ශ්‍රිතයක කොන්දේසි සහිත අන්තය සොයා ගන්නේ කෙසේද. දේශීය අන්තය

විචල්‍ය කිහිපයක ක්‍රියාකාරීත්වයේ අන්තය. අන්තයක් සඳහා අවශ්ය කොන්දේසියක්. අන්තයක් සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසියක්. කොන්දේසි සහිත අන්ත. Lagrange ගුණක ක්රමය. විශාලතම හා කුඩාම අගයන් සොයා ගැනීම.

දේශනය 5

අර්ථ දැක්වීම 5.1.තිත් M 0 (x 0, y 0)කියලා උපරිම ලක්ෂ්යයකාර්යයන් z = f(x, y),නම් f (x o, y o) > f(x, y)සියලු ලකුණු සඳහා (x, y) M 0.

අර්ථ දැක්වීම 5.2.තිත් M 0 (x 0, y 0)කියලා අවම ලක්ෂ්යයකාර්යයන් z = f(x, y),නම් f (x o, y o) < f(x, y)සියලු ලකුණු සඳහා (x, y)ලක්ෂ්‍යයේ යම් අසල්වැසි ප්‍රදේශයකින් M 0.

සටහන 1. උපරිම සහ අවම ලකුණු කැඳවනු ලැබේ අන්ත ලකුණුවිචල්‍ය කිහිපයක කාර්යයන්.

සටහන 2. ඕනෑම විචල්‍ය සංඛ්‍යාවක ශ්‍රිතයක් සඳහා වන අන්ත ලක්ෂ්‍යය සමාන ආකාරයකින් අර්ථ දක්වා ඇත.

ප්රමේයය 5.1(අවශ්ය අන්ත තත්වයන්). අ M 0 (x 0, y 0)ශ්‍රිතයේ අන්ත ලක්ෂ්‍යය වේ z = f(x, y),මෙම අවස්ථාවේදී මෙම ශ්‍රිතයේ පළමු අනුපිළිවෙලෙහි අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් ශුන්‍යයට සමාන වේ හෝ නොපවතියි.

සාක්ෂි.

අපි විචල්‍යයේ අගය සවි කරමු හිදීගණන් කිරීම y = y 0. එවිට කාර්යය f(x, y0)එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක් වනු ඇත x, ඒ සඳහා x = x 0අන්ත ලක්ෂ්‍යය වේ. එබැවින්, ෆර්මැට්ගේ ප්‍රමේයය මගින් හෝ නොපවතියි. සඳහා එකම ප්රකාශය ඔප්පු වේ.

අර්ථ දැක්වීම 5.3.ශ්‍රිතයේ අර්ධ ව්‍යුත්පන්න ශුන්‍යයට සමාන වන හෝ නොපවතින විචල්‍ය කිහිපයක ශ්‍රිතයක වසමට අයත් ලක්ෂ්‍ය ලෙස හැඳින්වේ. ස්ථාවර ලක්ෂ්යමෙම කාර්යය.

අදහස් දක්වන්න. මේ අනුව, අන්තයට ළඟා විය හැක්කේ ස්ථිතික ස්ථානවල පමණි, නමුත් එය එක් එක් ස්ථානවල අනිවාර්යයෙන්ම නිරීක්ෂණය නොකෙරේ.

ප්රමේයය 5.2 (ප්රමාණවත් කොන්දේසිඅන්ත). කාරණයේ යම් අසල්වැසි ප්‍රදේශයකට ඉඩ දෙන්න M 0 (x 0, y 0), එය ශ්‍රිතයේ නිශ්චල ලක්ෂ්‍යයකි z = f(x, y),මෙම ශ්‍රිතයට 3 වන අනුපිළිවෙල ඇතුළුව අඛණ්ඩ අර්ධ ව්‍යුත්පන්න ඇත. පසුව දක්වන්න:

1) f(x, y)ලක්ෂ්යයේ ඇත M 0උපරිම නම් AC-B² > 0, ඒ < 0;

2) f(x, y)ලක්ෂ්යයේ ඇත M 0අවම නම් AC-B² > 0, ඒ > 0;

3) නම් තීරණාත්මක ස්ථානයේ අන්තයක් නොමැත AC-B² < 0;

4) නම් AC-B² = 0, අමතර පර්යේෂණ අවශ්‍ය වේ.

සාක්ෂි.

අපි කාර්යය සඳහා දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි ටේලර් සූත්රය ලියන්නෙමු f(x, y),නිශ්චල ලක්ෂ්‍යයක දී, පළමු අනුපිළිවෙලෙහි අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් ශුන්‍යයට සමාන බව මතක තබා ගන්න:

කොහෙද කොටස අතර කෝණය නම් එම් 0 එම්, කොහෙද M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ හිදී), සහ O අක්ෂය xφ දක්වන්න, පසුව Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y=Δρsinφ. මෙම අවස්ථාවේදී, ටේලර් සූත්‍රය පෝරමය ගනු ඇත: . එවිට අපට වරහන් තුළ ඇති ප්‍රකාශනය බෙදීමට සහ ගුණ කිරීමට ඉඩ දෙන්න නමුත්. අපට ලැබෙන්නේ:

දැන් හතරක් සලකා බලන්න හැකි අවස්ථා:

1) AC-B² > 0, ඒ < 0. Тогда , и ප්රමාණවත් තරම් කුඩා Δρ සඳහා. එමනිසා, සමහර අසල්වැසි ප්රදේශයක M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f(x0, y0), එනම් M 0උපරිම ලක්ෂ්‍යය වේ.

2) ඉඩ දෙන්න AC-B² > 0, A > 0.ඉන්පසු , හා M 0අවම ලක්ෂ්‍යය වේ.

3) ඉඩ දෙන්න AC-B² < 0, ඒ> 0. කිරණ φ = 0 දිගේ තර්කවල වර්ධක සලකා බලන්න. ඉන්පසු එය (5.1) සිට අනුගමනය කරයි , එනම්, මෙම කිරණ දිගේ ගමන් කරන විට, කාර්යය වැඩි වේ. අපි එවැනි කිරණ දිගේ ගමන් කරන්නේ නම් tg φ 0 \u003d -A / B,එවිට , එබැවින්, මෙම කිරණ දිගේ ගමන් කරන විට, කාර්යය අඩු වේ. ඉතින් කාරණය M 0අන්ත ලක්ෂ්‍යයක් නොවේ.

3`) කවදාද AC-B² < 0, ඒ < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

පෙර එකට සමානයි.

3``) නම් AC-B² < 0, ඒ= 0, එවිට . එහිදී . පසුව, ප්‍රමාණවත් තරම් කුඩා φ සඳහා, ප්‍රකාශනය 2 බී cos + සී sinφ 2ට ආසන්නයි හිදී, එනම්, එය නියත ලකුණක් රඳවා තබා ගන්නා අතර, ලක්ෂ්‍යය ආසන්නයේ sinφ ලකුණ වෙනස් කරයි M 0 .මෙයින් අදහස් කරන්නේ ශ්‍රිතයේ වැඩිවීම නිශ්චල ලක්ෂ්‍යය ආසන්නයේ ලකුණ වෙනස් වන බවයි, එබැවින් එය අන්ත ලක්ෂ්‍යයක් නොවේ.

4) නම් AC-B² = 0, සහ , , එනම්, වර්ධක ලකුණ 2α 0 ලකුණෙන් තීරණය වේ. ඒ අතරම, අන්තයක පැවැත්ම පිළිබඳ ප්රශ්නය පැහැදිලි කිරීම සඳහා වැඩිදුර පර්යේෂණ අවශ්ය වේ.

උදාහරණයක්. ශ්‍රිතයේ අන්ත ලක්ෂ්‍ය සොයා ගනිමු z=x² - 2 xy + 2වයි² + 2 x.ස්ථාවර ලක්ෂ්ය සෙවීම සඳහා, අපි පද්ධතිය විසඳන්නෙමු . එබැවින්, නිශ්චල ලක්ෂ්යය (-2,-1) වේ. එහි A = 2, හිදී = -2, සිට= 4. එවිට AC-B² = 4 > 0, එබැවින්, නිශ්චල ලක්ෂ්‍යයේ අන්තයක් ළඟා වේ, එනම් අවම (සිට ඒ > 0).

අර්ථ දැක්වීම 5.4.ශ්රිතය තර්ක නම් f (x 1 , x 2 ,..., x n)පෝරමයේ අතිරේක කොන්දේසි මගින් බැඳී ඇත එම්සමීකරණ ( එම්< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,..., x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,..., x n) = 0,…, φ m ( x 1, x 2,..., x n) = 0, (5.2)

එහිදී ශ්‍රිත φ i අඛණ්ඩ අර්ධ ව්‍යුත්පන්න ඇති විට සමීකරණ (5.2) ලෙස හැඳින්වේ. සම්බන්ධතා සමීකරණ.

අර්ථ දැක්වීම 5.5.කාර්යය අන්තය f (x 1 , x 2 ,..., x n)කොන්දේසි යටතේ (5.2) ලෙස හැඳින්වේ කොන්දේසි සහිත අන්තය.

අදහස් දක්වන්න. විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක කොන්දේසි සහිත අන්තයේ පහත ජ්‍යාමිතික අර්ථ නිරූපණය අපට ඉදිරිපත් කළ හැක: ශ්‍රිතයේ තර්කවලට ඉඩ දෙන්න f(x,y)φ සමීකරණය මගින් සම්බන්ධ වේ (x, y)= 0, O තලයේ යම් වක්‍රයක් අර්ථ දැක්වීම හූ. O තලයට ලම්බකව මෙම වක්‍රයේ එක් එක් ලක්ෂ්‍යයෙන් ප්‍රතිෂ්ඨාපනය කර ඇත හූමතුපිට තරණය කිරීමට පෙර z = f (x, y),අපි වක්‍රය φ ට ඉහලින් මතුපිට ඇති අවකාශීය වක්‍රයක් ලබා ගනිමු (x, y)= 0. ගැටලුව වන්නේ, ඇත්ත වශයෙන්ම, ඇති වන වක්‍රයේ අන්ත ලක්ෂ්‍ය සොයා ගැනීමයි සාමාන්ය නඩුවශ්‍රිතයේ කොන්දේසි විරහිත අන්ත ලක්ෂ්‍ය සමග සමපාත නොවන්න f(x,y).

පහත අර්ථ දැක්වීම කලින් හඳුන්වා දීමෙන් විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක් සඳහා අවශ්‍ය කොන්දේසි සහිත අන්ත කොන්දේසි නිර්වචනය කරමු:

අර්ථ දැක්වීම 5.6.කාර්යය L (x 1 , x 2 ,..., x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

කොහෙද λ මම -සමහර නියතයන් ලෙස හැඳින්වේ Lagrange කාර්යය, සහ අංක λ අයි– අවිනිශ්චිත Lagrange ගුණක.

ප්රමේයය 5.3(අවශ්ය කොන්දේසි සහිත අන්ත තත්වයන්). ශ්රිතයේ කොන්දේසි සහිත අන්තය z = f(x, y)සීමා සමීකරණය ඉදිරියේ φ ( x, y)= 0 ළඟා විය හැක්කේ Lagrange ශ්‍රිතයේ ස්ථිතික ස්ථානවල පමණි L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

සාක්ෂි. සීමා සමීකරණය ව්‍යංග යැපීම නිර්වචනය කරයි හිදීසිට x, ඒ නිසා අපි එය උපකල්පනය කරමු හිදීසිට කාර්යයක් ඇත x: y = y(x).ඉන්පසු zසංකීර්ණ කාර්යයක් ඇත x, සහ එහි තීරණාත්මක කරුණු කොන්දේසිය අනුව තීරණය වේ: . (5.4) එය සීමා සමීකරණයෙන් පහත දැක්වේ . (5.5)

අපි සමානාත්මතාවය (5.5) යම් අංකයකින් ගුණ කර එය (5.4) ට එකතු කරමු. අපට ලැබෙන්නේ:

, හෝ .

අවසාන සමානාත්මතාවය ස්ථාවර ස්ථානවල පැවතිය යුතුය, එයින් එය පහත දැක්වේ:

(5.6)

නොදන්නා තුනක් සඳහා සමීකරණ තුනක පද්ධතියක් ලබා ගනී: x, yසහ λ, පළමු සමීකරණ දෙක සමඟ Lagrange ශ්‍රිතයේ නිශ්චල ලක්ෂ්‍යය සඳහා කොන්දේසි වේ. පද්ධතියෙන් (5.6) සහායක නොදන්නා λ ඉවත් කිරීම, මුල් ශ්‍රිතයට තිබිය හැකි ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක අපට හමු වේ. කොන්දේසි සහිත අන්තය.

සටහන 1. ප්‍රමේයය 5.2 සමඟ ප්‍රතිසමයෙන් ලග්‍රෙන්ජ් ශ්‍රිතයේ දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් අධ්‍යයනය කිරීමෙන් සොයාගත් ලක්ෂ්‍යයේ කොන්දේසි සහිත අන්තයක් තිබීම පරීක්ෂා කළ හැක.

සටහන 2. ශ්‍රිතයේ කොන්දේසි සහිත අන්තයට ළඟා විය හැකි ලක්ෂ්‍ය f (x 1 , x 2 ,..., x n)කොන්දේසි යටතේ (5.2), පද්ධතියේ විසඳුම් ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක (5.7)

උදාහරණයක්. ශ්‍රිතයේ කොන්දේසි සහිත අන්තය සොයන්න z = xyකොන්දේසිය මත x + y= 1. Lagrange ශ්‍රිතය සම්පාදනය කරන්න L(x, y) = xy + λ (x + y –එක). පද්ධතිය (5.6) පසුව මේ වගේ ය:

කොහෙන්ද -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5 එහි L (x, y)ලෙස නිරූපණය කළ හැක L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0.5 ≤ 0.5, එබැවින්, සොයාගත් ස්ථාවර ස්ථානයේ L (x, y)උපරිම සහ ඇත z = xy -කොන්දේසි සහිත උපරිම.

කොන්දේසි සහිත අන්ත.

විචල්‍ය කිහිපයක ශ්‍රිතයක අන්තය

අඩු හතරැස් ක්රමය.

FNP හි දේශීය අන්තය

කාර්යයට ඉඩ දෙන්න හා= f(P), RÎDÌR nසහ ලක්ෂ්‍යය Р 0 ( ඒ 1 , ඒ 2 , ..., a p) –අභ්යන්තරකට්ටලයේ ලක්ෂ්යය D.

අර්ථ දැක්වීම 9.4.

1) ලක්ෂ්යය P 0 ලෙස හැඳින්වේ උපරිම ලක්ෂ්යය කාර්යයන් හා= f(P) මෙම ලක්ෂ්‍යයේ අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් තිබේ නම් U(P 0) Ì D ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් සඳහා P( x 1 , x 2 , ..., x n U(P 0), Р¹Р 0 , කොන්දේසිය f(P) £ f(P0) . අර්ථය f(P 0) උපරිම ලක්ෂ්‍යයේ ශ්‍රිත හඳුන්වනු ලැබේ උපරිම කාර්යය සහ දැක්වේ f(P 0) = උපරිම f(P) .

2) ලක්ෂ්යය P 0 ලෙස හැඳින්වේ අවම ලක්ෂ්යය කාර්යයන් හා= f(P) මෙම ලක්ෂ්‍යයේ අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් තිබේ නම් U(P 0)Ì D ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් සඳහා P( x 1 , x 2 , ..., x n)нU(P 0), Р¹Р 0 , කොන්දේසිය f(P)³ f(P0) . අර්ථය f(P 0) අවම ලක්ෂ්‍යයේ ශ්‍රිත හඳුන්වනු ලැබේ අවම කාර්යය සහ දැක්වේ f(P 0) = මිනි f(P)

ශ්‍රිතයක අවම සහ උපරිම ලක්ෂ්‍ය හඳුන්වනු ලැබේ අන්ත ලකුණු, අන්ත ලක්ෂ්‍යවල ශ්‍රිතයේ අගයන් ලෙස හැඳින්වේ කාර්යය අන්ත.

අර්ථ දැක්වීමෙන් පහත පරිදි, අසමානතාවයන් f(P) £ f(P0) f(P)³ f(P 0) සිදු කළ යුත්තේ Р 0 ලක්ෂ්‍යයේ නිශ්චිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක පමණක් වන අතර, ශ්‍රිතයේ සම්පූර්ණ වසම තුළ නොවේ, එනම් ශ්‍රිතයට එකම වර්ගයේ අන්ත කිහිපයක් තිබිය හැකි බවයි (අවම කිහිපයක්, උපරිම කිහිපයක්). එබැවින්, ඉහත අර්ථ දක්වා ඇති අන්තය ලෙස හැඳින්වේ දේශීය(දේශීය) අන්ත.

ප්රමේයය 9.1. (FNP හි අන්තය සඳහා අවශ්ය කොන්දේසිය)

කාර්යය නම් හා= f(x 1 , x 2 , ..., x n) P 0 ලක්ෂ්‍යයේ අන්තයක් ඇත, එවිට එහි පළමු අනුපිළිවෙලෙහි අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් ශුන්‍යයට සමාන හෝ නොපවතියි.

සාක්ෂි.Р 0 ලක්ෂ්‍යයේදී ඉඩ දෙන්න ( ඒ 1 , ඒ 2 , ..., a p) කාර්යය හා= f(P) උපරිමයක් වැනි අන්තයක් ඇත. අපි තර්ක නිවැරදි කරමු x 2 , ..., x n, තැබීම x 2 =ඒ 2 ,..., x n = a p. ඉන්පසු හා= f(P) = f 1 ((x 1 , ඒ 2 , ..., a p) යනු එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයකි xඑක . මෙම කාර්යය ඇති බැවින් x 1 = ඒ 1 අන්ත (උපරිම), එවිට f 1 ¢=0 හෝ නොපවතියි x 1 =ඒ 1 (එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක අන්තයක පැවැත්ම සඳහා අවශ්‍ය කොන්දේසියකි). නමුත් , එවිට හෝ නොපවතින්නේ P 0 - අන්තයේ ලක්ෂ්‍යය. ඒ හා සමානව, වෙනත් විචල්‍යයන් සම්බන්ධයෙන් අපට අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් සලකා බැලිය හැකිය. CHTD.

පළමු අනුපිළිවෙලෙහි අර්ධ ව්‍යුත්පන්න ශුන්‍යයට සමාන වන හෝ නොපවතින ශ්‍රිතයක වසමේ ලක්ෂ්‍ය ලෙස හැඳින්වේ. විවේචනාත්මක කරුණු මෙම කාර්යය.

ප්‍රමේයය 9.1 හි පහත පරිදි, FNP හි අන්ත ලක්ෂ්‍ය ශ්‍රිතයේ තීරනාත්මක කරුණු අතර සෙවිය යුතුය. නමුත්, එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක් සඳහා, සෑම එකක්ම නොවේ විවේචනාත්මක ලක්ෂ්යයඅන්ත ලක්ෂ්‍යය වේ.

ප්රමේයය 9.2

Р 0 ශ්‍රිතයේ තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍යයක් වේවා හා= f(P) සහ මෙම ශ්‍රිතයේ දෙවන පෙළ අවකලනය වේ. ඉන්පසු

එහෙම වුණොත් මොකක්ද ඈ 2 u(P 0) > 0 සඳහා , එවිට Р 0 යනු ලක්ෂ්‍යයකි අවමකාර්යයන් හා= f(P);

b) නම් ඈ 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка උපරිමකාර්යයන් හා= f(P);

ඇ) නම් ඈ 2 u(P 0) ලකුණෙන් අර්ථ දක්වා නැත, එවිට P 0 අන්ත ලක්ෂ්‍යයක් නොවේ;

අපි මෙම ප්‍රමේයය සාක්ෂි නොමැතිව සලකමු.

ප්‍රමේයය කවදාද යන්න නොසලකන බව සලකන්න ඈ 2 u(P 0) = 0 හෝ නොපවතියි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ එවැනි තත්වයන් යටතේ P 0 ලක්ෂ්‍යයේ අන්තයක් තිබීම පිළිබඳ ප්‍රශ්නය විවෘතව පවතින බවයි - අමතර අධ්‍යයනයන් අවශ්‍ය වේ, උදාහරණයක් ලෙස, මෙම අවස්ථාවෙහි ශ්‍රිතයේ වැඩිවීම අධ්‍යයනය කිරීම.

වඩාත් සවිස්තරාත්මක ගණිත පාඨමාලා වලදී, විශේෂයෙන්ම, කාර්යය සඳහා බව ඔප්පු වේ z = f(x,වයි) දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි අවකලනය පෝරමයේ එකතුවක් වන විචල්‍ය දෙකක

තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍ය Р 0 හි අන්තයක් තිබීම පිළිබඳ අධ්‍යයනය සරල කළ හැකිය.

දක්වන්න,,. නිර්ණායකය සම්පාදනය කරන්න

.

හැරෙනවා:

ඈ 2 z> 0 ලක්ෂයේ P 0 , i.e. P 0 - අවම ලක්ෂ්යය, නම් ඒ(P 0) > 0 සහ D(P 0) > 0;

ඈ 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если ඒ(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

D(P 0) නම්< 0, то ඈ 2 zලක්ෂ්යය ආසන්නයේ Р 0 ලකුණ වෙනස් වන අතර Р 0 ලක්ෂයේ අන්තයක් නොමැත;

D(Р 0) = 0 නම්, තීරනාත්මක ලක්ෂ්‍යය Р 0 ආසන්නයේ ශ්‍රිතය පිළිබඳ අමතර අධ්‍යයනයන් ද අවශ්‍ය වේ.

මේ අනුව, කාර්යය සඳහා z = f(x,වයි) විචල්‍ය දෙකක්, අන්තය සොයා ගැනීම සඳහා අපට පහත ඇල්ගොරිතම ඇත (එය "ඇල්ගොරිතම D" ලෙස හඳුන්වමු):

1) අර්ථ දැක්වීමේ වසම සොයන්න D( f) කාර්යයන්.

2) විවේචනාත්මක කරුණු සොයන්න, i.e. D( සිට ලකුණු f) සඳහා සහ ශුන්‍යයට සමාන හෝ නොපවතියි.

3) එක් එක් විවේචනාත්මක ලක්ෂ්යය Р 0 අන්තය සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසි පරීක්ෂා කරන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, සොයා ගන්න , කොහෙද , සහ ගණනය D(Р 0) සහ නමුත්(P 0). ඉන්පසු:

D(Р 0) >0 නම්, Р 0 ලක්ෂ්‍යයේ අන්තයක් ඇත, එපමනක් නොව, නම් නමුත්(P 0) > 0 - එවිට මෙය අවම වේ, සහ නම් නමුත්(P 0)< 0 – максимум;

D(P 0) නම්< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

D(Р 0) = 0 නම්, අමතර අධ්‍යයන අවශ්‍ය වේ.

4) සොයාගත් අන්ත ලක්ෂ්‍යවල ශ්‍රිතයේ අගය ගණනය කරන්න.

උදාහරණ 1.

ශ්‍රිතයක අන්තය සොයන්න z = x 3 + 8වයි 3 – 3xy .

විසඳුමක්.මෙම කාර්යයේ වසම සමස්ත ඛණ්ඩාංක තලයයි. අපි තීරණාත්මක කරුණු සොයා බලමු.

, , Þ Р 0 (0,0), .

ප්රමාණවත් ආන්තික කොන්දේසි සපුරාලීම අපි පරීක්ෂා කරමු. අපි සොයා බලමු

6x, = -3, = 48හිදීහා = 288හූ – 9.

ඉන්පසු D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 - Р 1 ලක්ෂයේ අන්තයක් ඇත, සහ සිට නමුත්(P 1) = 3 >0, එවිට මෙම අන්තය අවම වේ. ඉතින් මිනි z=z(P1) = .

උදාහරණ 2

ශ්‍රිතයක අන්තය සොයන්න .

විසඳුම: D( f) = R 2 . විවේචනාත්මක කරුණු: ; හි නොපවතියි හිදී= 0, එබැවින් P 0 (0,0) මෙම ශ්‍රිතයේ තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍යය වේ.

2, = 0, = , = , නමුත් D(Р 0) අර්ථ දක්වා නැත, එබැවින් එහි ලකුණ අධ්‍යයනය කළ නොහැක.

එම හේතුව නිසාම, ප්‍රමේයය 9.2 සෘජුවම - යෙදිය නොහැක ඈ 2 zමේ මොහොතේ නොපවතියි.

කාර්යයේ වැඩිවීම සලකා බලන්න f(x, වයි) ආර් 0 ස්ථානයේ. ඩී නම් f =f(P)- f(P 0)>0 "P, D නම් P 0 අවම ලක්ෂ්‍යය වේ f < 0, то Р 0 – точка максимума.

අපේ නඩුවේ තියෙනවා

ඩී f = f(x, වයි) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D වයි) – f(0, 0) = .

ඩී දී x= 0.1 සහ ඩී වයි= -0.008 අපට D ලැබේ f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 සහ ඩී වයි= 0.001D f= 0.01 + 0.1 > 0, i.e. ලක්ෂ්‍යය ආසන්නයේ Р 0 හෝ කොන්දේසිය D නොවේ f <0 (т.е. f(x, වයි) < f(0, 0) සහ, එබැවින්, P 0 උපරිම ලක්ෂ්‍යයක් නොවේ), හෝ D කොන්දේසිය නොවේ f>0 (එනම්. f(x, වයි) > f(0, 0) සහ පසුව Р 0 අවම ලක්ෂ්‍යයක් නොවේ). එබැවින්, අන්තයේ නිර්වචනය අනුව, මෙම ශ්‍රිතයට අන්ත නොමැත.

කොන්දේසි සහිත අන්ත.

ශ්‍රිතයේ සැලකෙන අන්තය ලෙස හැඳින්වේ කොන්දේසි විරහිත, ශ්‍රිත තර්ක මත සීමාවන් (කොන්දේසි) පනවා නැති නිසා.

අර්ථ දැක්වීම 9.2.කාර්යය අන්තය හා = f(x 1 , x 2 , ... , x n), එහි තර්ක යන කොන්දේසිය යටතේ සොයාගෙන ඇත x 1 , x 2 , ... , x n j 1 සමීකරණ තෘප්තිමත් කරන්න ( x 1 , x 2 , ... , x n) = 0,…, j ටී(x 1 , x 2 , ... , x n) = 0, P ( x 1 , x 2 , ... , x n) ඕ ඩී( f), ලෙස හැඳින්වේ කොන්දේසි සහිත අන්තය .

සමීකරණ j කේ(x 1 , x 2 , ... , x n) = 0 , කේ = 1, 2,..., එම්, යනුවෙන් හැඳින්වේ සම්බන්ධතා සමීකරණ.

කාර්යයන් සලකා බලන්න z = f(x,වයි) විචල්‍ය දෙකකින්. එක් සීමා සමීකරණයක් පමණක් තිබේ නම්, i.e. , පසුව කොන්දේසි සහිත අන්තයක් සොයා ගැනීම යන්නෙන් අදහස් වන්නේ අන්තය සොයන්නේ ශ්‍රිතයේ සම්පූර්ණ වසම තුළ නොව, D( හි ඇති යම් වක්‍රයක් මත බවයි. f) (එනම්, පෘෂ්ඨයේ ඉහළම හෝ පහළම ස්ථාන සොයන්නේ නැත z = f(x,වයි), සහ සිලින්ඩරය සමඟ මෙම පෘෂ්ඨයේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්ය අතර ඉහළම හෝ පහළම ලකුණු , Fig. 5).

ශ්රිතයේ කොන්දේසි සහිත අන්තය z = f(x,වයි) විචල්‍ය දෙකකින් පහත ආකාරයට සොයා ගත හැක ( ඉවත් කිරීමේ ක්රමය) සමීකරණයෙන්, එක් විචල්‍යයක් අනෙකෙහි ශ්‍රිතයක් ලෙස ප්‍රකාශ කරන්න (උදාහරණයක් ලෙස, ලියන්න ) සහ, විචල්‍යයේ මෙම අගය ශ්‍රිතයට ආදේශ කරමින් , දෙවැන්න එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක් ලෙස ලියන්න (සළකා බලන අවස්ථාවකදී ) එක් විචල්‍යයක ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන ශ්‍රිතයේ අන්තය සොයන්න.

විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක අන්තයක් සඳහා ප්‍රමාණවත් කොන්දේසියකි

1. ලක්ෂ්‍යයේ යම් අසල්වැසි ප්‍රදේශයක ශ්‍රිතය අඛණ්ඩව අවකලනය වීමට ඉඩ හරින්න සහ අඛණ්ඩ දෙවන පෙළ අර්ධ ව්‍යුත්පන්න (පිරිසිදු සහ මිශ්‍ර) තිබිය යුතුය.

2. දෙවන අනුපිළිවෙල නිර්ණය මගින් දක්වන්න

අන්ත විචල්‍ය දේශන කාර්යය

ප්රමේයය

ඛණ්ඩාංක සහිත ලක්ෂ්‍යය ශ්‍රිතය සඳහා ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයක් නම්, එවිට:

A) at , එය දේශීය අන්ත ලක්ෂ්‍යයක් වන අතර, at දේශීය උපරිම, - දේශීය අවම;

C) ලක්ෂ්යය දේශීය අන්ත ලක්ෂ්යයක් නොවන විට;

ඇ) නම්, සමහරවිට දෙකම.

සාක්ෂි

අපි සාමාජිකයන් දෙදෙනෙකුට සීමා කරමින්, කාර්යය සඳහා ටේලර් සූත්‍රය ලියන්නෙමු:

ප්‍රමේයයේ තත්ත්වය අනුව, ලක්ෂ්‍යය නිශ්චල බැවින්, දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් ශුන්‍යයට සමාන වේ, i.e. හා. ඉන්පසු

දක්වන්න

එවිට ශ්‍රිතයේ වැඩිවීම පෝරමය ගනී:

දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි (පිරිසිදු සහ මිශ්‍ර) අර්ධ ව්‍යුත්පන්නවල අඛණ්ඩතාව හේතුවෙන්, ප්‍රමේයයේ තත්වය අනුව, අපට ලිවිය හැකිය:

කොහෙද හෝ; ,

1. ඉඩ දෙන්න සහ, එනම්, හෝ.

2. අපි ශ්‍රිතයේ වර්ධකය ගුණ කර බෙදන්නෙමු, අපට ලැබෙන්නේ:

3. රැලි වරහන් තුළ ඇති ප්‍රකාශනය එකතුවේ සම්පූර්ණ චතුරස්‍රයට අනුපූරක කරන්න:

4. කැරලි වරහන් තුළ ප්‍රකාශනය ඍණාත්මක නොවන බැවින්

5. එබැවින්, එසේ නම් සහ එහෙයින්, සහ, පසුව සහ, එබැවින්, අර්ථ දැක්වීමට අනුව, ලක්ෂ්යය දේශීය අවම ලක්ෂ්යයකි.

6. නම් සහ අදහස්, සහ, එසේ නම්, නිර්වචනයට අනුව, ඛණ්ඩාංක සහිත ලක්ෂ්යයක් දේශීය උපරිම ලක්ෂ්යයකි.

2. හතරැස් ත්‍රිපදයක් සලකා බලන්න, එහි වෙනස් කොට සැලකීම, .

3. එසේ නම්, බහුපද වැනි කරුණු තිබේ

4. I හි ලබාගත් ප්‍රකාශනයට අනුකූලව ලක්ෂ්‍යයක ශ්‍රිතයේ සම්පූර්ණ වැඩිවීම, අපි පෝරමයේ ලියන්නෙමු:

5. දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් අඛණ්ඩව පැවතීම හේතුවෙන්, යම් අවස්ථාවක ප්‍රමේයයේ තත්ත්වය අනුව, අපට එය ලිවිය හැක.

එබැවින්, ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් සඳහා වර්ග ත්‍රිකෝණය ශුන්‍යයට වඩා වැඩි වන පරිදි ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් පවතී:

6. සලකා බලන්න - ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්රදේශය.

අපි ඕනෑම අගයක් තෝරා ගනිමු, එබැවින් කාරණය එයයි. ශ්‍රිතයේ වර්ධක සූත්‍රයේ යැයි උපකල්පනය කිරීම

අපට ලැබෙන දේ:

7. එතැන් සිට.

8. මූලය සඳහා සමානව තර්ක කිරීමේදී, ලක්ෂ්‍යයේ ඕනෑම අසල්වැසි ස්ථානයක ලක්ෂ්‍යයක් ඇති බව අපට ලැබේ, එබැවින් ලක්ෂ්‍යයේ අසල්වැසි ප්‍රදේශයේ එය ලකුණක් ආරක්ෂා නොකරයි, එබැවින් ලක්ෂ්‍යයේ අන්තයක් නොමැත.

විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක කොන්දේසි සහිත අන්තය

විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක අන්ත සෙවීමේදී, බොහෝ විට ඊනියා කොන්දේසි සහිත අන්තයට සම්බන්ධ ගැටළු පැන නගී. මෙම සංකල්පය විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක උදාහරණයකින් පැහැදිලි කළ හැක.

0xy තලයේ ශ්‍රිතයක් සහ L රේඛාවක් ලබා දෙන්න. කර්තව්‍යය වන්නේ L රේඛාවේ P (x, y) ලක්ෂ්‍යයක් සොයා ගැනීමයි, එහි ශ්‍රිතයේ අගය විශාලතම හෝ කුඩාම වන මෙම ශ්‍රිතයේ අගයන් සමඟ සසඳන විට L රේඛාව අසල පිහිටා ඇත. ලක්ෂ්‍යය P. එවැනි ලක්ෂ්‍ය P L රේඛාවේ කොන්දේසි සහිත අන්ත ලක්ෂ්‍ය ශ්‍රිත ලෙස හැඳින්වේ. සාමාන්‍ය අන්ත ලක්ෂ්‍යයට ප්‍රතිවිරුද්ධව, කොන්දේසි සහිත අන්ත ලක්ෂ්‍යයේ ශ්‍රිතයේ අගය සියලු ලක්ෂ්‍යවල නොවන ශ්‍රිතයේ අගයන් සමඟ සංසන්දනය කරයි. එහි සමහර අසල්වැසි, නමුත් L රේඛාවේ පිහිටා ඇති ස්ථානවල පමණි.

මෙම ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන ඕනෑම රේඛාවක් සඳහා සුපුරුදු අන්තයේ ලක්ෂ්‍යය (කොන්දේසි විරහිත අන්තය යැයිද ඔවුහු කියති) කොන්දේසි සහිත අන්තයේ ලක්ෂ්‍යය බව ඉතා පැහැදිලිය. ප්රතිලෝම, ඇත්ත වශයෙන්ම, සත්ය නොවේ: කොන්දේසි සහිත අන්ත ලක්ෂ්යයක් සාම්ප්රදායික අන්ත ලක්ෂ්යයක් නොවිය හැක. අපි උදාහරණයකින් කියපු දේ පැහැදිලි කරගමු.

උදාහරණ #1.ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය ඉහළ අර්ධගෝලය (රූපය 2) වේ.

සහල්. 2.

මෙම ශ්‍රිතයේ මූලාරම්භයේ උපරිමයක් ඇත; එය අර්ධගෝලයේ M ශීර්ෂයට අනුරූප වේ. L රේඛාව A සහ ​​B (එහි සමීකරණය) ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක් නම්, මෙම රේඛාවේ ලක්ෂ්‍ය සඳහා ශ්‍රිතයේ උපරිම අගය ළඟා වන්නේ A සහ ​​ලක්ෂ්‍ය අතර මැද ඇති ලක්ෂ්‍යයට බව ජ්‍යාමිතිකව පැහැදිලිය. B. මෙම රේඛාවේ කොන්දේසි සහිත අන්ත (උපරිම) ලක්ෂ්ය ශ්රිතය මෙයයි; එය අර්ධගෝලයේ M 1 ලක්ෂ්‍යයට අනුරූප වන අතර, මෙහි සාමාන්‍ය අන්තයක් පිළිබඳ ප්‍රශ්නයක් තිබිය නොහැකි බව රූපයෙන් දැකිය හැකිය.

ශ්‍රිතයේ විශාලතම හා කුඩාම අගයන් සොයා ගැනීමේ ගැටලුවේ අවසාන කොටසේ බව සලකන්න සංවෘත ප්රදේශයමෙම කලාපයේ මායිමේ ශ්‍රිතයේ ආන්තික අගයන් සොයා ගත යුතුය, i.e. යම් රේඛාවක් මත, සහ එමගින් කොන්දේසි සහිත අන්තයක් සඳහා ගැටළුව විසඳන්න.

අර්ථ දැක්වීම 1.සමීකරණය තෘප්තිමත් කරන ස්ථානයක කොන්දේසි සහිත හෝ සාපේක්ෂ උපරිමයක් (අවම) ඇති බව ඔවුහු පවසති: සමීකරණය තෘප්තිමත් කරන ඕනෑම දෙයක් සඳහා නම්, අසමානතාවය

අර්ථ දැක්වීම 2.පෝරමයේ සමීකරණයක් සීමා සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ.

ප්රමේයය

ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි ප්‍රදේශයක ශ්‍රිත සහ අඛණ්ඩව වෙනස් කළ හැකි නම්, සහ අර්ධ ව්‍යුත්පන්නය, සහ ලක්ෂ්‍යය බාධක සමීකරණයට අදාළව ශ්‍රිතයේ කොන්දේසි සහිත අන්තයේ ලක්ෂ්‍යය නම්, දෙවන අනුපිළිවෙල නිර්ණය ශුන්‍යයට සමාන වේ:

සාක්ෂි

1. ප්‍රමේයය, අර්ධ ව්‍යුත්පන්නය සහ ශ්‍රිතයේ අගය අනුව, යම් සෘජුකෝණාස්‍රයක

ව්‍යංග ශ්‍රිතය අර්ථ දක්වා ඇත

ලක්ෂ්‍යයක විචල්‍ය දෙකක සංකීර්ණ ශ්‍රිතයකට දේශීය අන්තයක් ඇත, එබැවින්, හෝ.

2. ඇත්ත වශයෙන්ම, පළමු අනුපිළිවෙලෙහි අවකල සූත්‍රයේ වෙනස් නොවන ගුණාංගය අනුව

3. සම්බන්ධතා සමීකරණය මෙම ආකෘතියෙන් නිරූපණය කළ හැක, එනම්

4. සමීකරණය (2) මගින් සහ (3) ගුණ කර ඒවා එකතු කරන්න

එබැවින්, දී

හිතුවක්කාර. h.t.d.

ප්රතිවිපාකය

ප්‍රායෝගිකව විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක කොන්දේසි සහිත අන්ත ලක්ෂ්‍ය සෙවීම සිදු කරනු ලබන්නේ සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීමෙනි.

ඉතින්, ඉහත උදාහරණයේ අංක 1 හි අපට ඇති සන්නිවේදන සමීකරණයෙන්. මෙතැන් සිට උපරිමයට ළඟා වන්නේ කුමක්දැයි පරීක්ෂා කිරීම පහසුය. නමුත් පසුව සන්නිවේදනයේ සමීකරණයෙන්. අපි ජ්යාමිතිකව සොයාගත් P ලක්ෂ්යය ලබා ගනිමු.

උදාහරණ #2.සීමා සමීකරණයට අදාළව ශ්‍රිතයේ කොන්දේසි සහිත අන්ත ලක්ෂ්‍ය සොයන්න.

ලබා දී ඇති ශ්‍රිතයේ සහ සම්බන්ධතා සමීකරණයේ අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් සොයා ගනිමු:

අපි දෙවන අනුපිළිවෙල නිර්ණය කරමු:

කොන්දේසි සහිත අන්ත ලක්ෂ්‍ය සොයා ගැනීම සඳහා සමීකරණ පද්ධතිය ලියා තබමු:

එබැවින්, ඛණ්ඩාංක සහිත ශ්‍රිතයේ කොන්දේසි සහිත අන්ත ලක්ෂ්‍ය හතරක් ඇත: .

උදාහරණ #3.ශ්‍රිතයේ අන්ත ලක්ෂ්‍ය සොයන්න.

අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් ශුන්‍යයට සම කිරීම: , අපට එක් නිශ්චල ලක්ෂ්‍යයක් හමු වේ - මූලාරම්භය. මෙතන,. එබැවින් ලක්ෂ්‍යය (0, 0) අන්ත ලක්ෂ්‍යයක් ද නොවේ. සමීකරණය යනු හයිපර්බෝලික් පැරබොලොයිඩ් (රූපය 3) සමීකරණයයි, රූපය පෙන්නුම් කරන්නේ ලක්ෂ්‍යය (0, 0) අන්ත ලක්ෂ්‍යයක් නොවන බවයි.

සහල්. 3.

සංවෘත ප්‍රදේශයක ශ්‍රිතයක විශාලතම සහ කුඩාම අගය

1. සීමා සහිත සංවෘත වසමක ශ්‍රිතය නිර්වචනය කර අඛණ්ඩව පැවතීමට ඉඩ හරින්න.

2. කලාපයේ තනි ලක්ෂ්‍ය හැර, ශ්‍රිතයට මෙම කලාපය තුළ සීමිත අර්ධ ව්‍යුත්පන්න තිබිය යුතුය.

3. Weierstrass ප්‍රමේයයට අනුකූලව, මෙම ප්‍රදේශයේ ශ්‍රිතය විශාලතම හා කුඩාම අගයන් ගන්නා ලක්ෂ්‍යයක් ඇත.

4. මෙම ලක්ෂ්‍ය D කලාපයේ අභ්‍යන්තර ලක්ෂ්‍ය නම්, ඒවාට උපරිම හෝ අවම අගයක් ඇති බව පැහැදිලිය.

5. මෙම නඩුවේදී, අපට උනන්දුවක් දක්වන කරුණු අන්තයේ ඇති සැක සහිත කරුණු අතර වේ.

6. කෙසේ වෙතත්, ශ්‍රිතයට D කලාපයේ මායිමේ උපරිම හෝ අවම අගය ද ගත හැක.

7. D ප්‍රදේශයේ ශ්‍රිතයේ විශාලතම (කුඩාම) අගය සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබ අන්තයක් ගැන සැක කරන සියලුම අභ්‍යන්තර ලක්ෂ්‍ය සොයා ගත යුතු අතර, ඒවායේ ශ්‍රිතයේ අගය ගණනය කර, ශ්‍රිතයේ අගය සමඟ සසඳන්න. ප්‍රදේශයේ මායිම් ලක්ෂ්‍ය, සහ සොයාගත් සියලුම අගයන්ගෙන් විශාලතම අගය සංවෘත කලාපයේ D හි විශාලතම වේ.

8. දේශීය උපරිම හෝ අවම සොයා ගැනීමේ ක්‍රමය 1.2 වගන්තියේ කලින් සලකා බලන ලදී. සහ 1.3.

9. කලාපයේ මායිම මත ශ්රිතයේ උපරිම සහ අවම අගයන් සොයා ගැනීමේ ක්රමය සලකා බැලීමට ඉතිරිව ඇත.

10. විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක දී, ප්‍රදේශය සාමාන්‍යයෙන් වක්‍රයකින් හෝ වක්‍ර කිහිපයකින් මායිම් වී ඇත.

11. එවැනි වක්‍රයක් දිගේ (හෝ වක්‍ර කිහිපයක්), විචල්‍යයන් සහ එක්කෝ එකක් මත රඳා පවතී, නැතහොත් දෙකම එක් පරාමිතියක් මත රඳා පවතී.

12. මේ අනුව, මායිම මත, ශ්‍රිතය එක් විචල්‍යයක් මත රඳා පවතී.

13. එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක විශාලතම අගය සෙවීමේ ක්‍රමය මීට පෙර සාකච්ඡා කරන ලදී.

14. D කලාපයේ මායිම පරාමිතික සමීකරණ මගින් ලබා දෙන්න.

එවිට මෙම වක්‍රය මත විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතය පරාමිතියෙහි සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක් වනු ඇත: . එවැනි ශ්‍රිතයක් සඳහා, විශාලතම හා කුඩාම අගය තීරණය වන්නේ එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක් සඳහා විශාලතම සහ කුඩාම අගයන් නිර්ණය කිරීමේ ක්‍රමය මගිනි.

අපි මුලින්ම විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක් ගැන සලකා බලමු. $M_0(x_0;y_0)$ ලක්ෂ්‍යයේ $z=f(x,y)$ ශ්‍රිතයේ කොන්දේසිගත අන්තය මෙම ශ්‍රිතයේ අන්තය වන අතර එය $x$ සහ $y$ යන විචල්‍යයන් යටතේ ළඟා වේ. මෙම ලක්ෂ්‍යයට ආසන්නව $\ varphi(x,y)=0$ සීමා සමීකරණය තෘප්තිමත් කරයි.

"කොන්දේසි" අන්තය යන නම ඇති වන්නේ විචල්‍යයන් පනවන බැවිනි අතිරේක කොන්දේසිය$\varphi(x,y)=0$. සම්බන්ධතා සමීකරණයෙන් එක් විචල්‍යයක් තවත් විචල්‍යයක් අනුව ප්‍රකාශ කළ හැකි නම්, කොන්දේසිගත අන්තය තීරණය කිරීමේ ගැටලුව එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක සාමාන්‍ය අන්තයේ ගැටලුව දක්වා අඩු වේ. උදාහරණයක් ලෙස, $y=\psi(x)$ සීමා සමීකරණයෙන් අනුගමනය කරන්නේ නම්, $y=\psi(x)$ $z=f(x,y)$ ලෙස ආදේශ කළහොත්, අපට $ එක විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක් ලැබේ. z=f\වම (x,\psi(x)\දකුණ)$. කෙසේ වෙතත්, සාමාන්‍ය අවස්ථාවෙහිදී, මෙම ක්‍රමය එතරම් ප්‍රයෝජනයක් නැත, එබැවින් නව ඇල්ගොරිතමයක් අවශ්‍ය වේ.

විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිත සඳහා Lagrange ගුණක ක්‍රමය.

Lagrange ගුණකවල ක්‍රමය නම් කොන්දේසි සහිත අන්තය සොයා ගැනීම සඳහා Lagrange ශ්‍රිතය සමන්විත වේ: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ ($\lambda පරාමිතිය $ Lagrange ගුණකය ලෙස හැඳින්වේ ). නිශ්චල ලක්ෂ්‍ය තීරණය කරනු ලබන සමීකරණ පද්ධතියක් මගින් අවශ්‍ය අන්ත තත්වයන් ලබා දෙනු ලැබේ:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\අවසන්(පෙළගැසී)\දකුණ.$$

ලකුණ $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයක $d^2F > 0$ නම්, $z=f(x,y)$ ශ්‍රිතයට මෙම අවස්ථාවේදී කොන්දේසි සහිත අවම අගයක් ඇත, නමුත් $d^2F නම්< 0$, то условный максимум.

අන්තයේ ස්වභාවය තීරණය කිරීමට තවත් ක්රමයක් තිබේ. සීමා සමීකරණයෙන් අපට ලැබෙන්නේ: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, එබැවින් ඕනෑම නිශ්චල ලක්ෂ්‍යයක අපට ඇත්තේ:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\ right)+ F_(yy)^("")\වම(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\දකුණ)$$

දෙවන සාධකය (වරහන් තුළ පිහිටා ඇත) මෙම ආකෘතියෙන් නිරූපණය කළ හැක:

$\වමේ| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (අරාව) \right|$ එනම් Lagrange ශ්‍රිතයේ Hessian වේ. $H > 0$ නම් $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, i.e. අපට $z=f(x,y)$ ශ්‍රිතයේ කොන්දේසි සහිත අවමයක් ඇත.

$H$ නිර්ණායකයේ ආකෘතිය මත සටහන් කරන්න. පෙන්වන්න / සඟවන්න

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ අවසානය(අරාව) \right| $$

මෙම තත්වය තුළ, ඉහත සකසන ලද රීතිය පහත පරිදි වෙනස් වේ: $H > 0$ නම්, ශ්‍රිතයට කොන්දේසි සහිත අවම අගයක් සහ $H සඳහා< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

කොන්දේසි සහිත අන්තයක් සඳහා විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක් අධ්‍යයනය කිරීම සඳහා ඇල්ගොරිතම

1. Lagrange ශ්‍රිතය රචනා කරන්න $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. පද්ධතිය විසඳන්න $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
3. පෙර ඡේදයේ ඇති එක් එක් ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යවල අන්තයේ ස්වභාවය තීරණය කරන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පහත සඳහන් ඕනෑම ක්රමයක් භාවිතා කරන්න:
   • $H$ නිර්ණය කරන්න සහ එහි ලකුණ සොයා ගන්න
   • සීමා සමීකරණය සැලකිල්ලට ගනිමින්, $d^2F$ ලකුණ ගණනය කරන්න

n විචල්‍යවල ශ්‍රිත සඳහා Lagrange ගුණ කිරීමේ ක්‍රමය

අපට $n$ විචල්‍ය $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ සහ $m$ සීමා සමීකරණ ($n > m$) වල ශ්‍රිතයක් ඇතැයි සිතමු.

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Lagrange ගුණකය $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ ලෙස සඳහන් කරමින්, අපි Lagrange ශ්‍රිතය සම්පාදනය කරමු:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

කොන්දේසි සහිත අන්තයක් පැවතීම සඳහා අවශ්‍ය කොන්දේසි ලබා දී ඇත්තේ ස්ථිතික ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක සහ ලැග්‍රේන්ජ් ගුණකවල අගයන් සොයා ගන්නා සමීකරණ පද්ධතියක් මගිනි:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

$d^2F$ ලකුණ භාවිතයෙන් පෙර පරිදිම ශ්‍රිතයක් සොයාගත් ස්ථානයේ කොන්දේසි සහිත අවමයක් හෝ කොන්දේසි සහිත උපරිමයක් තිබේද යන්න සොයා බැලිය හැකිය. සොයාගත් ලක්ෂ්‍යයේ $d^2F > 0$ නම්, ශ්‍රිතයට කොන්දේසි සහිත අවම අගයක් ඇත, නමුත් $d^2F නම්< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

න්‍යාස නිර්ණය $\left| \begin(array) (cccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$ $L$ matrix හි රතු පැහැයෙන් උද්දීපනය කර ඇත්තේ Lagrange ශ්‍රිතයේ Hessian වේ. අපි පහත රීතිය භාවිතා කරමු:

• කෙළවරේ බාල වයස්කරුවන්ගේ සලකුණු $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ න්‍යාස $L$ $(-1)^m$ ලකුණ සමඟ සමපාත වේ, එවිට අධ්‍යයනයට ලක්වන ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යය $z ශ්‍රිතයේ කොන්දේසි සහිත අවම ලක්ෂ්‍යය වේ. =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• කෙළවරේ බාල වයස්කරුවන්ගේ සලකුණු $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ විකල්ප, සහ සුළු $H_(2m+1)$ හි ලකුණ $(-1)^(m+1 අංකයේ ලකුණ සමග සමපාත වේ. )$, එවිට අධ්‍යයනය කරන ලද ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යය $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ ශ්‍රිතයේ කොන්දේසි සහිත උපරිම ලක්ෂ්‍යය වේ.

උදාහරණ #1

$x^2+y^2=10$ කොන්දේසිය යටතේ $z(x,y)=x+3y$ ශ්‍රිතයේ කොන්දේසිගත අන්තය සොයන්න.

මෙම ගැටලුවේ ජ්‍යාමිතික විග්‍රහය පහත පරිදි වේ: එය සිලින්ඩරය $x^2+y^2 සමඟ ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍ය සඳහා $z=x+3y$ තලයේ යෙදුමේ විශාලතම සහ කුඩාම අගය සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය වේ. =10$.

සීමා සමීකරණයෙන් එක් විචල්‍යයක් තවත් විචල්‍යයක් අනුව ප්‍රකාශ කිරීම තරමක් අපහසු වන අතර එය $z(x,y)=x+3y$ ශ්‍රිතයට ආදේශ කිරීම, එබැවින් අපි Lagrange ක්‍රමය භාවිතා කරමු.

$\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ සඳහන් කරමින්, අපි Lagrange ශ්‍රිතය සම්පාදනය කරමු:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Lagrange ශ්‍රිතයේ ස්ථිතික ලක්ෂ්‍ය නිර්ණය කිරීම සඳහා සමීකරණ පද්ධතිය අපි ලියා තබමු:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (පෙළගැසී)\දකුණට.$$

අපි $\lambda=0$ උපකල්පනය කරන්නේ නම්, පළමු සමීකරණය වන්නේ: $1=0$. එහි ප්‍රතිඵලය වන ප්‍රතිවිරෝධය $\lambda\neq 0$ බව පවසයි. කොන්දේසිය යටතේ $\lambda\neq 0$, පළමු සහ දෙවන සමීකරණ වලින් අපට ඇත: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. ලබාගත් අගයන් තුන්වන සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(පෙළගැසී) \දකුණට.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(පෙළගැසී) $$

එබැවින්, පද්ධතියට විසඳුම් දෙකක් ඇත: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ සහ $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. අපි එක් එක් නිශ්චල ලක්ෂ්‍යයේ අන්තයේ ස්වභාවය සොයා බලමු: $M_1(1;3)$ සහ $M_2(-1;-3)$. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි එක් එක් ලක්ෂ්යයේ නිර්ණායක $H$ ගණනය කරමු.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

$M_1(1;3)$ යන ලක්ෂ්‍යයේදී අපට ලැබෙන්නේ: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, එසේ ලක්ෂ්‍යයේදී $M_1(1;3)$ ශ්‍රිතයට $z(x,y)=x+3y$ කොන්දේසි සහිත උපරිමයක් ඇත, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

ඒ හා සමානව, $M_2(-1;-3)$ යන ලක්ෂ්‍යයේදී අපට හමුවන්නේ: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. $H සිට< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

එක් එක් ලක්ෂ්‍යයේ $H$ නිර්ණායකයේ අගය ගණනය කරනවා වෙනුවට, එය පුළුල් කිරීම වඩාත් පහසු බව මම සටහන් කරමි. සාමාන්ය දැක්ම. විස්තර සහිත පෙළ අවුල් නොකිරීමට, මම මෙම ක්‍රමය සටහනක් යටතේ සඟවන්නෙමි.

සාමාන්‍ය ආකාරයෙන් නිර්ණායක $H$ අංකනය. පෙන්වන්න / සඟවන්න

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\දකුණ). $$

ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, $H$ සතුව ඇත්තේ කුමන ලකුණද යන්න දැනටමත් පැහැදිලිය. $M_1$ හෝ $M_2$ කිසිවක් මූලාරම්භය සමග සමපාත නොවන බැවින්, $y^2+x^2>0$. එබැවින්, $H$ හි ලකුණ $\lambda$ ලකුණට විරුද්ධ වේ. ඔබට ගණනය කිරීම් ද සම්පූර්ණ කළ හැකිය:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\දකුණ)\cdot\left(3^2+1^2\දකුණ)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \අවසන් (පෙළගැසී) $$

$M_1(1;3)$ සහ $M_2(-1;-3)$ යන ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යවල අන්තයේ ස්වභාවය පිළිබඳ ප්‍රශ්නය $H$ නිර්ණය කිරීමකින් තොරව විසඳිය හැක. එක් එක් ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයේ $d^2F$ ලකුණ සොයන්න:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\දකුණ) $$

$dx^2$ යන අංකනයෙන් අදහස් කරන්නේ හරියටම $dx$ දෙවන බලයට නංවා ඇති බව මම සටහන් කරමි, i.e. $\වම(dx\දකුණ)^2$. එබැවින් අපට ඇත්තේ: $dx^2+dy^2>0$, එබැවින් $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ සඳහා අපට $d^2F ලැබේ< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

පිළිතුර: $(-1;-3)$ ලක්ෂ්‍යයේ දී ශ්‍රිතයට කොන්දේසි සහිත අවම අගයක් ඇත, $z_(\min)=-10$. $(1;3)$ ලක්ෂ්‍යයේදී ශ්‍රිතයට කොන්දේසි සහිත උපරිමයක් ඇත, $z_(\max)=10$

උදාහරණ #2

$x+y=0$ කොන්දේසිය යටතේ $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ශ්‍රිතයේ කොන්දේසිගත අන්තය සොයන්න.

පළමු මාර්ගය (Lagrange ගුණක ක්රමය)

$\varphi(x,y)=x+y$ සඳහන් කරමින් අපි Lagrange ශ්‍රිතය සම්පාදනය කරමු: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(aligned)\right.$$

පද්ධතිය විසඳීමෙන්, අපට ලැබෙන්නේ: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ සහ $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. අපට ස්ථාවර ලක්ෂ්‍ය දෙකක් තිබේ: $M_1(0;0)$ සහ $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \දකුණ)$. අපි $H$ නිර්ණායකය භාවිතයෙන් එක් එක් නිශ්චල ලක්ෂ්‍යයේ අන්තයේ ස්වභාවය සොයා ගනිමු.

$$ H=\වම| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

ලක්ෂ්‍යයේ $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, එබැවින් මෙම අවස්ථාවේදී ශ්‍රිතයට කොන්දේසි සහිත උපරිමයක් ඇත, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

අපි $d^2F$ ලකුණ මත පදනම්ව, වෙනස් ක්‍රමයක් මගින් එක් එක් ලක්ෂ්‍යයේ අන්තයේ ස්වභාවය විමර්ශනය කරමු:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

$x+y=0$ යන සීමා සමීකරණයෙන් අපට ඇත්තේ: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

$ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$ නිසා, $M_1(0;0)$ යනු $z(x,y)=3y^3+ ශ්‍රිතයේ කොන්දේසි සහිත අවම ලක්ෂ්‍යය වේ. 4x^ 2-xy$. එලෙසම, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

දෙවන මාර්ගය

$x+y=0$ සීමා සමීකරණයෙන් අපට ලැබෙන්නේ: $y=-x$. $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ශ්‍රිතය වෙත $y=-x$ ආදේශ කිරීම, අපි $x$ විචල්‍යයේ යම් ශ්‍රිතයක් ලබා ගනිමු. අපි මෙම ශ්‍රිතය $u(x)$ ලෙස දක්වමු:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

මේ අනුව, අපි විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක කොන්දේසි සහිත අන්තය සොයා ගැනීමේ ගැටලුව එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක අන්තය තීරණය කිරීමේ ගැටලුව දක්වා අඩු කළෙමු.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

ලකුණු ලබා ගත්තා $M_1(0;0)$ සහ $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\දකුණ)$. වැඩිදුර පර්යේෂණ පාඨමාලාවෙන් දනී අවකල ගණනයඑක් විචල්‍යයක ශ්‍රිත. එක් එක් නිශ්චල ලක්ෂ්‍යයේ $u_(xx)^("")$ හි ලකුණ පරීක්ෂා කිරීමෙන් හෝ සොයාගත් ලක්ෂ්‍යවල $u_(x)^(")$ හි ලකුණ වෙනස් වීම පරීක්ෂා කිරීමෙන්, අපි පළමු විසඳුමේ ඇති නිගමනම ලබා ගනිමු. උදාහරණයක් ලෙස, පිරික්සුම් ලකුණ $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

$u_(xx)^("")(M_1)>0$ නිසා, $M_1$ යනු $u(x)$ ශ්‍රිතයේ අවම ලක්ෂ්‍යය වන අතර $u_(\min)=u(0)=0 $ $u_(xx)^("")(M_2) සිට<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

ලබා දී ඇති සම්බන්ධතා තත්ත්වය යටතේ $u(x)$ ශ්‍රිතයේ අගයන් $z(x,y)$ ශ්‍රිතයේ අගයන් සමග සමපාත වේ, i.e. $u(x)$ ශ්‍රිතයේ සොයාගත් අන්තය $z(x,y)$ ශ්‍රිතයේ අපේක්ෂිත කොන්දේසිගත අන්තයයි.

පිළිතුර: $(0;0)$ ලක්ෂ්‍යයේදී ශ්‍රිතයට කොන්දේසි සහිත අවම අගයක් ඇත, $z_(\min)=0$. ලක්ෂ්‍යයේ $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \දකුණ)$ ශ්‍රිතයට කොන්දේසි සහිත උපරිමයක් ඇත, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

අපි තවත් එක් උදාහරණයක් සලකා බලමු, $d^2F$ හි ලකුණ නිර්ණය කිරීමෙන් අපි අන්තයේ ස්වභාවය සොයා ගනිමු.

උදාහරණ #3

$x$ සහ $y$ යන විචල්‍ය ධන නම් සහ $\frac(x^2)(8)+\frac( සීමා සමීකරණය තෘප්තිමත් කරයි නම් $z=5xy-4$ ශ්‍රිතයේ උපරිම සහ අවම අගයන් සොයන්න. y^2)(2) -1=0$.

Lagrange ශ්‍රිතය සම්පාදනය කරන්න: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \දකුණ)$. Lagrange ශ්‍රිතයේ නිශ්චල ලක්ෂ්‍ය සොයන්න:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \වම \( \ආරම්භ(පෙළගැසී) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \අවසන්(පෙළගැසී) \දකුණට.$$

සියලු වැඩිදුර පරිවර්තනයන් $x > 0 සැලකිල්ලට ගනිමින් සිදු කරනු ලැබේ; \; y > 0$ (මෙය ගැටලුවේ තත්ත්වය තුළ නියම කර ඇත). දෙවන සමීකරණයෙන්, අපි $\lambda=-\frac(5x)(y)$ ප්‍රකාශ කර සොයාගත් අගය පළමු සමීකරණයට ආදේශ කරමු: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. තුන්වන සමීකරණයට $x=2y$ ආදේශ කිරීමෙන්, අපට ලැබෙන්නේ: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

$y=1$ සිට, පසුව $x=2$, $\lambda=-10$. $(2;1)$ ලක්ෂ්‍යයේ අන්තයේ ස්වභාවය තීරණය වන්නේ $d^2F$ ලකුණෙනි.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

$\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$ සිට, එවිට:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\දකුණ)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \දකුණ)+d\වම(\frac(y^2)(2) \දකුණ)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, මෙහිදී ඔබට $x=2$, $y=1$ යන ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සහ $\lambda=-10$ යන පරාමිතියෙහි ඛණ්ඩාංක වහාම ආදේශ කළ හැක.

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

කෙසේ වෙතත්, කොන්දේසි සහිත අන්තයක් සඳහා වෙනත් ගැටළු වලදී, ස්ථාවර කරුණු කිහිපයක් තිබිය හැකිය. එවැනි අවස්ථාවන්හිදී, $d^2F$ සාමාන්‍ය ආකෘතියකින් නිරූපණය කිරීම වඩා හොඳය, ඉන්පසු ලැබෙන එක් එක් ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක ප්‍රතිඵල ප්‍රකාශනයට ආදේශ කරන්න:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \දකුණ)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\වම(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \දකුණ)\cdot dx^2 $$

$x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ ආදේශ කිරීම, අපට ලැබෙන්නේ:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \දකුණ)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

$d^2F=-10\cdot dx^2 සිට< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

පිළිතුර: $(2;1)$ ලක්ෂ්‍යයේදී ශ්‍රිතයට කොන්දේසි සහිත උපරිමයක් ඇත, $z_(\max)=6$.

මීළඟ කොටසින්, අපි විචල්‍ය විශාල සංඛ්‍යාවක ශ්‍රිත සඳහා Lagrange ක්‍රමය යෙදීම සලකා බලමු.

z - f(x, y) ශ්‍රිතය යම් D වසමක අර්ථ දැක්වීමට ඉඩ හරින්න සහ Mo(xo, y0) මෙම වසමේ අභ්‍යන්තර ලක්ෂ්‍යයක් වීමට ඉඩ දෙන්න. අර්ථ දැක්වීම. කොන්දේසි සපුරාලන සියල්ල සඳහා අසමානතාවය සත්‍ය වන එවැනි සංඛ්‍යාවක් තිබේ නම්, Mo(xo, yo) ලක්ෂ්‍යය f(x, y) ශ්‍රිතයේ දේශීය උපරිම ලක්ෂ්‍යය ලෙස හැඳින්වේ; කෙසේ වෙතත්, සියලු Dx, Du කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරන්නේ නම් | එවිට Mo(x0, y0) ලක්ෂ්‍යය සිහින් දේශීය අවමයක් ලෙස හැඳින්වේ. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, A/o(x0, y0) ලක්ෂ්‍යයේ 6-අසල්වැසියක් තිබේ නම්, M0(x0, y0) ලක්ෂ්‍යය f(x, y) ශ්‍රිතයේ උපරිම හෝ අවම ලක්ෂ්‍යය වේ. මෙම අසල්වැසි ලක්ෂ්‍ය M(x, y), ශ්‍රිතයේ වැඩිවීම ලකුණ සංරක්ෂණය කරයි. උදාහරණ. 1. ශ්‍රිතයක් සඳහා ලක්ෂ්‍යයක් අවම ලක්ෂ්‍යයකි (රූපය 17). 2. ශ්රිතය සඳහා, ලක්ෂ්යය 0 (0,0) උපරිම ලක්ෂ්යය වේ (රූපය 18). 3. ශ්‍රිතය සඳහා, ලක්ෂ්‍යය 0(0,0) දේශීය උපරිම ලක්ෂ්‍යය වේ. 4 ඇත්ත වශයෙන්ම, 0(0, 0) ලක්ෂ්‍යයේ අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් ඇත, උදාහරණයක් ලෙස, j අරය කවයක් (රූපය 19 බලන්න), එහි ඕනෑම අවස්ථාවක, 0(0, 0) ලක්ෂයට වඩා වෙනස්, f(x, y) ශ්‍රිතයේ අගය 1 ට වඩා අඩු = සමහර සිදුරු වූ 6-අසල්වැසියන්ගෙන් M(x) y) සියලු ලක්ෂ්‍ය සඳහා දැඩි අසමානතාවය හෝ දැඩි අසමානතාවය පවතින විට අපි දැඩි උපරිම සහ අවම ශ්‍රිතවල ලක්ෂ්‍ය පමණක් සලකා බලමු. ලක්ෂ්යය Mq. උපරිම ලක්ෂ්‍යයේ ඇති ශ්‍රිතයේ අගය උපරිම ලෙසත්, අවම ලක්ෂ්‍යයේ ශ්‍රිතයේ අගය මෙම ශ්‍රිතයේ අවම අගය ලෙසත් හැඳින්වේ. ශ්‍රිතයක උපරිම සහ අවම ලක්ෂ්‍ය ශ්‍රිතයේ අන්ත ලක්ෂ්‍ය ලෙස හඳුන්වන අතර ශ්‍රිතයේ උපරිම සහ අවම ලක්ෂ්‍ය එහි අන්ත ලෙස හැඳින්වේ. ප්රමේයය 11 (අන්තයක් සඳහා අවශ්ය කොන්දේසිය). ශ්‍රිතය නම් කිහිප දෙනෙකුගේ ශ්‍රිතයේ අන්තයයි විචල්ය සංකල්පයවිචල්‍ය කිහිපයක ශ්‍රිතයක අන්තය. අන්තයක් සඳහා අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් කොන්දේසි අඛණ්ඩ ශ්‍රිතවල විශාලතම හා කුඩාම අගයන් සඳහා ලක්ෂ්‍යයේ අන්තයක් ඇත, එවිට මෙම ලක්ෂ්‍යයේ දී එක් එක් අර්ධ ව්‍යුත්පන්න වන අතර ඔබ අතුරුදහන් වේ හෝ නොපවතියි. z = f(x) y) ශ්‍රිතයට M0(x0, y0) ලක්ෂ්‍යයේ අන්තයක් තිබිය යුතුය. y විචල්‍යයට yo අගය දෙමු. එවිට z = /(x, y) ශ්‍රිතය එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක් වනු ඇත x\ x = xo හිදී එයට අන්තයක් ඇති බැවින් (උපරිම හෝ අවම, රූපය 20), පසුව එහි ව්‍යුත්පන්නය x = “o, | (*o,l>)" ශුන්‍යයට සමාන වේ, නැතහොත් නොපවතියි. ඒ හා සමානව, අපි එය සත්‍යාපනය කරමු) හෝ ශුන්‍යයට සමාන හෝ නොපවතියි. = 0 සහ u = 0 හෝ නොපවතින ලක්ෂ්‍ය වන්නේ z = Dx, y ශ්‍රිතයේ තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍ය ලෙස හැඳින්වේ.$£ = u = 0 යන ලක්ෂ්‍ය ශ්‍රිතයේ නිශ්චල ලක්ෂ්‍ය ලෙසද හැඳින්වේ.ප්‍රමේයය 11 ප්‍රමාණවත් නොවන අන්තයක් සඳහා අවශ්‍ය කොන්දේසි පමණක් ප්‍රකාශ කරයි.උදාහරණ කාර්යය Fig. . 18 රූපය 20 නමුත් මෙම ශ්‍රිතය a imvat "strumum මත තුනී වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, ශ්‍රිතය 0(0, 0) ලක්ෂ්‍යයේ දී සහ M(x, y) ලක්ෂ්‍යවලදී ඔබ කැමති තරම් ආසන්නයේ ශුන්‍යයට සමාන වේ. 0(0, 0) ලක්ෂ්‍යයට, kk ධන වේ, එසේ ය සෘණ අගයන්. ඒ සඳහා, එබැවින් අත්තනෝමතික ලෙස කුඩා ලක්ෂ්ය සඳහා ලක්ෂ්ය (0, y) ලක්ෂ්යවලදී, මෙම වර්ගයේ ලක්ෂ්යය 0 (0, 0) කුඩා-උපරිම ලක්ෂ්යයක් ලෙස හැඳින්වේ (රූපය 21). විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක අන්තයක් සඳහා ප්‍රමාණවත් කොන්දේසි පහත ප්‍රමේයය මගින් ප්‍රකාශ කෙරේ. ප්‍රමේයය 12 (අපැහැදිලි විචල්‍යවල අන්තයක් සඳහා ප්‍රමාණවත් කොන්දේසි). Mo(xo, y0) ලක්ෂ්‍යය f(x, y) ශ්‍රිතයේ නිශ්චල ලක්ෂ්‍යයක් වීමට ඉඩ හරින්න, සහ ලක්ෂ්‍යයේ යම් ප්‍රදේශයක / Mo ලක්ෂ්‍යය ද ඇතුළුව, f(r, y) ශ්‍රිතයට අඛණ්ඩ අර්ධ ව්‍යුත්පන්න ඇත. ඇතුළුව දෙවන අනුපිළිවෙලට. එවිට "1) Mq(xq, V0) ලක්ෂ්‍යයේ දී නිර්ණායකය මෙම ලක්ෂ්‍යයේ 2 නම්, Mo(x0, V0) ලක්ෂ්‍යයේ f(x, y) ශ්‍රිතය f(x, y) ශ්‍රිතයට උපරිමයක් ඇත. Mo(xo, yo) ලක්ෂ්‍යයේ නම් අවමයක් ඇත f(x, y) ශ්‍රිතයට D(xo, yo) නම් අන්තයක් නොමැත< 0. Если же то в точке Мо(жо>Wo) f(x, y) ශ්‍රිතයේ අන්තය විය හැක හෝ නොවිය හැක. මෙම අවස්ථාවේ දී, වැඩිදුර පර්යේෂණ අවශ්ය වේ. අපි ප්‍රමේයයේ ප්‍රකාශ 1) සහ 2) ඔප්පු කිරීමට සීමා වෙමු. අපි /(i, y): ශ්‍රිතය සඳහා දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි ටේලර් සූත්‍රය ලියන්නෙමු. උපකල්පනය අනුව, D/ වර්ධකයේ ලකුණ තීරණය වන්නේ (1) හි දකුණු පැත්තේ ඇති ත්‍රිපදයේ ලකුණෙන් බව පැහැදිලි වන්නේ කොතැනින්ද යන්නයි, එනම් දෙවන අවකලනය d2f හි ලකුණයි. අපි කෙටිකතාව සඳහා සඳහන් කරමු. එවිට සමානාත්මතාවය (l) පහත පරිදි ලිවිය හැක: MQ(ඉතින්, y0) ලක්ෂ්‍යයේ දී අපට M0(s0,yo) ලක්ෂ්‍යයේ අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් ඇත. කොන්දේසිය (A/0 ලක්ෂ්‍යයේ) සෑහීමකට පත්වේ නම්, සහ අඛණ්ඩතාව හේතුවෙන්, ව්‍යුත්පන්නය /,z(s, y) Af0 ලක්ෂ්‍යයේ යම් අසල්වැසි ස්ථානයක එහි ලකුණ රඳවා ගනු ඇත. A ∆ 0 ඇති කලාපයේ, අපට M0(x0) y0 ලක්ෂ්‍යයේ සමහර අසල්වැසි ප්‍රදේශයක 0 ඇත), එවිට ත්‍රිකෝණාකාර AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 හි ලකුණ C ලක්ෂ්‍යයේ A ලකුණ සමඟ සමපාත වේ, වෙනස් ලකුණු තිබිය නොහැක). ලක්ෂ්‍යයේ AAs2 + 2BAxAy + CAy2 එකතුවේ ලකුණ (s0 + $ Ax, yo + 0 Du) වෙනසෙහි ලකුණ තීරණය කරන බැවින්, අපි පහත නිගමනයට එළඹෙමු: f(s, y) ශ්‍රිතය නම් ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යය (s0, yo) තත්ත්වය තෘප්තිමත් කරයි, පසුව ප්‍රමාණවත් තරම් කුඩා || අසමානතාවය පවතිනු ඇත. මේ අනුව, ලක්ෂ්‍යයේ (වර්ග, y0) ශ්‍රිතය /(s, y) උපරිමය ඇත. නමුත් ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයේ (s0, yo) කොන්දේසිය තෘප්තිමත් නම්, ප්‍රමාණවත් තරම් කුඩා |Ar| සහ |කරන්න| අසමානතාවය සත්‍ය වේ, එයින් අදහස් වන්නේ ශ්‍රිතය /(s, y) ලක්ෂ්‍යයේ අවම අගයක් ඇති බවයි (එසේ නම්, yo). උදාහරණ. 1. අන්තයක් සඳහා 4 ශ්‍රිතය විමර්ශනය කරන්න අන්තයක් සඳහා අවශ්‍ය කොන්දේසි භාවිතා කරමින්, අපි ශ්‍රිතයේ නිශ්චල ලක්ෂ්‍ය සොයමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන්, u සොයාගෙන ඒවා ශුන්‍යයට සමාන කරමු. අපට සමීකරණ පද්ධතියක් ලැබෙන්නේ කොතැනින්ද - ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයකි. අපි දැන් ප්‍රමේයය 12 භාවිතා කරමු. අපට ඇති බැවින්, Ml ලක්ෂ්‍යයේ අන්තයක් ඇත. මන්ද මෙය අවම වේ. අපි r ශ්‍රිතය පෝරමයට පරිවර්තනය කරන්නේ නම්, එය දැකීමට පහසුය දකුණු කොටස ලබා දී ඇති ශ්‍රිතයේ නිරපේක්ෂ අවම අගය වන විට (") අවම වනු ඇත. 2. අන්තයක් සඳහා ශ්‍රිතය විමර්ශනය කරන්න, අපි ශ්‍රිතයේ නිශ්චල ලක්ෂ්‍ය සොයා ගනිමු, ඒ සඳහා අපි ලක්ෂ්‍යය නිශ්චල වන පරිදි මෙතැන් සිට සමීකරණ පද්ධතියක් සම්පාදනය කරමු. ප්‍රමේයය 12 අනුව, M ලක්ෂ්‍යයේ අන්තයක් නොමැත. * 3. අන්තයක් සඳහා ශ්‍රිතය විමර්ශනය කරන්න ශ්‍රිතයේ නිශ්චල ලක්ෂ්‍ය සොයන්න. සමීකරණ පද්ධතියෙන් අපි එය ලබා ගනිමු, එවිට ලක්ෂ්යය නිශ්චල වේ. තවද, අපට ඇත්තේ ප්‍රමේයය 12 අන්තයක් තිබීම හෝ නොමැතිකම පිළිබඳ ප්‍රශ්නයට පිළිතුරක් ලබා නොදෙන ලෙසයි. අපි ඒක මේ විදියට කරමු. ලක්ෂ්‍යයක් හැර අනෙකුත් සියලුම ලක්ෂ්‍ය පිළිබඳ ශ්‍රිතයක් සඳහා, අර්ථ දැක්වීම අනුව, A/o(0,0) ලක්ෂ්‍යයේදී r ශ්‍රිතයට නිරපේක්ෂ අවම අගයක් ඇත. ප්‍රතිසම වියළීම මගින්, ශ්‍රිතයට ලක්ෂ්‍යයේ උපරිමයක් ඇති බව අපි තහවුරු කරමු, නමුත් ශ්‍රිතයට ලක්ෂ්‍යයේ අන්තයක් නොමැත. η ස්වාධීන විචල්‍යවල ශ්‍රිතයක් ලක්ෂ්‍යයක දී අවකලනය වීමට ඉඩ හරින්න Mo ලක්ෂ්‍යය නම් ශ්‍රිතයේ නිශ්චල ලක්ෂ්‍යයක් ලෙස හැඳින්වේ නම් ප්‍රමේයය 13 (අන්තයක් සඳහා ප්‍රමාණවත් කොන්දේසි). ශ්‍රිතය නිර්වචනය කර Mc(xi..., සියුම් රේඛාවේ යම් අසල්වැසි ප්‍රදේශයක දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි අඛණ්ඩ අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් තිබීමට ඉඩ දෙන්න, එය නිශ්චල සියුම් ශ්‍රිතයක් වන අතර, එය චතුරස්‍ර ස්වරූපය නම් (දඩයේ f ශ්‍රිතයේ දෙවන අවකලනය ලක්ෂ්‍යය ධන-නිශ්චිත (සෘණ-නිශ්චිත), f ශ්‍රිතයේ අවම (පිළිවෙලින්, සියුම් උපරිම) ලක්ෂ්‍යය හොඳයි චතුරස්‍ර ස්වරූපය (4) සංඥා-ප්‍රත්‍යාවර්ත නම්, දඩ LG0 හි අන්තයක් නොමැත. 15.2 කොන්දේසි සහිත අන්තය මෙතෙක්, අපි ශ්‍රිතයක් එහි නිර්වචනයේ සමස්ත වසම තුළම, ශ්‍රිත තර්කයන් කිසිදු අමතර කොන්දේසියකින් බැඳී නොමැති විට, එහි ප්‍රාදේශීය අන්ත සොයා ගැනීම ගැන සැලකිලිමත් වී සිටිමු. z \u003d / (x, y) ශ්‍රිතය D කලාපයේ අර්ථ දැක්වීමට ඉඩ හරින්න. මෙම කලාපයේ L වක්‍රයක් ලබා දී ඇති බව උපකල්පනය කරමු, සහ f (x> y) ශ්‍රිතයේ අන්තය පමණක් සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය වේ. වක්‍ර L හි ලක්ෂ්‍යවලට අනුරූප වන එහි අගයන් අතර එම අන්තයම L වක්‍රයේ z = f(x) y) ශ්‍රිතයේ කොන්දේසි සහිත අන්ත ලෙස හැඳින්වේ. අර්ථ දැක්වීම යම් ස්ථානයක වැතිර සිටින බව කියනු ලැබේ L වක්‍රය, M0(x0, Yo) ලක්ෂ්‍යයේ කිසියම් අසල්වැසි ප්‍රදේශයකට අයත් සියලුම ලක්ෂ්‍යවලදී M (s, y) වක්‍රය L වක්‍රය පිළිවෙළින් අසමානතාවය තෘප්තිමත් නම් /(x, y) ශ්‍රිතයට කොන්දේසි සහිත උපරිම (අවම) ඇත. ) සහ M0 ලක්ෂ්‍යයෙන් වෙනස් (L වක්‍රය සමීකරණයකින් ලබා දෙන්නේ නම්, වක්‍රය මත r - f(x, y) ශ්‍රිතයේ කොන්දේසිගත අන්තය සොයා ගැනීමේ ගැටලුව! පහත පරිදි සකස් කළ හැක: D කලාපයේ x = /(z, y) ශ්‍රිතයේ අන්තය සොයා ගන්න, මේ අනුව, z = y ශ්‍රිතයේ කොන්දේසි සහිත අන්තය සොයා ගැනීමේදී zn තර්ක තවදුරටත් සලකා බැලිය නොහැක. ස්වාධීන විචල්‍යයන් ලෙස: ඒවා y ) = 0 සම්බන්ධය මගින් අන්තර් සම්බන්ධිත වේ, එය සීමා සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ. කොන්දේසි විරහිත සහ කොන්දේසි සහිත අන්තයක් ලෙස m «*D y අතර වෙනස පැහැදිලි කිරීම සඳහා, අපි රූපවාහිනී උදාහරණයක් බලමු, ශ්‍රිතයේ කොන්දේසි විරහිත උපරිමය (රූපය 23) එකකට සමාන වන අතර ලක්ෂ්‍යයට ළඟා වේ (0, 0) එය හරියටම M ට අනුරූප වේ - pvvboloid හි ශීර්ෂය අපි y = j යන සීමා සමීකරණය එකතු කරමු. එවිට කොන්දේසිගත උපරිමය පැහැදිලිවම සමාන වනු ඇත, එය ලක්ෂ්‍යයට (o, |) ළඟා වන අතර එය pvvboloid හි Afj ශීර්ෂයට අනුරූප වේ, එය pvvboloid තලය y = j සමඟ ඡේදනය වන රේඛාව වේ. කොන්දේසි විරහිත අවම s නම්, පෘෂ්ඨයේ සියලුම පැහැදිලි කිරීම් අතරින් කුඩාම යෙදුම අපට ඇත * = 1 - n;2 ~ y1; slumvv කොන්දේසි සහිත - vllkvt ලක්ෂ්‍ය pvrboloidv අතර පමණක්, xOy තලයේ y = j නොවන සරල රේඛාවේ * ලක්ෂ්‍යයකට අනුරූප වේ. පැවතීම සහ සම්බන්ධය තුළ ශ්‍රිතයක කොන්දේසිගත අන්තය සොයා ගැනීමේ එක් ක්‍රමයක් පහත පරිදි වේ. සම්බන්ධතා සමීකරණයට ඉඩ දෙන්න y) - O y තර්කයේ තනි-අගය කළ හැකි අවකල ශ්‍රිතයක් ලෙස නිර්වචනය කරයි x: ශ්‍රිතයට y වෙනුවට ශ්‍රිතය ආදේශ කිරීමෙන්, සම්බන්ධතා තත්ත්වය දැනටමත් සැලකිල්ලට ගෙන ඇති එක් තර්කයක ශ්‍රිතයක් අපි ලබා ගනිමු. . ශ්‍රිතයේ (කොන්දේසි විරහිත) අන්තය අපේක්ෂිත කොන්දේසි සහිත අන්තයයි. උදාහරණයක්. විචල්‍ය කිහිපයක ශ්‍රිතයක අන්තය යන කොන්දේසිය යටතේ ශ්‍රිතයක අන්තය සොයන්න විචල්‍ය කිහිපයක ශ්‍රිතයක අන්තයක සංකල්පය. අන්තයක් සඳහා අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් කොන්දේසි කොන්දේසි සහිත අන්තයක් අඛණ්ඩ ශ්‍රිතවල විශාලතම හා කුඩාම අගයන් A සම්බන්ධක සමීකරණයෙන් (2") අපට y \u003d 1-x හමු වේ. මෙම y අගය (V) ආදේශ කිරීමෙන් අපි a ලබා ගනිමු. එක් තර්කයක ශ්‍රිතය x: අපි එය අන්තයක් සඳහා පරීක්‍ෂා කරමු: කොහෙන්ද x \u003d 1 - තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍යය;, එමඟින් r ශ්‍රිතයේ කොන්දේසි සහිත අවමයක් ලබා දේ (රූපය 24). කොන්දේසිගත ගැටළුව විසඳීමට වෙනත් ක්‍රමයක් අපි පෙන්වා දෙමු අන්තය, ලැග්‍රේන්ජ් ගුණ කිරීමේ ක්‍රමය ලෙස හැඳින්වේ, සම්බන්ධතාවයක් පවතින විට ශ්‍රිතයේ කොන්දේසි සහිත අන්ත ලක්ෂ්‍යයක් තිබිය යුතුය, xi ලක්ෂ්‍යයේ සමහර අසල්වැසි ප්‍රදේශයක සම්බන්ධතා සමීකරණය අද්විතීය අඛණ්ඩ අවකල ශ්‍රිතයක් නිර්වචනය කරයි යැයි උපකල්පනය කරමු. xq ලක්ෂ්‍යයේ /(r, ip(x)) ශ්‍රිතයේ x ට අදාළ ව්‍යුත්පන්නය ශුන්‍යයට සමාන විය යුතු බව හෝ, මෙයට සමාන වන, Mo ලක්ෂ්‍යයේ f (x, y) හි අවකලනය බව ලබා ගන්න. "O) අපට ඇති සම්බන්ධතා සමීකරණයෙන් (5) ඉන්පසුව, dx හි අත්තනෝමතිකත්වය හේතුවෙන්, අපි Lagrange ශ්‍රිතය නම් ශ්‍රිතයක ලක්ෂ්‍යයක දී කොන්දේසි විරහිත අන්තයක් සඳහා අවශ්‍ය කොන්දේසි ප්‍රකාශ කරමු (6) සහ (7) සමානාත්මතා. මේ අනුව, ශ්‍රිතයේ කොන්දේසිගත අන්තයේ ලක්ෂ්‍යය / (x, y), නම්, අවශ්‍යයෙන්ම A යනු යම් සංඛ්‍යාත්මක සංගුණකයක් වන Lagrange ශ්‍රිතයේ නිශ්චල ලක්ෂ්‍යයකි. මෙතැන් සිට අපි කොන්දේසි සහිත අන්ත සොයා ගැනීම සඳහා රීතියක් ලබා ගනිමු: සම්බන්ධතාවයක් පවතින විට ශ්‍රිතයක ආන්තික අන්තයේ ලක්ෂ්‍ය විය හැකි ලක්ෂ්‍ය සොයා ගැනීම සඳහා, 1) අපි Lagrange ශ්‍රිතය සම්පාදනය කරමු, 2) මෙම ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නයන් සහ W සමාන කරමින් ශුන්‍යයට සහ ලැබෙන සමීකරණවලට සම්බන්ධතා සමීකරණය එකතු කිරීමෙන්, අපි A හි අගයන් සහ හැකි අන්ත ලක්ෂ්‍යවල x, y ඛණ්ඩාංක සොයා ගන්නා සමීකරණ තුනක පද්ධතියක් ලබා ගනිමු. කොන්දේසිගත අන්තයේ පැවැත්ම සහ ස්වභාවය පිළිබඳ ප්‍රශ්නය විසඳනු ලබන්නේ කොන්දේසිය යටතේ (8) වෙතින් ලබාගත් x0, Yo, A යන සලකා බලන අගයන් පද්ධතිය සඳහා Lagrange ශ්‍රිතයේ දෙවන අවකලනයේ ලකුණ අධ්‍යයනය කිරීමේ පදනම මත ය. එසේ නම්, ලක්ෂ්‍යයේ (x0, Yo) f(x, y ) ශ්‍රිතයට කොන්දේසි සහිත උපරිමයක් තිබේ නම්; d2F > 0 නම් - කොන්දේසි සහිත අවම. විශේෂයෙන්ම, නිශ්චල ලක්ෂ්‍යයක (xo, J/o) F(x, y) ශ්‍රිතය සඳහා D නිර්ණායකය ධන නම්, ලක්ෂ්‍යයේ (®o, V0) ශ්‍රිතයේ කොන්දේසි සහිත උපරිමයක් ඇත. x, y) if, සහ ශ්‍රිතයේ කොන්දේසි සහිත අවමය /(x, y), උදාහරණයක් නම්. අපි නැවතත් පෙර උදාහරණයේ කොන්දේසි වෙත හැරෙමු: x + y = 1 ලබා දී ඇති ශ්‍රිතයේ අන්තය සොයා ගන්න. අපි Lagrange ගුණ කිරීමේ ක්‍රමය භාවිතයෙන් ගැටළුව විසඳන්නෙමු. Lagrange ශ්‍රිතය මෙම නඩුව ආකෘතිය ඇත ස්ථාවර ලක්ෂ්ය සොයා ගැනීම සඳහා, අපි පද්ධතියක් සම්පාදනය කරමු පද්ධතියේ පළමු සමීකරණ දෙකෙන්, අපි x = y ලබා ගනිමු. එවිට පද්ධතියේ තුන්වන සමීකරණයෙන් (සම්බන්ධ කිරීමේ සමීකරණය) අපට x - y = j - හැකි අන්තයක ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයාගත හැකිය. මෙම අවස්ථාවෙහිදී (A \u003d -1 බව දැක්වේ. මේ අනුව, Lagrange ශ්‍රිතය. Lagrangian ශ්‍රිතය සඳහා කොන්දේසි විරහිත අන්තයක් නොමැති කොන්දේසිය යටතේ * \u003d x2 + y2 ශ්‍රිතයේ කොන්දේසි සහිත අවම ලක්ෂ්‍යයකි. P ( x, y) යනු සම්බන්ධතාවයක් පවතින විට /(x, y) ශ්‍රිතය සඳහා කොන්දේසි සහිත අන්තයක් නොමැති බව තවමත් අදහස් නොවේ උදාහරණ: y 4 කොන්දේසිය යටතේ ශ්‍රිතයේ අන්තය සොයා Lagrange ශ්‍රිතය රචනා කර ලියන්න A සහ හැකි අන්ත ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක නිර්ණය කිරීමේ පද්ධතිය: y = A = 0. මේ අනුව, අනුරූප Lagrange ශ්‍රිතයට ආකෘතිය ඇත (0, 0) ලක්ෂ්‍යයේ දී, F(x, y; 0) ශ්‍රිතය සතුව නොමැත. කොන්දේසි විරහිත අන්තය, නමුත් ශ්‍රිතයේ කොන්දේසිගත අන්තය r = xy. y = x විට, "ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම අවස්ථාවෙහි r = x2 වේ. මෙතැන් සිට පැහැදිලි වන්නේ ලක්ෂ්‍යයේ (0,0) කොන්දේසි සහිත අවම අගයක් ඇති බවයි. . "Lagrange ගුණක ක්‍රමය ඕනෑම තර්ක ගණනක ශ්‍රිතයන් වෙත මාරු කරනු ලැබේ / A|, Az,..., A යන Lagrange ශ්‍රිතය Sostaalyaem සම්බන්ධතා සමීකරණ හමුවේ ශ්‍රිතයේ අන්තය සෙවිය යුතුය. ", - නැහැ ඇතැම් නියත සාධක. F ශ්‍රිතයේ පළමු අනුපිළිවෙලෙහි සියලුම ආංශික ව්‍යුත්පන්න ශුන්‍යයට සම කරමින් සහ ලබාගත් සමීකරණවලට සම්බන්ධතා සමීකරණ (9) එකතු කිරීමෙන්, අපි n + m සමීකරණ පද්ධතියක් ලබා ගනිමු, එයින් අපි Ab A3|..., Am සහ ඛණ්ඩාංක x\)x2) . » කොන්දේසි සහිත අන්තයේ xn හැකි ලකුණු. Lagrange ක්‍රමය මගින් සොයාගත් කරුණු ඇත්ත වශයෙන්ම කොන්දේසි සහිත අන්ත ලක්ෂ්‍ය ද යන ප්‍රශ්නය බොහෝ විට භෞතික හෝ ජ්‍යාමිතික ස්වභාවයේ සලකා බැලීම් මත විසඳිය හැකිය. 15.3. අඛණ්ඩ ශ්‍රිතවල උපරිම සහ අවම අගයන් සමහර බහු මායිම් වසම් D හි අඛණ්ඩව පවතින z = f(x, y) ශ්‍රිතයක උපරිම (කුඩාම) අගය සෙවීමට අවශ්‍ය වේ. ප්‍රමේයය 3 මගින්, ලක්ෂ්‍යය (xo, yo) මෙම වසමේ ශ්‍රිතය විශාලතම (කුඩාම) අගයක් ගනී. ලක්ෂ්‍යය (xo, y0) D වසම තුළ පිහිටා තිබේ නම්, ශ්‍රිතය / එහි උපරිම (අවම) ඇත, එවිට මෙම අවස්ථාවෙහිදී අපට උනන්දුවක් දක්වන ලක්ෂ්‍යය /(x ශ්‍රිතයේ තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍ය අතර අන්තර්ගත වේ. , y). කෙසේ වෙතත්, /(x, y) ශ්‍රිතයට කලාපයේ මායිමේදී එහි උපරිම (කුඩාම) අගයට ළඟා විය හැක. එබැවින්, සීමා සහිත සංවෘත කලාපයක් 2 හි z = /(x, y) ශ්‍රිතය විසින් ගන්නා ලද විශාලතම (කුඩාම) අගය සොයා ගැනීම සඳහා, මෙම කලාපය තුළ ලබා ගන්නා ශ්‍රිතයේ උපරිම (අවම) සියල්ල සොයා ගැනීම අවශ්‍ය වේ. , මෙන්ම මෙම ප්රදේශයේ මායිමේ ශ්රිතයේ විශාලතම (කුඩාම) අගය. මෙම සියලු සංඛ්‍යා අතරින් විශාලතම (කුඩාම) අගය වනුයේ කලාපයේ z =/(x, y) ශ්‍රිතයේ අපේක්ෂිත උපරිම (කුඩාම) අගයයි. අවකලනය කළ හැකි ශ්‍රිතයක දී මෙය සිදු කරන්නේ කෙසේදැයි අපි පෙන්වා දෙමු. Prmmr. ප්‍රදේශය 4 හි ශ්‍රිතයේ විශාලතම හා කුඩාම අගයන් සොයන්න. D ප්‍රදේශය තුළ ශ්‍රිතයේ තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍ය අපට හමු වේ. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි සමීකරණ පද්ධතියක් සම්පාදනය කරමු. මෙතැන් සිට අපට x \u003d y "0, එබැවින් 0 (0,0) ලක්ෂ්‍යය x ශ්‍රිතයේ තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍යය වේ. D කලාපයේ Г මායිමේ ශ්‍රිතයේ විශාලතම සහ කුඩාම අගයන් අපි දැන් සොයා ගනිමු. මායිමේ කොටසේ y \u003d 0 තීරනාත්මක ලක්ෂ්‍යයක් වන අතර, \u003d සිට මේ ලක්ෂ්‍ය z \u003d 1 + y2 ශ්‍රිතය අවම වශයෙන් එකකට සමාන වේ. G" කොටසේ කෙළවරේ, ලක්ෂ්‍යවල (, අපට ඇත. සමමිතික සලකා බැලීම් භාවිතා කරමින්, මායිමේ අනෙකුත් කොටස් සඳහා අපි එකම ප්‍රතිඵල ලබා ගනිමු. අවසාන වශයෙන්, අපි ලබා ගන්නේ: z \u003d x2 + y2 ශ්‍රිතයේ කුඩාම අගය "B" කලාපය ශුන්‍යයට සමාන වන අතර එය ප්‍රදේශයේ අභ්‍යන්තර ලක්ෂ්‍යය 0(0, 0) වෙත ළඟා වන අතර, මෙම ශ්‍රිතයේ උපරිම අගය, දෙකකට සමාන වන අතර, මායිමේ ස්ථාන හතරකට ළඟා වේ (රූපය. 25) Fig.25 අභ්‍යාස කාර්යයන්: ශ්‍රිතවල අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් සහ ඒවායේ සම්පූර්ණ අවකලනය: සංකීර්ණ ශ්‍රිතවල ව්‍යුත්පන්න සොයන්න: 3 සොයන්න J. විචල්‍ය කිහිපයක ශ්‍රිතයක අන්තය විචල්‍ය කිහිපයක ශ්‍රිතයක අන්තයක් පිළිබඳ සංකල්පය. අන්තයක් සඳහා අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් කොන්දේසි කොන්දේසි සහිත අන්ත අඛණ්ඩ ශ්‍රිතවල විශාලතම හා කුඩාම අගයන් 34. ව්‍යුත්පන්න සූත්‍රය භාවිතා කිරීම සංකීර්ණ කාර්යයවිචල්‍ය දෙකක්, සොයන්න සහ ශ්‍රිත: 35. විචල්‍ය දෙකක සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නය සඳහා සූත්‍රය භාවිතා කරමින්, |J සහ ශ්‍රිත සොයන්න: ව්‍යංගයෙන් ලබා දී ඇති jj ශ්‍රිත සොයන්න: 40. ඡේදනය වන ස්ථානයේ ස්පර්ශක වක්‍රයේ බෑවුම සොයන්න එය සරල රේඛාවක් සමඟින් x \u003d 3. 41. x-වක්‍රයේ ස්පර්ශකය x-අක්ෂයට සමාන්තර වන ලක්ෂ්‍ය සොයන්න. . පහත කර්තව්‍යයන්හිදී, සොයන්න සහ Z: ස්පර්ශක තලය සහ පෘෂ්ඨයේ සාමාන්‍යය සඳහා සමීකරණ ලියන්න: 49. x + තලයට සමාන්තරව x2 + 2y2 + Zr2 \u003d 21 පෘෂ්ඨයේ ස්පර්ශක තල සඳහා සමීකරණ ලියන්න. 4y + 6z \u003d 0. ටේලර් සූත්‍රය භාවිතයෙන් ප්‍රසාරණයේ පළමු පද තුනේ සිට හතර දක්වා සොයන්න : 50. y ලක්ෂ්‍යයේ අසල්වැසි ප්‍රදේශයක (0, 0). ශ්‍රිතයක අන්තයේ නිර්වචනය භාවිතා කරමින්, අන්තයක් සඳහා පහත ශ්‍රිත විමර්ශනය කරන්න:). විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක අන්තය සඳහා ප්‍රමාණවත් කොන්දේසි භාවිතා කරමින්, ශ්‍රිතයේ අන්තය විමර්ශනය කරන්න: 84. සංවෘත කවයක් තුළ z \u003d x2 - y2 ශ්‍රිතයේ විශාලතම සහ කුඩාම අගයන් සොයන්න 85. විශාලතම සහ කුඩාම සොයා ගන්න x \u003d 0, y = 0, x + y = b රේඛා වලින් සීමා වූ ත්‍රිකෝණයක * \u003d x2y (4-x-y) ශ්‍රිතයේ අගයන්. 88. කුඩාම මතුපිට සහිත සෘජුකෝණාස්‍රාකාර එළිමහන් තටාකයක මානයන් නිර්ණය කරන්න, එහි පරිමාව V ට සමාන නම් සම්පූර්ණ මතුපිට 5 උපරිම පරිමාව. පිළිතුරු 1. සහ | එහි පැති ඇතුළුව x රේඛා කොටස් මගින් සාදන ලද චතුරස්‍රයක්. 3. කේන්ද්‍රීය වළලු පවුල 2= 0,1,2,... .4. y සරල රේඛාවල ලක්ෂ්‍ය හැර මුළු තලයම. පැරබෝලා y \u003d -x ට ඉහළින් පිහිටා ඇති යානයේ කොටස?. 8. කව ලකුණු x. සරල රේඛා හැර මුළු තලයම x රැඩිකල් ප්‍රකාශනය අවස්ථා දෙකකදී ඍණාත්මක නොවේ j * ^ හෝ j x ^ ^ එය පිළිවෙලින් අනන්ත අසමානතා මාලාවකට සමාන වේ. අර්ථ දැක්වීමේ වසම සෙවන සහිත කොටු වේ (රූපය 26) ; l අනන්ත ශ්‍රේණියකට සමාන වන ශ්‍රිතය ලක්ෂ්‍යවලදී අර්ථ දක්වා ඇත. a) රේඛාවට සමාන්තර රේඛා x b) මූලාරම්භය කේන්ද්‍ර කරගත් කේන්ද්‍රීය කව. 10. අ) පරබෝලා y) පැරබෝලා y අ) පැරබෝලා ආ) හයිපර්බෝලා | .ප්ලේන්ස් xc. 13.Prim - Oz අක්ෂය වටා විප්ලවයේ එක් කුහරයක හයිපර්බොලොයිඩ්; Oz අක්ෂය වටා ඇති විප්ලවයේ පත්‍ර දෙකක හයිපර්බොලොයිඩ් නිසා, පෘෂ්ඨවල පවුල් දෙකම කේතුවකින් වෙන් කරනු ලැබේ; සීමාවක් නැත, b) 0. 18. y = kxt පසුව z lim z = -2, එසේ ලබා දී ඇති කාර්යයලක්ෂ්යයේ (0,0) සීමාවක් නොමැත. 19. අ) ලක්ෂ්යය (0.0); b) ලක්ෂ්යය (0,0). 20. අ) කඩන රේඛාව - රවුම x2 + y2 = 1; b) කඩන රේඛාව y \u003d x සරල රේඛාවකි. 21. අ) කඩන රේඛා - සම්බන්ධීකරණ අක්ෂ Ox සහ Oy; b) 0 (හිස් කට්ටලය). 22. සියලුම ලක්ෂ්‍ය (m, n), එහිදී සහ n නිඛිල වේ