Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалтын хууль. Хуваарилалтын хоёр хуулийн нэгдэл. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалт

Тодорхойлолт. Х 1 , Х 2 , …, Х n санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг аль нэг x 1, x 2 , …, x n-ийн хувьд үйл явдлууд нь бие даасан байвал бие даасан гэж нэрлэдэг.

(ω: X 1 (ω)< x},{ω: Х 2 (ω) < x},…, {ω: Х n (ω) < x n }.

Энэ нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд гэсэн тодорхойлолтоос шууд гардаг X 1, X 2, …, X nтүгээлтийн функц n-хэмжээт санамсаргүй хэмжигдэхүүн X = X 1, X 2, …, X nсанамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна X 1, X 2, …, X n

Ф(x 1 , x2, …, x n) = Ф(x 1)Ф(x2)…Ф(x n). (1)

Тэгш байдлыг ялгаж үзье (1) nудаа x 1 , x2, …, x n, бид авдаг

х(x 1 , x2, …, x n) = х(x 1)х(x2)…х(x n). (2)

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бие даасан байдлын өөр нэг тодорхойлолтыг өгч болно.

Хэрэв нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь бусад санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудаас хамаарахгүй бол ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг нийлбэрт бие даасан гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, өөр өөр хувилбарын хоёр сугалааны тасалбар худалдаж авдаг. Болъё X- эхний тасалбарын хожлын хэмжээ, Ю– хоёр дахь тасалбарын хожлын хэмжээ. санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xболон Ю- бие даасан, учир нь нэг тасалбар хожсон нь нөгөө тасалбарын хуваарилалтын хуульд нөлөөлөхгүй. Гэхдээ тасалбар нь ижил асуудалтай бол Xболон Ю- хамааралтай.

Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бие даасан хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь тархалтын хууль нөгөө хувьсагч ямар боломжит утгыг авсанаас хамаарч өөрчлөгддөггүй.

Теорем 1(хувиралт) эсвэл "2 санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн нягтын теорем".

Болъё X = (X 1;X 2) нь бие даасан тасралтгүй хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн, Ю = X 1+ X 2. Дараа нь түгээлтийн нягтрал

Баталгаа. Хэрэв , тэгвэл гэдгийг харуулж болно

хаана X = (X 1 , X 2 , …, X n). Дараа нь бол X = (X 1 , X 2), дараа нь түгээлтийн функц Ю = X 1 + X 2-ыг дараах байдлаар тодорхойлж болно (Зураг 1) -

Тодорхойлолтын дагуу функц нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягтрал юм Y = X 1 + X 2 , i.e.

py (т) = үүнийг батлах ёстой байсан.

Хоёр бие даасан дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн магадлалын тархалтыг олох томьёог гаргая.

Теорем 2.Болъё X 1 , X 2 – бие даасан дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн,

Баталгаа. Үйл явдлыг төсөөлөөд үз дээ А х = {X 1 +X 2 = x) үл нийцэх үйл явдлын нийлбэр

А х = å( X 1 = xби; X 2 = x– x i).

Учир нь X 1 , X 2 - дараа нь бие даасан П(X 1 = xби; X 2 = x– x i) = П(X 1 = xби) П(X 2 = х-х i), тэгвэл

П(А х) = П(å( X 1 = xби; X 2 = x – x i)) = å( П(X 1 = x i) П(X 2 = х-хби))

Q.E.D.

Жишээ 1Болъё X 1 , X 2 - параметртэй хэвийн тархалттай бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд Н(0;1); X 1 , X 2 ~ Н(0;1).

Тэдний нийлбэрийн тархалтын нягтыг олъё (бид үүнийг тэмдэглэнэ X 1 = x, Ю = X 1 +X 2)

Интеграл нь параметртэй хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт гэдгийг харахад хялбар байдаг. а= , , i.e. интеграл нь 1.

Чиг үүрэг py(т) нь a = 0, s = параметртэй хэвийн тархалтын нягт юм. Ийнхүү (0,1) параметртэй бие даасан хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр нь (0,1) параметртэй хэвийн тархалттай байна, i.e. Ю = X 1 + X 2 ~ Н(0;).

Жишээ 2. Пуассоны тархалттай хоёр салангид бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг өгье

хаана k, m, n = 0, 1, 2, …,¥.

Теорем 2-ын дагуу бид:

Жишээ 3Болъё X 1, X 2 - экспоненциал тархалттай бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд. Нягтыг олцгооё Ю= X 1 +X 2 .

Тэмдэглэх x = x 1. Түүнээс хойш X 1, X 2 нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол "хувиралтын теорем"-ыг ашигладаг.

Хэрэв нийлбэр ( Х и l параметртэй экспоненциал тархалттай байна), тэгвэл Ю= нь Erlang тархалт гэж нэрлэгддэг тархалттай ( n- 1) захиалга. Энэ хуулийг дарааллын онолын анхны бүтээлүүдэд утасны станцуудын үйл ажиллагааг загварчлах замаар олж авсан.

Математикийн статистикт тархалтын хуулиудыг ихэвчлэн бие даасан хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний функц болох санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд ашигладаг. Санамсаргүй үзэгдлийг загварчлахад хамгийн их тохиолддог гурван хуулийг авч үзье.

Теорем 3.Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байвал X 1, ..., X n, тэгвэл эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний функцууд мөн бие даасан байна Ю 1 = е 1 (X 1), ...,Ү н = f n(X n).

Пирсоны хуваарилалт(2-оос - хуваарилалт). Болъё X 1, ..., X nпараметртэй бие даасан хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд юм а= 0, s = 1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн зохио

Энэ замаар,

x > 0-ийн нягт нь 1 хэлбэртэй байгааг харуулж болно, энд k n нь нөхцөлийг хангах зарим коэффициент юм. n ® ¥-ийн хувьд Пирсоны тархалт нь хэвийн тархалт руу чиглэдэг.

Х 1 , Х 2 , …, Хn ~ N(a,s), санамсаргүй хэмжигдэхүүн ~ N(0,1) байг. Иймд санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь n зэрэгтэй чөлөөтэй c 2 тархалттай байна.

Пирсоны тархалтыг хүснэгт хэлбэрээр гаргаж, математик статистикийн янз бүрийн хэрэглээнд ашигладаг (жишээлбэл, тархалтын хууль нийцтэй гэсэн таамаглалыг шалгах үед).

Практикт санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалтын хуулийг олох шаардлагатай болдог.

Систем байгаасай (X b X 2)хоёр тасралтгүй с. in. ба тэдгээрийн нийлбэр

Тархалтын нягтыг олъё c. in. U. Өмнөх догол мөрийн ерөнхий шийдлийн дагуу бид хаана байгаа онгоцны мужийг олно x + x 2 (Зураг 9.4.1):

Энэ илэрхийллийг y-ээс ялгаж үзвэл бид ap-г олж авна. санамсаргүй хувьсагч Y \u003d X + X 2:

φ (x b x 2) = Xj + x 2 функц нь аргументуудын хувьд тэгш хэмтэй тул

Хэрэв хамт бол. in. Xболон X 2 бие даасан байвал (9.4.2) ба (9.4.3) томъёонууд дараах хэлбэртэй байна.

Бие даасан тохиолдолд c. in. х хболон X 2,хуваарилалтын хуулиудын бүрэлдэхүүний талаар ярих. Үйлдвэрлэх найрлагахоёр тархалтын хууль - энэ нь хоёр бие даасан нийлбэрийн тархалтын хуулийг олох гэсэн үг c. в., эдгээр хуулийн дагуу хуваарилагдсан. Тэмдэглэлийн тэмдэглэгээг хуваарилах хуулиудын бүрэлдэхүүнийг тодорхойлоход ашигладаг

Энэ нь үндсэндээ (9.4.4) эсвэл (9.4.5) томъёогоор тэмдэглэгдэнэ.

Жишээ 1. Хоёр техникийн төхөөрөмжийн (TD) ажлыг авч үзсэн. Нэгдүгээрт, TU нь бүтэлгүйтсэн (бүтэлгүйтсэн) TU 2-ийн үйл ажиллагаанд орсоны дараа ажилладаг. Ажиллах хугацаа TU TU TU 2 - х хболон X 2 - бие даасан бөгөөд A,1 болон параметр бүхий экспоненциал хуулийн дагуу тархсан X 2.Тиймээс цаг Ю TU-ээс бүрдсэн TU-ийн асуудалгүй ажиллагаа! ба TU 2-ийг томъёогоор тодорхойлно

Энэ нь p.r олох шаардлагатай. санамсаргүй хувьсагч Y,өөрөөр хэлбэл параметр бүхий хоёр экспоненциал хуулийн найрлага ба X 2.

Шийдэл. (9.4.4) томъёогоор бид (y > 0) авна.

Хэрэв ижил параметртэй хоёр экспоненциал хуулийн найрлага байвал (?c = X 2 = Y), дараа нь (9.4.8) илэрхийлэлд 0/0 төрлийн тодорхойгүй байдлыг олж авах бөгөөд үүнийг өргөжүүлэхэд бид дараахь зүйлийг авна.

Энэ илэрхийллийг (6.4.8) илэрхийлэлтэй харьцуулж үзвэл бид хоёр ижил экспоненциал хуулийн (?c =) бүрэлдхүүн гэдэгт итгэлтэй байна. X 2 = x)хоёр дахь эрэмбийн Эрлангийн хууль (9.4.9). Өөр өөр параметр бүхий хоёр экспоненциал хууль зохиохдоо х хба А-2 авна хоёрдугаар зэргийн ерөнхийлсөн Эрлангийн хууль (9.4.8). ?

Бодлого 1. Хоёр с-ийн зөрүүний тархалтын хууль. in. -тэй систем. in. (X ба X 2)хамтарсан r.p./(x x x 2) байна. P.r олох. тэдний ялгаа Y=X - X 2.

Шийдэл. Системийн хувьд in. (X b - X 2)гэх мэт. байх болно / (x b - x 2),өөрөөр хэлбэл бид зөрүүг нийлбэрээр сольсон. Тиймээс a.r. санамсаргүй хэмжигдэхүүн U нь хэлбэртэй байна (9.4.2), (9.4.3)-ыг үзнэ үү):

Хэрвээ -тай. in. X x iX 2 тэгвэл бие даасан

Жишээ 2. f.r-г ол. бие даасан экспоненциал тархсан хоёр s-ийн ялгаа. in. параметрүүдтэй х хболон X 2.

Шийдэл. Томъёоны дагуу (9.4.11) бид авна

Цагаан будаа. 9.4.2 Цагаан будаа. 9.4.3

Зураг 9.4.2-д p. g(y). Хэрэв бид хоёр бие даасан экспоненциал тархсан s-ийн ялгааг авч үзвэл. in. ижил тохиргоотой (А-и= X 2 = ГЭХДЭЭ,),тэгээд g(y) \u003d / 2 - аль хэдийн танил болсон

Лапласын хууль (Зураг 9.4.3). ?

Жишээ 3. Хоёр бие даасан нийлбэрийн тархалтын хуулийг ол c. in. Xболон X 2,параметрүүдтэй Пуассоны хуулийн дагуу хуваарилагдана а хболон a 2.

Шийдэл. Үйл явдлын магадлалыг ол (X x + X 2 = t) (t = 0, 1,

Тиймээс С. in. Y= X x + X 2 параметртэй Пуассоны хуулийн дагуу хуваарилагдана a x2) - a x + a 2. ?

Жишээ 4. Хоёр бие даасан нийлбэрийн тархалтын хуулийг ол c. in. х хболон X 2,параметр бүхий бином хуулийн дагуу тархсан p x ri p 2, pтус тус.

Шийдэл. -тай төсөөлөөд үз дээ. in. х хзэрэг:

хаана X 1) -үйл явдлын үзүүлэлт ГЭХДЭЭтуршлага:

Түгээх хүрээ нь. in. X,- хэлбэртэй байна

Бид s-ийн хувьд ижил төстэй дүрслэлийг хийх болно. in. X 2:Энд X] 2) - үйл явдлын үзүүлэлт ГЭХДЭЭ y"-р туршлагад:

Үүний үр дүнд,

X хаана байна? 1)+(2) бол үйл явдлын үзүүлэлт ГЭХДЭЭ:

Тиймээс бид үүнийг харуулсан in. Хадам эцгийн хэмжээ (u + n 2)үйл явдлын үзүүлэлтүүд ГЭХДЭЭ, үүнээс үүдэн s. in. ^ параметр бүхий бином хуулийн дагуу тархсан ( n x + n 2), х.

Хэрэв магадлал байгаа бол гэдгийг анхаарна уу Рөөр өөр цуврал туршилтууд нь өөр өөр байдаг, дараа нь хоёр бие даасан с нэмэх үр дүнд. в., бином хуулийн дагуу тархсан нь в. в., бином хуулийн дагуу хуваарилагдаагүй. ?

3 ба 4-р жишээг дурын тооны нэр томьёонд хялбархан ерөнхийд нь хэлнэ. Пуассоны хуулийг параметртэй зохиохдоо a b a 2, ..., а тПараметрээр Пуассоны хуулийг дахин олж авна a (t) \u003d a x + a 2 + ... + ба т.

Параметр бүхий бином хуулийг зохиохдоо (n r); (би 2, R) , (n t, p)дахин бид параметр бүхий бином хуулийг олж авна (“(“), R),хаана n (t) \u003d u + n 2 + ... + гэх мэт.

Бид Пуассоны хууль ба хоёр гишүүний хуулийн чухал шинж чанарууд болох "тогтвортой байдлын өмч" -ийг нотолсон. Хуваарилалтын хууль гэж нэрлэдэг тогтвортой,нэг төрлийн хоёр хуулийн бүрэлдэхүүнээс нэг төрлийн хууль гарсан бол (зөвхөн энэ хуулийн параметрүүд ялгаатай). Дэд хэсэгт 9.7-д бид ердийн хууль нь ижил тогтвортой байдлын шинж чанартай болохыг харуулах болно.

Нэг асуудлыг шийдэхийн тулд, тухайлбал хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалтын хуулийг олохын тулд дээрх ерөнхий аргыг ашиглая. Тархалтын нягт f(x,y) хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний (X,Y) систем байдаг. X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэрийг авч үзээд Z утгын тархалтын хуулийг ол.Үүний тулд xOy хавтгай дээр тэгшитгэл нь (Зураг 7) байх шулууныг байгуулна. Энэ нь тэнхлэг дээрх z-тэй тэнцүү сегментүүдийг таслах шулуун шугам юм. Шулуун шугам нь xy хавтгайг хоёр хэсэгт хуваана; баруун ба түүнээс дээш; зүүн ба доор.

Энэ тохиолдолд D бүс нь Зураг дээр сүүдэрлэсэн xOy онгоцны зүүн доод хэсэг юм. 7. (16) томъёоны дагуу бид:

Дотоод интегралын дээд хязгаарт багтсан z хувьсагчийн хувьд энэ илэрхийллийг ялгаж үзвэл бид дараахийг олж авна.

Энэ нь хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалтын нягтын ерөнхий томъёо юм.

X ба Y-тэй холбоотой асуудлын тэгш хэмийн шалтгааны улмаас бид ижил томъёоны өөр хувилбарыг бичиж болно.

Энэ нь эхнийхтэй тэнцүү бөгөөд оронд нь ашиглаж болно.

Ердийн хуулиудын бүрэлдэхүүний жишээ. Хэвийн хуулиудын дагуу бие даасан хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн X ба Y-г авч үзье.

Эдгээр хуулиудын найрлагыг гаргах, өөрөөр хэлбэл хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг олох шаардлагатай: .

Бид хуваарилалтын хуулиудыг бүрдүүлэх ерөнхий томъёог ашигладаг.

Хэрэв бид интегралын илтгэгчийн хаалтуудыг нээж, ижил нөхцөлийг авчрах юм бол бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг бид өмнө нь тааралдсан томъёонд орлуул

Өөрчлөлтийн дараа бид дараахь зүйлийг авна.

бөгөөд энэ нь тархалтын төвтэй ердийн хуулиас өөр зүйл биш юм

ба стандарт хазайлт

Дараах чанарын үндэслэлийн тусламжтайгаар ижил дүгнэлтэд илүү хялбар хүрч болно.

Хаалт нээхгүйгээр, (17) интегралд хувиргалт хийхгүйгээр бид тэр даруй илтгэгч нь х хэлбэрийн хувьд квадрат гурвалжин гэсэн дүгнэлтэд хүрнэ.

z-ийн утгыг А коэффициентэд огт оруулаагүй бол B коэффициентийг нэгдүгээр зэрэгт багтааж, С коэффициентийг квадрат болгоно. Үүнийг бодолцож, (18) томъёог ашигласнаар бид g(z) нь экспоненциал функц бөгөөд түүний илтгэгч нь z-тэй харьцуулахад квадрат гурвалжин ба тархалтын нягт; Энэ төрлийнх нь ердийн хуульд нийцдэг. Тиймээс бид; Бид цэвэр чанарын дүгнэлтэд хүрэв: z-ийн тархалтын хууль хэвийн байх ёстой. Энэ хуулийн параметрүүдийг олохын тулд - ба - бид математикийн хүлээлтийг нэмэх теорем ба дисперсийн нэмэх теоремыг ашигладаг. Математикийн хүлээлтийн нэмэлт теоремоор. Тархалтын нэмэх теоремоор буюу (20) томъёогоор.

Дундаж квадратын язгуур хазайлтаас тэдгээртэй пропорциональ магадлалтай хазайлт руу шилжвэл бид дараахийг авна.

Ингээд бид дараах дүрэмд хүрлээ: хэвийн хуулиудыг зохиох үед дахин хэвийн хууль гарч, математикийн хүлээлт ба дисперс (эсвэл квадрат магадлалтай хазайлт) -ийг нэгтгэн дүгнэнэ.

Хэвийн хуулиудын найрлагын дүрмийг дурын тооны бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй холбоотой тохиолдолд ерөнхийлж болно.

Хэрэв n бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн байгаа бол: тархалтын төв ба стандарт хазайлттай хэвийн хуулиудад захирагдах бол утга нь параметртэй хэвийн хуульд хамаарна.

Томъёоны (22) оронд ижил төстэй томъёог ашиглаж болно.

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн систем (X, Y) нь ердийн хуулийн дагуу тархсан боловч X, Y хэмжигдэхүүнүүд нь хамааралтай бол өмнөх шигээ (6.3.1) ерөнхий томъёонд үндэслэн батлахад хялбар болно. хэмжигдэхүүний тархалтын хууль мөн хэвийн хууль. Тархалтын төвүүдийг алгебрийн аргаар нэмсэн хэвээр байгаа боловч стандарт хазайлтын хувьд дүрэм илүү төвөгтэй болдог: , энд, r нь X ба Y утгуудын корреляцийн коэффициент юм.

Нийтдээ хэвийн хуульд захирагддаг хэд хэдэн хамааралтай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг нэмэхэд нийлбэрийн тархалтын хууль мөн параметртэй хэвийн болж хувирдаг.

эсвэл болзошгүй хазайлт

X i , X j хэмжигдэхүүнүүдийн корреляцийн коэффициент хаана байна, нийлбэр нь бүх хэмжигдэхүүнүүдийн хос хосолсон хослолуудад хамаарна.

Бид ердийн хуулийн маш чухал шинж чанарыг олж харсан: ердийн хуулиудыг нэгтгэх үед дахин нэг хэвийн хуулийг олж авдаг. Энэ бол "тогтвортой байдлын өмч" гэж нэрлэгддэг зүйл юм. Хэрэв ийм төрлийн хоёр хууль зохиосноор ижил төрлийн хууль дахин гарвал тархалтын хуулийг тогтвортой гэж нэрлэдэг. Ердийн хууль тогтвортой байдгийг бид дээр харуулсан. Маш цөөхөн хуваарилалтын хууль тогтвортой байдлын шинж чанартай байдаг. Нэг төрлийн нягтын хууль тогтворгүй: 0-ээс 1 хүртэлх хэсгүүдэд жигд нягтын хоёр хуулийг зохиохдоо бид Симпсоны хуулийг олж авсан.

Ердийн хуулийн тогтвортой байдал нь түүнийг практикт өргөнөөр хэрэглэх зайлшгүй нөхцөлүүдийн нэг юм. Гэсэн хэдий ч тогтвортой байдлын шинж чанарыг ердийн зүйлээс гадна бусад хуваарилалтын хуулиуд эзэмшдэг. Ердийн хуулийн нэг онцлог нь хангалттай олон тооны практикт дур зоргоороо хуваарилах хуулиуд бүрдэх үед нэр томьёоны тархалтын хуулиас үл хамааран нийт хууль нь ердийн хуультай дур зоргоороо ойролцоо болж хувирдаг явдал юм. Үүнийг жишээ нь 0-ээс 1 хүртэлх хэсгүүдэд жигд нягтын гурван хуулийн найрлагыг бүрдүүлэх замаар дүрсэлж болно. Үр дүнд нь тархалтын хууль g(z)-ийг зурагт үзүүлэв. 8. Зургаас харахад g (z) функцийн график нь хэвийн хуулийн графиктай маш төстэй байна.

Магадлалын онолын маш чухал объект бол бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр юм. Энэ нь магадлалын онолын аналитик аргуудыг хөгжүүлэх үндэс суурийг тавьсан бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалтын судалгаа юм.

Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалт

Энэ хэсэгт бид бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалтын функцийг тооцоолох ерөнхий томьёог олж авч, хэд хэдэн жишээг авч үзэх болно.

Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалт. Эргэлтийн томъёо

тархалтын функцтэй бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд

тус тус

Дараа нь түгээлтийн функц Фсанамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр

дараах томъёогоор тооцоолж болно ( эргэлтийн томъёо)

Үүнийг батлахын тулд бид Фубини теоремыг ашигладаг.

Томъёоны хоёр дахь хэсэг нь ижил төстэй байдлаар батлагдсан.

Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалтын нягт

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний аль алиных нь тархалт нягтралтай бол эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн нягтыг томъёогоор тооцоолж болно.

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний (эсвэл ) тархалт нь нягтралтай бол эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн нягтыг томъёогоор тооцоолж болно.

Эдгээр мэдэгдлийг батлахын тулд нягтын тодорхойлолтыг ашиглахад хангалттай.

Олон тооны эргэлт

Хязгаарлагдмал тооны бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тооцоог эвдрэлийн томъёоны дараалсан хэрэглээг ашиглан гүйцэтгэнэ. Нийлбэр хуваарилалтын функц ктархалтын функц бүхий бие даасан ижил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд Ф

дуудсан к– тархалтын функцийн нугалах эргэлт Фболон тэмдэглэсэн

Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалтыг тооцоолох жишээ

Энэ догол мөрөнд тохиолдлын жишээг өгсөн бөгөөд санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг нэгтгэхдээ тархалтын хэлбэрийг хадгалсан болно. Баталгаажуулалт нь интегралыг нэгтгэх, тооцоолох дасгалууд юм.

Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр. Хэвийн тархалт

Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр.Биномиаль тархалт

Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр.Пуассоны тархалт

Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр.Гамма тархалт

Пуассон үйл явц

параметртэй экспоненциал тархалттай, бие даасан адил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дараалал

Санамсаргүй цэгүүдийн дараалал

сөрөг бус хагас тэнхлэг дээр гэж нэрлэдэг Пуассон (цэг) үйл явц.

Онооны тооны хуваарилалтыг тооцоолъё

(0,t) интервал дахь Пуассон процесс

эквивалент гэх мэт

Харин санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт

k эрэмбийн Эрлангийн тархалт тул

Ийнхүү (o,t) интервал дахь Пуассон процессын цэгүүдийн тооны тархалт нь параметртэй Пуассоны тархалт болно.

Пуассон процессыг санамсаргүй тохиолдлууд болох мөчүүдийг дуурайхад ашигладаг - цацраг идэвхт задралын үйл явц, утасны станц руу залгах мөчүүд, үйлчилгээний системд үйлчлүүлэгчид гарч ирэх мөчүүд, тоног төхөөрөмжийн эвдрэлийн мөчүүд.

Шийдвэр гаргагч тодорхой төрлийн санамсаргүй үйл явдлын санхүүгийн сөрөг нөлөөллийг бууруулахын тулд даатгалыг ашиглаж болно.

Гэхдээ шийдвэр гаргагч нь өмч хөрөнгө, хадгаламж, орлогод хохирол учруулахаас хамгаалж буй хувь хүн, ижил төрлийн хохирлоос хамгаалахыг хүссэн байгууллага хоёулаа байж болох тул энэ нь маш ерөнхий юм.

Үнэн хэрэгтээ ийм байгууллага нь хувь хүн эсвэл даатгалын багцтайгаа хэт олон даатгалын тохиолдлын улмаас өөрийгөө хамгаалах арга замыг хайж байгаа даатгалын компани байж болно. Үүнийг хамгаалалт гэж нэрлэдэг давхар даатгал.

Хоёр загварын аль нэгийг нь авч үзье (жишээлбэл эрсдэлийн хувь хүний ​​загвар) даатгалын хувь хэмжээ, нөөцийг тодорхойлох, мөн давхар даатгалд өргөн хэрэглэгддэг.

-ээр тэмдэглээрэй Сдаатгалын компанийн эрсдлийн зарим хэсэгт тохиолдлоор учирсан хохирлын хэмжээ. Энэ тохиолдолд Смагадлалын тархалтыг тодорхойлох ёстой санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. Түүхийн хувьд r.v-ийн хуваарилалтын хувьд. Схоёр багц постулат байсан. Хувь хүний ​​эрсдэлийн загвар нь тодорхойлдог Сдараах байдлаар:

хаана r.v. дугаартай даатгалын объектоос учирсан хохирлыг хэлнэ би,а nдаатгалын объектын нийт тоог илэрхийлнэ.

Эдгээрийг ихэвчлэн бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үздэг, учир нь энэ тохиолдолд математикийн тооцоолол илүү хялбар бөгөөд тэдгээрийн хоорондын харилцааны мөн чанарын талаархи мэдээлэл шаардлагагүй болно. Хоёр дахь загвар нь хамтын эрсдэлийн загвар юм.

Хувь хүний ​​эрсдлийн авч үзсэн загвар нь цаг хугацааны явцад мөнгөний үнэ цэнийн өөрчлөлтийг тусгаагүй болно. Энэ нь загварыг хялбарчлахын тулд хийгдсэн бөгөөд нийтлэлийн гарчиг нь богино хугацааны интервалыг илэрхийлдэг.

Бид зөвхөн хаалттай загваруудыг авч үзэх болно, i.e. даатгалын объектуудын тоо байдаг хүмүүс n(1.1) томъёонд байгаа нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд авч үзсэн хугацааны интервалын хамгийн эхэнд тогтоогддог. Хэрэв бид даатгалын системээс шилжилт хөдөлгөөн байгаа эсэх талаар таамаг дэвшүүлбэл нээлттэй загвар гарч ирнэ.

Хувь хүний ​​төлбөрийг тодорхойлсон санамсаргүй хувьсагч

Эхлээд амьдралын даатгалын талаархи үндсэн заалтуудыг эргэн санацгаая.

Нэг жилийн хугацаатай нас барсан тохиолдолд даатгагч төлбөрийг төлөх үүрэгтэй б, даатгуулагч даатгалын гэрээ байгуулагдсан өдрөөс хойш нэг жилийн дотор нас барсан, даатгуулагч энэ онд амьдарсан бол юу ч төлөхгүй бол.

Заасан жилийн хугацаанд даатгалын тохиолдол гарах магадлалыг .

Даатгалын төлбөрийг тодорхойлсон санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь магадлалын функцээр тодорхойлогддог тархалттай байдаг

(2.1)

эсвэл харгалзах хуваарилалтын функц

(2.2)

Томъёо (2.1) ба моментуудын тодорхойлолтоос бид олж авна

(2.4)

Эдгээр томъёог бичгээр авах боломжтой Xзэрэг

хаана нь нас барсан тохиолдолд төлдөг тогтмол утга бөгөөд санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь нас барсны дараа 1, бусад тохиолдолд 0 утгыг авдаг.

Тиймээс, ба , мөн r.v-ийн дундаж утга ба дисперс. тэнцүү ба тус тус, дундаж утга ба дисперс r.v. ба-тай тэнцүү бөгөөд энэ нь дээрх томьёотой давхцаж байна.

(0,1) мужтай санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг актуар загварт өргөн ашигладаг.

Магадлалын онолын сурах бичигт үүнийг гэж нэрлэдэг үзүүлэлт, Бернулли санамсаргүйүнэ цэнэ эсвэл хоёрт санамсаргүй хэмжигдэхүүннэг туршилтын загварт.

Бид түүнийг дуудах болно үзүүлэлтТовчхон шалтгаанаар, мөн түүнчлэн энэ нь тухайн үйл явдлын эхлэл, эсвэл эхлээгүй байгааг илтгэдэг.

Даатгалын төлбөрийн үнэ цэнэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд тооцоолсон хугацааны интервалд хэд хэдэн даатгалын тохиолдол гарч болзошгүй илүү ерөнхий загваруудыг хайж үзье.

Эрүүл мэндийн даатгал, автомашины болон бусад эд хөрөнгийн даатгал, хариуцлагын даатгал зэрэг нь олон жишээг шууд харуулж байна. Томъёог (2.5) нэгтгэн бид тогтоов

харгалзан үзсэн хугацааны интервал дахь даатгалын төлбөрийг тодорхойлсон санамсаргүй хэмжигдэхүүн хаана байна, r.v. Энэ интервал дахь төлбөрийн нийт дүнг илэрхийлдэг ба r.v. наад зах нь нэг даатгалын тохиолдол тохиолдсоныг илтгэх үзүүлэлт юм.

Ийм үйл явдлын үзүүлэлт болох r.v. оршихуйг засдаг () эсвэл дутагдалтай () энэ хугацааны интервал дахь даатгалын тохиолдлууд, гэхдээ түүн дэх даатгалын тохиолдлын тоо биш.

Магадлалыг үргэлжлүүлэн тэмдэглэнэ.

Хэд хэдэн жишээн дээр ярилцаж, санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтыг тодорхойлъё.

Эхлээд нас баралтын даатгалыг нэг жилийн хугацаанд авч үзье, хэрэв нас барсан бол ослын улмаас нэмэлт тэтгэмж авах болно.

Тодорхой байдлын хувьд ослын улмаас нас барсан бол төлбөрийн хэмжээ 50 мянга, өөр шалтгаанаар нас барсан бол 25 мянга гэж тооцъё.

Тухайн нас, эрүүл мэндийн байдал, мэргэжлийн хувьд тухайн жилийн ослын улмаас нас барах магадлал 0.0005, бусад шалтгаанаар нас барах магадлал 0.0020 байна гэж үзье. Томъёоны хэлбэрээр энэ нь дараах байдалтай байна.

-ийн бүх боломжит утгыг нэгтгэн бид олж авна

,

Нөхцөлт хуваарилалт c. in. нөхцөл хэлбэртэй байна

Одоо машины мөргөлдөөний даатгал (машины эзэнд түүний машинд учруулсан хохирлын нөхөн төлбөр) 250 болзолгүйгээр хасагдах боломжтой, хамгийн их төлбөр нь 2000-ыг авч үзье.

Тодорхой болгохын тулд хувь хүний ​​хувьд авч үзсэн хугацаанд нэг даатгалын тохиолдол гарах магадлал 0.15, нэгээс олон мөргөлдөөн гарах магадлал тэгтэй тэнцүү байна.

, .

Нэг хугацаанд нэгээс илүү даатгалын тохиолдол тохиолдож болохгүй гэсэн бодит бус таамаглал нь r.v-ийн хуваарилалтыг хялбарчлах зорилгоор хийгдсэн. .

Бид хэд хэдэн даатгалын нэхэмжлэлийн нийлбэрийн хуваарилалтыг авч үзсэний дараа дараагийн хэсэгт энэ таамаглалыг орхих болно.

Даатгагчийн төлбөрийн үнэ цэнэ нь машинд учирсан хохирол биш тул бид хоёр шинж чанарыг авч үзэж болно.

Нэгдүгээрт, уг үйл явдалд хохирол нь болзолгүй хасагдах хэмжээ буюу 250-аас бага байгаа мөргөлдөөнүүдийг багтаасан болно.

Хоёрдугаарт, r.v-ийн хуваарилалт. даатгалын төлбөрийн дээд хэмжээ буюу 2000-тай тэнцэх цэг дээр магадлалын массын "бөглөрөл" байх болно.

Энэ цэг дээр төвлөрсөн магадлалын массыг 0.1 гэж үзье. Цаашилбал, 0-ээс 2000 хүртэлх интервал дахь даатгалын төлбөрийн утгыг нягтын функцтэй пропорциональ тасралтгүй тархалтаар загварчилж болно гэж бодъё. (Практикт шимтгэлийн хуваарилалтыг илэрхийлэхийн тулд сонгосон тасралтгүй муруй нь өмнөх үеийн хураамжийн судалгааны үр дүн юм.)

r.v-ийн нөхцөлт хуваарилалтын талаархи эдгээр таамаглалыг нэгтгэн дүгнэвэл. нөхцөлийн дагуу бид 0-ээс 2000 хүртэлх эерэг нягттай холимог хэлбэрийн тархалтад хүрч, 2000 цэгт магадлалын массын зарим "бөглөрөл"-д хүрнэ. Үүнийг Зураг дээрх графикаар харуулав. 2.2.1.

Энэхүү нөхцөлт хуваарилалтын хуваарилалтын функц нь дараах байдалтай байна.

Зураг 2.1. R.v-ийн хуваарилалтын функц. I = 1 нөхцөлд B

Автомашины даатгалын тухай авч үзсэн жишээн дээрх математикийн хүлээлт ба хэлбэлзлийг бид хоёр аргаар тооцдог.

Эхлээд бид r.v-ийн тархалтыг бичнэ. мөн үүнийг ашиглан тооцоолох ба . r.v-ийн хуваарилалтын функцээр дамжуулан тэмдэглэнэ. , бидэнд байгаа

Учир нь x<0

Энэ бол холимог тархалт юм. Зурагт үзүүлсэн шиг. 2.2, энэ нь салангид (2000 оны цэг дэх магадлалын массын бөөгнөрөл) ба тасралтгүй хэсэгтэй. Ийм тархалтын функц нь магадлалын функцийн хослолтой тохирч байна

Цагаан будаа. 2.2. R.v-ийн хуваарилалтын функц. X=IB

ба нягтын функцууд

Ялангуяа, ба . Тийм ч учраас .

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн моментуудыг нөхцөлт математик хүлээлттэй холбосон хэд хэдэн томъёо байдаг. Математикийн хүлээлт болон дисперсийн хувьд эдгээр томьёо нь хэлбэртэй байна

(2.10)

(2.11)

Эдгээр тэгш байдлын зүүн талын илэрхийлэлийг r.v-ийн тархалтаас шууд тооцдог гэж үздэг. . Баруун талд байгаа илэрхийллийг тооцоолохдоо, тухайлбал, r.v.-ийн нөхцөлт хуваарилалтыг ашигладаг. тогтмол үнэ цэнээр r.v. .

Тиймээс эдгээр илэрхийллүүд нь r.v-ийн функцууд юм. , мөн бид r.v-ийн тархалтыг ашиглан тэдгээрийн моментуудыг тооцоолж болно. .

Нөхцөлт хуваарилалтыг олон актуар загварт ашигладаг бөгөөд энэ нь дээрх томьёог шууд хэрэглэх боломжийг олгодог. Манай загварт. r.v-ийг харгалзан үзвэл. as болон r.v. гэж, бид авдаг

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

болон нөхцөлт математикийн хүлээлтийг авч үзэх

(2.16)

(2.17)

Томъёо (2.16) ба (2.17) нь r.v-ийн функцээр тодорхойлогддог. , үүнийг дараах томъёогоор бичиж болно.

-аас хойш (2.21)

Учир нь бидэнд байгаа ба (2.22)

(2.21) ба (2.22) томъёог нэгтгэж болно: (2.23)

Тиймээс (2.24)

(2.21), (2.20), (2.24)-ийг (2.12) ба (2.13)-д орлуулснаар бид гарна.

Хүлээн авсан томъёог тооцоолохдоо болон автомашины даатгалын жишээн дээр авч үзье (зураг 2.2). r.v-ийн нягтын функцээс хойш. Нөхцөл байдлыг томъёогоор илэрхийлнэ

болон P(B=2000|I=1)= 0.1, бидэнд байна

Эцэст нь хэлэхэд, таамаглаж байна q= 0.15, (2.25) ба (2.26) томъёоноос бид дараах тэгшитгэлүүдийг олж авна.

Даатгалын өөр нөхцөл байдлыг тайлбарлахын тулд бид r.v.-ийн бусад загварыг санал болгож болно. .

Жишээ нь: нисэхийн ослын улмаас нас барсан хүмүүсийн тоон загвар

Жишээлбэл, агаарын тээврийн компанийн нэг жилийн хугацаанд агаарын тээврийн ослын улмаас нас барсан хүмүүсийн тоог харуулсан загварыг авч үзье.

Бид нэг нислэгийн нас баралтын тоог тодорхойлсон санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр эхэлж, дараа нь нэг жилийн бүх нислэгийн эдгээр санамсаргүй хувьсагчдыг нэгтгэж болно.

Нэг нислэгийн хувьд үйл явдал нь агаарын ослын эхлэлийг заана. Энэ сүйрэлд хүргэсэн нас баралтын тоог санамсаргүй хоёр хэмжигдэхүүний үржвэрээр илэрхийлнэ ба , агаарын хөлгийн ачааллын хүчин зүйл хаана байна, тухайлбал, ослын үед онгоцонд байсан хүмүүсийн тоо, мөн он дахь хүмүүсийн дундах нас баралтын эзлэх хувь. самбар.

Тусдаа статистик нь r.v-ийн статистик мэдээллээс илүү хүртээмжтэй байдаг тул нас барсан хүмүүсийн тоог ийм байдлаар харуулав. . Тиймээс, онгоцонд байсан хүмүүсийн дунд нас барсан хүмүүсийн эзлэх хувь, онгоцонд байсан хүмүүсийн тоо хоорондоо холбоотой байж магадгүй ч эхний ойролцоогоор тооцоолсноор r.v. мөн бие даасан.

Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр

Хувь хүний ​​эрсдэлийн загварт даатгалын компаниас төлсөн даатгалын төлбөрийг олон хувь хүнд төлсөн төлбөрийн нийлбэр хэлбэрээр харуулдаг.

Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалтыг тодорхойлох хоёр аргыг эргэн сана. Эхлээд түүврийн орон зайг Зураг дээр үзүүлсэн хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийг авч үзье. 3.1.

Цагаан будаа. 2.3.1. Үйл явдал

Энэ шугамын доорх шугам ба талбай нь үйл явдлыг илэрхийлдэг. Тиймээс r.v-ийн хуваарилалтын функц. С(3.1) хэлбэртэй байна

Хоёр салангид сөрөг бус санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд бид нийт магадлалын томьёог ашиглаж (3.1) гэж бичнэ.

Хэрвээ Xболон Юбие даасан байна, сүүлийн нийлбэр гэж дахин бичиж болно

(3.3)

Энэхүү тархалтын функцэд тохирох магадлалын функцийг томъёогоор олж болно

(3.4)

Үргэлжилсэн сөрөг бус санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд (3.2), (3.3) ба (3.4) томъёонд харгалзах томъёонууд нь хэлбэртэй байна.

Нэг эсвэл хоёулангийнх нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн үед Xболон Юхолимог төрлийн тархалттай (энэ нь хувь хүний ​​эрсдэлийн загваруудад түгээмэл байдаг), томъёо нь ижил төстэй боловч илүү төвөгтэй байдаг. Сөрөг утгыг авах боломжтой санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд дээрх томьёоны нийлбэр ба интегралыг y-ээс - хүртэлх бүх утгыг авна.

Магадлалын онолд (3.3) ба (3.6) томъёоны үйлдлийг хоёр тархалтын функцийн эргэлт гэж нэрлээд, -ээр тэмдэглэнэ. Түүнчлэн (3.4) ба (3.7) томъёог ашиглан эвдрэлийн үйлдлийг магадлал эсвэл нягтын хос функцээр тодорхойлж болно.

Хоёроос дээш тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалтыг тодорхойлохын тулд бид эргэлтийн процессын давталтыг ашиглаж болно. Учир нь , энд бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь r.v.-ийн тархалтын функцийг илэрхийлэх ба r.v.-ийн тархалтын функц юм. , бид авах болно

Жишээ 3.1-д гурван салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнд зориулсан энэхүү процедурыг харуулав.

Жишээ 3.1.Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан бөгөөд доорх хүснэгтийн (1), (2) ба (3) баганаар тодорхойлогдсон тархалттай.

Магадлалын функц болон r.v-ийн тархалтын функцийг бичье.

Шийдэл.Хүснэгтэнд жишээний өмнө оруулсан тэмдэглэгээг ашигладаг:

(1)-(3) баганад байгаа мэдээллийг агуулна.

(4) баганыг (1) ба (2) багануудаас (3.4) ашиглан авна.

(5) баганыг (3) ба (4) багануудаас (3.4) ашиглан авна.

(5) баганын тодорхойлолт нь r.v-ийн магадлалын функцийг тодорхойлж дуусгана. . (8) баганад байгаа түүний тархалтын функц нь дээд талаас эхлэн баганын (5) хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн багц юм.

Тодорхой болгох үүднээс бид (6) багана, (1) ба (6) багануудаас (2.3.3) болон (8) баганыг ашиглан шууд авах боломжтой багана (1), багана (7)-ын хуваарилалтын функцийг оруулсан болно. ) (3) ба (7) баганад ижил төстэй байдлаар тодорхойлно. (5) баганыг (8) баганаас дараалсан хасах аргаар тодорхойлж болно.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй хоёр жишээг авч үзье.

Жишээ 3.2. r.v. (0,2) интервал дээр жигд тархалттай байх ба r.v. r.v-ээс хамаарахгүй. (0,3) интервал дээр жигд тархалттай байна. R.v-ийн тархалтын функцийг тодорхойлъё.

Шийдэл. r.v-ийн хуваарилалтаас хойш. ба тасралтгүй, бид (3.6) томъёог ашигладаг:

Дараа нь

r.v-ийн дээжийн орон зай. ба зурагт үзүүлэв. 3.2. Тэгш өнцөгт талбай нь хосын боломжит бүх утгыг агуулна. Бидний сонирхсон үйл явдлыг таван утгын хувьд зурагт дүрсэлсэн болно с.

Утга бүрийн хувьд шугам нь тэнхлэгийг огтолж байна Юцэг дээр сба цэг дээрх шугам. Эдгээр таван тохиолдлын функцын утгыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Цагаан будаа. 3.2. Хоёр жигд тархалтын эргэлт

Жишээ 3.3.Гурван бие даасан r.v-ийг авч үзье. . r.v-ийн хувьд. экспоненциал тархалттай ба . r.v-ийн нягтын функцийг олъё. эргүүлэх үйлдлийг хэрэглэснээр.

Шийдэл.Бидэнд байгаа

(3.7) томъёог гурван удаа ашигласнаар бид олж авна

Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалтыг тодорхойлох өөр нэг арга нь момент үүсгэгч функцийн өвөрмөц байдал дээр суурилдаг бөгөөд энэ нь r.v. харьцаагаар тодорхойлогддог .

Хэрэв энэ математикийн хүлээлт бүгдэд хязгаарлагдмал бол тгарал үүслийг агуулсан зарим нээлттэй интервалаас, дараа нь r.v-ийн тархалтын моментуудын цорын ганц үүсгэгч функц юм. -ээс өөр функц байхгүй гэсэн утгаараа, энэ нь r.v-ийн тархалтын моментуудын үүсгэгч функц байх болно. .

Энэ өвөрмөц байдлыг дараах байдлаар ашиглаж болно: нийлбэрийн хувьд

Хэрэв тэдгээр нь бие даасан байвал (3.8) томъёонд заасан бүтээгдэхүүний хүлээлт тэнцүү байна ..., тэгэхээр

Моментүүдийн үүсгэгч функц (3.9)-д тохирох цорын ганц тархалтын тодорхой илэрхийлэлийг олох нь r.v-ийн тархалтыг олж дуусгах болно. . Хэрэв үүнийг тодорхой зааж өгөх боломжгүй бол тоон аргаар хайж болно.

Жишээ 3.4. Жишээ 3.3-аас санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг авч үзье. r.v-ийн нягтын функцийг тодорхойлъё. , r.v-ийн моментуудыг үүсгэх функцийг ашиглан. .

Шийдэл.Тэгш байдлын дагуу (3.9), гэж бичиж болно энгийн бутархай болгон задлах аргыг ашиглан. Шийдэл нь . Харин параметртэй экспоненциал тархалтын моментуудын үүсгэгч функц бөгөөд ингэснээр r.v-ийн нягтын функц. хэлбэртэй байна

Жишээ 3.5. Санамсаргүй үйл явцыг судлахдаа урвуу Гауссын тархалтыг нэвтрүүлсэн. Үүнийг r.v-ийн хуваарилалт болгон ашигладаг. AT, даатгалын төлбөрийн хэмжээ. Урвуу Гауссын тархалтын моментуудын нягтын функц ба үүсгэгч функцийг томъёогоор өгсөн болно.

r.v-ийн тархалтыг олъё. , хаана r.v. бие даасан бөгөөд ижил урвуу Гауссын тархалттай байна.

Шийдэл.Томъёо (3.9) ашиглан бид эргэлтийн моментуудын үүсгэгч функцийн дараах илэрхийллийг олж авна. :

Моментүүдийн үүсгэгч функц нь өвөрмөц тархалттай тохирч байгаа бөгөөд энэ нь параметртэй урвуу Гауссын тархалттай байгааг харж болно.

Нийлбэр хуваарилалтын ойролцоо тооцоолол

Төвлөрсөн хязгаарын теорем нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалтын тоон утгыг олох аргыг өгдөг. Ихэвчлэн энэ теоремыг бие даасан болон ижил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэрээр томъёолдог. .

Аливаа n-ийн хувьд r.v-ийн тархалт. хаана = , математикийн хүлээлт 0 ба дисперс 1 байна. Мэдэгдэж байгаагаар ийм тархалтын дараалал (нь n= 1, 2, ...) нь стандарт хэвийн тархалт руу чиглэдэг. Хэзээ nтом, энэ теоремыг r.v-ийн тархалтыг ойролцоогоор тооцоолоход хэрэглэнэ. дундажтай хэвийн тархалт μ ба тархалт. Үүний нэгэн адил, нийлбэрийн хуваарилалт nсанамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дундаж ба дисперстэй хэвийн тархалтаар ойролцоолно.

Ийм ойртуулахын үр ашиг нь зөвхөн нэр томъёоны тооноос гадна нэр томьёоны тархалтын ердийнхтэй ойр байхаас хамаарна. Олон тооны анхан шатны статистикийн хичээлүүдэд ойролцоогоор тооцоолол үндэслэлтэй байхын тулд n нь дор хаяж 30 байх ёстой гэж заасан байдаг.

Гэсэн хэдий ч симуляцийн загварчлалд хэрэглэгддэг хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг үүсгэх програмуудын нэг нь (0,1) интервалд жигд тархсан 12 бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дундаж болгон хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн болгон хэрэгжүүлдэг.

Хувь хүний ​​эрсдэлийн олон загварт нийлбэрт багтсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд жигд тархаагүй байдаг. Үүнийг дараагийн хэсэгт жишээн дээр харуулах болно.

Төвийн хязгаарын теорем нь тэгш бус тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дараалалд мөн хамаарна.

Хувь хүний ​​эрсдэлийн загварын зарим хэрэглээг харуулахын тулд бид тоон шийдлийг олж авахын тулд бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалтын ердийн ойролцооллыг ашиглана. Хэрвээ , дараа нь

цаашлаад хэрэв r.v. тэгвэл бие даасан

Асуудалтай байгаа програмын хувьд бидэнд зөвхөн хэрэгтэй:

• бие даасан алдагдлыг дуурайлган санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж ба дисперсийг олох,
• Даатгалын компанийн нийт хохирлын дундаж ба хэлбэлзлийг гаргахын тулд тэдгээрийг нэгтгэж,
• ердийн ойролцооллыг ашиглана уу.

Доор бид энэ үйлдлүүдийн дарааллыг харуулав.

Даатгалд хамрагдах өргөдөл

Энэ хэсэгт ердийн ойролцоололтыг ашиглахыг дөрвөн жишээгээр харуулав.

Жишээ 5.1.Амьдралын даатгалын компани нь нас барах магадлал 0.02 эсвэл 0.01 байгаа хүмүүст 1 ба 2 нэгжийн төлбөртэй нас баралтын даатгалын гэрээг нэг жилийн хугацаатай санал болгодог. Доорх хүснэгтэд хүмүүсийн тоог харуулав nkтөлбөрийн дагуу бүрдсэн дөрвөн анги тус бүрд б кболон даатгалын тохиолдол гарах магадлал кк:

к	q k	б к	nk
1	0,02	1	500
2	0,02	2	500
3	0,10	1	300
4	0,10	2	500

Даатгалын компани энэ бүлгийн 1800 иргэнээс энэ бүлгийн нийт даатгалын төлбөрийн хуваарилалтын 95 хувьтай тэнцэх хэмжээний мөнгийг авахыг хүсч байна. Нэмж дурдахад, тэр хүн бүрийн энэ дүнгийн хувь нь тухайн хүний ​​хүлээгдэж буй даатгалын төлбөртэй пропорциональ байхыг хүсч байна.

-ийн дундаж төлбөртэй тэнцэх дугаартай хүний ​​эзлэх хувь . Энэ нь 95 дахь хувийн шаардлагаас харахад . Илүүдэл үнэ цэнэ, , эрсдэлийн урамшуулал бөгөөд харьцангуй эрсдэлийн урамшуулал гэж нэрлэдэг. Тооцоолъё.

Шийдэл.Үнэ цэнэ нь харьцаагаар тодорхойлогддог = 0.95, хаана S = X 1 + X 2 + ... + X 1800 .Энэхүү магадлалын мэдэгдэл нь дараахтай тэнцүү байна.

Сек-д төв хязгаарын теоремын талаар хэлсэн зүйлийн дагуу. 4, бид r.v-ийн тархалтыг ойролцоолсон. стандарт хэвийн тархалт ба түүний 95 дахь хувийг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Даатгуулагчид хуваагдсан дөрвөн ангилалд бид дараах үр дүнг гаргав.

к	q k	б к	Дундаж b k q k	Хэмжилт b 2 k q k (1-q k)	nk
1	0,02	1	0,02	0,0196	500
2	0,02	2	0,04	0,0784	500
3	0,10	1	0,10	0,0900	300
4	0,10	2	0,20	0,3600	500

Энэ замаар,

Тиймээс эрсдэлийн харьцангуй шимтгэл нь

Жишээ 5.2.Автомашины даатгалын компанийн үйлчлүүлэгчдийг хоёр ангилалд хуваадаг.

Анги	Анги дахь тоо	Гарах магадлал даатгалын тохиолдол	Даатгалын төлбөрийн хуваарилалт, хасагдсан экспоненциал параметрүүд хуваарилалт
к				Л
1	500	0,10	1	2,5
2	2000	0,05	2	5,0

Таслагдсан экспоненциал тархалтыг түгээлтийн функцээр тодорхойлно

Энэ нь нягтын функцтэй холимог төрлийн тархалт юм , мөн нэг цэг дэх магадлалын массын "бөөгнөрөл" Л. Энэхүү тархалтын функцийн графикийг Зураг 5.1-д үзүүлэв.

Цагаан будаа. 5.1. Таслагдсан экспоненциал тархалт

Даатгалын төлбөрийн нийт дүн нь даатгуулагчдаас цуглуулсан дүнгээс давсан байх магадлал өмнөх шигээ 0.05-тай тэнцүү байх ёстой. Харьцангуй эрсдэлийн урамшуулал нь авч үзэж буй хоёр анги тус бүрт ижил байх ёстой гэж бид таамаглах болно. Тооцоолъё.

Шийдэл.Энэ жишээ нь өмнөхтэй маш төстэй юм. Цорын ганц ялгаа нь даатгалын төлбөрийн үнэ цэнэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн болсон явдал юм.

Эхлээд бид хасагдсан экспоненциал тархалтын моментуудын илэрхийлэлийг олж авна. Энэ нь (2.25) ба (2.26) томъёог ашиглах бэлтгэл үе шат болно:

Нөхцөлд өгөгдсөн параметрийн утгуудыг ашиглан (2.25) ба (2.26) томъёог ашиглан бид дараах үр дүнг авна.

к	q k	мк	σ 2к	Дундаж q k μ k	Тархалт μ 2 k q k (1-q k)+σ 2 k q k	nk
1	0,10	0,9139	0,5828	0,09179	0,13411	500
2	0,05	0,5000	0,2498	0,02500	0,02436	2000

Тэгэхээр, С, даатгалын төлбөрийн нийт дүн, мөчүүдтэй

Тодорхойлолтын нөхцөл нь жишээ 5.1-тэй ижил хэвээр байна, тухайлбал:

Ердийн тархалтын ойролцоо утгыг дахин ашигласнаар бид олж авна

Жишээ 5.3.Даатгалын компанийн багцад дараах хүснэгтийн дагуу нэг жилийн хугацаатай 16,000 нас баралтын даатгалын гэрээ багтсан болно.

Даатгалын тохиолдлын магадлал q 16,000 үйлчлүүлэгч бүрийн хувьд (эдгээр тохиолдлууд бие биенээсээ хамааралгүй гэж үздэг) 0.02 байна. Тус компани өөрийн эзэмшлийн хувь хэмжээг тогтоохыг хүсч байна. Бодлого эзэмшигч бүрийн хувьд өөрийн хадгаламжийн түвшин нь энэ компани (даалгасан компани) төлбөрийг бие даан хийх үнэ бөгөөд үүнээс давсан төлбөрийг өөр компани (давхар даатгагч) давхар даатгалын гэрээгээр хариуцдаг.

Жишээлбэл, өөрийн хадгаламжийн хувь хэмжээ 200,000 бол тухайн компани даатгуулагч бүрт 20,000 хүртэлх даатгалд даатгуулж, даатгалын хураамж нь 20,000-аас дээш бол 4,500 даатгуулагч тус бүрээс 20,000-ын зөрүүг нөхөхийн тулд давхар даатгал худалдаж авдаг.

Компани шийдвэрийн шалгуур болгон даатгалын нөхөн төлбөрийг өөрийн суутгал дээр үлдээх магадлалыг, давхар даатгалд төлсөн дүнг нэмээд 8,250,000-аас давах магадлалыг хамгийн бага байлгахыг сонгодог. Давхар даатгалын зардал нь даатгалын нэгжид 0.025 (жишээ нь хүлээгдэж буй төлбөрийн 125%). нэгж тутамд даатгалын төлбөрийн үнэ цэнэ 0.02).

Энэ багцыг хаалттай гэж бид үзэж байна: тухайн жилийн хугацаанд байгуулсан даатгалын шинэ гэрээг тайлбарласан шийдвэр гаргах үйл явцад тооцохгүй.

Хэсэгчилсэн шийдэл. Эхлээд бүх тооцоогоо хийцгээе, төлбөрийн нэгжээр 10,000-ыг сонгон үзүүлье.Зүйлсийн хувьд c. in. СЭнэ нь өөрийн суутгал дээр үлдсэн төлбөрийн дүн бөгөөд дараахь хэлбэртэй байна.

Эдгээр даатгалын төлбөрт өөрийн суутгал дээр үлдсэн С, давхар даатгалын хураамжийн хэмжээг нэмсэн. Нийтдээ энэ схемийн дагуу хамрах хүрээний нийт хэмжээ

Өөрийнхөө хасалтад үлдсэн дүн нь тэнцүү байна

Ингээд нийт давхар даатгалын үнэ 35,000-24,000=11,000, давхар даатгалын зардал

Иймээс өөрийн хадгалалтын түвшинд 2-той тэнцүү байх үед өөрийн хадгалалтад үлдсэн даатгалын төлбөр дээр давхар даатгалын зардал . Шийдвэрлэх шалгуур нь энэ нийт дүн 825-аас давах магадлалд үндэслэсэн.

Хэвийн тархалтыг ашигласнаар бид энэ утга нь ойролцоогоор 0.0062-тай тэнцүү байна.

Давхар даатгалын нэг төрөл болох илүүдэл хохирлын даатгалын даатгалын төлбөрийн дундаж утгыг даатгалын нийт төлбөрийн хуваарилалт болгон ердийн хуваарилалтыг ашиглан ойролцоолж болно.

Даатгалын нийт төлбөрийн X нь дундаж ба дисперстэй хэвийн тархалттай байг

Жишээ 5.4.Жишээ 5.3-т үзүүлсэн шиг даатгалын багцыг авч үзье. Ашиггүй байдлаас хэтэрсэн даатгалын гэрээний дагуу даатгалын төлбөрийн дүнгийн математик хүлээлтийг олцгооё.

(а) хувь хүний ​​давхар даатгал байхгүй бөгөөд болзолгүй суутгалын хэмжээг 7,500,000 гэж тогтоосон.

(б) хувь хүний ​​даатгалын гэрээнд 20,000-ыг суутган тооцох ба багцын болзолгүй суутгалын хэмжээ 5,300,000 байна.

Шийдэл.

(a) Хувь хүний ​​давхар даатгал байхгүй, мөнгөн тэмдэгтээр 10,000 руу шилжих үед

(5.2) томъёог хэрэглэснээр гарна

Энэ нь анхны нэгжээр 43,770-ийн нийлбэр юм.

(б) Үзүүлэн 5.3-т бид 10,000-ыг нэгж болгон ашигласнаар 20,000-аас хасагдах хувь хүний ​​нийт шимтгэлийн дундаж ба хэлбэлзлийг тус тус 480 ба 784 болгож авна. Тиймээс =28.

(5.2) томъёог хэрэглэснээр гарна

Энэ нь анхны нэгжээр 4140-ийн нийлбэр юм.