කොටස් අනුව ඒකාබද්ධ කිරීම සඳහා සූත්රය. සංකීර්ණ අනුකලනය

සමාන සංයුතියක කොටස් මගින් ඒකාබද්ධ කිරීමේ උදාහරණ 1 වන සහ 2 වන පාඨමාලා සිසුන්ට ලබා දී ඇත. මෙම කාර්යයන් LNU හි පාලන කාර්යය මත සකසා ඇත. I. ෆ්රෑන්ක්. කාර්යයන් සහ පිළිතුරු වල සූත්‍ර නැවත සිදු නොවන පරිදි, අපි කාර්යයන් විස්තර නොකරමු. කාර්යයේ තත්වය අනුව, ඔබට "අනුකලනය සොයා ගන්න" හෝ "අනුකලනය ගණනය කරන්න" අවශ්ය වේ.
උදාහරණ 8. අපි int(u*dv)=u*v-int(v*du) කොටස් මගින් අනුකලනය කිරීමේ රීතිය අනුව අනුකලනය සොයා ගනිමු. මෙහි ප්රධානතම දෙය වන්නේ රීතිය සඳහා නිවැරදි කාර්යයන් තෝරා ගැනීමයි. (ඔබටම මතක තබා ගන්න, dv සඳහා, හැකි නම්, ආවර්තිතා ශ්‍රිත තෝරන්න හෝ, සාධකයක් දක්වා අවකලනය කළ විට, ඒවා - ඝාතකය). මෙම අනුකලනය තුළ, ඔබ අවකලනය යටතේ සයින් ගෙන ආ යුතුය

තවදුරටත් ඒකාබද්ධ කිරීම තරමක් සරල වන අතර අපි විස්තර මත රැඳී නොසිටිමු.

උදාහරණ 9. නැවතත්, අපි u*dv කොටස් මගින් ඒකාබද්ධ කිරීමේ රීතිය යෙදිය යුතුය. මෙන්න අපි නිෂ්පාදනය ආවර්තිතා කාර්යයප්‍රදර්ශකයට, එබැවින් අවකලනය යටතේ ගෙන ඒමට වඩා හොඳ කුමක්ද යන්න ඔබට භාරයි. ඔබට ඝාතකය සහ කෝසයින් යන දෙකම භාවිතා කළ හැකිය (එක් එක් අවස්ථාවකදී අපට පුනරාවර්තන සූත්‍රයක් ලැබේ).

කොටස් මගින් අනුකලනය නැවත යෙදීම

අපි පුනරාවර්තන සූත්‍රයකට පැමිණියෙමු. අපි සොයන අනුකලනය සහ ගණනය කිරීම් වල ප්‍රති result ලය ලියන්නේ නම්, අපට සමාන පද දෙකක් ලැබේ

අපි ඒවා කණ්ඩායම් කර අපේක්ෂිත අනුකලනය සොයා ගනිමු


උදාහරණ 10. අප සතුව u * dv රීතිය යටතේ අනුකලනය පිළිබඳ සූදානම් වාර්තාවක් ඇත. du සොයාගෙන ඒකාබද්ධ කිරීම සිදු කරන්න


අපි වගු සූත්රය යටතේ දෙවන අනුකලනය අඩු කර එය ගණනය කරමු

උදාහරණය 11. cos(ln(x))=u і find du යන නව විචල්‍යය මගින් දක්වන්න, පසුව අවකලනය යටතේ ඇතුලත් කරන්න


අනුකලනයට, අපි නැවතත් කොටස් අනුව ඒකාබද්ධ කිරීමේ රීතිය යොදන්නෙමු


ප්‍රත්‍යාවර්තී සූත්‍රයට පැමිණියා

එය සමඟ අපි නොදන්නා අනුකලනය ගණනය කරමු

උදාහරණ 12. අනුකලනය සොයා ගැනීමට, අපි හරය තුළ සම්පූර්ණ චතුරස්රයක් තෝරා ගනිමු. දක්වා හරය තවදුරටත් අඩු කිරීම සුප්රසිද්ධ සූත්රයඅනුකලනය අපට චාප ස්පර්ශකය ලබා ගනී


ගුණකවල විකල්ප අනුපිළිවෙල මතක තබා ගන්න. නිදහස් පදයේ මූලයෙන් බෙදූ ඒකකය චාප ස්පර්ශකයට පෙර දිස්වන අතර මෙම සාධකය විචල්‍යයට පෙර චාප ස්පර්ශකයේ ද පවතී.
උදාහරණ 13. අපි සමාන අනුකලනයක් සමඟ කටයුතු කරන්නෙමු, හරය තුළ පමණක් චතුරස්රාකාර යැපීම මූලයට යටින් පවතී. අපි සම්පූර්ණ චතුරස්රය තෝරාගෙන එය ලඝුගණකය ලබා දෙන ඒකාබද්ධ කිරීමේ සූත්රය වෙත අඩු කරන්නෙමු


මේවා පාලනය හෝ පරීක්ෂණ පිළිබඳ උදාහරණ වේ. මූලික ඒකාබද්ධ යෝජනා ක්රම හොඳින් මතක තබා ගන්න.
ඔබට අනුකලනය ඔබම විසඳා ගත නොහැකි නම්, උදව් ඉල්ලන්න.

අනුකලනය විසඳීම පහසු කාර්යයකි, නමුත් ප්‍රභූන්ට පමණි. මෙම ලිපිය අනුකලනය තේරුම් ගැනීමට ඉගෙන ගැනීමට කැමති, නමුත් ඒවා ගැන මඳක් හෝ කිසිවක් නොදන්නා අය සඳහා වේ. අනුකලනය ... එය අවශ්ය වන්නේ ඇයි? එය ගණනය කරන්නේ කෙසේද? නිශ්චිත සහ අවිනිශ්චිත අනුකලනය යනු කුමක්ද? ඔබ දන්නා අනුකලනයේ එකම භාවිතය ප්‍රයෝජනවත් දෙයක් පිටතට සම්බන්ධ කිරීම නම් ළඟා වීමට අපහසු ස්ථානඑහෙනම් සාදරයෙන් පිළිගනිමු! අනුකලනය විසඳන්නේ කෙසේද සහ ඔබට එය නොමැතිව කළ නොහැක්කේ මන්දැයි ඉගෙන ගන්න.

අපි "අනුකලිත" සංකල්පය අධ්යයනය කරමු

ඒකාබද්ධ කිරීම දැනටමත් දැන සිටියේය පුරාණ ඊජිප්තුව. ඇත්ත වශයෙන්ම ඇතුල් නොවේ නවීන ස්වරූපය, නමුත් තවමත්. එතැන් සිට ගණිතඥයින් මෙම විෂය පිළිබඳව පොත් රාශියක් ලියා ඇත. විශේෂයෙන් කැපී පෙනේ නිව්ටන් හා ලයිබ්නිස් නමුත් දේවල්වල සාරය වෙනස් වී නැත. මුල සිට අනුකලනය තේරුම් ගන්නේ කෙසේද? කොහෙත්ම නැහැ! මෙම මාතෘකාව තේරුම් ගැනීමට, ඔබට තවමත් අවශ්ය වනු ඇත මූලික දැනුමමූලික කරුණු ගණිතමය විශ්ලේෂණය. අනුකලනය අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා ද අවශ්‍ය වන, පිළිබඳ තොරතුරු දැනටමත් අපගේ බ්ලොග් අඩවියේ ඇත.

අවිනිශ්චිත අනුකලනය

අපි යම් කාර්යයක් කරමු f(x) .

ශ්‍රිතයේ අවිනිශ්චිත අනුකලනය f(x) එවැනි ශ්රිතයක් ලෙස හැඳින්වේ F(x) , එහි ව්‍යුත්පන්නය ශ්‍රිතයට සමාන වේ f(x) .

වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අනුකලනයක් යනු ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න හෝ ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයකි. මාර්ගය වන විට, අපගේ ලිපියේ කියවිය යුතු ආකාරය ගැන.

ප්‍රාථමිකය සෑම කෙනෙකුටම පවතී අඛණ්ඩ කාර්යයන්. එසේම, නියතයකින් වෙනස් වන ශ්‍රිතවල ව්‍යුත්පන්නයන් සමපාත වන බැවින් නියත ලකුණක් බොහෝ විට ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයට එකතු වේ. අනුකලයක් සෙවීමේ ක්‍රියාවලිය අනුකලනය ලෙස හැඳින්වේ.

සරල උදාහරණයක්:

ප්රාථමිකයන් නිරන්තරයෙන් ගණනය නොකිරීමට මූලික කාර්යයන්, ඒවා වගුවක සාරාංශ කිරීම සහ සූදානම් කළ අගයන් භාවිතා කිරීම පහසුය:

නිශ්චිත අනුකලනය

අනුකලනය පිළිබඳ සංකල්පය සමඟ කටයුතු කරන විට, අප කටයුතු කරන්නේ අපරිමිත ප්‍රමාණ සමඟ ය. රූපයේ ප්‍රදේශය, සමජාතීය ශරීරයක ස්කන්ධය, අසමාන චලනය අතරතුර ගමන් කළ මාර්ගය සහ තවත් බොහෝ දේ ගණනය කිරීමට අනුකලනය උපකාරී වේ. අනුකලය යනු අනන්තයේ එකතුව බව මතක තබා ගත යුතුය විශාල සංඛ්යාවක්අසීමිත පද.

උදාහරණයක් ලෙස, යම් කාර්යයක ප්රස්ථාරයක් සිතන්න. රූපයක ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේද සීමිත කාලසටහනකාර්යයන්?

අනුකලනයක ආධාරයෙන්! අපි පොඩි කරමු curvilinear trapezoid, ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සහ ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාර මගින් සීමා රහිත කුඩා කොටස් වලට සීමා වේ. මේ අනුව, රූපය තුනී තීරු වලට බෙදනු ඇත. තීරු වල ප්‍රදේශ වල එකතුව trapezoid ප්‍රදේශය වේ. නමුත් එවැනි ගණනය කිරීමක් ආසන්න ප්රතිඵලය ලබා දෙන බව මතක තබා ගන්න. කෙසේ වෙතත්, කොටස් කුඩා හා පටු වන තරමට, ගණනය කිරීම වඩාත් නිවැරදි වනු ඇත. අපි ඒවා දිග ශුන්‍යයට නැඹුරු වන තරමට අඩු කළහොත්, කොටස්වල ප්‍රදේශ වල එකතුව රූපයේ ප්‍රදේශයට නැඹුරු වේ. මෙය නිශ්චිත අනුකලනය වන අතර එය පහත පරිදි ලියා ඇත:

ලකුණු a සහ b ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් ලෙස හැඳින්වේ.

බාරි අලිබසොව් සහ "අනුකලිත" කණ්ඩායම

ඒ කෙසේ වුවත්! අපගේ පාඨකයන් සඳහා දැන් 10% ක වට්ටමක් ඇත

ඩමි සඳහා අනුකලනය ගණනය කිරීම සඳහා රීති

අවිනිශ්චිත අනුකලයේ ගුණ

අවිනිශ්චිත අනුකලනය විසඳන්නේ කෙසේද? මෙන්න අපි ගුණාංග සලකා බලමු නිශ්චිත අනුකලනයඋදාහරණ විසඳීමේදී ප්රයෝජනවත් වනු ඇත.

• අනුකලනයේ ව්‍යුත්පන්නය අනුකලනයට සමාන වේ:

• අනුකලිත ලකුණ යටතේ නියතය ලබා ගත හැක:

• එකතුවේ අනුකලනය එකතුවට සමාන වේඅනුකලනය. වෙනස සඳහා ද සත්‍ය වේ:

නිශ්චිත අනුකලනයේ ගුණ

• රේඛීයත්වය:

• අනුකලනයෙහි සීමාවන් ආපසු හැරවියහොත් අනුකලිත වෙනස්කම් වල ලකුණ:

• හිදී කිසියම්ලකුණු ඒ, බීහා සමඟ:

නිශ්චිත අනුකලනය යනු එකතුවේ සීමාව බව අපි දැනටමත් සොයාගෙන ඇත. නමුත් උදාහරණයක් විසඳීමේදී නිශ්චිත අගයක් ලබා ගන්නේ කෙසේද? මේ සඳහා නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රය ඇත:

අනුකලනය විසඳීමේ උදාහරණ

පහත දැක්වෙන්නේ අපි අවිනිශ්චිත අනුකල සොයා ගැනීම සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් සලකා බලමු. විසඳුමේ ඇති සංකීර්ණතා ස්වාධීනව තේරුම් ගැනීමට අපි ඔබට ඉදිරිපත් වන අතර, යමක් පැහැදිලි නැතිනම්, අදහස් දැක්වීමේදී ප්රශ්න අසන්න.

ද්රව්යය ඒකාබද්ධ කිරීම සඳහා, අනුකලනය ප්රායෝගිකව විසඳන ආකාරය පිළිබඳ වීඩියෝවක් බලන්න. අනුකලනය වහාම ලබා නොදෙන්නේ නම් බලාපොරොත්තු සුන් නොකරන්න. වෘත්තීය ශිෂ්‍ය සේවාවක් වෙත හැරෙන්න, සංවෘත මතුපිටක් මත ඕනෑම ත්‍රිත්ව හෝ වක්‍ර අනුකලනයක් ඔබේ බලය තුළ පවතිනු ඇත.

මෙම මාතෘකාව තුළ, අපි ඊනියා "කොටස් සූත්‍රය මගින් ඒකාබද්ධ කිරීම" භාවිතා කරමින් අවිනිශ්චිත අනුකලයන් ගණනය කිරීම විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කරමු. අපට අවිනිශ්චිත අනුකලන වගුවක් සහ ව්‍යුත්පන්න වගුවක් අවශ්‍ය වේ. පළමු කොටසේදී විසුරුවා හරිනු ලැබේ සම්මත උදාහරණ, බොහෝ දුරට සම්මත ගණනය කිරීම් සහ පාලන වැඩ. තව සංකීර්ණ උදාහරණදෙවන කොටසේදී විසුරුවා හරින ලදී.

සම්මත නඩුවේ ගැටලුවේ ප්රකාශය පහත පරිදි වේ. අනුකලනය යටතේ අපට කාර්යයන් දෙකක් ඇතැයි සිතමු වෙනස් ස්වභාවය: බහුපද සහ ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතය, බහුපද සහ ලඝුගණකය, බහුපද සහ ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතය සහ යනාදිය. මෙම තත්වය තුළ, එක් කාර්යයකින් තවත් කාර්යයක් වෙන් කිරීම වාසිදායක වේ. දළ වශයෙන් කිවහොත්, අනුකලනය කොටස් වලට කැඩීම අර්ථවත් කරයි - සහ එක් එක් කොටස සමඟ වෙන වෙනම කටයුතු කරන්න. එබැවින් නම: "කොටස් අනුව ඒකාබද්ධ කිරීම". මෙම ක්‍රමයේ යෙදීම පහත ප්‍රමේයය මත පදනම් වේ:

$u(x)$ සහ $v(x)$ යන ශ්‍රිත යම් කාල පරතරයකදී අවකලනය වීමට ඉඩ හරින්න, සහ අනුකලනය $\int v \; du$. එවිට අනුකලනය $\int u \; dv$, පහත සමානාත්මතාවය සත්‍ය වන අතර:

\begin(සමීකරණය) \int u \; dv=u\cdot v-\int v\; du \end(සමීකරණය)

සූත්‍රය (1) "කොටස් අනුව ඒකාබද්ධ කිරීමේ සූත්‍රය" ලෙස හැඳින්වේ. සමහර විට, ඉහත ප්‍රමේයය යෙදීමේදී, "කොටස් අනුව ඒකාබද්ධ කිරීමේ ක්‍රමය" භාවිතා කිරීම ගැන කතා කරයි. මෙම ක්රමයේ සාරය ගැන අපි උනන්දු වනු ඇත, අපි උදාහරණ සමඟ සලකා බලමු. සූත්‍රය (1) පැහැදිලිවම අදාළ වන සම්මත අවස්ථා කිහිපයක් තිබේ. මෙම පිටුවේ මාතෘකාව බවට පත්වන්නේ මෙම අවස්ථා ය. ඉඩ දෙන්න $P_n(x)$ - බහුපද nthඋපාධිය. අපි නීති දෙකක් හඳුන්වා දෙමු:

රීති අංක 1

පෝරමයේ අනුකලනය සඳහා $\int P_n(x) \ln x \;dx$, $\int P_n(x) \arcsin x \;dx$, $\int P_n(x) \arccos x \;dx$, $\ int P_n(x)\arctg x \;dx$, $\int P_n(x) \arcctg x \;dx$ අපි ගන්නේ $dv=P_n(x)dx$.

රීති අංක 2

$\int P_n(x) a^x \;dx$ ($a$) පෝරමයේ අනුකලනය සඳහා ධනාත්මක අංකය), $\int P_n(x) \sin x \;dx$, $\int P_n(x) \cos x \;dx$, $\int P_n(x)ch x \;dx$, $\int P_n (x) sh x \;dx$ අපි $u=P_n(x)$ ගන්නවා.

ඉහත වාර්තා වචනානුසාරයෙන් නොගත යුතු බව මම වහාම සටහන් කරමි. උදාහරණයක් ලෙස, $\int P_n(x) \ln x \;dx$ පෝරමයේ අනුකලනයන්හි එය හරියටම $\ln x$ නොවේ. $\ln 5x$ සහ $\ln (10x^2+14x-5)$ යන දෙකම එහි තැබිය හැක. එම. $\ln x$ සාමාන්‍යකරණයක් ලෙස ගත යුතුය.

තව එක මොහොතක්. අනුකලනය-කොටස් සූත්රය කිහිප වතාවක් යෙදිය යුතු බව සිදු වේ. අංක 4 සහ අංක 5 උදාහරණ වලින් අපි මේ ගැන වඩාත් විස්තරාත්මකව කතා කරමු. දැන් අපි සාමාන්‍ය ගැටළු විසඳීමට යමු. ගැටළු විසඳීම, එහි මට්ටම සම්මත ඒවාට වඩා තරමක් ඉහළ ය, දෙවන කොටසෙහි කටයුතු කරනු ලැබේ.

උදාහරණ #1

$\int (3x+4) \cos (2x-1) \ සොයන්න; dx$.

අනුකලනය යටතේ $3x+4$ බහුපදයක් සහ $\cos (2x-1)$ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයක් ඇත. මෙය සූත්‍රය යෙදීම සඳහා සම්භාව්‍ය අවස්ථාවකි, එබැවින් ලබා දී ඇති අනුකලනය කොටස් වශයෙන් ගනිමු. සූත්‍රයට අවශ්‍ය වන්නේ අනුකලිත $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx$ නියෝජනය කළේ $\int u \; dv$. අපි $u$ සඳහා සහ $dv$ සඳහා ප්‍රකාශන තෝරාගත යුතුයි. $3x+4$ $u$ ලෙස ගත හැක, පසුව $dv=\cos (2x-1)dx$. කෙනෙකුට $u=\cos (2x-1)$, පසුව $dv=(3x+4)dx$ ගත හැක. කිරීමට නිවැරදි තේරීමවෙත හැරෙමු. අනුකලිත $\int (3x+4) \cos (2x-1) \ ලබා දී ඇත; dx$ $\int P_n(x) \cos x \;dx$ පෝරමය යටතේ වැටේ (අපගේ අනුකලනයේ $P_n(x)$ බහුපදයේ $3x+4$ ආකෘතිය ඇත). ඒ අනුව, ඔබ තෝරාගත යුතුය $u=P_n(x)$, i.e. අපගේ නඩුවේ $u=3x+4$. $u=3x+4$ සිට, පසුව $dv=\cos(2x-1)dx$.

කෙසේ වෙතත්, එය හුදෙක් $u$ සහ $dv$ තෝරා ගැනීමට ප්රමාණවත් නොවේ. අපට $du$ සහ $v$ අගයන් ද අවශ්‍ය වේ. $u=3x+4$ සිට, එවිට:

$$ du=d(3x+4)=(3x+4)"dx=3dx.$$

දැන් අපි $v$ කාර්යය සමඟ කටයුතු කරමු. $dv=\cos(2x-1)dx$ සිට, අවිනිශ්චිත අනුකලයේ අර්ථ දැක්වීමට අනුව අපට ඇත්තේ: $ v=\int \cos(2x-1)\; dx$. අවශ්‍ය අනුකලනය සොයා ගැනීමට, අපි අවකල ලකුණ යටතේ හැඳින්වීම යොදන්නෙමු:

$$ v=\int \cos(2x-1)\; dx=\frac(1)(2)\cdot \int \cos(2x-1)d(2x-1)=\frac(1)(2)\cdot \sin(2x-1)+C=\frac (\ sin(2x-1))(2)+C. $$

කෙසේ වෙතත්, $\frac(\sin(2x-1))(2)+C$ සූත්‍රයෙන් විස්තර කෙරෙන $v$ සම්පූර්ණ අනන්ත ශ්‍රිත කට්ටලයම අපට අවශ්‍ය නොවේ. අපිට ටිකක් ඕන එකමෙම කට්ටලයෙන් කාර්යය. අපේක්ෂිත කාර්යය ලබා ගැනීම සඳහා, ඔබ $C$ වෙනුවට යම් අංකයක් ආදේශ කළ යුතුය. ඇත්ත වශයෙන්ම, පහසුම ක්‍රමය වන්නේ $C=0$ ආදේශ කිරීමයි, ඒ අනුව $v=\frac(\sin(2x-1))(2)$ ලබා ගැනීමයි.

එබැවින් අපි ඉහත සියල්ල එකට එකතු කරමු. අපට ඇත්තේ: $u=3x+4$, $du=3dx$, $dv=\cos(2x-1)dx$, $v=\frac(\sin(2x-1))(2)$. ඒ සියල්ල ප්ලග් කිරීම දකුණු පැත්තඅපට සූත්‍ර ඇත:

$$ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=(3x+4)\cdot\frac(\sin(2x-1))(2)-\int \frac(\sin(2x-1))(2)\cdot 3dx. $$

එය ඉතිරිව ඇත්තේ, $\int\frac(\sin(2x-1))(2)\cdot 3dx$ සොයා ගැනීමට පමණි. අනුකලිත ලකුණෙන් නියතය (එනම් $\frac(3)(2)$) ගෙන අවකල ලකුණ යටතේ හඳුන්වාදීමේ ක්‍රමය යෙදීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

$$ (3x+4)\cdot \frac(\sin(2x-1))(2)-\int \frac(\sin(2x-1))(2)\cdot 3dx= \frac((3x+ 4) )\cdot\sin(2x-1))(2)-\frac(3)(2)\int \sin(2x-1) \;dx= \\ =\frac((3x+4)\cdot \ sin(2x-1))(2)-\frac(3)(4)\int \sin(2x-1) \;d(2x-1)= \frac((3x+4)\cdot\sin ( 2x-1))(2)-\frac(3)(4)\cdot (-\cos (2x-1))+C=\\ =\frac((3x+4)\cdot\sin(2x - 1))(2)+\frac(3)(4)\cdot \cos(2x-1)+C. $$

ඉතින් $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\frac((3x+4)\cdot\sin(2x-1))(2)+\frac(3)(4)\cdot \cos (2x-1)+C$. කෙටි ස්වරූපයෙන්, විසඳුම් ක්රියාවලිය පහත පරිදි ලියා ඇත:

$$ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\වම | \begin(aligned) & u=3x+4; \; du=3xdx.\\ & dv=\cos(2x-1)dx; \; v=\frac(\sin(2x-1))(2). \end(පෙළගැසී) \right |=\\ =(3x+4)\cdot\frac(\sin(2x-1))(2)-\int \frac(\sin(2x-1))(2) \cdot 3dx= \frac((3x+4)\cdot\sin(2x-1))(2)-\frac(3)(2)\int \sin(2x-1) \;dx=\\ = \frac((3x+4)\cdot\sin(2x-1))(2)-\frac(3)(4)\cdot (-\cos (2x-1))+C= \frac((3x) +4)\cdot\sin(2x-1))(2)+\frac(3)(4)\cdot \cos(2x-1)+C. $$

කොටස් අනුව අවිනිශ්චිත අනුකලනය හමු වේ, එය ඉතිරිව ඇත්තේ පිළිතුර ලිවීමට පමණි.

පිළිතුර: $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\frac((3x+4)\cdot\sin(2x-1))(2)+\frac(3)(4)\cdot \cos (2x-1)+C$.

මම හිතන්නේ මේක ප්‍රශ්නයකින් තොරව සිදු නොවනු ඇත, එබැවින් මම එය සකස් කර පිළිතුරක් දීමට උත්සාහ කරමි.

අපි හරියටම $u=3x+4$ සහ $dv=\cos(2x-1)dx$ තෝරාගත්තේ ඇයි? ඔව්, අනුකලනය විසඳා ඇත. නමුත් සමහර විට අපි $u=\cos (2x-1)$ සහ $dv=(3x+4)dx$ ගත්තොත් integral එකත් හම්බවෙයි!

නැහැ, අපි $u=\cos (2x-1)$ සහ $dv=(3x+4)dx$ ගත්තොත්, ඒකෙන් කිසිම හොඳක් එන්නේ නැහැ - අනුකලනය සරල වෙන්නේ නැහැ. ඔබම විනිශ්චය කරන්න: $u=\cos(2x-1)$ නම්, $du=(\cos(2x-1))"dx=-2\sin(2x-1)dx$. එපමණක් නොව, $ dv සිට =(3x+4)dx$, එවිට:

$$ v=\int (3x+4) \; dx=\frac(3x^2)(2)+4x+C.$$

$C=0$ ගත්තම අපිට $v=\frac(3x^2)(2)+4x$ ලැබෙනවා. අපි දැන් සොයා ගත් $u$, $du$, $v$ සහ $dv$ යන අගයන් සූත්‍රයට ආදේශ කරමු:

$$ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\cos (2x-1)\cdot \left(\frac(3x^2)(2)+4x \right) - \int \left(\frac(3x^2)(2)+4x \දකුණ) \cdot (-2\sin(2x-1)dx)=\\ =\cos (2x-1)\cdot \left(\frac(3x^2)(2)+4x \right) +2\cdot\ int \left(\frac(3x^2)(2)+4x \දකුණ) \sin(2x-1)\;dx $$

සහ අප පැමිණ ඇත්තේ කුමක් ද? අපි අනුකලිත $\int \left (\frac(3x^2)(2)+4x \right) \sin(2x-1)\;dx$ වෙත පැමිණ ඇත, එය පැහැදිලිවම මුල් අනුකලිත $\ට වඩා සංකීර්ණ වේ int (3x+4) \ cos (2x-1) \; dx$. මෙයින් ඇඟවෙන්නේ $u$ සහ $dv$ තේරීම හොඳින් සිදු නොවූ බවයි. අනුකලනය-කොටස් සූත්‍රය යෙදීමෙන් පසු, ලැබෙන අනුකලනය මුල් එකට වඩා සරල විය යුතුය. කොටස් වශයෙන් අවිනිශ්චිත අනුකලයක් සොයා ගැනීම, අපි එය සරල කළ යුතුය, එය සංකීර්ණ නොකළ යුතුය, එබැවින් (1) සූත්‍රය යෙදීමෙන් පසු අනුකලනය වඩාත් සංකීර්ණ වන්නේ නම්, $u$ සහ $dv$ තේරීම වැරදිය.

උදාහරණ #2

$\int (3x^4+4x-1) \ln 5x \ සොයන්න; dx$.

අනුකලනය යටතේ බහුපදයක් (එනම් $3x^4+4x-1$) සහ $\ln 5x$ ඇත. මෙම නඩුව යටතට වැටේ, එබැවින් අපි කොටස් වශයෙන් අනුකලනය ගනිමු. ලබා දී ඇති අනුකලයට $\int P_n(x) \ln x\ අනුකලනයට සමාන ව්‍යුහයක් ඇත; dx$. නැවතත්, උදාහරණ #1 හි මෙන්, අපි අනුකලිත $(3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx$ $u$ ලෙස, සහ සමහර කොටසක් $dv$ ලෙස. අනුව, ඔබ $dv=P_n(x)dx$ තෝරාගත යුතුය, i.e. අපගේ නඩුවේ $dv=(3x^4+4x-1)dx$. $(3x^4+4x-1) \ln 5x \ ප්‍රකාශයෙන් නම්; dx$ "පිටතට ගන්න" $dv=(3x^4+4x-1)dx$, එවිට $\ln 5x$ ඉතිරි වේ - මෙය $u$ ශ්‍රිතයයි. ඉතින් $dv=(3x^4+4x-1)dx$, $u=\ln 5x$. සූත්‍රය යෙදීමට, අපට $du$ සහ $v$ ද අවශ්‍ය වේ. $u=\ln 5x$ සිට, එවිට:

$$ du=d(\ln 5x)=(\ln 5x)"dx=\frac(1)(5x)\cdot 5 dx=\frac(1)(x)dx. $$

දැන් අපි $v$ ශ්‍රිතය සොයා ගනිමු. $dv=(3x^4+4x-1)dx$ සිට, එවිට:

$$ v=\int(3x^4+4x-1)\; dx=\frac(3x^5)(5)+2x^2-x+C. $$

සොයාගත් සම්පූර්ණ අනන්ත ශ්‍රිත සමූහයෙන් $\frac(3x^5)(5)+2x^2-x+C$, අපි එකක් තෝරාගත යුතුයි. මෙය කිරීමට ඇති පහසුම ක්‍රමය නම් $C=0$ පිළිගැනීමයි, i.e. $v=\frac(3x^5)(5)+2x^2-x$. සූත්‍රය යෙදීමට සියල්ල සූදානම්. අපි $u=\ln 5x$, $du=\frac(1)(x)dx$, $v=\frac(3x^5)(5)+2x^2-x$ සහ අගයන් ආදේශ කරමු $dv=(3x^4+4x-1)dx$ අපට ඇත:

$$ \int (3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx=\වම | \begin(aligned) & u=\ln 5x; \; du=\frac(1)(x)dx.\\ & dv=(3x^4+4x-1)dx; \; v=\frac(3x^5)(5)+2x^2-x. \end(පෙළගැසී) \right |=\\ =\ln 5x \cdot \left (\frac(3x^5)(5)+2x^2-x \right)-\int \left (\frac(3x^ 5)(5)+2x^2-x \right)\cdot \frac(1)(x)dx=\\ =\වම (\frac(3x^5)(5)+2x^2-x \දකුණ )\cdot\ln 5x -\int \left (\frac(3x^4)(5)+2x-1 \right)dx=\\ =\වම (\frac(3x^5)(5)+2x^ 2-x \right)\cdot\ln 5x - \left (\frac(3x^5)(25)+x^2-x \right)+C=\\ =\වම (\frac(3x^5) (5)+2x^2-x \right)\cdot\ln 5x - \frac(3x^5)(25)-x^2+x+C. $$

පිළිතුර: $\int (3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx=\left (\frac(3x^5)(5)+2x^2-x \right)\cdot\ln 5x - \frac(3x^5)(25)-x^2+x+C$.

උදාහරණ #3

$\int \arccos x \ සොයන්න; dx$.

මෙම අනුකලනයට $\int P_n(x) \arccos x \;dx$ ව්‍යුහය ඇත. සාධාරණ ප්‍රශ්නයක් ක්ෂණිකව පැනනගින බව මට වැටහෙනවා: "දී ඇති අනුකලිත $\int\arccos x \; dx$ හි බහුපද $P_n(x)$ සැඟවී ඇත්තේ කොහේද? එහි බහුපදයක් නොමැත, arccosine පමණක් සහ එපමණයි! ". කෙසේ වෙතත්, ඇත්ත වශයෙන්ම, චාප කෝසයින් පමණක් නොව අනුකලනය යටතේ පිහිටා ඇත. මම $\int arccos x \ අනුකලනය ඉදිරිපත් කරමි; dx$ මේ වගේ: $\int 1\cdot\arccos x \; dx$. අනුකලනය එකකින් ගුණ කිරීමෙන් වෙනස් නොවන බවට එකඟ වන්න. මෙම ඒකකය $P_n(x)$ වේ. එම. $dv=1\cdot dx=dx$. සහ $u$ ලෙස (අනුව ) අපි $\arccos x$, i.e. $u=\arccos x$. සූත්‍රයට සම්බන්ධ වන $du$ සහ $v$ හි අගයන් පෙර උදාහරණවල ආකාරයටම සොයාගත හැකිය:

$$ du=(\arccos x)"dx=-\frac(1)(\sqrt(1-x^2))dx;\\ v=\int 1\; dx=x+C. $$

පෙර උදාහරණවල මෙන්, $C=0$ උපකල්පනය කිරීමෙන් අපට $v=x$ ලැබේ. සොයාගත් සියලුම පරාමිති සූත්‍රයට ආදේශ කිරීමෙන්, අපට පහත දේ ලැබෙනු ඇත:

$$ \int \arccos x \; dx=\වම | \begin(aligned) & u=\arccos x; \; du=-\frac(1)(\sqrt(1-x^2))dx.\\ & dv=dx; \; v=x. \end(පෙළගැසී) \right |=\\ =\arccos x \cdot x-\int x\cdot \left(-\frac(1)(\sqrt(1-x^2))dx \right)= \ arccos x \cdot x+\int \frac(xdx)(\sqrt(1-x^2))=\\ =x\cdot\arccos x-\frac(1)(2)\cdot\int (1-x ^2)^(-\frac(1)(2))d(1-x^2)= =x\cdot\arccos x-\frac(1)(2)\cdot\frac((1-x^ 2)^(\frac(1)(2)))(\frac(1)(2))+C=\\ =x\cdot\arccos x-\sqrt(1-x^2)+C. $$

පිළිතුර: $\int\arccos x \; dx=x\cdot\arccos x-\sqrt(1-x^2)+C$.

උදාහරණ #4

$\int (3x^2+x) e^(7x) \ සොයන්න; dx$.

මෙම උදාහරණයේ දී, කොටස් මගින් ඒකාබද්ධ කිරීම සඳහා සූත්රය දෙවරක් යෙදිය යුතුය. අනුකලනය $\int (3x^2+x) e^(7x) \; dx$ හි ව්‍යුහය $\int P_n(x) a^x \;dx$ ඇත. අපගේ නඩුවේදී $P_n(x)=3x^2+x$, $a=e$. ඒ අනුව, අපට ඇත්තේ: $u=3x^2+x$. ඒ අනුව $dv=e^(7x)dx$.

$$ du=(3x^2+x)"=(6x+1)dx;\\ v=\int e^(7x)\;dx=\frac(1)(7)\cdot \int e^( 7x)\;d(7x)=\frac(1)(7)\cdot e^(7x)+C=\frac(e^(7x))(7)+C.$$

නැවතත්, පෙර උදාහරණවල මෙන්, $C=0$ උපකල්පනය කරමින්, අපට ඇත්තේ: $v=\frac(e^(7x))(7)$.

$$ \int (3x^2+x) e^(7x) \; dx=\වම | \begin(aligned) & u=3x^2+x; \; du=(6x+1)dx.\\ & dv=e^(7x)dx; \; v=\frac(e^(7x))(7). \end(පෙළගැසී) \right |=\\ =(3x^2+x)\cdot\frac(e^(7x))(7)-\int \frac(e^(7x))(7)\cdot (6x+1)dx= \frac((3x^2+x)e^(7x))(7)-\frac(1)(7)\cdot \int (6x+1) e^(7x)\ ;dx. $$

අපි අනුකලිත $\int (6x+1) e^(7x)\;dx$ වෙත පැමිණ ඇත, එය නැවත කොටස් වශයෙන් ගත යුතුය. $u=6x+1$ සහ $dv=e^(7x)dx$ ගනිමින් අපට ඇත්තේ:

$$ \frac((3x^2+x)e^(7x))(7)-\frac(1)(7)\cdot \int (6x+1) e^(7x)\;dx=\වම | \begin(aligned) & u=6x+1; \; du=6dx.\\ & dv=e^(7x)dx; \; v=\frac(e^(7x))(7). \end(පෙළගැසී) \right |=\\ =\frac((3x^2+x)e^(7x))(7)-\frac(1)(7)\cdot \left ((6x+1) \cdot\frac(e^(7x))(7) - \int\frac(e^(7x))(7)\cdot 6\;dx \right)=\\ =\frac((3x^2+) x)e^(7x))(7) -\frac((6x+1)e^(7x))(49) +\frac(6)(49)\cdot\int\ e^(7x)\; dx=\\ =\frac((3x^2+x)e^(7x))(7) -\frac((6x+1)e^(7x))(49) +\frac(6)(49 )\cdot\frac(e^(7x))(7)+C=\\ =\frac((3x^2+x)e^(7x))(7) -\frac((6x+1)e ^(7x))(49) +\frac(6\;e^(7x))(343)+C. $$

වරහන් විවෘත කර නියමයන් නැවත සකස් කිරීමෙන් ලැබෙන පිළිතුර ද සරල කළ හැක:

$$ \frac((3x^2+x)e^(7x))(7) -\frac((6x+1)e^(7x))(49) +\frac(6\; e^(7x) ))(343)+C=e^(7x)\cdot \left(\frac(3x^2)(7)+\frac(x)(49)-\frac(1)(343) \දකුණ)+ සී. $$

පිළිතුර: $\int (3x^2+x) e^(7x) \; dx=e^(7x)\cdot \left(\frac(3x^2)(7)+\frac(x)(49)-\frac(1)(343) \දකුණ)+C$.

උදාහරණ #5

$\int (x^2+5)\sin(3x+1) \ සොයන්න; dx$.

මෙහිදී, පෙර උදාහරණයේදී මෙන්, කොටස් මගින් අනුකලනය දෙවරක් යොදනු ලැබේ. සවිස්තරාත්මක පැහැදිලි කිරීම් කලින් ලබා දී ඇත, එබැවින් මම විසඳුම පමණක් දෙන්නෙමි:

$$ \int (x^2+5)\sin(3x+1) \; dx=\වම | \begin(aligned) & u=x^2+5; \; du=2xdx.\\ & dv=\sin(3x+1)dx; \; v=-\frac(\cos(3x+1))(3). \end(පෙළගැසී) \right |=\\ =(x^2+5)\cdot \left(-\frac(\cos(3x+1))(3) \දකුණ)-\int\left(-\ frac(\cos(3x+1))(3) \දකුණ)\cdot 2xdx=\\ = -\frac((x^2+5)\cdot\cos(3x+1))(3) +\frac (2)(3)\int x\cos(3x+1)dx= \වම | \begin(aligned) & u=x; \; du=dx.\\ & dv=\cos(3x+1)dx; \; v=\frac(\sin(3x+1))(3). \end(පෙළගැසී) \right |=\\ =-\frac((x^2+5)\cdot\cos(3x+1))(3) +\frac(2)(3)\cdot \left x\cdot\frac(\sin(3x+1))(3)-\int\frac(\sin(3x+1))(3)dx \right)=\\ =-\frac((x^2) +5)\cdot\cos(3x+1))(3) +\frac(2x\sin(3x+1))(9)-\frac(2)(9)\cdot\int\sin(3x+1 )dx=\\ =-\frac((x^2+5)\cdot\cos(3x+1))(3) +\frac(2x\sin(3x+1))(9)-\frac ( 2)(9)\cdot \left(-\frac(\cos(3x+1))(3)\දකුණ)+C=\\ = -\frac((x^2+5)\cdot\cos ( 3x+1))(3) +\frac(2x\sin(3x+1))(9)+\frac(2\cos(3x+1))(27)+C=\\ =-\frac ( x^2\cdot\cos(3x+1))(3)-\frac(5\cdot\cos(3x+1))(3) +\frac(2x\sin(3x+1))(9 ) +\frac(2\cos(3x+1))(27)+C=\\ =-\frac(x^2\cdot\cos(3x+1))(3) +\frac(2x\sin 3x+1))(9)-\frac(43\cos(3x+1))(27)+C. $$

පිළිතුර: $\int (x^2+5)\sin(3x+1) \; dx=-\frac(x^2\cdot\cos(3x+1))(3) +\frac(2x\sin(3x+1))(9)-\frac(43\cos(3x+1) )(27)+C$.

#1 සහ #2 රීති වලට යටත් නොවන තරමක් සම්මත නොවන අවස්ථා වල කොටස් මගින් ඒකාබද්ධ කිරීමේ ක්‍රමය යෙදීම

දී ඇති විරාමයක දී අවකලනය කළ හැකි F(x) ශ්‍රිතයක් X ලෙස හැඳින්වේ කාර්යය සඳහා ප්රතිව්යුත්පන්න f(x), හෝ ඕනෑම x X සඳහා සමානාත්මතාවය දරන්නේ නම් f(x) හි අනුකලනයක්:

F "(x) = f(x). (8.1)

දී ඇති ශ්‍රිතයක් සඳහා සියලුම ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න සොයා ගැනීම එය ලෙස හැඳින්වේ අනුකලනය. ශ්‍රිතයේ අවිනිශ්චිත අනුකලනයදී ඇති අන්තරයක f(x) යනු f(x) ශ්‍රිතය සඳහා වූ සියලුම ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයන්ගේ කට්ටලයයි; තනතුර -

F(x) යනු f(x) ශ්‍රිතය සඳහා යම් ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයක් නම්, ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

මෙහි C යනු අත්තනෝමතික නියතයකි.

අනුකලිත වගුව

අර්ථ දැක්වීමෙන් සෘජුවම අපි අවිනිශ්චිත අනුකලයේ ප්‍රධාන ගුණාංග සහ වගු අනුකල ලැයිස්තුව ලබා ගනිමු:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

වගු අනුකලිත ලැයිස්තුව

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (මීටර් ≠ -1)

3.∫a x dx = a x / ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctg x + C

8.=ආර්ක්සින් x + සී

10.=-ctg x + C

විචල්ය ආදේශනය

බොහෝ කාර්යයන් ඒකාබද්ධ කිරීම සඳහා, විචල්‍යයක් වෙනස් කිරීමේ ක්‍රමය භාවිතා කරයි හෝ ආදේශන,අනුකලනය වගු ආකෘතියකට ගෙන ඒමට ඉඩ සලසයි.

f(z) ශ්‍රිතය [α,β] මත අඛණ්ඩව පවතී නම්, z =g(x) ශ්‍රිතයට අඛණ්ඩ ව්‍යුත්පන්නයක් සහ α ≤ g(x) ≤ β ඇත, එවිට

∫ f(g(x)) g "(x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

තවද, දකුණු පැත්තේ අනුකලනය කිරීමෙන් පසුව, z=g(x) ආදේශනයක් සිදු කළ යුතුය.

එය ඔප්පු කිරීමට, පෝරමයේ මුල් අනුකලනය ලිවීම ප්රමාණවත්ය:

∫ f(g(x)) g "(x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

උදාහරණ වශයෙන්:

කොටස් මගින් ඒකාබද්ධ කිරීමේ ක්රමය

u = f(x) සහ v = g(x) සන්තතික ඇති ශ්‍රිත වේ. එවිට, කෘති අනුව,

d(uv))= udv + vdu හෝ udv = d(uv) - vdu.

d(uv) ප්‍රකාශනය සඳහා, ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න පැහැදිලිවම uv වනු ඇත, එබැවින් සූත්‍රය සිදු වේ:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

මෙම සූත්‍රය රීතිය ප්‍රකාශ කරයි කොටස් මගින් ඒකාබද්ධ කිරීම. එය udv=uv"dx යන ප්‍රකාශනයේ අනුකලනය vdu=vu"dx ප්‍රකාශනයේ අනුකලනය වෙත ගෙන එයි.

උදාහරණයක් ලෙස, ∫xcosx dx සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය වේ. u = x, dv = cosxdx, so du=dx, v=sinx. ඉන්පසු

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

කොටස් මගින් ඒකාබද්ධ කිරීමේ රීතිය විචල්‍ය වෙනස් කිරීමට වඩා සීමිත විෂය පථයක් ඇත. නමුත් සමස්ත අනුකලිත පන්ති තිබේ, උදාහරණයක් ලෙස,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax සහ වෙනත්, ඒවා හරියටම කොටස් අනුව අනුකලනය භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ.

නිශ්චිත අනුකලනය

නිශ්චිත අනුකලනයක් පිළිබඳ සංකල්පය පහත පරිදි හඳුන්වා දෙනු ලැබේ. f(x) ශ්‍රිතයක් විරාමයක් මත අර්ථ දැක්වීමට ඉඩ දෙන්න. අපි කොටස [a,b] වලට බෙදමු n a= x 0 ලක්ෂ්‍යයෙන් කොටස්< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i \u003d x i - x i-1. f(ξ i)Δ x i පෝරමයේ එකතුව හැඳින්වේ අනුකලිත එකතුව, සහ එහි සීමාව λ = maxΔx i → 0, එය පවතී නම් සහ සීමිත නම්, හැඳින්වේ නිශ්චිත අනුකලනයශ්‍රිත f(x) of ඒකලින් බීසහ දැක්වේ:

F(ξ i)Δx i (8.5).

මෙම අවස්ථාවෙහි f(x) ශ්‍රිතය හැඳින්වේ කොටසකට ඒකාබද්ධ කළ හැකිය, a සහ b අංක ලෙස හැඳින්වේ අනුකලනයේ පහළ සහ ඉහළ සීමාව.

පහත සඳහන් ගුණාංග නිශ්චිත අනුකලනයක් සඳහා පවතී:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

අවසාන දේපල ලෙස හැඳින්වේ මධ්යන්ය අගය ප්රමේයය.

f(x) මත අඛණ්ඩව පවතින්න. එවිට මෙම කොටසෙහි අවිනිශ්චිත අනුකලනයක් පවතී

∫f(x)dx = F(x) + C

සහ සිදු වේ නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රය, එය අවිනිශ්චිත එක සමඟ නිශ්චිත අනුකලනය සම්බන්ධ කරයි:

F(b) - F(a). (8.6)

ජ්‍යාමිතික අර්ථ නිරූපණය: නිශ්චිත අනුකලනය යනු වක්‍ර y=f(x), සරල රේඛා x = a සහ x = b සහ අක්ෂ ඛණ්ඩය මගින් ඉහලින් මායිම් කර ඇති වක්‍ර රේඛීය trapezoid ප්‍රදේශයයි. ගොනා.

නුසුදුසු අනුකලනය

අසීමිත සීමාවන් සහිත අනුකලනය සහ අඛණ්ඩ (අසීමිත) ශ්‍රිතවල අනුකලයන් ලෙස හැඳින්වේ. නුසුදුසු. පළමු ආකාරයේ නුසුදුසු අනුකලනය -මේවා අසීමිත කාල පරාසයක් තුළ අනුකලනය වන අතර, පහත පරිදි අර්ථ දක්වා ඇත:

(8.7)

මෙම සීමාව පවතින්නේ නම් සහ සීමිත නම්, එය හැඳින්වේ f(x) හි අභිසාරී නුසුදුසු අනුකලනයපරතරය මත [а,+ ∞), සහ f(x) ශ්‍රිතය හැඳින්වේ අසීමිත පරතරයක් මත ඒකාබද්ධ කළ හැකිය[a,+ ∞). නොඑසේ නම් අනුකලයයි කියනු ලැබේ නොපවතියි හෝ අපසරනය වේ.

අන්තරයන් (-∞,b] සහ (-∞, + ∞) මත ඇති නුසුදුසු අනුකලනය සමාන ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත:

අසීමිත ශ්‍රිතයක අනුකලනයක් පිළිබඳ සංකල්පය නිර්වචනය කරමු. f(x) සියලු අගයන් සඳහා අඛණ්ඩ නම් x segment , c ලක්ෂ්‍යය හැර, f(x) හි අසීමිත විරාමයක් ඇති, එවිට දෙවන වර්ගයේ නුසුදුසු අනුකලනය f(x) a සිට b දක්වාඑකතුව ලෙස හැඳින්වේ:

මෙම සීමාවන් පවතින්නේ නම් සහ සීමිත නම්. තනතුර:

අනුකලනය ගණනය කිරීමේ උදාහරණ

උදාහරණය 3.30.∫dx/(x+2) ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්. t = x+2, පසුව dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

උදාහරණය 3.31. ∫ tgxdx සොයන්න.

විසඳුමක්.∫tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. ඉඩ දෙන්න t=cosx, පසුව ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

උදාහරණයක්3.32 . ∫dx/sinx සොයන්න

විසඳුමක්.

උදාහරණයක්3.33. සොයන්න .

විසඳුමක්. = .

උදාහරණයක්3.34 . ∫arctgxdx සොයන්න.

විසඳුමක්. අපි කොටස් මගින් ඒකාබද්ධ කරමු. u=arctgx, dv=dx දක්වන්න. එවිට du = dx/(x 2 +1), v=x, කොහෙන්ද ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; නිසා
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

උදාහරණයක්3.35 . ∫lnxdx ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්.අනුකලනය-කොටස් සූත්‍රය යෙදීමෙන්, අපට ලැබෙන්නේ:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. එවිට ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

උදාහරණයක්3.36 . ∫e x sinxdx ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්. u = e x, dv = sinxdx, පසුව du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx දක්වන්න. අනුකලිත ∫e x cosxdx කොටස් මගින් ද අනුකලනය වේ: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. අපිට තියනවා:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. අපට ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, කොහෙන්ද 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C සම්බන්ධය ලැබුණා.

උදාහරණයක් 3.37. J = ∫cos(lnx)dx/x ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්. dx/x = dlnx නිසා, J= ∫cos(lnx)d(lnx). lnx t හරහා ප්‍රතිස්ථාපනය කරමින්, අපි J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C වගුව වෙත පැමිණෙමු.

උදාහරණයක් 3.38 . J = ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්.= d(lnx) බව සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි lnx = t ආදේශනය කරන්නෙමු. එවිට J = .

උදාහරණයක් 3.39 . අනුකලිත J = ගණනය කරන්න .

විසඳුමක්.අපිට තියනවා: . එබැවින් =
=
=. sqrt(tan(x/2)) ලෙස ඇතුලත් කර ඇත.

තවද ඔබ ප්‍රතිඵල කවුළුවේ ඉහළ දකුණු කෙළවරේ ඇති Show step මත ක්ලික් කළහොත් ඔබට සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් ලැබෙනු ඇත.

කොටස් අනුව ඒකාබද්ධ කිරීම- එක් අනුකලනයක් පහසුවෙන් අනුකලනය කළ හැකි අතර අනෙක අවකලනය කළ හැකි විට, නිශ්චිත සහ අවිනිශ්චිත අනුකලයන් විසඳීමට භාවිතා කරන ක්‍රමයකි. අවිනිශ්චිත සහ නිශ්චිත යන දෙඅංශයෙන්ම අනුකලයන් සොයා ගැනීම සඳහා තරමක් පොදු ක්‍රමයකි. ඔබට එය භාවිතා කිරීමට අවශ්‍ය වූ විට ඇති ප්‍රධාන සලකුණ වන්නේ ලකුණු හිස්ව ඒකාබද්ධ කළ නොහැකි ශ්‍රිත දෙකක නිෂ්පාදනයකින් සමන්විත යම් ශ්‍රිතයකි.

සූත්රය

මෙම ක්රමය සාර්ථකව භාවිතා කිරීම සඳහා, එය විසුරුවා හැරීමට සහ සූත්ර ඉගෙන ගැනීමට අවශ්ය වේ.

අවිනිශ්චිත අනුකලයේ කොටස් මගින් අනුකලනය කිරීමේ සූත්‍රය වන්නේ:

$$ \int udv = uv - \int vdu $$

නිශ්චිත අනුකලනයක කොටස් මගින් අනුකලනය කිරීමේ සූත්‍රය වන්නේ:

$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$

විසඳුම් උදාහරණ

බොහෝ විට පරීක්ෂණ වලදී ගුරුවරුන් විසින් පිරිනමනු ලබන කොටස් මගින් ඒකාබද්ධ කිරීමේ විසඳුම් පිළිබඳ ප්‍රායෝගික උදාහරණ සලකා බලමු. අනුකලිත නිරූපකය යටතේ ශ්‍රිත දෙකක නිෂ්පාදනයක් බව සලකන්න. මෙම ක්රමය විසඳුම සඳහා සුදුසු බවට ලකුණකි.

උදාහරණ 1

අනුකලනය $ \int xe^xdx $ සොයන්න

විසඳුමක්

අනුකලනය කාර්යයන් දෙකකින් සමන්විත වන බව අපට පෙනේ, ඉන් එකක් අවකලනය මත ක්ෂණිකව එකමුතු බවට හැරෙන අතර අනෙක පහසුවෙන් ඒකාබද්ධ වේ. අනුකලනය විසඳීම සඳහා, අපි කොටස් මගින් ඒකාබද්ධ කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කරමු. $ u = x \rightarrow du=dx $ සහ $ dv = e^x dx \rightarrow v=e^x $ කරමු අපි සොයාගත් අගයන් පළමු ඒකාබද්ධ කිරීමේ සූත්‍රයට ආදේශ කර ලබා ගනිමු: $$ \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C $$ ඔබට ඔබේ ගැටලුව විසඳා ගත නොහැකි නම්, එය අප වෙත එවන්න. අපි සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් ලබා දෙන්නෙමු. ගණනය කිරීමේ ප්‍රගතිය පිළිබඳව ඔබව හුරු කරවීමට සහ තොරතුරු රැස් කිරීමට ඔබට හැකි වනු ඇත. කාලෝචිත ආකාරයකින් ගුරුවරයාගෙන් ණයක් ලබා ගැනීමට මෙය ඔබට උපකාරී වනු ඇත!

පිළිතුර

$$ \int xe^x dx = xe^x - e^x + C $$

උදාහරණය 4

අනුකලිත $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $ ගණනය කරන්න

විසඳුමක්

කලින් විසඳන ලද උදාහරණ සමඟ ප්‍රතිසමයෙන්, ගැටළු නොමැතිව ඒකාබද්ධ කළ යුතු කාර්යය කුමක්ද, වෙන් කළ යුතු දේ අපි සොයා ගනිමු. ඔබ $ (x + 5) $ වෙන් කළහොත්, මෙම ප්‍රකාශනය ස්වයංක්‍රීයව එකමුතු බවට පරිවර්තනය වන අතර, එය අපට "අතට" පවතින බව කරුණාවෙන් සලකන්න. අපි කවියෙකු ලෙස මෙය කරමු: $$ u=x+5 \rightarrow du=dx, dv=3^x dx \rightarrow v=\frac(3^x)(ln3) $$ දැන් සියලුම නොදන්නා ශ්‍රිත සොයාගෙන ඇති අතර නිශ්චිත අනුකලනය සඳහා දෙවන අනුකලනය-කොටස් සූත්‍රයට දැමිය හැක. $$ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx = (x+5) \frac(3^x)(\ln 3) \bigg |_0 ^1 - \int \limits_0 ^1 \frac (3^x dx)(\ln 3) = $$ $$ = \frac(18)(\ln 3) - \frac(5)(\ln 3) - \frac(3^x)(\ln^2 3)\bigg| _0 ^1 = \frac(13)(\ln 3) - \frac(3)(\ln^2 3)+\frac(1)(\ln^2 3) = \frac(13)(\ln 3 )-\frac(4)(\ln^2 3) $$

පිළිතුර

$$ \int\limits_0 ^1 (x+5)3^x dx = \frac(13)(\ln 3)-\frac(4)(\ln^2 3) $$