සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි අවකල සමීකරණ විසඳුම. සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි අවකල සමීකරණ

පෝරමයේ අවකල සමීකරණවල වම් කොටස් සමහර විට සමහර ශ්‍රිතවල සම්පූර්ණ අවකලනය වේ. ශ්‍රිතයක් එහි සම්පූර්ණ අවකලයෙන් ප්‍රතිනිර්මාණය කරන්නේ නම්, අවකල සමීකරණයේ සාමාන්‍ය අනුකලනය සොයා ගනු ඇත. මෙම ලිපියෙන් අපි ශ්‍රිතයක් එහි සම්පූර්ණ අවකලනය ප්‍රතිසාධනය කිරීමේ ක්‍රමයක් විස්තර කරමු. න්යායික ද්රව්යසමඟ උදාහරණ සහ කාර්යයන් සපයන්න විස්තරාත්මක සටහනවිසඳුම්.

අවකල සමීකරණයේ වම් පැත්ත යනු කොන්දේසිය තෘප්තිමත් නම් U(x, y) = 0 යම් ශ්‍රිතයක සම්පූර්ණ අවකලනය වේ.

ශ්‍රිතයේ සම්පූර්ණ අවකලනය U(x, y) = 0 වන බැවින් , එවිට, කොන්දේසිය තෘප්තිමත් නම්, අපට එය තහවුරු කළ හැකිය . ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, .

අපට ඇති පද්ධතියේ පළමු සමීකරණයෙන් . පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණය භාවිතයෙන් කාර්යය සොයාගත හැකිය:

මෙය U(x, y) = 0 යන අපේක්ෂිත ශ්‍රිතය සොයාගනු ඇත.

උදාහරණයක් සලකා බලන්න.

උදාහරණයක්.

සොයන්න පොදු තීරණයඅවකල සමීකරණය .

විසඳුමක්.

මෙම උදාහරණයේ දී. නිසා කොන්දේසිය සපුරා ඇත

ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, වම් පැත්තමුල් අවකල සමීකරණයේ යම් ශ්‍රිතයක සම්පූර්ණ අවකලනය U(x, y) = 0 . අපගේ කාර්යය වන්නේ මෙම කාර්යය සොයා ගැනීමයි.

නිසා U(x, y) = 0 ශ්‍රිතයේ සම්පූර්ණ අවකලනය වේ . අපි පද්ධතියේ පළමු සමීකරණය x හා සම්බන්ධව අනුකලනය කර y සම්බන්ධයෙන් ලබාගත් ප්‍රතිඵලය වෙන් කරමු. . අනෙක් අතට, අපට ඇති පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණයෙන් . ප්රතිඵලයක් වශයෙන්,

මෙහි C යනු අත්තනෝමතික නියතයකි.

මේ ක්රමයෙන්, සහ මුල් සමීකරණයේ පොදු අනුකලනය වේ .

ශ්‍රිතයක් එහි සම්පූර්ණ අවකලනය මගින් සොයා ගැනීමට තවත් ක්‍රමයක් ඇත. එය ගැනීමෙන් සමන්විත වේ curvilinear අනුකලනයස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයක සිට (x 0 , y 0) විචල්‍ය ඛණ්ඩාංක සහිත ලක්ෂ්‍යයක් දක්වා (x, y) : . මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අනුකලනයේ අගය අනුකලනය කිරීමේ මාර්ගය මත රඳා නොපවතී. ඛණ්ඩාංක අක්ෂවලට සමාන්තර සම්බන්ධතා ඇති කැඩුණු රේඛාවක් ඒකාබද්ධ කිරීමේ මාර්ගයක් ලෙස ගැනීම පහසුය.

අපි උදාහරණයක් බලමු.

උදාහරණයක්.

අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයන්න .

විසඳුමක්.

අපි තත්ත්වය පරීක්ෂා කරමු:

මේ අනුව, අවකල සමීකරණයේ වම් පැත්ත යනු U(x, y) = 0 ශ්‍රිතයක සම්පූර්ණ අවකලනයයි. ගණනය කිරීමෙන් මෙම කාර්යය සොයා ගනිමු curvilinear අනුකලනයලක්ෂ්‍යය (1; 1) සිට (x, y) දක්වා . අපි ඒකාබද්ධ කිරීමේ මාර්ගයක් ලෙස බහු රේඛාවක් ගනිමු: අපි (1, 1) ලක්ෂ්‍යයේ සිට (x, 1) දක්වා y = 1 සරල රේඛාව ඔස්සේ බහු රේඛාවේ පළමු කොටස පසුකර මාර්ගයේ දෙවන කොටස ලබා ගනිමු. ලක්ෂ්යය (x, 1) සිට (x, y) .

අර්ථ දැක්වීම 8.4.පෝරමයේ අවකල සමීකරණය

කොහෙද
තුල සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ සම්පූර්ණ අවකලනය.

එවැනි සමීකරණයක වම් පැත්ත යම් ශ්‍රිතයක සම්පූර්ණ අවකලනය බව සලකන්න
.

සාමාන්‍ය අවස්ථාවෙහි, සමීකරණය (8.4) ලෙස නිරූපණය කළ හැක

සමීකරණය (8.5) වෙනුවට කෙනෙකුට සමීකරණය සලකා බැලිය හැකිය

,

එහි විසඳුම සමීකරණයේ පොදු අනුකලනය (8.4) වේ. මේ අනුව, සමීකරණය (8.4) විසඳීම සඳහා ශ්රිතය සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ
. සමීකරණයේ නිර්වචනය (8.4) අනුව, අපට ඇත

(8.6)

කාර්යය
මෙම කොන්දේසි වලින් එකක් (8.6) තෘප්තිමත් කරන කාර්යයක් ලෙස අපි සොයන්නෙමු:

කොහෙද ස්වාධීන අත්තනෝමතික කාර්යයකි .

කාර්යය
ප්‍රකාශනයේ දෙවන කොන්දේසිය (8.6) තෘප්තිමත් වන පරිදි අර්ථ දක්වා ඇත

(8.7)

ප්රකාශනය (8.7) සිට ශ්රිතය තීරණය වේ
. සඳහා ප්‍රකාශනයට එය ආදේශ කිරීම
සහ මුල් සමීකරණයේ පොදු අනුකලනය ලබා ගන්න.

ගැටළුව 8.3.සමීකරණය ඒකාබද්ධ කරන්න

මෙතන
.

එබැවින් මෙම සමීකරණය සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි අවකල සමීකරණ වර්ගයට අයත් වේ. කාර්යය
අපි පෝරමයේ සොයන්නෙමු

.

අනිත් අතට,

.

සමහර අවස්ථාවලදී, තත්වය
ඉටු නොකළ හැකිය.

එවිට එවැනි සමීකරණ ඊනියා ඒකාබද්ධ කිරීමේ සාධකය මගින් ගුණ කිරීමෙන් සලකා බලනු ලබන වර්ගයට අඩු කරනු ලැබේ. සාමාන්ය නඩුව, කාර්යයක් පමණි හෝ .

යම් සමීකරණයක් මත පමණක් රඳා පවතින අනුකලිත සාධකයක් තිබේ නම් , එවිට එය සූත්රය මගින් තීරණය වේ

කොහෙද අනුපාතය කාර්යයක් පමණක් විය යුතුය .

ඒ හා සමානව, අනුකලිත සාධකයක් මත පමණක් රඳා පවතී , සූත්රය මගින් තීරණය කරනු ලැබේ

කොහෙද අනුපාතය
කාර්යයක් පමණක් විය යුතුය .

ඉහත අනුපාතවල නොමැති වීම, පළමු අවස්ථාවේ දී, විචල්‍යයේ , සහ දෙවන - විචල්යයක් , දී ඇති සමීකරණයක් සඳහා අනුකලනය කිරීමේ සාධකයක පැවැත්මේ සලකුණකි.

ගැටළුව 8.4.මෙම සමීකරණය සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණයකට ගෙන එන්න.

.

සම්බන්ධතාවය සලකා බලන්න:

.

මාතෘකාව 8.2. රේඛීය අවකල සමීකරණ

අර්ථ දැක්වීම 8.5. අවකල සමීකරණය
එය අපේක්ෂිත ශ්‍රිතයට සාපේක්ෂව රේඛීය නම් රේඛීය ලෙස හැඳින්වේ , එහි ව්යුත්පන්නය සහ අපේක්ෂිත ශ්රිතයේ නිෂ්පාදිතය සහ එහි ව්යුත්පන්නය අඩංගු නොවේ.

රේඛීය අවකල්‍ය සමීකරණයක සාමාන්‍ය ස්වරූපය පහත සම්බන්ධය මගින් නිරූපණය කෙරේ:

(8.8)

සම්බන්ධව නම් (8.8) දකුණු පැත්ත
, එවිට එවැනි සමීකරණයක් රේඛීය සමජාතීය ලෙස හැඳින්වේ. විටකදී දකුණු කොටස
, එවිට එවැනි සමීකරණයක් රේඛීය අසමාන ලෙස හැඳින්වේ.

සමීකරණය (8.8) චතුරස්රයන් තුළ ඒකාබද්ධ කළ හැකි බව අපි පෙන්වමු.

පළමු අදියරේදී අපි රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක් සලකා බලමු.

එවැනි සමීකරණයක් වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සහිත සමීකරණයකි. ඇත්තටම,

;

/

අවසාන සම්බන්ධතාවය රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම තීරණය කරයි.

රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයකට පොදු විසඳුමක් සෙවීම සඳහා නියතයක ව්‍යුත්පන්නයේ විචලනය කිරීමේ ක්‍රමය භාවිතා කරයි. ක්‍රමයේ අදහස නම්, රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම, අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ විසඳුමට සමාන ස්වරූපයෙන්, කෙසේ වෙතත්, අත්තනෝමතික නියතයකි යම් කාර්යයක් මගින් ප්රතිස්ථාපනය විය
තීරණය කළ යුතු ය. එබැවින් අපට ඇත්තේ:

(8.9)

සම්බන්ධයට ආදේශ කිරීම (8.8) අනුරූපී ප්රකාශන
හා
, අපිට ලැබෙනවා

අවසාන ප්‍රකාශය සම්බන්ධය (8.9) වෙත ආදේශ කිරීම, රේඛීය අසමජාතීය සමීකරණයක සාමාන්‍ය අනුකලනය ලබා ගනී.

මේ අනුව, රේඛීය සමජාතීය නොවන සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම චතුරස්රා දෙකකින් තීරණය වේ: රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම සහ රේඛීය සමජාතීය නොවන සමීකරණයක විශේෂ විසඳුමක්.

ගැටළුව 8.5.සමීකරණය ඒකාබද්ධ කරන්න

මේ අනුව, මුල් සමීකරණය රේඛීය අසමජාතීය අවකල සමීකරණ වර්ගයට අයත් වේ.

පළමු අදියරේදී, අපි රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයා ගනිමු.

;

දෙවන අදියරේදී, ස්වරූපයෙන් සොයන රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම අපි තීරණය කරමු.

,

කොහෙද
නිර්වචනය කළ යුතු කාර්යය වේ.

එබැවින් අපට ඇත්තේ:

සඳහා අනුපාත ආදේශ කිරීම හා අපි ලබා ගන්නා මුල් රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයට:

;

;

.

රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:

.

විශ්වවිද්‍යාල සිසුන් බොහෝ විට තොරතුරු සොයයි "සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණයකට විසඳුමක් සොයන්නේ කෙසේද?".මෙම පාඩමෙන් ඔබට ලැබෙනු ඇත සම්පූර්ණ උපදෙස්ප්ලස් එකක් පිරිවැටුම් විසඳුම්. මුලින්ම කෙටි හැඳින්වීමක් - සම්පූර්ණ අවකල සමීකරණයක් යනු කුමක්ද? සම්පූර්ණ අවකලනය සඳහා සමීකරණයට විසඳුමක් සොයා ගන්නේ කෙසේද?
වැඩිදුර විශ්ලේෂණය සූදානම් උදාහරණ, ඉන් පසුව ඔබට මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ ප්‍රශ්න කිසිවක් නොතිබිය හැකිය.

සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණය

අර්ථ දැක්වීම 1. M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 ආකාරයේ සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ. සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණය, සමාන ලකුණට පෙර යැපීම නම් විචල්‍ය දෙකක යම් ශ්‍රිතයක සම්පූර්ණ අවකලනය u(x,y) , එනම් සාධාරණ සූත්‍රය
du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dx. (එක)
මේ අනුව, අන්තර්ගතය අනුව මුල් සමීකරණය යනු ශ්‍රිතයේ සම්පූර්ණ අවකලනය ශුන්‍යයට සමාන වේ
du(x,y)=0 .
අපට ලැබෙන අවකලනය ඒකාබද්ධ කිරීම සාමාන්ය අනුකලනයආකෘතියේ DU
u(x,y)=C. (2)
ගණනය කිරීම් වලදී, රීතියක් ලෙස, නියතය ශුන්යයට සමාන වේ.
ගණනය කිරීම් වලට පෙර සෑම විටම ප්රශ්නයක් තිබේ "දී ඇති DE සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණයක් දැයි පරීක්ෂා කරන්නේ කෙසේද?"
මෙම ප්‍රශ්නයට පහත කොන්දේසිය මගින් පිළිතුරු ලැබේ.

සම්පූර්ණ අවකලනය සඳහා අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් කොන්දේසිය

සම්පූර්ණ අවකලනය සඳහා අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් කොන්දේසියකිඅර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් අතර සමානාත්මතාවය
(3)
අවකල සමීකරණ විසඳන විට, අපට සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණයක් තිබේද නැතහොත් වෙනත් එකක් කළ හැකිද යන්න හඳුනා ගැනීම සඳහා එය මුලින්ම පරීක්ෂා කරනු ලැබේ.
අන්තර්ගතය අනුව, මෙම කොන්දේසිය යනු ශ්රිතයේ මිශ්ර ව්යුත්පන්නයන් එකිනෙකට සමාන වේ.
සූත්‍රවල, පරායත්තතා සැලකිල්ලට ගනිමින්
(4)
අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් තත්ත්වයසම්පූර්ණ අවකලනයක පැවැත්මඅපට ආකෘතියෙන් ලිවිය හැකිය

සම්පූර්ණ අවකලනයට අනුකූල වීම සඳහා සමීකරණය පරීක්ෂා කිරීමේදී ලබා දී ඇති නිර්ණායකය භාවිතා වේ, නමුත් මෙම මාතෘකාව අධ්‍යයනය කරන විට, ගුරුවරුන් ඔබෙන් වෙනත් ආකාරයේ සමීකරණයක් අසන්නේ නැත.

සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණයක් විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම

ශ්‍රිතයේ සම්පූර්ණ අවකලනයේ ආංශික ව්‍යුත්පන්නවල අංකනය (4) අනුව, අනුකලනය කිරීමෙන් අපට u(x,y) සොයාගත හැකිය.

මෙම සූත්‍ර ගණනය කිරීම් වලදී තේරීමක් ලබා දෙයි, එබැවින්, ඒකාබද්ධ කිරීම සඳහා, යමෙක් අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයක් තෝරා ගනී, එහි අනුකලනය ප්‍රායෝගිකව සොයා ගැනීම පහසුය.
තව දුරටත් දෙවැනි වැදගත් කරුණක් - අවිනිශ්චිත අනුකලනයමූලාකෘතියකිඑනම් "+ C" අර්ථ දැක්විය යුතුය.
එබැවින්, අපි "x" සම්බන්ධයෙන් M (x, y) අර්ධ ව්‍යුත්පන්නය අනුකලනය කරන්නේ නම්, වානේ y මත රඳා පවතී සහ අනෙක් අතට - අපි y ට සාපේක්ෂව N ​​(x, y) අනුකලනය කරන්නේ නම්, වානේ රඳා පවතින්නේ "x".
තවද, නියතය තීරණය කිරීම සඳහා, u(x, y) හි ව්‍යුත්පන්නය අනුකලනය සිදු කරන ලද විචල්‍යයට වඩා වෙනත් විචල්‍යයක් සම්බන්ධයෙන් ගනු ලබන අතර දෙවන අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයට සමාන වේ.
සූත්‍රවල එය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත

රීතියක් ලෙස, සමහර නියමයන් සරල කර ඇති අතර නියතයක ව්‍යුත්පන්නය සඳහා අපි සමීකරණයක් ලබා ගනිමු. පළමු සමීකරණ සඳහා, අපි ලබා ගනිමු

අවසාන වශයෙන්, නියතය නිර්ණය කිරීමෙන් පසු පොදු අනුකලනයට ආකෘතිය ඇත

සමමිතික ආකාරයෙන්, අපට තවත් සමීකරණයක් සඳහා පිළිතුර ලැබේ.
පටිගත කිරීම සංකීර්ණ බව පෙනේ, ඇත්ත වශයෙන්ම, ප්‍රායෝගිකව සෑම දෙයක්ම වඩා සරල හා පැහැදිලි ලෙස පෙනේ. සම්පූර්ණ අවකලනය සඳහා පහත ගැටළු විශ්ලේෂණය කරන්න.

සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණයට සූදානම් පිළිතුරු

උදාහරණ 1

විසඳුම: සමීකරණයේ වම් පැත්තයි සම්පූර්ණ අවකලනයයම් කාර්යයක්, තත්වයේ සිට

මෙතැන් සිට විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක අර්ධ ව්‍යුත්පන්නය ලියන්න"x" වෙතින්

සහ අනුකලනය මගින් අපි එහි ආකෘතිය සොයා ගනිමු

නියතයක් නිර්වචනය කිරීමට සම්බන්ධයෙන් ශ්‍රිතයක අර්ධ ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න"y" සහ සමීකරණයේ අගය සමඟ සම කරන්න

අපි දකුණු සහ වම් පැතිවල සමාන පද අවලංගු කරන්නෙමු, ඉන් පසුව අපි අනුකලනය කිරීමෙන් නියතය සොයා ගනිමු

දැන් අපිට ලියන්න අවශ්‍ය ප්‍රමාණයන් ඔක්කොම තියෙනවා අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුමපරිදි

ඔබට සහතික විය හැක්කේ කෙසේද සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණ විසඳීම සඳහා යෝජනා ක්රමයඑය අපහසු නොවන අතර සෑම කෙනෙකුටම එය ඉගෙන ගත හැකිය. අවකලනයන්හි සාධක වැදගත් වන්නේ විසඳුම සොයා ගැනීම සඳහා ඒවා ඒකාබද්ධ කිරීම හා වෙනස් කිරීම සිදු කළ යුතු බැවිනි.

උදාහරණ 2. (6.18) අවකල සමීකරණයක අනුකලනය සොයන්න

විසඳුම: න්‍යායට අනුව, සමීකරණයේ වම් පැත්ත u(x,y) විචල්‍ය දෙකක යම් ශ්‍රිතයක සම්පූර්ණ අවකලනය විය යුතු අතර, කොන්දේසිය තෘප්තිමත්ද යන්න පරීක්ෂා කරයි.

මෙතැන් සිට අපි අර්ධ ව්‍යුත්පන්නය ගන්නා අතර අනුකලනය හරහා අපි ශ්‍රිතය සොයා ගනිමු

අපි විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක අර්ධ ව්‍යුත්පන්නය ගණනය කරමු y සහ අවකල සමීකරණයේ දකුණු පැත්තට සමාන කරන්න.

ව්යුත්පන්නය යැපීම ලෙස ප්රකාශිත වේ

නියතය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි පෝරමයේ ලබා ගත්තා

මෙම ගණනය මත මෙම උදාහරණයසම්පූර්ණ කර ඇත.

උදාහරණය 3 (6.20)අවකල සමීකරණය විසඳන්න

විසඳුම: සමීකරණයේ වම් පැත්ත කොන්දේසිය නම් u(x; y) විචල්‍ය දෙකක යම් ශ්‍රිතයක සම්පූර්ණ අවකලනය වනු ඇත.

මෙතැන් සිට අපි සමීකරණ විසඳීමට පටන් ගනිමු, නැතහොත් ඒ වෙනුවට, එක් අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයක් ඒකාබද්ධ කිරීම

මීළඟට, අපි y විචල්‍යයට අදාළව ලැබෙන ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නය සොයාගෙන එය අවකල පරායත්තයේ දකුණු පැත්තට සමාන කරමු.

y හි ශ්රිතයක් ලෙස නියතය සොයා ගැනීමට මෙය ඔබට ඉඩ සලසයි. අපි සමඟ අවකල යැපීම හෙළි කිරීමට පටන් ගන්නේ නම් දකුණු පැත්ත, එවිට නියතය x මත රඳා පවතින බව අපට ලැබේ. සඳහා වෙනස් නොවන අතර ලබා දී ඇති සමීකරණයආකෘතිය ඇත

මෙම උදාහරණය විසඳා ඇත. අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුමඅපට සූත්‍රය ලිවිය හැකිය

මාතෘකාව තහවුරු කිරීම සඳහා, කරුණාකර මෙම සමීකරණ සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණ බව ස්වාධීනව පරීක්ෂා කර ඒවා විසඳන්න:
මෙහිදී ඔබට මූල ශ්‍රිත, ත්‍රිකෝණමිතික, ඝාතක, ලඝුගණක, වචනයෙන් - මොඩියුල සහ විභාග වලදී ඔබෙන් බලාපොරොත්තු විය හැකි සියල්ල ඇත.
ඊට පසු, මෙම ආකාරයේ සමීකරණය විසඳීමට ඔබට වඩාත් පහසු වනු ඇත.
ඊළඟ ලිපියෙන් ඔබ පෝරමයේ සමීකරණ සමඟ දැන හඳුනා ගනු ඇත
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0
සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණයට ප්‍රමාණවත් තරම් සමාන වන නමුත් ඒවා අර්ධ ව්‍යුත්පන්නවල සමානාත්මතාවයේ කොන්දේසිය තෘප්තිමත් නොකරයි. ඒවා ගණනය කරනු ලබන්නේ අනුකලනය කිරීමේ සාධකයක් සෙවීමෙන්, ලබා දී ඇති සමීකරණය සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණයක් බවට පත් කිරීමෙන් ගුණ කිරීමෙනි.

අර්ථ දැක්වීම: පෝරමයේ සමීකරණය

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

වම් පැත්ත යනු විචල්‍ය දෙකක යම් ශ්‍රිතයක සම්පූර්ණ අවකලනය වන අතර, සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ.

විචල්‍ය දෙකක මෙම ශ්‍රිතය F(x,y) මගින් දක්වන්න. එවිට සමීකරණය (9) dF(x,y) = 0 ලෙස නැවත ලිවිය හැකි අතර, මෙම සමීකරණයට F(x,y) = C සාමාන්‍ය විසඳුමක් ඇත.

(9) පෝරමයේ සමීකරණයක් ලබා දෙන්න. එය සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණයක් දැයි සොයා බැලීම සඳහා, ඔබ ප්‍රකාශනය දැයි පරීක්ෂා කළ යුතුය

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

විචල්‍ය දෙකක යම් ශ්‍රිතයක සම්පූර්ණ අවකලනය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, සමානාත්මතාවයේ ඉටුවීම පරීක්ෂා කිරීම අවශ්ය වේ

දී ඇති ප්‍රකාශනයක් සඳහා (10) සමානාත්මතාවය (11) සරලව සම්බන්ධිත වසම් (S) තුළ තෘප්තිමත් වන අතර, එම නිසා, ප්‍රකාශනය (10) යනු (S) හි F(x,y) යම් ශ්‍රිතයක සම්පූර්ණ අවකලනය වේ යැයි උපකල්පනය කරමු. .

මෙම ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න සොයා ගැනීමේ පහත ක්‍රමය සලකා බලන්න. F(x,y) ශ්‍රිතයක් සොයා ගැනීම අවශ්‍ය වේ

එහිදී (y) ශ්‍රිතය පහතින් අර්ථ දක්වා ඇත. (12) සූත්‍රයෙන් එය පහත දැක්වේ

(S) ප්රදේශයේ සියලුම ස්ථානවල දැන් අපි සමානාත්මතාවය සිදු වන පරිදි (y) ශ්රිතය තෝරා ගනිමු

මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි අපට අවශ්‍ය සමානාත්මතාවය (14) නැවත ලියන්නෙමු, F(x, y) වෙනුවට එහි ප්‍රකාශනය සූත්‍රය (12) අනුව ආදේශ කරන්න:

අනුකලිත ලකුණ යටතේ y සම්බන්ධයෙන් වෙන්කර හඳුනා ගනිමු (මෙය P(x, y) සිට කළ හැකි අතර විචල්‍ය දෙකක අඛණ්ඩ ශ්‍රිත වේ):

(11) වන විට, (16) අනුකලිත ලකුණ යටතේ ආදේශ කිරීමෙන්, අපට ඇත්තේ:

y මත ඒකාබද්ධ වූ පසු, සමානාත්මතාවය (14) දරන ආකාරයට ගොඩනගා ඇති (y) ශ්‍රිතයම අපට හමු වේ. සමානාත්මතා (13) සහ (14) භාවිතා කිරීමෙන් අපට එය පෙනේ

ප්රදේශයේ (S). (දහඅට)

උදාහරණ 5. දී ඇති අවකල සමීකරණය සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණයක් දැයි පරීක්ෂා කර එය විසඳන්න.

මෙය සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි අවකල සමීකරණයකි. ඇත්ත වශයෙන්ම, සඳහන් කරමින්, අපි එය සහතික කරමු

සහ මෙය ප්රකාශනය සඳහා අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් කොන්දේසියකි

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

U(x,y) යම් ශ්‍රිතයක සම්පූර්ණ අවකලනය වේ. එපමණක් නොව, ආර් හි අඛණ්ඩ ශ්‍රිත වේ.

එබැවින්, දී ඇති අවකල සමීකරණයක් අනුකලනය කිරීම සඳහා, අවකල සමීකරණයේ වම් පැත්ත සම්පූර්ණ අවකලනයක් වන ශ්‍රිතයක් සොයා ගැනීම අවශ්‍ය වේ. U(x,y) එවැනි ශ්‍රිතයක් වේවා

x මත වම් සහ දකුණු පැති ඒකාබද්ධ කිරීම, අපට ලැබෙන්නේ:

u(y) සොයා ගැනීමට, අපි එය භාවිතා කරමු

u(y) හි සොයාගත් අගය (*) වෙත ආදේශ කිරීමෙන්, අපි අවසානයේ U(x, y) ශ්‍රිතය ලබා ගනිමු:

මුල් සමීකරණයේ සාමාන්‍ය අනුකලයට ආකෘතිය ඇත

පළමු අනුපිළිවෙලෙහි අවකල සමීකරණවල ප්රධාන වර්ග (අඛණ්ඩව).

රේඛීය අවකල සමීකරණ

අර්ථ දැක්වීම: පළමු පෙළ රේඛීය සමීකරණයක් යනු පෝරමයේ සමීකරණයකි

y" + P(x)y = f(x), (21)

මෙහි P(x) සහ f(x) අඛණ්ඩ ශ්‍රිත වේ.

සමීකරණයේ නම පැහැදිලි වන්නේ ව්‍යුත්පන්න y "- රේඛීය ශ්රිතය y සිට, එනම්, අපි සමීකරණය (21) y" = - P(x) + f(x) ලෙස නැවත ලියන්නේ නම්, දකුණු පැත්තේ y අඩංගු වන්නේ පළමු උපාධිය දක්වා පමණි.

f(x) = 0 නම්, සමීකරණය

yґ+ P(x) y = 0 (22)

රේඛීය ලෙස හැඳින්වේ සමජාතීය සමීකරණය. පැහැදිලිවම, සමජාතීය රේඛීය සමීකරණයක් යනු වෙන් කළ හැකි විචල්‍යයන් සහිත සමීකරණයකි:

y" + P(x)y = 0; ,

f(x) නම්? 0, පසුව සමීකරණය

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ.

සාමාන්යයෙන්, සමීකරණයේ (21) විචල්යයන් වෙන් කළ නොහැක.

සමීකරණය (21) පහත පරිදි විසඳනු ලැබේ: අපි U(x) සහ V(x) යන ශ්‍රිත දෙකක නිෂ්පාදනයක් ආකාරයෙන් විසඳුමක් සොයමු:

ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:

y" = U"V + UV" (25)

සහ මෙම ප්‍රකාශන සමීකරණයට ආදේශ කරන්න (1):

U"V + UV" + P(x)UV = f(x).

වම් පැත්තේ නියමයන් සමූහ කරමු:

U "V + U \u003d f (x). (26)

අපි එක් සාධකයක් (24) මත කොන්දේසියක් පනවන්නෙමු, එනම්, V(x) ශ්‍රිතය (26) හි ඇති වර්ග වරහන් තුළ ඇති ප්‍රකාශනය සමාන ශුන්‍ය බවට පත් කරන බව සිතමු, i.e. එය අවකල සමීකරණයට විසඳුමක් බව

V" + P(x)V = 0. (27)

මෙය වෙන් කළ හැකි විචල්‍යයන් සහිත සමීකරණයකි, අපි එයින් V (x) සොයා ගනිමු:

දැන් අපි U(x) ශ්‍රිතයක් සොයා ගනිමු, දැනටමත් සොයාගෙන ඇති V(x) ශ්‍රිතය සඳහා U V නිෂ්පාදනය සමීකරණයට විසඳුමකි (26). මේ සඳහා U(x) සමීකරණයට විසඳුමක් විය යුතුය

මෙය වෙන් කළ හැකි විචල්‍ය සමීකරණයකි, එබැවින්

සොයාගත් ශ්‍රිත (28) සහ (30) (4) සූත්‍රයට ආදේශ කිරීමෙන්, අපි සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම (21) ලබා ගනිමු:

මේ අනුව, සලකා බලන ක්රමය (Bernoulli ක්රමය) විසඳුම අඩු කරයි රේඛීය සමීකරණය(21) වෙන් කළ හැකි විචල්‍ය සහිත සමීකරණ දෙකක විසඳුමට.

උදාහරණ 6. සමීකරණයේ පොදු අනුකලනය සොයන්න.

මෙම සමීකරණය y සහ y ට සාපේක්ෂව රේඛීය නොවේ, නමුත් අපි අවශ්‍ය x ශ්‍රිතය සහ y තර්කය සලකා බැලුවහොත් එය රේඛීය වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, පසුකර, අපි ලබා ගනිමු

ප්රතිඵලය සමීකරණය විසඳීම සඳහා, අපි ආදේශන ක්රමය (Bernoulli) භාවිතා කරමු. අපි x(y)=U(y)V(y) ආකාරයෙන් සමීකරණයට විසඳුමක් සොයමු. අපි සමීකරණය ලබා ගනිමු:

අපි V(y) ශ්‍රිතය තෝරා ගනිමු. ඉන්පසු

තිබීම සම්මත දර්ශනය$P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, මෙහි වම් පැත්ත යනු යම් ශ්‍රිතයක $F\left(x, y \right)$, සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ.

සම්පූර්ණ අවකල සමීකරණය සෑම විටම $dF\left(x,y\right)=0$ ලෙස නැවත ලිවිය හැක, $F\left(x,y\right)$ යනු $dF\left(x, y වැනි ශ්‍රිතයකි. \right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

අපි $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $ යන සමීකරණයේ දෙපැත්තම අනුකලනය කරමු; ශුන්‍ය දකුණු පස අනුකලය අත්තනෝමතික නියත $C$ ට සමාන වේ. මේ අනුව, ව්‍යංග ආකාරයෙන් මෙම සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම $F\left(x,y\right)=C$ ලෙස ඇත.

දී ඇති අවකල සමීකරණයක් සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණයක් වීමට නම්, $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ යන කොන්දේසිය තෘප්තිමත් වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ. . මෙම කොන්දේසිය තෘප්තිමත් නම්, අපට ලිවිය හැකි $F\left(x,y\right)$ ශ්‍රිතයක් පවතී: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\frac( \partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, මෙතැන් සිට අපට සම්බන්ධතා දෙකක් ලැබේ: $\ frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ සහ $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$.

අපි $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ $x$ ට වඩා අනුකලනය කර $F\left(x,y\right)=\int ලබා ගනිමු. P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, මෙහි $U\left(y\right)$ යනු $y$ හි අත්තනෝමතික ශ්‍රිතයකි.

දෙවන සම්බන්ධතාවය $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ තෘප්තිමත් වන පරිදි අපි එය තෝරා ගනිමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි $F\left(x,y\right)$ සඳහා $y$ ට අදාලව ලැබෙන සම්බන්ධතාවය වෙනස් කර ප්‍රතිඵලය $Q\left(x,y\right)$ ට සමාන කරමු. අපට ලැබෙන්නේ: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left (x,y\දකුණ)$.

ඊළඟ විසඳුම වන්නේ:

• අවසාන සමානාත්මතාවයෙන් අපි සොයා ගන්නේ $U"\වම(y\දකුණ)$;
• $U"\left(y\right)$ අනුකලනය කර $U\left(y\right)$ සොයා ගන්න;
• $U\left(y\right)$ $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ වෙත ආදේශ කරන්න සහ අවසානයේ අපට $F\left(x,y\right)$ ශ්‍රිතය ලැබේ.

\

අපි වෙනස සොයා ගනිමු:

අපි $y$ට වඩා $U"\left(y\right)$ අනුකලනය කර $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$ සොයා ගනිමු.

ප්‍රතිඵලය සොයන්න: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

අපි සාමාන්‍ය විසඳුම $F\left(x,y\right)=C$ ලෙස ලියන්නෙමු, එනම්:

විශේෂිත විසඳුමක් සොයන්න $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, එහිදී $y_(0) =3$, $x_(0) = $2:

විශේෂිත විසඳුමක පෝරමය ඇත: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.