භාග අඩුම පොදු හරයට අඩු කිරීම, රීතිය, උදාහරණ, විසඳුම්. භාග පොදු හරයකට අඩු කිරීම (Moskalenko M.V.)

භාග කුඩාම දක්වා අඩු කිරීමට පොදු හරය, ඔබට අවශ්‍ය වන්නේ: 1) මෙම භාගවල හරවල අවම පොදු ගුණාකාරය සොයා ගන්න, එය අවම පොදු හරය වනු ඇත. 2) එක් එක් භාග සඳහා අමතර සාධකයක් සොයා ගන්න, ඒ සඳහා අපි නව හරය එක් එක් භාගයේ හරයෙන් බෙදන්නෙමු. 3) එක් එක් කොටසෙහි අංකනය සහ හරය එහි අතිරේක සාධකයෙන් ගුණ කරන්න.

උදාහරණ. පහත භාග අඩුම පොදු හරයට අඩු කරන්න.

20 යනු 5 සහ 4 යන දෙකෙන්ම බෙදිය හැකි කුඩාම සංඛ්‍යාව වන බැවින් LCM(5; 4) = 20 යන හරවල අඩුම පොදු ගුණාකාරය අපට හමු වේ. 1 වන කොටස සඳහා 4 (20) අමතර සාධකයක් අපි සොයා ගනිමු. : 5=4). 2 වන කොටස සඳහා, අතිරේක ගුණකය 5 (20 : 4=5). අපි 1 වන කොටසේ සංඛ්‍යා සහ හරය 4 න් ද, 2 වන භාගයේ සංඛ්‍යා සහ හරය 5 න් ද ගුණ කරමු. අපි මෙම භාග අඩුම පොදු හරයට අඩු කළෙමු ( 20 ).

මෙම භාගවල අඩුම පොදු හරය 8 වේ, මන්ද 8 4 සහ එයම බෙදිය හැකි බැවිනි. 1 වන කොටසට අමතර ගුණකයක් නොමැත (නැතහොත් එය එකකට සමාන බව අපට පැවසිය හැකිය), 2 වන භාගයට අතිරේක ගුණකය 2 (8 : 4=2). අපි 2 වන භාගයේ සංඛ්‍යා සහ හරය 2න් ගුණ කරමු. අපි මෙම භාග අඩුම පොදු හරයට අඩු කළෙමු ( 8 ).

මෙම කොටස් අඩු කළ නොහැකි ය.

අපි 1 වන කොටස 4 කින් අඩු කරමු, අපි 2 වන කොටස 2 කින් අඩු කරමු. ( සාමාන්ය භාග අඩු කිරීම පිළිබඳ උදාහරණ බලන්න: අඩවි සිතියම → 5.4.2. සාමාන්ය භාග අඩු කිරීමේ උදාහරණ) LCM සොයන්න(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. 1 වන කොටස සඳහා අතිරේක ගුණකය 5 (80 : 16=5). 2 වන කොටස සඳහා අතිරේක ගුණකය 4 (80 : 20=4). අපි 1 වන කොටසේ සංඛ්‍යා සහ හරය 5 න් ද, 2 වන භාගයේ සංඛ්‍යා සහ හරය 4 න් ද ගුණ කරමු. අපි මෙම භාග අඩුම පොදු හරයට අඩු කළෙමු ( 80 ).

NOC හි අවම පොදු හරය සොයන්න(5 ; 6 සහ 15) = LCM(5 ; 6 සහ 15)=30. 1 වන කොටසට අතිරේක ගුණකය 6 (30 : 5=6), 2 වන කොටසට අමතර ගුණකය 5 (30 : 6=5), 3 වන කොටසට අමතර ගුණකය 2 (30 : 15=2). අපි 1 වන කොටසේ සංඛ්‍යා සහ හරය 6 න් ද, 2 වන භාගයේ සංඛ්‍යා සහ හරය 5 න් ද, 3 වන භාගයේ සංඛ්‍යා සහ හරය 2 න් ද ගුණ කරමු. අපි මෙම භාග අඩුම පොදු හරයට අඩු කළෙමු ( 30 ).

11 න් 1 පිටුව

හිදී මෙම ද්රව්යයනව හරයකට භාග නිවැරදිව ගෙන එන්නේ කෙසේද, අතිරේක සාධකය කුමක්ද සහ එය සොයා ගන්නේ කෙසේද යන්න අපි විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු. ඊට පසු, අපි නව හරයන් වෙත භාග අඩු කිරීම සඳහා මූලික රීතිය සකස් කර ගැටළු සඳහා උදාහරණ සමඟ එය නිරූපණය කරමු.

කොටසක් වෙනස් හරයකට අඩු කිරීමේ සංකල්පය

භාගයක මූලික ගුණය සිහිපත් කරන්න. ඔහුට අනුව සාමාන්‍ය භාගයේ a b (a සහ b යනු ඕනෑම සංඛ්‍යා වේ) එයට සමාන වන භාග අනන්ත සංඛ්‍යාවක් ඇත. එවැනි භාග ලබා ගත හැක්කේ සංඛ්‍යා සහ හරය එකම සංඛ්‍යාවෙන් m (ස්වාභාවික) ගුණ කිරීමෙනි. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, සියල්ල පොදු කොටස් a · m b · m ආකාරයෙන් වෙනත් අය විසින් ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැක. මෙය මුල් අගය අපේක්ෂිත හරය සමඟ කොටසකට අඩු කිරීමයි.

ඔබට එහි සංඛ්‍යාව සහ හරය ඕනෑම දෙයකින් ගුණ කිරීමෙන් වෙනත් හරයකට කොටසක් ගෙන ඒමට හැකිය ස්වභාවික අංකය. ප්රධාන කොන්දේසිය වන්නේ භාගයේ කොටස් දෙකම සඳහා ගුණකය සමාන විය යුතුය. ප්රතිඵලය මුල් පිටපතට සමාන කොටසකි.

අපි මෙය උදාහරණයකින් පැහැදිලි කරමු.

උදාහරණ 1

11 25 කොටස නව හරයකට පරිවර්තනය කරන්න.

විසඳුමක්

අත්තනෝමතික ස්වභාවික අංකයක් 4 ගෙන එය මුල් භාගයේ කොටස් දෙකම ගුණ කරන්න. අපි සලකා බලමු: 11 4 \u003d 44 සහ 25 4 \u003d 100. ප්රතිඵලය 44,100 ක කොටසකි.

සියලුම ගණනය කිරීම් මෙම පෝරමයේ ලිවිය හැකිය: 11 25 \u003d 11 4 25 4 \u003d 44 100

ඕනෑම කොටසක් විවිධ හරයන් විශාල සංඛ්‍යාවක් දක්වා අඩු කළ හැකි බව පෙනේ. හතරක් වෙනුවට, අපට වෙනත් ස්වාභාවික අංකයක් ගෙන මුල් එකට සමාන තවත් භාගයක් ලබා ගත හැකිය.

නමුත් කිසිම සංඛ්‍යාවක් නව භාගයක හරය බවට පත් විය නොහැක. එබැවින්, a b සඳහා හරයෙහි අඩංගු විය හැක්කේ b හි ගුණාකාර වන b · m සංඛ්‍යා පමණි. බෙදීමේ මූලික සංකල්ප සිහිපත් කරන්න - ගුණාකාර සහ බෙදුම්. අංකය b හි ගුණාකාරයක් නොවේ නම්, නමුත් එය නව භාගයක බෙදුම්කරු විය නොහැක. ගැටලුව විසඳීමේ උදාහරණයක් සමඟ අපගේ අදහස පැහැදිලි කරමු.

උදාහරණ 2

5 9 කොටස 54 සහ 21 යන හරයන් දක්වා අඩු කළ හැකිද යන්න ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්

54 යනු නවයේ ගුණාකාරයක් වන අතර එය නව භාගයේ හරය වේ (එනම් 54 9 න් බෙදිය හැකිය). එබැවින් එවැනි අඩු කිරීමක් කළ හැකිය. තවද අපට 21 න් 9 න් බෙදිය නොහැක, එබැවින් මෙම කොටස සඳහා එවැනි ක්රියාවක් සිදු කළ නොහැක.

අතිරේක ගුණකය පිළිබඳ සංකල්පය

අතිරේක සාධකයක් යනු කුමක්දැයි අපි සකස් කරමු.

අර්ථ දැක්වීම 1

අතිරේක ගුණකයයනු ස්වභාවික සංඛ්‍යාවක් වන අතර එය නව හරයකට ගෙන ඒම සඳහා භාගයක කොටස් දෙකම ගුණ කරනු ලැබේ.

එම. අපි මෙම ක්‍රියාව කොටසක සිදු කරන විට, අපි ඒ සඳහා අමතර ගුණකයක් ගනිමු. උදාහරණයක් ලෙස, 7 10 කොටස 21 30 ආකෘතියට අඩු කිරීම සඳහා, අපට අතිරේක සාධකය 3 අවශ්ය වේ. තවද ඔබට ගුණකය 5 භාවිතා කර 3 8න් 15 40 කොටසක් ලබා ගත හැක.

ඒ අනුව, භාගය අඩු කළ යුතු හරය අප දන්නේ නම්, ඒ සඳහා අතිරේක සාධකයක් ගණනය කළ හැකිය. එය කරන්නේ කෙසේදැයි අපි සොයා බලමු.

අපට a b භාගයක් ඇත, එය යම් හරයකට අඩු කළ හැකිය c ; අතිරේක සාධකය ගණනය කරන්න m . අපි මුල් භාගයේ හරය m වලින් ගුණ කළ යුතුයි. අපි ලබා ගනිමු b · m , සහ ගැටලුවේ තත්ත්වය අනුව b · m = c . ගුණ කිරීම සහ බෙදීම සම්බන්ධ වන ආකාරය සිහිපත් කරන්න. මෙම සම්බන්ධතාවය පහත නිගමනයට අපව ගෙන යනු ඇත: අතිරේක සාධකය අන් කිසිවක් නොව, c b මගින් බෙදීමේ ප්‍රමාණය, වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, m = c: b.

මේ අනුව, අතිරේක සාධකයක් සොයා ගැනීම සඳහා, අපි අවශ්ය හරය මුල් එකෙන් බෙදිය යුතුය.

උදාහරණය 3

17 4 කොටස හරය 124 වෙත ගෙන ආ අතිරේක සාධකය සොයන්න.

විසඳුමක්

ඉහත රීතිය භාවිතා කරමින්, අපි සරලව මුල් භාගයේ හරයෙන් 124 බෙදන්නෙමු, හතරෙන්.

අපි සලකා බලමු: 124: 4 \u003d 31.

භාග පොදු හරයකට අඩු කිරීමේදී මෙම වර්ගයේ ගණනය කිරීම් බොහෝ විට අවශ්‍ය වේ.

නිශ්චිත හරයකට භාග අඩු කිරීමේ රීතිය

ඔබට නිශ්චිත හරයට භාග ගෙන ආ හැකි මූලික රීතියේ නිර්වචනය වෙත යමු. ඒ නිසා,

අර්ථ දැක්වීම 2

නිශ්චිත හරයට කොටසක් ගෙන ඒමට, ඔබට අවශ්‍ය වන්නේ:

1. අතිරේක ගුණකය තීරණය කරන්න;
2. මුල් භාගයේ අංකනය සහ හරය යන දෙකම එයින් ගුණ කරන්න.

මෙම රීතිය ප්‍රායෝගිකව ක්‍රියාත්මක කරන්නේ කෙසේද? ගැටලුව විසඳීම සඳහා අපි උදාහරණයක් දෙන්නෙමු.

උදාහරණය 4

7 16 කොටසෙහි හරය 336 දක්වා අඩු කිරීම සිදු කරන්න.

විසඳුමක්

අතිරේක ගුණකය ගණනය කිරීමෙන් ආරම්භ කරමු. බෙදන්න: 336: 16 = 21.

අපි ලැබුණු පිළිතුර මුල් භාගයේ කොටස් දෙකෙන්ම ගුණ කරමු: 7 16 \u003d 7 21 16 21 \u003d 147 336. ඉතින් අපි මුල් භාගය අවශ්‍ය හරය 336 ට ගෙනාවා.

පිළිතුර: 7 16 = 147 336.

ඔබ පෙළෙහි වරදක් දුටුවහොත්, කරුණාකර එය උද්දීපනය කර Ctrl+Enter ඔබන්න

මෙම ලිපිය පැහැදිලි කරන්නේ, අඩුම පොදු හරය සොයා ගන්නේ කෙසේදහා භාග පොදු හරයකට ගෙන එන්නේ කෙසේද. පළමුව, භාගවල පොදු හරය සහ අවම පොදු හරය පිළිබඳ අර්ථ දැක්වීම් ලබා දී ඇති අතර, භාගවල පොදු හරය සොයා ගන්නා ආකාරය ද පෙන්වා ඇත. පහත දැක්වෙන්නේ භාග පොදු හරයකට අඩු කිරීම සඳහා වන රීතියක් වන අතර මෙම රීතිය යෙදීමේ උදාහරණ සලකා බලනු ලැබේ. අවසාන වශයෙන්, පොදු හරයකට භාග තුනක් හෝ වැඩි ගණනක් ගෙන ඒමේ උදාහරණ විශ්ලේෂණය කෙරේ.

පිටු සංචලනය.

භාග පොදු හරයකට අඩු කිරීම ලෙස හඳුන්වන්නේ කුමක්ද?

දැන් අපිට කියන්න පුළුවන් භාග පොදු හරයකට ගෙන ඒම මොකක්ද කියලා. භාග පොදු හරයකට ගෙන ඒමමෙම භාගවල සංඛ්‍යා සහ හරයන් එවැනි අතිරේක සාධක මගින් ගුණ කිරීම ප්‍රතිඵලය භාග වේ එකම හරයන්.

පොදු හරය, අර්ථ දැක්වීම, උදාහරණ

දැන් භාගවල පොදු හරය නිර්වචනය කිරීමට කාලයයි.

වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, සමහර සාමාන්‍ය භාග සමූහයක පොදු හරය මෙම භාගවල සියලුම හරයන් මගින් බෙදිය හැකි ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවක් වේ.

මුල් භාග කුලකයේ සියලුම හරවල පොදු ගුණාකාර අනන්ත සංඛ්‍යාවක් ඇති බැවින් මෙම භාග සමූහයට අනන්ත බොහෝ පොදු හරයන් ඇති බව ප්‍රකාශිත නිර්වචනයෙන් එය අනුගමනය කරයි.

භාගවල පොදු හරය නිර්ණය කිරීම මඟින් දී ඇති භාගවල පොදු හරයන් සොයා ගැනීමට ඔබට ඉඩ සලසයි. උදාහරණයක් ලෙස, භාග 1/4 සහ 5/6 ලබා දුන්නොත්, ඒවායේ හරයන් පිළිවෙලින් 4 සහ 6 වේ. 4 සහ 6 හි ධන පොදු ගුණාකාර වන්නේ අංක 12, 24, 36, 48, ... මෙම ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් 1/4 සහ 5/6 භාගවල පොදු හරයයි.

ද්රව්යය ඒකාබද්ධ කිරීම සඳහා, පහත උදාහරණයේ විසඳුම සලකා බලන්න.

උදාහරණයක්.

2/3, 23/6 සහ 7/12 යන කොටස් 150 ක පොදු හරයකට අඩු කළ හැකිද?

විසඳුමක්.

මෙම ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු සැපයීම සඳහා, අංක 150 යනු 3, 6 සහ 12 යන හරවල පොදු ගුණාකාරයක් දැයි සොයා බැලිය යුතුය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, මෙම එක් එක් සංඛ්‍යා මගින් 150 ඒකාකාරව බෙදිය හැකි දැයි පරීක්ෂා කරන්න (අවශ්‍ය නම්, ස්වාභාවික සංඛ්‍යා බෙදීමේ නීති සහ උදාහරණ මෙන්ම ඉතිරියක් සහිත ස්වාභාවික සංඛ්‍යා බෙදීමේ නීති සහ උදාහරණ බලන්න): 150:3 =50 , 150:6=25 , 150: 12=12 (විවේකය. 6) .

ඒ නිසා, 150 12න් බෙදිය නොහැක, එබැවින් 150 යනු 3, 6 සහ 12 හි පොදු ගුණාකාරයක් නොවේ. එබැවින්, අංක 150 මුල් භාගයේ පොදු හරයක් විය නොහැක.

පිළිතුර:

එය තහනම්ය.

අඩුම පොදු හරය, එය සොයා ගන්නේ කෙසේද?

මෙම භාගවල පොදු හරයන් වන සංඛ්‍යා සමූහයේ, කුඩාම ස්වාභාවික සංඛ්‍යාව ඇත, එය අවම පොදු හරය ලෙස හැඳින්වේ. මෙම භාගවල අවම පොදු හරයේ නිර්වචනය අපි සකස් කරමු.

අර්ථ දැක්වීම.

අඩුම පොදු හරය- මෙය කුඩාම සංඛ්යාව, ලබා දී ඇති භාගවල සියලුම පොදු හරයන්.

අවම වශයෙන් පොදු බෙදුම්කරු සොයා ගන්නේ කෙසේද යන ප්රශ්නය සමඟ කටයුතු කිරීමට ඉතිරිව ඇත.

ලබා දී ඇති සංඛ්‍යා සමූහයක අවම ධනාත්මක පොදු බෙදුම්කරු වන බැවින්, මෙම භාගවල හරවල LCM මෙම භාගවල අවම පොදු හරය වේ.

මේ අනුව, භාගවල අවම පොදු හරය සොයා ගැනීම මෙම භාගවල හරයන් දක්වා අඩු වේ. උදාහරණ විසඳුමක් දෙස බලමු.

උදාහරණයක්.

3/10 සහ 277/28 හි අවම පොදු හරය සොයන්න.

විසඳුමක්.

මෙම භාගවල හරයන් 10 සහ 28 වේ. අපේක්ෂිත අවම පොදු හරය 10 සහ 28 අංකවල LCM ලෙස දක්නට ලැබේ. අපගේ නඩුවේදී, එය පහසු ය: 10=2 5 සහ 28=2 2 7 සිට, පසුව LCM(15, 28)=2 2 5 7=140 .

පිළිතුර:

140 .

භාග පොදු හරයකට ගෙන එන්නේ කෙසේද? රීතිය, උදාහරණ, විසඳුම්

සාමාන්‍ය භාග සාමාන්‍යයෙන් අඩුම පොදු හරයට යොමු කරයි. දැන් අපි භාග අඩුම පොදු හරයට අඩු කරන්නේ කෙසේද යන්න පැහැදිලි කරන රීතියක් ලියන්නෙමු.

භාග අඩුම පොදු හරයට අඩු කිරීමේ රීතියපියවර තුනකින් සමන්විත වේ:

• පළමුව, භාගවල අවම පොදු හරය සොයා ගන්න.
• දෙවනුව, එක් එක් කොටස සඳහා අතිරේක සාධකයක් ගණනය කරනු ලැබේ, ඒ සඳහා අඩුම පොදු හරය එක් එක් කොටසෙහි හරයෙන් බෙදනු ලැබේ.
• තෙවනුව, එක් එක් කොටසෙහි සංඛ්යාංකය සහ හරය එහි අතිරේක සාධකය මගින් ගුණ කරනු ලැබේ.

පහත උදාහරණයේ විසඳුම සඳහා ප්‍රකාශිත රීතිය යොදමු.

උදාහරණයක්.

භාග 5/14 සහ 7/18 අඩුම පොදු හරයට අඩු කරන්න.

විසඳුමක්.

භාග කුඩාම පොදු හරයට අඩු කිරීම සඳහා ඇල්ගොරිතමයේ සියලුම පියවරයන් සිදු කරමු.

පළමුව, අපි 14 සහ 18 අංකවල අවම පොදු ගුණාකාරයට සමාන අවම පොදු හරය සොයා ගනිමු. 14=2 7 සහ 18=2 3 3 සිට, පසුව LCM(14, 18)=2 3 3 7=126 .

දැන් අපි අතිරේක සාධක ගණනය කරන්නේ 5/14 සහ 7/18 යන කොටස් හරය 126 දක්වා අඩු කරන ආධාරයෙන් ය. 5/14 කොටස සඳහා අතිරේක සාධකය 126:14=9 වන අතර 7/18 කොටස සඳහා අතිරේක සාධකය 126:18=7 වේ.

5/14 සහ 7/18 භාගවල සංඛ්‍යා සහ හරයන් පිළිවෙලින් 9 සහ 7 හි අතිරේක සාධක මගින් ගුණ කිරීමට ඉතිරිව ඇත. අප සතුව සහ .

එබැවින්, භාග 5/14 සහ 7/18 කුඩාම පොදු හරයට අඩු කිරීම සම්පූර්ණ කර ඇත. එහි ප්‍රතිඵලය වූයේ 45/126 සහ 49/126 භාගයි.

සමඟ වීජීය භාග එකතු කරන විට සහ අඩු කරන විට විවිධ හරයන්පළමුව, කොටස් වලට තුඩු දෙයි පොදු හරය. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඔවුන් මෙම ප්‍රකාශනයේ කොටසක් වන එක් එක් වීජීය භාගයේ මුල් හරයෙන් බෙදනු ලබන එවැනි තනි හරයක් සොයා ගන්නා බවයි.

ඔබ දන්නා පරිදි, භාගයක සංඛ්‍යාංකය සහ හරය ශුන්‍යය හැර වෙනත් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කළහොත් (හෝ බෙදුවහොත්), එවිට භාගයේ අගය වෙනස් නොවේ. කොටසක ප්‍රධාන දේපල මෙයයි. එබැවින්, භාග පොදු හරයකට තුඩු දෙන විට, ඇත්ත වශයෙන්ම, එක් එක් භාගයේ මුල් හරය අතුරුදහන් වූ සාධකයෙන් පොදු හරයකට ගුණ කරනු ලැබේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, මෙම සාධකය සහ භාගයේ සංඛ්යාංකය මගින් ගුණ කිරීම අවශ්ය වේ (එය එක් එක් කොටස සඳහා වෙනස් වේ).

උදාහරණයක් ලෙස, පහත වීජීය භාග එකතුව ලබා දී ඇත:

ප්‍රකාශනය සරල කිරීමට අවශ්‍ය වේ, එනම් වීජීය භාග දෙකක් එකතු කරන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පළමුවෙන්ම, පද-භාග පොදු හරයකට අඩු කිරීම අවශ්ය වේ. පළමු පියවර වන්නේ 3x සහ 2y යන දෙකින්ම බෙදිය හැකි ඒකමතිකයක් සොයා ගැනීමයි. මෙම අවස්ථාවේදී, එය කුඩාම වීම යෝග්‍ය වේ, එනම් 3x සහ 2y සඳහා අවම පොදු ගුණාකාර (LCM) සොයා ගැනීමයි.

සංඛ්‍යාත්මක සංගුණක සහ විචල්‍ය සඳහා, LCM වෙන වෙනම සොයනු ලැබේ. LCM(3, 2) = 6 සහ LCM(x, y) = xy. තවද, සොයාගත් අගයන් ගුණ කරනු ලැබේ: 6xy.

දැන් අපි 6xy ලබා ගැනීමට 3x ගුණ කළ යුතු සාධකය තීරණය කළ යුතුය:
6xy ÷ 3x = 2y

මෙයින් අදහස් කරන්නේ පළමු වීජීය භාගය පොදු හරයකට අඩු කිරීමේදී එහි සංඛ්‍යාව 2y කින් ගුණ කළ යුතු බවයි (සාමාන්‍ය හරය දක්වා අඩු කළ විට හරය දැනටමත් ගුණ කර ඇත). දෙවන භාගයේ සංඛ්‍යාංකය සඳහා සාධකය ද ඒ හා සමානව සොයනු ලැබේ. එය 3x ට සමාන වනු ඇත.

මේ අනුව, අපට ලැබෙන්නේ:

තවද, එකම හරයන් සහිත භාග සමඟ ක්‍රියා කිරීමට දැනටමත් හැකි ය: සංඛ්‍යා එකතු කර ඇති අතර, එක් පොදු එකක් හරයේ ලියා ඇත:

පරිවර්තනයෙන් පසුව, සරල කළ ප්රකාශනයක් ලබා ගනී, එය එකකි වීජීය භාගය, එය මුල් දෙකක එකතුවකි:

මුල් ප්‍රකාශනයේ වීජීය භාගවල ඒකපදවලට වඩා බහුපද වන හරයන් අඩංගු විය හැක (ඉහත උදාහරණයේ මෙන්). මෙම අවස්ථාවේදී, පොදු හරයක් සොයා ගැනීමට පෙර, හරයන් (හැකි නම්) සාධකය කරන්න. තවද, පොදු හරය විවිධ සාධක වලින් එකතු කරනු ලැබේ. සාධකය ආරම්භක හරයන් කිහිපයක තිබේ නම්, එය එක් වරක් ගනු ලැබේ. සාධකයට මුල් හරවල විවිධ අංශක තිබේ නම්, එය විශාල එකක් සමඟ ගනු ලැබේ. උදාහරණ වශයෙන්:

මෙහි බහුපද a 2 - b 2 නිෂ්පාදනයක් (a - b)(a + b) ලෙස නිරූපණය කළ හැක. 2a - 2b සාධකය 2 (a - b) ලෙස පුළුල් වේ. මේ අනුව, පොදු හරය 2(a - b)(a + b) ට සමාන වේ.