Ялгаатай тэгшитгэлийн жишээ. Тогтмол коэффициент бүхий энгийн шугаман ялгавартай тэгшитгэлийн шийдэл. Автомат удирдлагын системийн дифференциал тэгшитгэл. Автомат удирдлагын системийн дифференциал тэгшитгэлийг бүрдүүлэх арга зүй

Тэгшитгэлийн хэрэглээ бидний амьдралд өргөн тархсан. Тэдгээрийг олон тооны тооцоолол, барилга байгууламж барих, тэр ч байтугай спортод ашигладаг. Тэгшитгэлийг хүн төрөлхтөн эрт дээр үеэс хэрэглэж ирсэн бөгөөд тэр цагаас хойш тэдний хэрэглээ улам бүр нэмэгдсээр байна. Ялгаатай тэгшитгэл гэдэг нь үл мэдэгдэх функцийн аль ч цэгийн утгыг өгөгдсөнөөс тодорхой интервалаар тусгаарлагдсан нэг буюу хэд хэдэн цэг дээрх утгатай холбосон тэгшитгэл юм. Жишээ:

\[Г (z+1) = zГ(z)\]

Тогтмол коэффициент бүхий ялгавартай тэгшитгэлийн хувьд хаалттай хэлбэрээр шийдлийг олох нарийвчилсан аргууд байдаг. n-р эрэмбийн нэгэн төрлийн бус ба нэгэн төрлийн ялгавартай тэгшитгэлийг тэгшитгэлээр тус тус өгсөн бөгөөд \ нь тогтмол коэффициент юм.

Нэг төрлийн ялгавартай тэгшитгэл.

n-р эрэмбийн тэгшитгэлийг авч үзье

\[(a_nE^n + a(n-1)E^n1 + \cdots +a_1E + a_1)y(k) = 0 \]

Санал болгож буй шийдлийг дараах хэлбэрээр хайх хэрэгтэй.

Энд \ тодорхойлогдох тогтмол. Тэгшитгэлээр өгөгдсөн санал болгож буй шийдлийн төрөл нь хамгийн түгээмэл биш юм. Зөвшөөрөгдсөн утгууд нь \[ e^r.\] дахь олон гишүүнтийн үндэс болж үйлчилдэг \[ \beta = e^r \]-ийн хувьд санал болгож буй шийдэл нь:

Энд \[\бета\] нь тодорхойлогдох тогтмол юм. Тэгшитгэлийг орлуулж \ харгалзан дараах шинж чанарын тэгшитгэлийг олж авна.

Нэг төрлийн бус ялгавартай тэгшитгэл. Тодорхой бус коэффициентийн арга. n-р эрэмбийн ялгавартай тэгшитгэлийг авч үзье

\[ (a_nEn +a_(n-1)En^-1+\cdots+ a_1E +a_1)y(k) =F(k) \]

Хариулт нь дараах байдалтай байна.

Онлайнаар ялгавартай тэгшитгэлийг хаанаас шийдэж болох вэ?

Та манай https: // сайт дээрх тэгшитгэлийг шийдэж болно. Үнэгүй онлайн шийдүүлэгч нь танд ямар ч төвөгтэй онлайн тэгшитгэлийг секундын дотор шийдэх боломжийг олгоно. Таны хийх ёстой зүйл бол зөвхөн шийдвэрлэгч рүү өөрийн өгөгдлийг оруулах явдал юм. Та мөн видео зааварчилгааг үзэж, тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар манай вэбсайтаас сурах боломжтой. Хэрэв танд асуулт байгаа бол манай Вконтакте групп http://vk.com/pocketteacher дээрээс асууж болно. Манай группт нэгдээрэй, бид танд туслахдаа үргэлж баяртай байх болно.

Практикт хамгийн энгийн ялгаа тэгшитгэл нь жишээ нь, банкны хадгаламжийн үнэ цэнийг судлахад үүсдэг. Энэ утга нь аргументийн бүхэл тоогоор тогтоосон хуулийн дагуу хуримтлагдсан нийлбэрийг илэрхийлдэг Y x хувьсагч юм. x. Жилд 100 р нийлмэл хүүгийн хуримтлалыг харгалзан банкинд хадгалуулсан Y o хэмжээг зөвшөөрнө. Хүүг жилд нэг удаа тооцож байг xхадгаламж хийснээс хойшхи жилийн тоог илэрхийлнэ (x = 0, 1, 2,...). Хугацаа дууссаны дараа шимтгэлийн үнэ цэнийг тэмдэглэе x Y x дараа жилийн дараа. Бид авдаг

Y x= (1+r)Y x-1.

Хэрэв анхны нийлбэр нь Y o бол бид Y x = Y o анхны нөхцөлийн дагуу үүссэн ялгавартай тэгшитгэлийн шийдийг x = 0 үед олох асуудалд хүрнэ. Үүссэн ялгавартай тэгшитгэл нь Y x ба энэ хувьсагчийн утгыг агуулна. нэг жилийн өмнө, өөрөөр хэлбэл. Yx-1; энэ тохиолдолд аргумент xялгавартай тэгшитгэлд ороогүй нь тодорхой.

Ерөнхийдөө, энгийн ялгавартай тэгшитгэлцувралд тооцсон Y = Y(x) функцийн утгуудын хоорондын холбоог тогтооно ижил зайтай аргументын утгууд x, гэхдээ бид ерөнхий шинж чанараа алдалгүйгээр аргументийн ижил зайн утгуудын хувьд хүссэн функцийг нэгтэй тэнцүү алхамаар тодорхойлсон гэж үзэж болно. Тиймээс хэрэв аргументийн анхны утга нь x, тэгвэл түүний ижил зайтай утгуудын цуваа x , x+1, x+2,... байх ба эсрэг чиглэлд: x , x-1, x-2,.... Харгалзах утгууд функцийг Y x, Y x+ 1, Y x+2, ... эсвэл Y x, Y x-1, Y x-2, ... гэж тэмдэглэнэ. ялгааДараах томьёог ашиглан Y x функцийн өөр өөр эрэмбийг:

Эхний эрэмбийн ялгаа

Д Y x = Y x+1 - Y x ,

D Y x+1 =Y x+2 - Y x+1,

D Y x+2 = Y x+3 - Y x+2,

... ... ... ... ...

Хоёрдахь эрэмбийн ялгаа

D 2 Y x = D Y x+1 - D Y x,

D 2 Y x+1 = D Y x+2 - D Y x+1 ,

D 2 Y x+2 = D Y x+3 - D Y x+2 ,

... ... ... ... ...

Гурав дахь эрэмбийн ялгаа

D 3 Y x \u003d D 2 Y x + 1 - D 2 Y x,

D 3 Y x+1 = D 2 Y x+2 - D 2 Y x+1 ,

... ... ... ... ...

Ердийн ялгавартай тэгшитгэл нэг бие даасан аргументийн утгуудтай холбоотой тэгшитгэл гэж нэрлэдэг x, түүний функцууд Y xмөн энэ функцийн өөр өөр эрэмбийн ялгааД Y x, D 2 Yx, D 3 Ү х, .... Ийм тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно.

j ( x , Y x ,Д Y x, D 2 Y x D 3 Y x , D n Y x ) = 0, (10.1)

альхэлбэрийн хувьд дифференциал тэгшитгэлтэй төстэй.

захиалгаялгавартай тэгшитгэлийг энэ тэгшитгэлд багтсан хамгийн их зөрүүний дараалал гэнэ. Ялгаатай тэгшитгэл (10.1) нь үл мэдэгдэх функцийн ялгааг бус харин аргументийн дараалсан утгуудын утгыг ашиглан бичихэд илүү тохиромжтой байдаг.Д Y x, D 2 Y x, D 3 Y x ,... дамжуулан Ү х , Yx+1 , Y x+2, .... (10.1) тэгшитгэлийг дараах хоёр хэлбэрийн аль нэг болгон бууруулж болно.

у ( x , Y x , Y x+1, ...,Y x+n ) = 0, (10.2)

x ( x , Y x , Y x-1, ..., Y x -n) = 0.(10.3)

Энгийн ялгавартай тэгшитгэлийн ерөнхий дискрет шийдэл Y х n th эрэмбэ нь яг агуулсан x (x = 0, 1. 2,...) функцийг илэрхийлнэ nдурын тогтмолууд:

Y x= Y(x, C 1 , C 2 ,..., C n ).

Аалзны загвар

Аливаа тодорхой бүтээгдэхүүний зах зээлийг дараахь эрэлт, нийлүүлэлтийн функцээр тодорхойл.

D= D(P), S = S(P).

Тэнцвэртэй байхын тулд үнэ нь зах зээл дээрх барааг худалдсан байх ёстой, эсвэл

D( P) = S(P).

Тэнцвэр үнэ Энэ тэгшитгэлээр (энэ нь олон шийдэлтэй байж болно) өгөгдсөн бөгөөд худалдан авалт, борлуулалтын харгалзах хэмжээг дараах байдлаар тэмдэглэв., - дараах тэгшитгэлээр:

D() = S().

Эрэлт, нийлүүлэлт саатсан үед динамик загварыг олж авдаг. Дискрет шинжилгээний хамгийн энгийн загвар нь байнгын хоцрогдол эсвэл нэг интервалын нийлүүлэлтийн хоцролтыг агуулдаг.

Дт= D (P t) ба S t = S (P t-1).

Хэрэв тухайн барааг үйлдвэрлэхэд интервалаар сонгосон тодорхой хугацаа шаардагддаг бол энэ нь тохиолдож болно. Загварын үйл ажиллагаа нь дараах байдалтай байна: өмнөх үеийн өгөгдсөн P t-1-ийн хувьд тухайн үеийн зах зээл дээрх нийлүүлэлтийн хэмжээ S (P t-1), P t-ийн утга нь байх ёстой. санал болгож буй барааны хэмжээг бүхэлд нь худалдаж авахаар тохируулна. Өөрөөр хэлбэл, P t ба худалдан авалт, борлуулалтын хэмжээ X t нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог.

X т= D (P t) = S (P t-1).

Тиймээс, P o анхны үнийг мэдэж, эдгээр тэгшитгэлийн тусламжтайгаар бид P 1 ба X 1 утгыг олж авах боломжтой. Дараа нь P 1 үнээ ашиглан харгалзах тэгшитгэлээс бид P-ийн утгыг олж авна. 2 ба X 2 гэх мэт. Ерөнхийдөө P t-ийн өөрчлөлт нь нэгдүгээр эрэмбийн ялгавартай тэгшитгэлээр тодорхойлогддог ( нэг интервалхоцрогдол):

D (P t) = S (P t-1).

Уг шийдлийг 5-р зурагт үзүүлсэн диаграмаар дүрсэлж болох ба энд D ба S нь эрэлт, нийлүүлэлтийн муруй, тэнцвэрийн байрлал (утгатай) юм.болон ) тэдгээрийн огтлолцох цэг Q-тай тохирч байна. Цагийн анхны агшин дахь үнэ нь P o -тэй тэнцүү байна. S муруйн харгалзах Q o цэг нь 1-р үеийн нийлүүлэлтийн хэмжигдэхүүнийг өгнө. Энэ нийлүүлсэн бүх хэмжигдэхүүнийг Q o-той ижил ординататай (X 1) D муруй дээрх Q 1 цэгээс өгөгдсөн P 1 үнээр худалдаж авдаг. . Хоёр дахь хугацаанд хөдөлгөөн нь эхлээд босоо чиглэлд Q 1 цэгээс S муруйн цэг хүртэл хийгдэж, X 2, дараа нь хэвтээ байдлаар Q 2 муруй D цэг хүртэл явагдана. Сүүлийн цэг нь P 2-ийг тодорхойлдог. Энэ үйл явцыг үргэлжлүүлэх нь өгдөг вэб диаграмЗурагт үзүүлэв. 5. Дараалсан хугацааны үнэ ба хэмжээ (худалдан авалт - борлуулалт) нь эрэлтийн муруй дээрх Q 1 , Q 2 , Q 3 , ... цэгүүдийн координатууд D. Хэлэлцэж буй тохиолдолд дараалал онооны тоо Q руу чиглэдэг. Энэ тохиолдолд цэгүүд Q-ын зүүн ба баруун талд ээлжлэн байрлана. Иймээс P t үнийн утга нь, хоёр талд ээлжлэн байрлана. Нөхцөл байдал худалдан авалтын эзлэхүүнтэй яг ижил байна - борлуулалт (X t ).

Шугаман эрэлт нийлүүлэлтийн функцийн хувьд алгебрийн аргаар шийдлийг гаргаж болно: D = a + aP , S =б + bP. Тэнцвэрийн утгуудболон тэгшитгэлээр өгөгдөнө

A + a = b + b,

тэр бол

= (а - б) / (б - а), \u003d (b a - a b) / (b - a). (10.4) . p t-1. (10.7)

Тэгшитгэл (10.7) нь (10.5)-тай төстэй, гэхдээ тэдгээр нь тэнцвэрийн түвшингээс хазайлтыг тодорхойлдог (одоо тэдгээр нь байгаа нь мэдэгдэж байна). Энэ хоёр тэгшитгэл нь нэгдүгээр эрэмбийн ялгавартай тэгшитгэл юм. Бид c = b / a тавиад (10.7) тэгшитгэлд орлуулж, ялгавартай тэгшитгэлийг Р тбайх болно

Р т = c p t-1 . (10.8)

Энэ үнэ цэнийн хувьд Р o мөчид t = 0 (10.8) -аас бид шийдлийг олж авна.

Р t = Р o c t,

эсвэл

P t = + (P o - ) c t .

Энгийн шугаман ялгавартай тэгшитгэлийн шийдэл

тогтмол коэффициенттэй

Шугаман дискрет системийн гаралт ба оролтын хоорондын хамаарлыг тогтмол коэффициент бүхий ердийн шугаман ялгавартай тэгшитгэлээр тодорхойлж болно.

,

хаана y[n]- гаралтын дохио n,

x[n]- одоогийн байдлаар оролтын дохио n,

би,б ктогтмол коэффициентүүд юм.

Ийм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд хоёр аргыг ашиглаж болно.

• шууд арга,
• Z арга - хувиргалт.

Шугаман ялгавартай тэгшитгэлийн шийдлийг эхлээд шууд аргаар авч үзье.

Нэг төрлийн бус (тэгээс баруун гар талтай) шугаман ялгавартай тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь o нийлбэртэй тэнцүү байна. ерөнхий шийдэлшугаман нэгэн төрлийн ялгавартай тэгшитгэл ба хувийн шийдвэрнэгэн төрлийн бус тэгшитгэл

Нэг төрлийн ялгавартай тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл ( тэг-оролтхариу үйлдэл) y h [n]

гэж тодорхойлсон

.

Энэ шийдлийг нэгэн төрлийн тэгшитгэлд орлуулснаар бид олж авна

Ийм олон гишүүнтийг нэрлэдэг онцлог олон гишүүнтсистемүүд. Түүнд байгаа Нүндэс . Үндэс нь жинхэнэ эсвэл нарийн төвөгтэй байж болох бөгөөд зарим үндэс нь давхцаж болно (олон).

Хэрэв үндэс бол нь бодит ба ялгаатай бол нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл нь хэлбэртэй байна

коэффициентүүд хаана байна

Хэрэв зарим үндэс бол, жишээ нь, λ1олон талтай м, дараа нь уусмалын харгалзах гишүүн хэлбэрийг авна

Хэрэв нэгэн төрлийн тэгшитгэл ба шинж чанарын олон гишүүнтийн бүх коэффициентүүд бодит бол энгийн нийлмэл коньюгат үндэст тохирох шийдийн хоёр гишүүн байна. хэлбэрээр илэрхийлэгдэх (бичих) болно , харин коэффициентүүд А,Бэхний нөхцлөөр тодорхойлогдоно.

Хувийн шийдлийн төрөл y p [n]тэгшитгэл нь баруун талаас (оролтын дохио) хамаарах ба доорх хүснэгтийн дагуу тодорхойлогдоно

Хүснэгт 1. Баруун талын янз бүрийн шинж чанарын тусгай шийдлийн төрөл

Оролтын дохиоx[n]	Хувийн шийдвэрyp[n]
А(тогтмол)

Шугаман ялгавартай тэгшитгэлийг Z-хувиргах аргаар шийдвэрлэх нь хэрэглэхээс бүрдэнэ З– шугаман ба цаг хугацааны шилжилтийн шинж чанарыг ашиглан тэгшитгэлд хувиргах. Үр дүн нь шугаман алгебрийн тэгшитгэл юм З- хүссэн функцийн зургууд. Урвуу З– хувиргалт нь цаг хугацааны мужид хүссэн шийдлийг өгдөг. Урвуу Z-хувиргалыг олж авахын тулд рационал илэрхийлэлийг энгийн (элемент) бутархай болгон задлах аргыг ихэвчлэн ашигладаг, учир нь тусдаа элементийн бутархайгаас урвуу хувиргалт нь энгийн хэлбэртэй байдаг.

Урвуу Z-өөрчлөлтийг тооцоолох бусад аргуудыг цаг хугацааны муж руу шилжүүлэхэд ашиглаж болно гэдгийг анхаарна уу.

Жишээ. Шугаман ялгавартай тэгшитгэлээр тодорхойлсон системийн оролтын дохионы хариуг (гаралтын дохио) тодорхойлъё.

Шийдэл.

1. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шууд арга.

Нэг төрлийн тэгшитгэл. Түүний онцлог олон гишүүнт нь .

Олон гишүүнт үндэс .

Нэг төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл.

Түүнээс хойш бид тодорхой шийдлийг хэлбэрээр тодорхойлдог .

Үүнийг тэгшитгэлд орлуулна уу

Тогтмолыг олохын тулд руухүлээн зөвшөөрөх n=2. Дараа нь

Эсвэл K=2.33

Тиймээс тодорхой шийдэл ба ялгаа тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл (1)

Тогтмолуудыг олцгооё 1-ээсболон 2-оос. Үүний тулд бид тогтоосон n=0, тэгвэл анхны ялгавартай тэгшитгэлээс бид . Энэ тэгшитгэлийн хувьд

Тийм ч учраас . Илэрхийлэлээс (1)

Үүний үр дүнд,

.

(1) илэрхийллээс n=1бидэнд байгаа .
Бид C 1 ба C 2-ын хувьд дараах хоёр тэгшитгэлийг авна

.

Энэ системийн шийдэл нь C 1 =0.486 ба C 2 = -0.816 гэсэн утгыг өгнө.

Тиймээс энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл

2. Z-хувиргах аргын шийдэл.

Цагийн шилжилтийн шинж чанарыг (теорем) харгалзан анхны ялгаа тэгшитгэлээс Z - хувиргалтыг ав. . Бид авдаг

Туршилтын асуултууд:

1. Сүлжээний функц гэж юу вэ?

2. Ямар тэгшитгэлийг ялгавартай тэгшитгэл гэж нэрлэдэг вэ?

3. Ямар тэгшитгэлийг 1-р эрэмбийн ялгавартай тэгшитгэл гэж нэрлэдэг вэ?

4. 1-р эрэмбийн нэгэн төрлийн бус ялгавартай тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг хэрхэн олох вэ?

5. Ялгаатай тэгшитгэлийн ямар шийдийг суурь гэж нэрлэдэг вэ?

6. Тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл яагаад геометр прогресс шиг харагддаг вэ?

Даалгаврууд.

1. Анхны нөхцөлтэй нэгдүгээр эрэмбийн ялгавартай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх процедурыг бич.

2. Өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий ба тусгай шийдлүүдийг аналитик аргаар ол.

3. Рекурсив томъёогоор хийсэн тооцооны үр дүнг аналитик шийдэлтэй харьцуул.

4. Анхны нөхцөлийн цочрол, тэгшитгэлийн коэффициентүүд, баруун тал нь үр дүнд хэрхэн нөлөөлж байгааг олж мэд.

				Чиглэл

1-р эрэмбийн ялгавартай тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олъё

. (1)

Рекурсив томъёог ашиглахын тулд бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг олж авдаг. . Сүлжээний дараагийн зангилаа бүрийн Y-ийн утга хоёр дахин нэмэгддэг тул q=2 хуваагчтай геометрийн прогрессийг олж авна.

Бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг дараах хэлбэрээр олно. , энд А нь тодорхойгүй коэффициент юм. Дараа нь , , ба олж авсан утгыг өгөгдсөн баруун талтай тэнцүүлж, бид тодорхойгүй A= коэффициентийг олно. Эцэст нь, ерөнхий шийдэл: .

Анхны нөхцөлийг ашиглан бид тогтмолыг олно: . Эцэст нь өгөгдсөн анхны нөхцөл байдлын тодорхой шийдэл:

.

Уусмалын өөрөө болон анхны нөхцөлийг цочроох уусмалын тогтвортой байдлыг судлахын тулд дараах тэгшитгэлийг авч үзье.

эвдэрсэн анхны нөхцөл байдал

(энд цочролын хэмжээ байна). Анхны тэгшитгэлийг (1) хасаад бид цочролын ялгавартай тэгшитгэлийг олж авна.

анхны нөхцөлтэй. Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь: , өөрөөр хэлбэл Аливаа зангилааны жижиг цочрол хүртэл зангилааны тоо нэмэгдэхийн хэрээр экспоненциалаар нэмэгддэг.

Оюутан дээр дурдсан зүйлийг тайлбарлах шаардлагатай: рекурсив томьёог өөрчлөх замаар тэгшитгэлийн анхны нөхцөл, баруун тал, коэффициентүүдийн цочролын нөлөөллийг судлах.

Тэмдэглэл дэх жагсаалтад байгаа оюутны дугаарын дагуу сонголтыг C ++ програмчлалын хэл (Builder орчныг ашиглахыг зөвшөөрдөг) эсвэл Паскаль (Delphi орчныг ашиглахыг зөвшөөрдөг) дээр шийдэх ёстой. .

1. Тоон шийд гаргах рекурсив томъёо.
2. Ялгаатай тэгшитгэлийн аналитик шийдэл. Өгөгдсөн анхны нөхцөлийг хангасан ерөнхий шийдэл ба тодорхой шийдэл.
3. Анхдагч нөхцөл байдал болон уусмалын тогтворгүй байдлын үед уусмалын тогтвортой байдлыг аналитик аргаар судал.

б) тэгшитгэлийн коэффициентүүд эвдэрсэн үед;

в) баруун тал нь цочирдсон үед.

Сэдэв: 2-р эрэмбийн ялгавартай тэгшитгэл

Туршилтын асуултууд:

1. Ямар тэгшитгэлийг 2-р эрэмбийн ялгавартай тэгшитгэл гэж нэрлэдэг вэ?

2. Онцлогийн тэгшитгэл гэж юу вэ?

3. Шинж чанар тэгшитгэлийн бодит язгууртай нэгэн төрлийн 2-р эрэмбийн ялгавартай тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл ямар байх вэ?

4. Шинж чанар тэгшитгэлийн нийлмэл язгуур бүхий нэгэн төрлийн 2-р эрэмбийн ялгавартай тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл ямар харагдах вэ?

5. 2-р эрэмбийн нэгэн төрлийн бус ялгавартай тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг хэрхэн олох вэ?

6. 2-р эрэмбийн ялгавартай тэгшитгэлийн тоон болон аналитик шийдэл нь юу вэ?

7. Ямар ажлуудыг сайн нөхцөлтэй гэж нэрлэдэг вэ?

Даалгаврууд

1. Хилийн нөхцлүүдтэй хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийн ялгавар хилийн бодлого бодох процедурыг бич.

2. Өгөгдсөн тэгшитгэлийн хувьд ерөнхий ба тусгай шийдлийг аналитик аргаар олж, нөхцөлт байдлын шалгуурыг шалгана уу.

3. Рекурсив томъёогоор хийсэн тооцооны үр дүнг аналитик шийдэлтэй харьцуул.

4. Хилийн нөхцөл ба баруун талын гажуудал үр дүнд хэрхэн нөлөөлж байгааг олж мэд.

						Дурын тогтмолуудыг сонгох замаар 2-р эрэмбийн ялгавартай тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олцгооё. Кошигийн бодлоготой зэрэгцэн хоёр цэгийн хилийн утгын бодлогуудыг хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийн хувьд авч үздэг бөгөөд үүнд тор функцийн утгыг дараалан биш, харин зарим төгсгөлийн төгсгөлд байрлах хоёр зангилаагаар өгдөг. сегмент: (хилийн нөхцөл ). Ийм асуудлын аналитик шийдлийг ерөнхий шийдэлд дурын тогтмол тоонуудын зохистой сонголтоор олж авч болно. Гэсэн хэдий ч, эхний нөхцлүүдийн асуудлаас ялгаатай нь хилийн утгын асуудал нь заавал давтагдашгүй шийдэгдэх боломжгүй юм. Иймээс өвөрмөц шийдэгдэх чадвартай, баруун тал ба хилийн нөхцлийн гажуудал (дугуйруулах алдааны улмаас) бага мэдрэмжтэй хилийн бодлогын ангиллыг тодруулах нь маш чухал юм. Бид ийм ажлуудыг дуудах болно сайн нөхцөлтэй Нөхцөл муутай хилийн бодлогын жишээг авч үзье Асуудлын томъёолол. Анхны ялгавартай тэгшитгэл ба хилийн нөхцөл. Тоон шийдлийг олж авах журам. Ялгаатай хилийн бодлогын аналитик шийдэл. Ерөнхий шийдэл ба өгөгдсөн хилийн нөхцлийг хангасан тодорхой шийдэл. Нөхцөл байдлын шалгуурыг шалгаж байна. Тоон шийдэл ба аналитик уусмалын график (ижил тэнхлэгт). Тоон болон аналитик шийдлүүдийн ялгааны график. Гадаргуутай тоон шийдлүүдийн графикууд ба түгшүүртэй болон тогтворгүй шийдүүдийн ялгаа: a) анхны нөхцөл байдал эвдэрсэн үед; б) баруун тал нь цочирдох үед. Хилийн үнийн асуудлын нөхцөл байдлын талаархи дүгнэлт.

Төрөл тэгшитгэл

зарим тоо хаана байна, тогтмол коэффициент бүхий шугаман ялгавартай тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Ихэвчлэн (1) тэгшитгэлийн оронд (1)-ээс төгсгөлтэй ялгаанаас функцийн утга руу шилжих замаар олж авсан тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн тэгшитгэл гэж үздэг.

Хэрэв (2) тэгшитгэлд функц байгаа бол ийм тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг.

Нэг төрлийн тэгшитгэлийг авч үзье

Шугаман ялгавартай тэгшитгэлийн онол нь шугаман дифференциал тэгшитгэлийн онолтой төстэй.

Теорем 1.

Хэрэв функцууд нь нэгэн төрлийн (3) тэгшитгэлийн шийдэл бол функц

нь мөн (3) тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Баталгаа.

(3) дахь функцуудыг орлуулна уу.

функц нь (3) тэгшитгэлийн шийдэл учраас.

Хэрэв ийм тоо байгаа бол сүлжээний функцуудыг шугаман хамааралтай гэж нэрлэдэг. дор хаяж нэг нь тэг биш бол дурын n-ийн хувьд дараах үнэн байна:

(4)

Хэрэв (4) нь зөвхөн хувьд хамаарна дараа нь , функцуудыг шугаман бие даасан гэж нэрлэдэг.

(3) тэгшитгэлийн аливаа k шугаман бие даасан шийдлүүд шийдлүүдийн үндсэн системийг бүрдүүлнэ.

(3) тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүдийг үзье

(3) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм. Тодорхой нөхцөл байдал илэрвэл эхний нөхцлөөс тодорхойлогдоно

Бид (3) тэгшитгэлийн шийдлийг дараах хэлбэрээр хайх болно.

Тэгшитгэлд орлуулах (3)

Бид (5) тэгшитгэлийг хуваана

Онцлогийн тэгшитгэл. (6)

(6) нь зөвхөн энгийн үндэстэй гэж үзье Үүнийг шалгах нь амархан шугаман бие даасан байна. Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл (3) хэлбэртэй байна

Жишээ.

Тэгшитгэлийг авч үзье

Онцлогийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Шийдэл нь иймэрхүү харагдаж байна

Үндэс нь r үржвэртэй байг. Энэ үндэс нь шийдэлтэй тохирч байна

Үндэс нь үлдсэн гэж үзвэл олон биш бол (3) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл хэлбэртэй байна

Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг авч үзье (2).

Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл (2), дараа нь ерөнхий шийдэл

ЛЕКЦ 16

Лекцийн төлөвлөгөө

1. D ба Z-ийн тухай ойлголт - хувиргалт.

2. D ба Z-ийн хамрах хүрээ - хувиргалт.

3. Урвуу D ба Z - хувиргалт.

DISCRETE LAPLACE TRANSFORM.

Z - ӨӨРЧЛӨЛТ.

Торны функцийг ашиглахтай холбоотой хэрэглээний судалгаанд дискрет Лаплас хувиргалт (D-хувиргах) ба Z-хувиргах аргыг өргөн ашигладаг. Ердийн Лапласын хувиргалттай зүйрлэвэл дискретийг хэлбэрээр өгсөн болно

хаана (1)

Бэлгэдлийн хувьд D - хувиргалтыг гэж бичнэ

Шилжүүлсэн торны функцүүдийн хувьд

офсет хаана байна.

Z - хувиргалтыг D - орлуулах замаар хувиргах замаар олж авах ба хамаарлаар өгөгдөнө

(3)

Өргөтгөсөн функцийн хувьд

Функцийг анхны if гэж нэрлэдэг

2) өсөлтийн индекс байна, өөрөөр хэлбэл, ийм, тийм байна

(4)

Тэгш бус байдал (4) үнэн байх тоонуудын хамгийн бага (эсвэл хамгийн бага тоо хандлагатай байгаа хязгаар)-ыг үнэмлэхүй нийлэх абсцисса гэж нэрлэдэг ба үүнийг тэмдэглэнэ.

Теорем.

Хэрэв функц нь эх бол зураг нь Re p > хэсэгт тодорхойлогдсон бөгөөд энэ талбарт аналитик функц болно.

Re p > цувралын хувьд (1) туйлын нийлдэг болохыг харуулъя. Бидэнд байгаа

учир нь заасан хэмжээ нь индикатор бүхий буурч буй геометр прогрессийн гишүүдийн нийлбэр юм Ийм дэвшил нэгдэж байгаа нь мэдэгдэж байна. Утгыг дур зоргоороо утгын ойролцоо авч болно, өөрөөр хэлбэл теоремын эхний хэсэг батлагдсан болно.

Бид теоремын хоёр дахь хэсгийг нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрдөг.

Зураг нь төсөөллийн үетэй үечилсэн функц юм

Зургийг судлахдаа үүнийг бүхэл бүтэн хавтгайд авч үзэх нь утгагүй бөгөөд зөвхөн өргөнтэй ямар ч туузан дээр судлахад л хангалттай. үүнийг үндсэн гэж нэрлэдэг. Тэр. Шалны туузан дээрх зургуудыг тодорхойлсон гэж бид үзэж болно

бөгөөд энэ хагас зурвас дахь аналитик функц юм.

F(z) функцийн тодорхойлолт ба аналитик байдлын мужийг тохируулж олцгооё. Хагас зурвас гэдгийг харуулъя p хавтгай z хавтгай дээрх муж болж хувирна: .

Үнэхээр сегмент , p-хавтгай дээрх хагас туузыг хязгаарлаж байгаа нь z-хавтгай дээр хөрш рүү хөрвүүлэв: .

Трансформаци нь сегментийг хувиргах шугамаар тэмдэглэнэ . Дараа нь

Хөрш.

Тэр. Z – хувиргалт F(z) нь домэйнд тодорхойлогдсон бөгөөд энэ домайн дахь аналитик функц юм.

Урвуу D - хувиргалт нь зурагнаас торны функцийг сэргээх боломжийг олгодог

(5)

Тэгш байдлыг баталцгаая.

Тэд хөрш зэргэлдээ оршдог.

(7)

(8)

(7) ба (8) тэгшитгэлд F(s) функцийн бүх онцгой цэгүүдэд үлдэгдлийг авна.