මූලික මූලික ශ්‍රිතවල අවිනිශ්චිත අනුකලනය. මූලික සූත්ර සහ ඒකාබද්ධ කිරීමේ ක්රම

සෑම සිසුවෙක්ම දැනගත යුතු ප්‍රධාන අනුකලනය

ලැයිස්තුගත අනුකලනයන් පදනම, පදනමේ පදනම වේ. මෙම සූත්ර, ඇත්ත වශයෙන්ම, මතක තබා ගත යුතුය. වැඩිපුර ගණනය කරන විට සංකීර්ණ අනුකලනයඔබ ඒවා නිරන්තරයෙන් භාවිතා කළ යුතුය.

ගෙවන්න විශේෂ අවධානය(5), (7), (9), (12), (13), (17) සහ (19) සූත්‍රවලට. අනුකලනය කිරීමේදී පිළිතුරට අත්තනෝමතික නියත C එකතු කිරීමට අමතක නොකරන්න!

නියතයක අනුකලනය

∫ A d x = A x + C (1)

බල කාර්යය ඒකාබද්ධ කිරීම

ඇත්ත වශයෙන්ම, කෙනෙකුට සූත්‍ර (5) සහ (7) වලට සීමා විය හැකි නමුත්, මෙම කණ්ඩායමේ ඉතිරි අනුකලනය කෙතරම් සුලභද යත්, ඒවා කෙරෙහි මඳක් අවධානය යොමු කිරීම වටී.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ලඝු-සටහන | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

ඝාතීය ශ්‍රිතයේ සහ අධිබල ශ්‍රිතවල අනුකලනය

ඇත්ත වශයෙන්ම, සූත්‍රය (8) (සමහර විට මතක තබා ගැනීමට වඩාත්ම පහසු) ලෙස සැලකිය හැකිය විශේෂ අවස්ථාවක්සූත්ර (9). හයිපර්බෝලික් සයින් සහ හයිපර්බෝලික් කෝසයින් අනුකලනය සඳහා සූත්‍ර (10) සහ (11) පහසුවෙන් (8) සූත්‍රයෙන් ව්‍යුත්පන්න වේ, නමුත් මෙම සම්බන්ධතා මතක තබා ගැනීම වඩා හොඳය.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල මූලික අනුකලනය

සිසුන් බොහෝ විට සිදු කරන වැරැද්දක්: ඔවුන් සූත්ර (12) සහ (13) වල සංඥා ව්යාකූල කරයි. සයින් ව්‍යුත්පන්නය කොසයිනයට සමාන බව මතක තබා ගැනීම, කිසියම් හේතුවක් නිසා බොහෝ අය විශ්වාස කරන්නේ අනුකලනය sinx කාර්යයන් cosx ට සමාන වේ. මෙය සත්ය නොවේ! සයින් හි අනුකලනය "minus cosine" වේ, නමුත් cosx හි අනුකලනය "just sine" වේ:

∫ sin x d x = - cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = - c t g x + C (15)

ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවලට අනුකලනය අඩු කිරීම

චාප ස්පර්ශකයට තුඩු දෙන සූත්‍රය (16) ස්වාභාවිකවම a=1 සඳහා සූත්‍රයේ (17) විශේෂ අවස්ථාවකි. එසේම, (18) යනු (19) විශේෂ අවස්ථාවකි.

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 - x 2 d x = arcsin x a + C = - arccos x a + C (a > 0) (19)

වඩාත් සංකීර්ණ අනුකලනය

මෙම සූත්ර ද මතක තබා ගැනීමට යෝග්ය වේ. ඒවා ද බොහෝ විට භාවිතා වන අතර ඒවායේ ප්‍රතිදානය තරමක් වෙහෙසකාරී ය.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 - a 2 d x = ln | x + x 2 - a 2 | +C(21)
∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | x + x 2 - a 2 | + C (a > 0) (24)

පොදු ඒකාබද්ධ නීති

1) ශ්‍රිත දෙකක එකතුවේ අනුකලනය එකතුවට සමාන වේඅනුරූප අනුකලනය: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) ශ්‍රිත දෙකක වෙනසෙහි අනුකලය අනුරූප අනුකලනවල වෙනසට සමාන වේ: ∫ (f (x) - g (x)) d x = ∫ f (x) d x - ∫ g (x) d x (26)

3) නියතය අනුකලිත ලකුණෙන් පිටතට ගත හැක: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

දේපල (26) යනු හුදෙක් දේපල (25) සහ (27) සංයෝගයක් බව දැකීම පහසුය.

4) අනුකලනය සංකීර්ණ කාර්යය, නම් අභ්යන්තර කාර්යයරේඛීය වේ: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

මෙහි F(x) යනු f(x) ශ්‍රිතය සඳහා වන ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයයි. මෙම සූත්‍රය ක්‍රියාත්මක වන්නේ අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතය Ax + B වූ විට පමණක් බව සලකන්න.

වැදගත්: ශ්‍රිත දෙකක නිෂ්පාදනයේ අනුකලනය සඳහා මෙන්ම භාගයක අනුකලනය සඳහා විශ්වීය සූත්‍රයක් නොමැත:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (තිස්)

මින් අදහස් වන්නේ, ඇත්ත වශයෙන්ම, කොටසක් හෝ නිෂ්පාදනයක් ඒකාබද්ධ කළ නොහැකි බව නොවේ. (30) වැනි අනුකලනයක් දකින සෑම අවස්ථාවකම, ඔබට එය සමඟ "සටන්" කිරීමට ක්‍රමයක් සොයාගත යුතුය. සමහර අවස්ථාවලදී, කොටස් මගින් අනුකලනය ඔබට උපකාර වනු ඇත, කොහේ හරි ඔබට විචල්ය වෙනසක් සිදු කිරීමට සිදු වනු ඇත, සමහර විට වීජ ගණිතයේ හෝ ත්රිකෝණමිතියේ "පාසල්" සූත්ර පවා උපකාර විය හැක.

අවිනිශ්චිත අනුකලනය ගණනය කිරීම සඳහා සරල උදාහරණයක්

උදාහරණ 1. අනුකලනය සොයන්න: ∫ (3 x 2 + 2 sin x - 7 e x + 12) d x

අපි සූත්‍ර (25) සහ (26) භාවිතා කරමු (ශ්‍රිතවල එකතුවෙහි හෝ වෙනසෙහි අනුකලය අනුරූප අනුකලකවල එකතුවට හෝ වෙනසට සමාන වේ. අපට ලැබෙන්නේ: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x - ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

අනුකලිත ලකුණෙන් නියතය ඉවත් කළ හැකි බව මතක තබා ගන්න (සූත්‍රය (27)). ප්රකාශනය ආකෘතියට පරිවර්තනය වේ

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x - 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

දැන් අපි මූලික අනුකලිත වගුව භාවිතා කරමු. අපට (3), (12), (8) සහ (1) සූත්‍ර යෙදීමට අවශ්‍ය වනු ඇත. අපි ඒකාබද්ධ කරමු බලශක්ති කාර්යය, සයින්, ඝාතකය සහ නියත 1. අවසානයේ අත්තනෝමතික නියත C එකතු කිරීමට අමතක නොකරන්න:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

මූලික පරිවර්තනයන්ගෙන් පසුව, අපට අවසාන පිළිතුර ලැබේ:

X 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

අවකලනය සමඟ ඔබම පරීක්ෂා කරන්න: ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නය ගෙන එය මුල් අනුකලනයට සමාන බව සහතික කර ගන්න.

අනුකලනයේ සාරාංශ වගුව

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ලඝු-සටහන | x | +C

∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = - cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = - c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C

∫ 1 a 2 - x 2 d x = arcsin x a + C = - arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C

∫ 1 x 2 - a 2 d x = ln | x + x 2 - a 2 | +C

∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0)

∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | x + x 2 - a 2 | + C (a > 0)

අනුකලිත වගුව (II කොටස) මෙම සබැඳියෙන් බාගන්න

ඔබ විශ්ව විද්‍යාලයක ඉගෙන ගන්නේ නම්, ඔබට උසස් ගණිතය (ගණිත විශ්ලේෂණය, රේඛීය වීජ ගණිතය, සම්භාවිතා න්‍යාය, සංඛ්‍යාලේඛන) සම්බන්ධයෙන් යම් දුෂ්කරතා තිබේ නම්, ඔබට සුදුසුකම් ලත් ගුරුවරයෙකුගේ සේවය අවශ්‍ය නම්, උසස් ගණිතය පිළිබඳ උපදේශකයෙකුගේ පිටුවට යන්න. අපි එක්ව ඔබේ ගැටලු විසඳා ගනිමු!

ඔබත් උනන්දු විය හැකිය

පාසැලේදී, බොහෝ දෙනෙක් අනුකලනය විසඳීමට හෝ ඒවා සමඟ යම් දුෂ්කරතා ඇති කිරීමට අසමත් වෙති. මෙම ලිපිය ඔබට එය සොයා ගැනීමට උපකාරී වනු ඇත, ඔබ එහි ඇති සියල්ල සොයා ගනු ඇත. අනුකලිත වගු.

අනුකලනයහි ප්‍රධාන ගණනය කිරීම් සහ සංකල්පයකි ගණිතමය විශ්ලේෂණය. ඔහුගේ පෙනුම අරමුණු දෙකක් සඳහා විය:
පළමු ඉලක්කය- එහි ව්‍යුත්පන්නය භාවිතයෙන් ශ්‍රිතය ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්න.
දෙවන ඉලක්කය- ප්‍රස්ථාරයේ සිට f (x) ශ්‍රිතය දක්වා දුරින් පිහිටි ප්‍රදේශය ගණනය කිරීම a සරල රේඛාවක් මත x ට වඩා වැඩි හෝ සමාන වන විට b සහ abscissa අක්ෂය වැඩි හෝ සමාන වේ.

මෙම අරමුණු අපව නිශ්චිත සහ අවිනිශ්චිත අනුකලනය කරා ගෙන යයි. මෙම අනුකලනය අතර සම්බන්ධය පවතින්නේ ගුණාංග සෙවීම සහ ගණනය කිරීමයි. නමුත් සෑම දෙයක්ම ගලා යන අතර කාලයත් සමඟ සියල්ල වෙනස් වේ, නව විසඳුම් සොයා ගන්නා ලදී, එකතු කිරීම් අනාවරණය විය, එමඟින් නිශ්චිත සහ අනිශ්චිත අනුකලනය වෙනත් ආකාරයේ ඒකාබද්ධතාවයකට ගෙන එයි.

කුමක් ද අවිනිශ්චිත අනුකලනය ඔබ අසයි. මෙය b ට වඩා x ට වඩා වැඩි පරතරයක් ඇති එක් විචල්‍යයක F(x) ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න ශ්‍රිතයයි. ඕනෑම ශ්‍රිතයක් F(x) ලෙස හැඳින්වේ, ඕනෑම අංකනයක් x සඳහා ලබා දී ඇති පරතරය තුළ, ව්‍යුත්පන්නය F(x) ට සමාන වේ. F(x) යනු b ට වඩා x ට වඩා වැඩි පරතරයකදී f(x) සඳහා ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයක් බව පැහැදිලිය. එබැවින් F1(x) = F(x) + C. C - ලබා දී ඇති පරතරය තුළ f(x) සඳහා ඕනෑම නියත සහ ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න වේ. මෙම ප්‍රකාශය ආපසු හැරවිය හැකි ය, f(x) - 2 ශ්‍රිතය සඳහා ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න වෙනස් වන්නේ නියතයකින් පමණි. අනුකලිත කලනයේ ප්‍රමේයය මත පදනම්ව, එක් එක් අන්තරාලය තුළ අඛණ්ඩව a

නිශ්චිත අනුකලනය අනුකලිත ඓක්‍යවල සීමාවක් ලෙස හෝ යම් රේඛාවක (a, b) නිර්වචනය කර ඇති යම් ශ්‍රිතයක f(x) තත්ත්වයකදී ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න F තිබීම, එනම් මෙම පේළියේ කෙළවරේ ඇති එහි ප්‍රකාශනවල වෙනසයි. F(b) - F(a).

පැහැදිලිකම සඳහා, මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ අධ්යයනය, මම වීඩියෝව නැරඹීමට යෝජනා කරමි. එය විස්තරාත්මකව පැහැදිලි කරන අතර අනුකලනය සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි පෙන්වයි.

එක් එක් අනුකලිත වගුව ඉතා ප්‍රයෝජනවත් වේ, එය යම් ආකාරයක අනුකලනයක් විසඳීමට උපකාරී වේ.

සියලුම හැකි වර්ගලිපි ද්රව්ය සහ තවත්. ඔබට v-kant.ru අන්තර්ජාල වෙළඳසැල හරහා මිලදී ගත හැකිය. නැතහොත් ලිපි ද්‍රව්‍ය සමාරා (http://v-kant.ru) සබැඳිය අනුගමනය කරන්න ගුණාත්මකභාවය සහ මිල ගණන් ඔබව පුදුමයට පත් කරයි.

ප්‍රධාන ඒකාබද්ධ ක්‍රම හතර පහත දැක්වේ.

1) එකතුව හෝ වෙනස ඒකාබද්ධ කිරීමේ රීතිය.
.
මෙහි සහ පහතින්, u, v, w යනු ඒකාබද්ධ විචල්‍යයේ ශ්‍රිත වේ x .

2) අනුකල සංඥාවෙන් නියතය ගැනීම.
c x න් ස්වාධීන නියතයක් වේවා. එවිට එය අනුකලිත ලකුණෙන් ඉවත් කළ හැකිය.

3) විචල්ය ප්රතිස්ථාපන ක්රමය.
අවිනිශ්චිත අනුකලනය සලකා බලන්න.
එවැනි ශ්රිතයක් තෝරා ගැනීමට හැකි නම් φ (x) x සිට, එසේ
,
ඉන්පසුව, t = φ(x) විචල්යය වෙනස් කිරීමෙන් පසුව, අපට තිබේ
.

4) කොටස් අනුව ඒකාබද්ධ කිරීම සඳහා සූත්රය.
,
මෙහි u සහ v යනු ඒකාබද්ධ විචල්‍යයේ ශ්‍රිත වේ.

අවසාන ඉලක්කයඅවිනිශ්චිත අනුකලයන් ගණනය කිරීම යනු පරිවර්තන හරහා ලබා දී ඇති අනුකලනය වගුව ලෙස හැඳින්වෙන සරලම අනුකලනය වෙත ගෙන ඒමයි. වගු අනුකලනය ප්‍රාථමික ශ්‍රිත වලින් ප්‍රකාශ වේ දන්නා සූත්ර.
අනුකලිත වගුව >>> බලන්න

උදාහරණයක්

අවිනිශ්චිත අනුකලනය ගණනය කරන්න

විසඳුමක්

අනුකලනය යනු පද තුනක එකතුව සහ වෙනස බව සලකන්න:
, හා .
අපි ක්‍රමය යොදන්නෙමු 1 .

තවද, නව අනුකලනවල අනුකලනය නියතයන්ගෙන් ගුණ කරන බව අපි සටහන් කරමු. 5, 4, හා 2 , පිළිවෙලින්. අපි ක්‍රමය යොදන්නෙමු 2 .

අනුකලිත වගුවේ අපට සූත්‍රය හමු වේ
.
සැකසීම n = 2 , අපි පළමු අනුකලනය සොයා ගනිමු.

අපි දෙවන අනුකලනය පෝරමයේ නැවත ලියමු
.
අපි එය සැලකිල්ලට ගනිමු. ඉන්පසු

අපි තුන්වන ක්රමය භාවිතා කරමු. අපි t = φ විචල්‍යය වෙනස් කරන්නෙමු (x) = ලඝු-සටහන x.
.
අනුකලිත වගුවේ අපට සූත්‍රය හමු වේ

අනුකලනය පිළිබඳ විචල්‍යය ඕනෑම අකුරකින් දැක්විය හැකි බැවින්, එසේ නම්

අපි තුන්වන අනුකලනය පෝරමයේ නැවත ලියමු
.
කොටස් මගින් ඒකාබද්ධ කිරීම සඳහා අපි සූත්රය යොදන්නෙමු.
ඉඩ .
ඉන්පසු
;
;

;
;
.

අන්තිමට අපිට තියෙනවා
.
x සමඟ කොන්දේසි එකතු කරන්න 3 .
.

පිළිතුර

යොමු:
එන්.එම්. ගුන්තර්, ආර්.ඕ. Kuzmin, උසස් ගණිතයේ ගැටළු එකතුව, Lan, 2003.

අපි අනුකලනය ලැයිස්තුගත කරමු මූලික කාර්යයන්, සමහර විට වගු ලෙස හැඳින්වේ:

ඉහත සූත්‍රවලින් ඕනෑම එකක් දකුණු පැත්තේ ව්‍යුත්පන්නය ගැනීමෙන් ඔප්පු කළ හැක (ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, අනුකලනය ලැබෙනු ඇත).

ඒකාබද්ධ කිරීමේ ක්රම

ඒකාබද්ධ කිරීමේ මූලික ක්රම කිහිපයක් සලකා බලමු. මේවාට ඇතුළත් වන්නේ:

1. වියෝජන ක්රමය(සෘජු ඒකාබද්ධ කිරීම).

මෙම ක්‍රමය පදනම් වී ඇත්තේ වගු අනුකලවල සෘජු යෙදුම මෙන්ම අනිශ්චිත අනුකලයේ 4 සහ 5 ගුණාංග යෙදීම මත ය (එනම්, වරහනෙන් නියත සාධකය ලබා ගැනීම සහ / හෝ අනුකලනය ශ්‍රිත එකතුවක් ලෙස නිරූපණය කිරීම - අනුකලනය කොන්දේසි වලට පුළුල් කිරීම).

උදාහරණ 1උදාහරණයක් ලෙස, (dx/x 4) සොයා ගැනීමට ඔබට සෘජුවම x n dx සඳහා වගුව අනුකලනය භාවිතා කළ හැක. ඇත්ත වශයෙන්ම, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

අපි තවත් උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

උදාහරණ 2සොයා ගැනීමට, අපි එකම අනුකලනය භාවිතා කරමු:

උදාහරණය 3සොයා ගැනීමට ඔබ ගත යුතුය

උදාහරණය 4සොයා ගැනීමට, අපි ආකෘතියේ අනුකලනය නියෝජනය කරමු සහ සඳහා වගුව අනුකලනය භාවිතා කරන්න ඝාතීය ශ්රිතය:

නියත සාධකය වරහන් භාවිතා කිරීම සලකා බලන්න.

උදාහරණ 5උදාහරණයක් ලෙස අපි සොයා ගනිමු . එය සලකා බලන විට අපට ලැබේ

උදාහරණය 6අපි සොයා බලමු. මන්දයත් , අපි වගුව අනුකලනය භාවිතා කරමු ලබාගන්න

පහත උදාහරණ දෙකෙහි ඔබට වරහන් සහ වගු අනුකලන්ද භාවිතා කළ හැක:

උදාහරණ 7

(අපි භාවිතා කරන්නේ සහ );

උදාහරණ 8

(අපි පාවිච්චි කරන්නේ හා ).

එකතුව අනුකලනය භාවිතා කරන වඩාත් සංකීර්ණ උදාහරණ දෙස බලමු.

උදාහරණ 9උදාහරණයක් ලෙස, අපි සොයා ගනිමු
. සංඛ්‍යාංකයේ ප්‍රසාරණ ක්‍රමය යෙදීම සඳහා, අපි එකතුව කියුබ් සූත්‍රය  භාවිතා කරන්නෙමු, ඉන්පසු ලැබෙන බහුපද පදය පදයෙන් පදයෙන් බෙදන්නෙමු.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

විසඳුම අවසානයේ එක් පොදු නියත C ලියා ඇති බව සටහන් කළ යුතුය (සහ එක් එක් පදය අනුකලනය කිරීමේදී වෙනම ඒවා නොවේ). අනාගතයේ දී, ප්‍රකාශනයේ අවම වශයෙන් එක් අවිනිශ්චිත අනුකලනයක්වත් අඩංගු වන තාක් කල් විසඳීමේ ක්‍රියාවලියේ තනි පද ඒකාබද්ධ කිරීමෙන් නියතයන් ඉවත් කිරීමට ද යෝජනා කෙරේ (අපි විසඳුම අවසානයේ එක් නියතයක් ලියන්නෙමු).

උදාහරණ 10අපි සොයා බලමු . මෙම ගැටළුව විසඳීම සඳහා, අපි සංඛ්යාංකය සාධකකරණය කරමු (ඊට පසුව, අපට හරය අඩු කළ හැකිය).

උදාහරණ 11.අපි සොයා බලමු. මෙහිදී ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතා භාවිතා කළ හැක.

සමහර විට, ප්‍රකාශනයක් නියම වලට වියෝජනය කිරීම සඳහා, ඔබට වඩාත් සංකීර්ණ ශිල්පීය ක්‍රම භාවිතා කිරීමට සිදුවේ.

උදාහරණ 12.අපි සොයා බලමු . අනුකලනය තුළ, අපි භාගයේ පූර්ණ සංඛ්‍යා කොටස තෝරා ගනිමු . ඉන්පසු

උදාහරණ 13අපි සොයා බලමු

2. විචල්‍ය ප්‍රතිස්ථාපන ක්‍රමය (ආදේශන ක්‍රමය)

ක්‍රමය පහත සූත්‍රය මත පදනම් වේ: f(x)dx=f((t))`(t)dt, මෙහිදී x =(t) යනු සලකා බලන කාල පරතරය මත වෙනස් කළ හැකි ශ්‍රිතයකි.

සාක්ෂි. අපි වමේ සිට සහ t විචල්‍යයට අදාළ ව්‍යුත්පන්න සොයා ගනිමු දකුණු කොටස්සූත්ර.

වම් පැත්තේ x = (t) අතරමැදි තර්කයක් වන සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක් ඇති බව සලකන්න. එබැවින්, t සම්බන්ධයෙන් එය අවකලනය කිරීම සඳහා, අපි පළමුව x සම්බන්ධයෙන් අනුකලනය අවකලනය කරමු, පසුව අපි t සම්බන්ධයෙන් අතරමැදි තර්කයේ ව්‍යුත්පන්නය ගනිමු.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

දකුණු පැත්තේ ව්‍යුත්පන්න:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

මෙම ව්‍යුත්පන්නයන් සමාන බැවින්, ලග්‍රංගේ ප්‍රමේයයේ අනුප්‍රාප්තියකින්, ඔප්පු කරන ලද සූත්‍රයේ වම් සහ දකුණු කොටස් යම් නියතයකින් වෙනස් වේ. අවිනිශ්චිත අනුකලයන් අවිනිශ්චිත නියත පදයක් දක්වා නිර්වචනය කර ඇති බැවින්, මෙම නියතය අවසාන අංකනයේදී මඟ හැරිය හැක. ඔප්පු කර ඇත.

විචල්‍යයේ සාර්ථක වෙනසක් අපට මුල් අනුකලනය සරල කිරීමට ඉඩ සලසයි, සහ සරලම අවස්ථා වලදී එය වගු එකකට අඩු කරන්න. මෙම ක්‍රමයේ යෙදීමේදී රේඛීය සහ රේඛීය නොවන ආදේශන ක්‍රම වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය.

a) රේඛීය ආදේශන ක්රමයඅපි උදාහරණයක් බලමු.

උදාහරණ 1
. Lett= 1 - 2x, එවිට

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

නව විචල්‍යය පැහැදිලිව ලිවීමට අවශ්‍ය නොවන බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය. එවැනි අවස්ථාවන්හිදී, අවකලයේ ලකුණ යටතේ ශ්‍රිතයක් පරිවර්තනය කිරීම හෝ අවකලයේ ලකුණ යටතේ නියතයන් සහ විචල්‍යයන් හඳුන්වාදීම ගැන කතා කරයි, i.e. පිළිබඳ ව්යංග විචල්ය ආදේශනය.

උදාහරණ 2උදාහරණයක් ලෙස, අපි cos(3x + 2)dx සොයා ගනිමු. අවකල dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), ඉන්පසුcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3) sin(3x + 2) +C.

සලකා බැලූ උදාහරණ දෙකෙහිම, අනුකලයන් සෙවීම සඳහා රේඛීය ආදේශනය t=kx+b(k0) භාවිතා කරන ලදී.

සාමාන්‍ය අවස්ථාවෙහිදී, පහත ප්‍රමේයය දරයි.

රේඛීය ආදේශන ප්රමේයය. F(x) ශ්‍රිතය සඳහා F(x) යම් ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න වීමට ඉඩ දෙන්න. එවිටf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, මෙහි k සහ b යනු සමහර නියතයන්,k0.

සාක්ෂි.

අනුකලයේ නිර්වචනය අනුව f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. අපි අනුකලිත ලකුණ සඳහා k නියත සාධකය ඉවත් කරමු: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. දැන් අපට සමානාත්මතාවයේ වම් සහ දකුණු කොටස් k වලින් බෙදිය හැකි අතර නියත පදයක අංකනය දක්වා ඔප්පු කළ යුතු ප්‍රකාශය ලබා ගත හැක.

අනුකලිත f(x)dx= F(x) + C යන නිර්වචනයේ දී ප්‍රකාශනය (kx+b) ආදේශ කරන්නේ නම්, මෙය ඉදිරියෙන් 1/k අතිරේක සාධකයක් දිස්වීමට හේතු වන බව මෙම ප්‍රමේයය පවසයි. ප්රතිව්යුත්පන්නයේ.

ඔප්පු කරන ලද ප්රමේයය භාවිතා කරමින්, අපි පහත උදාහරණ විසඳන්නෙමු.

උදාහරණය 3

අපි සොයා බලමු . මෙහි kx+b= 3 –x, එනම් k= -1,b= 3. එවිට

උදාහරණය 4

අපි සොයා බලමු. මෙහි kx+b= 4x+ 3, එනම් k= 4,b= 3. එවිට

උදාහරණ 5

අපි සොයා බලමු . මෙහි kx+b= -2x+ 7, එනම් k= -2,b= 7. එවිට

.

උදාහරණය 6අපි සොයා බලමු
. මෙහි kx+b= 2x+ 0, එනම් k= 2,b= 0.

.

ලබා ගත් ප්‍රති result ලය විසංයෝජන ක්‍රමය මගින් විසඳන ලද උදාහරණ 8 සමඟ සංසන්දනය කරමු. එකම ගැටළුව වෙනත් ක්‍රමයක් මගින් විසඳා, අපට පිළිතුරක් ලැබුණි
. ප්රතිඵල සංසන්දනය කරමු: මේ අනුව, මෙම ප්රකාශනයන් නියත පදයකින් එකිනෙකට වෙනස් වේ , i.e. ලැබෙන ප්‍රතිචාර එකිනෙක පරස්පර නොවේ.

උදාහරණ 7අපි සොයා බලමු
. අපි හරය තුළ සම්පූර්ණ චතුරස්රයක් තෝරා ගනිමු.

සමහර අවස්ථා වලදී, විචල්‍ය වෙනස් කිරීම අනුකලනය සෘජුවම වගු එකකට අඩු නොකරයි, නමුත් එය ඊළඟ පියවරේදී වියෝජන ක්‍රමය යෙදීමට හැකි වන පරිදි විසඳුම සරල කළ හැකිය.

උදාහරණ 8උදාහරණයක් ලෙස, අපි සොයා ගනිමු . t=x+ 2 ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්න, ඉන්පසු dt=d(x+ 2) =dx. ඉන්පසු

,

එහිදී C \u003d C 1 - 6 (t ප්‍රකාශනය (x + 2) වෙනුවට ආදේශ කරන විට, පළමු පද දෙක වෙනුවට, අපට ½x 2 -2x - 6 ලැබේ).

උදාහරණ 9අපි සොයා බලමු
. t= 2x+ 1, පසුව dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2 කරමු.

අපි t වෙනුවට (2x + 1) ප්‍රකාශනය ආදේශ කර, වරහන් විවෘත කර සමාන ඒවා දෙන්න.

පරිවර්තන ක්‍රියාවලියේදී අපි තවත් නියත පදයකට මාරු වූ බව සලකන්න, මන්ද පරිවර්තන ක්‍රියාවලියේ නියත පද සමූහය මග හැරිය හැක.

ආ) රේඛීය නොවන ආදේශක ක්රමයඅපි උදාහරණයක් බලමු.

උදාහරණ 1
. t= -x 2 කරමු. තවද, කෙනෙකුට t අනුව x ප්‍රකාශ කළ හැක, පසුව dx සඳහා ප්‍රකාශනයක් සොයාගෙන අවශ්‍ය අනුකලයේ විචල්‍යයේ වෙනසක් ක්‍රියාත්මක කළ හැකිය. නමුත් මේ අවස්ථාවේ දී එය වෙනත් ආකාරයකින් කිරීමට පහසු වේ. dt=d(-x 2) = -2xdx සොයන්න. xdx ප්‍රකාශනය අවශ්‍ය අනුකලයේ අනුකලනයේ සාධකයක් බව සලකන්න. අපි එය ප්‍රතිඵලය වන සමානාත්මතාවයෙන් ප්‍රකාශ කරන්නෙමු xdx= - ½dt. ඉන්පසු

ප්රතිව්යුත්පන්න ශ්රිතය සහ අවිනිශ්චිත අනුකලනය

සත්‍යය 1. අනුකලනය යනු අවකලනයේ ප්‍රතිවිරුද්ධයයි, එනම්, මෙම ශ්‍රිතයේ දන්නා ව්‍යුත්පන්නයෙන් ශ්‍රිතයක් ප්‍රතිෂ්ඨාපනය කිරීමයි. කාර්යය මේ ආකාරයෙන් ප්රතිෂ්ඨාපනය වේ එෆ්(x) ලෙස හැඳින්වේ ප්රාථමිකකාර්යය සඳහා f(x).

අර්ථ දැක්වීම 1. කාර්යය එෆ්(x f(x) යම් කාල පරතරයක් මත x, සියලු අගයන් සඳහා නම් xමෙම පරතරය සිට සමානාත්මතාවය එෆ් "(x)=f(x), එනම් ලබා දී ඇති කාර්යය f(x) යනු ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නයයි එෆ්(x). .

උදාහරණයක් ලෙස, කාර්යය එෆ්(x) = පව් x කාර්යය සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න වේ f(x) = cos x x හි ඕනෑම අගයක් සඳහා සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා රේඛාව මත (පව් x)" = (කොස් x) .

අර්ථ දැක්වීම 2. ශ්‍රිතයක අනිශ්චිත අනුකලනය f(x) යනු එහි සියලුම ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න එකතුවකි. මෙය අංකනය භාවිතා කරයි

∫

f(x)dx

,

ලකුණ කොහෙද ∫ අනුකලිත ලකුණ, ශ්රිතය ලෙස හැඳින්වේ f(x) අනුකලනයකි, සහ f(x)dx අනුකලනය වේ.

මේ අනුව, නම් එෆ්(x) සඳහා යම් ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න වේ f(x) , එවිට

∫

f(x)dx = එෆ්(x) +සී

කොහෙද සී - අත්තනෝමතික නියත (ස්ථාවර).

ලෙස ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න ශ්‍රිත සමූහයේ අර්ථය තේරුම් ගැනීමට අවිනිශ්චිත අනුකලනයපහත ප්‍රතිසමය සුදුසු වේ. දොරක් තිබිය යුතුය (සාම්ප්‍රදායික ලී දොර) එහි කාර්යය වන්නේ "දොරක් වීම" ය. දොර සෑදී ඇත්තේ කුමක් ද? ගසකින්. මෙයින් අදහස් කරන්නේ "දොරක් වීම" යන අනුකලනයේ ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න සමූහය, එනම් එහි අවිනිශ්චිත අනුකලනය, "ගසක් + C" ශ්‍රිතය වන අතර, C යනු නියතයක් වන අතර, මෙම සන්දර්භය තුළ එය දැක්විය හැක. උදාහරණයක් ලෙස, ගස් විශේෂයක්. සමහර මෙවලම් සමඟ දොරක් ලීයෙන් සාදා ඇති ආකාරයටම, ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නය ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න ශ්‍රිතයෙන් "සාදයි" ව්‍යුත්පන්නය අධ්‍යයනය කිරීමෙන් අප ඉගෙන ගත් සූත්‍රය .

එවිට පොදු වස්තූන්ගේ කාර්ය වගුව සහ ඒවාට අනුරූප ප්‍රාථමික ("දොරක් වීමට" - "ගසක් වීමට", "හැන්දක් වීමට" - "ලෝහයක් වීමට" යනාදිය) වගුවට සමාන වේ. මූලික අවිනිශ්චිත අනුකලනය, එය පහත දැක්වේ. අවිනිශ්චිත අනුකලක වගුව පොදු ශ්‍රිත ලැයිස්තුගත කරයි, මෙම ශ්‍රිත "සාදා ඇති" ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයන් දක්වයි. අවිනිශ්චිත අනුකලයක් සොයා ගැනීමේ ගැටළු වල කොටසක් ලෙස, විශේෂ උත්සාහයකින් තොරව සෘජුවම ඒකාබද්ධ කළ හැකි එවැනි අනුකලනයක් ලබා දී ඇත, එනම් අවිනිශ්චිත අනුකලිත වගුවට අනුව. වඩාත් සංකීර්ණ ගැටළු වලදී, වගු අනුකලයන් භාවිතා කළ හැකි වන පරිදි අනුකලනය පළමුව පරිවර්තනය කළ යුතුය.

සත්‍යය 2. ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයක් ලෙස ශ්‍රිතයක් ප්‍රතිසාධනය කිරීම, අපි අත්තනෝමතික නියතයක් (ස්ථාවර) සැලකිල්ලට ගත යුතුය. සී, සහ 1 සිට අනන්තය දක්වා විවිධ නියතයන් සහිත ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න ලැයිස්තුවක් නොලියා සිටීම සඳහා, ඔබ අත්තනෝමතික නියතයක් සහිත ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න කට්ටලයක් ලිවිය යුතුය. සී, මේ වගේ: 5 x³+C. එබැවින්, ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයේ ප්‍රකාශනයට අත්තනෝමතික නියතයක් (ස්ථාවර) ඇතුළත් වේ, මන්ද ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න ශ්‍රිතයක් විය හැකි බැවින්, උදාහරණයක් ලෙස, 5 x³+4 හෝ 5 x³+3 සහ 4 හෝ 3 අවකලනය කිරීමේදී හෝ වෙනත් නියතයක් අතුරුදහන් වේ.

අපි ඒකාබද්ධ කිරීමේ ගැටලුව සකස් කරමු: දී ඇති කාර්යයක් සඳහා f(x) එවැනි කාර්යයක් සොයා ගන්න එෆ්(x), කාගේ ව්යුත්පන්නයසමාන වේ f(x).

උදාහරණ 1ශ්‍රිතයක ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න කට්ටලය සොයන්න

විසඳුමක්. මෙම ශ්‍රිතය සඳහා ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න යනු ශ්‍රිතයයි

කාර්යය එෆ්(x) ශ්‍රිතය සඳහා ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න ලෙස හැඳින්වේ f(x) ව්යුත්පන්නය නම් එෆ්(x) සමාන වේ f(x), හෝ, එකම දෙය වන, අවකලනය එෆ්(x) සමාන වේ f(x) dx, i.e.

(2)

එබැවින් ශ්‍රිතය ශ්‍රිතය සඳහා ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න වේ. කෙසේ වෙතත්, එය සඳහා ඇති එකම ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න නොවේ. ඒවා ද කාර්යයන් වේ

කොහෙද සිටඅත්තනෝමතික නියතයකි. මෙය අවකලනය මගින් තහවුරු කර ගත හැක.

මේ අනුව, ශ්‍රිතයක් සඳහා එක් ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයක් තිබේ නම්, ඒ සඳහා නියත සාරාංශයකින් වෙනස් වන අසීමිත ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න සමූහයක් ඇත. ශ්‍රිතයක් සඳහා වන සියලුම ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න ඉහත ආකාරයෙන් ලියා ඇත. මෙය පහත ප්‍රමේයයෙන් පහත දැක්වේ.

ප්‍රමේයය (කාර්ය 2 හි විධිමත් ප්‍රකාශය).අ එෆ්(x) ශ්‍රිතය සඳහා ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න වේ f(x) යම් කාල පරතරයක් මත x, පසුව වෙනත් ඕනෑම ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයක් සඳහා f(x) එකම පරතරය මත ලෙස නිරූපණය කළ හැක එෆ්(x) + සී, කොහෙද සිටඅත්තනෝමතික නියතයකි.

පහත උදාහරණයේ දී, අපි දැනටමත් අනුකලිත වගුව වෙත හැරෙමු, එය අවිනිශ්චිත අනුකලනයේ ගුණාංග වලින් පසුව, 3 වන ඡේදයේ ලබා දෙනු ඇත. ඉහත සඳහන් සාරය පැහැදිලි වන පරිදි සම්පූර්ණ වගුව සමඟ අපව හුරු කරවීමට පෙර අපි මෙය කරන්නෙමු. වගුව සහ ගුණාංග වලින් පසුව, ඒකාබද්ධ කිරීමේදී අපි ඒවා සම්පූර්ණයෙන්ම භාවිතා කරන්නෙමු.

උදාහරණ 2ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න කට්ටල සොයන්න:

විසඳුමක්. මෙම ශ්‍රිත "සාදා ඇති" ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න ශ්‍රිත කට්ටල අපට හමු වේ. අනුකලන වගුවෙන් සූත්‍ර සඳහන් කරන විට, දැනට, එවැනි සූත්‍ර ඇති බව පිළිගන්න, අපි තව ටිකක් ඉදිරියට අවිනිශ්චිත අනුකල වගුව සම්පූර්ණයෙන් අධ්‍යයනය කරමු.

1) සඳහා අනුකලිත වගුවෙන් සූත්‍රය (7) යෙදීම n= 3, අපට ලැබේ

2) සඳහා අනුකලිත වගුවෙන් සූත්‍රය (10) භාවිතා කිරීම n= 1/3, අපට තිබේ

3) සිට

පසුව සූත්රය (7) අනුව n= -1/4 සොයා ගැනීම

අනුකලිත ලකුණ යටතේ, ඔවුන් ශ්රිතයම ලියන්නේ නැත f, සහ එහි නිෂ්පාදනය අවකලනය අනුව dx. ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න සොයන්නේ කුමන විචල්‍යයක් ද යන්න දැක්වීමට මෙය මූලික වශයෙන් සිදු කෙරේ. උදාහරණ වශයෙන්,

, ;

මෙහි අවස්ථා දෙකේදීම අනුකලනය සමාන වේ, නමුත් සලකා බැලූ අවස්ථාවන්හි එහි අනිශ්චිත අනුකලනය වෙනස් වේ. පළමු අවස්ථාවේ දී, මෙම ශ්රිතය විචල්යයක ශ්රිතයක් ලෙස සැලකේ x, සහ දෙවන - ශ්රිතයක් ලෙස z .

ශ්‍රිතයක අවිනිශ්චිත අනුකලය සෙවීමේ ක්‍රියාවලිය එම ශ්‍රිතය අනුකලනය කිරීම ලෙස හැඳින්වේ.

අවිනිශ්චිත අනුකලනයේ ජ්යාමිතික අර්ථය

වක්‍රයක් සෙවීමට අවශ්‍ය වීමට ඉඩ දෙන්න y=F(x)සහ එහි එක් එක් ලක්ෂ්‍යයේ ස්පර්ශකයේ බෑවුමේ ස්පර්ශකය බව අපි දැනටමත් දනිමු ලබා දී ඇති කාර්යය f(x)මෙම ලක්ෂ්යයේ abscissa.

ව්‍යුත්පන්නයේ ජ්‍යාමිතික අර්ථයට අනුව, වක්‍රයේ දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක ස්පර්ශකයේ බෑවුමේ ස්පර්ශකය y=F(x) වටිනාකමට සමාන වේව්යුත්පන්න F"(x). ඉතින්, අපි එවැනි කාර්යයක් සොයා ගත යුතුයි F(x), ඒ සඳහා F"(x)=f(x). කාර්යයේ අවශ්ය කාර්යය F(x)ව්යුත්පන්න වේ f(x). ගැටලුවේ තත්ත්වය තෘප්තිමත් වන්නේ එක් වක්‍රයකින් නොව, වක්‍ර පවුලකින් ය. y=F(x)- මෙම වක්‍ර වලින් එකක් සහ වෙනත් ඕනෑම වක්‍රයක් අක්ෂය දිගේ සමාන්තර පරිවර්තනයකින් ලබා ගත හැකිය ඔයි.

හි ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය කියමු f(x)අනුකලිත වක්රය. අ F"(x)=f(x), පසුව ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය y=F(x)අනුකලිත වක්‍රයකි.

සත්‍යය 3. අවිනිශ්චිත අනුකලය ජ්‍යාමිතිකව සියලු අනුකලිත වක්‍රවල පවුලෙන් නිරූපණය කෙරේ පහත පින්තූරයේ මෙන්. මූලාරම්භයේ සිට සෑම වක්‍රයකම දුර තීරණය වන්නේ අත්තනෝමතික නියත (ස්ථාවර) අනුකලනය මගිනි. සී.

අවිනිශ්චිත අනුකලයේ ගුණ

සත්‍යය 4. ප්‍රමේයය 1. අවිනිශ්චිත අනුකලයක ව්‍යුත්පන්නය අනුකලනයට සමාන වන අතර එහි අවකලනය අනුකලනයට සමාන වේ.

සත්‍යය 5. ප්‍රමේයය 2. ශ්‍රිතයක අවකලනයේ අවිනිශ්චිත අනුකලනය f(x) ශ්රිතයට සමාන වේ f(x) නියත පදයක් දක්වා , i.e.

(3)

න්‍යායන් 1 සහ 2 පෙන්නුම් කරන්නේ අවකලනය සහ අනුකලනය අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් ප්‍රතිලෝම මෙහෙයුම් බවයි.

සත්‍යය 6. ප්‍රමේයය 3. අනුකලනයේ නියත සාධකය අවිනිශ්චිත අනුකලයේ ලකුණෙන් ඉවත් කළ හැක. , i.e.