සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණ. සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණය

විශ්වවිද්‍යාල සිසුන් බොහෝ විට තොරතුරු සොයයි හි සමීකරණයකට විසඳුමක් සොයා ගන්නේ කෙසේද සම්පූර්ණ අවකලනය?". මෙම පාඩමෙන් ඔබට ලැබෙනු ඇත සම්පූර්ණ උපදෙස්ප්ලස් එකක් පිරිවැටුම් විසඳුම්. මුලින්ම කෙටි හැඳින්වීමක් - සම්පූර්ණ අවකල සමීකරණයක් යනු කුමක්ද? සම්පූර්ණ අවකලනය සඳහා සමීකරණයට විසඳුමක් සොයා ගන්නේ කෙසේද?
වැඩිදුර විශ්ලේෂණය සූදානම් උදාහරණ, ඉන් පසුව ඔබට මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ ප්‍රශ්න කිසිවක් නොතිබිය හැකිය.

සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණය

අර්ථ දැක්වීම 1. M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 ආකාරයේ සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ. සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණය, සමාන ලකුණට පෙර යැපීම නම් විචල්‍ය දෙකක යම් ශ්‍රිතයක සම්පූර්ණ අවකලනය u(x,y) , එනම් සාධාරණ සූත්‍රය
du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dx. (එක)
මේ අනුව, අන්තර්ගතය අනුව මුල් සමීකරණය යනු ශ්‍රිතයේ සම්පූර්ණ අවකලනය ශුන්‍යයට සමාන වේ
du(x,y)=0 .
අපට ලැබෙන අවකලනය ඒකාබද්ධ කිරීම පොදු අනුකලනයආකෘතියේ DU
u(x,y)=C. (2)
ගණනය කිරීම් වලදී, රීතියක් ලෙස, නියතය ශුන්යයට සමාන වේ.
ගණනය කිරීම් වලට පෙර සෑම විටම ප්රශ්නයක් තිබේ "දී ඇති DE සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණයක් දැයි පරීක්ෂා කරන්නේ කෙසේද?"
මෙම ප්‍රශ්නයට පහත කොන්දේසිය මගින් පිළිතුරු ලැබේ.

සම්පූර්ණ අවකලනය සඳහා අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් කොන්දේසිය

සම්පූර්ණ අවකලනය සඳහා අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් කොන්දේසියකිඅර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් අතර සමානාත්මතාවය
(3)
තීරණය කරන විට අවකල සමීකරණඅපට සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණයක් තිබේද නැතහොත් වෙනත් එකක් කළ හැකිද යන්න හඳුනා ගැනීම සඳහා එය මුලින්ම පරීක්ෂා කරනු ලැබේ.
අන්තර්ගතය අනුව, මෙම කොන්දේසිය යනු ශ්රිතයේ මිශ්ර ව්යුත්පන්නයන් එකිනෙකට සමාන වේ.
සූත්‍රවල, පරායත්තතා සැලකිල්ලට ගනිමින්
(4)
අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් තත්ත්වයසම්පූර්ණ අවකලනයක පැවැත්මඅපට ආකෘතියෙන් ලිවිය හැකිය

සම්පූර්ණ අවකලනයට අනුකූල වීම සඳහා සමීකරණය පරීක්ෂා කිරීමේදී ලබා දී ඇති නිර්ණායකය භාවිතා වේ, නමුත් මෙම මාතෘකාව අධ්‍යයනය කරන විට, ගුරුවරුන් ඔබෙන් වෙනත් ආකාරයේ සමීකරණයක් අසන්නේ නැත.

සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණයක් විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම

ශ්‍රිතයේ සම්පූර්ණ අවකලනයේ ආංශික ව්‍යුත්පන්නවල අංකනය (4) අනුව, අනුකලනය කිරීමෙන් අපට u(x,y) සොයාගත හැකිය.

මෙම සූත්‍ර ගණනය කිරීම් වලදී තේරීමක් ලබා දෙයි, එබැවින්, ඒකාබද්ධ කිරීම සඳහා, යමෙක් අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයක් තෝරා ගනී, එහි අනුකලනය ප්‍රායෝගිකව සොයා ගැනීම පහසුය.
තව දුරටත් දෙවැනි වැදගත් කරුණක් - අවිනිශ්චිත අනුකලනයමූලාකෘතියකිඑනම් "+ C" අර්ථ දැක්විය යුතුය.
එබැවින්, අපි "x" සම්බන්ධයෙන් M (x, y) අර්ධ ව්‍යුත්පන්නය අනුකලනය කරන්නේ නම්, වානේ y මත රඳා පවතී සහ අනෙක් අතට - අපි y ට සාපේක්ෂව N ​​(x, y) අනුකලනය කරන්නේ නම්, වානේ රඳා පවතින්නේ "x".
තවද, නියතය තීරණය කිරීම සඳහා, u(x, y) හි ව්‍යුත්පන්නය අනුකලනය සිදු කරන ලද විචල්‍යයට වඩා වෙනත් විචල්‍යයක් සම්බන්ධයෙන් ගනු ලබන අතර දෙවන අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයට සමාන වේ.
සූත්‍රවල එය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත

රීතියක් ලෙස, සමහර නියමයන් සරල කර ඇති අතර නියතයක ව්‍යුත්පන්නය සඳහා අපි සමීකරණයක් ලබා ගනිමු. පළමු සමීකරණ සඳහා, අපි ලබා ගනිමු

අවසාන වශයෙන්, නියතය නිර්ණය කිරීමෙන් පසු පොදු අනුකලනයට ආකෘතිය ඇත

සමමිතික ආකාරයෙන්, අපට තවත් සමීකරණයක් සඳහා පිළිතුර ලැබේ.
පටිගත කිරීම සංකීර්ණ බව පෙනේ, ඇත්ත වශයෙන්ම, ප්‍රායෝගිකව සෑම දෙයක්ම වඩා සරල හා පැහැදිලි ලෙස පෙනේ. සම්පූර්ණ අවකලනය සඳහා පහත ගැටළු විශ්ලේෂණය කරන්න.

සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණයට සූදානම් පිළිතුරු

උදාහරණ 1

විසඳුම: සමීකරණයේ වම් පැත්තයි සම්පූර්ණ අවකලනයයම් කාර්යයක්, තත්වයේ සිට

මෙතැන් සිට විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක අර්ධ ව්‍යුත්පන්නය ලියන්න"x" වෙතින්

සහ අනුකලනය මගින් අපි එහි ආකෘතිය සොයා ගනිමු

නියතයක් නිර්වචනය කිරීමට සම්බන්ධයෙන් ශ්‍රිතයක අර්ධ ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න"y" සහ සමීකරණයේ අගය සමඟ සම කරන්න

අපි දකුණු සහ වම් පැතිවල සමාන පද අවලංගු කරන්නෙමු, ඉන් පසුව අපි අනුකලනය කිරීමෙන් නියතය සොයා ගනිමු

දැන් අපිට ලියන්න අවශ්‍ය ප්‍රමාණයන් ඔක්කොම තියෙනවා අවකල සමීකරණයක පොදු විසඳුමපරිදි

ඔබට සහතික විය හැක්කේ කෙසේද සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණ විසඳීම සඳහා යෝජනා ක්රමයඑය අපහසු නොවන අතර සෑම කෙනෙකුටම එය ඉගෙන ගත හැකිය. අවකලනයන්හි සාධක වැදගත් වන්නේ විසඳුම සොයා ගැනීම සඳහා ඒවා ඒකාබද්ධ කිරීම හා වෙනස් කිරීම සිදු කළ යුතු බැවිනි.

උදාහරණ 2. (6.18) අවකල සමීකරණයක අනුකලනය සොයන්න

විසඳුම: න්යායාත්මකව වම් පැත්තසමීකරණයේ u(x,y) විචල්‍ය දෙකක යම් ශ්‍රිතයක සම්පූර්ණ අවකලනය විය යුතුය, කොන්දේසිය තෘප්තිමත්ද යන්න පරීක්ෂා කරයි

මෙතැන් සිට අපි අර්ධ ව්‍යුත්පන්නය ගන්නා අතර අනුකලනය හරහා අපි ශ්‍රිතය සොයා ගනිමු

අපි විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක අර්ධ ව්‍යුත්පන්නය ගණනය කරමු y සහ අවකල සමීකරණයේ දකුණු පැත්තට සමාන කරන්න.

ව්යුත්පන්නය යැපීම ලෙස ප්රකාශිත වේ

නියතය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි පෝරමයේ ලබා ගත්තා

මෙම ගණනය මත මෙම උදාහරණයසම්පූර්ණ කර ඇත.

උදාහරණය 3 (6.20)අවකල සමීකරණය විසඳන්න

විසඳුම: සමීකරණයේ වම් පැත්ත කොන්දේසිය නම් u(x; y) විචල්‍ය දෙකක යම් ශ්‍රිතයක සම්පූර්ණ අවකලනය වනු ඇත.

මෙතැන් සිට අපි සමීකරණ විසඳීමට පටන් ගනිමු, නැතහොත් ඒ වෙනුවට, එක් අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයක් ඒකාබද්ධ කිරීම

මීළඟට, අපි y විචල්‍යයට අදාළව ලැබෙන ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නය සොයාගෙන එය අවකල පරායත්තයේ දකුණු පැත්තට සමාන කරමු.

y හි ශ්රිතයක් ලෙස නියතය සොයා ගැනීමට මෙය ඔබට ඉඩ සලසයි. අපි සමඟ අවකල යැපීම හෙළි කිරීමට පටන් ගන්නේ නම් දකුණු පැත්ත, එවිට නියතය x මත රඳා පවතින බව අපට ලැබේ. වෙනස් නොවන අතර දී ඇති සමීකරණය සඳහා ආකෘතිය ඇත

මෙම උදාහරණය විසඳා ඇත. අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුමඅපට සූත්‍රය ලිවිය හැකිය

මාතෘකාව තහවුරු කිරීම සඳහා, කරුණාකර මෙම සමීකරණ සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණ බව ස්වාධීනව පරීක්ෂා කර ඒවා විසඳන්න:
මෙහිදී ඔබට මූල ශ්‍රිත, ත්‍රිකෝණමිතික, ඝාතක, ලඝුගණක, වචනයෙන් - මොඩියුල සහ විභාග වලදී ඔබෙන් බලාපොරොත්තු විය හැකි සියල්ල ඇත.
ඊට පසු, මෙම ආකාරයේ සමීකරණය විසඳීමට ඔබට වඩාත් පහසු වනු ඇත.
ඊළඟ ලිපියෙන් ඔබ පෝරමයේ සමීකරණ සමඟ දැන හඳුනා ගනු ඇත
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0
සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණයට ප්‍රමාණවත් තරම් සමාන වන නමුත් ඒවා අර්ධ ව්‍යුත්පන්නවල සමානාත්මතාවයේ කොන්දේසිය තෘප්තිමත් නොකරයි. ඒවා ගණනය කරනු ලබන්නේ අනුකලනය කිරීමේ සාධකයක් සෙවීමෙන්, ලබා දී ඇති සමීකරණය සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණයක් බවට පත් කිරීමෙන් ගුණ කිරීමෙනි.

පෝරමයේ අවකල සමීකරණවල වම් කොටස් සමහර විට සමහර ශ්‍රිතවල සම්පූර්ණ අවකලනය වේ. ශ්‍රිතයක් එහි සම්පූර්ණ අවකලයෙන් ප්‍රතිනිර්මාණය කරන්නේ නම්, අවකල සමීකරණයේ සාමාන්‍ය අනුකලනය සොයා ගනු ඇත. මෙම ලිපියෙන් අපි ශ්‍රිතයක් එහි සම්පූර්ණ අවකලනය ප්‍රතිසාධනය කිරීමේ ක්‍රමයක් විස්තර කරමු. න්යායික ද්රව්යසමඟ උදාහරණ සහ කාර්යයන් සපයන්න විස්තරාත්මක සටහනවිසඳුම්.

අවකල සමීකරණයේ වම් පැත්ත යනු කොන්දේසිය තෘප්තිමත් නම් U(x, y) = 0 යම් ශ්‍රිතයක සම්පූර්ණ අවකලනය වේ.

ශ්‍රිතයේ සම්පූර්ණ අවකලනය U(x, y) = 0 වන බැවින් , එවිට, කොන්දේසිය තෘප්තිමත් නම්, අපට එය තහවුරු කළ හැකිය . ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, .

අපට ඇති පද්ධතියේ පළමු සමීකරණයෙන් . පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණය භාවිතයෙන් කාර්යය සොයාගත හැකිය:

මෙය U(x, y) = 0 යන අපේක්ෂිත ශ්‍රිතය සොයාගනු ඇත.

උදාහරණයක් සලකා බලන්න.

උදාහරණයක්.

සොයන්න පොදු තීරණයඅවකල සමීකරණය .

විසඳුමක්.

මෙම උදාහරණයේ දී. නිසා කොන්දේසිය සපුරා ඇත

එබැවින්, මුල් අවකල සමීකරණයේ වම් පැත්ත යනු U(x, y) = 0 ශ්‍රිතයක සම්පූර්ණ අවකලනය වේ. අපගේ කාර්යය වන්නේ මෙම කාර්යය සොයා ගැනීමයි.

නිසා U(x, y) = 0 ශ්‍රිතයේ සම්පූර්ණ අවකලනය වේ . අපි පද්ධතියේ පළමු සමීකරණය x හා සම්බන්ධව අනුකලනය කර y සම්බන්ධයෙන් ලබාගත් ප්‍රතිඵලය වෙන් කරමු. . අනෙක් අතට, අපට ඇති පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණයෙන් . ප්රතිඵලයක් වශයෙන්,

මෙහි C යනු අත්තනෝමතික නියතයකි.

මේ ක්රමයෙන්, සහ මුල් සමීකරණයේ පොදු අනුකලනය වේ .

ශ්‍රිතයක් එහි සම්පූර්ණ අවකලනය මගින් සොයා ගැනීමට තවත් ක්‍රමයක් ඇත. එය ගැනීමෙන් සමන්විත වේ curvilinear අනුකලනයස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයක සිට (x 0 , y 0) විචල්‍ය ඛණ්ඩාංක සහිත ලක්ෂ්‍යයක් දක්වා (x, y) : . මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අනුකලනයේ අගය අනුකලනය කිරීමේ මාර්ගය මත රඳා නොපවතී. ඛණ්ඩාංක අක්ෂවලට සමාන්තර සම්බන්ධතා ඇති කැඩුණු රේඛාවක් ඒකාබද්ධ කිරීමේ මාර්ගයක් ලෙස ගැනීම පහසුය.

අපි උදාහරණයක් බලමු.

උදාහරණයක්.

අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයන්න .

විසඳුමක්.

අපි තත්ත්වය පරීක්ෂා කරමු:

මේ අනුව, අවකල සමීකරණයේ වම් පැත්ත යනු U(x, y) = 0 ශ්‍රිතයක සම්පූර්ණ අවකලනයයි. ගණනය කිරීමෙන් මෙම කාර්යය සොයා ගනිමු curvilinear අනුකලනයලක්ෂ්‍යය (1; 1) සිට (x, y) දක්වා . අපි ඒකාබද්ධ කිරීමේ මාර්ගයක් ලෙස බහු රේඛාවක් ගනිමු: අපි (1, 1) ලක්ෂ්‍යයේ සිට (x, 1) දක්වා y = 1 සරල රේඛාව ඔස්සේ බහු රේඛාවේ පළමු කොටස පසුකර මාර්ගයේ දෙවන කොටස ලබා ගනිමු. ලක්ෂ්යය (x, 1) සිට (x, y) .

අර්ථ දැක්වීම 8.4.පෝරමයේ අවකල සමීකරණය

කොහෙද
සම්පූර්ණ අවකල සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ.

එවැනි සමීකරණයක වම් පැත්ත යම් ශ්‍රිතයක සම්පූර්ණ අවකලනය බව සලකන්න
.

සාමාන්‍ය අවස්ථාවෙහි, සමීකරණය (8.4) ලෙස නිරූපණය කළ හැක

සමීකරණය (8.5) වෙනුවට කෙනෙකුට සමීකරණය සලකා බැලිය හැකිය

,

එහි විසඳුම සමීකරණයේ පොදු අනුකලනය (8.4) වේ. මේ අනුව, සමීකරණය (8.4) විසඳීම සඳහා ශ්රිතය සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ
. සමීකරණයේ නිර්වචනය (8.4) අනුව, අපට ඇත

(8.6)

කාර්යය
මෙම කොන්දේසි වලින් එකක් (8.6) තෘප්තිමත් කරන කාර්යයක් ලෙස අපි සොයන්නෙමු:

කොහෙද ස්වාධීන අත්තනෝමතික කාර්යයකි .

කාර්යය
ප්‍රකාශනයේ දෙවන කොන්දේසිය (8.6) තෘප්තිමත් වන පරිදි අර්ථ දක්වා ඇත

(8.7)

ප්රකාශනය (8.7) සිට ශ්රිතය තීරණය වේ
. සඳහා ප්‍රකාශනයට එය ආදේශ කිරීම
සහ මුල් සමීකරණයේ පොදු අනුකලනය ලබා ගන්න.

ගැටළුව 8.3.සමීකරණය ඒකාබද්ධ කරන්න

මෙතන
.

එබැවින් මෙම සමීකරණය සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි අවකල සමීකරණ වර්ගයට අයත් වේ. කාර්යය
අපි පෝරමයේ සොයන්නෙමු

.

අනිත් අතට,

.

සමහර අවස්ථාවලදී, තත්වය
ඉටු නොකළ හැකිය.

එවිට එවැනි සමීකරණ ඊනියා ඒකාබද්ධ කිරීමේ සාධකය මගින් ගුණ කිරීමෙන් සලකා බලනු ලබන වර්ගයට අඩු කරනු ලැබේ. සාමාන්ය නඩුව, කාර්යයක් පමණි හෝ .

යම් සමීකරණයක් මත පමණක් රඳා පවතින අනුකලිත සාධකයක් තිබේ නම් , එවිට එය සූත්රය මගින් තීරණය වේ

කොහෙද අනුපාතය කාර්යයක් පමණක් විය යුතුය .

ඒ හා සමානව, අනුකලිත සාධකයක් මත පමණක් රඳා පවතී , සූත්රය මගින් තීරණය කරනු ලැබේ

කොහෙද අනුපාතය
කාර්යයක් පමණක් විය යුතුය .

ඉහත අනුපාතවල නොමැති වීම, පළමු අවස්ථාවේ දී, විචල්‍යයේ , සහ දෙවන - විචල්යයක් , දී ඇති සමීකරණයක් සඳහා අනුකලනය කිරීමේ සාධකයක පැවැත්මේ සලකුණකි.

ගැටළුව 8.4.මෙම සමීකරණය සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණයකට ගෙන එන්න.

.

සම්බන්ධතාවය සලකා බලන්න:

.

මාතෘකාව 8.2. රේඛීය අවකල සමීකරණ

අර්ථ දැක්වීම 8.5. අවකල සමීකරණය
එය අපේක්ෂිත ශ්‍රිතයට සාපේක්ෂව රේඛීය නම් රේඛීය ලෙස හැඳින්වේ , එහි ව්යුත්පන්නය සහ අපේක්ෂිත ශ්රිතයේ නිෂ්පාදිතය සහ එහි ව්යුත්පන්නය අඩංගු නොවේ.

රේඛීය අවකල සමීකරණයක සාමාන්‍ය ස්වරූපය පහත සම්බන්ධතාව මගින් නිරූපණය කෙරේ:

(8.8)

සම්බන්ධව නම් (8.8) දකුණු පැත්ත
, එවිට එවැනි සමීකරණයක් රේඛීය සමජාතීය ලෙස හැඳින්වේ. දකුණු පැත්තේ ඇති අවස්ථාවක
, එවිට එවැනි සමීකරණයක් රේඛීය අසමාන ලෙස හැඳින්වේ.

සමීකරණය (8.8) චතුරස්රයන් තුළ ඒකාබද්ධ කළ හැකි බව අපි පෙන්වමු.

පළමු අදියරේදී අපි රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක් සලකා බලමු.

එවැනි සමීකරණයක් වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සහිත සමීකරණයකි. ඇත්තටම,

;

/

අවසාන සම්බන්ධතාවය රේඛීය පොදු විසඳුම තීරණය කරයි සමජාතීය සමීකරණය.

රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයකට පොදු විසඳුමක් සෙවීම සඳහා නියතයක ව්‍යුත්පන්නයේ විචලනය කිරීමේ ක්‍රමය භාවිතා කරයි. ක්‍රමයේ අදහස නම්, රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ විසඳුමට සමාන ස්වරූපයෙන්, කෙසේ වෙතත්, අත්තනෝමතික නියතයකි යම් කාර්යයක් මගින් ප්රතිස්ථාපනය විය
තීරණය කළ යුතු ය. එබැවින් අපට ඇත්තේ:

(8.9)

සම්බන්ධයට ආදේශ කිරීම (8.8) අනුරූපී ප්රකාශන
හා
, අපිට ලැබෙනවා

අවසාන ප්‍රකාශය සම්බන්ධය (8.9) වෙත ආදේශ කිරීම, රේඛීය අසමජාතීය සමීකරණයක සාමාන්‍ය අනුකලනය ලබා ගනී.

මේ අනුව, රේඛීය සමජාතීය නොවන සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම චතුරස්රා දෙකකින් තීරණය වේ: රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම සහ රේඛීය සමජාතීය නොවන සමීකරණයක විශේෂ විසඳුමක්.

ගැටළුව 8.5.සමීකරණය ඒකාබද්ධ කරන්න

මේ අනුව, මුල් සමීකරණය රේඛීය අසමජාතීය අවකල සමීකරණ වර්ගයට අයත් වේ.

පළමු අදියරේදී, අපි රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයා ගනිමු.

;

දෙවන අදියරේදී, ස්වරූපයෙන් සොයන රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම අපි තීරණය කරමු.

,

කොහෙද
නිර්වචනය කළ යුතු කාර්යය වේ.

එබැවින් අපට ඇත්තේ:

සඳහා අනුපාත ආදේශ කිරීම හා අපි ලබා ගන්නා මුල් රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයට:

;

;

.

රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:

.

සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි පළමු අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණය පෝරමයේ සමීකරණයකි:
(1) ,
මෙහි සමීකරණයේ වම් පැත්ත යනු U ශ්‍රිතයේ සම්පූර්ණ අවකලනය වේ (x, y) x, y විචල්‍ය මත:
.
එහිදී .

එවැනි කාර්යයක් නම් යූ (x, y), එවිට සමීකරණය පෝරමය ගනී:
dU (x, y) = 0.
එහි පොදු අනුකලනය:
යූ (x, y) = C,
C යනු නියතයකි.

පළමු අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණය ව්‍යුත්පන්නය අනුව ලියා ඇත්නම්:
,
එවිට එය පෝරමයට ගෙන ඒම පහසුය (1) . මෙය සිදු කිරීම සඳහා, සමීකරණය dx මගින් ගුණ කරන්න. ඉන්පසු . එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, අවකලනය අනුව ප්‍රකාශිත සමීකරණයක් අපට ලැබේ:
(1) .

සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි අවකල සමීකරණයක ගුණය

සමීකරණය සඳහා (1) සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණයක් වන අතර, පහත සම්බන්ධය තෘප්තිමත් වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ:
(2) .

සාක්ෂි

තවද, සාධනයෙහි භාවිතා කරන සියලුම ශ්‍රිතයන් අර්ථ දක්වා ඇති අතර x සහ y හි යම් පරාසයක අනුරූප ව්‍යුත්පන්නයන් ඇති බව අපි උපකල්පනය කරමු. ලක්ෂ්යය x 0, y0මෙම ප්‍රදේශයටද අයත් වේ.

කොන්දේසියේ අවශ්‍යතාවය ඔප්පු කරමු (2).
සමීකරණයේ වම් පැත්තට ඉඩ දෙන්න (1) U යම් ශ්‍රිතයක අවකලනය වේ (x, y):
.
ඉන්පසු
;
.
දෙවන ව්‍යුත්පන්නය අවකලනය අනුපිළිවෙල මත රඳා නොපවතින බැවින්, එසේ නම්
;
.
එබැවින් එය පහත දැක්වේ. අවශ්‍යතා තත්ත්වය (2) ඔප්පු කර ඇත.

කොන්දේසියේ ප්‍රමාණවත් බව අපි ඔප්පු කරමු (2).
කොන්දේසියට ඉඩ දෙන්න (2) :
(2) .
එවැනි ශ්රිතයක් U සොයා ගත හැකි බව අපි පෙන්වමු (x, y)එහි අවකලනය වන්නේ:
.
මෙයින් අදහස් කරන්නේ U වැනි ශ්රිතයක් පවතින බවයි (x, y), සමීකරණ තෘප්තිමත් කරයි:
(3) ;
(4) .
අපි එවැනි කාර්යයක් සොයා ගනිමු. අපි සමීකරණය ඒකාබද්ධ කරමු (3) x මගින් x වෙතින් 0 x වෙත, y නියතයක් යැයි උපකල්පනය කරයි:
;
;
(5) .
x නියතයක් යැයි උපකල්පනය කර y ට සාපේක්ෂව වෙනස් කරන්න (2) :

.
සමීකරණය (4) නම් ක්රියාත්මක කරනු ඇත
.
y සිට y මත ඒකාබද්ධ කිරීම 0 y වෙත:
;
;
.
ආදේශ කරන්න (5) :
(6) .
එබැවින් අවකලනය වන ශ්‍රිතයක් අපට හමු වී ඇත
.
ප්රමාණවත් බව ඔප්පු වී ඇත.

සූත්‍රයේ (6) , යූ (x0, y0)නියතයකි - U ශ්‍රිතයේ අගය (x, y) x ලක්ෂයේ 0, y0. එය ඕනෑම අගයක් නියම කළ හැකිය.

සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි අවකල සමීකරණයක් හඳුනා ගන්නේ කෙසේද?

අවකල සමීකරණය සලකා බලන්න:
(1) .
මෙම සමීකරණය සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි තිබේද යන්න තීරණය කිරීම සඳහා, ඔබ තත්ත්වය පරීක්ෂා කළ යුතුය (2) :
(2) .
එය පවතින්නේ නම්, මෙය සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණයකි. එසේ නොවේ නම්, මෙය සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණයක් නොවේ.

උදාහරණයක්

සමීකරණය සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි තිබේදැයි පරීක්ෂා කරන්න:
.

විසඳුමක්

මෙතන
, .
x නියත යැයි උපකල්පනය කරමින් y ට සාපේක්ෂව වෙනස් කරන්න:


.
වෙනස් කිරීම


.
මන්ද:
,
එවිට ලබා දී ඇති සමීකරණය- සම්පූර්ණ අවකලනය තුළ.

සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි අවකල සමීකරණ විසඳීමේ ක්‍රම

අනුක්‍රමික අවකල නිස්සාරණ ක්‍රමය

බොහෝ සරල ක්රමයසම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණය විසඳීම යනු අවකලනය අනුක්‍රමිකව නිස්සාරණය කිරීමේ ක්‍රමයයි. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි අවකල ආකාරයෙන් ලියා ඇති අවකලනය සූත්ර භාවිතා කරමු:
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
මෙම සූත්‍රවල, u සහ v යනු ඕනෑම විචල්‍ය සංයෝගයකින් සෑදුණු අත්තනෝමතික ප්‍රකාශන වේ.

උදාහරණ 1

සමීකරණය විසඳන්න:
.

විසඳුමක්

මෙම සමීකරණය සම්පූර්ණ අවකලනයක පවතින බව අපි කලින් සොයා ගත්තෙමු. අපි එය පරිවර්තනය කරමු:
(P1) .
අවකලනය අනුක්‍රමිකව උද්දීපනය කිරීමෙන් අපි සමීකරණය විසඳන්නෙමු.
;
;
;
;

.
ආදේශ කරන්න (P1):
;
.

පිළිතුර

අනුක්‍රමික ඒකාබද්ධ කිරීමේ ක්‍රමය

මෙම ක්‍රමයේදී අපි U ශ්‍රිතය සොයන්නෙමු (x, y), සමීකරණ තෘප්තිමත් කිරීම:
(3) ;
(4) .

අපි සමීකරණය ඒකාබද්ධ කරමු (3) x හි, y නියත යැයි උපකල්පනය කරයි:
.
මෙන්න φ (y)නිර්වචනය කළ යුතු y හි අත්තනෝමතික ශ්‍රිතයකි. එය ඒකාබද්ධතාවයේ නියතයකි. අපි සමීකරණයට ආදේශ කරමු (4) :
.
මෙතැන් සිට:
.
ඒකාබද්ධ කිරීම, අපි φ සොයා ගනිමු (y)ඒ අනුව යූ (x, y).

උදාහරණ 2

සම්පූර්ණ අවකලනයන්හි සමීකරණය විසඳන්න:
.

විසඳුමක්

මෙම සමීකරණය සම්පූර්ණ අවකලනයක පවතින බව අපි කලින් සොයා ගත්තෙමු. අපි අංකනය හඳුන්වා දෙමු:
, .
U කාර්යය සොයමින් (x, y), එහි අවකලනය සමීකරණයේ වම් පැත්ත වේ:
.
ඉන්පසු:
(3) ;
(4) .
අපි සමීකරණය ඒකාබද්ධ කරමු (3) x හි, y නියත යැයි උපකල්පනය කරයි:
(P2)
.
y සම්බන්ධයෙන් වෙනස් කරන්න:

.
ආදේශ කරන්න (4) :
;
.
අපි ඒකාබද්ධ කරන්නෙමු:
.
ආදේශ කරන්න (P2):

.
සමීකරණයේ පොදු අනුකලනය:
යූ (x, y) = const.
අපි නියත දෙකක් එකකට ඒකාබද්ධ කරමු.

පිළිතුර

වක්රයක් ඔස්සේ ඒකාබද්ධ කිරීමේ ක්රමය

U ශ්‍රිතය සම්බන්ධතාවය මගින් අර්ථ දක්වා ඇත:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන වක්‍රය දිගේ මෙම සමීකරණය අනුකලනය කිරීමෙන් සොයා ගත හැක (x0, y0)හා (x, y):
(7) .
මන්දයත්
(8) ,
එවිට අනුකලනය රඳා පවතින්නේ ආරම්භකයේ ඛණ්ඩාංක මත පමණි (x0, y0)සහ අවසාන (x, y)ලකුණු සහ වක්රයේ හැඩය මත රඳා නොපවතී. සිට (7) හා (8) අපි සොයා ගන්නේ:
(9) .
මෙන්න x 0 සහ වයි 0 - ස්ථිර. එබැවින් යූ (x0, y0)නියත ද වේ.

U හි එවැනි නිර්වචනයක උදාහරණයක් සාධනයෙන් ලබා ගන්නා ලදී:
(6) .
මෙහිදී, ලක්ෂ්‍යයේ සිට y අක්ෂයට සමාන්තරව ඛණ්ඩයක් ඔස්සේ අනුකලනය පළමුව සිදු කෙරේ (x 0, y 0)කාරණය දක්වා (x0, y). එවිට ලක්ෂ්‍යයේ සිට x අක්ෂයට සමාන්තරව ඛණ්ඩයක් ඔස්සේ අනුකලනය සිදු කෙරේ (x0, y)කාරණය දක්වා (x, y) .

වඩාත් සාමාන්‍ය අවස්ථාවකදී, ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන වක්‍රයේ සමීකරණය නිරූපණය කිරීම අවශ්‍ය වේ (x 0, y 0)හා (x, y)පරාමිතික ආකාරයෙන්:
x 1 = s(t1); වයි 1 = r(t1);
x 0 = s(t0); වයි 0 = r(t0);
x = s (ටී); y=r (ටී);
සහ t මත ඒකාබද්ධ කරන්න 1 ටී සිට 0 ටී වෙත.

සරලම අනුකලනය වන්නේ ලක්ෂ්ය සම්බන්ධ කරන කොටස මත ය (x 0, y 0)හා (x, y). මේ අවස්ථාවේ දී:
x 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; වයි 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
ටී 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
ආදේශ කිරීමෙන් පසුව, අපට t හි අනුකලනය ලැබේ 0 කලින් 1 .
මෙම ක්රමයකෙසේ වෙතත්, තරමක් අපහසු ගණනය කිරීම් වලට මග පාදයි.

යොමු:
V.V. ස්ටෙපනොව්, අවකල සමීකරණ පාඨමාලාව, LKI, 2015.