ශ්‍රිත ශ්රේණියේ සූත්රය. දෛශික විශ්ලේෂණ අදිශ ක්ෂේත්‍රයක පෘෂ්ඨ සහ මට්ටමේ රේඛා දිශානුගත ව්‍යුත්පන්න ව්‍යුත්පන්න අනුක්‍රමණය අදිශ ක්ෂේත්‍රයක මූලික ගුණ ශ්රේණියේ වෙනස් නොවන නිර්වචනයක ශ්රේණියේ අනුක්‍රමණ ගණනය කිරීමේ රීති
ඉඩ Z= එෆ්(එම්) - ලක්ෂ්‍යයක කිසියම් අසල්වැසි ප්‍රදේශයක අර්ථ දක්වා ඇති ශ්රිතයක් M(y; x);එල්={ පිරිවැය; පිරිවැය} – ඒකක දෛශිකය (රූපය 33 1= හි , 2= ); එල්- ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන සෘජු රේඛාවක් එම්; M1(x1; y1), මෙහි x1=x+x සහ y1=y+y- රේඛාවක් මත යොමු කරන්න එල්; එල්- කොටසේ දිග MM1; Z= එෆ්(x+х, y+у)-එෆ්(x, වයි) - කාර්යය වැඩිවීම එෆ්(එම්) ලක්ෂ්යයේ M(x; y).
අර්ථ දැක්වීම. අනුපාතයේ සීමාව, එය පවතී නම්, හැඳින්වේ ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නය Z = එෆ් ( එම් ) ස්ථානයේ එම් ( x ; වයි ) දෛශිකයේ දිශාවට එල් .
තනතුරු.
|
|
කාර්යය නම් එෆ්(එම්) ලක්ෂ්යයේ දී අවකලනය කළ හැකිය M(x;y), පසුව ලක්ෂ්යයේ M(x;y)ඕනෑම දිශාවකට ව්‍යුත්පන්නයක් ඇත එල්වෙතින් නිකුත් වේ එම්; එය පහත සූත්රය භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ:
(8)
කොහෙද පිරිවැය සහ පිරිවැය- දෛශිකයේ දිශා කොසයින එල්.
උදාහරණය 46. ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නය ගණනය කරන්න Z= x2 + වයි2 xලක්ෂ්යයේ M(1; 2)දෛශිකයේ දිශාවට MM1, කොහෙද M1- ඛණ්ඩාංක සමඟ ලක්ෂ්යය (3; 0).
. ඒකක දෛශිකය සොයා ගනිමු එල්, මෙම දිශාව ඇති:
කොහෙද පිරිවැය= ; පිරිවැය=- .
ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතයේ අර්ධ ව්‍යුත්පන්න ගණනය කරමු M(1; 2):
සූත්රය (8) අනුව අපට ලැබේ 
උදාහරණය 47. ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න යූ = Xy2 Z3 ලක්ෂ්යයේ M(3; 2; 1)දෛශිකයේ දිශාවට එම්.එන්, කොහෙද එන්(5; 4; 2) .
. දෛශිකය සහ එහි දිශා කෝසයින් සොයා ගනිමු:
ලක්ෂ්යයේ අර්ධ ව්‍යුත්පන්නවල අගයන් ගණනය කරමු එම්:
එබැවින්, 
අර්ථ දැක්වීම. Gradient කාර්යයන්Z= එෆ්(එම්) ලක්ෂ්යයේ M(x; y) යනු දෛශිකයක් වන අතර එහි ඛණ්ඩාංක අනුරූප අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන්ට සමාන වන අතර M(x; y) ලක්ෂ්‍යයෙන් ගනු ලැබේ.
තනතුරු. 
උදාහරණය 48. ශ්‍රිතයක අනුක්‍රමණය සොයන්න Z= x2 +2 වයි2 -5 ලක්ෂ්යයේ M(2; -1).
විසඳුමක්. අර්ධ ව්‍යුත්පන්න සොයා ගැනීම: 
සහ ලක්ෂ්යයේ ඔවුන්ගේ වටිනාකම් M(2; -1):
උදාහරණය 49.
ලක්ෂ්‍යයක ශ්රිතයේ ශ්රේණියේ විශාලත්වය සහ දිශාව සොයන්න 
විසඳුමක්.අපි අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් සොයාගෙන ඒවායේ අගයන් M ලක්ෂ්‍යයෙන් ගණනය කරමු:
එබැවින්,
විචල්‍ය තුනක ශ්රිතයක් සඳහා දිශානුගත ව්‍යුත්පන්නය එලෙසම තීරණය වේ යූ= එෆ්(x, වයි, Z) , සූත්‍ර ප්‍රදර්ශනය කෙරේ
Gradient සංකල්පය හඳුන්වා දී ඇත 
අපි එය අවධාරණය කරමු ශ්රේණියේ ශ්රිතයේ මූලික ගුණාංග ආර්ථික ප්‍රශස්තිකරණය විශ්ලේෂණය සඳහා වඩාත් වැදගත් වේ: ශ්රේණියේ දිශාවට ශ්‍රිතය වැඩි වේ. තුල ආර්ථික කාර්යයන්යෙදුම සොයා ගන්න පහත ගුණාංගඅනුක්‍රමණය:
1) කාර්යය ලබා දීමට ඉඩ දෙන්න Z= එෆ්(x, වයි) , අර්ථ දැක්වීමේ වසම තුළ අර්ධ ව්‍යුත්පන්න තිබීම. අපි යම් කරුණක් සලකා බලමු M0(x0, y0)අර්ථ දැක්වීමේ වසමෙන්. මෙම ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතයේ අගය සමාන වීමට ඉඩ හරින්න එෆ්(x0 , වයි0 ) . අපි ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරය දෙස බලමු. කාරණය හරහා (x0 , වයි0 , එෆ්(x0 , වයි0 )) ත්‍රිමාන අවකාශය අපි ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරයේ මතුපිටට තල ස්පර්ශකයක් අඳින්නෙමු. එවිට ලක්ෂ්යයේ ගණනය කරන ලද ශ්රිතයේ අනුක්රමය (x0, y0), ලක්ෂ්‍යයක යෙදෙන දෛශිකයක් ලෙස ජ්යාමිතික වශයෙන් සැලකේ (x0 , වයි0 , එෆ්(x0 , වයි0 )) , ස්පර්ශක තලයට ලම්බක වනු ඇත. ජ්යාමිතික නිදර්ශනයක් රූපයේ දැක්වේ. 34.
2) Gradient ශ්‍රිතය එෆ්(x, වයි) ලක්ෂ්යයේ M0(x0, y0)ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතයේ වේගවත්ම වැඩිවීමේ දිශාව පෙන්නුම් කරයි M0. මීට අමතරව, ශ්රේණිය සමඟ තීව්‍ර කෝණයක් ඇති කරන ඕනෑම දිශාවක් ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතයේ වර්ධනයේ දිශාව වේ. M0. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ලක්ෂ්යයකින් කුඩා චලනයකි (x0, y0)ශ්රිතයේ ශ්රේණියේ දිශාවට මෙම ලක්ෂ්යයේ දී ශ්රිතයේ වැඩි වීමක් සහ විශාලම ප්‍රමාණයට හේතු වේ.
අනුක්‍රමණයට විරුද්ධ දෛශිකය සලකන්න. එය හැඳින්වේ Anti-gradient . මෙම දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක වන්නේ:
Anti-gradient කාර්යය එෆ්(x, වයි) ලක්ෂ්යයේ M0(x0, y0)ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතයේ වේගවත්ම අඩුවීමේ දිශාව පෙන්නුම් කරයි M0. ප්‍රතිග්‍රේඩියන්ට් සමඟ උග්‍ර කෝණයක් සාදන ඕනෑම දිශාවක් එම ලක්ෂ්යයේ දී ශ්‍රිතය අඩු වන දිශාව වේ.
3) ශ්රිතයක් අධ්යයනය කරන විට, එවැනි යුගල සොයා ගැනීමට බොහෝ විට අවශ්ය වේ (x, y)ශ්‍රිතය එකම අගයන් ගන්නා ශ්රිතයේ අර්ථ දැක්වීමේ වසමෙන්. ලකුණු මාලාවක් සලකා බලන්න (x, වයි) ශ්රිතයේ වසමෙන් එෆ්(x, වයි) , එවැනි එෆ්(x, වයි)= කොන්ස්ට්, ඇතුල්වීම කොහෙද “ කොන්ස්ට්” ශ්‍රිත අගය ස්ථාවර වන අතර ශ්‍රිත පරාසයෙන් යම් සංඛ්‍යාවකට සමාන වේ.
අර්ථ දැක්වීම. කාර්යය මට්ටමේ රේඛාව යූ = එෆ් ( x , වයි ) රේඛාව ලෙස හැඳින්වේඑෆ්(x, වයි)=C ගුවන් යානයේXOy, ශ්‍රිතය නියත අගයක් පවත්වාගෙන යන ලක්ෂ්ය වලදීයූ= සී.
වක්‍ර රේඛා ආකාරයෙන් ස්වාධීන විචල්‍ය වෙනස් වීමේ තලය මත මට්ටමේ රේඛා ජ්‍යාමිතිකව නිරූපණය කෙරේ. මට්ටමේ රේඛා ලබා ගැනීම පහත පරිදි සිතාගත හැකිය. කට්ටලය සලකා බලන්න සමග, ඛණ්ඩාංක සහිත ත්‍රිමාන අවකාශයේ ලක්ෂ්ය වලින් සමන්විත වේ (x, වයි, එෆ්(x, වයි)= කොන්ස්ට්), එක් අතකින් ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට අයත් වේ Z= එෆ්(x, වයි), අනෙක් අතට, ඔවුන් ඛණ්ඩාංක තලයට සමාන්තරව තලයක වැතිර සිටී HOU, සහ ලබා දී ඇති නියතයකට සමාන ප්‍රමාණයකින් එයින් පරතරය. එවිට, මට්ටමේ රේඛාවක් තැනීම සඳහා, එය ගුවන් යානයක් සමඟ ක්රියාකාරී ප්රස්ථාරයේ මතුපිට ඡේදනය කිරීමට ප්රමාණවත් වේ Z= කොන්ස්ට්සහ ගුවන් යානයට ඡේදනය කිරීමේ රේඛාව ප්රක්ෂේපණය කරන්න HOU. ඉහත තර්කය තලයක මට්ටමේ රේඛා සෘජුවම ඉදිකිරීමේ හැකියාව සාධාරණීකරණය කරයි HOU.
අර්ථ දැක්වීම. බොහෝ මට්ටමේ රේඛා ලෙස හැඳින්වේ මට්ටමේ රේඛා සිතියම.
මට්ටමේ රේඛා සඳහා උදාහරණ හොඳින් දන්නා කරුණකි - එකම උස මට්ටම්වල භූගෝලීය සිතියමසහ කාලගුණ සිතියමක සමාන බැරෝමිතික පීඩන රේඛා.
අර්ථ දැක්වීම.
ශ්‍රිතයක වැඩි වීමේ වේගය උපරිම වන දිශාව ලෙස හැඳින්වේ "වඩාත් කැමති" දිශාව, හෝ වේගවත්ම වර්ධනයේ දිශාව.
ශ්රිතයේ අනුක්‍රමණ දෛශිකය මගින් "වඩාත් කැමති" දිශාව ලබා දේ. රූපයේ. 35 සීමාවන් නොමැති විට විචල්‍ය දෙකක ශ්රිතයක් ප්‍රශස්ත කිරීමේ ගැටලුවේ උපරිම, අවම සහ සෑදල ලක්ෂ්යය පෙන්වයි. රූපයේ පහළ කොටස වේගවත්ම වර්ධනයේ මට්ටම සහ දිශාවෙහි රේඛා පෙන්වයි.
උදාහරණ 50. කාර්යය මට්ටමේ රේඛා සොයා ගන්න යූ= x2 + වයි2 .
විසඳුමක්.මට්ටම් රේඛා පවුලක සමීකරණයට ආකෘතිය ඇත x2 + වයි2 = සී (සී>0) . දෙනවා සමගවිවිධ සැබෑ අගයන්, අපි මූලාරම්භයේ කේන්ද්‍රය සමඟ කේන්ද්‍රීය කව ලබා ගනිමු.
මට්ටමේ රේඛා ඉදිකිරීම. ඔවුන්ගේ විශ්ලේෂණය සොයා ගනී පුළුල් යෙදුමක්ෂුද්‍ර හා සාර්ව මට්ටමේ ආර්ථික ගැටළු වලදී, සමතුලිතතා න්‍යාය සහ ඵලදායී විසඳුම්. Isocosts, isoquants, උදාසීන වක්‍ර - මේ සියල්ල විවිධ ආර්ථික ක්රියාකාරකම් සඳහා ඉදිකරන ලද මට්ටමේ රේඛා වේ.
උදාහරණ 51. පහත ආර්ථික තත්ත්වය සලකා බලන්න. නිෂ්පාදන නිෂ්පාදනය විස්තර කරමු Cobb-Douglas කාර්යය එෆ්(x, වයි)=10x1/3y2/3, කොහෙද x- ශ්රම ප්රමාණය, යූ- ප්රාග්ධන ප්රමාණය. සම්පත් මිලදී ගැනීම සඳහා ඩොලර් 30 ක් වෙන් කරන ලදී. ඒකක, ශ්රම මිල ඩොලර් 5 කි. ඒකක, ප්රාග්ධනය - 10 USD. ඒකක අපි අපෙන්ම මෙසේ අසාගනිමු: මෙම තත්වයන් යටතේ ලබා ගත හැකි විශාලතම නිමැවුම කුමක්ද? මෙහිදී, "දෙන ලද කොන්දේසි" යන්නෙන් අදහස් වන්නේ ලබා දී ඇති තාක්ෂණයන්, සම්පත් සඳහා මිල ගණන් සහ නිෂ්පාදන කාර්යයේ වර්ගයයි. දැනටමත් සඳහන් කර ඇති පරිදි, කාර්යය කෝබ්-ඩග්ලස්එක් එක් විචල්‍ය සඳහා ඒකාකාරී ලෙස වැඩි වේ, එනම්, එක් එක් වර්ගයේ සම්පත් වැඩි වීම ප්‍රතිදානයේ වැඩි වීමක් ඇති කරයි. මෙම තත්වයන් යටතේ, ප්රමාණවත් තරම් මුදල් ඇති තාක් දුරට සම්පත් අත්පත් කර ගැනීම වැඩි කළ හැකි බව පැහැදිලිය. සම්පත් කට්ටල, එහි පිරිවැය USD 30 කි. ඒකක, කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරන්න:
5x + 10y = 30,
එනම්, ඔවුන් ක්රියාකාරී මට්ටමේ රේඛාව තීරණය කරයි:
ජී(x, වයි) = 5x + 10y.
අනෙක් අතට, මට්ටමේ රේඛා භාවිතා කිරීම Cobb-Douglas කාර්යයන් (රූපය 36) ඔබට ශ්රිතයේ වැඩි වීම පෙන්විය හැක: මට්ටමේ රේඛාවේ ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක දී, ශ්රේණියේ දිශාව විශාලතම වැඩිවීමේ දිශාව වන අතර, ලක්ෂ්‍යයක අනුක්‍රමණයක් තැනීමට එය ස්පර්ශකයක් ඇඳීමට ප්රමාණවත් වේ. මෙම ස්ථානයේ ඇති මට්ටමේ රේඛාව වෙත, ස්පර්ශකයට ලම්බකව සාදා අනුක්‍රමයේ දිශාව දක්වන්න. රූපයෙන්. 36 Cobb-Douglas ශ්රිතයේ මට්ටම් රේඛාව මට්ටම් රේඛාවට ස්පර්ශ වන තෙක් ශ්රේණිය දිගේ ගෙන යා යුතු බව දැකිය හැක. 5x + 10y = 30. මේ අනුව, මට්ටමේ රේඛාව, අනුක්‍රමණය සහ ශ්රේණියේ ගුණාංග යන සංකල්ප භාවිතා කරමින්, ප්‍රවේශයන් වර්ධනය කළ හැකිය. හොඳම භාවිතයනිෂ්පාදන පරිමාව වැඩි කිරීම සම්බන්ධයෙන් සම්පත්.
අර්ථ දැක්වීම. මතුපිට මට්ටමේ කාර්යය යූ = එෆ් ( x , වයි , Z ) මතුපිට ලෙස හැඳින්වේඑෆ්(x, වයි, Z)=С, ශ්‍රිතය නියත අගයක් පවත්වාගෙන යන ලක්ෂ්‍යවලයූ= සී.
උදාහරණ 52. කාර්යය මට්ටමේ මතුපිට සොයන්න යූ= x2 + Z2 - වයි2 .
විසඳුමක්.මට්ටම් පෘෂ්ඨ සහිත පවුලක් සඳහා වන සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත x2 + Z2 - වයි2 =C. නම් С=0, එතකොට අපිට ලැබෙනවා x2 + Z2 - වයි2 =0 - කේතුවක්; නම් සී<0 , එම x2 + Z2 - වයි2 =C -පත්‍ර දෙකක හයිපර්බොලොයිඩ් පවුල.
Gradient කාර්යයන්- දෛශික ප්‍රමාණයක්, එහි නිර්ණය ශ්රිතයේ අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් නිර්ණය කිරීම හා සම්බන්ධ වේ. ශ්රේණියේ දිශාව පෙන්නුම් කරන්නේ අදිශ ක්ෂේත්රයේ එක් ලක්ෂයක සිට තවත් ස්ථානයකට ශ්රිතයේ වේගවත්ම වර්ධනයේ මාර්ගයයි.
උපදෙස්
1. ශ්‍රිතයක ශ්රේණියේ ගැටළුව විසඳීම සඳහා, අවකල කලනයේ ක්‍රම භාවිතා කරනු ලැබේ, එනම්, විචල්‍ය තුනකට අදාළව පළමු අනුපිළිවෙලෙහි අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් සොයා ගැනීම. ශ්‍රිතයටම සහ එහි සියලුම අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන්ට ශ්රිතයේ නිර්වචන වසම තුළ අඛණ්ඩ පැවැත්මේ ගුණය ඇතැයි උපකල්පනය කෙරේ.
2. ශ්රේණිය යනු දෛශිකයකි, එහි දිශාව පෙන්නුම් කරන්නේ F ශ්රිතයේ වේගවත්ම වැඩිවීමේ දිශාවයි. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, දෛශිකයේ කෙළවර වන ප්රස්ථාරයේ M0 සහ M1 යන ලක්ෂ්ය දෙකක් තෝරා ගනු ලැබේ. ශ්රේණියේ විශාලත්වය M0 ලක්ෂ්යයේ සිට M1 දක්වා ශ්රිතයේ වැඩි වීමේ වේගයට සමාන වේ.
3. මෙම දෛශිකයේ සෑම ලක්ෂ්‍යයකදීම ශ්‍රිතය අවකලනය වේ. එවිට අනුක්‍රමණ සූත්රය පෙනෙන්නේ මෙසේය: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, i, j, k යනු ඒකක දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක වේ. . වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ශ්‍රිතයක ශ්රේණිය යනු දෛශිකයක් වන අතර එහි ඛණ්ඩාංක එහි අර්ධ ව්‍යුත්පන්න වන grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).
4. උදාහරණ 1. F = sin(x z?)/y ශ්‍රිතය ලබා දෙන්න. ලක්ෂ්යයේ (?/6, 1/4, 1) එහි අනුක්‍රමණය හඳුනා ගැනීම අවශ්ය වේ.
5. විසඳුම එක් එක් විචල්‍යයට අදාළව භාග ව්‍යුත්පන්නයන් නිර්ණය කරන්න: F'_х = 1/y с(х z?) z?; (-1) 1/(y?); '_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.
6. ලක්ෂ්යයේ සුප්‍රසිද්ධ ඛණ්ඩාංක අගයන් ආදේශ කරන්න: F'_x = 4 сos(?/6) = 2 ?3; F’_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F’_z = 4 cos(?/6) 2 ?/6 = 2 ?/?3.
7. ශ්‍රිත ශ්රේණියේ සූත්රය යොදන්න:grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.
8. උදාහරණ 2. ලක්ෂ්යයේ (1, 2, 1) F = y arсtg (z/x) ශ්රිතයේ ශ්රේණියේ ඛණ්ඩාංක සොයන්න.
9. විසඳුම.F'_x = 0 arctg (z/x) + y (arctg(z/x))'_x = y 1/(1 + (z/x)?) (-z/x?) = -y z/ (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 аrсtg(z/х) = аrсtg 1 = ?/4;F'_z = 0 аrсtg(z/х) + y (arсtg(z/х))'_z = y 1/(1 + (z/х)?) 1/х = y/(х (1 + (z/х)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).
අදිශ ක්ෂේත්‍ර ශ්රේණිය දෛශික ප්‍රමාණයකි. මේ අනුව, එය සොයා ගැනීම සඳහා, පරිමාණ ක්ෂේත්රයේ බෙදීම පිළිබඳ දැනුම මත පදනම්ව, අනුරූප දෛශිකයේ සියලුම සංරචක තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ.
උපදෙස්
1. අදිශ ක්ෂේත්‍රයක අනුක්‍රමණය කුමක්දැයි උසස් ගණිතය පිළිබඳ පෙළපොතක කියවන්න. ඔබ දන්නා පරිදි, මෙම දෛශික ප්රමාණය අදිශ ශ්රිතයේ ක්ෂය වීමේ උපරිම අනුපාතය මගින් සංලක්ෂිත දිශාවක් ඇත. මෙම දෛශික ප්රමාණය පිළිබඳ මෙම අර්ථ නිරූපණය එහි සංරචක නිර්ණය කිරීම සඳහා ප්රකාශනය මගින් යුක්ති සහගත වේ.
2. ඕනෑම දෛශිකයක් එහි සංරචකවල විශාලත්වය අනුව තීරණය වන බව මතක තබා ගන්න. දෛශිකයේ සංරචක ඇත්ත වශයෙන්ම මෙම දෛශිකයේ එක් හෝ තවත් ඛණ්ඩාංක අක්ෂයක් මත ප්රක්ෂේපණය වේ. මේ අනුව, ත්රිමාණ අවකාශය සැලකේ නම්, දෛශිකයට සංරචක තුනක් තිබිය යුතුය.
3. කිසියම් ක්ෂේත්‍රයක අනුක්‍රමණය වන දෛශිකයක සංරචක නිර්ණය කරන ආකාරය ලියන්න. එවැනි දෛශිකයක සියලුම ඛණ්ඩාංක, ඛණ්ඩාංක ගණනය කරන විචල්‍යයට අදාළව අදිශ විභවයේ ව්‍යුත්පන්නයට සමාන වේ. එනම්, ඔබට ක්ෂේත්‍ර ශ්රේණියේ දෛශිකයේ “x” සංරචකය ගණනය කිරීමට අවශ්ය නම්, “x” විචල්‍යයට අදාළව අදිශ ශ්‍රිතය වෙනස් කළ යුතුය. ව්‍යුත්පන්නය පාර්ශවීය විය යුතු බව කරුණාවෙන් සලකන්න. මෙයින් අදහස් වන්නේ අවකලනය අතරතුර, එයට සම්බන්ධ නොවන ඉතිරි විචල්යයන් නියතයන් ලෙස සැලකිය යුතු බවයි.
4. අදිශ ක්ෂේත්‍රය සඳහා ප්‍රකාශනයක් ලියන්න. හොඳින් දන්නා පරිදි, මෙම යෙදුමෙන් අදහස් වන්නේ විචල්‍ය කිහිපයක අදිශ ශ්රිතයක් පමණක් වන අතර ඒවා ද අදිශ ප්‍රමාණ වේ. අදිශ ශ්‍රිතයක විචල්‍ය ගණන අවකාශයේ මානය අනුව සීමා වේ.
5. එක් එක් විචල්‍යයට අදාළව අදිශ ශ්‍රිතය වෙන වෙනම වෙන් කරන්න. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, ඔබට නව කාර්යයන් තුනක් ලැබෙනු ඇත. අදිශ ක්ෂේත්‍ර ශ්රේණියේ දෛශිකයේ ප්‍රකාශනයට ඕනෑම ශ්රිතයක් ලියන්න. ලබා ගත් සෑම කාර්යයක්ම ඇත්ත වශයෙන්ම දී ඇති ඛණ්ඩාංකයක ඒකක දෛශිකයක් සඳහා දර්ශකයකි. මේ අනුව, අවසාන ශ්රේණියේ දෛශිකය ශ්රිතයේ ව්‍යුත්පන්න ස්වරූපයෙන් ඝාතන සහිත බහුපදයක් මෙන් දිස්විය යුතුය.
ශ්‍රේණිගත නිරූපණය සම්බන්ධ ගැටළු සලකා බැලීමේදී, ශ්‍රිතයන් අදිශ ක්ෂේත්‍ර ලෙස සිතීම සාමාන්‍ය දෙයකි. එබැවින්, සුදුසු අංකනය හඳුන්වා දීම අවශ්ය වේ.
ඔබට අවශ්ය වනු ඇත
- - උත්පාතය;
- - පෑන.
උපදෙස්
1. ශ්‍රිතය u=f(x, y, z) යන තර්ක තුනකින් නියම කරමු. ශ්‍රිතයක ආංශික ව්‍යුත්පන්නය, උදාහරණයක් ලෙස, x සම්බන්ධයෙන්, මෙම තර්කයට අදාළ ව්‍යුත්පන්නය ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත, ඉතිරි තර්ක සවි කිරීමෙන් ලබා ගනී. වෙනත් තර්ක සඳහා සමාන වේ. අර්ධ ව්‍යුත්පන්න සඳහා අංකනය ලියා ඇත්තේ පෝරමයෙනි: df/dx = u'x ...
2. සම්පූර්ණ අවකලනය du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz ට සමාන වනු ඇත ඛණ්ඩාංක අක්ෂවල දිශා ඔස්සේ ව්‍යුත්පන්නයන් ලෙස. එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස, M(x, y, z) ලක්ෂ්යයේ දී දෙන ලද දෛශිකයේ දිශාවට අදාළව ව්‍යුත්පන්නය සෙවීමේ ප්රශ්නය පැන නගී (s දිශාව තීරණය වන්නේ ඒකක දෛශිකය මගින් බව අමතක නොකරන්න). මෙම අවස්ථාවෙහිදී, තර්කවල දෛශික-අවකලනය (dx, dy, dz) = (дscos(alpha), dscos(beta), dscos(gamma)).
3. සම්පූර්ණ අවකල du හි ස්වරූපය සලකා බැලීමේදී, M ලක්ෂ්යයේ s දිශාවෙහි ව්‍යුත්පන්නය සමාන වන බව අපට නිගමනය කළ හැක: (дu/дs)|M=((дf/дх)|M)сos(alpha)+ (( дf/дy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gamma).s= s(sx,sy,sz) නම් දිශා කොසයින (cos(alpha), cos(beta) ), cos(ගැමා)) ගණනය කරනු ලැබේ (රූපය 1a බලන්න).
4. ලක්ෂ්ය M විචල්‍යයක් ලෙස සලකන විට දිශානුගත ව්‍යුත්පන්නයේ නිර්වචනය අදිශ නිෂ්පාදනයක් ආකාරයෙන් නැවත ලිවිය හැක: (дu/дs)=((дf/дх, дf/дy,дf/дz), (cos(alpha) , cos(beta), cos (gamma)))=(grad u, s^o). මෙම ප්රකාශනය අදිශ ක්ෂේත්රයක් සඳහා වෛෂයික වනු ඇත. ශ්රිතයක් පහසුවෙන් සලකන්නේ නම්, gradf යනු f(x, y, z) යන අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් සමඟ සමපාත වන ඛණ්ඩාංක ඇති දෛශිකයකි.gradf(x,y,z)=((df/dh, df/dy, df/ dz) )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. මෙහි (i, j, k) යනු සෘජුකෝණාස්‍රාකාර කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක ඛණ්ඩාංක අක්ෂවල ඒකක දෛශික වේ.
5. අපි හැමිල්ටෝනියානු අවකල්‍ය දෛශික ක්‍රියාකරු භාවිතා කරන්නේ නම්, gradf මෙම දෛශික ක්‍රියාකරු f පරිමාණයෙන් ගුණ කිරීම ලෙස ලිවිය හැක (රූපය 1b බලන්න). gradf සහ දිශානුගත ව්‍යුත්පන්න අතර සම්බන්ධතාවයේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, මෙම දෛශික විකලාංග නම් සමානාත්මතාවය (gradf, s^o)=0 පිළිගත හැකිය. එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, gradf බොහෝ විට අදිශ ක්ෂේත්රයේ වේගවත්ම විකෘතියේ දිශාව ලෙස අර්ථ දැක්වේ. අවකල මෙහෙයුම්වල දෘෂ්ටි කෝණයෙන් (gradf යනු ඒවායින් එකකි), gradf හි ගුණාංග අවකලනය කිරීමේ ශ්‍රිතවල ගුණාංග හරියටම පුනරුච්චාරණය කරයි. විශේෂයෙන්ම f=uv නම් gradf=(vgradu+u gradv).
මාතෘකාව පිළිබඳ වීඩියෝව
Gradientමෙය ග්රැෆික් සංස්කාරක වලදී, එක් වර්ණයකින් තවත් වර්ණයකට සුමට සංක්රාන්තියක් සහිත සිල්වට් එකක් පුරවන මෙවලමකි. Gradientසිල්වට් එකකට පරිමාවේ ප්‍රතිඵලය, ආලෝකය අනුකරණය කිරීම, වස්තුවක මතුපිට ආලෝකයේ දීප්තිය හෝ ඡායාරූපයක පසුබිමේ හිරු බැස යෑමේ ප්‍රතිඵලය ලබා දිය හැක. මෙම මෙවලම බහුලව භාවිතා වේ, එබැවින් ඡායාරූප සැකසීම හෝ නිදර්ශන නිර්මාණය කිරීම සඳහා, එය භාවිතා කරන ආකාරය ඉගෙන ගැනීම ඉතා වැදගත් වේ.
ඔබට අවශ්ය වනු ඇත
- පරිගණකය, ග්රැෆික් සංස්කාරක Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net හෝ වෙනත්.
උපදෙස්
1. වැඩසටහනේ පින්තූරයක් විවෘත කරන්න හෝ අලුත් එකක් ගන්න. සිල්වට් එකක් සාදන්න හෝ රූපයේ අපේක්ෂිත ප්රදේශය තෝරන්න.
2. ග්රැෆික් සංස්කාරක මෙවලම් තීරුවේ ඇති ශ්රේණියේ මෙවලම ක්‍රියාත්මක කරන්න. ශ්රේණියේ 1 වන වර්ණය ආරම්භ වන තෝරාගත් ප්රදේශය හෝ සිල්වට් එක ඇතුළත මූසික කර්සරය තබන්න. වම් මූසික බොත්තම ක්ලික් කර අල්ලාගෙන සිටින්න. ඔබට අනුක්‍රමණය අවසාන වර්ණයට වෙනස් කිරීමට අවශ්ය ස්ථානයට කර්සරය ගෙන යන්න. වම් මූසික බොත්තම මුදා හරින්න. තෝරාගත් සිල්වට් අනුක්‍රමණ පිරවුමකින් පුරවනු ලැබේ.
3. Gradientපිරවුමේ නිශ්චිත ස්ථානයක ඔබට විනිවිදභාවය, වර්ණ සහ ඒවායේ අනුපාතය සැකසිය හැකිය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අනුක්‍රමණ සංස්කරණ කවුළුව විවෘත කරන්න. Photoshop හි සංස්කරණ කවුළුව විවෘත කිරීමට, විකල්ප පැනලයේ ඇති ශ්රේණියේ උදාහරණය මත ක්ලික් කරන්න.
4. විවෘත වන කවුළුව උදාහරණ ආකාරයෙන් පවතින අනුක්‍රමික පිරවුම් විකල්පයන් පෙන්වයි. විකල්පයන්ගෙන් එකක් සංස්කරණය කිරීමට, මූසික ක්ලික් කිරීමකින් එය තෝරන්න.
5. කවුළුවේ පතුලේ ස්ලයිඩර් පිහිටා ඇති පුළුල් පරිමාණයක අනුක්‍රමයක උදාහරණයක් පෙන්වනු ලැබේ. ස්ලයිඩර් මඟින් ශ්රේණියේ නිශ්චිත ඝට්ටන තිබිය යුතු ලක්ෂ්ය පෙන්නුම් කරන අතර, ස්ලයිඩර් අතර පරතරයේ දී වර්ණය පළමු ලක්ෂ්යයේ දක්වා ඇති වර්ණයේ සිට 2 වන ලක්ෂ්යයේ වර්ණය දක්වා ඒකාකාරව සංක්රමණය වේ.
6. පරිමාණයේ මුදුනේ පිහිටා ඇති ස්ලයිඩර් අනුක්‍රමයේ විනිවිදභාවය සකසයි. විනිවිදභාවය වෙනස් කිරීමට, අවශ්ය ස්ලයිඩරය මත ක්ලික් කරන්න. ඔබට අවශ්ය විනිවිද භාවය ප්‍රතිශතයක් ලෙස ඇතුළත් කරන පරිමාණය යටතේ ක්ෂේත්රයක් දිස්වනු ඇත.
7. පරිමාණයේ පතුලේ ඇති ස්ලයිඩර් අනුක්‍රමයේ වර්ණ සකසයි. ඒවායින් එකක් මත ක්ලික් කිරීමෙන්, ඔබට අවශ්ය වර්ණය තෝරා ගැනීමට හැකි වනු ඇත.
8. Gradientසංක්රාන්ති වර්ණ කිහිපයක් තිබිය හැක. වෙනත් වර්ණයක් සැකසීමට, පරිමාණයේ පතුලේ ඇති නිදහස් ඉඩ මත ක්ලික් කරන්න. තවත් ස්ලයිඩරයක් එය මත දිස්වනු ඇත. එයට අවශ්ය වර්ණය ලබා දෙන්න. පරිමාණය තවත් එක් ලක්ෂයක් සමඟ අනුක්‍රමණයේ උදාහරණයක් පෙන්වයි. අපේක්ෂිත සංයෝජනය සාක්ෂාත් කර ගැනීම සඳහා වම් මූසික බොත්තම සමඟ ඒවා අල්ලා ගැනීමෙන් ඔබට ස්ලයිඩර් ගෙන යා හැක.
9. Gradientඒවා පැතලි සිල්වූට් වලට හැඩයක් ලබා දිය හැකි වර්ග කිහිපයකින් පැමිණේ. උදාහරණයක් ලෙස, රවුමකට බෝලයක හැඩය ලබා දීම සඳහා, රේඩියල් අනුක්‍රමයක් භාවිතා කරන අතර, කේතුවක හැඩය ලබා දීම සඳහා, කේතු හැඩැති අනුක්‍රමයක් භාවිතා කරයි. මතුපිටට උත්තල පිළිබඳ මිත්‍යාව ලබා දීම සඳහා, ඔබට දර්පණ අනුක්‍රමයක් භාවිතා කළ හැකි අතර, උද්දීපනය කිරීමට දියමන්ති හැඩැති අනුක්‍රමයක් භාවිතා කළ හැකිය.
මාතෘකාව පිළිබඳ වීඩියෝව
මාතෘකාව පිළිබඳ වීඩියෝව
1 0 ශ්රේණිය සාමාන්‍ය මට්ටමේ මතුපිටට (හෝ ක්ෂේත්‍රය පැතලි නම් මට්ටමේ රේඛාවට) යොමු කෙරේ.
2 0 ශ්රේණිය ක්ෂේත්‍ර ක්‍රියාකාරිත්වය වැඩි කිරීමට යොමු කෙරේ.
3 0 ශ්රේණියේ මාපාංකය ක්ෂේත්රයේ දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක දිශානතියේ විශාලතම ව්‍යුත්පන්නයට සමාන වේ:
මෙම ගුණාංග ශ්රේණියේ වෙනස් නොවන ලක්ෂණයක් සපයයි. ඔවුන් පවසන්නේ දෛශික gradU මඟින් දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක අදිශ ක්ෂේත්රයේ විශාලතම වෙනසෙහි දිශාව සහ විශාලත්වය පෙන්නුම් කරන බවයි.
සටහන 2.1. U(x,y) ශ්‍රිතය විචල්‍ය දෙකක ශ්රිතයක් නම්, දෛශිකය
(2.3)
ඔක්සි තලයේ පිහිටා ඇත.
М 0 (x,y,z) ලක්ෂ්යයේ U=U(x,y,z) සහ V=V(x,y,z) අවකලනය කළ හැකි ශ්‍රිත වේවා. එවිට පහත සමානාත්මතාවයන් පවතී:
අ) උපාධිය ()= ; ආ) grad(UV)=VgradU+UgradV;
ඇ) grad(U V)=gradU gradV; ඈ) ඈ) උපාධිය = 
, වී ;
e) gradU( = gradU, එහිදී , U=U() ට සාපේක්ෂව ව්‍යුත්පන්නයක් ඇත.
උදාහරණය 2.1. U=x 2 +y 2 +z 2 ශ්‍රිතය ලබා දී ඇත. M(-2;3;4) ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතයේ ශ්රේණිය නිර්ණය කරන්න.
විසඳුමක්.සූත්රය (2.2) අනුව අපට තිබේ
.
මෙම අදිශ ක්ෂේත්රයේ මට්ටම් පෘෂ්ඨයන් x 2 +y 2 +z 2 ගෝල පවුල වේ, දෛශිකය gradU=(-4;6;8) තලවල සාමාන්‍ය දෛශිකය වේ.
උදාහරණ 2.2. U=x-2y+3z අදිශ ක්ෂේත්රයේ අනුක්‍රමණය සොයන්න.
විසඳුමක්.සූත්රය (2.2) අනුව අපට තිබේ
දී ඇති අදිශ ක්ෂේත්‍රයක මට්ටම් මතුපිට තලයන් වේ
x-2y+3z=C; දෛශිකය gradU=(1;-2;3) මෙම පවුලේ ගුවන් යානා වල සාමාන්‍ය දෛශිකය වේ.
උදාහරණය 2.3. M(2;2;4) ලක්ෂ්යයේ U=x y මතුපිට නැගීමේ විශාලතම බෑවුම සොයන්න.
විසඳුමක්.අපිට තියෙනවා: 
උදාහරණය 2.4. U=x 2 +y 2 +z 2 අදිශ ක්ෂේත්රයේ මට්ටමේ මතුපිටට ඒකක සාමාන්‍ය දෛශිකය සොයන්න.
විසඳුමක්.දී ඇති අදිශයේ මට්ටම් මතුපිට ක්ෂේත්‍ර-ගෝලය x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).
අනුක්‍රමණය සාමාන්‍ය මට්ටමේ මතුපිටට යොමු කෙරේ, එබැවින්
M(x,y,z) ලක්ෂ්යයේ මට්ටමේ මතුපිටට සාමාන්‍ය දෛශිකය නිර්වචනය කරයි. ඒකක සාමාන්‍ය දෛශිකයක් සඳහා අපි ප්රකාශනය ලබා ගනිමු
, කොහෙද 
.
උදාහරණය 2.5.ක්ෂේත්‍ර අනුක්රමය U= සොයන්න 
, එහිදී සහ නියත දෛශික වේ, r යනු ලක්ෂ්යයේ අරය දෛශිකය වේ.
විසඳුමක්.ඉඩ
ඉන්පසු: 
. අපි ලබා ගන්නා නිර්ණායකයේ අවකලනය කිරීමේ රීතිය මගින්
එබැවින්,
උදාහරණය 2.6. P(x,y,z) යනු අධ්යයනය කරන ක්ෂේත්‍ර ලක්ෂ්යය වන අතර P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) යනු යම් ස්ථාවර ලක්ෂ්යයක් වන දුර අනුක්රමය සොයන්න.
විසඳුමක්.අප සතුව ඇත - ඒකක දිශාව දෛශිකය.
උදාහරණය 2.7. M 0 (1,1) ලක්ෂ්යයේ ශ්‍රිතවල ශ්‍රේණි අතර කෝණය සොයන්න.
විසඳුමක්. M 0 (1,1) ලක්ෂ්‍යයේදී මෙම ශ්‍රිතවල අනුක්‍රමණයන් අපට හමු වේ
; M 0 ලක්ෂයේ gradU සහ gradV අතර කෝණය සමානාත්මතාවයෙන් තීරණය වේ
එබැවින් =0.
උදාහරණය 2.8.දිශානුගත ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න, අරය දෛශිකය සමාන වේ
(2.4)
විසඳුමක්.මෙම ශ්රිතයේ අනුක්‍රමණය සොයන්න:
(2.5) (2.4) බවට ආදේශ කිරීම, අපි ලබා ගනිමු
උදාහරණය 2.9. M 0 (1;1;1) ලක්ෂ්යයේ U=xy+yz+xz අදිශ ක්ෂේත්රයේ විශාලතම වෙනසෙහි දිශාව සහ මෙම ස්ථානයේ ඇති විශාලතම වෙනසෙහි විශාලත්වය සොයා ගන්න.
විසඳුමක්.ක්ෂේත්රයේ විශාලතම වෙනසෙහි දිශාව U(M) දෛශික ශ්රේණිය මගින් පෙන්නුම් කෙරේ. අපි එය සොයා ගන්නේ:
ඒ කියන්නේ... මෙම දෛශිකය විශාලතම වැඩිවීමේ දිශාව තීරණය කරයි මෙම ක්ෂේත්රයේ M 0 ලක්ෂයේ (1;1;1). මෙම ස්ථානයේ විශාලතම ක්ෂේත්‍ර වෙනසෙහි විශාලත්වය සමාන වේ
.
උදාහරණ 3.1.දෛශික ක්ෂේත්‍රයක දෛශික රේඛා සොයන්න 
නියත දෛශිකයක් කොහෙද.
විසඳුමක්.අපිට එහෙම තියෙනවා
(3.3)
පළමු භාගයේ සංඛ්යා සහ හරය x මගින්ද, දෙවැන්න y මගින්ද, තෙවැන්න z මගින්ද ගුණනය කර පදයෙන් පදය එක් කරන්න. සමානුපාතිකයන්ගේ දේපල භාවිතා කරමින්, අපි ලබා ගනිමු
එබැවින් xdx+ydy+zdz=0, එනම්
x 2 +y 2 +z 2 =A 1, A 1 -const>0. දැන් පළමු භාගයේ (3.3) සංඛ්‍යාංකය සහ හරය c 1 න් ද, දෙවැන්න c 2 න් ද, තුන්වැන්න c 3 න් ද, වාරයෙන් පදය එකතු කිරීමෙන් ද, අපට ලැබේ.
1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0 සිට කොහෙද
එබැවින්, 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 සමඟ. A 2-const.
දෛශික රේඛාවල අවශ්ය සමීකරණ
මෙම සමීකරණ මගින් දෛශික රේඛා ලබා ගන්නේ දෛශිකයට ලම්බක තල සහිත මූලාරම්භයේ පොදු මධ්‍යස්ථානයක් ඇති ගෝල ඡේදනය වීමෙනි. 
. එයින් කියවෙන්නේ දෛශික රේඛා යනු දෛශික c හි දිශාවට මූලාරම්භය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක කේන්ද්‍ර ඇති කවයන් බවයි. රවුම් වල ගුවන් යානා නිශ්චිත රේඛාවට ලම්බක වේ.
උදාහරණ 3.2.දෛශික ක්ෂේත්‍ර රේඛාව සොයන්න 
ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කිරීම (1,0,0).
විසඳුමක්. අවකල සමීකරණදෛශික රේඛා
එබැවින් අපට තිබේ 
. පළමු සමීකරණය විසඳීම. නැතහොත් අපි t පරාමිතිය හඳුන්වා දුන්නොත්, අපට මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සමීකරණය ලැබෙනු ඇත 
ස්වරූපය ගනී 
හෝ dz=bdt, කොහෙන්ද z=bt+c 2.
සමහර සංකල්ප සහ නියමයන් තනිකරම පටු රාමුවක් තුළ භාවිතා කරනු ලබන්නේ තියුනු ලෙස විරුද්ධ වන ක්ෂේත්‍රවල ය. නිදසුනක් ලෙස, "gradient" යන සංකල්පය භෞතික විද්යාඥයෙකු, ගණිතඥයෙකු සහ මැණික්සර් හෝ Photoshop විශේෂඥයෙකු විසින් භාවිතා කරනු ලැබේ. සංකල්පයක් ලෙස අනුක්‍රමණය යනු කුමක්ද? අපි එය තේරුම් ගනිමු.
ශබ්දකෝෂ පවසන්නේ කුමක්ද?
විශේෂ තේමාත්මක ශබ්දකෝෂ ඔවුන්ගේ විශේෂතා සම්බන්ධයෙන් "ශ්රේණිය" යනු කුමක්ද යන්න අර්ථකථනය කරයි. වෙතින් පරිවර්තනය කර ඇත ලතින් භාෂාවමෙම වචනයේ තේරුම "යන, වැඩෙන" යන්නයි. තවද විකිපීඩියාව මෙම සංකල්පය නිර්වචනය කරන්නේ "ප්‍රමාණයක වැඩිවීමේ දිශාව පෙන්වන දෛශිකයක්" ලෙසය. තුල පැහැදිලි කිරීමේ ශබ්දකෝෂමෙම වචනයේ තේරුම “ඕනෑම ප්‍රමාණයක එක් අගයකින් වෙනස් කිරීමක්” ලෙස අපි දකිමු. සංකල්පයකට ප්‍රමාණාත්මක සහ ගුණාත්මක යන දෙකම තිබිය හැක.
කෙටියෙන් කිවහොත්, එය එක් අගයකින් ඕනෑම අගයක් සුමට ලෙස ක්‍රමානුකූලව සංක්රමණය වීමකි, ප්‍රමාණයේ හෝ දිශාවෙහි ප්‍රගතිශීලී සහ අඛණ්ඩ වෙනසක්. දෛශිකය ගණනය කරනු ලබන්නේ ගණිතඥයින් සහ කාලගුණ විද්යාඥයින් විසිනි. මෙම සංකල්පය තාරකා විද්යාව, වෛද්ය විද්යාව, කලාව සහ පරිගණක ග්‍රැෆික්ස් වල භාවිතා වේ. සමාන පදයක් සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් ආකාරයේ ක්රියාකාරකම් නිර්වචනය කරයි.
ගණිතමය කාර්යයන්
ගණිතයේ ශ්‍රිතයක අනුක්‍රමණය කුමක්ද? මෙය අදිශ ක්ෂේත්‍රයක ශ්රිතයක් එක් අගයක සිට තවත් අගයකට වර්ධනය වන දිශාව පෙන්නුම් කරයි. ශ්රේණියේ විශාලත්වය අර්ධ ව්‍යුත්පන්න භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ. ශ්‍රිතයක වර්ධනයේ වේගවත්ම දිශානතිය තීරණය කිරීම සඳහා, ප්රස්ථාරයේ ලකුණු දෙකක් තෝරා ගනු ලැබේ. ඔවුන් දෛශිකයේ ආරම්භය සහ අවසානය නිර්වචනය කරයි. අගයක් එක් ලක්ෂ්‍යයක සිට තවත් ස්ථානයකට වර්ධනය වන වේගය අනුක්‍රමණයේ විශාලත්වය වේ. මෙම දර්ශකයේ ගණනය කිරීම් මත පදනම් වූ ගණිතමය ශ්‍රිත දෛශික පරිගණක ග්‍රැෆික්ස් වල භාවිතා වේ, ඒවායේ වස්තූන් ග්රැෆික් රූපගණිතමය වස්තූන්.
භෞතික විද්‍යාවේ අනුක්‍රමණය යනු කුමක්ද?
ශ්රේණියේ සංකල්පය භෞතික විද්‍යාවේ බොහෝ අංශවල බහුලව දක්නට ලැබේ: දෘෂ්ටි විද්‍යාවේ අනුක්රමය, උෂ්ණත්වය, වේගය, පීඩනය යනාදිය. මෙම ශාඛාව තුළ, සංකල්පයෙන් දැක්වෙන්නේ අගයක් එකකින් වැඩි වීම හෝ අඩු වීම යන මිනුමක් වේ. එය දර්ශක දෙකක් අතර වෙනස ලෙස ගණනය කිරීම් මගින් ගණනය කරනු ලැබේ. සමහර අගයන් වඩාත් විස්තරාත්මකව බලමු.
විභව අනුක්‍රමයක් යනු කුමක්ද? විද්යුත්ස්ථිතික ක්ෂේත්රයක් සමඟ වැඩ කරන විට, ලක්ෂණ දෙකක් තීරණය කරනු ලැබේ: ආතතිය (බලය) සහ විභවය (ශක්තිය). මේ විවිධ ප්රමාණවලින්පරිසරය හා සම්බන්ධයි. ඔවුන් තීරණය කළත් විවිධ ලක්ෂණ, තවමත් එකිනෙකා සමඟ සම්බන්ධයක් ඇත.
බල ක්ෂේත්රයේ ශක්තිය තීරණය කිරීම සඳහා, විභව අනුක්රමය භාවිතා කරනු ලැබේ - දිශාවේ විභවයේ වෙනස් වීමේ වේගය තීරණය කරන අගයකි විදුලි රැහැන. ගණනය කරන්නේ කෙසේද? විද්‍යුත් ක්ෂේත්රයේ ලක්ෂ්ය දෙකක් අතර විභව වෙනස ගණනය කරනු ලබන්නේ තීව්‍රතා දෛශිකය භාවිතයෙන් දන්නා වෝල්ටීයතාවයකින් වන අතර එය විභව අනුක්‍රමයට සමාන වේ.
කාලගුණ විද්යාඥයින් සහ භූගෝල විද්යාඥයින්ගේ නියමයන්
විවිධ කාලගුණ විද්‍යාත්මක දර්ශකවල විශාලත්වය සහ දිශාවෙහි වෙනස්කම් තීරණය කිරීම සඳහා ප්‍රථම වතාවට කාලගුණ විද්යාඥයින් විසින් අනුක්‍රමණය පිළිබඳ සංකල්පය භාවිතා කරන ලදී: උෂ්ණත්වය, පීඩනය, සුළං වේගය සහ ශක්තිය. එය ප්‍රමාණාත්මක වෙනස්වීමේ මිනුමකි විවිධ ප්රමාණවලින්. මැක්ස්වෙල් මෙම යෙදුම ගණිතයට හඳුන්වා දුන්නේ බොහෝ කලකට පසුවය. නිර්වචනය තුළ කාලගුණික තත්ත්වයන්සිරස් සහ තිරස් අනුක්‍රමික සංකල්ප ඇත. අපි ඔවුන් දෙස සමීපව බලමු.
සිරස් උෂ්ණත්ව අනුක්‍රමයක් යනු කුමක්ද? මෙය දර්ශකවල වෙනසක් පෙන්නුම් කරන අගයකි, එය සෑම විටම ධනාත්මක වන තිරස් වලට වෙනස්ව, එය ධනාත්මක හෝ ඍණාත්මක විය හැකිය.
අනුක්රමය මඟින් බිමෙහි බෑවුමේ විශාලත්වය හෝ කෝණය පෙන්වයි. එය යම් කොටසක මාර්ගයේ ප්රක්ෂේපණයේ දිගට උස අනුපාතය ලෙස ගණනය කෙරේ. ප්‍රතිශතයක් ලෙස දක්වා ඇත.
වෛද්ය දර්ශක
"උෂ්ණත්ව අනුක්රමය" යන්නෙහි නිර්වචනය ද සොයා ගත හැක වෛද්ය කොන්දේසි. එය අනුරූප දර්ශකවල වෙනස පෙන්නුම් කරයි අභ්යන්තර අවයවසහ ශරීර මතුපිට. ජීව විද්‍යාවේදී, භෞතික විද්‍යාත්මක අනුක්‍රමණයක් මඟින් ඕනෑම ඉන්ද්‍රියයක හෝ ජීවියෙකුගේ සමස්තයක් ලෙස එහි වර්ධනයේ ඕනෑම අවධියක භෞතික විද්‍යාවේ වෙනස්කම් වාර්තා කරයි. ඖෂධයේ දී, පරිවෘත්තීය දර්ශකය පරිවෘත්තීය තීව්රතාවය වේ.
භෞතික විද්යාඥයින් පමණක් නොව, වෛද්යවරුන් ද ඔවුන්ගේ කාර්යයේ දී මෙම යෙදුම භාවිතා කරයි. හෘද රෝග විද්‍යාවේ පීඩන අනුක්රමය යනු කුමක්ද? මෙම සංකල්පය හෘද වාහිනී පද්ධතියේ ඕනෑම අන්තර් සම්බන්ධිත කොටස්වල රුධිර පීඩනයේ වෙනස නිර්වචනය කරයි.
ස්වයංක්‍රීයත්වයේ අඩුවන ශ්රේණිය යනු හෘදයේ පාදයේ සිට ඉහළට දිශාවට ස්වයංක්‍රීයව සිදුවන උද්දීපන සංඛ්‍යාතයේ අඩු වීමක් පෙන්නුම් කරන දර්ශකයකි. මීට අමතරව, හෘද රෝග විශේෂඥයින් සිස්ටලික් තරංගවල විස්තාරයේ වෙනස නිරීක්ෂණය කිරීම මගින් ධමනි හානි ස්ථානය සහ එහි උපාධිය හඳුනා ගනී. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ස්පන්දනයේ විස්තාරය අනුක්‍රමණය භාවිතා කිරීම.
ප්‍රවේග අනුක්‍රමණයක් යනු කුමක්ද?
ඔවුන් යම් ප්‍රමාණයක වෙනස් වීමේ වේගය ගැන කතා කරන විට, ඔවුන් මෙයින් අදහස් කරන්නේ කාලය හා අවකාශය වෙනස් වීමේ වේගයයි. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, වේග අනුක්රමය කාල දර්ශකවලට අදාළව අවකාශීය ඛණ්ඩාංකවල වෙනස තීරණය කරයි. මෙම දර්ශකය ගණනය කරනු ලබන්නේ කාලගුණ විද්යාඥයින්, තාරකා විද්යාඥයින් සහ රසායනඥයින් විසිනි. නලයක් හරහා දියර ඉහළ යාමේ වේගය ගණනය කිරීම සඳහා තෙල් හා ගෑස් කර්මාන්තයේ ද්රව ස්ථරවල ෂීර් අනුපාත අනුක්රමය තීරණය කරනු ලැබේ. මෙම දර්ශකය භූ චලනයන්- මෙය භූ කම්පන විද්යාඥයින්ගේ ගණනය කිරීම් ක්ෂේත්‍රයයි.
ආර්ථික කාර්යයන්
වැදගත් න්‍යායික නිගමන සනාථ කිරීම සඳහා ආර්ථික විද්යාඥයින් ග්‍රේඩියන්ට් සංකල්පය පුළුල් ලෙස භාවිතා කරයි. පාරිභෝගික ගැටළු විසඳන විට, විකල්ප සමූහයකින් මනාපයන් නිරූපණය කිරීමට උපකාර කිරීම සඳහා උපයෝගීතා ශ්රිතයක් භාවිතා කරයි. "අයවැය සීමා කිරීමේ කාර්යය" යනු පරිභෝජන මිටි කට්ටලයක් හැඳින්වීමට භාවිතා කරන යෙදුමකි. ප්‍රශස්ත පරිභෝජනය ගණනය කිරීම සඳහා මෙම ප්‍රදේශයේ අනුක්‍රමණ භාවිතා වේ.
වර්ණ අනුක්‍රමණය
"gradient" යන යෙදුම නිර්මාණශීලී පුද්ගලයින්ට හුරුපුරුදුය. ඒවා නිශ්චිත විද්‍යාවෙන් ඈත් වුවත්. නිර්මාණකරුවෙකු සඳහා අනුක්‍රමයක් යනු කුමක්ද? නිශ්චිත විද්‍යාවන්හි එය අගය ක්‍රමයෙන් එකකින් වැඩි වන බැවින්, වර්ණයෙන් මෙම දර්ශකය මඟින් එකම වර්ණයේ සෙවන සැහැල්ලු සිට අඳුරු දක්වා හෝ අනෙක් අතට සුමට, දිගු සංක්‍රමණයක් දක්වයි. කලාකරුවන් මෙම ක්‍රියාවලිය "දිගු කිරීම" ලෙස හඳුන්වයි, එකම පරාසයක විවිධ වර්ණවලට මාරු විය හැකිය.
පින්තාරු කිරීමේ කාමරවල වර්ණවල ශ්‍රේණිගත කිරීම් නිර්මාණ ශිල්පීය ක්‍රම අතර ප්‍රබල ස්ථානයක් ගෙන ඇත. නව මාදිලියේ ඔම්බ්රේ විලාසිතාව - ආලෝකයේ සිට අඳුර දක්වා, දීප්තිමත් සිට සුදුමැලි දක්වා සෙවනේ සුමට ප්රවාහයක් - නිවසේ හෝ කාර්යාලයේ ඕනෑම කාමරයක් ඵලදායී ලෙස පරිවර්තනය කරයි.
දෘෂ්ටි විශේෂඥයින් අව් කණ්ණාඩි වල විශේෂ කාච භාවිතා කරයි. වීදුරු වල අනුක්‍රමණය යනු කුමක්ද? මෙය විශේෂ ආකාරයකින් කාචයක් සෑදීමයි, ඉහළ සිට පහළට වර්ණය අඳුරු සිට සැහැල්ලු සෙවන දක්වා වෙනස් වේ. මෙම තාක්ෂණය භාවිතයෙන් සාදන ලද නිෂ්පාදන සූර්ය විකිරණ වලින් ඇස් ආරක්ෂා කරන අතර ඉතා දීප්තිමත් ආලෝකයේ පවා වස්තූන් බැලීමට ඔබට ඉඩ සලසයි.
වෙබ් නිර්මාණයේ වර්ණය
වෙබ් නිර්මාණකරණයේ සහ පරිගණක ග්‍රැෆික්ස්වල යෙදී සිටින අය හුරුපුරුදුය විශ්වීය මෙවලමක්"gradient", එහි ආධාරයෙන් විවිධාකාර බලපෑම් නිර්මාණය වේ. වර්ණ සංක්රාන්ති උද්දීපනය, විකාර පසුබිමක් සහ ත්රිමාණ බවට පරිවර්තනය වේ. සෙවන හැසිරවීම සහ ආලෝකය සහ සෙවනැල්ල නිර්මාණය කිරීම දෛශික වස්තූන් සඳහා පරිමාව ලබා දෙයි. මෙම අරමුණු සඳහා, අනුක්‍රමික වර්ග කිහිපයක් භාවිතා කරයි:
- රේඛීය.
- රේඩියල්.
- කේතු හැඩැති.
- දර්පණය.
- දියමන්ති හැඩැති.
- ශබ්ද අනුක්රමය.
ශ්රේණියේ අලංකාරය
රූපලාවන්‍යාගාර වෙත පැමිණෙන අමුත්තන් සඳහා, ශ්රේණිය යනු කුමක්ද යන ප්රශ්නය පුදුමයට පත් නොවනු ඇත. ඇත්ත, සහ මේ අවස්ථාවේ දී දැනුම ගණිතමය නීතිසහ මූලික භෞතික විද්යාව අවශ්ය නොවේ. අපි තවමත් වර්ණ සංක්රමණය ගැන කතා කරනවා. ශ්රේණියේ වස්තූන් හිසකෙස් සහ නියපොතු වේ. ප්‍රංශ භාෂාවෙන් “තානය” යන අරුත ඇති ඔම්බ්රේ තාක්ෂණය විලාසිතාවට පැමිණියේ සර්ෆින් සහ වෙනත් ක්‍රීඩා ලෝලීන්ගෙනි. වෙරළ ක්රියාකාරකම්. ස්වභාවිකව සුදු වී නැවත වැඩුණු හිසකෙස් ජනප්‍රිය වී ඇත. විලාසිතා ශිල්පීන් ඔවුන්ගේ හිසකෙස් විශේෂයෙන් වර්ණ ගැන්වීමට පටන් ගත්තේ යන්තම් කැපී පෙනෙන සෙවනැලි මාරු කිරීමෙනි.
Ombre තාක්ෂණය නියපොතු රූපලාවන්‍යාගාරවලින් සම්මත වී නැත. නියපොතු මත අනුක්‍රමණයක් මූලයේ සිට දාරය දක්වා තහඩුව ක්‍රමයෙන් අකුණු කිරීමකින් වර්ණයක් නිර්මාණය කරයි. ස්වාමිවරුන් තිරස්, සිරස්, සංක්රාන්තියක් සහ වෙනත් ප්‍රභේද ඉදිරිපත් කරයි.
ඉඳිකටු වැඩ
ඉඳිකටු කාන්තාවන් තවත් එක් පැත්තකින් "ශ්‍රේණිගත කිරීම" යන සංකල්පය හුරුපුරුදුය. දේවල් නිර්මාණය කිරීමේදී සමාන තාක්ෂණයක් භාවිතා වේ තමාම නිපද වු decoupage ශෛලිය තුල. මේ ආකාරයෙන්, නව පෞරාණික දේවල් නිර්මාණය කරනු ලැබේ, නැතහොත් පැරණි ඒවා ප්රතිෂ්ඨාපනය කරනු ලැබේ: ලාච්චු, පුටු, පපුව, ආදිය. Decoupage යනු ස්ටෙන්සිල් භාවිතයෙන් රටාවක් යෙදීමයි, එහි පදනම පසුබිමක් ලෙස වර්ණ අනුක්‍රමයක් වේ.
නව මාදිලි සඳහා රෙදි සායම් කිරීමේ මෙම ක්රමය අනුගමනය කර ඇත. ශ්‍රේණිගත වර්ණ සහිත ඇඳුම් කැට්වෝක් ජයගෙන ඇත. විලාසිතා තෝරා ගනු ලැබුවේ ඉඳිකටු කාන්තාවන් - ගෙතුම්කරුවන් විසිනි. සුමට වර්ණ සංක්රාන්තියක් සහිත ගෙතූ අයිතම ජනප්රියයි.
"ශ්‍රේණිගත කිරීම" යන්නෙහි නිර්වචනය සාරාංශ කිරීම සඳහා, මෙම පදයට ස්ථානයක් ඇති මානව ක්‍රියාකාරකම්වල ඉතා පුළුල් ක්ෂේත්රයක් ගැන අපට පැවසිය හැකිය. දෛශිකයක් තවමත් ක්රියාකාරී, අවකාශීය සංකල්පයක් බැවින් “දෛශිකය” යන පදය සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය සැමවිටම සුදුසු නොවේ. සංකල්පයේ සාමාන්‍ය බව නිර්වචනය කරන්නේ යම් ප්‍රමාණයක, ද්‍රව්‍යයක, භෞතික පරාමිතියක යම් කාල සීමාවක් තුළ ක්‍රමානුකූලව වෙනස් වීමයි. වර්ණයෙන් එය තානය සුමට සංක්රමණයකි.
පාසලේ ගණිත පාඨමාලාවෙන් අපි දන්නවා ගුවන් යානයක දෛශිකයක් යනු අධ්‍යක්ෂණය කරන ලද කොටසකි. එහි ආරම්භය සහ අවසානය ඛණ්ඩාංක දෙකක් ඇත. දෛශික ඛණ්ඩාංක ගණනය කරනු ලබන්නේ අවසාන ඛණ්ඩාංක වලින් ආරම්භක ඛණ්ඩාංක අඩු කිරීමෙනි.
දෛශික සංකල්පය n-මාන අවකාශය දක්වා දීර්ඝ කළ හැක (ඛණ්ඩාංක දෙකක් වෙනුවට n ඛණ්ඩාංක ඇත).
Gradient gradzfunctionz=f(x 1, x 2, ...x n) යනු ලක්ෂ්‍යයක ශ්රිතයේ අර්ධ ව්‍යුත්පන්න වල දෛශිකයයි, i.e. ඛණ්ඩාංක සහිත දෛශිකය.
ශ්‍රිතයක ශ්රේණිය ලක්ෂ්‍යයක ශ්‍රිතයක මට්ටමේ වේගවත්ම වර්ධනයේ දිශාව සංලක්ෂිත කරන බව ඔප්පු කළ හැක.
උදාහරණයක් ලෙස, z = 2x 1 + x 2 ශ්‍රිතය සඳහා (රූපය 5.8 බලන්න), ඕනෑම ස්ථානයක අනුක්‍රමණයට ඛණ්ඩාංක ඇත (2; 1). දෛශිකයේ ආරම්භය ලෙස ඕනෑම ලක්ෂ්යයක් ගෙන ඔබට එය ගුවන් යානයක විවිධ ආකාරවලින් ගොඩනගා ගත හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, ඔබට ලක්ෂ්යය (0; 0) ලක්ෂ්‍යයට (2; 1) හෝ ලක්ෂ්යය (1; 0) ලක්ෂ්‍යයට (3; 1) හෝ ලක්ෂ්යය (0; 3) ලක්ෂ්‍යයට (2; 4) සම්බන්ධ කළ හැකිය. එසේත් නැතිනම් .පී. (රූපය 5.8 බලන්න). මේ ආකාරයට ගොඩනගා ඇති සියලුම දෛශික වල ඛණ්ඩාංක (2 - 0; 1 - 0) = = (3 - 1; 1 - 0) = (2 - 0; 4 - 3) = (2; 1) ඇත.
ඉදිකරන ලද මට්ටමේ රේඛා 4 > 3 > 2 මට්ටමේ අගයන්ට අනුරූප වන බැවින්, රූපය 5.8 සිට ශ්රිතයේ මට්ටම ශ්රේණියේ දිශාවට වැඩි වන බව පැහැදිලිව පෙනේ.
රූපය 5.8 - ශ්රිතයේ ශ්රේණිය z= 2x 1 + x 2
අපි තවත් උදාහරණයක් සලකා බලමු - ශ්‍රිතය z = 1/(x 1 x 2). එහි ඛණ්ඩාංක සූත්‍ර (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)) මගින් තීරණය කරනු ලබන බැවින්, මෙම ශ්රිතයේ අනුක්‍රමණය සෑම විටම විවිධ ස්ථානවල සමාන නොවනු ඇත.
රූප සටහන 5.9 2 සහ 10 මට්ටම් සඳහා ශ්‍රිත මට්ටමේ රේඛා z = 1/(x 1 x 2) පෙන්වයි (සරල රේඛාව 1/(x 1 x 2) = 2 තිත් රේඛාවකින් ද, සරල රේඛාව 1/( x 1 x 2) = 10 යනු ඝන රේඛාවකි).
රූප සටහන 5.9 - විවිධ ස්ථානවල z= 1/(x 1 x 2) ශ්රිතයේ ශ්‍රේණි
උදාහරණයක් ලෙස, ලක්ෂ්යය (0.5; 1) ගෙන මෙම ලක්ෂ්යයේ අනුක්රමය ගණනය කරන්න: (-1/(0.5 2 *1); -1/(0.5*1 2)) = (-4; - 2). ලක්ෂ්යය (0.5; 1) පිහිටා ඇත්තේ 1/(x 1 x 2) = 2 මට්ටමේ රේඛාව මත බව සලකන්න, මන්ද z=f(0.5; 1) = 1/(0.5*1) = 2. දෛශිකය ඇඳීමට ( -4; -2) රූපය 5.9 හි, ලක්ෂ්යය (0.5; 1) ලක්ෂ්යය (-3.5; -1) සමඟ සම්බන්ධ කරන්න, මන්ද (-3.5 - 0.5; -1 - 1) = (-4; -2).
අපි එම මට්ටමේ රේඛාවේම තවත් ලක්ෂ්යයක් ගනිමු, උදාහරණයක් ලෙස, ලක්ෂ්යය (1; 0.5) (z=f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2). අපි මෙම ස්ථානයේ අනුක්‍රමණය ගණනය කරමු (-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4). රූප සටහන 5.9 හි එය නිරූපණය කිරීම සඳහා, අපි ලක්ෂ්යය (1; 0.5) ලක්ෂ්යය (-1; -3.5) සමඟ සම්බන්ධ කරමු, මන්ද (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).
අපි එකම මට්ටමේ රේඛාවකින් තවත් කරුණක් ගනිමු, නමුත් දැන් පමණක් ධනාත්මක නොවන ඛණ්ඩාංක කාර්තුවක. උදාහරණයක් ලෙස, ලක්ෂ්යය (-0.5; -1) (z=f(-0.5; -1) = 1/((-1)*(-0.5)) = 2). මෙම ස්ථානයේ ඇති අනුක්‍රමණය (-1/(-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2) ට සමාන වේ. ලක්ෂ්යය (-0.5; -1) ලක්ෂ්යය (3.5; 1) සමඟ සම්බන්ධ කිරීමෙන් එය රූප සටහන 5.9 හි නිරූපණය කරමු, මන්ද (3.5 - (-0.5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).
සලකා බලන අවස්ථා තුනෙහිම, ශ්රේණියේ ශ්‍රිත මට්ටමේ වර්ධනයේ දිශාව පෙන්වන බව සටහන් කළ යුතුය (මට්ටමේ රේඛාව 1/(x 1 x 2) = 10 > 2 දෙසට).
දී ඇති ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන මට්ටමේ රේඛාවට (මට්ටමේ මතුපිටට) අනුක්‍රමණය සැමවිටම ලම්බකව පවතින බව ඔප්පු කළ හැක.
විචල්‍ය කිහිපයක ශ්‍රිතයක අන්තය
අපි සංකල්පය නිර්වචනය කරමු අන්තයබොහෝ විචල්‍යවල ශ්රිතයක් සඳහා.
බොහෝ විචල්‍යවල ශ්රිතයක් f(X) X ලක්ෂයේ (0) ඇත. උපරිම (අවම),මෙම ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් තිබේ නම්, මෙම අසල්වැසි ප්‍රදේශයෙන් සියලුම X ලක්ෂ්ය සඳහා f(X)f(X (0)) () අසමානතා තෘප්තිමත් වේ.
මෙම අසමානතාවයන් දැඩි ලෙස තෘප්තිමත් වන්නේ නම්, අන්තය ලෙස හැඳින්වේ ශක්තිමත්, සහ එසේ නොවේ නම්, එසේ නම් දුර්වල.
මේ ආකාරයෙන් අර්ථ දක්වා ඇති අන්තය බව සලකන්න දේශීයචරිතය, මෙම අසමානතාවයන් තෘප්තිමත් වන්නේ අන්ත ලක්ෂ්යයේ යම් අසල්වැසි ප්‍රදේශයකට පමණක් වන බැවිනි.
ලක්ෂ්‍යයක අවකලනය කළ හැකි ශ්‍රිතයක z=f(x 1, . . ., x n) දේශීය අන්තයක් සඳහා අවශ්ය කොන්දේසිය වන්නේ මෙම ලක්ෂ්යයේ සියලුම පළමු-පෙළ අර්ධ ව්‍යුත්පන්නවල ශුන්‍යයට සමානත්වයයි: 
.
මෙම සමානාත්මතාවයන් පවතින ලක්ෂ්ය ලෙස හැඳින්වේ ස්ථාවර.
තවත් ආකාරයකින්, අන්තයක් සඳහා අවශ්ය කොන්දේසිය පහත පරිදි සකස් කළ හැක: අන්ත ලක්ෂ්යයේ දී, ශ්රේණිය ශුන්ය වේ. වඩාත් සාමාන්‍ය ප්‍රකාශයක් ද ඔප්පු කළ හැකිය: අන්ත ලක්ෂ්යයේ දී, සෑම දිශාවකටම ශ්රිතයේ ව්‍යුත්පන්නයන් අතුරුදහන් වේ.
දේශීය අන්තයක පැවැත්ම සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසි සපුරා තිබේද යන්න තීරණය කිරීම සඳහා ස්ථාවර ලක්ෂ්ය අතිරේක පර්යේෂණවලට භාජනය කළ යුතුය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, දෙවන අනුපිළිවෙල අවකලනයේ ලකුණ තීරණය කරන්න. ඕනෑම එකක් සඳහා එකවර ශුන්‍යයට සමාන නොවේ නම්, එය සැමවිටම සෘණ (ධන) වේ නම්, ශ්‍රිතයට උපරිම (අවම) ඇත. එය ශුන්ය වර්ධක සමඟ පමණක් නොව බිංදුවට යා හැකි නම්, අන්තය පිළිබඳ ප්රශ්නය විවෘතව පවතී. එයට ධනාත්මක සහ සෘණ අගයන් දෙකම ගත හැකි නම්, ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයක අන්තයක් නොමැත.
පොදුවේ ගත් කල, අවකලනයේ ලකුණ තීරණය කිරීම තරමක් සංකීර්ණ ගැටළුවක් වන අතර එය අපි මෙහි සලකා බලන්නේ නැත. විචල්‍ය දෙකක ශ්රිතයක් සඳහා එය ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයක නම් බව ඔප්පු කළ හැක 
, එවිට අන්තය පවතී. මෙම අවස්ථාවේ දී, දෙවන අවකලයේ ලකුණ ලකුණ සමඟ සමපාත වේ 
, i.e. නම් 
, එවිට මෙය උපරිම වේ, සහ නම් 
, එවිට මෙය අවම වේ. නම් 
, එවිට මේ අවස්ථාවේ දී අන්තයක් නොමැත, සහ නම් 
, එවිට අන්තයේ ප්රශ්නය විවෘතව පවතී.
උදාහරණ 1. ශ්රිතයේ අන්තය සොයන්න 
.
ලඝුගණක අවකලනය කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කර අර්ධ ව්‍යුත්පන්න සොයා ගනිමු.
ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)
එලෙසම 
.
සමීකරණ පද්ධතියෙන් ස්ථාවර ලක්ෂ්ය සොයා ගනිමු:
මේ අනුව, නිශ්චල ලක්ෂ්ය හතරක් සොයාගෙන ඇත (1; 1), (1; -1), (-1; 1) සහ (-1; -1).
දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් සොයා ගනිමු:
ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)
එලෙසම 
;
.
නිසා 
, ප්රකාශන ලකුණ 
මත පමණක් රඳා පවතී 
. මෙම ව්‍යුත්පන්න දෙකෙහිම හරය සැමවිටම ධනාත්මක බව සලකන්න, එබැවින් ඔබට සලකා බැලිය හැක්කේ සංඛ්යා ලකුණ හෝ x(x 2 - 3) සහ y(y 2 - 3) යන ප්‍රකාශනවල ලකුණ පමණි. අපි එය එක් එක් තීරණාත්මක ලක්ෂ්යයේ දී නිර්වචනය කර අන්තය සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසිය තෘප්තිමත් දැයි පරීක්ෂා කරමු.
ලක්ෂ්යය (1; 1) සඳහා අපට 1*(1 2 - 3) = -2 ලැබේ< 0. Т.к. произведение
двух отрицательных чисел
> 0, සහ 
<
0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он
равен
=
2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) =
= 8/4
= 2.
ලක්ෂ්යය (1; -1) සඳහා අපට 1*(1 2 – 3) = -2 ලැබේ< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3)
= 2 >0. නිසා මෙම සංඛ්යා වල නිෂ්පාදිතය 
< 0, в этой точке экстремума нет.
Аналогично можно показать, что нет
экстремума в точке (-1; 1).
(-1; -1) ලක්ෂ්යය සඳහා අපට ලැබෙන්නේ (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. නිසා දෙකක නිෂ්පාදනයක් ධනාත්මක සංඛ්යා
> 0, සහ 
> 0, ලක්ෂ්යයේ (-1; -1) අවමය සොයා ගත හැක. එය සමාන වේ 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.
සොයන්න ගෝලීයඋපරිම හෝ අවම (ශ්‍රිතයක විශාලතම හෝ කුඩාම අගය) වඩා තරමක් සංකීර්ණ වේ දේශීය අන්තය, මෙම අගයන් ස්ථාවර ස්ථානවල පමණක් නොව, නිර්වචන වසමේ මායිමේදී ද ලබා ගත හැකි බැවිනි. මෙම කලාපයේ මායිමේ ශ්‍රිතයක හැසිරීම අධ්යයනය කිරීම සැමවිටම පහසු නොවේ.
