, нимгэн зурж, дараа нь харандаа дээр дарах нь дээр. Үр дүн нь нэлээд зохистой эллипс байх ёстой. Дашрамд хэлэхэд энэ муруй юу болохыг мэдмээр байна уу?

Хоёр дахь дарааллын шугамууд

Декарт тэгш өнцөгт координатууд нь 2-р зэргийн алгебрийн тэгшитгэлийг хангадаг хавтгай шулуунууд

a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 11 = 0. (*)

Тэгшитгэл (*) нь бодит геометрийн дүрсийг тодорхойлохгүй байж болох ч ерөнхий байдлыг хангах үүднээс ийм тохиолдолд төсөөллийн шугаман дүрслэлийг тодорхойлдог гэж хэлдэг. n. Ерөнхий тэгшитгэлийн (*) коэффициентүүдийн утгуудаас хамааран координатын системийн гарал үүсэл ба эргэлтийг параллель хөрвүүлэх замаар доорх 9 каноник хэлбэрийн аль нэгэнд тодорхой өнцгөөр хувиргаж болно. тодорхой ангиллын шугамтай тохирч байна. Яг,

тасрахгүй шугамууд:

y 2 = 2px - парабол,

таслах шугам:

x 2 - a 2 \u003d 0 - хос зэрэгцээ шугам,

x 2 + a 2 \u003d 0 - төсөөлөлтэй зэрэгцээ шугамууд,

x 2 = 0 - давхцаж буй зэрэгцээ шугамын хосууд.

Л.-ийн харцын судалгаа. ерөнхий тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулахгүйгээр хийж болно. Энэ нь гэж нэрлэгддэг үнэт зүйлсийг хамтдаа авч үзэх замаар хүрдэг. L.v-ийн үндсэн инвариантууд. n. - координатын системийг зэрэгцээ хөрвүүлэх, эргүүлэх үед утга нь өөрчлөгддөггүй тэгшитгэлийн (*) коэффициентүүдээс бүрдэх илэрхийллүүд:

S \u003d a 11 + a 22,(a ij = a ji).

Тиймээс, жишээлбэл, эллипс нь мууддаггүй шугамын хувьд тэдгээрийн хувьд Δ ≠ 0; Инвариант δ-ийн эерэг утга нь эллипсийг бусад төрлийн мууддаггүй шугамаас ялгадаг (гиперболын хувьд δ)

Δ, δ, S гэсэн гурван үндсэн инвариант нь LV-ийг тодорхойлно. (зэрэгцээ шулуунаас бусад тохиолдолд) Евклидийн хавтгайн хөдөлгөөн хүртэл (Хөдөлгөөнийг үзнэ үү): хэрэв хоёр шулууны харгалзах Δ, δ, S инвариантууд тэнцүү бол ийм шулуунуудыг хөдөлгөөнөөр давхарлаж болно. Өөрөөр хэлбэл, эдгээр шугамууд нь онгоцны хөдөлгөөний бүлэгтэй тэнцүү байна (метрийн хувьд эквивалент).

Л.-ийн ангилал байдаг. бусад бүлгүүдийн өөрчлөлтийн үүднээс авч үзвэл. Тиймээс хөдөлгөөнүүдийн бүлгээс харьцангуй ерөнхий - аффины хувиргалтуудын бүлэг (Аффины хувиргалтыг үзнэ үү) - ижил каноник хэлбэрийн тэгшитгэлээр тодорхойлсон дурын хоёр шугам нь тэнцүү байна. Жишээлбэл, ижил төстэй хоёр L. in. n. (ижил төстэй байдлыг харна уу) тэнцүү гэж үздэг. Шугаман c.v-ийн янз бүрийн аффины ангиудын хоорондох холбоо. Энэ нь хязгааргүйд байгаа элементүүд онцгой үүрэг гүйцэтгэдэггүй проекцийн геометрийн үүднээс ангиллыг бий болгох боломжийг бидэнд олгодог (проекцийн геометрийг үзнэ үү). Жинхэнэ задрахгүй L. in. гэх мэт: эллипс, гипербол, параболууд нь нэг проекктив анги үүсгэдэг - жинхэнэ зууван шугамын анги (зууван). Бодит зууван шугам нь хязгааргүйд байгаа шугамтай харьцуулахад хэрхэн байрлаж байгаагаас хамааран эллипс, гипербол эсвэл парабол юм: эллипс нь зохисгүй шугамыг хоёр төсөөллийн цэг дээр, гипербол нь хоёр өөр бодит цэг дээр, парабол нь буруу шугамд хүрдэг. ; Эдгээр мөрүүдийг нэг нэгээр нь авч үздэг проекцийн өөрчлөлтүүд байдаг. L.v-ийн зөвхөн 5 проекктив эквивалент анги байдаг. n.Яг нарийн,

доройтдоггүй шугамууд

(x 1 , x 2 , x 3- нэгэн төрлийн координатууд):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - жинхэнэ зууван,

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - төсөөллийн зууван,

доройтсон шугамууд:

x 1 2 - x 2 2= 0 - хос бодит шугам,

x 1 2 + x 2 2= 0 - төсөөллийн хос шугам,

x 1 2= 0 - давхцаж буй хос бодит шугам.

Иванов А.Б.

Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг. - М .: Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг. 1969-1978 .

Бусад толь бичгүүдэд "Хоёр дахь эрэмбийн мөрүүд" гэж юу болохыг харна уу.

Тэгш өнцөгт цэгийн координатууд нь 2-р зэргийн алгебрийн тэгшитгэлийг хангадаг хавтгай шулуунууд. Хоёрдахь эрэмбийн шугамуудын дунд эллипс (ялангуяа тойрог), гипербол, парабол ... Том нэвтэрхий толь бичиг

Тэгш өнцөгт цэгийн координатууд нь 2-р зэргийн алгебрийн тэгшитгэлийг хангадаг хавтгай шулуунууд. Хоёрдахь эрэмбийн шугамуудын дунд эллипс (ялангуяа тойрог), гипербол, парабол байдаг. * * * ХОЁРДУГААР ЗОРИУЛАЛТЫН МӨРӨӨ, … … нэвтэрхий толь бичиг

Хавтгай шугам, тэгш өнцөгт k px цэгүүдийн координатууд нь алгебруудыг хангадаг. 2-р зэргийн урни. L.-ийн дунд. n. эллипс (ялангуяа тойрог), гипербол, парабол ... Байгалийн шинжлэх ухаан. нэвтэрхий толь бичиг

Хавтгай шугам, декарт тэгш өнцөгт координатууд нь алгебрийг хангадаг. 2-р зэргийн тэгшитгэл (*) нь бодит геометрийг тодорхойлохгүй байж болно. дүр төрх, гэхдээ ийм тохиолдолд ерөнхий байдлыг хадгалахын тулд тэд үүнийг тодорхойлдог гэж хэлдэг ... ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Декарт систем дэх координатууд нь алгебрийг хангадаг 3 хэмжээст бодит (эсвэл нийлмэл) орон зайн цэгүүдийн багц. 2-р зэргийн тэгшитгэл (*) Тэгшитгэл (*) нь бодит геометрийг тодорхойлохгүй байж болно. зураг, ийм ...... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Муруй шугамын геометрт ихэвчлэн хэрэглэгддэг энэ үг нь тодорхой бус утгатай байдаг. Энэ үгийг хаалттай, салаалсан бус муруй шугамд хэрэглэх үед муруйн салаа гэдэг нь үргэлжилсэн хувь хүн бүрийг хэлнэ ... ... Нэвтэрхий толь бичиг Ф.А. Брокхаус ба И.А. Эфрон

Хоёрдахь эрэмбийн шугамууд, хоёр диаметртэй, тус бүр нь энэ муруйн хөвчийг хоёр хуваасан, нөгөөтэйгөө параллель байна. SD нь хоёрдугаар эрэмбийн шугамын ерөнхий онолд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Эллипсийг түүний S-ийн тойрог руу параллель проекцоор нь. ... ...

Зөв дугуй конусыг оройг нь дайрдаггүй хавтгайтай огтолж авсан шугамууд. K. s. гурван төрлийн байж болно: 1) зүсэх онгоц нь конусын бүх генераторуудыг түүний хөндийн аль нэгнийх нь цэгүүдээр огтолдог; шугам…… Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Зөв дугуй конусыг оройгоор нь дамждаггүй хавтгайтай огтолж авсан шугамууд. K. s. гурван төрлийн байж болно: 1) огтлох хавтгай нь конусын бүх генераторуудыг түүний хөндийн аль нэгнийх нь цэгүүдээр огтолж байна (Зураг, а): огтлолцлын шугам ... ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Геометрийн хэсэг. Алгебрийн геометрийн үндсэн ойлголтууд нь хамгийн энгийн геометрийн дүрс (цэг, шугам, хавтгай, муруй, хоёрдугаар эрэмбийн гадаргуу) юм. A. g.-ийн судалгааны гол хэрэгсэл бол координатын арга (доороос үзнэ үү) ба аргууд юм ... ... Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Номууд

• Аналитик геометрийн богино курс Ефимов Николай Владимирович. Аналитик геометрийн судалгааны сэдэв нь декарт координатуудад эхний эсвэл хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн дүрсүүд юм. Хавтгай дээр эдгээр нь хоёр дахь эрэмбийн шулуун ба шугамууд юм. ...

Үүнийг тодорхой жишээгээр харуулахын тулд би энэ тайлбарт дараах мэдэгдэлд юу нийцэж байгааг харуулах болно: P цэг (бодит эсвэл зохиомол) g шулуун дээр байрладаг. Энэ тохиолдолд мэдээжийн хэрэг дараахь тохиолдлуудыг ялгах шаардлагатай.

1) бодит цэг ба бодит шугам,

2) бодит цэг ба төсөөллийн шугам,

Тохиолдол 1) биднээс тусгай тайлбар шаарддаггүй; Энд бид энгийн геометрийн үндсэн харилцааны нэг юм.

Тохиолдол 2) өгөгдсөн төсөөллийн шугамын хамт үүнтэй нийлсэн шугамын цогцолбор нь өгөгдсөн бодит цэгээр дамжих ёстой; Иймээс энэ цэг нь бидний төсөөллийн шугамыг төлөөлөхөд ашигладаг цацрагийн багцын оройтой давхцах ёстой.

Үүний нэгэн адил, 3) тохиолдолд бодит шугам нь өгөгдсөн төсөөллийн цэгийг төлөөлөх цэгүүдийн шулуун шугаман эргэлтийн дэмжлэгтэй ижил байх ёстой.

Хамгийн сонирхолтой тохиолдол бол 4) (Зураг 96): энд, мэдээжийн хэрэг, цогцолбор коньюгат цэг нь нийлмэл коньюгат шугам дээр байх ёстой бөгөөд үүнээс P цэгийг төлөөлж буй цэгүүдийн инволюцийн хос цэг бүр хэвтэж байх ёстой. g шулуун шугамыг төлөөлөх шугамын эволюцийн зарим хос шугам дээр, өөрөөр хэлбэл, эдгээр хоёр эргэлт хоёулаа нөгөөгөөсөө хэтийн байрлалтай байх ёстой; Түүнээс гадна хоёр эргэлтийн сумыг мөн хэтийн төлөвт байрлуулсан нь харагдаж байна.

Ерөнхийдөө хавтгайн аналитик геометрийн хувьд нарийн төвөгтэй талбарт анхаарлаа хандуулдаг бөгөөд хэрэв бид түүний бүх бодит цэг ба шугамын олонлогт инволюцийн олонлогийг шинэ элемент болгон нэмбэл энэ хавтгайн бүрэн бодит дүр зургийг олж авна. дээр дурдсан зургууд, тэдгээрийн чиглэлийн сумтай хамт. Нарийн төвөгтэй геометрийн ийм бодит дүр зургийг бүтээх нь ямар хэлбэртэй болохыг ерөнхийд нь тоймлоход хангалттай. Ингэхдээ би анхан шатны геометрийн анхны саналуудыг ихэвчлэн танилцуулдаг дарааллыг баримтална.

1) Эдгээр нь оршин тогтнох аксиомуудаас эхэлдэг бөгөөд тэдгээрийн зорилго нь ердийн геометртэй харьцуулахад өргөжүүлсэн талбайд саяхан дурдсан элементүүдийн оршихуйн нарийн томъёолол өгөх явдал юм.

2) Дараа нь 1) зүйлд тодорхойлсон өргөтгөсөн хэсэгт мөн гэж заасан холболтын аксиомууд! (бүр) хоёр цэгээр нэг ба зөвхөн нэг шулуун дамждаг ба тэр (аль ч) хоёр шулуун нь нэг бөгөөд зөвхөн нэг нийтлэг цэгтэй байдаг.

Үүний зэрэгцээ, дээр дурдсанчлан, өгөгдсөн элементүүд нь бодит эсэхээс хамааран дөрвөн тохиолдлыг ялгах шаардлагатай байдаг бөгөөд яг ямар цэг, шугамын инволюц бүхий бодит байгууламжууд дүрс болж байгааг бодох нь маш сонирхолтой юм. эдгээр нарийн төвөгтэй харилцааны тухай.

3) Зохицуулалтын аксиомуудын хувьд (дэг журам) энд бодит харилцаатай харьцуулахад цоо шинэ нөхцөл байдал гарч ирдэг; ялангуяа нэг тогтмол шулуун дээр байрлах бүх бодит ба нийлмэл цэгүүд, мөн нэг тогтмол цэгээр дамжин өнгөрөх бүх цацрагууд хоёр хэмжээст үргэлжлэлийг бүрдүүлдэг. Эцсийн эцэст бидний хүн нэг бүр функцын онолыг судалснаар нарийн төвөгтэй хувьсагчийн утгуудын нийлбэрийг онгоцны бүх цэгээр илэрхийлэх зуршилтай болсон.

4) Эцэст нь, тасралтгүй байдлын аксиомуудын тухайд би энд зөвхөн ямар нэг бодит цэгтэй ойр орших нарийн төвөгтэй цэгүүдийг хэрхэн төлөөлөхийг л хэлэх болно. Үүнийг хийхийн тулд авсан бодит P цэгээр (эсвэл үүнтэй ойролцоо өөр бодит цэгээр) дамжуулан та шулуун шугам зурж, бие биенээ тусгаарлах ийм хоёр хос цэгийг (өөрөөр хэлбэл "хөндлөн" хэвтэх) авч үзэх хэрэгтэй. ") хос цэгүүд (Зураг . 97) өөр өөр хосоос авсан хоёр цэг нь бие биетэйгээ ойрхон, P цэгт ойрхон байхаар; хэрэв бид одоо цэгүүдийг тодорхойгүй хугацаагаар нийлүүлбэл, нэрлэсэн хос цэгүүдээр тодорхойлогдсон инволюц доройтож, өөрөөр хэлбэл, түүний урьд өмнө үүссэн нийлмэл давхар цэгүүд хоёулаа цэгтэй давхцаж байна.Энэ инволюцоор дүрслэгдсэн хоёр төсөөллийн цэг тус бүр (нэг эсвэл нөгөө сум) дамждаг, тиймээс P-тэй ойрхон эсвэл бүр шууд P хүртэл үргэлжилдэг. Мэдээжийн хэрэг, тасралтгүй байдлын тухай эдгээр ойлголтуудыг сайн ашиглахын тулд тэдгээрийг нарийвчлан судлах шаардлагатай.

Хэдийгээр энэ бүх бүтээн байгуулалт нь энгийн бодит геометртэй харьцуулахад нэлээд төвөгтэй, уйтгартай боловч харьцуулашгүй их зүйлийг өгч чадна. Ялангуяа энэ нь бодит ба нийлмэл элементүүдийн багц гэж ойлгогдох алгебрийн дүрсийг бүрэн геометрийн тодорхой байдлын түвшинд хүргэх чадвартай бөгөөд түүний тусламжтайгаар та алгебрийн үндсэн теорем гэх мэт теоремуудыг дүрс дээр өөрөө тодорхой ойлгох боломжтой болно. эсвэл хоёр муруй дараалал нь ерөнхийдөө яг нийтлэг цэгтэй байдаг гэсэн Безутын теорем. Үүний тулд мэдээжийн хэрэг, үндсэн заалтуудыг өнөөг хүртэл хийж байснаас хамаагүй илүү нарийвчлалтай, ойлгомжтой хэлбэрээр ойлгох шаардлагатай болно; Гэсэн хэдий ч ном зохиолд ийм судалгаа хийхэд шаардлагатай бүх материалыг аль хэдийн оруулсан болно.

Гэвч ихэнх тохиолдолд энэхүү геометрийн тайлбарыг онолын бүхий л давуу талуудын хамт хэрэглэх нь ийм хүндрэлд хүргэж болзошгүй тул үндсэн боломждоо сэтгэл хангалуун байж, илүү гэнэн үзэл бодол руу буцах шаардлагатай болдог. нийлмэл цэг нь гурван нарийн төвөгтэй координатын цуглуулга бөгөөд түүгээр бодит цэгүүдтэй яг ижил аргаар ажиллах боломжтой. Үнэн хэрэгтээ, аливаа үндсэн үндэслэлээс татгалзаж, төсөөллийн элементүүдийг ийм байдлаар оруулах нь бид төсөөллийн мөчлөгийн цэгүүд эсвэл бөмбөрцгийн тойрогтой харьцах шаардлагатай тохиолдолд үргэлж үр дүнтэй байдаг. Өмнө дурьдсанчлан, Понселет энэ утгаараа анх удаа төсөөллийн элементүүдийг ашиглаж эхэлсэн; Энэ талаар түүний дагалдагчид Францын бусад геометрүүд, голчлон Chall, Darboux нар байв; ХБНГУ-д олон тооны геометрүүд, тэр дундаа Ли, мөн төсөөллийн элементүүдийн талаарх энэхүү ойлголтыг маш амжилттай хэрэгжүүлсэн.

Төсөөллийн талбарт ийм ухралт хийснээр би хичээлийнхээ хоёр дахь хэсгийг бүхэлд нь дуусгаж, шинэ бүлэг рүү шилжиж байна.

8.3.15. А цэг нь шулуун дээр байрладаг. А цэгээс хавтгай хүртэлх зай

8.3.16. Шулуун шугамтай тэгш хэмтэй шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич

онгоцтой харьцуулахад .

8.3.17. Хавтгай дээрх проекцуудын тэгшитгэлийг зохио дараах мөрүүд:

а) ;

б)

онд) .

8.3.18. Хавтгай ба шугамын хоорондох өнцгийг ол:

а) ;

б) .

8.3.19. Нэг цэгт тэгш хэмтэй цэгийг ол шугамыг дайран өнгөрөх онгоцны хувьд:

болон

8.3.20. А цэг нь шулуун дээр байрладаг

А цэгээс шулуун шугам хүртэлх зай тэнцүү байна. А цэгийн координатыг ол.

§ 8.4. ХОЁРДУГААР ЗЭРЭГЛЭГИЙН муруй

Хавтгай дээр тэгш өнцөгт координатын системийг байгуулж, хоёрдугаар зэргийн ерөнхий тэгшитгэлийг авч үзье

тэнд .

Координатууд нь тэгшитгэлийг (8.4.1) хангадаг хавтгайн бүх цэгүүдийн багцыг гэнэ. муруй (шугам) хоёр дахь захиалга.

Хоёрдахь эрэмбийн аль ч муруйн хувьд каноник гэж нэрлэгддэг тэгш өнцөгт координатын систем байдаг бөгөөд энэ муруйн тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийн аль нэгтэй байна.

1) (зууван хэлбэртэй);

2) (төсөөллийн эллипс);

3) (хос төсөөлөлтэй огтлолцсон шугам);

4) (гипербола);

5) (хос огтлолцсон шугам);

6) (парабол);

7) (хос зэрэгцээ шугам);

8) (хос төсөөлөлтэй зэрэгцээ шугам);

9) (хос давхцаж буй шугам).

1) - 9) тэгшитгэлийг дуудна Хоёр дахь эрэмбийн муруйн каноник тэгшитгэл.

Хоёр дахь эрэмбийн муруйн тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулах асуудлыг шийдвэрлэхэд муруйн каноник тэгшитгэл ба каноник координатын системийг олох орно. Каноник хэлбэрт оруулснаар муруйны параметрүүдийг тооцоолж, анхны координатын системтэй харьцуулахад түүний байршлыг тодорхойлох боломжтой болно. Анхны тэгш өнцөгт координатын системээс шилжилт каноник руу Анхны координатын системийн тэнхлэгүүдийг О цэгийн эргэн тойронд зарим j өнцгөөр эргүүлж, дараа нь координатын системийг зэрэгцээ шилжүүлэх замаар гүйцэтгэнэ.

Хоёр дахь эрэмбийн муруйн инвариантууд(8.4.1) тэгш өнцөгт координатын нэг системээс нөгөө систем рүү шилжихэд утга нь өөрчлөгддөггүй тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн ийм функцууд гэж нэрлэгддэг.

Хоёрдахь эрэмбийн (8.4.1) муруйны хувьд квадрат координат дээрх коэффициентүүдийн нийлбэр.

,

тэргүүлэх нөхцлүүдийн коэффициентээс бүрдэх тодорхойлогч

ба гуравдахь эрэмбийн тодорхойлогч

өөрчлөгддөггүй.

s, d, D инвариантуудын утгыг ашиглан төрлийг тодорхойлж, хоёрдугаар эрэмбийн муруйн каноник тэгшитгэлийг зохиож болно.

Хүснэгт 8.1.

Инвариант дээр суурилсан хоёр дахь эрэмбийн муруйг ангилах

Зууван муруй		SD<0. Эллипс
		SD>0. төсөөллийн эллипс
		Бодит цэг дээр огтлолцсон төсөөллийн хос шугам
Гипербол хэлбэрийн муруй		Гипербола
		Хос огтлолцсон шугам
Параболик муруй		Парабола
		Зэрэгцээ шугамын хос (өөр, зохиомол эсвэл давхцах)

Зууван, гипербол, параболыг нарийвчлан авч үзье.

Зууван(Зураг 8.1) нь хоёр тогтмол цэг хүртэлх зайны нийлбэр болох хавтгай дахь цэгүүдийн байрлал юм. гэж нэрлэдэг энэ онгоц эллипсийн заль мэх, тогтмол утга (фокус хоорондын зайнаас их). Энэ нь эллипсийн голомтуудын давхцлыг үгүйсгэхгүй. Хэрэв голомтууд нь ижил байвал эллипс нь тойрог болно.

Зуувангийн цэгээс түүний голомт хүртэлх зайны хагасын нийлбэрийг а, голомтын хоорондох зайны хагас - c-ээр тэмдэглэнэ. Хэрэв хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системийг сонговол эллипсийн голомтууд нь Үхрийн тэнхлэгт эх үүсвэртэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байрладаг бол энэ координатын системд эллипсийг тэгшитгэлээр өгнө.

, (8.4.2)

дуудсан эллипсийн каноник тэгшитгэл, хаана .

Цагаан будаа. 8.1

Тэгш өнцөгт координатын системийг сонгосноор эллипс нь координатын тэнхлэгүүд болон эхлэлийн талаар тэгш хэмтэй байна. Зуувангийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүд үүнийг дууддаг тэнхлэгүүд, мөн тэгш хэмийн төв нь байна эллипсийн төв. Үүний зэрэгцээ 2a ба 2b тоонуудыг ихэвчлэн эллипсийн тэнхлэгүүд гэж нэрлэдэг бөгөөд a, b тоонуудыг нэрлэдэг. томболон хагас жижиг тэнхлэгтус тус.

Эллипсийн тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг нэрлэдэг эллипсийн оройнууд. Зуувангийн оройнууд нь (a,0), (–a,0), (0,b), (0,–b) координатуудтай.

Эллипсийн хазгайдугаар дуудсан

0£c-ээс хойш

.

Энэ нь хазгай байдал нь эллипсийн хэлбэрийг тодорхойлдог болохыг харуулж байна: e нь тэг рүү ойртох тусам эллипс нь тойрог шиг харагддаг; e ихсэх тусам эллипс улам уртасна.

Одоо бид хоёр дахь эрэмбийн муруйнуудын аффины ангиллыг муруйнуудын нэрээр өгдгийг, өөрөөр хэлбэл, хоёрдугаар эрэмбийн муруйн аффины ангилал нь дараах ангиуд болохыг харуулах болно.

жинхэнэ эллипс;

төсөөллийн эллипс;

гипербол;

бодит огтлолцох шугамын хос;

хос төсөөлөлтэй (коньюгат) огтлолцох;

хос зэрэгцээ бодит шугамууд;

зэрэгцээ төсөөлөлтэй хосолсон шугамууд;

хос давхцаж буй бодит шугамууд.

Бид хоёр мэдэгдлийг батлах хэрэгтэй:

A. Ижил нэртэй бүх муруй (өөрөөр хэлбэл бүх эллипс, бүх гипербол гэх мэт) нь бие биентэйгээ адил тэнцүү байна.

B. Өөр өөр нэртэй хоёр муруй нь хэзээ ч аффинтай тэнцүү байдаггүй.

Бид A мэдэгдлийг нотолж байна. XV бүлгийн § 3-т бүх эллипс нь тэдгээрийн аль нэгэнд нь, тухайлбал, тойрог ба бүх гиперболууд нь гиперболуудтай ижил тэнцүү байх нь аль хэдийн батлагдсан. Иймээс бүх эллипсүүд, бүх гиперболууд нь эдгээрийн аль нэгэнтэй нь ижил тэнцүү байна. бие биенээ. Бүх төсөөлөгдөж буй эллипсүүд нь - - 1 радиустай тойрогтой тэнцүү байх ба мөн адил бие биентэйгээ адил тэнцүү байна.

Бүх параболын аффины эквивалентыг баталцгаая. Бүх параболууд бие биетэйгээ төстэй гэдгийг бид бүр ч илүү нотлох болно. Зарим координатын системд өгөгдсөн параболыг каноник тэгшитгэлээр нотлоход хангалттай

парабола шиг

Үүнийг хийхийн тулд бид онгоцыг коэффициент бүхий ижил төстэй хувиргалтанд оруулдаг - :

Дараа нь бидний өөрчлөлтийн дагуу муруй болно

муруй руу ордог

өөрөөр хэлбэл парабол руу орно

Q.E.D.

Муудсан муруй руу шилжье. § томьёо (9) ба (11), 401, 402-р тал дээр зарим (тэгш өнцөгт) координатын системд огтлолцсон хос шулуун болж задардаг муруй нь тэгшитгэлтэй болохыг баталсан.

Нэмэлт координатын хувиргалт хийж байна

огтлолцсон хос бодит, зохиомол коньюгат, шулуун шугам болж задардаг аливаа муруй нь ямар нэгэн аффин координатын системд тэгшитгэлтэй болохыг бид харж байна.

Хос параллель шулуун болж хуваагдах муруйгуудын хувьд (зарим тэгш өнцөгт координатын системд ч гэсэн) тэгшитгэлээр өгч болно.

бодитоор тус тус

төсөөллийн хувьд, шууд. Координатын хувиргалт нь эдгээр тэгшитгэлийг (эсвэл давхцаж буй шугамын хувьд) оруулах боломжийг олгодог.Энэ нь ижил нэртэй бүх муудсан хоёр дахь эрэмбийн муруйнуудын аффин эквивалентыг илэрхийлнэ.

Бид Б нотлох баримт руу хандлаа.

Юуны өмнө, хавтгайн аффин өөрчлөлтийн үед алгебрийн муруйны дараалал өөрчлөгдөөгүй хэвээр байгааг бид тэмдэглэж байна. Цаашилбал: хоёр дахь эрэмбийн аливаа муудаж буй муруй нь хос шугам бөгөөд аффины хувиргалтаар шугам нь шугам болж, огтлолцсон хос шугам нь огтлолцсон хос, хос зэрэгцээ шугам нь хос болж хувирдаг. зэрэгцээ байх; үүнээс гадна бодит зураас нь бодит болж, төсөөлөл нь төсөөлөлтэй болдог. Энэ нь аффины хувиргалтыг тодорхойлсон томъёо (3) (XI бүлэг, § 3) дахь бүх коэффициентүүд нь бодит тоонууд байдгаас үүдэлтэй.

Өгөгдсөн ялзарч буй хоёр дахь эрэмбийн муруйтай ижил төстэй шугам нь ижил нэртэй мууддаг муруй гэсэн үг юм.

Бид задрахгүй муруй руу шилждэг. Дахин хэлэхэд, аффин хувиргалттай бол бодит муруй нь төсөөлөл рүү орох боломжгүй, мөн эсрэгээр. Иймээс төсөөллийн эллипсийн ангилал нь аффины инвариант юм.

Бодит задрахгүй муруйн ангиллыг авч үзье: эллипс, гипербол, парабол.

Хоёрдахь эрэмбийн бүх муруйнуудын дунд эллипс бүр, зөвхөн эллипс нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байдаг бол парабол ба гиперболууд (мөн ялзарч буй муруйнууд) хязгааргүй хүртэл үргэлжилдэг.

Аффины хувиргалтаар өгөгдсөн эллипсийг агуулсан ABCD тэгш өнцөгт нь хувирсан муруйг агуулсан параллелограмм руу орох бөгөөд энэ нь хязгааргүйд хүрч чадахгүй тул эллипс болно.

Тиймээс эллипстэй ижил төстэй муруй нь заавал эллипс болно. Гипербол эсвэл параболатай ижил төстэй муруй нь эллипс байж чадахгүй (мөн бидний мэдэж байгаагаар энэ нь ялзарч буй муруй байж болохгүй. Тиймээс аффины дор гэдгийг батлах л үлдлээ. Хавтгай өөрчлөгдөхөд гипербол парабол руу шилжиж чадахгүй, харин эсрэгээр нь параболд тэгш хэмийн төв байхгүй, харин гиперболд тэгш хэмийн төв байхгүй байдгаас энэ нь хамгийн энгийнээс үүдэлтэй байж магадгүй юм. параболыг зөвхөн дараагийн бүлэгт батлах болно, бид одоо гипербол ба параболын аффин бус эквивалент байдлын хоёр дахь, бас маш энгийн нотолгоог өгөх болно.

Лемма. Хэрэв парабол нь өгөгдсөн d шулууны хавтгайд тодорхойлогдсон хоёр хагас хавтгай тус бүртэй нийтлэг цэгүүдтэй бол тэр шулуунтай дор хаяж нэг нийтлэг цэгтэй байна.

Үнэхээр өгөгдсөн парабол нь тэгшитгэлтэй координатын систем байдгийг бид харсан

Энэ координатын системтэй харьцуулахад d шулууныг тэгшитгэлтэй болгоё

Таамаглалаар парабол дээр хоёр цэг байдаг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь (1) тэгшитгэлийн хувьд эерэг тал дээр, нөгөө нь сөрөг хагас хавтгайд байрладаг гэж бид таамаглаж байна. Тиймээс бид бичиж чадна гэдгийг санаарай