මූලික මූලික කාර්යයන් සඳහා ටේලර් මාලාව. බල ශ්‍රේණි, ඒවායේ අභිසාරීතාවය, ශ්‍රිත බල ශ්‍රේණි බවට ප්රසාරණය කිරීම
ප්‍රායෝගික කුසලතා පුහුණු කිරීම සඳහා වෙබ් අඩවියක ටේලර්, මැක්ලවුරින් සහ ලෝරන්ට් මාලාවක් දක්වා ශ්රිතයක් පුළුල් කිරීම. ශ්‍රිතයක මෙම ශ්‍රේණි ප්රසාරණය ගණිතඥයින්ට එහි නිර්වචන වසමේ යම් අවස්ථාවක ශ්‍රිතයේ ආසන්න අගය තක්සේරු කිරීමට ඉඩ සලසයි. මෙම ශතවර්ෂයේ එතරම් අදාළ නොවන බ්‍රෙඩිස් වගුව භාවිතා කිරීමට සාපේක්ෂව එවැනි ක්රියාකාරී අගයක් ගණනය කිරීම ඉතා පහසුය. පරිගණක තාක්ෂණය. ටේලර් ශ්‍රේණියකට ශ්රිතයක් පුළුල් කිරීම යනු පෙර සංගුණක ගණනය කිරීමයි රේඛීය කාර්යයන්මෙම මාලාව සහ එය ලියන්න නිවැරදි ආකෘතිය. සිසුන් මෙම ශ්‍රේණි දෙක ව්‍යාකූල කරයි, කුමක්ද යන්න තේරුම් නොගනී සාමාන්ය නඩුව, සහ දෙවැන්නෙහි විශේෂ අවස්ථාව කුමක්ද. අපි ඔබට වරක් සහ සියල්ලටම මතක් කර දෙන්නෙමු, Maclaurin මාලාව - විශේෂ අවස්ථාවක්ටේලර් ශ්‍රේණිය, එනම් මෙය ටේලර් ශ්‍රේණියයි, නමුත් x = 0 ලක්ෂ්‍යයේ දී. e^x, Sin(x), Cos(x) සහ වෙනත් ප්‍රසිද්ධ ශ්රිතවල ප්රසාරණය සඳහා සියලුම කෙටි සටහන්, ටේලර් ශ්‍රේණි ප්රසාරණය වේ, නමුත් තර්කය සඳහා 0 ලක්ෂයේ. සංකීර්ණ තර්කයක කර්තව්‍යයන් සඳහා, ලෝරන්ට් ශ්‍රේණිය TFCT හි වඩාත් පොදු ගැටළුව වේ, මන්ද එය ද්වි-පාර්ශ්වික අනන්ත ශ්‍රේණියක් නියෝජනය කරයි. එය ශ්‍රේණි දෙකක එකතුවකි. ඕනෑම අංකයක් සහිත "උදාහරණ" මත ක්ලික් කිරීමෙන් සහ පසුව "විසඳුම" බොත්තම ක්ලික් කිරීමෙන් මෙය සිදු කිරීම ඉතා පහසු වේ. විචල්‍යය අයත් වන්නේ abscissa කලාපයට නම්, නිශ්චිතවම මෙම ශ්‍රිතය ප්‍රධාන ශ්‍රේණියක් සමඟ සම්බන්ධ වූ ශ්‍රේණියක් දක්වා ප්රසාරණය වීමයි. දෛශික විශ්ලේෂණයගණිතයේ තවත් රසවත් විෂයයක් සංසන්දනය කර ඇත. සෑම වාරයක්ම පරීක්ෂා කළ යුතු බැවින්, ක්රියාවලිය සෑහෙන කාලයක් අවශ්ය වේ. ඕනෑම Taylor ශ්‍රේණියක් x0 වෙනුවට ශුන්‍ය කිරීමෙන් Maclaurin ශ්‍රේණියක් සමඟ සම්බන්ධ කළ හැක, නමුත් Maclaurin ශ්‍රේණියක් සඳහා Taylor ශ්‍රේණිය ප්‍රතිලෝමව නිරූපණය කිරීම ඇතැම් විට පැහැදිලි නොවේ. මේක කොච්චර ඇතුලේ කරන්න ඕන උනත් පිරිසිදු ස්වරූපය, නමුත් සාමාන්ය ස්වයං සංවර්ධනය සඳහා රසවත්. සෑම Laurent ශ්‍රේණියක්ම නිඛිලවල ද්වි-පාර්ශ්වික අනන්ත බල ශ්‍රේණියකට අනුරූප වේ බල z-a, වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, එකම ටේලර් වර්ගයේ මාලාවක්, නමුත් සංගුණක ගණනය කිරීමේදී තරමක් වෙනස් වේ. න්‍යායාත්මක ගණනය කිරීම් කිහිපයකින් පසුව අපි ලෝරන්ට් ශ්රේණියේ අභිසාරී කලාපය ගැන ටිකක් පසුව කතා කරමු. පසුගිය ශතවර්ෂයේ දී මෙන්, ශ්‍රේණියක් දක්වා ශ්රිතයක් පියවරෙන් පියවර ප්රසාරණය කිරීම හුදෙක් නියමයන් අඩු කිරීමෙන් සාක්ෂාත් කරගත නොහැක. පොදු හරය, හරයන්හි ශ්‍රිත රේඛීය නොවන බැවින්. ගැටළු සැකසීම මගින් ක්රියාකාරී අගය ආසන්න වශයෙන් ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ. Taylor ශ්‍රේණියක තර්කය රේඛීය විචල්‍යයක් වන විට, ප්රසාරණය පියවර කිහිපයකින් සිදු වේ, නමුත් ප්රසාරණය වන ශ්‍රිතයේ තර්කය සංකීර්ණ හෝ රේඛීය නොවන ශ්රිතයක් වන විට පින්තූරය සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් වන බව සිතන්න, එවිට ක්රියාවලිය බල ශ්‍රේණියක එවැනි ශ්රිතයක් නිරූපනය කිරීම පැහැදිලිය, මන්ද මේ ආකාරයෙන්, නිර්වචන කලාපයේ ඕනෑම අවස්ථාවක, වැඩිදුර ගණනය කිරීම් සඳහා අඩු බලපෑමක් ඇති අවම දෝෂයක් සමඟ, දළ අගයක් වුවද, ගණනය කිරීම පහසුය. මෙය Maclaurin මාලාවට ද අදාළ වේ. ශුන්‍ය ලක්ෂ්‍යයේ ශ්‍රිතය ගණනය කිරීමට අවශ්ය වූ විට. කෙසේ වෙතත්, ලෝරන්ට් ශ්‍රේණියම මෙහි නිරූපණය වන්නේ මනඃකල්පිත ඒකක සහිත තලයේ ප්‍රසාරණයකිනි. එයද සාර්ථක නොවන්නේය නිවැරදි විසඳුමකාලය තුළ කාර්යයන් සාමාන්ය ක්රියාවලිය. මෙම ප්රවේශය ගණිතය තුළ නොදන්නා නමුත් එය වෛෂයිකව පවතී. එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, ඔබට ඊනියා ලක්ෂ්ය උප කුලකවල නිගමනයට පැමිණිය හැකි අතර, ශ්රේණියේ ශ්රිතයක් ප්රසාරණය කිරීමේදී ව්යුත්පන්න න්යාය යෙදීම වැනි මෙම ක්රියාවලිය සඳහා දන්නා ක්රම භාවිතා කළ යුතුය. පශ්චාත්-ගණන ගණනය කිරීම් වල ප්‍රතිඵල ගැන ඔහුගේ උපකල්පන කළ ගුරුවරයා නිවැරදි බව නැවත වරක් අපට ඒත්තු ගියේය. ගණිතයේ සියලුම කැනනයන්ට අනුව ලබාගත් ටේලර් ශ්‍රේණිය පවතින අතර එය සමස්ත සංඛ්‍යාත්මක අක්ෂයේම නිර්වචනය කර ඇති බව සටහන් කරමු, කෙසේ වෙතත්, අඩවි සේවාවේ හිතවත් පරිශීලකයින්, මුල් ශ්‍රිතයේ වර්ගය අමතක නොකරන්න, මන්ද එය හැරවිය හැකිය. මුලදී ශ්‍රිතයේ අර්ථ දැක්වීමේ වසම ස්ථාපිත කිරීම අවශ්ය වේ, එනම්, තාත්වික සංඛ්‍යා වල වසම තුළ ශ්‍රිතය අර්ථ දක්වා නොමැති කරුණු තවදුරටත් සලකා බැලීමෙන් ලියා බැහැර කිරීම. කතා කිරීමට නම්, මෙය ගැටලුව විසඳීමේ ඔබේ කාර්යක්ෂමතාව පෙන්වනු ඇත. ශුන්‍ය තර්ක අගයක් සහිත Maclaurin ශ්‍රේණියක් තැනීම පවසා ඇති දෙයට ව්‍යතිරේකයක් නොවනු ඇත. ශ්‍රිතයක නිර්වචනයේ වසම සොයා ගැනීමේ ක්රියාවලිය අවලංගු කර නොමැති අතර, ඔබ මෙය සියලු බැරෑරුම් ලෙස ප්‍රවේශ විය යුතුය. ගණිතමය මෙහෙයුම. ප්‍රධාන කොටස අඩංගු ලෝරන්ට් ශ්‍රේණියක නම්, “a” පරාමිතිය හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්‍යයක් ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර, ලෝරන්ට් ශ්‍රේණිය වළල්ලක් ලෙස පුළුල් කරනු ලැබේ - මෙය එහි කොටස් අභිසාරී වන ප්‍රදේශ වල ඡේදනයයි, එබැවින් අනුරූප ප්රමේයය අනුගමනය කරනු ඇත. නමුත් අද්දැකීම් අඩු සිසුවෙකුට බැලූ බැල්මට පෙනෙන පරිදි සෑම දෙයක්ම සංකීර්ණ නොවේ. ටේලර් ශ්‍රේණිය අධ්‍යයනය කිරීමෙන් ඔබට ලෝරන්ට් ශ්‍රේණිය පහසුවෙන් තේරුම් ගත හැකිය - සංඛ්‍යා අවකාශය පුළුල් කිරීම සඳහා සාමාන්‍යකරණය කරන ලද නඩුවකි. ශ්‍රිතයක ඕනෑම ශ්‍රේණි ප්‍රසාරණයක් සිදු කළ හැක්කේ ශ්‍රිතයේ නිර්වචන වසමේ ලක්ෂ්‍යයක පමණි. ආවර්තිතා හෝ අනන්ත අවකලනය වැනි ශ්රිතවල ගුණාංග සැලකිල්ලට ගත යුතුය. ඔබ සූදානම් කළ ටේලර් මාලාවේ පුළුල් කිරීමේ වගුව භාවිතා කරන ලෙස අපි යෝජනා කරමු මූලික කාර්යයන්, එක් ශ්රිතයක් එකිනෙකට වෙනස් දස ගණනකින් නිරූපණය කළ හැකි බැවිනි බල මාලාව, එය අපගේ මාර්ගගත කැල්කියුලේටරය භාවිතයෙන් දැක ගත හැකිය. සබැඳි මාලාවමැක්ලවුරින් තීරණය කිරීම පෙයාර්ස් ෂෙල් වෙඩි තැබීම තරම් පහසු ය, ඔබ වෙබ් අඩවියේ අද්විතීය සේවාව භාවිතා කරන්නේ නම්, ඔබට නිවැරදි ලිඛිත කාර්යය ඇතුළත් කළ යුතු අතර තත්පර කිහිපයකින් ඔබට ඉදිරිපත් කරන ලද පිළිතුර ලැබෙනු ඇත, එය නිවැරදි හා ප්‍රමිතියෙන් සහතික වනු ඇත. ලිඛිත ආකෘතිය. ගුරුවරයාට ඉදිරිපත් කිරීම සඳහා ඔබට ප්‍රතිඵලය කෙලින්ම පිරිසිදු පිටපතකට පිටපත් කළ හැකිය. ප්‍රශ්නගත ශ්‍රිතයේ විශ්ලේෂණ වළලු තුළ පළමුව තීරණය කිරීම නිවැරදි වනු ඇත, පසුව එය ලෝරන්ට් ශ්‍රේණියක් තුළ එවැනි සියලු වළලු තුළ ප්රසාරණය කළ හැකි බව නිසැකව ප්‍රකාශ කරන්න. සෘණ බලයන් අඩංගු ලෝරන්ට් මාලාවේ නියමයන් නොසලකා හැරීම වැදගත් වේ. හැකිතාක් මේ ගැන අවධානය යොමු කරන්න. පූර්ණ සංඛ්‍යා බලවල ශ්‍රිතයක ප්රසාරණය පිළිබඳ ලෝරන්ට්ගේ ප්රමේයය හොඳින් භාවිතා කරන්න.
කාර්යය නම් f(x)ලක්ෂ්යය අඩංගු යම් කාල පරතරයක් ඇත ඒ, සියලුම ඇණවුම් වල ව්යුත්පන්න, එවිට ටේලර් සූත්‍රය එයට යෙදිය හැක:
කොහෙද ආර් එන්- ශ්රේණියේ ඊනියා ඉතිරි පදය හෝ ඉතිරිය, එය Lagrange සූත්‍රය භාවිතයෙන් ඇස්තමේන්තු කළ හැක:
, x අංකය අතර ඇති තැන xසහ ඒ.
යම් වටිනාකමක් සඳහා නම් x ආර් එන්®0 ට n®¥, එවිට සීමාව තුළ ටේලර් සූත්‍රය මෙම අගය සඳහා අභිසාරී සූත්‍රයක් බවට පත් වේ ටේලර් මාලාව:
එබැවින් කාර්යය f(x)ප්‍රශ්නකාරී ස්ථානයේ ටේලර් මාලාවක් දක්වා පුළුල් කළ හැක x, නම්:
1) එයට සියලුම ඇණවුම් වල ව්යුත්පන්න ඇත;
2) ඉදිකරන ලද ශ්‍රේණිය මෙම ස්ථානයේ අභිසාරී වේ.
හිදී ඒ=0 අපට ශ්‍රේණියක් ලැබේ Maclaurin අසල:
උදාහරණ 1 f(x)= 2x.
විසඳුමක්. අපි ශ්‍රිතයේ අගයන් සහ එහි ව්‍යුත්පන්නයන් සොයා ගනිමු x=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f¢¢(x) = 2x ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
ටේලර් ශ්‍රේණි සූත්‍රයට ව්‍යුත්පන්නවල ලබාගත් අගයන් ආදේශ කිරීම, අපි ලබා ගන්නේ:
මෙම ශ්රේණියේ අභිසාරී අරය අනන්තයට සමාන වේ, එබැවින් මෙම ප්රසාරණය වලංගු වන්නේ -¥
